oscilador armonico cuantico resuelto por el metodo algebraico

EL OSCILADOR ARMONICO CUANTICO

R E S U E L T O P O R E L M É T O D O A L G E B R A I C O

P R E S E N T A D O P O R : K A R O L C A S T R O

Oscilador armonico cuantico metodo algebraico

1

24/02/2011

UNIVERSIDAD NACIONAL AUTONOMA DE HONDURAS

EL problema cuántico es resolver la ecuación de Schrödinger para el potencial:

22

2

1)( xmxV

2

Oscilador armonico cuantico metodo algebraico 24/02/2011

Como hemos visto, en la literatura se encuentran dos enfoques completamente diferentes a este problema el primero es una solución a la ecuación diferencial, utilizando el método de expansión de series de potencias. Esta tiene la virtud de que la misma estrategia se puede aplicar a muchos otros potenciales

3


La ecuación de Schrödinger

ExVdx

d

m )(

2 2

2

4


Reacomodando en la ecuación

Exmdx

d

m

22

2

22

2

1

2

Exmdx

d

m

222

2

22

2

1

Exmdx

d

im

2

2

)(2

1

5


Tenemos que:

Exmdx

d

im

2

2

)(2

1

))((22 viuviuvu

La idea es factorizar la expresión entre corchetes6


)(2

1xfxim

dx

d

ixim

dx

d

im

Aquí, sin embargo, no es tan simple, ya que u y v son operadores, y los operadores, en general no conmutan es decir uv no es lo mismo que vu.

24/02/2011Oscilador armonico cuantico metodo algebraico

7

xm

dx

d

ima

2

1

xm

dx

d

ima

2

1

Donde:


8

En algebra lineal (y en sus aplicaciones en la mecánica cuántica, un operador de subida o de bajada (también conocidos como operadores escalera) es un operador que aumenta o disminuye el auto valor de otro operador.

En mecánica cuántica, el operador de subida también se denomina operador de creación mientras que el de bajada se denomina operador de destrucción

Al trabajar con los operadores podemos cometer errores a menos que introduzcamos una función de prueba para actuar con los operadores. Al final se puede tirar la función de

prueba, y se deja una ecuación que incluye solo los operadores


9

)(2

1)()( xfxim

dx

d

ixim

dx

d

imxfaa

xfim

dx

df

ixim

dx

d

imxfaa

2

1)()(

xfim

dx

df

ixim

dx

d

imxfaa

2

1)()(

fxm

dx

dfxm

dx

xfdm

dx

fd

mxfaa 2

2

22 )(

)(

2

1)()(

Tenemos que:


10

fxm

dx

dfxm

dx

xfdm

dx

fd

mxfaa 2

2

22 )(

)(

2

1)()(

fdx

dfx

dx

dxf

dx

dfx

dx

xfd

)(

fdx

xfd

dx

dfx

)(

fxmfdx

xfdm

dx

xfdm

dx

fd

mxfaa 2

2

22 )(

)()(

2

1)()(

Sustituyendo

Simplificando:


11

fxmfm

dx

fd

mxfaa 2

2

22 )(

2

1)()(

fxmfdx

xfdm

dx

xfdm

dx

fd

mxfaa 2

2

22 )(

)()(

2

1)()(

)()(2

1)()( 2

2

xfmxmdx

d

imxfaa

Agrupando y descartando la funcion de prueba


12

2

1)(

2

1)( 2

2

xm

dx

d

imaa

2

1)(

2

1 2

2

xm

dx

d

imaa

De la misma manera podemos calcular:


13

aaaa

Exmdx

d

im

2

2

)(2

1

2

1))((22 viuviuvu

Retomando la ecuación Schrödinger

2

1 aa

con este resultado podemos escribir la

ecuación de Schrödinger en términos de sus

operadores


14

Eaa )2

1(

aaaa

La ecuación de Schrödinger la podemos escribir de la siguiente manera:

Teniamos que:

Eaa )2

1(

De la misma manera se puede escribir:


15

Eaa )2

1(

E

)( Ea

a

))(2

1( aaa


16

))(2

1( aaa

)2

1()

2

1( aaaaaaa

])2

1[()

2

1( aaaaaa

Eaa )2

1( Eaa )

2

1(


17

))(2

1( aaa

)2

1()

2

1( aaaaaaa

])2

1[()

2

1( aaaaaa

Eaa )2

1(

Eaa )2

1(

E


18

)]([][][ aEEaEa

Eaa )2

1(

)())(2

1( Eaaa

)())(2

1( Eaaa


19

Con esto se presenta una gran herramienta para encontrar nuevas soluciones con energías mas altas y más bajas. Llamamos factores de escala, porque estos nos permiten aumentar o disminuir la energía. Es llamado el operador que aumenta, y el operador que disminuye.


20

Pero, qué pasa si aplicamos el operador de escalera que disminuye la energía repetidamente?


21

Eventualmente alcanzaríamos un estado con energía menor que cero, que, de acuerdo al teorema general, esto no existe. Sabemos que es una nueva solución de la ecuación de Schrödinger, pero no hay una garantía que esta solución será normalizable. En conclusión: debe ocurrir “El escalón mas bajo” tal que

00 a

La ecuación diferencial seria


22

xm

dx

d

ima

2

1

02

10

0

xm

dx

d

im

00

x

m

dx

d

Operador de escalera que disminuye la energía

Resolviendo la ecuación diferencial


23

00

x

m

dx

d

xdxmd

0

0

xdxmd

0

0

constxm

2

02

ln

2

200 )(

xm

eAx

Ahora aplicamos el operador que aumenta la energía para generar los estados excitados


24

2

200 )(

xm

eAx

Eaa )2

1(

000)2

1( Eaa

0002

1 E

2

10 E


25

2

200 )(

xm

eAx

2

10 E

2

2)()(x

m

n

nn eaAx

)2

1( nEn

Escalera de los estados estacionarios para un oscilador armónico simple


26

Referencias:


27

Griffiths, D. J. (1994). Introduction to Quantum mechanics. New Jersey: Prentice Hall, Inc.

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