mec´anica ii tema 1 movimiento rectil´ıneo - upm · oscilador armonico amortiguado forzado...

Mecanica II

Tema 1

Movimiento rectilıneo

Manuel Ruiz Delgado

18 de febrero de 2011

Mecanica I y II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2Referencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3Movimiento rectilıneo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4Modelos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5Problema basico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6Casos de integracion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7Caso F (t). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8Fuerzas dependientes de la velocidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9Caso F (x): Reduccion a cuadraturas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10Caso F (x): Analisis cualitativo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11Caso F (x): Caıda libre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14Caso F (x): Comparacion aire/vacıo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15Caso F (x): fuerzas conservativas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16Caso F (x): Reduccion a cuadraturas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17Caso F (x): analisis cualitativo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18Oscilador armonico amortiguado forzado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25Transitoria: oscilador libre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26Transitoria: oscilador libre amortiguado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28Transitoria: Decremento logarıtmico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29Respuesta estacionaria: oscilador forzado. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30Factor de amplificacion de la estacionaria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34Fase de la estacionaria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35Fase en el movimiento armonico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36Resonancia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

1

Mecanica I y II

Mecanica de Partıculas y Solidos Rıgidos

Leyes de Newton

Cinematica

Punto

Solido

Geometrıa de Masas

Fuerzas, Trabajo,Potencial, Ligaduras

Magnitudes Cineticas

Conceptos auxiliares

Ecs. Generalesde la Dinamica P.T.V.

Ec. Lagrange

Percusiones

Vibraciones

Estatica

Nucleo

Punto Solido

M. Orbital D. Actitud

Casos

Mec I Mec II

Manuel Ruiz - Mecanica II 2 / 41

Referencias

Manuel Prieto Alberca, Curso de Mecanica Racional: Dinamica, ADI, Madrid, 1990.

Antonio Ranada, Dinamica Clasica, Alianza Editorial, Madrid, 1990.

H. Schaub y J. Junkins, Analytical Mechanics of Space Systems, AIAA, Reston, Virginia, 2003.

L. Meirovitch, Introduction to Dynamics and Control, John Wiley & Sons, Nueva York, 1985.

L. Meirovitch, Methods of Analytical Dynamics, McGraw-Hill, Nueva York, 1970.

H. Goldstein, Mecanica Clasica, Reverte, Barcelona, 1988.

E. Desloge, Classical Mechanics, John Wiley & Sons, Nueva York, 1982


2

Movimiento rectilıneo

Modelos - Problema basico

Casos reducibles a cuadraturas

• Caso F (t)

• Caso F (x): Sistemas disipativos

◦ Analisis cualitativo

• Caso F (x): Sistemas conservativos

◦ Analisis cualitativo⋄ Diagrama de Potencial

⋄ Mapa de fases

Caso completamente integrable

• Oscilador armonico

◦ Libre / Amortiguado

◦ Resonancia


Modelos

Partıcula, partıcula material, masa puntual o, simplemente, punto: punto geometrico dotadode masa, sobre el que actuan fuerzas diversas.

• La orientacion (actitud, QQQ10) no influye en el movimiento del centro de masas

• Ec. de la cantidad de movimiento

• Planetas, sistemas planetarios, etc.

Solido rıgido: conjunto de puntos cuyas distancias permanecen constantes.

• La actitud influye en el movimiento

• Ec. CM + Ec. Momento Cinetico

• Aviones, misiles en vuelo atmosferico


3

Problema basico

Para simplificar, tomamos Ox en la direccion del movimiento rectilıneo: r = (x, 0, 0)

Fx(x, x, t) = mxFy(x, x, t) +Ny = 0Fz(x, x, t) +Nz = 0

r(0) = (x0, 0, 0)r(0) = (x0, 0, 0)

⇒x = x(t, x0, x0)Ny = Ny(t, x0, x0)Nz = Nz(t, x0, x0)

x

y

z

Ny

NzF

b

En general, salvo los casos mas simples, la integra-cion de la Ecuacion Diferencial Ordinaria (EDO) setiene que hacer numericamente.


