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Matrices y vectoresConceptos básicos de derivación
Curso de nivelacioón Estadiística y MatemaáticaMatricesDerivadas
Universidad de Costa RicaPrograma Técnico en Riesgo
6 de Mayo 2017
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Matrices y vectoresConceptos básicos de derivación
Definiciones básicasOperaciones básicas con matricesPropiedadesCadenas de Markov
1 Matrices y vectoresDefiniciones básicasOperaciones básicas con matrices
Suma y restaProductoInversa
PropiedadesCadenas de Markov
2 Conceptos básicos de derivaciónRepaso de derivadasPendiente de una curvaReglas básicas de derivación
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Matrices y vectoresConceptos básicos de derivación
Definiciones básicasOperaciones básicas con matricesPropiedadesCadenas de Markov
¿Qué es una matriz?
DefiniciónSe define como un arreglo rectangular de números, parámetroso variables. Los números miembros del arreglo, son conocidoscomo elementos de la matriz. En vista que la ubicación decada elemento de la matriz se fija sin ambiegüedad mediante elsubíndice, toda matriz es un conjunto ordenado.
Ejemplo
A =
a11 · · · a1n
a21 · · · a2n... . . . ...
am1 · · · amn
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Matrices y vectoresConceptos básicos de derivación
Definiciones básicasOperaciones básicas con matricesPropiedadesCadenas de Markov
¿Qué es la dimensión de una matriz?
DefiniciónEs el número de filas (m) y el número de columnas (n) con quecuenta una matriz específica.
Dimensión de m ×n
A =
a11 · · · a1n
a21 · · · a2n... . . . ...
am1 · · · amn
(m×n)
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Matrices y vectoresConceptos básicos de derivación
Definiciones básicasOperaciones básicas con matricesPropiedadesCadenas de Markov
¿Qué es un vector?
DefiniciónEs una matriz de una sóla fila o de una columna.
Vector columna
B =
1234
(4×1)
Vector fila
C = [5 6 7 8
](1×4)
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Matrices y vectoresConceptos básicos de derivación
Definiciones básicasOperaciones básicas con matricesPropiedadesCadenas de Markov
¿Qué es una matriz cuadrada?
DefiniciónMatriz que tiene la misma cantidad de filas que de columnas(caso particular si la matriz es de dimensión 1, lo cual llamamosescalar).
Matriz cuadrada
D = 0 2 0
3 0 42 3 0
(3×3)
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Definiciones básicasOperaciones básicas con matricesPropiedadesCadenas de Markov
¿Qué es una matriz identidad?
DefiniciónMatriz cuadrada con unos en la diagonal principal y ceros encualquier otra parte.
Matriz Identidad
I3 = 1 0 0
0 1 00 0 1
(3×3)
I2 =[
1 00 1
](2×2)
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Matrices y vectoresConceptos básicos de derivación
Definiciones básicasOperaciones básicas con matricesPropiedadesCadenas de Markov
¿Qué es la transpuesta de una matriz?
DefiniciónCuando se intercambian las filas por las columnas de una matrizy se denota como AT (A′).
Matriz transpuesta
E =[
3 8 −91 0 4
](2×3)
ET = 3 1
8 0−9 4
(3×2)
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Matrices y vectoresConceptos básicos de derivación
Definiciones básicasOperaciones básicas con matricesPropiedadesCadenas de Markov
¿Qué es una matriz simétrica?
DefiniciónEs aquella matriz que cumple que A = AT.
Matriz simétrica
F = 1 2 3
2 9 73 7 3
(3×3)
FT = 1 2 3
2 9 73 7 3
(3×3)
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Matrices y vectoresConceptos básicos de derivación
Definiciones básicasOperaciones básicas con matricesPropiedadesCadenas de Markov
¿Qué es un determinante de una matriz dedimensión 2?
DefiniciónReducción escalar de una matriz cuadrada. Si una fila es múlti-plo de otra fila (o columna),el valor del determinante será cero.
|G| =∣∣∣∣ g11 g12
g21 g22
∣∣∣∣(2×2)
= g11 ∗ g22 − g21 ∗ g12
Ejemplo
|G| =∣∣∣∣ 10 4
8 5
∣∣∣∣(2×2)
= 10∗5−8∗4 = 18
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Matrices y vectoresConceptos básicos de derivación
Definiciones básicasOperaciones básicas con matricesPropiedadesCadenas de Markov
1 Matrices y vectoresDefiniciones básicasOperaciones básicas con matrices
Suma y restaProductoInversa
PropiedadesCadenas de Markov
2 Conceptos básicos de derivaciónRepaso de derivadasPendiente de una curvaReglas básicas de derivación
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Matrices y vectoresConceptos básicos de derivación
Definiciones básicasOperaciones básicas con matricesPropiedadesCadenas de Markov
¿Cómo se suma y restan las matrices?
