La distribucin normalWalter Lpez Moreno, MBA, cDBA

Centro de Competencias de la ComunicacinUniversidad de Puerto Rico en Humacao

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Tabla de contenidoIntroduccin Objetivo generalObjetivos especficos Instrucciones de cmo usar la presentacin Glosario de trminos

La distribucin normal Utilidad La funcinPropiedades de la distribucin normal Teorema del lmite central

Tabla de contenidoLa distribucin normal estndarCaractersticasEjemplos y Ejerciciosrea bajo la curva normal estndarEjercicios de pruebaReferencias

IntroduccinUna de las herramientas de mayor uso en las empresas es la utilizacin de la curva normal para describir situaciones donde podemos recopilar datos. Esto nos permite tomar decisiones que vayan a la par con las metas y objetivos de la organizacin.

En este mdulo se describe la relacin de la Distribucin normal con la Distribucin normal estndar. Se utilizan ejemplos y ejercicios donde se ensea sobre la determinacin de probabilidades y sus aplicaciones.

Este mdulo va dirigido a todos/as los/as estudiantes de Administracin de Empresas en sus distintas concentraciones.

Objetivos de la presentacinObjetivo generalEsperamos que cuando termines esta presentacin puedas utilizar la distribucin normal para obtener probabilidades, intervalos y cantidades especficas. Objetivos especficosAdems, esperamos que puedas:Identificar las propiedades de una distribucin normal.Encontrar el rea bajo una distribucin normal estndar.Interpretar reas bajo la curva normal de acuerdo al problema.

Instrucciones de cmo usar la presentacin La presentacin se inicia con material terico de los conceptos generales.

Luego de leer el material que sirve de introduccin, podrs establecer enlaces que demuestran de forma dinmica los conceptos tericos.

Te recomiendo que tengas acceso a Internet mientras trabajas la presentacin.

Siempre que se te presente la siguiente figura: puedes presionarla para navegar adecuadamente a travs de toda la presentacin.

Glosario de trminos Asinttica Lnea que se acerca indefinidamente a un eje sin llegar a encontrarlo.

Aleatorias Que son al azar.

Tipificada Que tiene un arreglo uniforme o estndar.

Morfolgicos Aspecto general de las formas y dimensiones de un cuerpo.

La distribucin normal La distribucin normal fue reconocida por primera vez por el francs Abraham de Moivre (1667-1754).

Posteriormente, Carl Friedrich Gauss (1777-1855)realiz estudios ms a fondo donde formula la ecuacin de la curva conocida comnmente, como la Campana de Gauss".

UtilidadSe utiliza muy a menudo porque hay muchas variables asociadas a fenmenos naturales que siguen el modelo de la norma.Caracteres morfolgicos de individuos (personas, animales, plantas,...) de una especie, por ejemplo: tallas, pesos, dimetros, distancias, permetros,... Caracteres fisiolgicos, por ejemplo: efecto de una misma dosis de un frmaco, o de una misma cantidad de abono

UtilidadCaracteres sociolgicos, por ejemplo: consumo de cierto producto por un mismo grupo de individuos, puntuaciones de examen Caracteres psicolgicos, por ejemplo: cociente intelectual, grado de adaptacin a un medio,... Errores cometidos al medir ciertas magnitudesValores estadsticos mustrales como la media, varianza y moda

La funcin de distribucin Puede tomar cualquier valor (- , + ) Hay ms probabilidad para los valores cercanos a la media m Conforme nos separamos de m , la probabilidad va decreciendo de igual forma a derecha e izquierda (es simtrica). Conforme nos separamos de m , la probabilidad va decreciendo dependiendo la desviacin tpica s.

La funcin F(x)

F(x) es el rea sombreada de la siguiente grfica

Propiedades de la distribucin normal: El rea bajo la curva aproximado del promedio a ms o menos una desviacin estndar (1) es de 0.68, a ms o menos 2 es de .0 95 y a ms o menos 3 es de 0.99.(Las propiedades continuan en la prxima lmina)

Propiedades de la distribucin normal:

La forma de la campana de Gauss depende de los parmetros y .Tiene una nica moda que coincide con su media y su mediana. La curva normal es asinttica al eje de X.Es simtrica con respecto a su media . Segn esto, para este tipo de variables existe una probabilidad de un 50% de observar un dato mayor que la media, y un 50% de observar un dato menor.

La desviacin estndar ( )Compruebe el cambio de la distribucin variando la desviacin estndar Nota cuando llegue al enlance utilice la grfica #3 Tipificacin de la variable

La media Compruebe el cambio de la distribucin variando la media Nota cuando llegue al enlance utilice la grfica #2 Familiarizndonos con la normal

En resumenPodemos concluir que hay una familia de distribuciones con una forma comn, diferenciadas por los valores de su media y su varianza. La desviacin estndar ( ) determina el grado de apuntamiento de la curva. Cuanto mayor sea el valor de , ms se dispersarn los datos en torno a la media y la curva ser ms plana. La media indica la posicin de la campana, de modo que para diferentes valores de la grfica es desplazada a lo largo del eje horizontal. De entre todas ellas, la ms utilizada es la distribucin normal estndar, que corresponde a una distribucin de media 0 y varianza 1.

