Pruebas de HipótesisMedidas de Asociación

Modelo de RegresiónModelo de series de tiempo

Curso de nivelación Estadística y MatemáticaSexta clase: Pruebas de hipótesis, Mínimos Cuadrados Ordinarios

y Modelos ARIMA

Juan Diego Chavarría Mejía

Programa Técnico en Riesgo, 2016

Juan Diego Chavarría Mejía Regresión

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Modelo de RegresiónModelo de series de tiempo

Agenda

1 Pruebas de Hipótesis2 Medidas de Asociación

AsociaciónMedidas de asociación para variables intervalo y razón

3 Modelo de RegresiónRegresión Lineal SimpleMínimos Cuadrados OrdinariosMedidas de Bondad de Ajuste

4 Modelo de series de tiempoComponentes de una serie de tiempoEstadísticos importantesEstacionariedadIdentificación del modelo

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Pasos para realizar una prueba de hipótesis

Prueba de hipotesisEnuncia la H0 y la H1, además del nivel de significancia (a).Seleccionar el estadístico de prueba apropiado y calcular elvalor del estadístico de prueba de los datos muestrales.Establecer la región crítica (cálcule los grados de libertad si esel caso).Tome la decisión.

Si el valor del estadístico de prueba cae en la región crítica o si

el P-value es menor que el nivel de significancia, rechazar la H0.

Concluya en términos del problema.

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4 Modelo de series de tiempoComponentes de una serie de tiempoEstadísticos importantesEstacionariedadIdentificación del modelo

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AsociaciónMedidas de asociación para variables intervalo y razón

Asociación

¿Qué es la asociación?Es la relación entre dos variables. Existe una relación entre dosvariables si los valores de una variable tienden a ocurrir conmás frecuencia con ciertos valores de otra variable. Buscamedir la fuerza o intensidad de la relación.Para determinar la medida de asociación a calcular se debedeterminar primero el nivel de medición de las dos variables enestudio.

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AsociaciónMedidas de asociación para variables intervalo y razón

Ejemplos medidas de Asociación

Si tenemos variables nominales

Clasificación Urbana Rural Total Fila (total marginal)

Por encima del promedio

PromedioFrecuencia Conjunta

Por debajo del promedio

Total columna (total marginal)

Si tenemos variables de intervalo o razón

r =cov (X ,Y )

sX

sY

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AsociaciónMedidas de asociación para variables intervalo y razón

Asimetría de Pearson

PasosPrimero realizar un gráfico de dispersión.Para determinar la existencia o no de la relación entre lasvariables.Análizar la forma o patrón de la relación, aquí repasaremos larelación linealDirección de la relación.Luego se debe calcular el coeficiente de correlación de Pearson:

Cuantificar la relación lineal entre las variables

Si r = 1, existe una asoción lineal positiva.

Si r =�1, existe una asoción lineal negativa.

Si r = 0, no hay relación lineal pero puede existir una

asociación no lineal.

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Asimetría de Pearson

Pasos

rX ,Y =

Ân

x=1�Xi

�X��

Yi

�Y�

(n�1)sX

sY

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Regresión lineal simple

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Regresión Lineal SimpleMínimos Cuadrados OrdinariosMedidas de Bondad de Ajuste

Regresión lineal simple

El modelo de regresión se basa en métodos estadísticos paraestimar relaciones teoricas y poner a prueba estas teorías asícomo poner en práctica algunas conclusiones.Es importante determinar si la relación entre las variables sondeterministicas o estocásticas (aleatorias).

Serie estocástica una parte conocida (sistemática) susceptible

de predecir y de una parte totalmente desconocida (aleatoria).

Serie determinística el futuro se puede predecir sin error. Es

una variable que está determinada o fija y que no cambia de

una muestra a otra.

Ejemplo

Y = b0+b1x+ e

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Regresión lineal simple

Datos muestrales

Yi

= b0+ b1Xi

+ ei

Yi

= Yi

+ ei

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Míminos Cuadrados Ordinarios

¿Qué son los mínimos cuadrados ordinarios?Se basa en la idea de determinar una recta que se ajuste a losdatos muestrales mejor que cualquier otra recta.Por lo tanto, busca mínimizar el error al cuadrado de los datos.

MCOn

Âi=1

⇣Yi

� Yi

⌘= e

i

n

Âi=1

⇣Yi

� Yi

⌘2=)mınima

n

Âi=1

⇣Yi

� b0� b1Xi

⌘2=)mınima

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Regresión lineal simple

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Regresión Lineal SimpleMínimos Cuadrados OrdinariosMedidas de Bondad de Ajuste

Míminos Cuadrados Ordinarios

Modelo Simple

b0 = Y � b1X

b1 =Cov (X ,Y )

Var (X )

Modelo Múltiple

b =�X 0X

��1X 0Y

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Regresión Lineal SimpleMínimos Cuadrados OrdinariosMedidas de Bondad de Ajuste

Regresión lineal multiple

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Regresión Lineal SimpleMínimos Cuadrados OrdinariosMedidas de Bondad de Ajuste

Supuestos MCO

Supuestos de especificación y formaLa variable X (explicativa) está dada.No correlación entre el término de error y las variablesexplicativas.El modelo esta bien especificado.Lineal en los parámetros.