Conformabilidad para la sumaLas matrices deben tener la misma dimensión.
ProcesoSe define como la suma de los elementos correspondientes.
A±B = C[ai j
]± [bi j
] = [ci j
]∀ i = 1, ...,m , j = 1, ...,n
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Definiciones básicasOperaciones básicas con matricesPropiedadesCadenas de Markov
¿Cómo se suma y restan las matrices?
Ejemplo
a11
a21
a12
a22
b11
b21
b12
b22
c11
c21
c12
c22
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Matrices y vectoresConceptos básicos de derivación
Definiciones básicasOperaciones básicas con matricesPropiedadesCadenas de Markov
¿Cómo se suma y restan las matrices?
Ejemplo
a21
a12
a22 b21
b12
b22 c21
c12
c22
a11 b11 c11
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Matrices y vectoresConceptos básicos de derivación
Definiciones básicasOperaciones básicas con matricesPropiedadesCadenas de Markov
¿Cómo se suma y restan las matrices?
Ejemplo
a11 a12
a22
b11 b12
b22
c11 c12
c22a21 b21 c21
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Matrices y vectoresConceptos básicos de derivación
Definiciones básicasOperaciones básicas con matricesPropiedadesCadenas de Markov
¿Cómo se suma y restan las matrices?
Ejemplo
a11
a21 a22
b11
b21 b22
c11
c21 c22
a12 b12 c12
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Matrices y vectoresConceptos básicos de derivación
Definiciones básicasOperaciones básicas con matricesPropiedadesCadenas de Markov
¿Cómo se suma y restan las matrices?
Ejemplo
a11
a21
a12 b11
b21
b12 c11
c21
c12
a22 b22 c22
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Matrices y vectoresConceptos básicos de derivación
Definiciones básicasOperaciones básicas con matricesPropiedadesCadenas de Markov
¿Cómo se suma y restan las matrices?
Ejemplos
[4 92 1
](2×2)
+[
2 00 7
](2×2)
=[
4+2 9+02+0 1+7
](2×2)
=[
6 92 8
](2×2)
[1 2 30 1 4
](2×3)
−[
2 3 0−1 2 5
](2×3)
=[ −1 −1 3
1 −1 −1
](2×3)
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Definiciones básicasOperaciones básicas con matricesPropiedadesCadenas de Markov
¿Cómo se multiplica una matriz por un escalar?
ProcesoSe define como la multiplicación de cada elemento de la matrizpor el escalar.
k ∗A = [k ∗ai j ]
∀ i = 1, ...,m , j = 1, ...,n
Ejemplo
7
[3 −10 5
]=
[7∗3 7∗−17∗0 7∗ 5
]=
[21 −7
0 35
]
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Definiciones básicasOperaciones básicas con matricesPropiedadesCadenas de Markov
¿Cómo se multiplican matrices?
Conformabilidad para la multiplicaciónEl número correspondiente a las columnas de la primera ma-triz (vector) debe ser igual al correspondiente a las filas de lasegunda matriz (vector).
ProcesoSe debe obtener la suma de productos, que se calculan de loselementos i-ésimo fila de la primera matriz y los j-ésima columnade la matriz segunda.
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Definiciones básicasOperaciones básicas con matricesPropiedadesCadenas de Markov
¿Cómo se multiplican matrices?
Ejemplo
a11
a21
a12
a22
b11
b21
b12
b22
b13
b23
c11
c21
c12
c22
c13
c23
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Matrices y vectoresConceptos básicos de derivación
Definiciones básicasOperaciones básicas con matricesPropiedadesCadenas de Markov
¿Cómo se multiplican matrices?
Ejemplo
a21 a22
b12
b22
b13
b23 c21
c12
c22
c13
c23
a11 a12 b11
b21
c11
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Matrices y vectoresConceptos básicos de derivación
Definiciones básicasOperaciones básicas con matricesPropiedadesCadenas de Markov
¿Cómo se multiplican matrices?
Ejemplo
a11 a12 b12
b22
b13
b23
c11 c12
c22
c13
c23a21 a22
b11
b21 c21
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Matrices y vectoresConceptos básicos de derivación
Definiciones básicasOperaciones básicas con matricesPropiedadesCadenas de Markov
¿Cómo se multiplican matrices?
Ejemplo
a21 a22
b11
b21
b13
b23
c11
c21 c22
c13
c23
a11 a12 b12
b22
c12
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Matrices y vectoresConceptos básicos de derivación
Definiciones básicasOperaciones básicas con matricesPropiedadesCadenas de Markov
¿Cómo se multiplican matrices?