Casos de integracion

En algunos casos particulares, el problema se puede reducir a cuadraturas (∫f(u) du):

• F (t)

• F (x): fuerzas giroscopicas o disipativas

• F (x): fuerzas conservativas

Si las fuerzas son proporcionales a x o x, queda una ecuacion lineal de coeficientes constantes,que se integra completamente: oscilador armonico


4

Caso F (t)

Cuando la fuerza es una funcion conocida del tiempo —un motor, por ejemplo— la ecuacion se puedeintegrar en dos fases:

F (t) = mx = mdx

dt→

→

x(t) = x0 +

t∫

t0

F (τ)

mdτ

x(t) = x0 + x0 (t− t0) +

∫ t

t0

(∫ τ

t0

F (t)

mdt

)

dτ


Fuerzas dependientes de la velocidad

Giroscopicas: su trabajo es siempre nuloa.

• ⊥ a la velocidad: Coriolis, Lorenz, [sustentacion]b.

• No influyen directamente en el movimiento rectilıneo; sı en el rozamiento, o en ligadurasunilaterales (despegue)

Disipativas: su trabajo es siempre negativo: disipan o consumen la energıa mecanica delsistema.

• Sentido opuesto a la velocidad:

F(v) = −(a0 + a1 |v|+ a2 v2 + . . . )

v

|v| = −f(|v|) v

|v|

• En casos simples, se puede integrar completamente: rozamiento de Coulomb y viscoso,resistencia aerodinamica.

aSentido usual en Mecanica Clasica. En Ingenierıa Aeronautica, en cambio, fuerzas giroscopicas son las de inercia

debidas a piezas rotatorias.bEsta es ⊥ a la velocidad relativa al aire, que puede no coincidir con la del cuerpo.


5

Caso F (x): Reduccion a cuadraturas

f(v) polinomica, se integra completamente (hasta 3 terminos).

En general, se puede reducir a cuadraturas en v:

mx = mdv

dt= ±f(v) → t− t0 = ±

∫ v

v0

mdv

f(v)→ t = t(v)

dx = v dt = ±v mdv

f(v)→ x− x0 = ±

∫ v

v0

mv dv

f(v)→ x = x(v)

Ecuaciones horarias en forma implıcita

El signo ± sera el contrario del de v0

Singularidad en v = 0: analizar convergencia y movimiento posterior.


Caso F (x): Analisis cualitativo

Se puede analizar el movimiento vertical de unapartıcula pesada directamente sobre la ecuacion di-ferencia. Basta que f(v) cumpla:

mg

f(v)

v−f(v)

vL0

f(0) < mg, para que la partıcula caiga al soltarla;

∃ vL / f(vL) = mg, velocidad lımite a la que se equilibran peso y resistencia;

que f(v) sea monotona creciente, al menos en la zona en que trabajamos.


6


Se lanza la partıcula verticalmente hacia abajo

Ox positivo hacia abajo

Ecuaciones del movimiento:

mv = mg − f(v) = f(vL)− f(v)

t− t0 =

∫ v

v0

mdv

f(vL)− f(v)

O

mg

f(v)

v

x



Hay cuatro casos:

v1 < vL

v0 = vL

v2 > vL

v3 < 0

t

v3

v1

vL

v2

0

mv = f(vL)− f(v)

v vvmg

f(v)

v−f(v)

v3v1 vL v20


7

Caso F (x): Caıda libre

En el vacıo todos los cuerpos caen con la mismaaceleracion, g

En el aire, los mas pesados caen con mas aceleraciony mayor vL:

m1g

m2gf(v)

v

vL1vL2

• Masas distintas m2 > m1

• Igual forma y acabado: f(v) igual

• vL2> vL1

, pues m2 g = f(vL2) > m1 g = f(vL1

).

