Concepto de probabilidad

Variable aleatoria

Distribuciones discretas de probabilidad

Curso de nivelación Estadística y Matemática

Tercera clase: Introducción al concepto de probabilidad yDistribuciones de probablidad discretas

M.Sc. Juan Diego Chavarría Mejía

Programa Técnico en Riesgo, 2015

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Concepto de probabilidad

Variable aleatoria

Distribuciones discretas de probabilidad

Agenda

1 Concepto de probabilidad

2 Variable aleatoriaDefiniciónVariable aleatoria discretaFunción de probabilidadPropiedades distribución de probabilidadValor esperado de una variable aleatoria discreta.Desviación estándar.

3 Distribuciones discretas de probabilidadDistribución BinomialDistribución Binomial NegativaDistribución Poisson

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Concepto de probabilidad

Variable aleatoria

Distribuciones discretas de probabilidad

¿Qué es el concepto de probabilidad?

Concepto de probabilidadEs una especificación de con qué frecuencia ocurre un eventode interés particular entre un gran número de observaciones.Cuando el evento no ha ocurrido, se recurre al criterio experto(modelo subjetivo).Al mejorar la habilidad para juzgar la ocurrencia de eventosfuturos, se puede minimizar el riesgo relacionadas con elproceso de toma de decisiones.

EjemploSi queremos cuantificar la probabilidad de tener una pérdidafutura.

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Distribuciones discretas de probabilidad

Enfoque clásico

Concepto de probabilidadEn un experimento puede dar como resultado cualquiera de N

diferentes resultados que tienen las mismas probabilidades deocurrir, y si exactamente n de estos resultados corresponden alevento A, entonces la probabilidad del evento A es

P(A) =n

N

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Ejemplo

EjemploA una clase de estadística para ingenieros asisten 25estudiantes de ingeniería industrial, 10 de ingeniería mecánica,10 de ingeniería eléctrica y 8 de ingeniería civil. Si el profesorelige al azar a un estudiante para que conteste una pregunta.¿qué probabilidad hay que el elegido sea a) estudiante deingeniería industrial, b) estudiante de ingeniería civil oestudiante de ingeniería eléctrica?

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Proceso de un experimento

Si queremos cuantificar la probabilidad de una pérdida futuraPrimero, debemos revisar observaciones historicas del eventode interés.Luego, intentamos modelar el comportamiento de este

evento =) Para esto utilizamos las Distribuciones de

probabilidad.

Por último, estimamos la probabilidad de tener una pérdidafutura.

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Definición

Variable aleatoria discreta

Función de probabilidad

Propiedades distribución de probabilidad

Valor esperado de una variable aleatoria discreta.

Desviación estándar.

Agenda

1 Concepto de probabilidad

2 Variable aleatoriaDefiniciónVariable aleatoria discretaFunción de probabilidadPropiedades distribución de probabilidadValor esperado de una variable aleatoria discreta.Desviación estándar.

3 Distribuciones discretas de probabilidadDistribución BinomialDistribución Binomial NegativaDistribución Poisson

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Variable aleatoria

Distribuciones discretas de probabilidad

Definición

Variable aleatoria discreta

Función de probabilidad

Propiedades distribución de probabilidad

Valor esperado de una variable aleatoria discreta.

Desviación estándar.

Definición

¿Qué es una variable aleatoria?Es una variable cuyo valor es el resultado de un eventoaleatorio.Transforma eventos de un espacio muestral en eventosnúmericos.Esta puede ser discreta o continua.

EjemploExperimento de créditos formalizados entre el 2000 y el 2013,donde podemos ver entre otras variables aleatorias morosos,proceso judicial, etc.

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Definición

Variable aleatoria discreta

Función de probabilidad

Propiedades distribución de probabilidad

Valor esperado de una variable aleatoria discreta.

Desviación estándar.