La distribucin normal estndar Z se la denomina variable tipificada de X, y a la curva de su funcin de densidad se le conoce como la curva normal estndar.Es una distribucin normal con promedio 0 y una desviacin estndar de 1.Todas las variables normalmente distribuidas se pueden transformar a la distribucin normal estndar utilizando la frmula para calcular el valor Z correspondiente.

La funcin F(z)En la siguiente grfica vemos la representacin grfica de la funcin de Z.

En resumenPodemos decir que el valor de Z es la cantidad de desviaciones estndar a la que est distanciada la variable X del promedio. A la variable Z se la denomina variable tipificada de X, y a la curva de su funcin de densidad se le conoce como la curva normal estndar

Caractersticas de la distribucin normal estndar.

No depende de ningn parmetro. Su media es 0, su varianza es 1 y su desviacin estndar es 1. La curva f(x) es simtrica respecto del eje de Y Tiene un mximo en el eje de Y. Tiene dos puntos de inflexin enz=1 yz=-1

Teorema del Lmite Central Nos indica que, bajo condiciones muy generales, segn aumenta la cantidad de datos, la distribucin de la suma de variables aleatorias tendera a seguir hacia una distribucin normal.En otras palabras el Teorema del Lmite Central garantiza una distribucin normal cuando el tamao de la muestra es suficientemente grande.

Por ejemploEn el siguiente histograma podemos observar la distribucin de frecuencias por peso de acuerdo a la edad. De acuerdo a este teorema segn aumenten la cantidad de dato se podr trazar una curva que tome cada vez ms formacin en forma campana.

rea bajo la curva normal estndar El rea bajo la curva normal estndar es til para asignar probabilidades de ocurrencia de la variable X. Debemos tomar en cuenta que el rea total bajo la curva es igual a 1. Y que, por ser una grfica simtrica, cada mitad tiene un rea de 0.5.

Obtenga mas informacin de cmo asignar probabilidades utilizando las Tablas.

Pasos para determinar el rea bajo la curva normal estndarPaso 1 - Interpretar grficamente el rea de inters.Paso 2 - Determinar el valor ZPaso 3 - Buscar en la tabla de probabilidades.Paso 4 - Hacer la suma o resta de reas para encontrar la probabilidad deseada

Ejemplos y ejercicios Supongamos que sabemos que el peso de los/as estudiantes universitarios/as sigue una distribucin aproximadamente normal, con una media de 140 libras y una desviacin estndar de 20 libras.

Ejemplo 1

Determine la probabilidad de que una persona tenga un peso menor o igual a 150 librasPaso 1 Interpretar grficamente el rea de inters.Grficamente si decimos que a=150 libras, el rea de la curva que nos interesa es la siguiente:

Ejemplo 1

Determine la probabilidad de que una persona tenga un peso menor o igual a 150 librasPaso 2 - Determinar el valor Z: Paso 3 - Buscar en la tabla de probabilidades.Buscamos en la Tabla 1 el valor Z=0.50 y obtenemos el rea de 0.6915

Paso 4 - Hacer la suma o resta de reas para encontrar la probabilidad deseada. En este ejemplo no es necesario realizar ningn computo adicional ya que el rea es la misma que se representa en la Tabla 1Compruebe de forma interactiva el valor Z

Ejemplo 2

Si deseamos la probabilidad de que una persona, elegida al azar, tenga un peso mayor o igual a 150 libras Paso 1 Interpretar grficamente el rea de inters.

Grficamente si decimos que a=150 libras, el rea de la curva que nos interesa es la siguiente:

Ejemplo 2

Si deseamos la probabilidad de que una persona, elegida al azar, tenga un peso mayor o igual a 150 libras Paso 2 - Determinar el valor Z:

Paso 3 - Buscar en la tabla de probabilidades.Buscamos en la Tabla 1 el valor Z=0.50 y obtenemos el rea de 0.6915. Paso 4 - Hacer la suma o resta de reas para encontrar la probabilidad deseada. En este ejemplo el rea de 0.6915 no representa el rea que nos interesa sino la contraria. En este caso debemos restarle 1 a la probabilidad encontrada.1 - .6915 = 0.3085

Ejemplo 3

Determine la probabilidad de que una persona, elegida al azar, tenga un peso menor o igual a 115 libras Paso 1 Interpretar grficamente el rea de inters.Grficamente si decimos que a=115 libras, el rea de la curva que nos interesa es la siguiente:

Ejemplo 3

Determine la probabilidad de que una persona, elegida al azar, tenga un peso menor o igual a 115 libras Paso 2 - Determinar el valor Z:

Paso 3 - Buscar en la tabla de probabilidades.Buscamos en la Tabla 1 el valor Z=-1.25 y obtenemos el rea de 0.8944. Paso 4 - Hacer la suma o resta de reas para encontrar la probabilidad deseada. En este ejemplo el rea de 0.8944 no representa el rea que nos interesa sino la contraria. En este caso debemos restarle 1 a la probabilidad encontrada.1 - .8944 = 0.2212

Ejemplo 4

Si deseamos la probabilidad de que una persona, elegida al azar, tenga un peso entre 115 y 150 libras.

