microsoft word - la multiplicación de números naturales

C. E. I. P. VEINTE DE ENERO

ÁREA DE MATEMÁTICAS

SEGUNDO CICLO

UNIDAD DIDÁCTICA:

LA MULTIPLICACIÓN DE NÚMEROS NATURALES.

RAMÓN GALÁN GONZÁLEZ

Autor: Ramón Galán González 2

A mi querido amigo y maestro, Francisco Umpiérrez Sánchez, que tanta luz y claridad aporta a mi pensar.

Ramón Galán.


INTRODUCCIÓN. Uno de los males que actualmente aqueja a la actividad teórica en general es su proceder escolástico. El pensamiento escolástico analiza los objetos del mundo en su resultado final, como productos ya acabados, en la quietud del ser. Centra sus objetivos en el conocimiento de los conceptos generales. Por el contrario, el pensamiento dialéctico analiza los objetos del mundo en su movimiento, como procesos encaminados a un fin, en el dinamismo del ser. Centra los objetivos de la actividad teórica en la elaboración de los conceptos. Este mal que aqueja a la actividad teórica en general tiene su reflejo en la enseñanza de las matemáticas en particular. Lo predominante en nuestras aulas es observar que se parte de los conceptos ya elaborados y de los procedimientos en sus formas más desarrolladas. Así, y como ejemplo, los profesores tratan de explicar el concepto de número decimal partiendo de la existencia de una clase de número distinta del número entero natural. Abordan el conocimiento de los conceptos de décima, centésima o milésima como conceptos generales que ya existen en el ámbito de las matemáticas. Raras veces abordan la elaboración del concepto de número decimal como un proceso de aprendizaje que va de lo simple a lo complejo, de lo concreto a lo abstracto, que recorre un conjunto de fases, reflexionando y teorizando sobre experiencias sensibles y prácticas. Algo parecido ocurre en el caso de la multiplicación. Normalmente se le informa al alumno acerca del concepto de multiplicación como una forma particular de suma, como suma de sumandos repetidos. Posteriormente memorizan las distintas tablas de multiplicar y, finalmente, se le adiestra en el procedimiento general de multiplicar dos números a base de insistentes y repetitivos ejercicios de multiplicación. Se produce, mediante el empleo de este método de enseñanza, un enorme empobrecimiento del pensamiento matemático, pues al final todo queda reducido a una mecanización estéril y a un procedimiento vacío. Reducen el rico, complejo y variado proceso de la multiplicación a un proceder fosilizado, aislado y unidireccional y transforman este algoritmo en un procedimiento incomprensible y oscuro, en abstracciones vacías, en un saber aparente. Tal vez sea la ansiedad del profesor por conseguir que los alumnos dominen la operación de multiplicar de forma temprana lo que les lleva a recorrer el proceso a toda velocidad, en lugar de caminar despacio, observando las cosas de cerca, recreándose en las variaciones y en los matices que se van produciendo en las distintas fases concretas que recorre este proceso. Únicamente, conociendo las operaciones en sus expresiones más concretas y sencillas hasta llegar a las formas más desarrolladas lograremos que el procedimiento complejo y general de la multiplicación sea rico en contenidos y matices, y que esté mediado por muchas operaciones mentales y conocimientos colaterales. Para lograr esto es necesario que el conocimiento, partiendo de experiencias sensibles, se detenga en las distintas fases del proceso de aprendizaje y analice la conexión y la transición que existe entre las mismas. Aprendí a multiplicar a los ocho años. Me enseñó mi hermana, cuatro años mayor que yo. Actualmente en las aulas, incluso utilizando la pizarra digital, se sigue enseñando a multiplicar como lo hizo una niña hace ya cuarenta y cinco años.


FASES DE LA ESTRATEGIA DEL PROCESO DE APRENDIZAJE. Las fases de la estrategia del proceso de aprendizaje de la multiplicación de números naturales que se establece desde su forma más elemental hasta su forma más desarrollada es la siguiente: 1ª. Iniciación al concepto de multiplicación y construcción de las distintas tablas de multiplicar. Ejemplos: 6 x 3 ; 7 x 7 ; 10 x 5. 2ª. Multiplicar un número natural de una cifra por un número exacto de decenas. Ejemplos: 20 x 3 ; 40 x 4 ; 50 x 3 3ª. Multiplicar dos números naturales siendo uno de ellos un número de una cifra y, el otro, un número de dos cifras. Ejemplos: 18 x 5 ; 6 x 13 ; 24 x 7 4ª. Multiplicar dos números naturales siendo uno de ellos el número 10 y, el otro, un número de dos cifras. Ejemplos: 12 x 10 ; 35 x 10 5ª. Multiplicar dos números naturales siendo ambos un número exacto de decenas. Ejemplos: 10 x 30 ; 20 x 20 ; 40 x 20 6ª. Multiplicar dos números naturales menores que 100. Ejemplos: 12 x 15 ; 12 x 23 ; 24 x 35 7ª. Multiplicar un número natural de una cifra por otro de tres cifras. Ejemplos: 325 x 2 ; 267 x 6 8ª. Multiplicar dos números naturales. Ejemplos: 256 x 32; 458 x 157; 1.234 x 25


DESARROLLO DE LAS FASES DE LA ESTRATEGIA DEL PROCESO DE APRENDIZAJE. 1ª fase. Iniciación al concepto de multiplicación y construcción de las distintas tablas de multiplicar. Esta fase se inicia introduciendo el concepto de multiplicación de forma intuitiva. Para ello comenzaremos colocando sobre el franelograma cuatro regletas del número 5 y formulando al grupo una serie de preguntas:

- ¿Cuántas regletas tenemos colocadas sobre el franelograma? 4.

- ¿Son todas iguales o hay alguna diferente? Son todas iguales.

- ¿Qué regleta es la que tenemos colocada cuatro veces? La regleta 5.

Ahora juntamos las regletas colocándolas de forma horizontal y formando un rectángulo. Seguimos teniendo la regleta 5, cuatro veces.

(El profesor señalará las cuatro regletas con un movimiento horizontal sobre

cada una de las regletas)

¿Al juntar las regletas, cuántas unidades tenemos en total? 20.


El profesor para verificar que hay 20, contará de 5 en 5 señalando las regletas de forma horizontal: 5, 10, 15 y 20. A continuación realizaremos otro ejercicio similar. Colocaremos sobre el franelograma tres regletas del número 6, y formularemos las mismas preguntas:

- ¿Y ahora, cuántas regletas tenemos colocadas sobre el franelograma? 3.


- ¿Qué regleta es la que tenemos colocada tres veces? La regleta 6.

Ahora juntamos las regletas de forma horizontal formando un rectángulo. Seguimos teniendo la regleta 6, tres veces.

(De nuevo, el profesor señalará las tres regletas con un movimiento horizontal sobre cada una de las regletas)

¿Al juntar las regletas, cuántas unidades tenemos en total? 18.


El profesor para verificar que hay 18, contará de 6 en 6 señalando las regletas de forma horizontal:

“6 y otras 6 son 12; y otras 6 son en total 18”.

Procediendo de forma similar, el profesor, mediante un movimiento vertical, señalará las tres veces que aparece la regleta 6 y dirá: “El número 6, tres veces es igual a 18” A continuación realizaremos otro ejercicio similar. Colocaremos sobre el franelograma cinco regletas del número 3, y formularemos las mismas preguntas:

- ¿Y ahora, cuántas regletas tenemos colocadas sobre el franelograma? 5.


- ¿Qué regleta es la que tenemos colocada cinco veces? La regleta 3.

Ahora el profesor preguntará al grupo: - ¿Quién sabría escribir en la pizarra la suma que tenemos representada en el

franelograma? Para ello y para facilitar la respuesta correcta, dibujará en la pizarra, a modo de

apoyatura, los siguientes recuadros: + + + + =

El alumno voluntario deberá escribir:

3 + 3 + 3 + 3 + 3 = 15


- Ahora juntamos las regletas de forma horizontal formando un rectángulo. Seguimos teniendo la regleta 3, cinco veces.

(De nuevo, el profesor señalará las cinco regletas con un movimiento horizontal sobre cada una de las regletas)

Ahora el profesor dará la siguiente información el grupo:

- Seguimos teniendo la suma: 3 + 3 + 3 + 3 + 3 = 15 porque tenemos la regleta 3, cinco veces y en total tenemos 15.

- “Pero en matemáticas esta suma la podemos escribir en forma de otra

operación que se llama multiplicación. De esta forma:

3 x 5 = 15

- La nueva operación que tenemos escrita la leeremos de la siguiente forma: tres multiplicado por cinco es igual a quince.

- La multiplicación que tenemos escrita, 3 x 5 = 15, significa que tenemos la

regleta tres, cinco veces, es decir, que tenemos el número 3, cinco veces y que en total tenemos 15”.

Por ultimo el profesor escribirá en la pizarra: 3 + 3 + 3 + 3 + 3 = 15 3 x 5 = 15 A continuación, se realizarán actividades similares con el fin reforzar la nueva información proporcionada. Escribiremos en la pizarra la suma: 4 + 4 + 4 + 4 + 4 + 4 + 4 =


Y solicitaremos a un alumno que represente esta suma en el franelograma y que halle y escriba el resultado de la suma: 4 + 4 + 4 + 4 + 4 + 4 + 4 = 28 Posteriormente saldrá otro alumno y le pediremos que coloque las regletas horizontalmente y que forme con ellas un rectángulo.

Le pediremos que escriba la suma en forma de multiplicación: 4 + 4 + 4 + 4 + 4 + 4 + 4 = 28 4 x 7 = 28

Finalmente, le formularemos preguntas como las siguientes:

- ¿Qué significa el número 4 en esta multiplicación? Que la regleta que tenemos repetida es la regleta 4.

- ¿Qué significa el número 7 en esta multiplicación? Que tenemos 7 veces la

regleta 4.

- ¿Qué significa el número 28? Que en total tenemos 28 unidades.


Ahora es el momento propicio para que el profesor introduzca la siguiente información:

4 x 7 = 28

- En esta multiplicación tenemos tres números: el 4, el 7 y el 28.

- Y estos tres números los podemos ver en el rectángulo que hemos formado:

o El número 4 lo vemos en el ancho del rectángulo. o El número 7 lo vemos en el alto del rectángulo.

o El número 28 lo vemos en la superficie del rectángulo.

Cuando el profesor esté proporcionando esta información señalará, con un movimiento de su mano, el ancho, el alto y la superficie del rectángulo.

Como podemos observar, al mismo tiempo que estamos introduciendo el concepto de multiplicación estamos trabajando diversos aspectos del ámbito de la geometría. Comentamos un ejemplo práctico más de esta primera fase de la estrategia de aprendizaje. Solicitamos a un nuevo alumno que construya sobre el franelograma la suma: 10 + 10 + 10 Para ello, el alumno colocará sobre el franelograma 3 regletas de 10, esto es, 3 decenas (Regletas de color azul) y calculará el resultado de la suma:


10 + 10 + 10 = 30 A otro alumno le solicitaremos que coloque horizontalmente estas tres regletas y que construya con ellas un rectángulo. Igualmente, le pediremos que exprese la suma en forma de multiplicación. 10 x 3 = 30 Finalmente le realizaremos las siguientes preguntas:

- ¿Qué significa el número 10 en esta multiplicación? Que tenemos repetida la regleta 10.