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1 Concepto de probabilidad

2 Variable aleatoriaDefiniciónVariable aleatoria discretaFunción de probabilidadPropiedades distribución de probabilidadValor esperado de una variable aleatoria discreta.Desviación estándar.

3 Distribuciones discretas de probabilidadDistribución BinomialDistribución Binomial NegativaDistribución Poisson

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Distribuciones discretas de probabilidad

Definición

Variable aleatoria discreta

Función de probabilidad

Propiedades distribución de probabilidad

Valor esperado de una variable aleatoria discreta.

Desviación estándar.

Definición

¿Qué es una variable aleatoria discreta?Es una variable aleatoria que puede asumir sólo ciertos valores,con frecuencia número enteros, y resulta principalmente delconteo. El número de resultados posibles es limitado o finito.

EjemploProbabilidad que un banco quiebre dada la situacióninternacional actual.

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Variable aleatoria discreta

Función de probabilidad

Propiedades distribución de probabilidad

Valor esperado de una variable aleatoria discreta.

Desviación estándar.

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1 Concepto de probabilidad

2 Variable aleatoriaDefiniciónVariable aleatoria discretaFunción de probabilidadPropiedades distribución de probabilidadValor esperado de una variable aleatoria discreta.Desviación estándar.

3 Distribuciones discretas de probabilidadDistribución BinomialDistribución Binomial NegativaDistribución Poisson

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Definición

Variable aleatoria discreta

Función de probabilidad

Propiedades distribución de probabilidad

Valor esperado de una variable aleatoria discreta.

Desviación estándar.

Definición

¿Qué es una función de probabilidad?Es una lista de todos los posibles resultados posibles de algúnexperimento y de la probabilidad relacionada con cadaresultado.

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Definición

Variable aleatoria discreta

Función de probabilidad

Propiedades distribución de probabilidad

Valor esperado de una variable aleatoria discreta.

Desviación estándar.

Ejemplo distribución de probabilidad discreta

EjemploImaginemos que lanzamos dos veces un dado perfectamenteequilibrado y sumamos los valores de las caras de amboslanzamientos. En este caso la variable de interés (variablealeatoria), es la suma de las caras.

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Definición

Variable aleatoria discreta

Función de probabilidad

Propiedades distribución de probabilidad

Valor esperado de una variable aleatoria discreta.

Desviación estándar.

Ejemplo distribución de probabilidad discreta

Espacio muestral (Posibilidades) Suma de las caras (X) # de ocurrencias P(X = x)

(1,1) 2 1

1/36

(1,2),(2,1) 3 2

2/36

(1,3),(2,2),(3,1) 4 3

3/36

(1,4),(2,3),(3,2),(4,1) 5 4

4/36

(1,5),(2,4),(3,3),(4,2),(5,1) 6 5

5/36

(1,6),(2,5),(3,4),(4,3),(5,2),(6,1) 7 6

6/36

(2,6),(3,5),(4,4),(5,3),(6,2) 8 5

5/36

(3,6),(4,5),(5,4),(6,3) 9 4

4/36

(4,6),(5,5),(6,4) 10 3

3/36

(5,6),(6,5) 11 2

2/36

(6,6) 12 1

1/36

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Definición

Variable aleatoria discreta

Función de probabilidad

Propiedades distribución de probabilidad

Valor esperado de una variable aleatoria discreta.

Desviación estándar.

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1 Concepto de probabilidad

2 Variable aleatoriaDefiniciónVariable aleatoria discretaFunción de probabilidadPropiedades distribución de probabilidadValor esperado de una variable aleatoria discreta.Desviación estándar.

3 Distribuciones discretas de probabilidadDistribución BinomialDistribución Binomial NegativaDistribución Poisson

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Definición

Variable aleatoria discreta

Función de probabilidad

Propiedades distribución de probabilidad

Valor esperado de una variable aleatoria discreta.

Desviación estándar.

Propiedades

La probabilidad de cada evento o combinación de eventos debevariar entre 0 a 1.

