Tipos de variables y niveles de medición

Medidas de Posición

Medidas de Dispersión y otras medidas

Curso de nivelación Estadística y Matemática

Primera clase: Estadística Descriptiva

Juan Diego Chavarría Mejía

Programa Técnico en Riesgo, 2016

Juan Diego Chavarría Mejía Estadística Descríptiva

Tipos de variables y niveles de medición

Medidas de Posición

Medidas de Dispersión y otras medidas

Agenda

1 Tipos de variables y niveles de medición2 Medidas de Posición

PropósitoMedia simpleMedia ponderadaMedianaModaCuantilos

3 Medidas de Dispersión y otras medidasPropósitoMedidas de variabilidad absolutasMedidas de variabilidad relativaAsimetría o sesgoCurtosis

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Tipos de variables

Variables CuantitativasComprenden valores que vienen en números significativos. Estase puede dividir en variables continuas (toman cualquier valordentro de un intervalo de números reales) o variables discretas(variables cuyos valores solo varían en unidades enteras).

EjemploEdad, peso, rendimiento de un bono, precio de una acción, etc.

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Tipos de variables

Variables CualitativasValores caen en alguna categoría, por lo mismo, indican unacualidad o propiedad de un objeto. Esta se puede dividir envariables ordinales (cuyas categorías pueden ponerse en algúnorden natural) o variables nominales (sin orden natural).

EjemploRaza, sexo, Banco emisor, tipo de acción, clasificación decrédito, etc.

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Propósito

Media simple

Media ponderada

Mediana

Moda

Cuantilos

Agenda

1 Tipos de variables y niveles de medición2 Medidas de Posición

PropósitoMedia simpleMedia ponderadaMedianaModaCuantilos

3 Medidas de Dispersión y otras medidasPropósitoMedidas de variabilidad absolutasMedidas de variabilidad relativaAsimetría o sesgoCurtosis

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Propósito

Media simple

Media ponderada

Mediana

Moda

Cuantilos

Propósito

¿Qué es una medida de Posición?Tratar de resumir, en un solo número la posición o localizaciónde la distribución de los datos.Las medidas más usadas son la Media o promedio,

mediana, moda y cuantiles.

EjemploEl monto promedio de la emisión de acciones de laComporación Davivienda (Costa Rica) registrados en la páginade la Superintendencia General de Valores (SUGEVAL) es de26,451 millones de colones.

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Propósito

Media simple

Media ponderada

Mediana

Moda

Cuantilos

Agenda

1 Tipos de variables y niveles de medición2 Medidas de Posición

PropósitoMedia simpleMedia ponderadaMedianaModaCuantilos

3 Medidas de Dispersión y otras medidasPropósitoMedidas de variabilidad absolutasMedidas de variabilidad relativaAsimetría o sesgoCurtosis

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Propósito

Media simple

Media ponderada

Mediana

Moda

Cuantilos

Media aritmética

Usualmente llamada promedio, parte del principio de laesperanza matemática o valor esperado.Se ve afectado por valores extremos.

Fórmula

X̄ =X1+X2+X3+ . . .+Xn

n

=Âni=1Xi

n

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Propósito

Media simple

Media ponderada

Mediana

Moda

Cuantilos

Datos

Table: Acciones Cómunes de origen nacional (En millones de colones)

Emisor Monto

AD ASTRA ROCKET COMPANY 0.8

CORPORACION DAVIVIENDA (COSTA RICA) S.A. 40,403.5

CORPORACION ILG INTERNACIONAL, S.A. 2,605.2

FLORIDA ICE AND FARM COMPANY S.A. 38,168.5

GRUPO FINANCIERO IMPROSA S.A. 17,914.4

HOLCIM (COSTA RICA) S.A. 8,577.4

INMOBILIARIA COMERCIAL DEL OESTE S.A. 475.3

INMOBILIARIA ENUR S.A. 3,000.0

LA NACION S.A. 4,507.9

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Propósito

Media simple

Media ponderada

Mediana

Moda

Cuantilos

Ejemplo Media aritmética

EjemploEn el cuadro anterior disponemos de los últimos movimientosde acciones cómunes de origen nacional negociadas en la bolsaNacional de Valores. La media Aritmética se puede cálcularcomo:

X̄ =40,403.5+2,605.2+ . . .+4,507.9

8=

115,6528

= 14,456.52

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Propósito

Media simple

Media ponderada

Mediana

Moda

Cuantilos

Media geométrica

Usualmente utilizada para mostrar cambios porcentuales enuna serie de números positivos.Tiene como principal ventaja que no se ve tan influenciada porlos valores extremos.También puede usarse cuando la distribución de los valoresestá altamente sesgada en dirección positiva o negativa.Usada frecuentemente cuando los datos se encuentran enforma de razones o porcentajes.