Supuestos sobre el residuoNo autocorrelación.Homocedasticidad.Normalidad.

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Error estándar de la estimación

Error estándar de la estimaciónMedida del grado de dispersión de los valores de Y

i

alrededorde la recta de regresión

Fórmula

Se =

vuutÂ⇣Yi

� Yi

⌘2

n�k

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Regresión Lineal SimpleMínimos Cuadrados OrdinariosMedidas de Bondad de Ajuste

Coeficiente de Determinación

Coeficiente de DeterminaciónMide que parte de la variabilidad total de la variabledependiente es explicada por el modelo.

Fórmula

R2 =SCE

SCR

R2 = (correlaci on)2 =Cov (Y ,X )2

s2x

s2y

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Coeficiente de Determinación

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Limitaciones

Algunas limitacionesNo pueden determinar relaciones Causa-Efecto.Problema cuando dos variables no relacionadas parecenpresentar alguna relación (Correlación espurea).Restricción de linealidad de los parámetros.

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Componentes de una serie de tiempoEstadísticos importantesEstacionariedadIdentificación del modelo

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Series de tiempo

Qué es una serie de tiempo?Las series de tiempo son colecciones de observaciones sobre undeterminado fenómeno efectuadas en sucesivos momentos deltiempo, usualmente equiespaciados. Corresponde a unarealización de un proceso generador de datos.

Yt�k

, ...,Yt�2,Yt�1,Yt

,Yt+1,Yt+2, ...,Y

t+h

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Series de tiempo

Componentes de una serie de tiempoTendencia (T): Es un movimiento de larga duración que semantiene durante todo el período de observación.Movimientos cíclicos (C): Son oscilaciones alrededor de latendencia producidos por periodos alternativos de prosperidady depresión.Variación estacional (E): Son los movimientos que seproducen dentro del año y que se repiten de un año a otro. Seobserva en algunas series de periodicidad mayor al año(mensual, trimestral, semanal, etc).Movimientos irregulares (I): Son las oscilaciones erráticas oaccidentales que obedecen a variadas causas. No siguen ningúnpatrón (son impredecibles).

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Series de tiempo

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Estadísticos

AutocorrelaciónLa correlación entre Y

t

y Yt�k

se conoce como autocorrelación deorden k y se denota como r

k

. (rk

es el estimador muestral). Yt�k

se le conoce como rezagada k periodos.

rk

=Ân�k

t=1 (Yt

� Y )(Yt�k

� Y )

Ân

t=1(Yt

� Y )2

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Estadísticos

Autocorrelación parcialLa correlación parcial mide el grado de asociación entre Y

t

y Yt�k

,cuando el efecto de otros rezagos es removido. La correlaciónparcial es calculada mediante una ecuación de regresión, donde loscoeficientes de los rezagos de Y representan la correlación parcial,del siguiente modo

Yt

= b0+ b1Yt�1+ b2Yt�2+ ...+ bk

Yt�k

+ ei

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Series de tiempo

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Qué es la estacionariedad?

EstacionariedadSe dice que el proceso está en equilibrio estadístico alrededorde un valor medio.La distribución de probabilidad es común e invariante en eltiempo:

La media es única (local y global) y representativa de todo el

período analizado.

La varianza es constante y finita.

La función de autocorrelación decae rápidamente en el tiempo.

Un shock en un momento dado tiene efecto en el corto plazo.

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Serie estacionaria

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Serie no estacionaria

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Qué tipos de modelos se pueden utilizar

Ar(p)

Yt

= c+f1Yt�1+f2Yt�2+ ...+fp

Yt�p

+ et

Ma(q)

Yt

= c+q1et�1+q2e

t�2+ ...+qq

et�q

+ et

Arma(p,q)

Yt

= c+f1Yt�1+ ...+fp

Yt�p

+q1et�1+ ...+q

q

et�q

+ et

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Pronóstico

Autoselección del modeloExisten diversos algorítmos que permiten determinar el orden másadecuado para un modelo ARIMA, en nuestro caso se utiliza elsiguiente cómando:

Ejemploauto.arima(x,d=NA,D=NA,max.p=5,max.q=5,max.P=2,max.Q=2,max.order=5,max.d=2,max.D=1,start.p=2,start.q=2,start.P=1,start.Q=1,stationary=FALSE,seasonal=TRUE)

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Bibliografía

Woodridge, J.Introducción a la Econometría. Thomson Learning, 2001.

Maddala, G.Introducción a la Econometría

Prentice Hall, 1996.

Woodridge, J.Econometric Analysis of Cross Section And Panel Data. MITpress, 2010.

Webster L., AllenEstadística aplicada a los negocios y la economía

Irwin McGraw-Hill, Tercera edición.

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