0 p(x) 1

La suma de las probabilidades de todos los posibles eventosdabe ser igual a 1.

Âx

p(x) = 1

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Definición

Variable aleatoria discreta

Función de probabilidad

Propiedades distribución de probabilidad

Valor esperado de una variable aleatoria discreta.

Desviación estándar.

Pmf vs cdf

Probability Mass FunctionEs la probabilidad en el punto de una variable aleatoria.

f

X

(x) = P (X = x)

Cumulative Distribution FunctionEs la probabilidad acumulada hasta un punto de una variablealeatoria.

F (x) = P (X x)

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Definición

Variable aleatoria discreta

Función de probabilidad

Propiedades distribución de probabilidad

Valor esperado de una variable aleatoria discreta.

Desviación estándar.

Ejemplo distribución de probabilidad discreta

Espacio muestral (Posibilidades) Suma de las caras (X) # de ocurrencias P(X = x) P(X x)

(1,1) 2 1

1/36 1/36

(1,2),(2,1) 3 2

2/36 3/36

(1,3),(2,2),(3,1) 4 3

3/36 6/36

(1,4),(2,3),(3,2),(4,1) 5 4

4/36 10/36

(1,5),(2,4),(3,3),(4,2),(5,1) 6 5

5/36 15/36

(1,6),(2,5),(3,4),(4,3),(5,2),(6,1) 7 6

6/36 21/36

(2,6),(3,5),(4,4),(5,3),(6,2) 8 5

5/36 26/36

(3,6),(4,5),(5,4),(6,3) 9 4

4/36 30/36

(4,6),(5,5),(6,4) 10 3

3/36 33/36

(5,6),(6,5) 11 2

2/36 35/36

(6,6) 12 1

1/36 1

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Definición

Variable aleatoria discreta

Función de probabilidad

Propiedades distribución de probabilidad

Valor esperado de una variable aleatoria discreta.

Desviación estándar.

Agenda

1 Concepto de probabilidad

2 Variable aleatoriaDefiniciónVariable aleatoria discretaFunción de probabilidadPropiedades distribución de probabilidadValor esperado de una variable aleatoria discreta.Desviación estándar.

3 Distribuciones discretas de probabilidadDistribución BinomialDistribución Binomial NegativaDistribución Poisson

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Propiedades distribución de probabilidad

Valor esperado de una variable aleatoria discreta.

Desviación estándar.

Propiedades

Valor esperadoEs un promedio ponderado de los resultados posibles, mientrasque los pesos que utilizamos son las probabilidades.

Fórmula

µ = E (X ) = Pr

1

x

1

+Pr

2

x

2

+Pr

3

x

3

+ . . .+Pr

n

x

n

=n

Âi=1

Pr

i

x

i

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Definición

Variable aleatoria discreta

Función de probabilidad

Propiedades distribución de probabilidad

Valor esperado de una variable aleatoria discreta.

Desviación estándar.

Ejemplo

Ejemplo

Cuadro: Tasa de rendimiento de las acciones de las compañias X y Y

Estado de la Economía Probabilidad Tasa de Rend. X Tasa de Rend. Y

Auge 0.2 110% 20%

Normal 0.5 22% 16%

Recesión 0.3 -60% 10%

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Definición

Variable aleatoria discreta

Función de probabilidad

Propiedades distribución de probabilidad

Valor esperado de una variable aleatoria discreta.

Desviación estándar.

Ejemplo Valor Esperado

Ejemplo

µ = E(X ) = Pr1x1+Pr2x2+Pr3x3 = 0.2⇤110+0.5⇤22+0.3⇤�60 = 15%

µ = E(X ) = Pr1x1+Pr2x2+Pr3x3 = 0.2⇤20+0.5⇤16+0.3⇤10 = 15%

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Definición

Variable aleatoria discreta

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Propiedades distribución de probabilidad

Valor esperado de una variable aleatoria discreta.

