curso de nivelación estadística y...

Concepto de probabilidadVariable aleatoria

Distribuciones discretas de probabilidad

Curso de nivelación Estadística y Matemática

Tercera clase: Introducción al concepto de probabilidad y

Distribuciones de probablidad discretas

Luis Diego Fernández Gómez

Programa Técnico en Riesgo, 2017

Luis Diego Fernández Gómez Probabilidad



Agenda

1 Concepto de probabilidad

2 Variable aleatoria

De�nición

Variable aleatoria discreta

Función de probabilidad

Propiedades distribución de probabilidad

Valor esperado de una variable aleatoria discreta.

Desviación estándar.

3 Distribuciones discretas de probabilidad

Distribución Binomial

Distribución Binomial Negativa

Distribución Geométrica

Distribución Hipergeométrica

Distribución PoissonLuis Diego Fernández Gómez Probabilidad



¾Qué es el concepto de probabilidad?

Concepto de probabilidad

Es una especi�cación de con qué frecuencia ocurre un evento

de interés particular entre un gran número de observaciones.

Cuando el evento no ha ocurrido, se recurre al criterio experto

(modelo subjetivo).

Al mejorar la habilidad para juzgar la ocurrencia de eventos

futuros, se puede minimizar el riesgo relacionadas con el

proceso de toma de decisiones.

Ejemplo

Si queremos cuanti�car la probabilidad de tener una pérdida

futura.




Enfoque clásico

Concepto de probabilidad

Un experimento puede dar como resultado cualquiera de Ndiferentes resultados que tienen las mismas probabilidades de

ocurrir, y si exactamente n de estos resultados corresponden al

evento A, entonces la probabilidad del evento A es

P(A) =n

N




Ejemplo

Ejemplo

A una clase de estadística para ingenieros asisten 25 estudiantes de

ingeniería industrial, 10 de ingeniería mecánica, 10 de ingeniería

eléctrica y 8 de ingeniería civil. Si el profesor elige al azar a un

estudiante para que conteste una pregunta. ¾qué probabilidad hay

que el elegido sea a) estudiante de ingeniería industrial, b)

estudiante de ingeniería civil o estudiante de ingeniería eléctrica?

P(Industrial) =25

53

P(Civil o El ectrica) =8+10

53




Métodos de conteo

Permutación

Número de maneras en que se pueden ordenar n objetos tomando

r a la vez se denota por el símbolo nPr .

nPr =n!

(n− r)!

Donde

n! = n ∗ (n−1)∗ (n−2) . . .3∗2∗1




Métodos de conteo

Combinaciones

Número de combinaciones de n objetos distintos, tomando ra la

vez es:.

nCr =

(nr

)=

n!

r !(n− r)!




Ejemplo

Un capataz en una fábrica tiene tres hombres y tres mujeres a

su cargo y desea elegir aleatoriamente a dos de sus

trabajadores para una labor especial. Cuál es la probabilidad de

se escojan un hombre y una mujer?

Respuestas

P(2Mujeres) =

(3

1

)(3

1

)(

6

2

) =3

5




Proceso de un experimento

Si queremos cuanti�car la probabilidad de una pérdida futura

Primero, debemos revisar observaciones historicas del evento

de interés.

Luego, intentamos modelar el comportamiento de este

evento =⇒ Para esto utilizamos las Distribuciones de

probabilidad.

Por último, estimamos la probabilidad de tener una pérdida

futura.




De�niciónVariable aleatoria discretaFunción de probabilidadPropiedades distribución de probabilidadValor esperado de una variable aleatoria discreta.Desviación estándar.

Agenda



De�nición















De�nición

¾Qué es una variable aleatoria?

Es una variable cuyo valor es el resultado de un evento

aleatorio.

Transforma eventos de un espacio muestral en eventos

númericos.

Esta puede ser discreta o continua.

Ejemplo

Experimento de créditos formalizados entre el 2000 y el 2013,

donde podemos ver entre otras variables aleatorias morosos,

proceso judicial, etc.





Agenda



De�nición















De�nición

¾Qué es una variable aleatoria discreta?

Es una variable aleatoria que puede asumir sólo ciertos valores,

con frecuencia número enteros, y resulta principalmente del

conteo. El número de resultados posibles es limitado o �nito.

Ejemplo

Probabilidad que un banco quiebre dada la situación

internacional actual.





Agenda



De�nición















De�nición

¾Qué es una función de probabilidad?

Es una lista de todos los posibles resultados posibles de algún

experimento y de la probabilidad relacionada con cada

resultado.





Ejemplo distribución de probabilidad discreta

Ejemplo

Imaginemos que lanzamos dos veces un dado perfectamente

equilibrado y sumamos los valores de las caras de ambos

lanzamientos. En este caso la variable de interés (variable

aleatoria), es la suma de las caras.






