Estadística y Probabilidad II

Distribución NormalCiclo escolar 2014-2015

Distribución Normal• Es una distribución de probabilidad de variable aleatoria continua,

propuesta por Abraham de Moivre en 1733. También recibe el nombre de Distribución de Gauss o Distribución Gaussiana.

• La importancia de esta distribución radica en que permite modelar numerosos fenómenos naturales, sociales y psicológicos.

• Algunos ejemplos de variables asociadas a fenómenos naturales que siguen el modelo de la normal son:– caracteres morfológicos de individuos como la estatura;– caracteres fisiológicos como el efecto de un fármaco;– caracteres sociológicos como el consumo de cierto producto por un

mismo grupo de individuos;– caracteres psicológicos como el cociente intelectual;– nivel de ruido en telecomunicaciones;– errores cometidos al medir ciertas magnitudes;– etc.

• Incluso otras distribuciones de probabilidad (sean continuas o discretas) que conllevan una gran cantidad de datos tienen una gran semejanza a la Distribución Normal.

Distribución Normal

𝑃 𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏 =1

𝜎 2 𝜋 𝑎

𝑏

𝑒− 𝑥−𝜇 2

2𝜎2 𝑑𝑥

Donde

𝝁: es la media aritmética de los datos

𝝈: es la desviación estándar o típica de los datos

Distribución Normal• La función de densidad , es la expresión en términos de la ecuación

matemática llamada Curva de Gauss o Campana de Gauss.

𝑓(𝑥) =1

𝜎 2𝜋𝑒− 𝑥−𝜇 2

2𝜎2

• Propiedades– Es simétrica respecto a la media 𝜇– Tiene un máximo en la media 𝜇– Crece hasta la media 𝜇 y decrece

a partir de ella.– En los puntos 𝜇 − 𝜎 y 𝜇 + 𝜎

presenta puntos de inflexión.– El eje de las abscisas es una

asíntota de la curva.– Si 𝑋 es una variable aleatoria que sigue una distribución normal con media 𝜇 y

desviación típica 𝜎, se puede transformar en una variable aleatoria 𝑍 que sigue una distribución normal con media 0 y desviación típica 1 (llamada Distribución Normal Estándar) mediante el cambio de variable siguiente:

𝑍 =𝑋 − 𝜇

𝜎(Veremos muchos ejemplos mas adelante)

Ejemplos de Problemas de Distribución Normal (los resolveremos después)

• En una ciudad se estima que la temperatura máxima en el mes de junio sigue una distribución normal, con media 23° y desviación típica 5°. Calcular el número de días del mes en los que se espera alcanzar máximas entre 21° y 27°.

• En una ciudad una de cada tres familias posee teléfono. Si se eligen al azar 90 familias, calcular la probabilidad de que entre ellas haya por lo menos 30 tengan teléfono. (Se trata en realidad de un problema de distribución binomial con 𝑛 = 90, 𝑝 = 1/3 y 𝑥 ≥ 30. Pero como 𝑛 es muy grande, se vuelve impráctico realizar este problema usando la formula binomial, por eso se usa una aproximación usando la distribución normal)

• Varios test de inteligencia dieron una puntuación que sigue una ley normal con media 100 y desviación típica 15– Determinar el porcentaje de población que obtendría un coeficiente entre 95

y 110– En una población de 2500 individuos ¿cuántos individuos se esperan que

tengan un coeficiente superior a 125?

Distribución Normal Estándar

• La función de Distribución Normal Estándar es una función de Distribución Normal con media 0 y desviación típica 1.

• Por la última propiedad mencionada hace dos diapositivas, cualquier problema de Distribución Normal se puede transformar en un problema de Distribución Normal Estándar, por lo que resulta útil (además de muy practico) aprender a resolver primero los problemas que son de Distribución Normal Estándar, empezando por aprender a usar las tablas de Distribución Normal Estándar.