Desviación estándar.

Ilustración

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Variable aleatoria discreta

Función de probabilidad

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Valor esperado de una variable aleatoria discreta.

Desviación estándar.

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2 Variable aleatoriaDefiniciónVariable aleatoria discretaFunción de probabilidadPropiedades distribución de probabilidadValor esperado de una variable aleatoria discreta.Desviación estándar.

3 Distribuciones discretas de probabilidadDistribución BinomialDistribución Binomial NegativaDistribución Poisson

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Definición

Variable aleatoria discreta

Función de probabilidad

Propiedades distribución de probabilidad

Valor esperado de una variable aleatoria discreta.

Desviación estándar.

Definición

Desviación Estándar de una variable aleatoriaSe puede definir el riesgo como la variabilidad de losrendimientos. Por lo tanto, se puede examinar este mediante elestudio de la dispersión o estrechez de la distribución deprobabilidad asociada con los resultados posibles.

Fórmula

s =p

s2 =qPr1(x1 �µ)2 +Pr2(x2 �µ)2 +Pr3(x3 �µ)2 + . . .+Pr

n

(xn

�µ)2 =

sn

Âi=1

Pr

i

(xi

�µ)2

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Definición

Variable aleatoria discreta

Función de probabilidad

Propiedades distribución de probabilidad

Valor esperado de una variable aleatoria discreta.

Desviación estándar.

Ejemplo Valor Esperado

Ejemplo

s =p

s2 =q

0.2(110�15)2+0.5(22�15)2+0.3(�60�15)2 = 59.3

s =p

s2 =q

0.2(20�15)2+0,5(16�15)+0.3(10�15)2 = 3.6

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Distribución Binomial

Distribución Binomial Negativa

Distribución Poisson

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3 Distribuciones discretas de probabilidadDistribución BinomialDistribución Binomial NegativaDistribución Poisson

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Distribución Binomial

Distribución Binomial Negativa

Distribución Poisson

Definición

Distribución BinomialSe basan en un proceso de Bernoulli (1654-1705), donde cadaensayo en una distribución binomial termina en sólo uno dedos resultados mutuamente excluyentes, uno de los cuales seidentifica como un éxito y el otro como un fracaso. Laprobabildad de cada resultado permanece constante de unensayo al siguiente.

EjemploEncuesta de perspectiva empresarial donde se pregunta a losexperto si las tasas de interés aumentarán o no aumentarán.

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Distribución Binomial

Distribución Binomial Negativa

Distribución Poisson

Caraterísticas de una Distribución Binomial

CaracterísticasEl experimento consta de n pruebas idénticas.Cada prueba tiene dos resultados posibles. Se llamará a unoéxito y al otro fracaso.La probabilidad de tener éxito en una sola prueba es igual a p,y permanece constante de prueba en prueba. Laprobabilidad de un fracaso es igual a (1�p) = q.Las pruebas son independientes.La variable aleatoria bajo estudio es X , el número de éxitosobservados en la n pruebas

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Distribución Binomial

Distribución Binomial Negativa

Distribución Poisson

Fórmula de cálculo

Fórmula

P(x) = n!x!(n�x)! p

x (1�p)n�x

P(x) =n

C

x

p

x (1�p)n�x

Donde

n! = n ⇤ (n�1)⇤ (n�2) . . .3⇤2⇤1

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Distribución Binomial Negativa

Distribución Poisson

Media

µ = n ⇤p

Varianza

s2 = n ⇤p ⇤ (1�p)

Coeficiente de sesgo

As =1�2p

[np(1�p)]1/2

Curtosis

k = 3+[1�6p(1�p)]

np(1�p)

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Distribución Binomial

Distribución Binomial Negativa

Distribución Poisson

Ejemplo

Un gerente de crédito de American Express ha descubierto quep=10% de los usurios de tarjeta no paga el monto completode la deuda durante un mes dado. Desea determinar laprobabilidad que de n=20 cuentas seleccionadas de maneraaleatoria, x=5 de las cuentas no sean pagadas.

