DISTRIBUCION DISCRETAS

DISTRIBUCION BINOMIAL

Un experimento binomial es uno que satisface todos los siguientes

requisitos:

1. El experimento debe tener un nmero fijo de ensayos.

2. Los ensayos deben ser independientes (el resultado de cualquier

ensayo individual no afecta las probabilidades de los otros

ensayos).

3. Todos los resultados de cada ensayo se deben clasificar en dos

categoras (xito y fracaso).

4. Las probabilidades deben mantenerse constantes para cada

ensayo.

Si realizamos un experimento binomial, la distribucin de la

variable aleatoria x se denomina distribucin de probabilidad binomial (o

distribucin binomial). Suele utilizarse la notacin siguiente:

E Y F (xito y fracaso) denotan las dos posibles categoras de los

resultados; p y q denotan las probabilidades de E y F, respectivamente, de

modo que:

P (E) = p P (F) = 1 p = q

n = denota el nmero fijo de ensayos.

x = denota un nmero especfico de xitos en n ensayos, as que

x puede ser cualquier nmero entre 0 y n, inclusive.

p = denota la probabilidad de tener xito en uno de los n ensayos.

q = denota la probabilidad de fracasar en uno de los n ensayos.

P(x) = denota la probabilidad de lograr exactamente x xitos en

los n ensayos.

NOTA: Al muestrear sin reemplazo, los sucesos se pueden

considerar independientes; si el tamao de la muestra no es ms

del 5% del tamao de la poblacin (es decir, n 0.05N).

Cmo calcular probabilidades en un experimento binomial?

1. Ley de probabilidad: la distribucin de probabilidad binomial est

dada por la siguiente funcin:

p(x) = P (X= x) = . px.qn-x; x = 0, 1, 2, 3,,n

Donde =

!

()!!

Los parmetros de la distribucin binomial son n y p. si la x tiene

distribucin binomial se denota as: X~B(n, p)

2. Usando la tabla de probabilidades binomiales.

3. MEDIA Y VARIANZA DE LA DISTRIBUCIN BINOMIAL

La media y la varianza de la DISTRIBUCIN BINOMIAL

LA MEDIA (Esperanza matemtica)

= E(X) = n* p

LA VARIANZA

2 = VAR (X) = n* p* q

La funcin de distribucin acumulativa de probabilidades de la

distribucin binomial est dada por:

F(x) = P (Xx) = P (X = xi) = . pxi.qn-xi en ambos casos

xix.

EJERCICIO

1. Se lanza una moneda correcta 5 veces. Sea X = el nmero de caras

obtenidas. Calcule la probabilidad de obtener: a) 3 caras; b) a lo ms

2 caras; c) la distribucin de probabilidades; y d) la funcin de

distribucin acumulativa de probabilidades.

Solucin

En Excel: Para hallar la distribucin de probabilidades binomial, en la hoja de clculo

definimos en la columna A los valores de la variable x = 0, 1, 2, 3, 4 y 5. En la

columna B, definimos las probabilidades p(x) para cada uno de los valores.

Para ello, estando en la casilla B2, en funciones del Excel, escogemos Estadsticas (de seleccionar una categora) y buscamos la funcin DISTR.BINOM y aparece la

ventana de dilogo de la Figura 6.1.

En Argumentos de funcin se define: el nmero de xitos, Nm_xito A2 (0) para

poder efectuar una copia para los dems valores de x. Ensayos 5 (nmero de ensayos

independientes = 5 lanzamientos de la moneda). La probabilida p de xito Prob_xito 0.5 y en Acumulado escribir FALSO, porque no se desea calcular probabilidad

acumulada. Al hacer enter, aparece la probabilidad p(0) = 0.03125.

Para obtener las probabilidades para los otros valores de x, se efecta una copia de

lo anterior para las celdas sucesivas en B3, B4, B5, B6 y B7, cuyos resultados se

muestran en la Figura 6.2.

