Laboratorio 7: Pandeo de Columnas.

Universidad de los Andes

Departamento de Ingeniería Mecánica

Mecánica de sólidos deformables

16 de julio de 2013

Andrés Felipe Villamil Romero 2012154130

Cristian Eduardo Puerto Santana 201216335

Nomenclatura

- Pcr : carga critica de pandeo.

- I: Momento de inercia.

- Y: longitud de pandeo.

- E: módulo de Young.

- L: longitud de columna.

- K: coeficiente de longitud efectiva.

- Fmax: carga máxima aplicada antes de pandeo.

:

Objetivos

- Determinar la carga máxima que puede soportar una columna de diferentes materiales

para diferentes tipos de apoyo.

- Observar los diferentes factores que afectan la máxima carga que pueden soportar los

diferentes tipos de columnas

- Comparar los valores de la carga máxima obtenidos experimentalmente con los

obtenidos teóricamente.

Introducción

En la industria y en la vida cotidiana es común ver vigas que se encuentran sometidas a cargas

axiales de compresión por ejemplo en columnas, estructuras, cerchas, etc. Cuando una viga es

sometida a una carga axial de compresión su eje longitudinal se deforma, lo cual produce un

aumento de los esfuerzos internos y, en muchos casos, la falla del material. Este fenómeno se

conoce como pandeo. Es importante analizar el pandeo de una viga debido a que puede

afectar la tolerancia de las piezas en las máquinas o hacer que el material falle antes del

esfuerzo de fluencia. Esta práctica busca analizar el pandeo de dos vigas de diferentes

materiales soportadas por una configuración de apoyos determinada. Para esto primero se

dará un marco teórico donde se especificarán las ecuaciones que se utilizarán; luego se

presentarán los equipos utilizados y el procedimiento experimental que se llevó a cabo para

realizar la toma de datos y el análisis de los mismos; el siguiente paso será presentar los datos

obtenidos, analizarlos y compararlos; finalmente se darán conclusiones y recomendaciones.

Marco teórico

Se denomina “columna” a los elementos que trabajan bajo compresión. Generalmente, las columnas fallan a cargas menores a las que producirían falla por fluencia o fractura del material, la falla de las columnas es denominada “pandeo” y es una falla por pérdida de función de la columna (imagen 1). Por lo tanto, en el diseño de elementos que se encuentren a compresión es necesario hacer un análisis de pandeo.

Imagen 1.Columna pandeándose. [1]

El momento en la sección central de la columna, donde se produce la máxima deflexiones M = -Py Del análisis de las deflexiones sabemos que el momento está relacionado con la deflexión por la ecuación diferencial EIy’’(x) = M ( I es el menor valor del momento de inercia de área de la sección transversal), entonces, para la deflexión de la columna tenemos la ecuación diferencial:[1]

Al solucionar esta ecuación diferencial se tiene que:

( ) ((

)

) ((

)

)

Las condiciones de frontera en los apoyos de pasadores son y(0) =0 y y(L) =0,entonces:

((

)

)

Para la solución no trivial de la segunda condición, tenemos que el argumento de la función seno debe ser un múltiplo entero de pi entonces:

(

)

De esta manera la carga crítica de pandeo será:

Es importante saber que dependiendo del tipo de apoyo en el cual esté sujeta la columna, esta

definirá la carga máxima que puede aguantar por un factor K que depende de la forma que se

pandee por las cargas y se definirá como longitud efectiva a la longitud que forma un nodo al

pandearse en la longitud total entonces la ecuación de carga critica será: [1]

( )

En la imagen 2 se puede ver los diferentes tipos de apoyos con su respectiva K teórica.

Imagen 2.Diferentes tipos de apoyos con sus respectivos coeficientes de longitud efectiva.(a)con ambos

extremos pineados.(b)con un extremo libre. (c) soporte fijo a ambos extremos. (d) un pin a un extremo y un soporte fijo al otro. [1]

Equipos

- 1 viga de latón de 910 mm de longitud y de área transversal circular (1/4” de diámetro).

- 1 viga de madera balso de 910 mm de longitud y de área transversal cuadrada (5 mm de arista).

- Cámara fotográfica.

- pesas calibradas. Procedimiento

Para el procedimiento experimental se hicieron dos columnas, una de latón y otra de balso cada una de 91 cm de longitud y diferente área transversal. Después se seleccionó el tipo de apoyo de pin y soporte fijo para ambas columnas y se hizo el respectivo procedimiento de preparación de las columnas limando los bordes de los extremos de la columna hasta crear un redondeo en cada una para ponerlas en el montaje experimental como muestra la imagen 3.

Imagen 3. Montaje experimental. [1] Después de preparar las columnas para el montaje se sometieron a diferentes pesas calibradas de forma creciente hasta que fallara cada una de las columnas. Durante la toma de datos se ubicó el pin en el extremo A del montaje y el soporte fijo en el extremo C (Imagen 3). Luego se tomaron los datos de la carga máxima para cada viga. El siguiente paso fue ubicar el soporte fijo en el extremo A y el pin en el extremo C. Finalmente se comparó la carga máxima calculada teóricamente con la obtenida experimentalmente. Para el cálculo de la carga máxima que soportaba cada una de las columnas se siguió la teoría de carga crítica mostrada en el marco teórico siguiendo la ecuación:

( )

Siguiendo las diferentes características de las columnas (geometría y tipo de material) y donde en este caso siguiendo la teoría y siendo para ambos casos un pin y un soporte fijo se utilizó un factor de longitud efectiva K de 0,7. Después de hallar la carga critica que podía soportar cada una de las columnas se calculó por medio de diagramas de cuerpo libre y ecuaciones de fuerza y momento cuanta de la carga aplicada al montaje era la que soportaba la columna ensayada como muestra la imagen 4.