- ¿Qué significa el número 3 en esta multiplicación? Que tenemos tres veces la

regleta 10.


- ¿Qué significa en esta multiplicación el número 30? Que tenemos en total 30 unidades.

- Observa el rectángulo. ¿Di y señala dónde podemos ver el número 10?. En el

ancho del rectángulo.

- ¿Di y señala dónde podemos ver el número 3? En el alto del rectángulo.

- ¿Di y señala dónde podemos ver el número 30? En la superficie del rectángulo.

Estimamos conveniente que se realicen ejercicios como los que a continuación

describimos ya que podemos abordar otros tipos de aprendizaje referidos a la multiplicación y a diversos aspectos de la geometría.

Solicitamos a un alumno que construya y que calcule el resultado de la suma: 5 + 5 + 5 + 5 + 5 =

5 + 5 + 5 + 5 + 5 = 25 Le pediremos luego que coloque las regletas horizontalmente y que exprese la suma en forma de multiplicación:

5 x 5 = 25


Formularemos al grupo la siguiente pregunta:

- ¿En el caso de la multiplicación 5 x 5 = 25 hemos construido en el franelograma un rectángulo? No.

- ¿Qué figura geométrica hemos construido? Un cuadrado.

- ¿Por qué nos ha salido en este caso un cuadrado? Porque el ancho y el alto

son iguales.

Igualmente estimamos conveniente presentar a los alumnos algún caso de

multiplicación donde el multiplicador sea igual a 1. Para ello, le pediremos a un alumno, en primer lugar, que represente la multiplicación: 5 x 3. Y a continuación, a otro alumno, que represente la multiplicación 5 x 1.

5 x 3 = 15 5 x 1 = 5 En ambos casos, formularemos las correspondientes preguntas referidas al

significado de los distintos números que integran las multiplicaciones.


Hay otro tipo de actividades que podemos realizar y que sacaremos de ellas una alta rentabilidad desde el punto de vista del aprendizaje.

En primer lugar, le pedimos a un alumno que construya en el franelograma la

multiplicación: 8 x 3 y que calcule el resultado: 8 x 3 = 24 Después le pedimos a otro alumno que al lado de la multiplicación que hemos

construido, construya, a su vez, la multiplicación: 3 x 8 y que calcule también el resultado:

8 x 3 = 24 3 x 8 = 24 Haremos ver a los alumnos que la multiplicación de la izquierda es 8 x 3 porque

tenemos la regleta 8, tres veces. Mientras que la multiplicación de la derecha es 3 x 8 porque tenemos la regleta 3, ocho veces.


A continuación plantearemos al grupo cuestiones como las siguientes: - ¿Estos dos rectángulos son iguales o diferentes? Iguales. - ¿Por qué son iguales? Porque uno está colocado verticalmente y el otro está colocado horizontalmente. (En más de una ocasión ha habido alumnos que han respondido que si le

diéramos la vuelta al franelograma, cada rectángulo se transformaría en el otro) El profesor proporcionará la siguiente información al grupo: - “Estos dos rectángulos tienen la misma forma, el mismo tamaño, las mismas

dimensiones, pero se diferencian en la posición en que están colocados. Dos rectángulos iguales, aunque los coloquemos en posiciones distintas, siguen siendo iguales.”

También en esta fase pueden realizarse actividades como las siguientes: Se les demandará a dos alumnos que representen en el franelograma las

siguientes multiplicaciones y que calculen sus respectivos resultados: 8 x 3 = 24 6 x 4 = 24

Posteriormente, formularemos al grupo las siguientes cuestiones:

- ¿Cuánto mide el ancho del rectángulo de la izquierda? 8 unidades. - ¿Cuánto mide el alto del rectángulo de la izquierda? 3 unidades. - ¿Cuánto mide la superficie del rectángulo de la izquierda? 24 unidades. - ¿Cuánto mide el ancho del rectángulo de la derecha? 6 unidades. - ¿Cuánto mide el alto del rectángulo de la derecha? 4 unidades. - ¿Cuánto mide la superficie del rectángulo de la derecha? 24 unidades. - ¿Estos dos rectángulos son iguales o diferentes?


(Es conveniente que el profesor plantee al grupo este tipo de cuestiones ya que

fomenta en el alumnado múltiples y variadas respuestas. Deberá aprovechar estas situaciones para que los distintos alumnos argumenten sus respuestas, e incluso, discutan y argumenten entre ellos)

Finalmente, el profesor unificará las distintas aportaciones concluyendo: - “Estos dos rectángulos son diferentes en la forma porque uno es más alargado que el otro, el ancho y el alto son diferentes, pero son iguales teniendo en cuenta sus superficies: los dos tienen la misma cantidad de superficie.” Después de realizar diversos ejercicios prácticos con las regletas, podemos

pasar a la fase de la representación. Para lo cual, bien mediante un retroproyector de transparencias, bien mediante un proyector de imagen (“cañón”), presentaremos a los alumnos, gráficos de diversas multiplicaciones y éstos expresarán los gráficos en forma de multiplicación y calcularán el resultado de la multiplicación. Las respuestas las irán anotando en su cuaderno de trabajo.

(En el caso de que el profesor no disponga de estos recursos, puede sustituir las

proyecciones por gráficos impresos en folios o, incluso, el mismo franelograma. El alumno igualmente expresará estos gráficos en forma de multiplicación y hallará el resultado.)

A continuación, ponemos algunos ejemplos de estos gráficos:


Posteriormente procederemos de forma inversa: proporcionaremos a los alumnos un papel cuadriculado y éstos representarán gráficamente y en forma de rectángulo, las diversas multiplicaciones que le indiquemos, hallando el resultado de dichas multiplicaciones. Se estima conveniente, aunque no necesario, que los cuadriculados que le proporcionemos tengan una superficie total de 1 decímetro cuadrado, dividido éste, a su vez, en centímetros cuadrados. Se hace esta recomendación con el fin de que los alumnos vayan tomando contacto, de forma intuitiva, con las unidades de superficie de centímetros cuadrados y decímetros cuadrados en sus dimensiones reales. Sin embargo, esta propuesta tiene el inconveniente que en un folio no caben más de dos representaciones. En nuestro caso, empleamos el decímetro cuadrado dividido en centímetro cuadrados para la multiplicación de dos números de una cifra. Para las multiplicaciones donde alguno de los números sea superior a 10, empleamos un cuadriculado más pequeño o simplemente un folio cuadriculado.

Vemos un ejemplo: Representa gráficamente la siguiente multiplicación construyendo un rectángulo.

Pinta de color rojo las cuadrículas que sean necesarias y después calcula el resultado de la multiplicación.

8 x 5 =


Una vez que hemos trabajado el concepto de multiplicación de forma práctica, empleando las regletas, y mediante la representación gráfica, podemos pasar a su expresión numérica sin ningún tipo de apoyatura. Ahora podemos realizar ejercicios numéricos como los siguientes: Expresa estas sumas en forma de multiplicación y calcula el resultado final:

4 + 4 + 4 + 4 + 4 + 4 = x = 1 + 1 + 1 = x =

9 + 9 + 9 + 9 + 9 + 9 + 9 + 9 + 9 + 9 = x = Calcula el resultado de estas multiplicaciones: 5 x 6 = 2 x 7 = 8 x 8 = Es importante que a lo largo de esta primera fase de la estrategia del proceso de aprendizaje de la multiplicación de números naturales vayamos construyendo las distintas tablas de multiplicar. Para lo cual proporcionaremos a los alumnos, en folios independientes, las distintas tablas de multiplicar sin que aparezcan en ellas los resultados con el fin de que sean los propios alumnos los que vayan completando las distintas tablas de multiplicar escribiendo para ellos dichos resultados. A la hora de construir las tablas de multiplicar podemos proceder de dos maneras. Una, escribiendo en dichas tablas los resultados en función de los ejercicios que cada día vayamos realizando en clase. Dos, construyendo de forma ordenada las distintas tablas de multiplicar, comenzando por la del 2, pero siempre a partir de ejercicios prácticos con regletas, o mediante su representación gráfica, que realizaremos de forma específica para este fin. La experiencia práctica nos informa que presenta más ventaja este segundo proceder. Para finalizar la exposición de esta primera fase, debemos indicar que una cosa es la construcción de las distintas tablas de multiplicar y otra es su memorización. En este último sentido, somos muy tradicionales y entendemos que la mejor forma de memorizar las tablas de multiplicar es recitándolas, e incluso cantándolas. Durante varios cursos académicos hemos comprobado que si el canto se acompaña de una melodía musical y complementada con cierta letra que rime de forma consonante, los alumnos logran aprenderse dichas tablas de multiplicar de forma más fácil y divertida.


2ª fase. Multiplicar un número natural de una cifra por un número exacto de decenas. Durante la primera fase el alumno ya estuvo realizando la multiplicación de un número natural de una cifra por el número diez. Construyó igualmente la tabla de multiplicar del número 10. No obstante, es conveniente comenzar esta segunda fase por este tipo de multiplicación. Comenzaremos con ejercicios similares al siguiente: Le pediremos a un alumno que construya en el franelograma la multiplicación: 10 x 4 y que calcule su resultado.

10 x 4 = 40 A continuación preguntaremos a diversos alumnos del grupo:

- ¿Qué significa el número 10 en esta multiplicación? Que tenemos repetida la regleta 10.

- ¿Qué significa el número 4 en esta multiplicación? Que tenemos cuatro

veces la regleta 10.

- ¿Qué significa en esta multiplicación el número 40? Que tenemos en total 40 unidades.

- Observa el rectángulo. ¿Di y señala dónde podemos ver el número 10? En el

ancho del rectángulo.

- ¿Di y señala donde podemos ver el número 4? En el alto del rectángulo.

- ¿Di y señala donde podemos ver el número 40? En la superficie del rectángulo.


Después de hacer diversos ejercicios como el anterior, pasaremos a realizar ejercicios donde haya que multiplicar el número 20 por un número menor que 10. Por ejemplo, veamos la multiplicación: 20 x 3. Solicitamos a un nuevo alumno que construya sobre el franelograma la suma: 20 + 20 + 20 Para ello, el alumno colocará sobre el franelograma 3 grupos de dos regletas de 10 y calculará el resultado de la suma: 20 + 20 + 20 = 60 A otro alumno le solicitaremos que coloque horizontalmente estos tres grupos de regletas y que construya con ellas un rectángulo. Igualmente, le pediremos que exprese la suma en forma de multiplicación. En este primer ejercicio, es posible que el alumno construya un rectángulo de 10 de ancho por 6 de alto. De esta forma:


En este caso, preguntaremos al grupo si está de acuerdo con lo realizado por su compañero. Las respuestas que pueden producirse son:

-“No. Porque la multiplicación que ha hecho ha sido de 10 por 6” “No. Porque el rectángulo tiene que tener 20 de ancho y 3 de alto” “No. Porque las dos regletas del número 20 hay que ponerlas horizontalmente”

En el caso, que ningún alumno del grupo muestre su desacuerdo, el profesor preguntará al grupo, por ejemplo, ¿dónde podemos ver el número 20 y el número 3 en el franelograma? De este modo, crearemos la contradicción y la duda entre los alumnos del grupo. Una vez teniendo en el franelograma la representación adecuada de la multiplicación: 20 x 3. Es decir: 20 x 3 = 60

Realizaremos las siguientes preguntas entre diversos alumnos del grupo:

- Observa el rectángulo. ¿Di y señala dónde podemos ver el número 20? En el ancho del rectángulo.


