Modelos de probabilidad en R

ContentsProbabilidades Discretas 1

Ejemplo: suma de la cara de dos dados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1Distribución Binomial: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3Distribución Poisson: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

Probabilidades Continuas 11Ejemplo: una varible distribuida normalmente (estándar) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11Cambiando los parámetros de una curva normal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14Distribucion T Student . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16Distribucion Log Normal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18Chi Cuadrado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21Distribución Beta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22Ejemplo: a una variable específica, ajustar la curva normal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27Estimar los parametros: normal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29Estimar los parametros: t student . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31Comparamos el ajuste normal y t student . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

En este tutorial vamos a R para reforzar los conceptos de probabilidad vistos en clase y darles un mayorsentido y aplicabilidad.

Se abordarán los principales modelos de probabilidad discreta y continua. Más adelante se verá su utilidaden finanzas.

Probabilidades Discretas

Ejemplo: suma de la cara de dos dados

Gráfico de la Función de Masa (o densidad) y la Función de Distribución

#Sabemos que la suma de dos dados se encuentra entre 2 y 12x

2 4 6 8 10 12

0.00

0.05

0.10

0.15

0.20

xi

p i

#Graficamos la función de distribución F(x)plot.ecdf(outer(1:6,1:6,"+"),ylab=expression(F[X](x)),main="")

2

2 4 6 8 10 12

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

x

FX(x

)

Distribución Binomial:

Suponga que un gerente de crédito de American Express ha descubierto que históricamente7.82% (p) de los usurios de tarjetas han experimentado problemas con el róbo o pérdida desu tarjeta. Por lo cual para efectos de preveer la cantidad de reposiciones en el próximo añodesea saber la probabilidad de que:

De una sucursal que atiende 1,000 personas, exactamente 68 personas necesiten reponer sutarjeta#Identifico los parámetrosx

p

#Primer forma es con una función creada por nosotros mismos

#Defino los parámetrosp

#Ahora puedo reducir el eje x en el gráfico para amplificar el área donde ocurren los casosg.bin

0 8 18 30 42 54 66 78 90 103 118 133 148 163 178

bin. dist. :1000:0.0782

Personas que reponen tarjeta

Den

sida

d

0.00

0.01

0.02

0.03

0.04

#Un décimo del largo del ejep

0 4 8 13 19 25 31 37 43 49 55 61 67 73 79 85 91

bin. dist. :1000:0.0782

Personas que reponen tarjeta

Den

sida

d

0.00

0.01

0.02

0.03

0.04

Distribución Poisson:

Suponga que en el mercado cambiario se espera que sucedan en promedio 25 calces o transac-ciones cada hora. Si se asume que las transacciones siguen una distribución de Poisson. En-tonces encuentre la probabilidad de que:

En una hora específica, sucedan exactamente 19 transacciones#Identifico los parámetrosx

## [1] 0.1366911ppois(x,lambda=h,lower=FALSE)

## [1] 0.1366911

En una hora específica, sucedan menos de 10 transacciones#Identifico los parámetrosx

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 11 13 15 17 19

poi. dist. :20:25

Calces en el mercado

Den

sida

d

0.00

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

#Ampliamos la cantidad de calces de interésx

0 4 8 13 19 25 31 37 43 49 55 61 67 73

poi. dist. :75:25

Calces en el mercado

Den

sida

d

0.00

0.02

0.04

0.06

Probabilidades Continuas

Ejemplo: una varible distribuida normalmente (estándar)

#Se fija la "semilla" para la generación de números aleatoriosset.seed(3000)

#Creamos un vector de los valores para el eje xxseq

−4 −2 0 2 4

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

f(x) Normal Estándar

Den

sida

d

plot(xseq,cumul,col="darkorange",xlab="",ylab="Probabilidad Acumulada",type="l",lwd=2,cex=2,main="F(x) Normal Estándar", cex.axis=.8)

12

−4 −2 0 2 4

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

F(x) Normal Estándar

Pro

babi

lidad

Acu

mul

ada

hist(random,main="Números Aleatorios Normal Estándar",cex.axis=.8, xlim=c(-4,4))

13

Números Aleatorios Normal Estándar

random

Fre

quen

cy

−4 −2 0 2 4

050

100

150

200

Cambiando los parámetros de una curva normal

#Creamos un vector de los valores para el eje xx1

−10 0 10 20

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

f(x) Normal Estándar

Den

sida

d

N~(5,1)N~(5,2)N~(5,4)N~(5,8)