Para obtener las probabilidades acumuladas, estando en la casilla C2, seleccionamos

la ventana de dilogo de la Figura 6.1, con los mismos Argumentos de funcin, salvo

el de Acumulado en el que se escribe VERDADERO. Al hacer enter, aparece la

probabilidad F(0) = 0.03125.

Para obtener las probabilidades acumuladas para los otros valores de x, se efecta

una copia de lo anterior para las celdas sucesivas en C3, C4, C5, C6 y C7, cuyos

resultados se muestran en la Figura 6.2.

EN SPSS:

Para calcular las probabilidades simples (P) y las acumuladas (F) del ejemplo 6.2,

en la vista de variables se define x y en la vista de datos se ingresan los mismos (0,

1, 2, 3, 4 y 5). Veamos el clculo de probabilidades simples (P).

Del men escoger Transformar Calcular variable y aparece la ventana de

dilogo de la Figura 6.6. En Variable de destino: escribir P.

Del Grupo de funciones: del lado derecho, escoger FDP y FDP no centrada; y de

Funciones y variables especiales: seleccionar Pdf.Binom y con un clic en

ingresarla en el recuadro Expresin numrica: donde aparece PDF.BINOM(?,?,?).

Figura 6.6 Clculo de probabilidades con la distribucin binomial en SPSS

A continuacin, hay que definir cada uno de los argumentos ? indicados en la funcin

PDF.BINOM(cant,n,prob) que se precisan en el recuadro central de la Figura 6.6. As

cant representa los valores de la variable x, n el nmero de ensayos = 5 y prob = probabilidad de xito = 0.5. Para finalizar hacer clic en Aceptar y en la vista de

datos aparece los resultados siguientes:

Para el clculo de las probabilidades acumuladas (F) del ejemplo 6.2, proceder de

manera similar al clculo de probabilidades simples, con las variantes indicadas, tal

como se muestra en la Figura 6.7.

En la Variable de destino: se escribe F. Del Grupo de funciones: escoger FDA y FDA

no centrada; y de Funciones y variables especiales: seleccionar Cdf.Binom e

ingresarla en el recuadro Expresin numrica y definir los argumentos cant, n y prob

as: CDF.BINOM(x,5,0.5). Para finalizar hacer clic en Aceptar y en la vista

de datos aparece los resultados siguientes:

Nota.- para el clculo de probabilidades simples en SPSS se usa la funcin FDP y

FDP no centrada y para calcular las probabilidades acumuladas la funcin FDA y

FDA no centrada.

DISTRIBUCION POISSON

La distribucin Poisson se deduce como un lmite de la distribucin binomial y

como un proceso de Poisson.

Como un lmite de la distribucin binomial, se toma con media igual a = np

asumiendo p pequeo (p 0) y n grande (n ). La distribucin de probabilidades

de la variable aleatoria discreta de Poisson X = nmero de xitos viene dada por:

El parmetro de la distribucin Poisson es . Si una variable X tiene distribucin

Poisson, se le denota as X ~ P () y la ley de probabilidades es la antes indicada.

Media y varianza de la distribucin Poisson

La media y la varianza de la distribucin Poisson es la misma e igual a .

= E (X) = 2 = Var (X) = .

La funcin de distribucin acumulativa de probabilidades

La funcin de distribucin acumulativa de probabilidades de la Poisson esta dada por:

La deduccin como un proceso de Poisson, surge cuando hay eventos discretos

que se generan en un intervalo continuo t (unidad de medida: longitud, rea,

volumen, tiempo, etc.) y forman un proceso de Poisson con parmetro , si tiene las

siguientes propiedades.

El promedio de xitos que ocurren en una unidad de medida t es conocido e igual a t. La ocurrencia de los eventos son independientes.

La probabilidad de xito en una unidad de medida pequea de longitud h es

Proporcional a su longitud: h.

La probabilidad de ocurrencia de 2 o ms xitos en esta unidad pequea h es

aproximadamente cero.

Si en un proceso de Poisson de parmetro se observa t unidades de medida, se define

X = nmero de ocurrencias de eventos en las t unidades de medida. Entonces, el

recorrido de la variable es RX = {0, 1, 2, 3, . }.