Tablas de Distribución Normal Estándar

• Existen distintos tipos de Tablas de Distribución Normal Estándar, y cada una de ellas se utiliza de forma distinta. Aquí aprenderemos a usar el que se encuentra en la esquina superior izquierda, pero lo mas recomendable es aprender a identificar cada una de ellas y entender como se ocupan para cualquier situación que se presente.

Tablas de Distribución Normal Estándar

• Comúnmente cada Tabla de Distribución Normal Estándar esta representada por un icono que nos ayuda a interpretar los valores que tiene la tabla.

• 𝑃 0 ≤ 𝑧 ≤ 𝑧0

• 𝑃 −∞ < 𝑧 ≤ 𝑧0 (𝑧0 ≥ 0)

• 𝑃 −∞ < 𝑧 ≤ 𝑧0 (𝑧0 ≤ 0)

Uso de la Tabla de Distribución Normal Estándar (Actividad 1)

Calcule las siguientes probabilidades usando la Tabla de Distribución Normal Estándar

• 𝑃 0 ≤ 𝑧 ≤ 1.22 =

• 𝑃 −0.25 ≤ 𝑧 ≤ 1.15 =

• 𝑃 0.46 ≤ 𝑧 ≤ 1.78 =

• 𝑃 0.22 ≤ 𝑧 ≤ 1.83 =

• 𝑃 −0.22 ≤ 𝑧 ≤ 1.12 =

• 𝑃 −1.13 ≤ 𝑧 ≤ 0 =

• 𝑃 −2.20 ≤ 𝑧 ≤ 0.94 =

• 𝑃 −1.38 ≤ 𝑧 ≤ −0.44 =

• 𝑃 0.22 ≤ 𝑧 ≤ 1.12 =

• 𝑃 0.37 ≤ 𝑧 ≤ 0.97 =

Uso de la Tabla de Distribución Normal Estándar (Actividad 2)

Calcule las siguientes probabilidades usando la Tabla de Distribución Normal Estándar

• 𝑃 0 ≤ 𝑧 ≤ 0.33 =

• 𝑃 −∞ < 𝑧 ≤ 0.39 =

• 𝑃 2.13 ≤ 𝑧 ≤ 3 =

• 𝑃 0.83 ≤ 𝑧 ≤ 2.11 =

• 𝑃 −∞ < 𝑧 ≤ 1.12 =

• 𝑃 −2.15 ≤ 𝑧 ≤ 0.26 =

• 𝑃 −0.11 ≤ 𝑧 ≤ 0 =

• 𝑃 0.35 ≤ 𝑧 < ∞ =

• 𝑃 −2.27 ≤ 𝑧 ≤ −1.11 =

• 𝑃 0.18 ≤ 𝑧 < ∞ =

Distribución Normal no Estándar (Formula de Tipificación)

• Suponga que 𝑋 es una Variable Aleatoria que sigue una distribución normal con media 𝜇 = 8 y desviación típica 𝜎 = 3, calcule las siguientes probabilidades

o 𝑃 6 ≤ 𝑥 ≤ 11 =

o 𝑃 𝑥 ≥ 9.5 =

o 𝑃(𝑥 ≤ 9) =

XZ

Formula de Tipificación

Si X es una variable Aleatoria que sigue un distribución estándar con las características que se mencionan, calcule los siguientes valores

• 𝜇 = 1.25, 𝜎 = 0.22

o 𝑃 1 ≤ 𝑥 ≤ 1.5 =

o 𝑃 1.3 ≤ 𝑥 ≤ 2 =

o 𝑃 𝑥 ≤ 1.2 =

o 𝑃 𝑥 ≥ 1.1 =

• 𝜇 = 2533, 𝜎 = 837

o 𝑃 100 ≤ 𝑥 ≤ 3000 =

o 𝑃 2000 ≤ 𝑥 ≤ 3500 =

o 𝑃 𝑥 ≤ 3000 =

o 𝑃 𝑥 ≥ 2700 =

Problemas de Distribución Normal que involucran Valores Discretos

• La distribución normal es una distribución de variable aleatoria continua, por lo que los símbolos < y ≤ son similares e indistinguibles.