#Creamos un vector de los valores para el eje y de la densidad acumuladacum1

−10 0 10 20

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

F(x) Normal Estándar

Pro

babi

lidad

Acu

mul

ada

Distribucion T Student

#Vamos a observar cual es la forma de la distribucion#con 1 grado de libertadx

−3 −2 −1 0 1 2 3

0.05

0.15

0.25

x

Den

sity

#Generamos varias T Student con distintos grados de libertadplot(x,dt(x,1),type="n",ylab="Density",ylim=c(0,0.4))for (i in 0:6){

lines(x,dt(x,df=2^i),col=i+2)legend("topright",legend=2^(0:6),col=2:8,lty=1,bty="n")

}

17

−3 −2 −1 0 1 2 3

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

x

Den

sity

1248163264

1248163264

1248163264

1248163264

1248163264

1248163264

1248163264

Distribucion Log Normal

#Vamos a observar cual es la forma de la distribucion log normalx

−1 0 1 2 3 4 5

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

x

Den

sity

#Generamos valores aleatorio log normalx

Histogram of x

x

Den

sity

0 20 40 60 80 100 120

0.00

0.02

0.04

0.06

0.08

0.10

#Entonces si sacamos el logaritmo, se debe parece a una normaly

Histogram of y

y

Den

sity

−1 0 1 2 3 4 5

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

Chi Cuadrado

#Vamos a observar cual es la forma de la distribucion#con 1 grado de libertadx

0 10 20 30 40 50

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

x

Den

sity

1248163264

1248163264

1248163264

1248163264

1248163264

1248163264

Distribución Beta

#Vamos a observar cual es la forma de la distribucion#Parámetros alpha y beta

#con parámetros (1,1) grado de libertadx

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.6

0.8

1.0

1.2

1.4

x

Den

sity

#con parámetros (1,2) grado de libertadx

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

x

Den

sity

#con parámetros (2,1) grado de libertadx

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

x

Den

sity

#con parámetros (2,2) grado de libertadx

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.0

0.5

1.0

1.5

x

Den

sity

#Generamos varias beta con distintos parámetros#Se definen vectores con los valores de parámetrso de la distribución y del gráficoa.seq

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

3.0

x

Den

sity

α, β1 12 23 34 45 56 60.8 0.80.4 0.40.2 0.21 40.5 42 4

α, β1 12 23 34 45 56 60.8 0.80.4 0.40.2 0.21 40.5 42 4

α, β1 12 23 34 45 56 60.8 0.80.4 0.40.2 0.21 40.5 42 4

α, β1 12 23 34 45 56 60.8 0.80.4 0.40.2 0.21 40.5 42 4

α, β1 12 23 34 45 56 60.8 0.80.4 0.40.2 0.21 40.5 42 4

α, β1 12 23 34 45 56 60.8 0.80.4 0.40.2 0.21 40.5 42 4

α, β1 12 23 34 45 56 60.8 0.80.4 0.40.2 0.21 40.5 42 4

α, β1 12 23 34 45 56 60.8 0.80.4 0.40.2 0.21 40.5 42 4

α, β1 12 23 34 45 56 60.8 0.80.4 0.40.2 0.21 40.5 42 4

α, β1 12 23 34 45 56 60.8 0.80.4 0.40.2 0.21 40.5 42 4

α, β1 12 23 34 45 56 60.8 0.80.4 0.40.2 0.21 40.5 42 4

Ejemplo: a una variable específica, ajustar la curva normal

#Cargamos paqueteslibrary(timeSeries)

## Loading required package: timeDate#Cargamos una base de datos nuevarm(list=ls())setwd("G:/UCR TR-ESTADISTICA/Curso 21-07-17/Clase 1")data

head(ret.datos)

## GMT## Bond.US r1 US.Stock r2 Latin.Stock r3## 2000-01-10 0.0404 59.4599 0.4299 -171.4632 3.8029 -4.8987## 2000-01-14 0.0139 -33.6780 1.2061 149.8206 2.6466 -48.1271## 2000-01-26 0.0160 65.0849 0.0281 -194.8651 1.0297 373.6607## 2000-03-01 0.0228 -8.6902 0.0949 -224.0976 2.8484 226.9099## 2000-03-02 0.0166 -31.8563 0.2659 103.0694 3.5632 22.7523## 2000-03-03 0.0138 -18.2804 1.9704 201.1519 1.8614 -65.7876#Hacemos el histograma y sobreponemos la curvax

