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Métodos matemáticos
para economía
Fuente: Michael W. Klein’s (2010) Mathematical Methods for
economics, Segunda Edición, Editorial Pearson.
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Nociones generales
1. Gráficas y ecuaciones
2. Representación y solución de sistema de
ecuaciones
3. Variación porcentual
4. Relaciones no lineales y elasticidades
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Representación en 2-dimensiones
1. Representación de la asociación de pares
de variables usando el plano cartesiano
2. Representación de funciones bivariadas (2-
variables)
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El plano cartesiano
y
x
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(1,1)
(2,6)
(5,5)
(7,2)
Puntos (pares ordenados) en el plano
cartesiano
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Ecuación para una función lineal
y = mx + b
Variable dependiente Variable independiente
pendiente Intersección
Ejemplos: Pendiente Intersección
y = x 1 0
y = 3 + 0.25 x 0.25 3
y = 6 – 2 x - 2 6
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“recorrido” ( = 2)
“incremento” ( = 1)
pendiente = incremento / recorrido (en este caso = 1/2)
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8 y
x
Representación de la función y = x
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Representación de la función: y = 2x
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y
x
Representación de la función y = 3+0.25x
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Representación de la función y = 6 - 2x
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Representación de la función x = 4
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Cambios en la intersección del valor de b
y = 8 – 2x
y = 6 – 2x
y = 4 – 2x
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Resolver el sistema de ecuaciones
y = 6 - 2x
y = 3 + x
1. Resolver para y
6 - 2x = 3 + x
2. Aislar x
3 = 3x por lo tanto x = 1
3. Resolver para y en la siguiente ecuación:
y = 6-2 = 3+1 = 4
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Solución de un sistema de ecuaciones
y = 6 - 2x ; y = 3 + x
Solución: (1,4)
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Equilibrios con distintas intersecciones: “Desplazamientos
en la demanda”
P = 8 – 2Q
P = 4 – 2Q
P = 6 – 2Q
8-2Q = 3+Q
P = 3 + Q
Q = 5/3
P = 14/3
6-2Q = 3+Q
4-2Q = 3+Q
Q = 1
P = 4
Q = 1/3
P = 10/3
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Equilibrios con distintas intersecciones: “Desplazamientos en la
oferta”
P = 6 – 2Q
6 – 2Q = 5+Q
P = 3 + Q
Q = 1/3
P = 16/3
6 – 2Q = 3+Q
6 – 2Q = Q
Q = 1
P = 4
Q = 2
P = 2
P = 5 + Q
P = Q
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Niveles, variación y variaciones porcentuales
Nivel Variación Variación porcentual
xt ∆ xt = xt – xt-1 % ∆ xt = 100[(xt – xt-1) / xt-1]
100
120 20 20%
140 20 16.67%
Fórmula para la variación porcentual
% ∆ xt = 100[(xt – xt-1) / xt-1]
= 100[(xt / xt-1) - 1]
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Algunas reglas generales
Para z = xy, con pequeñas variaciones porcentuales
% ∆z ≅ % ∆x + % ∆ y
Para z = y/x, con pequeñas variaciones porcentuales
% ∆z ≅ % ∆y - % ∆x
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Ejemplos
xt = 10 xt+1 = 11 % xt = 10%
yt = 20 yt+1 = 24 % yt = 20%
z = xy zt = 200 zt+1 = 264
% zt = 100([264/200]-1) = 32 %
z = y/x zt = 2 zt+1 = 2.18182
% zt = 100([2.18182 /2]-1) = 9.091 %
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Relaciones no lineales •Las funciones no lineales no tienen tasas de
cambio constantes. Por lo tanto, sus gráficas no
son líneas rectas.
y = 2x + 3 => y = 2 x, pero no %y = 2%
x
•Una función que relaciona %y a una
constante % x toma la forma de
y = bxa
Donde a y b son parámetros constantes
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Reglas de los exponentes
• x0 = 1
• x1 = x
• x-1 = 1 / x
• (xa ) b = (xb ) a = xab
• xa x b = xa+b
• xa / x b = xa – b
• xa y a = (xy)a
• xa / y a = (x/y)a
• x1/a = ax
• 20 = 1
• 21 = 2
• 2-1 = 1 / 2
• (21 ) 3 = (23 ) 1 = 8
• 22 23 = 25 = 32
• 23 / 22 = 21 = 2
• 22 32 = 62 = 36
• 42 / 22 = (4/2)2 = 4
• 9 1/2 = 9 = 3
Regla Ejemplo
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Representación gráfica de y = 8 / x
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Una recta tangente a una hipérbola muestra la pendiente en un
punto
Recta tangente en x = 1.5
pendiente = - 3.56
Recta tangente en x = 5.5
pendiente= - 0.26
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Elasticidades
Una elasticidad relaciona la variación porcentual
de una variable con la variación porcentual en
otra variable;
Elasticidad entre x y y
= %y / % x
= (y / y) / ( x / x )
= (y / x) (x / y )
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Elasticidades constantes con una hipérbola
y/y / x/x = (y/x)(x/y) = pendiente (x/y)
= -3.56 (1.5/5.33) = - 1
y/y / x/x = (y/x)(x/y) = pendiente (x/y)
= -0.26 (5.33/1.5) = - 1
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1. En un plano cartesiano representa los siguientes puntos: (0,5),
(4,2), (6,1), (3,3)
2. Grafica las siguientes ecuaciones lineales
1. y = 2x + 3
2. y = 21 – 4x
3. Resuelve el sistema de dos ecuaciones dadas por las
ecuaciones en el planteamiento (2) arriba expuestas. También
resuelve el sistema para el caso de la ecuación 2.1 cambiando
a y = 15 – 4x y muestra como este cambio en la ecuación 2.1
se representa en la gráfica.
4. Grafica la ecuación y = x0.5. Calcula la variación porcentual
en la variable dependiente entre los puntos donde x=4 y
x=4.41. Determina la elasticidad entre estos dos puntos.
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5. Analiza la pendiente y la ordenada, paso seguido realiza la
gráfica correspondiente:
A. f(x) = x
B. y = 3x + 3
C. x = 1000
D. f(x) = 4x + 5
E. p = 3x + 6
F. p = 8 – 3x
G. p = 12 – 2x
H. p = 8 – .50x
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Bibliografía
Michael W. Klein’s (2010), Mathematical Methods for economics,
Segunda Edición, Editorial Pearson.
El siguiente sitio se los recomiendo para aprender nociones
generales de Matemáticas. La página se llama Descartes y es
administrada por el Ministerio de Educación, Cultura y Deporte
del Gobierno de España.
Fuente electrónica:
http://recursostic.educacion.es/descartes/web/index.html