Espacio muestral (Posibilidades) Suma de las caras (X) # de ocurrencias P(X = x)

(1,1) 2 1 1/36

(1,2),(2,1) 3 2 2/36

(1,3),(2,2),(3,1) 4 3 3/36

(1,4),(2,3),(3,2),(4,1) 5 4 4/36

(1,5),(2,4),(3,3),(4,2),(5,1) 6 5 5/36

(1,6),(2,5),(3,4),(4,3),(5,2),(6,1) 7 6 6/36

(2,6),(3,5),(4,4),(5,3),(6,2) 8 5 5/36

(3,6),(4,5),(5,4),(6,3) 9 4 4/36

(4,6),(5,5),(6,4) 10 3 3/36

(5,6),(6,5) 11 2 2/36

(6,6) 12 1 1/36





Agenda



De�nición















Propiedades

La probabilidad de cada evento o combinación de eventos debe

variar entre 0 a 1.

0≤ p(x)≤ 1

La suma de las probabilidades de todos los posibles eventos

dabe ser igual a 1.

∑x p(x) = 1





Pmf vs cdf

Probability Mass Function

Es la probabilidad en el punto de una variable aleatoria.

fX (x) = P (X = x)

Cumulative Distribution Function

Es la probabilidad acumulada hasta un punto de una variable

aleatoria.

F (x) = P (X ≤ x)






Espacio muestral (Posibilidades) Suma de las caras (X) # de ocurrencias P(X = x) P(X ≤ x)

(1,1) 2 1 1/36 1/36

(1,2),(2,1) 3 2 2/36 3/36

(1,3),(2,2),(3,1) 4 3 3/36 6/36

(1,4),(2,3),(3,2),(4,1) 5 4 4/36 10/36

(1,5),(2,4),(3,3),(4,2),(5,1) 6 5 5/36 15/36

(1,6),(2,5),(3,4),(4,3),(5,2),(6,1) 7 6 6/36 21/36

(2,6),(3,5),(4,4),(5,3),(6,2) 8 5 5/36 26/36

(3,6),(4,5),(5,4),(6,3) 9 4 4/36 30/36

(4,6),(5,5),(6,4) 10 3 3/36 33/36

(5,6),(6,5) 11 2 2/36 35/36

(6,6) 12 1 1/36 1





Agenda



De�nición















Propiedades

Valor esperado

Es un promedio ponderado de los resultados posibles, mientras

que los pesos que utilizamos son las probabilidades.

Fórmula

µ = E (X ) = Pr1x1 +Pr2x2 +Pr3x3 + . . .+Prnxn =n

∑i=1

Prixi





Ejemplo

Ejemplo

Cuadro: Tasa de rendimiento de las acciones de las compañias X y Y

Estado de la Economía Probabilidad Tasa de Rend. X Tasa de Rend. Y

Auge 0.2 110% 20%

Normal 0.5 22% 16%

Recesión 0.3 -60% 10%





Ejemplo Valor Esperado

Ejemplo

µ = E(X ) = Pr1x1+Pr2x2+Pr3x3 = 0.2∗110+0.5∗22+0.3∗−60= 15%

µ = E(X ) = Pr1x1+Pr2x2+Pr3x3 = 0.2∗20+0.5∗16+0.3∗10= 15%





Ilustración





Agenda



De�nición















De�nición

Desviación Estándar de una variable aleatoria

Se puede de�nir el riesgo como la variabilidad de los

rendimientos. Por lo tanto, se puede examinar este mediante el

estudio de la dispersión o estrechez de la distribución de

probabilidad asociada con los resultados posibles.

Fórmula

σ =√

σ2 =√Pr1(x1−µ)2+Pr2(x2−µ)2+Pr3(x3−µ)2+ . . .+Prn(xn −µ)2 =

√n

∑i=1

Pri (xi −µ)2





Ejemplo Desviación Estándar

Ejemplo

σ =√

σ2 =√0.2(110−15)2+0.5(22−15)2+0.3(−60−15)2 = 59.3

σ =√

σ2 =√0.2(20−15)2+0,5(16−15)+0.3(10−15)2 = 3.6




Distribución BinomialDistribución Binomial NegativaDistribución GeométricaDistribución HipergeométricaDistribución Poisson

Agenda



De�nición















De�nición


Se basan en un proceso de Bernoulli (1654-1705), donde cada

ensayo en una distribución binomial termina en sólo uno de

dos resultados mutuamente excluyentes, uno de los cuales se

identi�ca como un éxito y el otro como un fracaso. La

probabildad de cada resultado permanece constante de un

ensayo al siguiente.

Ejemplo

Si la probabilidad de quiebra se asume �ja, un proceso

binomial corresponde a la probabilidad de que 5 empresas

quiebren de una muestra de 100 empresas.





Caraterísticas de una Distribución Binomial

Características

El experimento consta de n pruebas idénticas.

Cada prueba tiene dos resultados posibles. Se llamará a uno

éxito y al otro fracaso.

