parcial geometria vectorial 1
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Universidad Nacional de Colombia - Escuela de MatemáticasSolución del Primer Parcial de Geometría Vectorial y Analítica (25%)
Abril 16 de 2012
1. (Valor 30%)
Sean −→u , −→v y −→z vectores geométricos en el plano tales que: ‖−→u ‖ = 3 , ‖−→v ‖ = 5, ‖−→z ‖ = 6,dir(−→u ) = 30◦, dir(−→v ) = 150◦ y se sabe que dir(−→z ) > 270◦ y que −→z ⊥ −→u .
(a) ( 10 ) Dibuje, con el mismo punto inicial, todos los vectores descritos e ilustre geométri-camente la descomposición del vector −→z en las direcciones de los vectores −→u y −→v . Señaleclaramente cada vector en la ilustración anterior.
O 30,0 °
u
30,0 °
v
R
z
P
Q60,0 °
au
bv
z = au + bv con a < 0 y b < 0
120,0 °
30,0 °
Figura 1:
Observacion: Distribución de puntajes para el dibujo: 1 punto para el vector −→u , un puntopara −→v , 2 para −→z y 6 para la descomposición (cada vector y cada ángulo bien marcados)
(b) ( 20 ) Halle los escalares a y b tales que −→z = a−→u + b−→v
Método 1:
(3)
Como −→z ⊥ −→u y el segmento RQ es paralelo a −→u ,el triángulo OQR es rectángulo en R
y dado que el ángulo entre los vectores −→u y −→v mide 120◦,el ángulo OQR mide 60◦,por lo tanto el ángulo QOR mide 30◦
Luego, aplicando ley de senos en el triángulo OQR, y dado que−−→QR =
−−→OP = a−→u con a < 0,
−−→OR = −→z y
−−→OQ = b−→v con b < 0.tenemos:
(6)
∥∥∥−−→QR
∥∥∥sen 30◦ =
∥∥∥−−→OR
∥∥∥sen 60◦ =
∥∥∥−−→OQ
∥∥∥sen 90◦
‖a−→u‖sen 30◦ =
‖−→z ‖sen 60◦ =
‖b−→v ‖sen 90◦
1
O equivalentemente
(1)
{|a|‖−→u ‖sen 30◦ =
‖−→z ‖sen 60◦ =
|b|‖−→v ‖sen 90◦
De donde se deduce que:
(4)
{|a| = ‖−→z ‖sen 30◦
‖−→u‖sen 60◦=
6( 12)3(√
3
2
) = 2√3= 2
√33
(1) { y como a < 0, entonces a = −2√33 � −1.15
(4)
{|b| = ‖−→z ‖sen 90◦
‖−→v ‖sen 60◦= 6(1)
5(√
3
2
) = 12√3
15 = 4√35
(1) { y como b < 0, entonces b = −4√35 � −1.39
Método 2:(1) {Como dir(−→u ) = 30◦, dir(−→z ) > 270◦ y −→z ⊥ −→u , entonces dir(−→z ) = 300◦.
(2)
{
Luego,−→z = ‖−→z ‖ cos 300◦−→i + ‖−→z ‖ sen 300◦−→j
−→z = 6(12
)−→i + 6
(−12
√3)−→j = 3
−→i − 3
√3−→j
(2)
{ −→u = ‖−→u ‖ cos 30◦−→i + ‖−→u ‖ sen 30◦−→j−→u = 3
(√32
)−→i + 3
(12
)−→j = 3
√32
−→i + 3
2
−→j
(2)
{ −→v = ‖−→v ‖ cos 150◦−→i + ‖−→v ‖ sen 150◦−→j−→v = 5
(−√32
)−→i + 5
(12
)−→j = −5
√32
−→i + 5
2
−→j
(2)
{ −→z = a−→u + b−→v3−→i − 3
√3−→j = a
(3√32
−→i + 3
2
−→j)+ b
(−5
√32
−→i + 5
2
−→j)
(1)
{ −→z = a−→u + b−→v3−→i − 3
√3−→j =
(3√32 a− 5
√32 b)−→i +
(32a+
52b)−→j
Por unicidad de la descomposición canónica se tiene: (2)
{3√32 a− 5
√32 b = 3 ec (1)
32a+
52b = −3
√3 ec (2)
O equivalentemente:
{3a− 5b = 2
√3 ec (1)
3a+ 5b = −6√3 ec (2)
(4) {Sumando ec (1) + ec (1) obtenemos: 6a = −4√3, así que a = −4
√3
6 � −1.15(4) {Sustituyendo el valor de a en ec (1), se tiene 3
(−2√3
3
)−5b = 2
√3, luego 5b = −4
√3,
es decir, b = −4√3
5 � −1.39Observación: A la solución del sistema de ecuaciones, por cualquier método, se
le asignan 8 puntos (4 para cada escalar hallado correctamente).
2. (Valor 20%)
Sean A, B y C tres puntos no colineales. Sea E el punto medio del segmento AC y Q el punto
que divide el segmento BE de modo que‖BQ‖‖QE‖ =
3
2. Exprese el vector
−→AQ como combinación
lineal de−−→AB y
−−→BC.
(6){−→AQ = 2
5
−−→AB + 3
5
−→AE Por teorema de la proporción.
