CALCULO

FUNCIONES

PAR ORDENADO

Un par ordenado es una pareja de objetos matemáticos, en la que se distingue un elemento y otro. El par ordenado cuyo primer elemento es A y cuyo segundo elemento es B se denota como (a, b).

Un par ordenado (a, b) no es el conjunto que contiene a A y B, denotado por {a, b}. Un conjunto está definido únicamente por sus elementos, mientras que en un par ordenado el orden de estos es también parte de su definición. Por ejemplo, los conjuntos {0, 1} y {1, 0} son idénticos, pero los pares ordenados (0, 1) y (1, 0) son distintos.

PRODUCTO CARTESIANO

El producto cartesiano de dos conjuntos es una operación, que resulta en

otro conjunto, cuyos elementos son todos los pares ordenados que pueden formarse de forma que el primer elemento del par ordenado pertenezca al primer conjunto y el segundo elemento pertenezca al segundo conjunto se expresa como AxB ={(a,b)/ a A Ʌ b B}.

Para entender la idea de producto cartesiano debemos saber que se trata de

una operación entre dos conjuntos , de tal modo que se forma otro conjunto

con todos los pares ordenados posibles.

Por ejemplo, dados los conjuntos A = {1, 2, 3, 4} y B = { a , b }, su producto

cartesiano es:

A × B = {(1, a ), (1, b ), (2, a ), (2, b ), (3, a ), (3, b ), (4, a ), (4, b )}

Los elementos de A x B son pares ordenados. Cada par que se forma con un

elemento del conjunto A y uno del conjunto B, en ese orden, recibe el nombre

de par ordenado. Sus elementos se colocan entre paréntesis, separados por

coma.

Entonces:

El producto cartesiano de dos conjuntos cualesquiera A y B, será un nuevo

conjunto, identificado como A x B , y consistirá de un conjunto de parejas

ordenadas, (x, y), donde x pertenece al conjunto A e y pertenece al conjunto B.

El producto cartesiano se puede representar de diversas formas: Con

diagramas sagitales o planos cartesianos.

Sagital.

Sean A = {1, 2} y B = {3, 4, 5} el producto cartesiano A x B será:

A x B = {(1, 3),(1, 4),(1, 5),(2, 3),(2, 4),(2, 5)}.

Plano cartesiano

RELACIONES

Una relación de A en B (se denota por R) a un subconjunto de pares

ordenados de A x B; es decir, A recibe el nombre de conjunto de partida u

origen y B conjunto de llagada o codominio. Si A = B entonces se dice que R es

una relación definida en A.

Ejemplo: Construya una relación de A en B si A= {1, 2, b} y B= {3, 4, c}.

Respuesta: Una posible relación es R= {(1,3), (2,3), (b, c), (2, c), (1, c)}

En el ejemplo anterior, todos los elementos del conjunto de partida (A) están

involucrados en algún par de la relación, pero esto no tiene que ser

necesariamente así, obsérvese el siguiente conjunto:

S = {(1, 3), (b, 3), (b, c), (b, 4), (1, c)} S es también una relación definida de A

en B, sin embargo el 2, que es elemento de A no aparece como primer

elemento de ningún par de S, en tal caso se dice que 2 no pertenece al dominio

de S.

Recibe el nombre de dominio de R y se denota D(R) el conjunto de todos los

elementos que aparecen como primer elemento en algún par de R.

D(R) = {x / existe al menos un elemento y, tal que (x, y) pertenece a R}.

En el ejemplo anterior se tiene que D(R) = {1, 2, b} = A, mientras D(S)= {1, b}

FUNCIONES

Una función f es una relación entre un conjunto dado X (el dominio) y otro

conjunto de elementos Y (el codominio) de forma que a cada elemento x del

dominio le corresponde un único elemento del codominio f(x). Se denota por:

La representación gráfica mediante diagramas cartesianos permite la visualización de las funciones. De este modo, el concepto de función se generaliza a cualquier relación numérica que responda a una gráfica sobre unos ejes coordenados.

La expresión f(x) indica el valor de la función f asociado al número x.

La representación de funciones es el mecanismo mediante el cual se

representa gráficamente una función. Observando la gráfica se puede obtener

mucha información acerca de cómo se comporta dicha función. Sea

la función f definida por:

La gráfica de f consiste en dibujar el conjunto de pares ordenados (x , f(x)) de

la función en coordenadas cartesianas.