Otro modo de verlo: adimensionalizar f(v) con mg

mayor aceleracion (a igual v)

mayor vL1

vL1vL2

f(v)m2g

f(v)m1g


Caso F (x): Comparacion aire/vacıo

Comparamos las cuadraturas:

aire: f(v) vacıo: 0

Hr =

∫ 0

−v0

mv dv

mg + f(v)< Hv =

∫ 0

−v0

mv dv

mg + 0

Tr =

∫ 0

−v0

mdv

mg + f(v)< Tv =

∫ 0

−v0

mdv

mg + 0

En las cuadraturas para el vacıo, el denominador es menor, el integrando mayor, y por tanto lasintegrales son mayores. En vacıo se llega mas alto y se tarda mas tiempoa:

|Hr| < |Hv| Tr < Tv

aCon el sentido positivo hacia abajo, las alturas serıan negativas


8

Caso F (x): fuerzas conservativas

F = F (x) i deriva de un potencial V (x) = −∫F (x) dx

F = −∇V (x) = −dV (x)

dxi

La ecuacion del movimiento se puede integrar una vez, para dar la integral de la energıa:

mx = F (x) ; mx x = F (x) x ⇒

⇒ mx2

2︸︷︷︸

T

=

∫

F (x) dx

︸︷︷︸

−V

+ E ⇒ T + V = E

Se conserva la energıa mecanica: Sistema conservativo

Error fatal: “calcular” el potencial de una fuerza disipativa → � ��Manuel Ruiz - Mecanica II 16 / 41

Caso F (x): Reduccion a cuadraturas

Integral primera: conservacion de la energıa

mx2

2= E − V (x) ⇒ x = ±

√

2

m(E − V (x))

Cuadratura:

dx

dt= ±

√

2

m[E − V (x)] ⇒ t− t0 =

∫ x

x0

±dx√

2m[E − V (x)]

Se obtienen x = x(x, x0, x0) y t− t0 = t(x, x0, x0) , ecuaciones horarias en forma implıcita.

El signo ± se determina con las condiciones iniciales


9

Caso F (x): analisis cualitativo

La integral de la energıa T (x) + V (x) = E permite realizar un

analisis cualitativo del movimiento, sin necesidad de integrarlocompletamente.

Dos metodos equivalentes:

• Diagrama de energıa potencial: representar V (x); cada valorde E es una recta horizontal

• Mapa de fases: Cada valor de E es una curva del plano [x, x].

V (x)

O x

x

x



x

V

T

V (x)

O x

Diagrama de Energıa Potencial

x

x

x

x

Mapa de fases

12mx

2 + V (x) = E x = ±√

2m[E − V (x)]


10


Diagrama de energıa potencial

a

b

c

d

E1

E2

E3

E4

V (x)

xx1 x2 x3 x4

∞



a) Punto de parada y retroceso

Singularidad en el corte:

t− t0 =

∫ x

x0

±dx√

2m[E − V (x)]

Convergencia de la integral:

lımx→x4

√

E − V (x)

(x4 − x)α= K / α < 1

Corte: α = 1/2 ⇒ llega en t finito

EV (x)

mx2

2

x x4

x

x

x


11


b) Mınimo en x3

E < V (x3) ⇒ ∄ movimiento (x ∈ ℑ)E = V (x3) ⇒ Solo equilibrio en x3

E > V (x3) ⇒ Oscilaciones entre dos puntos de para-da/retroceso

V (x) mınimo en x3 ⇒ punto de equilibrio estable. Al pertur-barlo (E ↑) → oscilaciones acotadas, tan pequenas como sequiera: pozo de potencial.

Diagrama de fases: curvas cerradas alrededor de (x3, 0): cen-tro, o punto elıptico.

Eosc

Eequ

V (x)

Fx = −V ′(x)

x2 x3 x4

x

x



c: Maximo en x1

E > V (x1), T > 0, pasa sin pararse

E = V (x1) segun condiciones iniciales:

• Equilibrio inestable en x1: perturbacion → movimientono acotado

• Movimiento asintotico: si V (x) es analıtica, α = 1, t =∞

E < V (x1) No llega

Mapa de fases: punto de silla o hiperbolico. Separatrices:movimiento asintotico con E = V (x1).

