curso de nivelación estadística y...

Distribuciones continuas de probabilidadDistribuciones de probabilidad continuas

Curso de nivelación Estadística y Matemática

Cuarta clase: Distribuciones de probablidad continuas

Juan Diego Chavarría Mejía

Luis Diego Fernández Gómez

Programa Técnico en Riesgo, 2017

Juan Diego Chavarría Mejía Luis Diego Fernández Gómez Distribuciones Continuas


Agenda

1 Distribuciones continuas de probabilidad

Variable aleatoria Continua

Valor esperado de una variable aleatoria continua.

Varianza.

2 Distribuciones de probabilidad continuas

Distribución Uniforme

Distribución Normal

Distribución Logarítmica Normal

Distribución T-Student

Distribución Exponencial

Distribución Beta



Variable aleatoria ContinuaValor esperado de una variable aleatoria continua.Varianza.

Agenda




Varianza.







Distribución Beta




De�nición

¾Qué es una variable aleatoria continua?

Es una variable aleatoria donde el número de resultados

posibles es ilimitado o in�nito.

Ejemplo

Rendimiento promedio de una acción.




Pdf vs cdf

Probability density function

Es la probabilidad en el punto de una variable aleatoria.

fX (x) = P (X = x)

Cumulative distribution function

Es la probabilidad acumulada hasta un punto de una variable

aleatoria.

F (x) = P (X ≤ x)




Agenda




Varianza.







Distribución Beta




Propiedades

Valor esperado

Por analogía con las fórmulas de media de las distribuciones

discretas

Fórmula

µ = E (X ) =∫

α

−α

f (x)x dx




Agenda




Varianza.







Distribución Beta




De�nición

Fórmula

σ2 =

∫α

−α

f (x)(x−µ)2 dx



Distribución UniformeDistribución NormalDistribución Logarítmica NormalDistribución T-StudentDistribución ExponencialDistribución Beta

De�nición

Características

Las variables continuas son in�nitamente divisibles.

La probabilidad asociada con un intervalo de valores es igual al

área bajo la curva.

El área bajo la curva total debe ser igual a 1.




Agenda




Varianza.







Distribución Beta




De�nición

Distribución uniforme

Es una distribución en la cual las probabilidades de todos los

resultados son las mismas.




De�nición




Función de probabilidad

f (x |a,b) =

{1

b−a0

si x ε [a,b]

otro caso

Media

E (x) = µ =a+b

2

Varianza

σ2 =

(b−a)2

12




Asimetría

As = 0

Curtosis

κ =9

5




Fórmula de cálculo

La probabilidad de que ”x” este entre dos observaciones es

f (x1 ≤ X ≤ x2|a,b) =x2−x1b−a




Utilizada

Generalmente utilizada para

Cuando se tiene un conocimiento muy general o poco

conocimiento sobre la distribución que siguen los datos.

Para generación de números aleatorios.




Agenda




Varianza.







Distribución Beta




De�nición

Distribución normal

Es llamada distribución Gaussiana. Es fundamental para el

análisis estadístico, dado que gran cantidad de fenómenos se

comportan como una distribución normal. Se caracteriza por

su simetría con respecto a la media. Además es perfectamente

determinada cuando se conoce µ y σ .




Pdf




Cdf






f (x |µ,σ2) =1√2πσ

e−(x−µ)2

2σ2




Propiedades

Propiedades

Es simetríca respecto a µ (La mediana y moda son iguales).

La distribución entorno a su media sigue la regla empírica.

Regla empírica

La regla empírica especi�ca que, sin considerar el valor de la

media o la desviación estándar:

el 68,3% de las observaciones está a una desviación estándar

de la media.

el 95,5% de las observaciones está a dos desviación estándar

de la media.

el 99,7% de las observaciones está a tres desviación estándar

de la media.




Propiedades

Propiedades

Si X ∼ N(µ,σ2

)y a y b son números reales, entonces

(aX +b)∼ N(aµ +b,a2σ2

)Estandarizamos

Podemos convertir cualquier distribución normal en una

distribución con media igual a 0 (µ = 0) y desviación estándar

igual a 1 (σ = 1), realizando la siguiente operación.

Z =X −µ

σ




Media

E (x) = µ

Varianza

σ2

Asimetría

As = 0

Curtosis

κ = 3




Utilizada


Para describir atributos humanos o de objetos.

Gran cantidad de datos se pueden considerar que siguen el

comportamiento de una distribución normal.

Los promedios siguen una distribución normal.




Agenda




Varianza.







Distribución Beta




De�nición

Distribución log-normal

Si X es una variable aleatoria cuyo logarítmo se distribuye

normalmente (esto es, log (X )∼ N(µ,σ2

)), entonces X se

considera distribuida mediante una distribución logarítmica

normal. Por esto, es usualmente utilizada para datos

transformados logarítmicamente.




Pdf




Cdf






f (x |µ,σ2) =1√2πσ

1

xe−(log(x)−µ)2

2σ2




Utilizada


Para modelar tiempo de procesos.




Agenda




Varianza.







Distribución Beta




De�nición

Distribución t-student

Es una distribución centrada alrededor de cero y caracterizada

por un solo parámetro llamado grados de libertad (n-1).

Es semejante a la distribución normal estándar, pero con colas

más pesadas.

A medida que aumente el tamaño de la muestra, la

distribución t se aproxima a la normal estándar.




Pdf




Cdf




Agenda




Varianza.







Distribución Beta




De�nición


Analóga a la distribución Poisson (que mide el número de

ocurrencias sobre algún intervalo de tiempo o espacio), la

distribución exponencial mide el paso del tiempo entre tales

ocurrencias. Así podemos decir que si el número de

ocurrencias tiene distribución de Poisson, el lapso entre las

ocurrencias estará distribuido exponencialmente.




Pdf




Cdf






f (x |µ) = 1

βe−xβ




Media y varianza

Media

µ = β

Varianza

σ2 = β

2




Utilizada


Para modelar el lapso entre dos eventos consecutivos de

Poisson que ocurren de manera independiente .




Agenda




Varianza.







Distribución Beta




De�nición

Distribución Beta

Es una distribución continua en la famialia de (0,1) descrita

por dos parámetros. Esta distribución es una de las pocas

distribuciones que acumulan la probabilidad de 1 en un

intervalo �nito, en este caso de (0,1).




De�nición






f (x |α,β ) =1∫

1

0xα−1 (1−x)β−1 dx

xα−1 (1−x)β−1




Media y varianza

Media

µ =α

α +β

Varianza

σ2 =

αβ

(α +β )2 (α +β +1)




Utilizada


Permite generar una gran variedad de per�les.




Bibliografía

Barrantes G., Miguel

Elementos de estadística descriptiva. EUNED, 1998.

Kenneth N., Berk & Patrick, Carey

Análisis de datos con Microsoft Excel Actualizado para Office2000Thomson Learning, 2000.

Gitman, Lawrence.

Principios de administración FinancieraPearson Education, Décima edición.

Webster L., Allen

Estadística aplicada a los negocios y la economíaIrwin McGraw-Hill, Tercera edición.


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