Ejemplo
a11 a12 b11
b21
b13
b23
c11 c12
c21
c13
c23a21 a22
b12
b22 c22
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Matrices y vectoresConceptos básicos de derivación
Definiciones básicasOperaciones básicas con matricesPropiedadesCadenas de Markov
¿Cómo se multiplican matrices?
Ejemplo
a21 a22
b11
b21
b12
b22
c11
c21 c22
c12
c23
a11 a12 b13
b23
c13
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Matrices y vectoresConceptos básicos de derivación
Definiciones básicasOperaciones básicas con matricesPropiedadesCadenas de Markov
¿Cómo se multiplican matrices?
Ejemplo
a11 a12 b11
b21
b12
b22
c11 c12
c21
c13
c22a21 a22
b13
b23 c23
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Matrices y vectoresConceptos básicos de derivación
Definiciones básicasOperaciones básicas con matricesPropiedadesCadenas de Markov
¿Cómo se multiplican matrices?
Ejemplos[1 2 14 0 2
](2×3)
3 −41 5
−2 2
(3×2)
=[
3 88 −12
](2×2) 1 9 2
2 3 58 4 1
(3×3)
5 84 76 5
(3×2)
= 53 81
52 6262 97
(3×2)
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Definiciones básicasOperaciones básicas con matricesPropiedadesCadenas de Markov
¿Cómo se obtiene la inversa de una matriz?
Condición de no singularidadSi el determinante es diferente de 0 se dice que la matriz esuna matriz no singular (tiene inversa) pero si el determinantees igual a 0 se dice que la matriz es singular (no tieneinversa).
Definición
A−1 = 1|A|Adj(A)
Donde:A−1A = I
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Definiciones básicasOperaciones básicas con matricesPropiedadesCadenas de Markov
¿Cómo se obtiene la inversa de una matriz?
Ejemplo Inversa
H−1 = 1
|H|Adj(H) =−1
8
−2 3 92 −7 −13
−4 14 34
(3×3)
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Definiciones básicasOperaciones básicas con matricesPropiedadesCadenas de Markov
1 Matrices y vectoresDefiniciones básicasOperaciones básicas con matrices
Suma y restaProductoInversa
PropiedadesCadenas de Markov
2 Conceptos básicos de derivaciónRepaso de derivadasPendiente de una curvaReglas básicas de derivación
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Definiciones básicasOperaciones básicas con matricesPropiedadesCadenas de Markov
Algunas leyes importantes de matrices
Propiedades
A+B = B+A
AB = BA
A+ (B+C) = (A+B)+C
(AB)C = A(BC)
A(B+C) = AB+AC
k ∗ (A+B) = k ∗A+k ∗B = (A+B)∗k
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Definiciones básicasOperaciones básicas con matricesPropiedadesCadenas de Markov
1 Matrices y vectoresDefiniciones básicasOperaciones básicas con matrices
Suma y restaProductoInversa
PropiedadesCadenas de Markov
2 Conceptos básicos de derivaciónRepaso de derivadasPendiente de una curvaReglas básicas de derivación
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Matrices y vectoresConceptos básicos de derivación
Definiciones básicasOperaciones básicas con matricesPropiedadesCadenas de Markov
¿Qué es una Cadena de Markov?Se emplean para medir o estimar movimientos en el tiempo. Re-quiere el uso de una Matriz de transición de Markov (o “Marko-viano”), donde cada valor en la matriz es una probabilidad depasar de un estado (ubicación, trabajo, etc.) a otro estado.También hay un vector que contiene la distribución inicial enlos distintos estados.
Ejemplo
x ′0 =
[A0 B0
]M =
[PAA PAB
PBA PBB
]
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Matrices y vectoresConceptos básicos de derivación
Definiciones básicasOperaciones básicas con matricesPropiedadesCadenas de Markov
Ejemplo
x ′t M = x ′
t+1
x ′t+1M = x ′
t+2
x ′t MM = x ′
t+2
x ′t M2 = x ′
t+2
:
x ′t Mn = x ′
t+n
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Repaso de derivadasPendiente de una curvaReglas básicas de derivación
1 Matrices y vectoresDefiniciones básicasOperaciones básicas con matrices
Suma y restaProductoInversa
PropiedadesCadenas de Markov
2 Conceptos básicos de derivaciónRepaso de derivadasPendiente de una curvaReglas básicas de derivación
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Matrices y vectoresConceptos básicos de derivación
Repaso de derivadasPendiente de una curvaReglas básicas de derivación
¿Qué es una derivada?