Ejemplo: Sea la función definida en los reales por la ecuación:

El valor de dentro de la raíz no puede ser negativo. Veamos cual es

el dominio de la función:

Por lo tanto, lo puntos de la gráfica son:

Y su representación gráfica es:

Características de la gráfica

Antes de proceder a dibujar la gráfica de una función es conveniente estudiar

sus características para que nos sea más fácil. Dominio de la función Recorrido de la función

Dominio de la función

El dominio de una función f es el subconjunto Dom (f) de elementos que

tienen imagen. Es decir, el conjunto de elementos x de la variable

independiente X que tienen imagen en Y. También se le llama campo de

existencia de la función.

Recorrido de la función

El recorrido de una función f es el conjunto Im (f) o Rec (f) de todos los

elementos que toma la variable dependiente. Es decir, el conjunto de todas

las imágenes. También se le llama rango de una función o codominio.

Formalmente se define el recorrido de una función como:

Las funciones en que el recorrido de la función Im (f) es el mismo que el

conjunto final Y son funciones sobreyectivas.

Si desea ampliar los conocimientos sobre el tema puedes ver y entender los

siguientes videos en youtobe.

https://www.youtube.com/watch?v=to55obWB0Bo,

https://www.youtube.com/watch?v=B18YqdjSkO0

https://www.youtube.com/watch?v=A7OrJ8IlIeE

https://www.youtube.com/watch?v=t0B6g_D-q38

ESTADÍSTICA

En este tema se presentan el coeficiente de correlación y la regresión lineal

simple como las dos técnicas estadísticas más utilizadas para investigar la

relación entre dos variables continuas X e Y. Gráficamente el diagrama de

dispersión o nube de puntos permite obtener información sobre el tipo de

relación existente entre X e Y, además de ayudarnos a detectar posibles

valores atípicos o extremos. En el diagrama de dispersión de la figura, tenemos

representadas las alturas y los pesos de 30 individuos. Vemos como a medida

que aumenta la variable X=”altura” va aumentando la variable Y=”peso”

Si nos fijamos en la figura 4.2 aparentemente el peso aumenta 10Kg por cada

10 cm de altura... es decir, el peso aumenta en una unidad por cada unidad de

altura.

CORRELACIÓN La finalidad de la correlación es examinar la dirección y la

fuerza de la asociación entre dos variables cuantitativas. Así conoceremos la

intensidad de la relación entre ellas y si, al aumentar el valor de una variable,

aumenta o disminuye el valor de la otra variable. Para valorar la asociación

entre dos variables, la primera aproximación suele hacerse mediante un

diagrama de dispersión.

Coeficiente de Correlación lineal de Pearson: El estimador muestral más

utilizado para evaluar la asociación lineal entre dos variables X e Y es el

coeficiente de correlación de Pearson (r). Se trata de un índice que mide si los

puntos tienen tendencia a disponerse en una línea recta. Puede tomar valores

entre -1 y +1. Es un método estadístico paramétrico, ya que utiliza la media, la

varianza,…y por tanto, requiere criterios de normalidad para las variables

analizadas. Se define como la covarianza muestral entre X e Y dividida por el

producto de las desviaciones típicas de cada variable:

La expresión matemática para el coeficiente de correlación de Pearson parece

compleja, pero esconde un planteamiento que en el fondo, es sencillo: “r”

estará próximo a 1 (en valor absoluto) cuando las dos variables X e Y estén

intensamente relacionadas, es decir, al aumentar una aumenta otra y

viceversa. A este concepto de variación al unísono se le llama covarianza.

Covarianza: El numerador del coeficiente de correlación es la covarianza

muestral σxy entre X e Y, que nos indica si la posible relación entre dos

variables es directa o inversa. Es una medida que nos habla de la variabilidad

conjunta de dos variables cuantitativas.

∑

Así, si valores altos (o bajos) de X tienden a asociarse con valores altos (o

bajos) de Y, el producto de las desviaciones tenderá a ser positivo y la

covarianza será positiva. Por el contrario, si valores altos de una variable se

relacionan con valores bajos de la otra variable, el producto de las desviaciones

tenderá a ser negativo y la covarianza será negativa. Si los valores de σxy=0 no

existe relación lineal.

REGRESIÓN LINEAL SIMPLE: La regresión está dirigida a describir como es

la relación entre dos variables X e Y, de tal manera que incluso se pueden

hacer predicciones sobre los valores de la variable Y, a partir de los de X.

Cuando la asociación entre ambas variables es fuerte, la regresión nos ofrece

un modelo estadístico que puede alcanzar finalidades predictivas.

La regresión en su forma más sencilla se llama regresión lineal simple. Se trata

de una técnica estadística que analiza la relación entre dos variables

cuantitativas, tratando de verificar si dicha relación es lineal. Si tenemos dos

variables hablamos de regresión simple, si hay más de dos variables regresión

múltiple.