La probabilidad de tener éxito en una sola prueba es igual a

p, y permanece constante de prueba en prueba. La

probabilidad de un fracaso es igual a (1−p) = q.

Las pruebas son independientes.

La variable aleatoria bajo estudio es X , el número de éxitos

observados en la n pruebas





Fórmula de cálculo

Fórmula

P(x) = n!x!(n−x)! p

x (1−p)n−x

P(x) =n Cx px (1−p)n−x





Media

µ = n ∗p

Varianza

σ2 = n ∗p ∗ (1−p)

Coe�ciente de sesgo

As =1−2p

[np(1−p)]1/2

Curtosis

κ = 3+[1−6p(1−p)]

np(1−p)





Ejemplo

Un gerente de crédito de American Express ha descubierto que

p=10% de los usurios de tarjeta no paga el monto completo

de la deuda durante un mes dado. Desea determinar la

probabilidad que de n=20 cuentas seleccionadas de manera

aleatoria, x=5 de las cuentas no sean pagadas.

Respuestas

P(x = 5|n = 20,p = 0.10) =20 C5 0.15 (0.9)20−5 = 0.0319





Agenda



De�nición















De�nición


Es una distribución de probabilidad discreta que se utiliza

cuando lo que interesa es encontrar la probabilidad de que el

éxito número r , ocurra en el segundo, el tercero, el cuarto

éxito o n− esimo ensayo.

La variable aleatoria bajo estudio es X , el número de ensayos

necesarios para tener el éxito número r .






Fórmula

P(x) =

(x−1

r −1

)pr (1−p)x−r

Donde

r es el número de éxitos que necesito.

x es el número de ensayo en la que ocurre el éxito.





Media y varianza

Media

µ =r

p

Varianza

σ2 =

r(1−p)

p2





Agenda



De�nición















De�nición


Cuando interesa el número de ensayos hasta que ocurra el

primer éxito.






Fórmula

P(x) = p (1−p)x−1

Donde

x es el número de la prueba en la que ocurre el primer éxito.





Media y varianza

Media

µ =1

p

Varianza

σ2 =

(1−p)

p2





Agenda



De�nición















De�nición

Distribución hipergeométrica

Esta distribución se utiliza cuando la probabilidad de un éxito

de�nido, de un ensayo a otro no es �ja. Esto ocurre si la

muestra es pequeña o el muestreo se realiza sin reemplazo, por

lo tanto la probabilidad de un éxito variará.

Suponga que se tiene una población de N elementos de los

cuales, r pertenecen a la categoría A y N− r a la B . Ladistribución hipergeométrica mide la probabilidad de obtener x(0≤ x ≤ r ) elementos de la categoría A en una muestra sin

reemplazo de n elementos de la población original.






Fórmula

P(x) =

(rx

)(N− rn−x

)(

Nn

)

Donde

N es el tamaño de la población.

r es el número de elementos en el subgrupo de interés.

n es el tamaño de la muestra.

x es el número de éxitos en el subgrupo de interés.





Media y varianza

Media

µ =nr

N

Varianza

σ2 = n

( r

N

) (N− r

N

) (N−n

N−1

)





Agenda



De�nición















De�nición

Distribución Poisson

Es una distribución que muestra la probabilidad de ocurrencia

de un evento en un intervalo especí�co de tiempo o espacio.

Ejemplo

Número de llegadas de clientes por hora.





Propiedades de una Distribución Poisson

Propiedades

La probabilidad de una ocurrencia es igual en dos intervalos

cualesquiera de tiempo o espacio.

La ocurrencia o no en cualquier intervalo es independiente de

la ocurrencia o no ocurrencia en cualquier otro intervalo.






Fórmula

P(x) =λ x

x!e−λ

Donde

λ es el número promedio de ocurrencias por unidad de tiempo

o espacio.

x es el número de veces que ocurre el evento.





Media

µ = λ

Varianza

σ2 = λ

Coe�ciente de asimetría

As =1√λ

Curtosis

κ = 3+1

λ





Ejemplo

Supongamos que se está interesado en la probabilidad de que

exactamente 5 clientes lleguen durante la siguiente hora (o en

cualquier hora dada) laboral. La observación simple de las

últimas 80 horas ha demostrado que 800 clientes han entrado

al negocio. Por tanto, λ=10 por hora.

Respuestas

P(x = 5) =λ x

x!e−µ =

105

5!e−10 = 0.03783





Bibliografía

Barrantes G., Miguel

Elementos de estadística descriptiva. EUNED, 1998.

Kenneth N., Berk & Patrick, Carey

Análisis de datos con Microsoft Excel Actualizado para Office2000Thomson Learning, 2000.

Gitman, Lawrence.

Principios de administración FinancieraPearson Education, Décima edición.

Webster L., Allen

Estadística aplicada a los negocios y la economíaIrwin McGraw-Hill, Tercera edición.


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