Paso 1 Interpretar grficamente el rea de inters.Grficamente si decimos que a=115 libras y b=150 libras, el rea de la curva que nos interesa es la siguiente

Ejemplo 4

Si deseamos la probabilidad de que una persona, elegida al azar, tenga un peso entre 115 y 150 libras.

Paso 2 - Determinar el valor Z

Cuando X=115 Cuando X=150 Paso 3 - Buscar en la tabla de probabilidades.Buscamos en la Tabla 1 el valor Z=-1.25 y obtenemos el rea de 0.8944. Buscamos en la Tabla 1 el valor Z=0.50 y obtenemos el rea de 0.6915

Ejemplo 4

Si deseamos la probabilidad de que una persona, elegida al azar, tenga un peso entre 115 y 150 libras.

Paso 4 - Hacer la suma o resta de reas para encontrar la probabilidad deseada. El rea de 0.8944 se le resta la diferencia de 1-.6915. 0.8944 (1-.6915) = .5859

Ejemplo 5

Determine la probabilidad de que una persona tenga un peso menor o igual a 150librasPaso 1 Interpretar grficamente el rea de inters.Grficamente si decimos que a=150 libras y b= 160 libras, el rea de la curva que nos interesa es la siguiente:

Ejemplo 5

Determine la probabilidad de que una persona tenga un peso menor o igual a 150librasPaso 2 - Determinar el valor ZComo vimos en el ejemplo 1 y 2 E valor Z cuando X=150 es 0.50.Para X=160 el valor Z ser:

Paso 3 - Buscar en la tabla de probabilidades.Buscamos en la Tabla 1 el valor Z=0.50 y obtenemos el rea de 0.6915. Cuando Z = 1.0 el rea es de 0.8413.

Ejemplo 5

Determine la probabilidad de que una persona tenga un peso menor o igual a 150librasPaso 4 - Hacer la suma o resta de reas para encontrar la probabilidad deseada. En este ejemplo se resta el rea mayor menos el rea menor como se interpreto en el paso 1. 0.8413 - .6915 = 0.1498

Ejemplo 6

Determine la probabilidad de elegir a una persona que pese entre 115 y 130 libras. Paso 1 Interpretar grficamente el rea de inters. Grficamente si decimos que a=115 libras y b= 130 libras, el rea de la curva que nos interesa es la siguiente:

Ejemplo 6

Determine la probabilidad de elegir a una persona que pese entre 115 y 130 libras.Paso 2 - Determinar el valor Z

Cuando X=115

para X=130

Paso 3 - Buscar en la tabla de probabilidades.Buscamos en la Tabla 1 el valor Z=-1.25 y obtenemos el rea de (1-0.8944.)=0.1056 Para Z = -.050 el rea es de (1-.6915)=.3085

Ejemplo 6

Determine la probabilidad de elegir a una persona que pese entre 115 y 130 libras.Paso 4 - Hacer la suma o resta de reas para encontrar la probabilidad deseada. En este ejemplo el rea ser la diferencia de .3085-.1056=.2029.

Ejercicios de prueba Trabaje los ejercicios de este enlace utilizando la tabla de probabilidades y luego compruebe los resultados interaccionando con las grficas. Para el primer ejercicio observe la grfica, manipule los parmetros m (m) y s (s) y luego redacte una descripcin detallada sobre las caractersticas de una curva normal con media de 0 y desviacin estndar de 1.

ReferenciasAnderson, S. (2006). Estadsticas para administracin y economa, Thomson,

Newbold, P. (2003). Statistics for Business And Economics, Prentice Hall.

Altman, D., Bland, J. (1995). Statistics Notes: The Normal Distribution. BMJ, ; 310: 298-298.

Bluman Allan, G. (2007). Statistics, Mc Graw Hill,

Prtega, D., Pita F. (2001) Representacin grfica en el anlisis de datos. Cad Aten Primaria; 8: 112-117.

Referenciashttp://descartes.cnice.mecd.es/index.html

http://www.aulafacil.com/CursoEstadistica/Lecc-34-est.htm

http://www.ruf.rice.edu/~lane/stat_sim/sampling_dist/index.html

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