• Pero cuando se trabaja con variables aleatorias discretas no es así. Por lo que conviene que en el intervalo de nuestro problema a la cota inferior de nuestra variable aleatoria se le disminuya en la mitad del intervalo mas pequeño que se pueda tomar, y a la cota superior se le aumente en esa misma cantidad también. Si algunas de las cotas es +∞ o –∞ esto es irrelevante.

• Lo mismo ocurre cuando mencionamos la precisión de un instrumento de medición tomando en cuenta la unidad mas pequeña que se puede medir.

Ejemplo

En una clase de matemáticas hay 32 alumnos, y el promedio de sus calificaciones es de 7.3 con una desviación típica de 1.a) ¿Cuál es la probabilidad de que un alumno elegido al azar

tenga una calificación de 7.0?b) ¿Cuál es la probabilidad de que un alumno elegido al azar

tenga una calificación de 7.1?c) ¿Cuál es la probabilidad de que un alumno elegido al azar

tenga una calificación de 7.2?d) ¿Cuál es la probabilidad de que un alumno elegido al azar

tenga una calificación de 7.3?e) ¿Cuál es la probabilidad de que un alumno elegido al azar

tenga una calificación entre 7.0 y 7.3 inclusive?f) ¿Cuántos alumnos tienen una calificación entre 7.0 y 7.3

inclusive?

Problemas de Distribución Normal que involucran Valores Discretos

• Varios test de inteligencia dieron una puntuación que sigue una ley normal con media 100 y desviación típica 15– Determinar el porcentaje de población que obtendría un

coeficiente entre 95 y 110• Aquí nos pide calcular la probabilidad de que 95 ≤ 𝑥 ≤ 110. Como la

medida mas pequeña para el test de coeficiente es un entero, reducimos en 0.5 la cota inferior y aumentamos en 0.5 la cota superior para obtener 𝑃 94.5 ≤ 𝑥 ≤ 110.5 .

– En una población de 2500 individuos ¿cuántos individuos se espera que tengan un coeficiente superior a 125?

• En una ciudad se estima que la temperatura máxima en el mes de junio sigue una distribución normal, con media 23°y desviación típica 5°. Calcular el número de días del mes en los que se espera alcanzar máximas entre 21° y 27°.

Actividad

• Entre las ciudades de Estados Unidos con una población de 250 000 habitantes, la media del tiempo de viaje de ida al trabajo es de 24.3 min. El tiempo de viaje más largo pertenece a New York, donde el tiempo medio es de 38.3 minutos. Suponga que la distribución de los tiempos de viaje en la ciudad de New York, tiene una distribución de probabilidad normal y la desviación estándar es de 7.5 minutos.a) ¿Qué porcentaje de viajes en la ciudad de New York

consumen menos de 30 minutos?b) ¿Qué porcentaje de viaje consumen entre 30 y 35 minutos?c) ¿Qué porcentaje de viaje consumen entre 30 y 40 minutos?d) ¿Qué porcentaje de viaje consumen más de 40 minutos?

Actividad• Las calificaciones de los 500 aspirantes presentados a un examen para

contratación laboral, se distribuye normalmente con media 6.5 y varianza 4.a) Calcule la probabilidad de que un aspirante obtenga más de 8 puntos.b) Determine la proporción de aspirantes con calificaciones inferiores a 5

puntos.c) ¿Cuántos aspirantes obtuvieron calificaciones comprendidas entre 5 y

7.5?

• Analizadas 240 determinaciones de colesterol en sangre, se observó que se distribuían normalmente con media 100 y desviación típica 20.a) Calcule la probabilidad de que una determinación sea inferior a 94.b) ¿Qué proporción de determinaciones tienen valores comprendidos

entre 105 y 130?.c) ¿Cuántas determinaciones fueron superiores a 138?.

• Los 460 alumnos de un centro tienen 156 cm. de estatura media con una varianza de 8.1 cm.a) Determine el porcentaje de alumnos que miden más de 160 cm.b) ¿Cuántos alumnos miden entre 140 y 150 cm.?