- ¿Di y señala donde podemos ver el número 60? En la superficie del

rectángulo.

Con el fin de realizar multiplicaciones donde intervengan grupos de 3, 4 y más

decenas, emplearemos las regletas pequeñas. Estas regletas son igual que las anteriores, con la única diferencia de su menor tamaño. Esta diferencia de tamaño


posibilita representar en el franelograma multiplicaciones donde intervengan números mayores.

Vemos otros ejemplos de esta misma fase: 30 x 4

30 x 4 = 120 De igual modo, formularemos las preguntas acostumbradas:

- Observa el rectángulo. ¿Di y señala dónde podemos ver el número 30? En el ancho del rectángulo.


- ¿Di y señala donde podemos ver el número 120? En la superficie del

rectángulo.

Después de realizar este tipo de multiplicaciones de forma práctica con las

regletas y el franelograma, los alumnos las resolverán representándolas en un papel cuadriculado.

Representa gráficamente la siguiente multiplicación construyendo un rectángulo.

Pinta de color azul las cuadrículas que sean necesarias y después calcula el resultado de la multiplicación.

20 x 8 =


Finalmente, las realizarán numéricamente sin ningún tipo de apoyaturas. Calcula: 10 x 3 = 10 x 8 = 5 x 10 = 20 x 4 20 x 6 = 7 x 30 = 30 x 2 = 8 x 30 = 3 x 40 =


3ª fase. Multiplicar dos números naturales siendo uno de ellos un número de una cifra y, el otro, un número de dos cifras. Comenzaremos de la forma habitual: solicitamos a un nuevo alumno que construya sobre el franelograma la siguiente suma y que calcule el resultado: 14 + 14 + 14 1 4 + 14 + 14 = 42

Le pediremos luego que coloque las regletas horizontalmente y que exprese la suma en forma de multiplicación:


Entonces dirigiremos la atención de los alumnos y proporcionaremos la siguiente información: “Vean que hemos obtenido un rectángulo grande dividido, a su vez, en dos rectángulos más pequeños: uno de color azul y otro de color rojo. Al rectángulo grande lo llamaremos rectángulo total.” A continuación preguntaremos al grupo: - ¿Qué multiplicación hemos formado y cuál es su resultado? 14 x 3 = 42 (Normalmente los alumnos responden de forma adecuada ya que primero construyeron esta multiplicación en forma de suma de sumandos repetidos. Pero si no fuera así, le haríamos observar las dimensiones del ancho y alto del rectángulo total.) De nuevo preguntaremos al grupo:

- ¿Cómo saben que el resultado de la multiplicación es 42? ¿Cómo han pensado o cómo han calculado el resultado? Porque en el rectángulo azul tenemos 30 y en el rectángulo rojo tenemos 12, y 30 más 12 son 42.

El profesor seguirá preguntando al grupo sobre la representación de la multiplicación 14 x 3 = 42 que hemos construido en el franelograma.

- Vamos a fijarnos ahora únicamente en el rectángulo de color azul. - ¿Cuántas unidades tiene el ancho del rectángulo azul? 10 - ¿Cuántas unidades tiene el alto del rectángulo azul? 3 - ¿Cuántas unidades tiene la superficie del rectángulo azul? 30 - ¿Qué multiplicación tenemos representada en el rectángulo azul, teniendo en

cuenta que su ancho es 10, su alto es 3 y su superficie es 30? 10 x 3 = 30.

- Ahora vamos a fijarnos únicamente en el rectángulo de color rojo. - ¿Cuántas unidades tiene el ancho del rectángulo rojo? 4 - ¿Cuántas unidades tiene el alto del rectángulo rojo? 3 - ¿Cuántas unidades tiene la superficie del rectángulo rojo? 12 - ¿Qué multiplicación tenemos representada en el rectángulo rojo, teniendo en


- Por último vamos a fijarnos en el rectángulo total, el que está formado por la unión o la suma de los rectángulos azul y rojo.

- ¿Cuántas unidades tiene el ancho del rectángulo total? 14 - ¿Cuántas unidades tiene el alto del rectángulo total? 3 - ¿Cuántas unidades tiene la superficie del rectángulo total? 42 - ¿Qué multiplicación tenemos representada en el rectángulo total, teniendo en



Finalmente el profesor escribirá en la pizarra la multiplicación realizada pero en estos términos:

“Como no tenemos la regleta 14, sino que la tenemos que formar mediante la

regleta 10 uniéndola con la regleta 4, y tenemos el número 14 tres veces, escribiremos así:

10 + 4

x 3 30 + 12 = 42 Conforme va escribiendo el resultado de esta multiplicación, irá preguntando al grupo:

- ¿3 por 4? 12.

- ¿3 por 10? 30 - ¿30 más 12? 42.

Para terminar escribirá la multiplicación de forma resumida:

10 + 4 1 4 x 3 x 3

30 + 12 = 42 4 2 Repetiremos ejercicios similares pero dando más protagonismo a los alumnos:

- Construye y que calcula el resultado de la suma: 16 + 16 + 16 + 16 16 + 16 + 16 + 16 = 64


- Expresa ahora esta suma en forma de multiplicación: 16 x 4 = 64 Preguntaremos al grupo

- ¿Cuántas unidades tiene el ancho del rectángulo azul? 10 - ¿Cuántas unidades tiene el alto del rectángulo azul? 4 - ¿Cuántas unidades tiene la superficie del rectángulo azul? 40 - ¿Qué multiplicación tenemos representada en el rectángulo azul?

10 x 4 = 40.

- ¿Cuántas unidades tiene el ancho del rectángulo rojo? 6 - ¿Cuántas unidades tiene el alto del rectángulo rojo? 4 - ¿Cuántas unidades tiene la superficie del rectángulo rojo? 24 - ¿Qué multiplicación tenemos representada en el rectángulo rojo? 6 x 4 = 24.

- ¿Cuántas unidades tiene el ancho del rectángulo total? 16 - ¿Cuántas unidades tiene el alto del rectángulo total? 4 - ¿Cuántas unidades tiene la superficie del rectángulo total? 64 - ¿Qué multiplicación tenemos representada en el rectángulo total?

16 x 4 = 64. Solicitaremos a un alumno que escriba en la pizarra la multiplicación que acabamos de realizar. El resto de los alumnos la realizará en su libreta de trabajo. Para facilitar su realización, le presentaremos el ejercicio de la siguiente manera:

10 + 6 1 6 x 4 x 4

+ =


Realizaremos otro ejercicio e introduciremos otra forma de expresar la multiplicación.

- Construye y que calcula el resultado de la suma: 12 + 12 + 12 + 12 + 12 + 12 + 12 + 12

12 + 12 + 12 + 12 + 12 + 12 + 12 + 12 = 96 - Expresa ahora esta suma en forma de multiplicación: 12 x 8 = 96


- Ahora vamos a escribir esta multiplicación de tres maneras diferentes: Primero, descomponiendo el número 12 en decenas y unidades y colocando el

número 8 debajo, es decir, de forma vertical. De este modo: Verticalmente y por descomposición:

10 + 2 x 8

+ =

Un alumno realizará la multiplicación en la pizarra y el resto en su libreta de

trabajo. Ahora vamos a escribir la multiplicación de esta otra forma: descomponiendo el número 12 en decenas y unidades pero colocando el número 8 detrás, es decir, de forma horizontal. Este ejercicio lo hago yo.

Horizontalmente y por descomposición (10 + 2) x 8 = 80 + 16 = 96 El profesor dará información sobre el nombre y la función que realiza el paréntesis. Estos dos pequeños arcos en matemáticas se llaman paréntesis. Sirven para indicar, en este caso, que tanto la regleta 10 como la regleta 2 están repetidas 8 veces. Por este motivo, tenemos que multiplicar por 8 tanto el número 10 como el número 2. Por último, el profesor realizará la multiplicación de forma abreviada, esto es, de la forma que se acostumbra a hacer dentro de las aulas. Aprovecharemos este momento para introducir el lenguaje que se hace acompañar este tipo de multiplicación. Este momento es importante. Tiene como finalidad dotar de significación al algoritmo de la multiplicación. Es fundamental acompañar al lenguaje, la acción con las regletas

1 2 x 8

- 8 por 2 es igual a 16, es decir, 10 más 6. El profesor cogerá en sus manos una regleta de 10 y una regleta de 6 y se las

mostrará a los alumnos pero únicamente colocará sobre el franelograma la regleta 6. La regleta 10 sobrante se la entregará al alumno que esté acompañando al profesor. Escribirá en la multiplicación, en la columna de las unidades, el número 6 ya que es lo único que hasta el momento tenemos colocado en el franelograma.


D U

1 2 x 8

6 Continuará el profesor con la multiplicación:

- 8 por 10 es igual a 80, es decir, a 8 regletas de decenas.

El profesor cogerá 8 regletas de 10 y se las mostrará a los alumnos, al mismo tiempo que dirá:

- 8 regletas decenas más la decena que teníamos del número 16 son 9

decenas.

Colocaremos en el franelograma las 8 decenas del profesor y la decena que el alumno tiene en sus manos y escribiremos en la multiplicación, en la columna de las decenas, el número 9.

D U D U

1 2 x 8

9 6


Repetiremos varias veces este tipo de ejercicios pero dando más protagonismo a los alumnos y al mismo tiempo vamos introduciendo otro tipo de preguntas. Vemos otro ejemplo: la multiplicación 17 x 3. Un alumno representará en el franelograma dicha multiplicación: El alumno que acompaña al profesor, realizará en la pizarra esta multiplicación expresándola de forma descompuesta, tanto vertical como horizontalmente. Para ello el alumno tendrá que escribir los correspondientes números dentro de los recuadros. El resto de los alumnos realizará, las multiplicaciones en su libreta de trabajo

Por descomposición Por descomposición verticalmente horizontalmente

10 + 7 x 3 (10 + 7) x 3 = + =

+ = Cuando los alumnos hayan terminado el ejercicio:

Por descomposición Por descomposición verticalmente horizontalmente

10 + 7 x 3 (10 + 7) x 3 = 30 + 21 = 51

30 + 21 = 51


A continuación, formularemos a distintos alumnos del grupo las siguientes preguntas:

- Ahora tenemos que ver y señalar en el franelograma dónde están los diferentes números que hemos escrito. Tenemos que decir si lo vemos en el ancho, en el alto o en la superficie de algunos de los rectángulos que hemos formado.

- ¿Dónde vemos el número 10? En el ancho del rectángulo azul.

- ¿Dónde vemos el número 7? En el ancho del rectángulo rojo.

- ¿Dónde vemos el número 17? En el ancho del rectángulo total.

- ¿Dónde vemos el número 3? En el alto de todos los rectángulos.

- ¿Dónde vemos el número 30? En la superficie del rectángulo azul.

- ¿Dónde vemos el número 21? En la superficie del rectángulo rojo.

- ¿Dónde vemos el número 51? En la superficie del rectángulo total.

A la par que los alumnos van contestando, el alumno que está junto al

franelograma, irá señalando, con un movimiento de la mano, el ancho, el alto o la superficie correspondiente a la respuesta.