Fórmula

X̄ = npX1 ⇤X2 ⇤X3 ⇤ . . .⇤Xn

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Propósito

Media simple

Media ponderada

Mediana

Moda

Cuantilos

Ejemplo Media geométrica

Ejemplo

X̄ = 8p

40,403.5⇤2,605.2⇤ . . .⇤4,507.9 = 6,680.72

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Propósito

Media simple

Media ponderada

Mediana

Moda

Cuantilos

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PropósitoMedia simpleMedia ponderadaMedianaModaCuantilos

3 Medidas de Dispersión y otras medidasPropósitoMedidas de variabilidad absolutasMedidas de variabilidad relativaAsimetría o sesgoCurtosis

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Propósito

Media simple

Media ponderada

Mediana

Moda

Cuantilos

Media ponderada

La media ponderada toma en cuenta la importancia relativa delas observaciones.

Fórmula para la Média aritmética

X̄ =Âni=1WiXi

Âni=1Wi

Fórmula para la Média geométrica

X̄ = Âni=1

Wi

qX

Wii

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Propósito

Media simple

Media ponderada

Mediana

Moda

Cuantilos

Agenda

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PropósitoMedia simpleMedia ponderadaMedianaModaCuantilos

3 Medidas de Dispersión y otras medidasPropósitoMedidas de variabilidad absolutasMedidas de variabilidad relativaAsimetría o sesgoCurtosis

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Propósito

Media simple

Media ponderada

Mediana

Moda

Cuantilos

Mediana

DefiniciónValor central de una serie de datos ordenados. Tambiénllamada media posicional, porque queda exactamente en lamitad del conjunto de datos.

Fórmula

mediana=n+1

2

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Propósito

Media simple

Media ponderada

Mediana

Moda

Cuantilos

Ejemplo Mediana

EjemploOrdenando los datos:

mediana=8+1

2= 4.5 ) 6,542.6

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Propósito

Media simple

Media ponderada

Mediana

Moda

Cuantilos

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PropósitoMedia simpleMedia ponderadaMedianaModaCuantilos

3 Medidas de Dispersión y otras medidasPropósitoMedidas de variabilidad absolutasMedidas de variabilidad relativaAsimetría o sesgoCurtosis

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Propósito

Media simple

Media ponderada

Mediana

Moda

Cuantilos

Moda

DefiniciónValor más común, más típico o que ocurre másfrecuentemente en un conjunto de datos.

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Propósito

Media simple

Media ponderada

Mediana

Moda

Cuantilos

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PropósitoMedia simpleMedia ponderadaMedianaModaCuantilos

3 Medidas de Dispersión y otras medidasPropósitoMedidas de variabilidad absolutasMedidas de variabilidad relativaAsimetría o sesgoCurtosis

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Propósito

Media simple

Media ponderada

Mediana

Moda

Cuantilos

Cuantilos

DefiniciónEsta medida divide a un conjunto de observaciones, ordenadasde menor a mayor, en grupos que contienen el mismo númeroo porcentaje de la población.Existen casos particulares como Cuartiles (cuatro grupos de25% cada uno), Quintiles (cinco grupos de 20% cada uno),Deciles (diez grupos de 10% cada uno) y Percentiles (ciengrupos de 1% cada uno).

Fórmula

percentilm =m

100(n+1)

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Propósito

Media simple

Media ponderada

Mediana

Moda

Cuantilos

Ejemplo Cuantilos

EjemploBusquemos el cuartil 1 y 3:

percentil25 =25100

(8+1) = 2.25 ) 2,605.2+3,000.02

= 2,802.6

percentil75 =75100

(8+1) = 6.75 ) 17,914.4+38,168.52

= 28,041.5

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Propósito

Medidas de variabilidad absolutas

Medidas de variabilidad relativa

Asimetría o sesgo

Curtosis

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3 Medidas de Dispersión y otras medidasPropósitoMedidas de variabilidad absolutasMedidas de variabilidad relativaAsimetría o sesgoCurtosis

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Propósito

Medidas de variabilidad absolutas

Medidas de variabilidad relativa

Asimetría o sesgo

Curtosis

Propósito

¿Qué es una medida de variabilidad o dispersión?Busca describir a cuánta distancia del centro se encuentran lasobservaciones. Es fundamental para determinar la validez deun valor central que busque resumir a los datos.Las medidas más usadas son Recorrido o amplitud,

desviación media, desviación estándar y varianza; y

coeficiente de variación. Esta medida es fundamental paramedir el riesgo de un activo.

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Propósito

Medidas de variabilidad absolutas

Medidas de variabilidad relativa

Asimetría o sesgo

Curtosis

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3 Medidas de Dispersión y otras medidasPropósitoMedidas de variabilidad absolutasMedidas de variabilidad relativaAsimetría o sesgoCurtosis

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Propósito

Medidas de variabilidad absolutas

Medidas de variabilidad relativa

Asimetría o sesgo

Curtosis

Desviación estándar

DefiniciónNos indica cuánto se alejan, en promedio, las observaciones dela media aritmética del conjunto. Es la medida de dispersiónmás usada en estadística, tanto en aspectos descriptivos comoanalíticos.