La variable aleatoria X

tiene distribucin

Poisson definida por:

Donde t es el promedio de ocurrencias de los eventos en las t unidades de medida. En ambas frmulas del clculo de probabilidades con la distribucin de Poisson lo

primero que se tiene que determinar es la media, bien o t.

Ejemplo El promedio de llamadas recibidas por una central telefnica en un minuto es igual

a 2. Calcule la probabilidad de que en 2 minutos se reciban: a) 3 llamadas; b) a lo

ms 2 llamadas; c) la distribucin de probabilidades; y d) la funcin de distribucin

acumulativa de probabilidades.

En Excel: Para hallar la distribucin de probabilidades Poisson, en la hoja de clculo definimos

en la columna A los valores de la variable x = 0, 1, 2, 3, 4, ., 15, .. En la columna

B, definimos las probabilidades p(x) para cada uno de los valores.

Para ello, estando en la casilla B2, en funciones del Excel, escogemos Estadsticas (de seleccionar una categora) y buscamos la funcin POISSON y aparece la

ventana de dilogo de la Figura 6.8.

En Argumentos de funcin se define: el nmero de xitos, x A2 (0) para poder

efectuar una copia para los dems valores de x. Media 4 y en Acumulado escribir

FALSO, porque no se desea calcular probabilidad acumulada. Al hacer enter,

aparece la probabilidad p(0) = 0.01832.

Para obtener las probabilidades para los otros valores de x, se efecta una copia de

lo anterior para las celdas sucesivas en B3, B4, hasta B17, cuyos resultados se

muestran en la Figura 6.9.

Para obtener las probabilidades acumuladas, estando en la casilla C2, seleccionamos

la ventana de dilogo de la Figura 6.8, con los mismos Argumentos de funcin, salvo

el de Acumulado en el que se escribe VERDADERO. Al hacer enter, aparece la

probabilidad F(0) = 0.01832.

Para obtener las probabilidades acumuladas para los otros valores de x, se efecta

una copia de lo anterior para las celdas sucesivas en C3, C4, hasta C17, cuyos

resultados se muestran

En SPSS: Para calcular las probabilidades simples (P), en la vista de variables se define x y en la

vista de datos se ingresan los mismos (0, 1, 2, 3, 4, ., 15, ).

Del men escoger Transformar Calcular variable y aparece la ventana de

dilogo de la Figura 6.12. En Variable de destino: escribir P.

Del Grupo de funciones: del lado derecho, escoger FDP y FDP no centrada; y de

Funciones y variables especiales: seleccionar Pdf.Poison y con un clic en

ingresarla en el recuadro Expresin numrica: donde aparece PDF.POISSON(?,?).

A continuacin, hay que definir cada uno de los argumentos ? indicados en la funcin

PDF.POISSON(cant,media) que se precisan en el recuadro central de la Figura 6.12.

As cant representa los valores de la variable x, y media = = 4. Para finalizar hacer

clic en Aceptar y en la vista de datos aparece los resultados de la Figura 6.14.

Para el clculo de las probabilidades acumuladas (F) del ejemplo 6.3, proceder de

manera similar al clculo de probabilidades simples, con las variantes indicadas, tal

como se muestra en la Figura 6.13.

En la Variable de destino: se escribe F. Del Grupo de funciones: escoger FDA y

FDA no centrada; y de Funciones y variables especiales: seleccionar Cdf.Poisson

e ingresarla en el recuadro Expresin numrica y definir los argumentos cant y

media as: CDF.POISSON(x,4). Para finalizar hacer clic en Aceptar y en la vista

de datos aparece los resultados de la Figura 6.14.

DISTRIBUCIN HIPERGEOMTRICA

Esta distribucin esta asociada a experimentos del siguiente tipo: de un

conjunto de N objetos, de los cuales M poseen cierta caracterstica de inters

y el resto N M no la poseen, se extrae n objetos al azar y sin reemplazo; y

se observa el nmero x de objetos en la muestra que poseen la caracterstica

de inters.