Finalmente realizaremos la multiplicación de forma abreviada pero iremos

simplificando el lenguaje de forma progresiva. Ahora, y después de haber realizado con anterioridad ejercicios similares, podremos expresarnos de la siguiente manera:

- 3 por 7 es igual a 21. Escribimos el 1 y nos llevamos 2 decenas.

El alumno que acompaña al profesor cogerá dos regletas de 10 y una regleta de 1 pero colocará sobre el franelograma únicamente la regleta 1. Las dos regletas de 10 las mantendrá en sus manos.

D U

1 7 x 3

1


- 3 por 1 decena son 3 decenas y las dos que nos llevamos son 5 decenas. El profesor colocará tres decenas y el alumno las dos que tenía en sus manos. Lo hacemos así para diferenciar las que tenemos como resultado de multiplicar las decenas y las que tenemos como resultado de multiplicar las unidades, esto es, las decenas que nos “llevamos”. Por ello, escribimos en la pizarra:

D U

1 7 x 3

5 1 Hay que observar que en la representación que tenemos en el franelograma seguimos viendo los números 30 y 21 pero al mismo tiempo vemos el número 51. Después de realizar de forma práctica diversos ejercicios de esta característica, podemos pasar a su representación gráfica. Para ello y ahora, el alumno representará en su libreta de trabajo, en hojas cuadriculadas y empleando lápices de colores, lo que con anterioridad realizaba con las regletas. Es conveniente hacer acompañar a la representación gráfica, las operaciones numéricas, es decir, realizar la representación y el cálculo dentro de un mismo ejercicio. A continuación analizaremos el ejercicio correspondiente a la multiplicación 27 por 5. Los alumnos construirán el gráfico en forma de rectángulo y debajo del mismo realizarán la multiplicación de forma numérica, estando los números descompuestos en decenas y unidades y colocados tanto de forma vertical como horizontal. Del mismo modo, realizarán otro gráfico correspondiente a la multiplicación resumida, es decir, sin estar los números descompuestos. Cuando se proceda a la corrección con todo el grupo, realizaremos el ejercicio de forma práctica, empleando las regletas y el franelograma. El hecho de efectuar la corrección con todo el grupo no debe impedir que antes efectuemos o apoyemos, de forma individual, a los alumnos que así lo necesiten.


Representa gráficamente la multiplicación 27 x 5 y calcula el resultado de las dos maneras:

Por descomposición Por descomposición vertical: horizontal: + + x = + = X + =

Realiza esta misma multiplicación: 27 x 5 pero de forma abreviada y después construye el gráfico.

2 7 x 5

(Con el fin de facilitar la comprensión de este trabajo, y en concreto la construcción de los gráficos que tienen que realizar los alumno, adjuntamos la resolución del ejercicio)



Por descomposición Por descomposición vertical: horizontal: 20 + 7 20 + 7 x 5 = 100 + 35 = 135 X 5 100 + 35 = 135

Realiza esta misma multiplicación: 27 x 5 pero de forma abreviada y después construye el gráfico.

2 7 x 5

1 3 5

De igual modo que cuando realizábamos las multiplicaciones con regletas, ahora cuando vayamos a corregir el ejercicio formularemos al grupo las siguientes preguntas:



Por descomposición Por descomposición vertical: horizontal: 20 + 7 20 + 7 x 5 = 100 + 35 = 135 X 5 100 + 35 = 135

- Ahora tenemos que ver y señalar en el gráfico dónde están los diferentes números que hemos escrito. Tenemos que decir si lo vemos en el ancho, en el alto o en la superficie de algunos de los rectángulos que hemos formado.


- ¿Dónde vemos el número 7? En el ancho del rectángulo rojo.


- ¿Dónde vemos el número 5? En el alto de todos los rectángulos.


- ¿Dónde vemos el número 35? En la superficie del rectángulo rojo.


De forma similar procederemos con el otro gráfico, el correspondiente a la

multiplicación abreviada.


Realiza esta misma multiplicación: 27 x 5 pero de forma abreviada y después

construye el gráfico.

3 7 x 5

1 3 5

Ahora tenemos que ver y señalar en el gráfico cómo hemos ido haciendo la multiplicación.

- Primero hemos dicho: “5 por 7 es igual a 35”. ¿Dónde está el 35? En las dos

regletas de la derecha, en el 30 más 5.

- ¿Donde está el número 5 que hemos escrito? En la regleta 5 de color rojo.

- Luego hemos dicho: ”Nos llevamos 3 decenas” ¿Dónde están estas tres decenas que nos llevamos? En las tres regletas del centro.

- Luego hemos dicho: “5 por 2 decenas es igual a 10 decenas” ¿Dónde están

esas 10 decenas? En las 10 regletas azules de la izquierda.

- Finalmente hemos dicho: “10 decenas más 3 decenas que nos llevamos son 13 decenas” ¿Dónde están esas 13 decenas? Juntando todas las regletas azules.

- Al final, hemos obtenido como resultado final de la multiplicación el número

135. ¿Dónde está el número 135? En la unión de todas las regletas.

Por último, y únicamente después de realizar ejercicios de este tipo de multiplicación de forma práctica y de forma representada, realizaremos multiplicaciones en su forma numérica, haciendo hincapié en su expresión abreviada. Como ahora no tenemos las limitaciones espaciales que nos imponen las regletas y los grafico, iremos aumentando de forma progresiva los números que participan en las multiplicaciones.


Realiza la multiplicación: 43 x 6 de las tres maneras: Por descomposición Por descomposición vertical: horizontal: + + x = + = X + = De forma abreviada: x Multiplica de forma abreviada: 2 5 5 1 7 8 6 3 7 6 x 3 x 7 x 6 x 8 x 9

En esta fase numérica y en su forma abreviada, iremos simplificando el lenguaje. Comenzaremos diciendo:

2 5 x 3

- 3 multiplicado por 5 es igual a 15. Escribimos las 5 unidades y nos llevamos 1 decena.

- 3 multiplicado por 2 decenas son 6 decenas, más 1 decena que nos

llevábamos, son 7 decenas.

Para terminar diciendo simplemente: - 3 por 5 son 15. escribimos el 5 y nos llevamos 1.

- 3 por 2 son 6, más 1 que nos llevamos, son 7.


4ª fase. Multiplicar dos números naturales siendo uno de ellos el número 10 y, el otro, un número de dos cifras. Esta fase se desarrollará de forma similar a la anterior pero con la participación de la regleta 100, es decir, la regleta de la centena. De un lado, permitirá al alumno aprender a multiplicar un número por 10. De otro lado, posibilitará el entendimiento de las siguientes fases. De nuevo recorreremos los tres momentos: la realización práctica con regletas, la representación gráfica y, por último, el momento de las operaciones numéricas sin ningún tipo de apoyaturas. Comenzaremos viendo la multiplicación 12 x 10. Como en otros casos, para representar la multiplicación, construiremos un rectángulo cuyo ancho sea de 12, siendo el alto de 10 unidades. Nos dirigiremos al grupo en términos parecidos a estos:

- Hoy tenemos que construir la multiplicación 12 x 10. Es decir, tenemos que construir un rectángulo que tenga 12 de ancho y 10 de alto. ¿Hay algún voluntario que quiera intentarlo?

Es posible que el alumno que voluntariamente lo intente, trate de construirlo

empleando la regleta 10 más la regleta 2 como ancho del rectángulo, es decir, colocando de forma horizontal 10 veces las regletas 10 y 2. De esta forma:

Cuando ello ha sucedido así, varios alumnos se han dado cuenta, por ellos mismos, que puede construirse esta misma multiplicación empleando un número reducido de regletas. Pero así no fuera, le pediríamos al grupo: Esta multiplicación puede construirse empleando únicamente tres regletas. ¿Quién sabría hacerlo? Para ello tienen que tener en cuenta que la superficie del cuadrado azul mide 100 unidades y que la superficie del rectángulo rojo mide 20 unidades.


Efectivamente, esta multiplicación puede representarse empleando una regleta de 100 y dos regletas de 10. De esta forma:

Una vez que tenemos la representación de la multiplicación en el franelograma, los alumnos realizarán la multiplicación bajo las tres formas que ya hemos analizado: Realiza la multiplicación: 12 x 10 de las tres maneras: Por descomposición Por descomposición vertical: horizontal: 10 + 2 10 + 2 x 10 = + = X 10 1 2 + = De forma abreviada: x 10 En el caso de la multiplicación abreviada, los alumnos únicamente tendrán que poner el resultado final, es decir, el número 120. Este hecho tiene como finalidad que el alumno descubra que la manera más abreviada de multiplicar un número por 10 es añadir un cero a ese número. Finalmente y para completar el ejercicio, realizaremos las consabidas preguntas:


Por descomposición Por descomposición vertical: horizontal: 10 + 2 10 + 2 x 10 = 100 + 20 = 120 X 10 De forma abreviada: 12 x 100 + 20 10

120

- Ahora tenemos que ver y señalar en el gráfico dónde están los diferentes números que hemos escrito.

- ¿Dónde vemos el número 10? En el ancho y alto del cuadrado amarillo..



- ¿Dónde vemos el número 100? En la superficie del cuadrado amarillo.




Vemos otro ejemplo más: 24 x 10

Por descomposición Por descomposición vertical: horizontal: 20 + 4 20 + 4 x 10 = 200 + 40 = 240 X 10 De forma abreviada: 24 x 200 + 40 10

240

- Ahora tenemos que ver y señalar en el gráfico dónde están los diferentes números que hemos escrito.

- ¿Dónde vemos el número 20? En el ancho del rectángulo amarillo..


- ¿Dónde vemos el número 10? En el alto de cualquier rectángulo


- ¿Dónde vemos el número 200? En la superficie del rectángulo amarillo.




Es importante realizar la comparación entre multiplicaciones que tengan conmutados los términos. Por ejemplo, entre 14 x 10 y 10 x 14. Es importante en tres sentidos. Primero, porque ayuda a observar de forma intuitiva la propiedad conmutativa de la multiplicación. Segundo, porque refuerza la idea de que una figura geométrica no cambia de forma, sigue siendo igual a ella misma, aunque cambie de posición, en este caso aunque la giremos 90 grados. Tercero, porque facilitará la construcción de multiplicaciones en las fases sucesivas ya que en el caso de la segunda multiplicación tendremos que añadir las regletas de decenas hacia lo alto.

Por todo lo anterior, proponemos ahora la construcción de ambas

multiplicaciones y que sean los propios alumnos los que analicen los resultados que se obtienen, estableciendo semejanzas y diferencias.

Solicitaremos a dos alumnos que construyan en el franelograma las

multiplicaciones: 14 x 10 y 10 x 14.

14 x 10 10 x 14 A continuación, formularemos al grupo preguntas similares a estas:

- ¿Hemos obtenido, en ambos casos, dos rectángulos iguales o distintos? Iguales.

- ¿Por qué son iguales los dos rectángulos? Porque tienen la misma forma,

porque son igual de grande, nada más que uno está colocado horizontalmente y el otro, verticalmente.

- ¿Si cambiamos de posición un rectángulo, cambiamos su forma y su

tamaño? No.


- ¿Cuánto mide la superficie total del rectángulo de la multiplicación 14 x 10? 140.

- ¿Cuánto mide la superficie total del rectángulo de la multiplicación 10 x 14?

140.

- ¿Obtenemos el mismo resultado en las dos multiplicaciones? Sí.

