numero5 acr rea1_5
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Revista Q.e.d. (Quod erat demonstrandum, ciencias duras en palabras blandas) número 5 de diciembre de 2011, en Pdf 1.5. Por favor, roten la vista o bien, si sus lectores de Pdf son suficientemente avanzados, lean el archivo gemelo Nomero5.pdf, en este mismo sitio.TRANSCRIPT
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Vol. 1
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tent
a re
spon
der
a la
sig
uien
te p
regu
nta,
en
apar
ienc
ia in
ocen
te: el
con
junt
o de
tod
os a
quel
los
conj
unto
s qu
e no
se
con
tien
en a
sí m
ism
os, ¿s
e co
ntie
ne o
no
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mis
mo?
Ráp
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ente
se
obse
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que
cual
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ra
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s d
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s co
nduc
e a
una
cont
radi
cció
n, in
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nte
a la
defi
nic
ión
mis
ma
del s
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s-to
con
junt
o: s
i ta
l co
njun
to s
e co
ntuv
iese
a s
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ism
o, n
o po
dría
, po
r de
fi nic
ión,
ser
ele
men
to
de s
í mis
mo,
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ue e
s ab
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o. P
ero
si n
o se
con
tuvi
ese
a sí
mis
mo,
deb
ería
enc
ontr
arse
ent
re
los
elem
ento
s de
sí m
ism
o, s
egún
su
defi n
ició
n, lo
que
tam
bién
es
cont
radi
ctor
io. Es
ta s
itua
ción
si
n sa
lida
habí
a ve
nido
a d
emos
trar
que
aún
des
pués
de
sigl
os d
e de
sarr
ollo
s m
atem
átic
os,
las
idea
s m
ás b
ásic
as n
o er
an d
el t
odo
com
pren
dida
s, lo
que
col
mó
de in
quie
tude
s a
la c
omun
idad
m
atem
átic
a in
tern
acio
nal.
Era
ina
dmis
ible
que
la
pied
ra f
unda
men
tal do
nde
se a
poya
ba t
oda
la e
stru
ctur
a de
los
raz
onam
ient
os m
atem
átic
os a
cusa
ra d
e pr
onto
est
a in
sole
nte
para
doja
, pu
es e
stab
an e
n ju
ego
todo
s lo
s lo
gros
obt
enid
os e
n es
ta d
isci
plin
a de
sde
el m
omen
to e
n qu
e su
s ci
mie
ntos
rev
elar
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onto
una
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ra t
an d
esco
mun
al. A
esa
alt
ura,
enc
ontr
arse
con
tan
ir
reve
rent
e an
tino
mia
era
rea
lmen
te h
umill
ante
.
Pero
la
reac
ción
de
los
mat
emát
icos
y fi
lós
ofos
del
mun
do n
o se
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o es
pera
r, y
des
de q
ue
la p
arad
oja
tom
ó es
tado
púb
lico
, di
o lu
gar
a m
últi
ples
int
ento
s po
r re
solv
erla
, ge
nera
ndo
una
de l
as r
amas
más
fru
ctíf
eras
de
la m
atem
átic
a de
l si
glo
XX,
la t
eorí
a ax
iom
átic
a de
co
njun
tos.
El p
ropi
o Ru
ssel
l hab
ía p
ropu
esto
una
sol
ució
n ba
sada
en
una
com
plej
a te
oría
de
tipo
s, e
n la
que
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eren
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inad
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hoc
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cien
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ada
conj
unto
só
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ser
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men
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tura
s de
tip
o su
peri
or (
que
a su
vez
sea
n el
emen
tos
de
otra
s es
truc
tura
s m
ás c
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ejas
), p
ero
que
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n m
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debí
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arse
los
niv
eles
de
esa
jer
arqu
ía.
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ción
era
, si
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barg
o, l
o su
fi ci
ente
men
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scur
a co
mo
para
que
Ru
ssel
l ex
pres
ara
lueg
o su
s du
das
al r
espe
cto.
Más
exi
tosa
, en
cam
bio,
res
ultó
la
segu
nda
de las
sol
ucio
nes
prop
uest
as,
la t
eorí
a ax
iom
átic
a de
Zer
mel
o.