Dicho experimento tiene asociada una variable aleatoria X que da el nmero

x de xitos (objetos en la muestra que poseen la caracterstica de inters) en n

ensayos de Bernoulli cuya distribucin de probabilidades esta dada por:

Los parmetros de la distribucin hipergeomtrica son N, M y n. Si una

variable X tiene distribucin hipergeomtrica, se le denota as X ~ Hiper (N,

M, n) y la ley de probabilidades es la antes indicada.

Media y varianza de la distribucin hipergeomtrica

La media y la varianza de la distribucin hipergeomtrica son:

= E (X) = np y 2 = Var (X) = npq(N n) /

(N 1) Donde: p = M/N y q = (N M) / N =

1 - p

La funcin de distribucin acumulativa de probabilidades

La funcin de distribucin acumulativa de probabilidades de la

hipergeomtrica est dada por:

Ejemplo

De la baraja de 52 cartas se reparten 5 naipes sin reposicin. Sea X el nmero de

naipes de color negros repartidos. Calcule la probabilidad de que entre los 5 naipes

repartidos hayan: a) 3 naipes negros; b) a lo ms 2 naipes negros; c) la distribucin

de probabilidades; y d) la funcin de distribucin acumulativa de probabilidades.

Solucin

En Excel: Para hallar la distribucin de probabilidades hipergeomtrica, en la hoja de clculo

definimos en la columna A los valores de la variable x = 0, 1, 2, 3, 4 y 5. En la

columna B, definimos las probabilidades p(x) para cada uno de los valores.

Para ello, estando en la casilla B2, en funciones del Excel, escogemos Estadsticas (de seleccionar una categora) y buscamos la funcin DISTR.HIPERGEOM y

aparece la ventana de dilogo.

En Argumentos de funcin se define: el nmero de xitos en la muestra, Muestra_xito A2 (0) para poder efectuar una copia para los dems valores de x. Num_de_muestra 5 (es el tamao de la muestra n). Poblacin_xito 26 (es el

nmero de xitos en la poblacin = M) y en Num_de_poblacin 52 (el tamao de

la poblacin N). Al hacer enter, aparece la probabilidad p(0) = 0.02531.

Para obtener las probabilidades para los otros valores de x, se efecta una copia de

lo anterior para las celdas sucesivas en B3, B4, B5, B6 y B7, cuyos resultados se

muestran.

Las probabilidades acumuladas F(x) se han determinado haciendo los clculos en

la columna C usando los de la columna B, estos se muestran en la Figura 6.16.

En SPSS:

Para calcular las probabilidades simples (P) del ejemplo 6.4, en la vista de variables se

define x y en la vista de datos se ingresan los mismos (0, 1, 2, 3, 4, 5).

Del men escoger Transformar Calcular variable y aparece la ventana de dilogo

de la Figura 6.19. En Variable de destino: escribir P.

Del Grupo de funciones: del lado derecho, escoger FDP y FDP no centrada; y de

Funciones y variables especiales: seleccionar Pdf.Hiper y con un clic en ingresarla en

el recuadro Expresin numrica: donde aparece PDF.HIPER(?,?,?,?).

A continuacin, hay que definir cada uno de los argumentos ? indicados en la funcin

PDF.HIPER(cant,total,muestra,aciertos) que se precisan en el recuadro central de la

Figura 6.19. As cant representa los valores de la variable x, total = N = 52, muestra = n

= 5 y aciertos = M = 26. Para finalizar hacer clic en Aceptar y en la vista de datos aparece

los resultados de la Figura 6.21.

Para el clculo de las probabilidades acumuladas (F) del ejemplo 6.4, proceder de manera

similar al clculo de probabilidades simples, con las variantes indicadas, tal como se

muestra.

En la Variable de destino: se escribe F. Del Grupo de funciones: escoger FDA y FDA no

centrada; y de Funciones y variables especiales: seleccionar Cdf.Hiper e ingresarla en

el recuadro Expresin numrica y definir los argumentos cant, total, muestra y aciertos,

as: CDF.HIPER(x,52,5,26).

Para finalizar hacer clic en Aceptar y en la vista de datos aparece los resultados de la Figura.