#Usar QQ plot#Famoso grafico QQ-Plotqqnorm(ret.datos$r3)qqline(ret.datos$r3, col=2)

−3 −2 −1 0 1 2 3

−40

00

200

400

Normal Q−Q Plot

Theoretical Quantiles

Sam

ple

Qua

ntile

s

Estimar los parametros: normal

#Instalo el paquete#install.packages("fitdistrplus")library(fitdistrplus)

## Warning: package 'fitdistrplus' was built under R version 3.4.1

## Loading required package: MASS

## Loading required package: survival#Comando para la estimacionf1

names(f1)

## [1] "estimate" "method" "sd" "cor" "vcov"## [6] "loglik" "aic" "bic" "n" "data"## [11] "distname" "fix.arg" "fix.arg.fun" "dots" "convergence"## [16] "discrete" "weights"plot(f1)

Empirical and theoretical dens.

Data

Den

sity

−600 −200 0 200 400

0.00

000.

0025

−400 −200 0 200 400

−40

020

0

Q−Q plot

Theoretical quantilesE

mpi

rical

qua

ntile

s

−600 −200 0 200 400

0.0

0.6

Empirical and theoretical CDFs

Data

CD

F

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.0

0.6

P−P plot

Theoretical probabilities

Em

piric

al p

roba

bilit

ies

#No hay mucha diferencia con las estimaciones de la media y desviacion que calculamos anteshist(ret.datos$r3,prob=TRUE,ylim=c(0,0.004),breaks=20)curve(dnorm(x,mean(ret.datos$r3),sd(ret.datos$r3)),

add=TRUE,col="darkblue",lwd=2)curve(dnorm(x,f1$estimate[1],f1$estimate[2]),

add=TRUE,col="red",lwd=2)

30

Histogram of ret.datos$r3

ret.datos$r3

Den

sity

−400 −200 0 200 400

0.00

00.

001

0.00

20.

003

0.00

4

Estimar los parametros: t student

#Instalar paquete#install.packages("metRology")library(metRology)

## Warning: package 'metRology' was built under R version 3.4.1

#### Attaching package: 'metRology'

## The following objects are masked from 'package:base':#### cbind, rbind#Comando para la estimacionx

## Warning in dt((x - m)/s, df, log = TRUE): NaNs producedf2

## m s df## 2.548267 104.322667 4.522365## ( 6.020630) ( 6.929205) ( 1.135969)names(f2)

## [1] "estimate" "sd" "vcov" "loglik" "n"#Sobreponemos la curva thist(ret.datos$r3,prob=TRUE,ylim=c(0,0.004),breaks=20)curve(dt.scaled(x,df=f2$estimate[3],mean=f2$estimate[1],sd=f2$estimate[2]),

add=TRUE,col="darkblue",lwd=2)

Histogram of ret.datos$r3

ret.datos$r3

Den

sity

−400 −200 0 200 400

0.00

00.

001

0.00

20.

003

0.00

4

Comparamos el ajuste normal y t student

#Sobreponemos la curva t y la normalhist(ret.datos$r3,prob=TRUE,ylim=c(0,0.004),breaks=20)curve(dt.scaled(x,df=f2$estimate[3],mean=f2$estimate[1],sd=f2$estimate[2]),

add=TRUE,col="darkblue",lwd=2)curve(dnorm(x,f1$estimate[1],f1$estimate[2]),add=TRUE,col="red",lwd=2)

32

Histogram of ret.datos$r3

ret.datos$r3

Den

sity

−400 −200 0 200 400

0.00

00.

001

0.00

20.

003

0.00

4

33

Probabilidades DiscretasEjemplo: suma de la cara de dos dadosDistribución Binomial:Distribución Poisson:

Probabilidades ContinuasEjemplo: una varible distribuida normalmente (estándar)Cambiando los parámetros de una curva normalDistribucion T StudentDistribucion Log NormalChi CuadradoDistribución BetaEjemplo: a una variable específica, ajustar la curva normalEstimar los parametros: normalEstimar los parametros: t studentComparamos el ajuste normal y t student