Su objetivo es explicar el comportamiento de una variable Y, que

denominaremos variable explicada (o dependiente o endógena), a partir de otra

variable X, que llamaremos variable explicativa (o independiente o exógena).

Una vez que hemos hecho el diagrama de dispersión y después de observar

una posible relación lineal entre las dos variables, se debe encontrar la

ecuación de la recta que mejor se ajuste a la nube de puntos. Esta recta se

denomina recta de regresión.

La regresión lineal consiste en encontrar (aproximar) los valores de una

variable a partir de los de otra, usando una relación funcional de tipo lineal, es

decir, buscamos cantidades a (ordenada en el origen) y b (pendiente de la

recta lineal) tales que se pueda escribir

Se trata de buscar la recta que dé lugar a los residuos más pequeños, es decir

la recta que hace mínima la suma de cuadrados de las distancias verticales

entre cada punto y la recta. Las cantidades a y b que minimizan dicho error son

los llamados coeficientes de regresión:

Interpretación de la ordenada en el origen a: Este parámetro representa la

estimación del valor de Y cuando X es igual a cero.

Interpretación de la pendiente de la recta b: El coeficiente de regresión es muy

importante, porque mide el cambio de la variable Y por cada unidad de cambio

de X. Este parámetro nos informa de cómo están relacionadas las dos

variables en el sentido de que nos indica en qué cantidad (y si es positiva o

negativa) varían los valores de Y cuando varían los valores de la X en una

unidad. De hecho el coeficiente de regresión b y el coeficiente de correlación r

siempre tendrán el mismo signo.

Si b > 0, cada aumento de X se corresponde con un aumento de Y;

Si b < 0, Y decrece a medida que aumenta X.

FÍSICA

La dinámica es una parte de la mecánica que estudia el movimiento de los

cuerpos y la relación que existe con la causa que lo origina.

Para los movimientos producidos por una fuerza se utiliza la segunda ley de

Newton que en su expresión matemática está definida como: F=m*a, donde F

es la fuerza aplicada, m es la masa del objeto que se mueve y a es la

aceleración producida.

De allí podemos definir

; además si el objeto se mueve por

un plano inclinado la ecuación de Newton se transforma en F=m*a*cos(α).

Eje:

Si el módulo de la fuerza resultante que actúa sobre una masa de 4 kg tiene un

valor de 60 N, determine el módulo de la aceleración con que se mueve la

masa.

Solución

La fuerza se mide en Newton que equivale a

, o en Dinas que equivale

a

; además 1N= 100000D o 1D= 0,00001N.

ACTIVIDADES

1. Si A= {1,2, 3}, B= {a, b}, obtenga:

i) AxB= iii) BxA=

ii) AxA= iv) BxB=

2. Con los conjuntos {3,2,1}=A y {b,a}=B, obtener los productos cartesianos

AxB y BxA

3. Sea {7, 3, 0,-2}=A y {1, 2, 3}=B, obtener el producto cartesiano AxB y

BxA y dibujar su gráfica.

4. Sea {1, 2, 3, 4, 5}=T y {1, 2}=S, obtener el producto cartesiano TxS y

SxT y graficarlos.

5. Analiza cuáles de las siguientes correspondencias son funciones y

cuáles no. Fundamenta tu respuesta.

a) La correspondencia definida de N en N que a cada número real

asocia su antecesor.

b) La correspondencia definida de R en R que a cada número real

asocia su valor absoluto.

c) La correspondencia que cada hombre asocia sus hijos.

d) La correspondencia que a cada país se le asocia su bandera.

e) La correspondencia que a cada polígono se le asocia su cantidad de

lados.

6. Determina cuáles de las siguientes relaciones son funciones. Argumenta tu respuesta.

a) A = .

b) y = 2x.

c)

d)

7. De las funciones que se muestran a continuación, determina su dominio y el conjunto imagen.

TALLER GRADO UNDÉCIMO: ESTADÍSTICA

Si desea ampliar los conocimientos sobre el tema puedes ver y entender los

siguientes videos en youtobe.

https://www.youtube.com/watch?v=kYGPpxhDiks

https://www.youtube.com/watch?v=aKsjilxc5ww

https://www.youtube.com/watch?v=SsFBnvkoZa4

https://www.youtube.com/watch?v=fNeXC8d5En8

1. El número de horas dedicadas al estudio de una asignatura y la

calificación obtenida en el examen correspondiente de cinco personas, es:

a) Calcular el coeficiente de correlación lineal e interpretar su valor.

b) Calcular la recta de regresión de Y sobre X.