- ¿Obtenemos el mismo resultado si cambiamos el orden de los números que estamos multiplicando? Sí.

- ¿Cuánto mide el ancho del rectángulo total correspondiente a la

multiplicación 14 x 10? 14. ¿Y el alto, cuánto mide? 10.

- ¿Cuánto mide el ancho del rectángulo total correspondiente a la multiplicación 10 x 14? 10. ¿Y el alto, cuánto mide? 14.

- ¿En el caso de la multiplicación 14 x 10, dónde está situado el rectángulo

azul: arriba, debajo, a la derecha o a la izquierda del cuadrado amarillo? A la derecha.

- ¿En el caso de la multiplicación 10 x 14, dónde está situado el rectángulo

azul: arriba, debajo, a la derecha o a la izquierda del cuadrado amarillo? Arriba.

Para finalizar esta fase, procederemos como en las fases anteriores: trabajaremos la representación gráfica de este tipo de multiplicaciones en la libreta de hojas cuadriculadas de los alumnos y, finalmente, realizaremos ejercicios numéricos sin apoyatura gráfica. Construye en tu libreta el gráfico correspondiente a la multiplicación 46 x 10. Los alumnos deberán construir un gráfico similar al siguiente: A continuación, y observando el gráfico, resolverán numéricamente esta multiplicación:


Realiza la multiplicación: 46 x 10 de las tres maneras: Por descomposición Por descomposición vertical: horizontal: + + x = + = X + = De forma abreviada: x

Por último, y únicamente después de realizar ejercicios de este tipo de multiplicación de forma práctica y de forma representada, realizaremos multiplicaciones en su forma numérica, haciendo hincapié en su expresión abreviada. Como tampoco ahora tenemos las limitaciones espaciales que nos imponen las regletas y los grafico, iremos aumentando de forma progresiva los números que participan en las multiplicaciones. Realiza la multiplicación: 73 x 10 de las tres maneras: Por descomposición Por descomposición vertical: horizontal: + + x = + = X + = De forma abreviada: x


Multiplica de forma abreviada: 2 5 5 1 7 8 1 0 1 0 x 1 0 x 1 0 x 1 0 x 6 8 x 8 9 También presentaremos estas multiplicaciones expresadas de la siguiente forma:

24 x 10 = 83 x 10 = 10 x 45 =


5ª fase. Multiplicar dos números naturales, siendo ambos un número exacto de decenas. Pertenecen a esta fase multiplicaciones del tipo: 10 x 30; 20 x 40; 30 x 30; etc. Esto quiere decir que a la hora de efectuar su construcción en el franelograma, únicamente emplearemos regletas de 100, esto es, regletas correspondientes a las centenas. Desde el punto de vista numérico, se pretende que el alumno deduzca, a partir del conocimiento intuitivo, que este tipo de multiplicaciones se resuelven multiplicando las cifras que representan las decenas y añadiendo los correspondientes ceros. Por tal motivo, solamente trabajaremos la forma abreviada de las multiplicaciones.

Vemos un único ejemplo: 30 x 20 Solicitamos a un alumno del grupo que construya esta multiplicación en el franelograma y que calcule el resultado final.

3 0 x 2 0 = 6 0 0 Seguidamente, realizamos las consabidas preguntas:

- ¿Dónde podemos ver el número 30 en el franelograma? En el ancho del rectángulo


- ¿Dónde podemos ver el número 20? En el alto del rectángulo.

- ¿Dónde podemos ver el número 600? En la superficie del rectángulo.

- ¿Cómo podemos realizar esta multiplicación para que nos resulte muy fácil y cómodo hallar el resultado final? Multiplicando el 2 por el 3 y añadir luego los dos ceros.

Después de realizar varios ejercicios como el que acabamos de analizar, realizamos multiplicaciones de forma abreviada:

Realiza las siguientes multiplicaciones:

3 0 6 0 2 0 5 0 x 3 0 x 2 0 x 7 0 x 9 0

Realiza las siguientes multiplicaciones: 20 x 50 = 70 x 60 = 40 x 90 =


6ª fase. Multiplicar dos números naturales menores que 100. En esta fase realizaremos multiplicaciones como las siguientes:

12 x 15 ; 12 x 23 ; 24 x 35 ; 26 x 26 ; 46 x 82 ; Para realizar este tipo de multiplicaciones de forma práctica utilizando las regletas y el franelograma, nos vemos obligados a utilizar los tres tipos de regletas: las centenas, las decenas y las unidades. De igual modo, recorreremos los tres momentos: el momento de la práctica, el momento de la representación gráfica y el momento de la operación exclusivamente numérica. Antes de exponer las actividades propuestas dirigidas a los alumnos, y con el fin de facilitar su comprensión, analizaremos las representaciones que obtenemos con este tipo de multiplicación Si quisiéramos representar la multiplicación 34 x 23, tendríamos que construir un rectángulo que tuviera 34 de ancho y 23 de alto. De forma que tendríamos que disponer las regletas del siguiente modo: Las regletas de color amarillo son las centenas. Las regletas de color azul son las regletas de las decenas. Las regletas de color rojo son las regletas de las unidades. Para ello, comenzaríamos colocando las regletas que conforman el ancho del rectángulo. Para tal fin, colocaríamos 3 regletas de centenas y 4 regletas de decenas, éstas últimas dispuestas de forma vertical. De este modo:


Seguiríamos colocando las regletas correspondientes al alto del rectángulo hasta conseguir una altura de 23. De este modo: Finalmente, terminaríamos de completar la superficie del rectángulo hasta obtener la representación indicada al principio.


Hay que observar que el rectángulo rojo, situado en la parte superior derecha, lo formaremos colocando tres regletas de 4 unidades. Si efectuáramos la multiplicación 34 x 23 descompuesta polinómicamente en decenas y unidades, obtendríamos: 3 0 + 4 x 2 0 + 3 9 0 + 1 2 6 0 0 + 8 0 6 0 0 + 1 7 0 + 1 2 = 7 8 2 Ahora comparamos la representación gráfica de la multiplicación con su realización numérica por descomposición: 3 4 x 2 3 100 3 0 + 4 x 2 0 + 3 9 0 + 1 2 6 0 0 + 8 0 6 0 0 + 1 7 0 + 1 2 = 7 8 2 Observamos que:


- El número 34 lo vemos en el ancho del rectángulo total. - El número 23, en el alto del rectángulo total. - El número 30 lo vemos en el ancho del rectángulo amarillo. - El número 4, en el ancho del rectángulo azul de la derecha. - El número 20, en el alto del rectángulo amarillo. - El número 3, en el alto del rectángulo azul de arriba. - El número 12 lo vemos en la superficie del rectángulo rojo. - El número 90, en la superficie del rectángulo azul de arriba. - El número 80, en la superficie del rectángulo de la derecha. - El número 600, en la superficie del rectángulo amarillo. - La suma 90 + 12 la vemos en la suma de las superficies de los dos

rectángulos de arriba. - La suma 600 + 80 la vemos en la suma de las superficies de los dos

rectángulos de abajo. - La suma 600 + 170 + 12, esto es, el número 782 lo vemos en la superficie del

rectángulo total.

Realizado este pequeño análisis, que ayudará al lector a entender mejor determinados aspectos de nuestra exposición, pasamos a proponer una secuencia de ejercicios con regletas y que los alumnos reproducirán, mediante gráficos, en su libreta de hojas cuadriculas. Comenzaremos proponiendo multiplicaciones sencillas hasta multiplicaciones más complejas.

Solicitaremos a un alumno del grupo que represente la multiplicación 12 x 13 en

el franelograma. Para ello, le recordaremos que tiene que construir un rectángulo cuya anchura sea igual a 12 y su altura igual a 13. El alumno construirá en el franelograma la siguiente representación.

Es decir, el alumno construirá el gráfico mediante 1 regleta de centenas, 5 regletas de decenas y 3 regletas de dos unidades.


Es posible que el alumno intente representar esta multiplicación empleando diez regletas de decenas en lugar de la regleta centena. De las pocas veces que eso nos ha sucedido, hemos comprobado que, bien el propio alumno, bien varios compañeros del grupo le han hecho saber que hay una forma más corta de de representar esa multiplicación. Una vez que el alumno haya terminado, le formularemos las siguientes preguntas:

- ¿Sabrías calcular el resultado de la multiplicación mirando únicamente lo que has representado en el franelograma? Si. La multiplicación da 156.

- ¿Cómo has calculado ese 156? Tenemos 100, más 30 son ya 130. 130 más

20 son 150 y 6 más, en total son 156.

(Cuando el alumno esté calculando le diremos que, a la par que calcula, vaya señalando en el franelograma dónde se encuentran las distintas cantidades que va sumando.) A continuación formularemos al grupo las siguientes cuestiones:

- Si nos fijamos en la superficie total, ¿qué figura geométrica hemos formado? Un rectángulo.

Es probable que haya alumnos que afirmen que hemos formado un cuadrado ya

que entre el ancho y el alto existe muy poca diferencia. En este caso, el profesor preguntará a los alumnos que han afirmado que la figura formada es un rectángulo que le respondan a su compañero:

- Es un rectángulo porque el ancho no mide lo mismo que el alto.

Continuaremos formulando preguntas como las siguientes:

- ¿Cuántas clases de colores ven? Tres: amarillo, azul y rojo. - ¿Cuántas figuras geométricas ven dentro de la superficie total? 4. Un

cuadrado amarillo, dos rectángulos azules y un rectángulo rojo.

- ¿Cuánto mide el ancho del cuadrado amarillo? 10.

- ¿Cuánto mide el alto del cuadrado amarillo? 10.

- ¿Cuánto mide la superficie del cuadrado amarillo? 100.

- ¿Cuánto mide el ancho del rectángulo azul de arriba? 10.

- ¿Cuánto mide el alto del rectángulo azul de arriba? 3.

- ¿Cuánto mide la superficie del rectángulo azul de arriba? 30.

- ¿Cuánto mide el ancho del rectángulo azul de abajo? 2.


- ¿Cuánto mide el alto del rectángulo azul de abajo? 10.

- ¿Cuánto mide la superficie del rectángulo azul de abajo? 20.

- ¿Cuánto mide el ancho del rectángulo rojo? 2.

- ¿Cuánto mide el alto del rectángulo? 3.

- ¿Cuánto mide la superficie del rectángulo rojo? 6.

- ¿Cuánto mide el ancho del rectángulo total? 12.

- ¿Cuánto mide el alto del rectángulo total? 13.

- ¿Cuánto mide la superficie del rectángulo total? 156.