V (x)

x1

x

x


12


d: Rama infinita - Similar al maximo, con x→ ∞

x

V (x)

x

x

0

x

V (x)

x

x0


Oscilador armonico amortiguado forzado

Partıcula de masa m unida al origen por un muelle de constante k y longitud natural nula, y unamortiguador viscoso de constante c. Sobre la partıcula actua una fuerza F = F sinω t i.

mx = −k x− c x+ F sinω t

x+ 2ζωn x+ ω2n x = F

msinω t

Frecuencia de forzamiento: ω

Frecuencia natural: ωn =√

k/m

Factor de amortiguacion: ζ = c2mωn

m

x

Fc

k

x = xh + xp

Solucion homogenea xh Respuesta Transitoria

Solucion particular xp Respuesta Estacionaria


13

Transitoria: oscilador libre

r2 + 2ζωnr + ω2n = 0 ⇒ ri = ωn

(

−ζ ±√

ζ2 − 1

)

Amortiguamiento supercrıtico, ζ > 1

Dos raıces reales negativas:

xh = Aer1 t +B er2 t; con r1, r2 < 0

Am. Crıtico, ζ = 1 (ccr = 2√km)

Una raız doble real negativa

xh = (A+B t) e−ωn t

• La que muere mas rapido.

• Frontera movimiento oscilatorio / no oscilatorio.


Transitoria: oscilador libre

Amortiguamiento subcrıtico, ζ < 1

• 2 raıces complejas conjugadas

• Movimiento oscilatorio no periodico, exponencialmente amor-tiguado

• ωn

√

1− ζ2 : pseudofrecuencia

x

t

xh = e−ζωn t(

Aeiωn

√1−ζ2 t +B e−iωn

√1−ζ2 t

)

=

= e−ζωn t[

C cos(

ωn

√

1− ζ2 t)

+D sin(

ωn

√

1− ζ2 t)]

=

= e−ζωn t[

E cos(

ωn

√

1− ζ2 t+ ψ)]


14

Transitoria: oscilador libre amortiguado

x

V (x)

ζ = 0

0,2

12

ζ = 0 punto de equilibrio estable

ζ > 0 eq. asintoticamente estable

x

xζ

21

0,20

2

ζ = 0 centro

ζ > 1 nodo estable

ζ = 1 nodo de una tangente est.

ζ < 1 foco estable


Transitoria: Decremento logarıtmico

En el caso subcrıtico, se puede determinar experimentalmente el factor de amortiguamiento midiendodos amplitudes separadas un pseudoperiodo. Pueden medirse en cualquier punto, aunque es mas facilmedir dos maximos sucesivos.

Sea ∆t = 2π

ωn

√1−ζ2

el pseudoperiodo:

x1 = e−ζωn tE cos (. . . )

x2 = e−ζωn (t+∆t) E cos (· · · + 2π)

}

e δ =x1x2

= e2πζ√1−ζ2 ⇒ ζ =

δ√4π2 + δ2

x1x2

x

t

El logaritmo del cociente de amplitudes, δ , se llama decremento logarıtmico.


15

Respuesta estacionaria: oscilador forzado

EDO: x+ 2ζωn x+ ω2n x = F

msinω t

Ensayamos soluciones de la forma,

xp = C1 sinω t+ C2 cosω t = A sin (ω t− φ)

C1 = A cosφ; C2 = −A sinφ

Se sustituye en la EDO:

(−C1 ω

2 − 2 ζ ωnC2 ω + ωn2C1

)sinω t +

+(−C2 ω

2 + 2 ζ ωnC1 ω + ω2nC2

)cosω t = F/m sinω t

Igualando terminos:



(0

︷︸︸︷

−C1 ω2 − 2 ζ ωnC2 ω + ωn

2C1 − F/m)

sinω t +

+(

−C2 ω2 + 2 ζ ωnC1 ω + ω2

nC2︸︷︷︸

0

)

cosω t = 0

−C2 ω2 + 2 ζ ωnC1 ω + ω2

nC2 = 0 → C2 =2 ζ ω ωn

ω2 − ω2n

C1

︸︷︷︸

↓

−C1 ω2 − 2 ζ ωnC2 ω + ωn

2C1 =F

m→

C1 =F(ω2n − ω2

)/m

[

4ζ2ω2ω2n + (ω2

n − ω2)2]

C2 =−F 2ζωωn/m

[

4ζ2ω2ω2n + (ω2

n − ω2)2]


16


Es mas util expresar la solucion mediante la fase φ y la amplitud A:

xp = A sin (ω t− φ)