Has
ta e
l m
omen
to s
e as
umía
im
plíc
itam
ente
que
los
con
junt
os p
odía
n se
r de
fi ni
dos
en
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a co
mpr
ensi
va,
es d
ecir,
en
luga
r de
list
ar t
odos
sus
ele
men
tos
(cos
a qu
e se
ría
virt
ual-
men
te i
mpo
sibl
e en
el
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de
conj
unto
s in
fi ni
tos)
, se
lo
cara
cter
izab
a m
edia
nte
algu
na
prop
ieda
d co
mún
que
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iera
n to
dos
ello
s, y
era
est
a pr
opie
dad
la q
ue s
erví
a pa
ra d
efi n
ir-
lo.
Zerm
elo
mod
ifi c
ó un
poc
o la
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xibi
lida
d de
est
a pr
ácti
ca u
sual
, es
tabl
ecie
ndo
que
tal
mét
odo
sólo
ser
vía
para
defi
nir
con
junt
os s
i la
prop
ieda
d us
ada
se a
plic
aba
a lo
s el
emen
tos
de u
n co
njun
to p
revi
amen
te d
efi n
ido.
Así
, lo
s “c
onju
ntos
que
no
se c
onti
enen
a s
í mis
mos
” no
pod
ía u
sars
e pa
ra d
efi n
ir e
l co
njun
to d
e Ru
ssel
l, p
uest
o qu
e en
pri
ncip
io t
al p
ropi
edad
se
apl
ica
a to
do e
l un
iver
so d
e co
njun
tos
posi
bles
en
luga
r de
res
trin
girs
e a
los
elem
ento
s de
un
conj
unto
ya
exis
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e. E
sta
sim
ple
rest
ricc
ión
en e
l tip
o de
pro
pied
ades
usa
das
com
o de
fi ni
tori
as f
ue s
ufi c
ient
e pa
ra d
esca
rtar
la
para
doja
de
Russ
ell,
y t
ambi
én,
de p
aso,
otr
as
para
doja
s qu
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nía
acum
ulan
do l
a te
oría
de
conj
unto
s. E
l en
foqu
e ax
iom
átic
o pe
rmit
ió
salv
ar g
ran
part
e de
l edi
fi ci
o m
atem
átic
o al
pro
veer
lo d
e nu
evos
fun
dam
ento
s. L
a cu
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ón
Por C
hristi
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o. Mate
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a, FCE
yN - U
BA
LógicaMatemática
que
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tos
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ctiv
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pa
ra in
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ía d
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ales
par
adoj
as q
ue p
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aún
acec
har
ocul
tas.
Des
de l
os i
nqui
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tes
desc
ubri
mie
ntos
de
Göd
el e
n 19
31 s
e sa
bía
que
la t
eorí
a de
Ze
rmel
o no
pod
ía d
emos
trar
su
prop
ia c
onsi
sten
cia.
Por
lo
tant
o, l
a cr
eenc
ia e
n qu
e ta
l teo
ría
resu
elve
de
una
vez
y pa
ra s
iem
pre
todo
s lo
s pr
oble
mas
era
ni m
ás n
i men
os
que
una
cues
tión
de
fe.
Ante
est
e pa
nora
ma,
con
vení
a te
ner
solu
cion
es a
lter
nati
vas
a la
par
adoj
a de
Rus
sell
que
fuer
an m
ás s
atis
fact
oria
s de
sde
el p
unto
de
vist
a fi l
osófi
co.
U
na r
efre
scan
te p
ropu
esta
fue
la
teor
ía d
e W
illar
d va
n O
rman
Qui
ne c
onoc
ida
com
o N
ew F
ound
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ns.