Finalmente, escribiremos en la pizarra la multiplicación en su forma numérica. Lo

haremos tanto por descomposición vertical como por descomposición horizontal. Cuando vayamos escribiendo los resultados parciales, es conveniente emplear tizas de colores (amarillo, azul y rojo) con el fin de que los alumnos asocien los resultados que vamos obteniendo con las distintas partes de la figura representada en el franelograma. Es decir: Descomposición vertical: 10 + 2 x 10 + 3

30 + 6 100 + 20 100 + 50 + 6 = 156 Descomposición horizontal:

(10 + 2) x (10 + 3) = 100 + 30 + 20 + 6 = 156 Los alumnos copiarán en su libreta tanto la figura representada como la expresión numérica de la multiplicación. Hay que tener en cuenta que la multiplicación que acabamos de realizar es una multiplicación de las llamadas “sin llevarse”. Desde este primer instante, abordaremos


la forma numérica de la multiplicación de manera abreviada, esto es, como habitualmente y en la actualidad se enseña en la mayoría de las aulas. Para ello, partiremos de la forma numérica por descomposición vertical hasta llegar a su forma abreviada. Es decir: Descomposición vertical: 10 + 2 x 10 + 3

30 + 6 100 + 20 100 + 50 + 6 = 156 Forma abreviada C D U 1 2 x 1 3 3 6 1 2 1 5 6 Procederemos diciendo lo siguiente: - “3 por 2 unidades son 6 unidades.” Escribimos el 6 en la columna de las unidades y con color rojo para que haya una correspondencia con el franelograma.

- “3 por 10 son 30, que son 3 decenas.” Escribimos el 3 en la columna de las decenas y con color azul.

- “10 por 2 son 20, que son 2 decenas”. Escribimos el número 2 en la columna

de las decenas y con color azul. - “10 por 10 son 100, que son 1 centena”. Escribimos el número 1 en la columna

de las centenas y con color amarillo.


Si observamos la representación gráfica que hicimos en el franelograma para esta multiplicación:

Veremos que efectivamente tenemos 6 unidades, 5 regletas de decenas y 1

regleta de centenas. Este hecho se lo haremos ver, del mismo modo a los alumnos.

Vemos el proceso de abreviar la multiplicación en otro ejemplo. Tenemos la

multiplicación 21 x 14 cuya representación gráfica y expresión numérica por descomposición vertical sería:

20 + 1 10 + 4

80 + 4 200 + 10 200 + 90 + 4 = 294


En su forma abreviada sería:

C D U 2 1 x 1 4 8 4 2 1 2 9 4

En un principio diríamos y escribiríamos lo siguiente:

- “4 por 1 unidad son 4 unidades.” Escribimos el 4 en la columna de las unidades y con color rojo para que haya una correspondencia con el franelograma.

- “4 por 20 son 80, que son 8 decenas.” Escribimos el 8 en la columna de las decenas y con color azul.

- “10 por 1 son 10, que son 1 decena”. Escribimos el número 1 en la columna de

las decenas y con color azul. - “10 por 20 son 200, que son 2 centenas”. Escribimos el número 2 en la

columna de las centenas y con color amarillo. Posteriormente, y simplificando aún más el lenguaje, solamente diríamos:

- “4 por 1 son 4.” Escribimos el 4 en la columna de las unidades y con color rojo para que haya una correspondencia con el franelograma.

- “4 por 2 son 8.” Escribimos el 8 en la columna de las decenas y con color azul. - “1 por 1 son 1”. Escribimos el número 1 en la columna de las decenas y con

color azul. - “1 por 2 son 2”. Escribimos el número 2 en la columna de las centenas y con

color amarillo. Seguimos con nuestra exposición y ahora realizaremos una multiplicación

“llevándose”. Procederemos de forma similar a la vez anterior. Un alumno del grupo saldrá y representará la multiplicación que le indiquemos y calculará el resultado de la operación a partir de la representación, formularemos una serie de preguntas al grupo y, finalmente, los alumnos en su libreta de hojas cuadriculadas dibujarán la representación y realizarán la multiplicación en sus formas numéricas.


- Representa en el franelograma la multiplicación 18 x 14 y calcula el resultado. 18 x 14 = 252 - ¿Cómo has calculado el resultado? Tenemos 100 en el cuadrado amarillo. 80 y 40 en los rectángulos azules y 32 en el rectángulo rojo. Tenemos 100; más 80 y 40 que son 120, ya son 220; mas 32, son en total 252. - Representen esta multiplicación en su libreta de trabajo y realicen la multiplicación tanto por descomposición vertical como por descomposición horizontal. Descomposición vertical: 10 + 8 x 10 + 4

40 + 32 100 + 80 100 + 120 + 32 = 252 Descomposición horizontal:

(10 + 8) x (10 + 4) = 100 + 40 + 80 + 32 = 252


Por último formularemos las siguientes preguntas a distintos alumnos del grupo:

- ¿Dónde podemos ver el número 10? En el ancho o en el alto del cuadrado amarillo.

- Dónde podemos ver el número 8? En el ancho del rectángulo azul de la

derecha o en el ancho del rectángulo rojo

- ¿Dónde podemos ver el número 4? En el alto del rectángulo azul de arriba o en el alto del rectángulo rojo.

- ¿Dónde podemos ver el número 32? En la superficie del rectángulo rojo.

- ¿Dónde podemos ver el número 40? En la superficie del rectángulo azul de

arriba.

- ¿Dónde podemos ver el número 80? En la superficie del rectángulo azul de la derecha.

- ¿Dónde podemos ver el número 100? En la superficie del cuadrado amarillo.

- ¿Dónde podemos ver el número 18? En el ancho del rectángulo total.

- ¿Dónde podemos ver el número 14? En el alto del rectángulo total.

- ¿Dónde podemos ver el número 252? En la superficie del rectángulo total.

Cuándo formulemos estas preguntas, las referiremos a la multiplicación descompuesta verticalmente.

Veamos ahora cómo debemos proceder para pasar de la expresión numérica por descomposición vertical a la forma numérica abreviada:

Descomposición vertical: 10 + 8 x 10 + 4

40 + 32 100 + 80 100 + 120 + 32 = 252


En su forma abreviada sería:

C D U 1 8 x 1 4 7 2 1 8 2 5 2

- “8 por 4 son 32. Escribimos solamente el 2 en la columna de las unidades y las 3 decenas “nos las llevamos”.

- “4 por 1 son 4 decenas, más las 3 decenas que teníamos, son 7 decenas.”

- “1 por 8 decenas son 8 decenas.”

- “1 por 1 son 1. Escribimos el 1 en la columna de las centenas.”

- “Ahora sumamos”

- “Tenemos 2 unidades. Escribimos el 2 en la columna de las unidades.”

- “7 decenas más 8 decenas son 15 decenas. Escribimos 5 decenas y nos

llevamos 1 centena.” (Si los alumnos no entendieran esta última equivalencia, le haríamos ver que 70 más 80 son 150 y en el número 150 hay una centena y 5 decenas)

- “1 centena y otra centena que nos llevamos son 2 centenas.”

Posteriormente simplificaremos el lenguaje y realizaremos la multiplicación en su forma abreviada de la manera que usualmente se realiza este tipo de multiplicación.

Cuando el grupo presente el dominio suficiente de este tipo de multiplicaciones, suprimiremos la representación en el franelograma. A partir de este momento, los alumnos realizarán por sí solos, las representaciones gráficas de las multiplicaciones en su libreta de trabajo.

De manera sucesiva iremos aumentando los números que conforman las

multiplicaciones. Sin embargo, es conveniente que mientras dure la fase de la representación gráfica, ninguno de los números que forman la multiplicación no rebasen el número 40.

Vemos un último ejemplo:


- Representa gráficamente en tu libreta la multiplicación 32 x 24 y realízala de forma numérica por descomposición vertical, por descomposición horizontal y de forma abreviada. El alumno deberá construir en su libreta un gráfico como el siguiente: Las expresiones numéricas que el alumno tendrá que escribir en su libreta serán las siguientes: Descomposición vertical: 30 + 2 x 20 + 4

120 + 8

600 + 40 600 + 160 + 8 = 768 Descomposición horizontal:

(30 + 2) x (20 + 4) = 600 + 120 + 40 + 8 = 768


Forma abreviada:

C D U 3 2 x 2 4 1 2 8 6 4 7 6 8

La corrección del ejercicio, independientemente que la hayamos realizado individualmente con algunos alumnos, la llevaremos a cabo con todo el grupo y empleando el franelograma. Durante la corrección iremos preguntando a diversos alumnos del grupo dónde podemos ver en el franelograma los distintos números o cantidades que vamos obteniendo en la multiplicación. Finalmente, nos independizaremos de la representación gráfica y efectuaremos multiplicaciones en su expresión numérica. Sin embargo, seguiremos realizando este tipo de multiplicación tanto por descomposición, vertical y horizontal, como en su forma abreviada. Comenzaremos por multiplicaciones sencillas e iremos progresivamente aumentando los números que forman las multiplicaciones. Vemos una breve secuencia: Realiza la multiplicación: 12 x 14 de las tres maneras: Por descomposición vertical: De forma abreviada: C D U 10 + 2 1 2 x 10 + 4 x 1 4 + + + + = Por descomposición horizontal: 10 + 2 x 10 + 4 = + + + =


Realiza la multiplicación: 15 x 17 de las tres maneras: Por descomposición vertical: De forma abreviada: C D U 10 + 5 1 5 x 10 + 7 x 1 7 + + + + = Por descomposición horizontal: 10 + 5 x 10 + 7 = + + + = Realiza la multiplicación: 23 x 18 de las tres maneras: Por descomposición vertical: De forma abreviada: C D U 20 + 3 2 3 x 10 + 8 x 1 8 + + + + = Por descomposición horizontal: 20 + 3 x 10 + 8 = + + + =


Realiza la multiplicación: 31 x 32 de las tres maneras: Por descomposición vertical: De forma abreviada: C D U 30 + 1 3 1 x 30 + 2 x 3 2 + + + + = Por descomposición horizontal: 30 + 1 x 30 + 2 = + + + = Realiza la multiplicación: 43 x 57 de las tres maneras: Por descomposición vertical: De forma abreviada: M C D U 40 + 3 4 3 x 50 + 7 x 5 7 + + + + = Por descomposición horizontal: 40 + 3 x 50 + 7 = + + + =


Hemos observado que el hecho de que el resultado de la multiplicación exceda de 1.000 no añade ningún gradiente de dificultad ya que cuando abordamos el aprendizaje de la operación de multiplicar, el alumno ha realizado sumas cuyo resultado es, igualmente, superior a 1.000. Antes de abordar la siguiente fase de la estrategia de aprendizaje, estimamos conveniente analizar la multiplicación de un número por sí mismo dado que tiene unas particularidades especiales, tanto desde el punto de vista gráfico como desde el punto de vista numérico. Dichas particularidades nos posibilitarán posteriormente aprendizajes colaterales y el desarrollo de ciertas capacidades.

En fases anteriores vimos que cuando multiplicábamos un número por sí mismo, obteníamos tanto el franelograma como en la representación gráfica, un cuadrado en vez de un rectángulo. Los alumnos deducen con facilidad la razón de este hecho: el ancho y el alto tienen la misma longitud.

Igualmente en esta fase, procederemos a realizar multiplicaciones de un número por sí mismo y observar los resultados que obtenemos. Para ello, realizaremos actividades de repaso correspondientes a fases anteriores.

En primer lugar, formaremos en el franelograma, por ejemplo, la multiplicación:

6 x 6 = 36

Y formularemos al grupo preguntas como las siguientes:

- ¿Qué multiplicación tenemos representada en el franelograma? 6 x 6.

- ¿Qué figura geométrica hemos formado? Un cuadrado.

- ¿Porqué, en este caso, hemos obtenido un cuadrado en lugar de un rectángulo? Porque el ancho y el alto miden lo mismo.

- ¿Quién sabría decir otras multiplicaciones en las que también obtendríamos

un cuadrado en lugar de un rectángulo? 1 x 1; 2 x 2 ; 3 x 3 ; 4 x 4 ... etc.