Fórmula

s =

sÂni=1(Xi � X̄ )2

n�1

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Medidas de variabilidad absolutas

Medidas de variabilidad relativa

Asimetría o sesgo

Curtosis

Ejemplo desviación estándar

EjemploCalculemos la desviación estándar:

s =

s(40,403.5�14,456.5)2 + . . .+(4,507.9�14,456.5)2

8�1

= 16,248.8

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Medidas de variabilidad absolutas

Medidas de variabilidad relativa

Asimetría o sesgo

Curtosis

Varianza

DefiniciónSi elevamos al cuadrado la desviación estándar.A diferencia de la desviación estándar la varianza no seencuentra medida en las mismas unidades de los datosoriginales, por este motivo es menos utilizada.

Fórmula

s2 =Âni=1(Xi � X̄ )2

n�1

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Medidas de variabilidad absolutas

Medidas de variabilidad relativa

Asimetría o sesgo

Curtosis

Ejemplo Varianza

EjemploCalculemos la varianza

s2 = (16,248.8)2 = 264,025,248.1

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Medidas de variabilidad absolutas

Medidas de variabilidad relativa

Asimetría o sesgo

Curtosis

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Medidas de variabilidad absolutas

Medidas de variabilidad relativa

Asimetría o sesgo

Curtosis

Coeficiente de variación

DefiniciónIndica la importancia de la desviación estándar en relación alpromedio aritmético.Se utiliza cuando se comparan las variabilidades de dosconjuntos de datos, medidos en diferentes unidades, o son muydiferentes en sus magnitudes. Es útil para comparar los riesgode activos con diferente rendimiento esperado.

Fórmula

CV =sµ⇤100

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Propósito

Medidas de variabilidad absolutas

Medidas de variabilidad relativa

Asimetría o sesgo

Curtosis

Ejemplo coeficiente de variación

EjemploCalculemos el coeficiente de variación:

CV =16,248.814,456.5

⇤100 = 112.4

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Medidas de variabilidad relativa

Asimetría o sesgo

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Medidas de variabilidad relativa

Asimetría o sesgo

Curtosis

Asimetría o sesgo

DefiniciónEs una medida de la falta de simetría en la distribución de losdatos.

Fórmula del coeficiente de Pearson

P =3(X̄ �mediana)

s

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Medidas de variabilidad absolutas

Medidas de variabilidad relativa

Asimetría o sesgo

Curtosis

Asimetría o sesgo

Coeficiente de PearsonSi es mayor que cero la distribución está sesgada a la derechao es asimetríca positiva.Si es menor que cero la distribución está sesgada a la izquierdao es asimetríca negativa.

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Medidas de variabilidad absolutas

Medidas de variabilidad relativa

Asimetría o sesgo

Curtosis

Asimetría o sesgo

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Medidas de variabilidad absolutas

Medidas de variabilidad relativa

Asimetría o sesgo

Curtosis

Ejemplo coeficiente de asimetría

EjemploCalculemos el coeficiente de asimetría de Pearson:

P =3(14,456.5�6,542.6)

16,248.85= 1.46

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Medidas de variabilidad absolutas

Medidas de variabilidad relativa

Asimetría o sesgo

Curtosis

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Propósito

Medidas de variabilidad absolutas

Medidas de variabilidad relativa

Asimetría o sesgo

Curtosis

Curtosis

DefiniciónAnaliza el grado de concentración que presentan los valoresalrededor de la zona central de la distribución.

Fórmula de la curtosis

g2 =

⇢n(n+1)

(n�1)(n�2)(n�3) Â✓xi � x̄

s

◆�� 3(n�1)2

(n�2)(n�3)

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Propósito

Medidas de variabilidad absolutas

Medidas de variabilidad relativa

Asimetría o sesgo

Curtosis

Asimetría o sesgo

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Medidas de variabilidad absolutas

Medidas de variabilidad relativa

Asimetría o sesgo

Curtosis

Ejemplo Curtosis

EjemploCalculemos el coeficiente de curtosis:

g2 =�0.69

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Medidas de variabilidad relativa

Asimetría o sesgo

Curtosis

Bibliografía

Barrantes G., MiguelElementos de estadística descriptiva. EUNED, 1998.

Kenneth N., Berk & Patrick, CareyAnálisis de datos con Microsoft Excel Actualizado para Office2000Thomson Learning, 2000.

Gitman, Lawrence.Principios de administración FinancieraPearson Education, Décima edición.

Webster L., AllenEstadística aplicada a los negocios y la economíaIrwin McGraw-Hill, Tercera edición.

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