A =√

C21 + C2

2 =F/m

ω2n

√

4ζ2 ω2

ω2n+

(

1− ω2

ω2n

)2=

F/k√

4ζ2 ω2

ω2n+

(

1− ω2

ω2n

)2

tan φ = −C2

C1=

2ζ ωωn

1− ω2

ω2n

Desplazamiento estatico F/k

Factor de amplificacion(magnification factor)

µ = 1√

4ζ2 ω2

ω2n+

(

1− ω2

ω2n

)

2



Con lo que la solucion completa es:

x(t) =

Homogenea: Transitoria︷︸︸︷

Aer1 t +B er2 t (ri < 0)(A+B t) e−ωn t

Ae−ζωn t cos(

ωn

√

1− ζ2 t+ ψ)

+

+F/k

√

4ζ2 ω2

ω2n+

(

1− ω2

ω2n

)2

sin

ω t− tan−12ζ ω

ωn

1− ω2

ω2n

︸︷︷︸

Particular: Estacionaria


17

Factor de amplificacion de la estacionaria

a)

b)

c)

d)

0 1 2 30

1

2

3

4

ω/ωn

µ

ζ = 0

0,15

0,2

0,3

0,4

0,5

0,75

1

1,5

36

1225

∞

ζ = ∞


Fase de la estacionaria

a)

b)

c)

d)

ω/ωn

φ

ζ = 0

0,1

0,2

0,3

0,50,75

1

1,5

3

6

ζ = ∞

0 1 2 3

π

2

π


Fase en el movimiento armonico

Posicion x = A sin(ω t) ϕ

Velocidad x = Aω cos(ω t) = Aω sin(ω t+ π/2) ϕ+ π2

Aceleracion x = −Aω2 sin(ω t) = Aω2 sin(ω t+ π) ϕ+ π

v

ar



a) Muelle dominante: ω ≪ ωn

ωn =√

k/m >> 1, o k >> m.

0 + 0 + k x ≃ F sin(ω t)

φ→ 0 x ∝ F (t)

Respuesta del muelle muy rapida frente a laexcitacion

≃ sucesion de estados de equilibrio

Desplazamiento en fase con la excitacion: fasenula.

Acelerometros: x ∝ F

a)

0 1 2 30

1

2

3

4

ω/ωn

µ

ζ = 0

a)

ω/ωn

φ

ζ = 0

ζ = ∞

0 1 2 3

π

2

π


19


b) Inercia dominante: ω ≫ ωn

ωn =√

k/m << 1, o m >> k

m x+ 0 + 0 ≃ F sin(ω t)

φ→ π x ∝ F (t)

Respuesta del muelle muy lenta frente a la ex-citacion

Aceleracion ≃ forzamiento: fase π.

Sismografos: x ∝ F

b)

0 1 2 30

1

2

3

4

ω/ωn

µ

ζ = 0

b)

ω/ωn

φ

ζ = 0

ζ = ∞

0 1 2 3

π

2

π



c) Disipacion dominante: ζ ≫ 1

El termino dominante es el de la velocidad

0 + c x+ 0 ≃ F sin(ω t)

φ→ π/2 x ∝ F (t)

Solo hay movimiento cuando hay excitacion

Velocidad ≃ forzamiento: fase π/2.

c)0 1 2 30

1

2

3

4

ω/ωn

µ

ζ = 0

c)

ω/ωn

φ

ζ = 0

ζ = ∞

0 1 2 3

π

2

π



d) Resonancia: ω ≃ ωn

ζ = 0 ; ω = ωn ; A→ ∞ζ > 0 ; ω ≃ ωn ; A ↑↑Excitacion en fase con la velocidad

Trabajo externo positivo

φ→ 0 µ ↑

d)

0 1 2 30

1

2

3

4

ω/ωn

µ

ζ = 0

d)

ω/ωn

φ

ζ = 0

ζ = ∞

0 1 2 3

π

2

π


Resonancia

Para ζ = 0, en la resonancia, la amplitud se hace ∞: absurdo.

Con ζ = 0 y ω = ωn, la solucion no es valida

ω 6= ωn x = A cos (ωn t+ ψ) +F/k

1− ω2/ω2n

sinω t

ω = ωn x = A cos (ωn t+ ψ)− F t

2ωnmcosωn t

F en fase con el movimiento: W > 0, E ↑Si no hay ζ que disipe esa energıa, x→ ∞


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