2
A
C
E
Q
B
3
2
Figura 2:
(4){−→AE = 1
2
−→AC por ser E el punto medio de AC.
(3){−→AQ = 2
5
−−→AB + 3
5
(12
−→AC
)= 2
5
−−→AB + 3
10
−→AC
(3){−→AC =
−−→AB +
−−→BC
(2){−→AQ = 2
5
−−→AB + 3
10
(−−→AB +
−−→BC
)
(2){−→AQ = 7
10
−−→AB + 3
10
−−→BC
1. (Valor 25%) Sean A =
(24
), B =
(76
)y C =
(102
).
(a) ( 10 ) Encuentre una ecuación en la forma vectorial paramétrica para la recta que contienela altura del triángulo ABC relativa al lado BC.
La recta L que contiene la altura del triángulo ABC relativa al lado BC es la recta quepasa por el vértice A y es perpendicular a la recta que pasa por B y C.
(4)
Un vector normal para la recta L es N = C −B
N =
(102
)−(76
)=
(3−4
)
(3)
{Luego, un vector director de L es D =
(43
)
(3)
Una ecuación vectorial paramétrica para la recta L esX = A+ tD; t ∈ R(
x
y
)=
(24
)+ t
(43
); t ∈ R
(b) ( 10 ) Halle una ecuación, en la forma general, para la recta que pasa por los puntos B y C.
(3)
Un vector director para la recta L1 que pasa por B y C es
D1 = C −B =
(102
)−(76
)=
(3−4
)
3
(2)
{Luego, un vector normal para la recta L1 es N1 =
(43
)
(2)
Una ecuación en la forma normal para la recta L1 es N1 ·X = N1 ·B(43
)·(
x
y
)=
(43
)·(76
)
(3)
{Una ecuación en la forma general para la recta L1 es
4x+ 3y = 46
(c) ( 5 ) Calcule la medida de la altura del triángulo ABC relativa al lado BC.Metodo 1 :
(2)
{La medida h de la altura del triángulo ABC relativa al lado BC es
la distancia del vértice A a la recta L1 que pasa por B y C
(3){h = |4(2)+3(4)−46|√
42+32� 5.2
Método 2:
(2){h =
∥∥∥−→CA
∥∥∥ senα donde α es el ángulo entre−→CA y
−−→CB
(2)
α = cos−1((A−C)·(B−C)‖A−C‖‖B−C‖
)= cos−1
−82
·
−34
∥∥∥∥∥∥
−82
∥∥∥∥∥∥
∥∥∥∥∥∥
−34
∥∥∥∥∥∥
= cos−1(
32
(2√17)(5)
)= cos−1 (0.77611) = 39.09◦
(1)
h =
∥∥∥−→CA
∥∥∥ senα = ‖A−C‖ senα =∥∥∥∥
(−82
)∥∥∥∥ sin (39.09◦)
= 2√17 sin (39.09◦) � 5.2
Método 3:
(5){h =
∥∥∥−→CA− proy−−→
CB
−→CA
∥∥∥Método 4:
(5)
{
h =
√∥∥∥−→CA
∥∥∥2
−∥∥∥proy−−→
CB
−→CA
∥∥∥2
2. Valor: 25%)
(a) Sea L la recta con ecuación x+ 3y = 0.
i) ( 5) Si P es la transformación proyección sobre la recta L, encuentre P
(x
y
)para cada
vector
(x
y
)∈ R2.
(1)
{La recta L es la recta generada por el vector D =
(−31
)
(2)
P
(x
y
)=
−31
·
x
y
−31
·
−31
(−31
)
(2)
{P
(x
y
)=−3x+ y
10
(−31
)=
(910x− 3
10y
− 310x+
110y
)
4
ii) (5) Si S es la transformación reflexión con respecto a la recta L, halle la imagen del vector(−1020
)bajo la trasformación S.
(2)
{S
(−1020
)= 2P
(−1020
)−(−1020
)
(2)
{S
(−1020
)= 2
(910 (−10)− 3
10 (20)− 310 (−10) + 1
10 (20)
)−(−1020
)
(1)
{S
(−1020
)=
(−3010
)−(−1020
)=
(−20−10
)
b. Sea T la transformación lineal del plano tal que T (−E1 + 2E2) =(
1−3
)y
T (E1 − 5E2) =(23
).
i) (10) Encuentre la matriz de la transformación lineal T{Las columnas de la matriz de T son los vectores T (E1) y T (E2).
(2)
Como T (−E1 + 2E2) =(
1−3
)y T es transformación lineal, se tiene:
−T (E1) + 2T (E2) =(
1−3
)ec (1)
(2)
Como T (E1 − 5E2) =(23
)y T es transformación lineal, se tiene:
T (E1)− 5T (E2) =(23
)ec (2)
(2)
De ec (1) + ec (2) obtenemos − 3T (E2) =(
1−3
)+
(23
)=
(30
)
Así, T (E2) = −13
(30
)=
(−10
)
(2)
{En ec (2) se tiene T (E1) = 5T (E2) +
(23
)= 5
(−10
)+
(23
)=
(−33
)
(2)
{Luego, la matriz de T es m(T ) =
(−3 −13 0
)
ii) (5) Halle T
(3−5
)
(5)
{T
(3−5
)=
(−3 −13 0
)(3−5
)=
(−49
)
5