2. Una persona se somete a una dieta de adelgazamiento durante 5

semanas. A continuación se detalla su peso al término de cada una de

esas semanas

a) Calcular el coeficiente de correlación lineal e interpretarlo.

b) ¿Qué peso es de esperar que alcance esa persona si sigue la dieta 2

semanas más?

3. De una distribución bidimensional (X, Y) conocemos los siguientes

resultados, – La media de la variable X es = 3. – Recta de regresión de Y

sobre X: y = − 3.2 x + 9.90. – Varianza de X: σx = 2 , Varianza de Y: σy =

10.8.

a) Calcula la media de la variable Y.

b) Calcula el valor del coeficiente de correlación lineal (r).

4. Una compañía de seguros considera que el número de vehículos (y) que

circulan por una determinada autopista a más de 120 km/h, puede ponerse

en función del número de accidentes (x) que ocurren en ella. Durante 5

días obtuvo los siguientes resultados:

a) Calcula el coeficiente de correlación lineal.

b) Si ayer se produjeron 6 accidentes, ¿cuántos vehículos podemos

suponer que circulaban por la autopista a más de 120 km/h?

c) ¿Es buena la predicción?

5. Una cadena de Pizzerías toma una muestra de diez de sus sucursales

para tratar de encontrar un modelo matemático que le permita predecir sus

ventas y obtuvo los siguientes datos: la población de personas en miles fue

de 2, 6, 8, 8, 12, 16, 20, 20, 22, 26; y las ventas trimestrales en miles de

pesos fue de: 58, 105, 88, 118, 117, 137, 157, 169, 169, 149, 202. Realice

el diagrama de dispersión, encuentre el coeficiente de correlación y la

ecuación de la recta de regresión lineal.

TALLER DE GRADO UNDÉCIMO: FÍSICA

Si desea ampliar los conocimientos sobre el tema puedes ver y entender los

siguientes videos en youtobe.

https://www.youtube.com/watch?v=yR9hLTfPKx0 Pelicula

https://www.youtube.com/watch?v=86ZNmoAdlNg

CONSULTAR:

1. ¿Diferencia entre masa y peso?

2. Tipos de fuerza.

3. Haz una exposición de las tres leyes de newton, tipos de fuerzas y

unidades para medir la fuerza, diagrama de fuerzas.

RESOLVER:

4. A un objeto de 0,3 kg se le aplican las dos siguientes fuerzas: 𝐹 1 = 5,0

N a 20 grados en sentido horario del eje x. 𝐹 2 = 8,0 N a 60 grados en

sentido anti-horario del eje x. Determine la magnitud y la dirección de la

aceleración

5. Una caja de 3,0 kg se coloca sobre una mesa de 1 m de largo. Calcule la

fuerza normal que ejerce la mesa sobre la caja.

6. Si la mesa se levanta de un lado haciendo que la superficie forme un

ángulo 30 grados con respecto a la horizontal, calcule:

a) La fuerza normal que ejerce la mesa sobre la caja,

b) la aceleración que sufre la caja (suponer no hay roce),

c) el tiempo que demora la caja en recorrer el largo de la mesa si se

encontraba inicialmente en reposo.

7. Considere una lámpara de 5 kg colgada del techo con una cadena de

masa despreciable.

a) Realice el diagrama cuerpo libre de la lámpara y la cadena.

b) Calcule la tensión en la cadena.

8. La lámpara es trasladada a un sistema de cadenas de masa despreciable

como el que muestra la figura.

a) Calcule la tensión en las tres cadenas.

9. Un bloque S con masa M=3.3 kg tiene libertad de moverse sobre una

superficie horizontal sin fricción y está unido, por una cuerda que se

enrolla sobre una polea sin fricción, a un segundo bloque H, con masa

m=2.1 kg. La cuerda y la polea tienen masas despreciables. El bloque H

cae cuando el bloque deslizante S acelera a la derecha. Encuentre:

a) La aceleración del bloque deslizante S.

b) la aceleración del bloque colgante H

c) la tensión en la cuerda.

10. Si un hombre de 60 kg se pesara en una pequeña báscula de baño,

colocada sobre el suelo de un ascensor que desciende con movimiento

uniformemente acelerado de valor 0.4 m/s2, ¿qué marcaría la báscula?

¿Cuál sería el resultado si el ascensor descendiera con una velocidad

constante de 2 m/s?

11. Calcular la fuerza que ejerce sobre el suelo una persona de 90 kg que

está en un ascensor, en los siguientes casos:

a) Sube con velocidad constante de 3 m/s

b) Está parado.

c) Baja con una aceleración constante de 3 m/s.

d) Baja con una velocidad constante de 3 m/s.

Enviar el taller resuelto al correo electrónico roromeron@ut.edu.co, cualquier

duda será resuelto por ese medio.