En e
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se
prop
one
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l de
Rus
sell
de l
a te
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de
tipo
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n en
foqu
e m
ás s
intá
ctic
o. Z
erm
elo
prop
onía
adm
itir
co
mo
defi n
itor
ias
las
prop
ieda
des
que
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riba
n el
emen
tos
de c
onju
ntos
pre
viam
ente
es
tabl
ecid
os;
Qui
ne,
en c
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o, p
ropo
ne a
dmit
ir c
omo
válid
as a
quel
las
prop
ieda
des
que
se e
ncue
ntre
n es
trat
ifi ca
das
resp
ecto
a lo
s ti
pos
de e
stru
ctur
as d
e lo
s qu
e ha
blab
a Ru
ssel
l. P
or e
jem
plo,
hab
lar
de lo
s co
njun
tos
que
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erte
nece
n a
sí m
ism
os (o
incl
uso
de lo
s co
njun
-to
s qu
e pe
rten
ecen
a s
í mis
mos
) no
ser
ía p
osib
le e
n la
teo
ría
de Q
uine
por
que
tal p
ropi
edad
no
pued
e ex
pres
arse
sin
táct
icam
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res
peta
ndo
los
estr
atos
de
los
conj
unto
s en
cue
stió
n; l
a te
oría
pro
hibe
ex
pres
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te u
sar
toda
pro
pied
ad a
utor
refe
renc
ial
que
invo
lucr
e la
per
tene
ncia
, y
sólo
per
mit
e ut
iliza
r ta
l noc
ión
para
vin
cula
r en
tida
des
corr
espo
ndie
ntes
a d
isti
ntos
est
rato
s.
Pero
por
más
sed
ucto
ra q
ue r
esul
te la
teo
ría
de Q
uine
, m
ucho
s se
reh
usan
a u
tiliz
arla
por
con
trad
ecir
un
o de
los
prin
cipi
os m
ás ú
tile
s y
fecu
ndos
par
a el
des
arro
llo d
e la
mat
emát
ica:
el a
xiom
a de
ele
cció
n.
Esta
sit
uaci
ón c
ondu
jo a
con
side
rar
otra
s al
tern
ativ
as p
ara
solu
cion
ar l
a pa
rado
ja d
e Ru
ssel
l qu
e no
de
jen
de s
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ompa
tibl
es c
on e
l men
cion
ado
axio
ma.
Una
teo
ría
para
lela
que
sat
isfa
ce e
ste
requ
isit
o es
la t
eorí
a de
von
New
man
n-Be
rnay
s-G
ödel
(N
BG),
que
res
uelv
e la
com
plic
ació
n ru
ssel
liana
des
arro
-lla
ndo
un n
uevo
tip
o de
ent
idad
: la
cla
se. A
dem
ás d
e lo
s co
njun
tos,
NBG
adm
ite
aque
llas
cole
ccio
nes
o co
nglo
mer
ados
de
elem
ento
s qu
e so
n de
mas
iado
ext
enso
s pa
ra s
er c
onsi
dera
dos
conj
unto
s, y
les
da
el n
ombr
e de
cla
ses
prop
ias;
se
mar
ca a
sí la
dif
eren
cia
onto
lógi
ca c
on lo
s co
njun
tos,
que
son
en
esta
te
oría
cla
ses
pequ
eñas
. En
est
e co
ntex
to, la
sol
ució
n a
la p
arad
oja
pasa
por
la c
onve
nció
n de
que
sól
o lo
s co
njun
tos
pued
en p
erte
nece
r a
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uctu
ras
más
gra
ndes
, pe
ro q
ue l
as c
lase
s pr
opia
s no
pue
den
ser
elem
ento
s de
nin
guna
otr
a es
truc
tura
. El
con
junt
o de
los
con
junt
os q
ue n
o so
n el
emen
tos
de s
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os,
no s
ería
, en
rea
lidad
, un
con
junt
o, s
ino
una
clas
e pr
opia
, y
la p
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nta
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usse
ll de
ja d
e te
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eva
dien
do d
e es
te m
odo
la t
emid
a co
ntra
dicc
ión.
Otr
a cu
rios
a al
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ativ
a qu
e im
ita
la d
icot
omía
ont
ológ
ica
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BG e
ntre
con
junt
os y
cla
ses
prop
ias
es l
a te
oría
de
dobl
e ex
tens
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desa
rrol
lada
rec
ient
emen
te p
or A
ndrz
ej K
isie
lew
icz.