- Ahora vamos a aprendernos la tabla de multiplicar de los cuadrados:

1 x 1 = 1 2 x 2 = 4 3 x 3 = 9

4 x 4 = 16 5 x 5 = 25 6 x 6 = 36 7 x 7 = 49 8 x 8 = 64 9 x 9 = 81

10 x 10 = 100 Para reforzar este aprendizaje propondremos al grupo, mediante el franelograma o mediante la representación gráfica en el cuaderno de los alumnos, actividades como las siguientes: - Construye en el franelograma un cuadrado que tenga 49 unidades de superficie:

También realizaremos estas actividades en su forma numérica:

- Calcula el número que hay que multiplicar por sí mismo para obtener el resultado de las multiplicaciones. Observa el ejemplo:

2 x 2 = 4 ; x = 36 x = 25

x = 1 ; x = 100 x = 49

x = 9 ; x = 64 x = 16

x = 0 ; x = 81


A continuación, formaremos en el franelograma la multiplicación:

20 x 20 = 400

Y formularemos al grupo preguntas como las siguientes:

- ¿Qué multiplicación tenemos representada en el franelograma? 20 x20.

- ¿Qué figura geométrica hemos formado? Un cuadrado.

- ¿Porqué, en este caso, también hemos obtenido un cuadrado en lugar de un

rectángulo? Porque el ancho y el alto miden lo mismo.

- ¿Si construyéramos en el franelograma la multiplicación 30 x 30, formaríamos un cuadrado? Sí. ¿Por qué? Porque los dos números son iguales y porque el ancho y el alto miden lo mismo.

- ¿Si construyéramos en el franelograma la multiplicación 30 x 40,

formaríamos un cuadrado? No. ¿Por qué? Porque los dos números son distintos y porque el ancho y el alto no miden lo mismo. Formaríamos un rectángulo.

Podemos proponer al grupo que construya la siguiente tabla de multiplicar:


10 x 10 = 100 20 x 20 = 400 30 x 30 = 900

40 x 40 = 1.600 50 x 50 = 2500 60 x 60 = 3.600 70 x 70 = 4.900 80 x 80 = 6.400 90 x 90 = 8.100

100 x 100 = 10.000

Pasamos, por último, a analizar la multiplicación de un número de dos cifras por sí mismo. Para ello, representaremos en el franelograma dos multiplicaciones: una, siendo los dos números que forman la multiplicación diferentes; la otra, formada por un número multiplicado por sí mismo. Posteriormente estableceremos semejanzas y diferencias entre los dos resultados y sacaremos conclusiones. Solicitaremos a dos alumnos que representen en el franelograma las multiplicaciones: 23 x 15 y 15 x 15. Obtendremos las siguientes representaciones:

23 x 15 15 x 15


Una vez representadas las multiplicaciones, podemos efectuar al grupo preguntas similares a las siguientes: (Es conveniente que a la par que realizamos las preguntas, vayamos señalando las distintas zonas de la representación) Vamos a fijarnos en la multiplicación 23 x 15.

- ¿Cuánto mide la superficie del rectángulo amarillo? 200. - ¿Cuánto mide la superficie del rectángulo azul de arriba? 100. - ¿Cuánto mide la superficie del rectángulo azul de la derecha? 30. - ¿Cuánto mide la superficie del rectángulo rojo? 15. - ¿Cuánto mide la superficie del rectángulo total? 345. - ¿Al representar esta multiplicación, hemos obtenido algún cuadrado? No. - ¿En cuántos rectángulos ha quedado dividido el rectángulo total? En cuatro:

uno amarillo, dos azules y uno rojo. - ¿Los dos rectángulos azules son iguales o distintos? Distintos.

Vamos a fijarnos en la multiplicación 15 x 15.

- ¿En este caso, qué hemos obtenido: un rectángulo total o un cuadrado total? Un cuadrado total.

- ¿Por qué ahora hemos obtenido un cuadrado total y no un rectángulo total? Porque el ancho mide lo mismo que el alto y porque los dos números que estamos multiplicando son iguales.

Vamos ahora a fijarnos en la parte amarilla, en las dos partes azules y en la parte roja de esta multiplicación.

- ¿Qué hemos obtenido: un cuadrado amarillo o un rectángulo amarillo? Un cuadrado amarillo.

- ¿Cuánto mide la superficie del cuadrado amarillo? 100. - ¿Qué hemos obtenido: dos rectángulos azules o dos cuadrado azules? Dos

rectángulos azules. - ¿Cuánto mide la superficie del rectángulo azul de arriba? 50. - ¿Cuánto mide la superficie del rectángulo azul de la derecha? 50 - ¿Los dos rectángulos azules son iguales o distintos? Iguales pero colocados

en posiciones diferentes. - ¿Qué hemos obtenido: un rectángulo rojo o un cuadrado rojo? Un cuadrado

rojo. - ¿Cuánto mide la superficie del cuadrado rojo? 25. - ¿Los dos cuadrados que hemos formado, el amarillo y el rojo, son iguales de

tamaño o distintos? Distintos - ¿Cuál de los dos cuadrados tiene mayor superficie: el cuadrado amarillo o el

cuadrado rojo? El cuadrado amarillo. - ¿Cuánto mide la superficie del cuadrado total? 225. - Cuándo multiplicamos un número por él mismo, ¿obtenemos cuadro

rectángulos? No. - Cuándo multiplicamos un número por el mismo, ¿qué figuras geométricas

obtenemos? Dos cuadrado y dos rectángulos. - ¿Los dos cuadrado son igual de grande? No.


- ¿Los dos rectángulos son iguales? Sí. Entonces, si nos fijamos bien, podemos ver que cuanto multiplicamos un número por sí mismo obtenemos un cuadrado total formado por un cuadrado grande, dos rectángulos iguales y un cuadrado pequeño. Hay que tener en cuenta que cuando el alumno aborda la operación de multiplicar está iniciando el Segundo Ciclo de Primaria, por tal motivo no consideramos conveniente ir más allá de establecer diferencias perceptivas entre las figuras geométricas que se forman cuando realizamos una multiplicación u otra. En niveles superiores, cuando se profundice en otros aspectos de la multiplicación, tendremos oportunidad de abordar las implicaciones numéricas aplicadas al cálculo mental, a la operación de la raíz cuadrada y, en la etapa educativa de la ESO, a la iniciación del álgebra. Sin embargo, el profesor debe ser consciente que el alumno está realizando un aprendizaje intuitivo del cuadrado de una suma y que más adelante (a comienzo del Tercer Ciclo) lo aplicará en el cálculo mental. Del mismo modo, debe saber que estamos sentando las bases para el aprendizaje de la raíz cuadrada. Lo vemos con un ejemplo. Supongamos que tenemos la multiplicación 23 x 23, cuya representación gráfica sería: Observamos de nuevo que obtenemos un cuadrado grande, dos rectángulos iguales y un cuadrado pequeño. De la misma forma vemos que las respectivas superficies son: 400 + 60 + 60 + 9. El valor de estas superficies es el resultado de multiplicar:

- 20 x 20 = 400 - 3 x 20 = 60 - 20 x 3 = 60 - 3 x 3 = 9


Por lo tanto, la superficie del cuadrado total será de 529.

Cuando el alumno procede de este modo, en realidad está realizando el siguiente cálculo:

( ) ( ) ( ) 529912040033202203203203202323222

=++=+××+=+×+=+=× Es decir, el alumno está calculando el cuadrado de la suma 20 + 3, esto es, el cuadrado del primero ( )40020

2

= , más el doble del producto del primero por el

segundo ( )1206023202 =×=×× , más el cuadrado del segundo ( )932

= . Efectivamente, podemos observar el cuadrado del primero en el cuadrado amarillo; el doble producto del primero por el segundo lo podemos ver en los dos rectángulos azules; el cuadrado del segundo lo tenemos en la superficie del cuadrado rojo. Posteriormente, en cursos más avanzados, expresará este cálculo bajo la forma del lenguaje algebraico:

( ) ( ) ( ) 222

2 yxyxyxyxyx ++=+×+=+ Por último, hemos observado que los alumnos al inicio del Tercer Ciclo, aplicando el procedimiento que acabamos de analizar, se muestran capaces de calcular mentalmente la multiplicación de un número de dos cifras por sí mismo. Por ejemplo, para calcular la multiplicación de 58 x 58, proceden de la siguiente forma: 58 x 58 = 2.500 + 2x50x8 + 64 = 2.500 + 800 + 64 = 3.300 + 64 = 3.364 Igualmente, esta fase intuitiva de la multiplicación de un número por sí mismo sienta las bases para adquirir el concepto de la raíz cuadrada, ya que desde el punto de vista geométrico consiste en construir un cuadrado con una determinada superficie. De hecho los alumnos a comienzo del Tercer Ciclo están capacitados para hallar la raíz cuadrada de un número natural menor que 100 y cuya raíz cuadrada sea exacta. Para ello, basta con proponer que construyan, por ejemplo, en el franelograma un cuadrado cuya superficie sea igual a 64. Para realizar este ejercicio, los alumnos piensan en un número que multiplicado por sí mismo da 64 y ese número es el 8. Hemos comprobado que a comienzo del Tercer Ciclo los alumnos, con ayuda de las regletas y del franelograma, son capaces de calcular la raíz cuadrada de un número natural menor que mil y cuya raíz cuadrada sea exacta.

Para reforzar este aprendizaje, realizaremos varios ejercicios de representar y calcular la multiplicación de un número de dos cifras por sí mismo. Vemos un último ejercicio que podemos proponer a los alumnos. Uno de ellos, realizará el ejercicio en el franelograma y el resto en su libreta de papel cuadriculado.

- Construye en el franelograma la multiplicación 34 x 34.


A continuación formularemos al grupo cuestiones como las siguientes:

- ¿Cuánto mide la superficie del cuadrado grande amarillo? 900. - ¿Cuánto mide la superficie de cada uno de los dos rectángulos iguales? 120 - ¿Cuánto mide la superficie del cuadrado pequeño rojo? 16. - ¿Cuánto mide la superficie del cuadrado total? 1.156. - ¿Cómo has calculado la superficie del cuadrado total? El cuadrado grande

mide 900. Como cada rectángulo mide 120, entre los dos serán 240. Ya tengo 1.140. A 1.140 le sumo los 16 del cuadrado pequeño y me da 1.156.