DefiniciónEs una función que mide como cambia la variable y ante cam-bios infinidesimales en x. Famosa por su representación ge-ométrica (la pendiente de una curva). Es el resultado del sigu-iente cociente de diferencias:
f ′(x) = d y
d x= lim∆x→0
∆y
∆x= lim∆x→0
f (x0 +∆x)− f (x0)
∆x
Ejemplo
y = 3x2 −4
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Matrices y vectoresConceptos básicos de derivación
Repaso de derivadasPendiente de una curvaReglas básicas de derivación
1 Matrices y vectoresDefiniciones básicasOperaciones básicas con matrices
Suma y restaProductoInversa
PropiedadesCadenas de Markov
2 Conceptos básicos de derivaciónRepaso de derivadasPendiente de una curvaReglas básicas de derivación
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Matrices y vectoresConceptos básicos de derivación
Repaso de derivadasPendiente de una curvaReglas básicas de derivación
Pendiente de una curva
Figura 1: Pendiente de una curva 39 / 51
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Repaso de derivadasPendiente de una curvaReglas básicas de derivación
Pendiente de una curva
Figura 2: Pendiente de una curva 40 / 51
Matrices y vectoresConceptos básicos de derivación
Repaso de derivadasPendiente de una curvaReglas básicas de derivación
Pendiente de una curva
Figura 3: Pendiente de una curva 41 / 51
Matrices y vectoresConceptos básicos de derivación
Repaso de derivadasPendiente de una curvaReglas básicas de derivación
1 Matrices y vectoresDefiniciones básicasOperaciones básicas con matrices
Suma y restaProductoInversa
PropiedadesCadenas de Markov
2 Conceptos básicos de derivaciónRepaso de derivadasPendiente de una curvaReglas básicas de derivación
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Repaso de derivadasPendiente de una curvaReglas básicas de derivación
Reglas básicas de derivación
Derivada de una constante
y = kd y
d x= 0
Ejemplos
y = 3
y = b
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Repaso de derivadasPendiente de una curvaReglas básicas de derivación
Reglas básicas de derivación
Derivada de una potencia
y = axn
d y
d x= anxn−1
Ejemplos
y = −3x−4
y = x34
y = 3px
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Repaso de derivadasPendiente de una curvaReglas básicas de derivación
Reglas básicas de derivación
Derivada de una suma o una resta
y = f (x)± g (x)d y
d x= f ′(x)± g ′(x)
Ejemplos
y = 5x3 +9x2 +5
y = 2x−4 +13x2 −x−2
y = ax2 +bx + c
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Repaso de derivadasPendiente de una curvaReglas básicas de derivación
Reglas básicas de derivación
Derivada de un producto
y = f (x)g (x)d y
d x= f ′(x)g (x)+ f (x)g ′(x)
Ejemplos
y = (2x +3)(3x2)
y = (x2 +x)(3x +7)
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Repaso de derivadasPendiente de una curvaReglas básicas de derivación
Reglas básicas de derivación
Derivada de un cociente
y = f (x)
g (x)
d y
d x= f ′(x)g (x)− f (x)g ′(x)[
g (x)]2
Ejemplos
y = ax2 +b
cx +d
y = (x2 −2)(3x +1)
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Repaso de derivadasPendiente de una curvaReglas básicas de derivación
Reglas básicas de derivación
Regla de la cadenaSi tenemos una función diferenciable z = f (y), donde y es asu vez una función diferenciable de otra variable x, y = g (x),entonces la derivada de z respecto a x es igual a la derivada dez repecto y , por la derivada de y respecto a x.
y = f (g (x))d y
d x= d y
d z× d z
d x
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Repaso de derivadasPendiente de una curvaReglas básicas de derivación
Reglas básicas de derivación
Regla de la cadena
y = (x2 +3x −2)17
y = (7x3 −5)9
y = (ax +b)5
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Repaso de derivadasPendiente de una curvaReglas básicas de derivación
Reglas básicas de derivación
Derivadas particales
y = f (x1, x2, ..., xn)
Si mantienen constantes (n −1) variables invariantes mientrasse permite que cambie una variable.
Derivadas parciales
f (x1, x2) = 3x21 +x1x2 +4x2
2
∂y
∂x1= 6x1 +x2
∂y
∂x2= x1 +8x2
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Repaso de derivadasPendiente de una curvaReglas básicas de derivación
Bibliografía
Chiang, A. y Wainwright, K. (2006). Métodos fundamentales deEconomía Matemática. Cuarta edición McGraw-Hill Interamericana,México D.F., México
Sydsaeter,K., Hammond, P., Soto Prieto, M.J. y Vicente Córdoba,J.L.(1998)Matemáticas para el análisis económico. Prentice Hall,Madrid.
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