En
esta
teo
ría
se p
erm
ite
una
dico
tom
ía e
n el
sig
nifi c
ado
de p
erte
nenc
ia,
adm
itie
ndo
dos
noci
ones
dis
tint
as d
e pe
rten
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a u
n co
njun
to,
y ad
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ndo
las
prop
ieda
des
defi n
itor
ias
de c
onju
ntos
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mbo
s ti
pos
de
pert
enen
cias
. Des
afor
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dam
ente
, ta
l te
oría
se
alej
a de
mas
iado
de
la ide
a pl
atón
ica
del un
iver
so
conj
unti
sta,
y s
e ha
ce d
emas
iado
dif
ícil
razo
nar
con
ella
. U
na s
oluc
ión
más
pin
tore
sca
es la
intr
odu-
cida
por
Isaa
c M
alit
z, la
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ría
posi
tiva
de
conj
unto
s. E
n el
la la
s pr
opie
dade
s de
fi nit
oria
s pe
rmit
idas
no
deb
en m
enci
onar
nin
gún
tipo
de
nega
ción
, si
no s
ólo
enun
ciad
os p
osit
ivos
. Así
, no
se
pued
e ha
blar
de
“co
njun
tos
que
no p
erte
nece
n a
sí m
ism
os”,
mie
ntra
s qu
e sí
est
á pe
rmit
ido
men
cion
ar “
conj
un-
tos
que
pert
enec
en a
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ism
os”.
Est
a úl
tim
a pr
opie
dad
no lle
va a
nin
guna
con
trad
icci
ón c
onoc
ida,
y
por
lo t
anto
la
para
doja
de
Russ
ell se
evi
ta u
na v
ez m
ás.
Vari
acio
nes
de e
stas
alt
erna
tiva
s ha
y en
ab
unda
ncia
, co
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dose
gen
eral
izac
ione
s de
tod
as la
s te
oría
s an
teri
ores
, ad
apta
das
a gu
sto
de c
ada
uno.
Hay
incl
uso
una
teor
ía d
e co
njun
tos
“de
bols
illo”
, en
la q
ue t
odos
los
conj
unto
s in
fi nit
os s
on d
el
mis
mo
tam
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lo q
ue r
ecor
ta a
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iam
ente
el u
nive
rso
conj
unti
sta
de Z
erm
elo,
en
el q
ue jer
arqu
ías
de in
fi nit
os c
ada
vez
más
gra
ndes
se
exte
ndía
n si
n fi n
al.
Toda
s es
tas
teor
ías
axio
mát
icas
tie
nen
sus
vent
ajas
y d
esve
ntaj
as y
no
hay
ning
una
que
sea
cla-
ram
ente
mej
or q
ue o
tra.
Sin
em
barg
o, la
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ría
de Z
erm
elo
ha c
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do n
otor
ieda
d de
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s de
la
vari
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n pr
opue
sta
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Frae
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y lu
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de q
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rega
ra e
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ión
com
o ap
éndi
-ce
, co
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eorí
a de
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mel
o-Fr
aenk
el c
on e
l ax
iom
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ele
cció
n (Z
FC).
Su
uso
es t
an
frec
uent
e qu
e se
ha
torn
ado
la t
eorí
a pr
efer
ida
de l
os m
atem
átic
os,
quie
nes,
muc
has
vece
s si
n sa
berl
o, h
acen
uso
de
sus
axio
mas
y r
egla
s. E
l gra
n le
gado
de
la p
arad
oja
de R
usse
ll e
s es
ta b
ella
te
oría
, qu
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ría
sido
con
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rada
de
no h
aber
se q
ueri
do r
esol
ver
aque
lla
cont
radi
cció
n.
Con
cad
a ca
ída,
las
fro
nter
as d
el s
aber
se
expa
nden
. C
on c
ada
nuev
a pa
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ja a
pren
dem
os a
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más
. Po
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ora,
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equi
libr
io d
el e
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enos
has
ta q
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adoj
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sac
uda
nuev
amen
te y
obl
igue
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oner
en
mar
cha
una
vez
más
la im
agin
ació
n de
lo
s m
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átic
os.
Será
su
tare
a, ll
egad
o el
cas
o, d
esar
rollar
las
corr
espo
ndie
ntes
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pues
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para
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itar
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las
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mpa
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ad.
La
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oja
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ro,
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a
vers
ión
d
e la
pa
rad
oja
de
Russ
ell
Ber
tra
nd
Russ
ell
30 Q.e.d.
31 Q.e.d.
Se d
ice
a ve
ces
que
la f
ísic
a, c
omo
cien
cia
natu
ral,
nec
esit
a de
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univ
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pa
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u ex
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ncia
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cam
bio
para
la m
atem
átic
a, u
na c
ienc
ia f
orm
al,
alca
nza
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