Respuestas

P(x = 5|n = 20,p = 0.10) =20

C

5

0.15 (0.9)20�5 = 0.0319

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Distribución Binomial

Distribución Binomial Negativa

Distribución Poisson

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3 Distribuciones discretas de probabilidadDistribución BinomialDistribución Binomial NegativaDistribución Poisson

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Distribución Binomial

Distribución Binomial Negativa

Distribución Poisson

Definición

Distribución Binomial NegativaCuando interesa el número de la prueba en la cual ocurre elsegundo, el tercero o el cuarto éxito

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Distribución Binomial

Distribución Binomial Negativa

Distribución Poisson

Fórmula de cálculo

Fórmula

P(x) =

✓x�1r �1

◆p

r (1�p)x�r

Donder es el número de ensayos efectuados hasta que se tienen r

éxitos.x es el número de la prueba en la que ocurre el éxito.

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Distribución Binomial

Distribución Binomial Negativa

Distribución Poisson

Media y varianza

Media

µ =r

p

Varianza

s2 =r(1�p)

p

2

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Distribución Binomial

Distribución Binomial Negativa

Distribución Poisson

Agenda

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2 Variable aleatoriaDefiniciónVariable aleatoria discretaFunción de probabilidadPropiedades distribución de probabilidadValor esperado de una variable aleatoria discreta.Desviación estándar.

3 Distribuciones discretas de probabilidadDistribución BinomialDistribución Binomial NegativaDistribución Poisson

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Distribuciones discretas de probabilidad

Distribución Binomial

Distribución Binomial Negativa

Distribución Poisson

Definición

Distribución PoissonEs una distribución que muestra la probabilidad de ocurrenciade un evento en un intervalo específico de tiempo o espacio.

EjemploNúmero de llegadas de clientes por hora.

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Distribución Binomial

Distribución Binomial Negativa

Distribución Poisson

Propiedades de una Distribución Poisson

PropiedadesLa probabilidad de una ocurrencia es igual en dos intervaloscualesquiera de tiempo o espacio.La ocurrencia o no en cualquier intervalo es independiente dela ocurrencia o no ocurrencia en cualquier otro intervalo.

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Distribución Binomial

Distribución Binomial Negativa

Distribución Poisson

Fórmula de cálculo

Fórmula

P(x) =l x

x!e

�l

Dondel es el número promedio de ocurrencias por unidad de tiempoo espacio.x es el número de veces que ocurre el evento.

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Variable aleatoria

Distribuciones discretas de probabilidad

Distribución Binomial

Distribución Binomial Negativa

Distribución Poisson

Media

µ = l

Varianza

s2 = l

Coeficiente de asimetría

As =1pl

Curtosis

k = 3+1l

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Distribución Binomial

Distribución Binomial Negativa

Distribución Poisson

Ejemplo

Supongamos que se está interesado en la probabilidad de queexactamente 5 clientes lleguen durante la siguiente hora (o encualquier hora dada) laboral. La observación simple de lasúltimas 80 horas ha demostrado que 800 clientes han entradoal negocio. Por tanto, l=10 por hora.

Respuestas

P(x = 5) =l x

x!e

�µ =105

5!e

�10 = 0.03783

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Distribución Binomial

Distribución Binomial Negativa

Distribución Poisson

Bibliografía

Barrantes G., MiguelElementos de estadística descriptiva. EUNED, 1998.

Kenneth N., Berk & Patrick, CareyAnálisis de datos con Microsoft Excel Actualizado para Office2000Thomson Learning, 2000.

Gitman, Lawrence.Principios de administración FinancieraPearson Education, Décima edición.

Webster L., AllenEstadística aplicada a los negocios y la economíaIrwin McGraw-Hill, Tercera edición.

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