Imagen 4. Diagrama de cuerpo libre del pin.

Siguiendo las ecuaciones de equilibrio

∑

∑

A

B

C

Y finalmente de análisis del montaje y despejando las ecuaciones se obtuvo que la siguiente relación entre la carga aplicada al montaje y la carga aplicada a la viga:

( )

( )

Entonces la carga máxima que se puede aplicar es:

( )

( ) ( )

Para la estimación de la longitud efectiva se tomó la carga máxima real y se halló el coeficiente de longitud efectiva K y se usó la siguiente relación:

De esta manera la longitud efectiva es:

( ( )

( ))

Para el error entre el cálculo de la carga máxima real y la experimental se usó la ecuación:

Presentación de resultados

Para las dos columnas adquiridas para el laboratorio se tuvieron las siguientes

especificaciones:

especificaciones de la columna de Latón

Tipo de Apoyo 1 pin , 1 soporte fijo( )

Geometría circular

Área transversal(in^2) 0,04908

Momento de Inercia(in^4) 0,00019

Módulo de Elasticidad (Ksi) 14,49797*10^3

Factor de longitud efectiva(K) 0,7 Tabla1.Especificaciones columna de Latón.

especificaciones de la columna de Balso

Tipo de Apoyo 1 pin , 1 soporte fijo

Geometría cuadrada

Área transversal(in^2) 0,03875

Momento de Inercia(in^4) 0,00012

Módulo de Elasticidad (Ksi) 763,48829

Factor de longitud efectiva(K) 0,7 Tabla2.Especificaciones columna de Balso.

Del proceso de análisis se obtuvo que la carga máxima (F) teórica para el latón y para el balso.

Estas fueron respectivamente:

Tomando la gravedad como 9,8 la carga máxima para cada una de las columnas en kilogramos

seria respectivamente:

Se debe tener en cuenta que la carga máxima para el latón fue medida con el soporte fijo en el

extremo A de la figura 3 y el pin en el extremo C de la misma, mientras que para el balso se

ubicó el soporte fijo en el extremo C y el pin en el extremo A. Cuando se midió la carga máxima

soportada por el latón con el pin en el extremo A y el soporte fijo en el extremo C se registró el

siguiente valor:

Las cargas máximas en Kilogramos obtenidas experimentalmente para el latón y el balso

fueron respectivamente:

Imagen 5. Imágenes de pandeo experimental de las vigas.

En la imagen 5 se muestra el pandeo de cada una de las columnas en las cuales se puede ver

su longitud efectiva y donde con los resultados experimentales de la carga máxima se pudo

calcular que tienen una longitud efectiva respectivamente de:

Análisis de resultados

Para los cálculos de carga máxima soportada por la viga se observó que variaba dependiendo

a la configuración de sus apoyos. Esto se observa en los resultados obtenidos de carga

máxima reportados en la presentación de resultados, para los cuales la viga de latón soporta

más carga cuando es empotrada en el extremo A que cuando lo es en el extremo C de la

imagen 3.

Por otro lado, se observa que la fuerza máxima para el latón es mucho más grande que la del

balso. Además, la fuerza máxima experimental soportada por el latón se acerca mucho a la

teórica, siendo su error porcentual:

Mientras que para el balso la carga soportada experimentalmente es mayor a la calculada

teóricamente, siendo su error porcentual:

Como se pude observar en los resultados las longitudes efectivas de la columna de latón y del

balso son de aproximadamente 0,7 de la longitud total que tiene la columna, lo cual obedece a

la teoría de una columna puesta entre un soporte fijo y un pin.

Fuentes de error

Una de las posibles fuentes de error en el proceso experimental es el estado de los materiales

de las columnas al momento de su adquisición ya que muchos factores del medio como la

humedad y el polvo afectan en la resistencia del balso y del latón. Una fuente de error muy

importante para el cálculo de la carga máxima soportada por el balso fue la configuración de

sus apoyos, ya que al variar esta configuración se observó para el latón que disminuia su carga

máxima soportada.

Ya que la carga máxima teórica de las columnas depende del módulo de Young del material

ensayado, esta carga puede cambiar significativamente debido al rango que puede tener el

módulo de Young de cada material ensayado experimentalmente.

Conclusiones

- a carga máxima que soporto la columna de latón se vio afectada directamente por el extremo en el cual se encontraba el pin ya que la carga máxima soportada ubicando el pin

en el extremo A fue de 8,65 Kg mientras que si se ubicaba en pin en el extremo C soportaba 14,82 Kg .

- La carga máxima soportada por la columna de latón experimentalmente tuvo un error de 1,98% respecto a la carga máxima calculada teóricamente.

- La carga máxima soportada por la columna de latón experimentalmente tuvo un error de 39,7% respecto a la carga máxima calculada teóricamente.

- La longitud efectiva calculada para las columnas de latón y balso fueron respectivamente 63,63cm y 68,94cm las cuales se ajustan a la teoría para una columna soportada por un pin en un extremo y con soporte fijo al otro ya que corresponde a 0,7 de la longitud total.

Referencias

[1] Hibbeler, R. C. (2008). Mechanics of materials 7 edition. New Jersey: Prentice Hall.