Realiza ahora la multiplicación: 34 x 34 de las tres maneras: Por descomposición vertical: De forma abreviada: M C D U 30 + 4 3 4 x 30 + 4 x 3 4 + + + + =


Por descomposición horizontal: 30 + 4 x 30 + 4 = + + + =


7ª fase. Multiplicar un número natural de una cifra por otro de tres cifras. En esta fase realizaremos multiplicaciones como las siguientes: 324 x 2 ; 267 x 6 Ahora prescindiremos de la representación gráfica, es decir, del uso del franelograma y de las regletas, y únicamente las realizaremos en sus formas numéricas. Comenzaremos por multiplicaciones “sin llevarse” órdenes de unidades. Propondremos a los alumnos ejercicios como los siguientes: Realiza la multiplicación: 324 x 2 de las tres maneras: Por descomposición vertical: De forma abreviada: M C D U 300 + 20 + 4 3 2 4 X 2 x 2 + + = Por descomposición horizontal: 300 + 20 + 4 x 2 = + + = Seguiremos con multiplicaciones similares pero donde el alumno tenga que aplicar la equivalencia numérica entre órdenes de unidades, es decir, con multiplicaciones “llevándose”. Posteriormente, iremos aumentando de forma progresiva los números que forman la multiplicación:


Realiza la multiplicación: 345 x 3 de las tres maneras: Por descomposición vertical: De forma abreviada: M C D U 300 + 40 + 5 3 4 5 X 3 x 3 + + = Por descomposición horizontal: 300 + 40 + 5 x 3 = + + = Realiza la multiplicación: 863 x 7 de las tres maneras: Por descomposición vertical: De forma abreviada: M C D U 800 + 60 + 3 8 6 3 X 7 x 7 + + = Por descomposición horizontal: 800 + 60 + 3 x 7 = + + =


8ª fase. Multiplicar dos números naturales. En esta última fase realizaremos multiplicaciones como las siguientes: 256 x 32; 458 x 157; 1.234 x 25 Únicamente realizaremos este tipo de multiplicaciones en su forma abreviada ya que tiene como finalidad la mecanización general de la multiplicación de dos números naturales. Sin embargo, evitaremos que los números que formen las operaciones sean excesivamente grandes puesto que son operaciones carentes de sentido para los alumnos y lo único que produce en el alumno es cansancio, rutina y aburrimiento hacia las matemáticas. En un principio realizaremos estas multiplicaciones colocando los números dentro de un cuadriculado con el fin de facilitar la correcta colocación de los resultados parciales que se vayan obteniendo. Finalmente, suprimiremos esta apoyatura. Realiza las siguientes multiplicaciones: 2 5 6 3 2 4 5 x 3 2 x 6 4 Realiza las siguientes multiplicaciones: 1 3 6 2 3 5 7 x 2 4 5 x 6 0 5 Hemos llegamos finalmente a este tipo de multiplicaciones que son las que usualmente predominan como ejercicios dentro de las aulas. Pero en nuestro caso ha sido el punto de llegada de un proceso que ha recorrido distintas fases, que ha partido desde las formas más simples a las formas más desarrolladas. Un proceso lleno de matices y de detalles que permitirá a los alumnos el desarrollo de numerosas capacidades y dotar de significación concreta a la operación de multiplicar sin quedarse únicamente en una mecanización sin sentido. Un proceso con transición conectando los distintos momentos: la actividad manipulativa, la representación gráfica y las


expresiones y operaciones numéricas. Un proceso que relaciona el concepto de multiplicar con su algoritmo matemático. Evidentemente es un proceso más lento que el tradicional pero más fructífero y rico en aprendizajes.


C. E. I. P. VEINTE DE ENERO

ÁREA DE MATEMÁTICAS

SEGUNDO CICLO

UNIDAD DIDÁCTICA:

LA MULTIPLICACIÓN DE NÚMEROS NATURALES.

ANEXOS

RAMÓN GALÁN GONZÁLEZ


En los anexos que a continuación se adjuntan, figuran un conjunto de propuestas de ejercicios tipo en su fase numérica y plantillas para que los alumnos realicen las multiplicaciones en sus distintas fases, tanto gráfica como numéricamente. El propósito de estos anexos es facilitar al profesorado la realización de las actividades propuestas tanto en su fase gráfica como en su fase numérica. El contenido de estos anexos es el siguiente: 1º. Plantilla de un decímetro cuadrado dividido en centímetros cuadrados para la realización de multiplicaciones de dos números de una cifra de forma gráfica. 2º. Ejercicios tipo de conversión de una suma de sumandos repetidos en forma e multiplicación. 3º. Las distintas tablas de multiplicar, del cero al 10, para que los alumnos las construyan conforme vayan realizando las actividades correspondientes a la primera fase. 4º. Un conjunto de actividades en su fase numérica con el fin de reforzar la memorización de las distintas tablas de multiplicar. 5º. Plantilla para la realización de multiplicaciones dos números naturales, siendo uno de ellos un número de una cifra y, el otro, un número de dos cifras, en su forma gráfica y en las tres modalidades de la forma numérica (descomposición vertical, descomposición horizontal y de manera abreviada) 6º. Plantilla para la realización de multiplicaciones dos números naturales, siendo uno de ellos un número de una cifra y, el otro, un número de dos cifras, en las tres modalidades de la forma numérica (descomposición vertical, descomposición horizontal y de manera abreviada).

7º. Plantilla para la realización de multiplicaciones de manera gráfica y numérica abreviada de dos números naturales, siendo uno de ellos un número de una cifra y, el otro, un número de dos cifras.

8º. Multiplicaciones numéricas abreviadas de dos números naturales, siendo uno de ellos un número de una cifra y, el otro, un número de dos cifras.

9º. Plantilla para la realización de multiplicaciones dos números naturales de dos

cifras, en su forma gráfica y en las tres modalidades de la forma numérica: descomposición vertical, descomposición horizontal y de manera abreviada.

10º. Plantilla para la realización de multiplicaciones dos números naturales de dos cifras, en las tres modalidades de la forma numérica: descomposición vertical, descomposición horizontal y de manera abreviada.

11º. Multiplicaciones numéricas abreviadas de dos números naturales de dos cifras. 12º. Plantilla para la realización de multiplicaciones dos números naturales siendo uno de ellos un número de una cifra y, el otro, un número de tres cifras, en las


tres modalidades de la forma numérica: descomposición vertical, descomposición horizontal y de manera abreviada.

13º. Multiplicaciones numéricas abreviadas de dos números naturales siendo uno de ellos un número de una cifra y, el otro, un número de tres cifras.

14º. Multiplicaciones numéricas abreviadas de dos números naturales.


Representa gráficamente la multiplicación x Representa gráficamente la multiplicación x


Expresa estas sumas de sumandos repetidos en forma de multiplicación: 3 + 3 + 3 + 3 = x = 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 = x = 6 + 6 = x = 7 + 7 + 7 = x = 0 + 0 + 0 + 0 + 0 = x = 9 + 9 + 9 + 9 + 9 + 9 = x = 8 + 8 + 8 = x = 10 + 10 + 10 + 10 = x = 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 = x = 4 + 4 + 4 + 4 + 4 + 4 = x = 5 + 5 + 5 + 5 + 5 = x = 9 + 9 = x = 3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3 = x = 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 = x = 5 + 5 + 5 + 5 + 5 + 5 + 5 = x = 4 + 4 + 4 + 4 + 4 + 4 + 4 + 4 = x = 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 = x = 9 + 9 + 9 + 9 + 9 + 9 = x = 10 + 10 + 10 + 10 + 10 = x = 6 x 6 + 6 + 6 + 6 + 6 = x = 8 + 8 + 8 + 8 + 8 + 8 + 8 = x = 7 + 7 + 7 + 7 + 7 + 7 + 7 + 7 = x =


LA TABLA DE MULTIPLICAR DEL 0.

0 X 0 =

0 X 1 =

0 X 2 =

0 X 3 =

0 X 4 =

0 X 5 =

0 X 6 =

0 X 7 =

0 X 8 =

0 X 9 =

0 X 10 =



1 X 0 =

1 X 1 =

1 X 2 =

1 X 3 =

1 X 4 =

1 X 5 =

1 X 6 =

1 X 7 =

1 X 8 =

1 X 9 =

1 X 10 =



2 X 0 =

2 X 1 =

2 X 2 =

2 X 3 =

2 X 4 =

2 X 5 =

2 X 6 =

2 X 7 =

2 X 8 =

2 X 9 =

2 X 10 =



3 X 0 =

3 X 1 =

3 X 2 =

3 X 3 =

3 X 4 =

3 X 5 =

3 X 6 =

3 X 7 =

3 X 8 =

3 X 9 =

3 X 10 =



4 X 0 =

4 X 1 =

4 X 2 =

4 X 3 =

4 X 4 =

4 X 5 =

4 X 6 =

4 X 7 =

4 X 8 =

4 X 9 =

4 X 10 =



5 X 0 =

5 X 1 =

5 X 2 =

5 X 3 =

5 X 4 =

5 X 5 =

5 X 6 =

5 X 7 =

5 X 8 =

5 X 9 =

5 X 10 =



6 X 0 =

6 X 1 =

6 X 2 =

6 X 3 =

6 X 4 =

6 X 5 =

6 X 6 =

6 X 7 =

6 X 8 =

6 X 9 =

6 X 10 =



7 X 0 =

7 X 1 =

7 X 2 =

7 X 3 =

7 X 4 =

7 X 5 =

7 X 6 =

7 X 7 =

7 X 8 =

7 X 9 =

7 X 10 =



8 X 0 =

8 X 1 =

8 X 2 =

8 X 3 =

8 X 4 =

8 X 5 =

8 X 6 =

8 X 7 =

8 X 8 =

8 X 9 =

8 X 10 =



9 X 0 =

9 X 1 =

9 X 2 =

9 X 3 =

9 X 4 =

9 X 5 =

9 X 6 =

9 X 7 =

9 X 8 =

9 X 9 =

9 X 10 =



10 X 0 =

10 X 1 =

10 X 2 =

10 X 3 =

10 X 4 =

10 X 5 =

10 X 6 =

10 X 7 =

10 X 8 =

10 X 9 =

10 X 10 =


Completa las tablas de multiplicar

2 x 0 = 3 x 0 = 4 x 0 = 2 x 1 = 3 x 1 = 4 x 1 = 2 x 2 = 3 x 2 = 4 x 2 = 2 x 3 = 3 x 3 = 4 x 3 = 2 x 4 = 3 x 4 = 4 x 4 = 2 x 5 = 3 x 5 = 4 x 5 = 2 x 6 = 3 x 6 = 4 x 6 = 2 x 7 = 3 x 7 = 4 x 7 = 2 x 8 = 3 x 8 = 4 x 8 = 2 x 9 = 3 x 9 = 4 x 9 = 2 x 10 = 3 x 10 = 4 x 10 = 5 x 0 = 6 x 0 = 7 x 0 = 5 x 1 = 6 x 1 = 7 x 1 = 5 x 2 = 6 x 2 = 7 x 2 = 5 x 3 = 6 x 3 = 7 x 3 = 5 x 4 = 6 x 4 = 7 x 4 = 5 x 5 = 6 x 5 = 7 x 5 = 5 x 6 = 6 x 6 = 7 x 6 = 5 x 7 = 6 x 7 = 7 x 7 = 5 x 8 = 6 x 8 = 7 x 8 = 5 x 9 = 6 x 9 = 7 x 9 = 5 x 10 = 6 x 10 = 7 x 10 = 8 x 0 = 9 x 0 = 10 x 0 = 8 x 1 = 9 x 1 = 10 x 1 = 8 x 2 = 9 x 2 = 10 x 2 = 8 x 3 = 9 x 3 = 10 x 3 = 8 x 4 = 9 x 4 = 10 x 4 = 8 x 5 = 9 x 5 = 10 x 5 = 8 x 6 = 9 x 6 = 10 x 6 = 8 x 7 = 9 x 7 = 10 x 7 = 8 x 8 = 9 x 8 = 10 x 8 = 8 x 9 = 9 x 9 = 10 x 9 = 8 x 10 = 9 x 10 = 10 x 10 =

Calcula: 2 x 0 = 2 x 10 = 2 x 0 = 2 x 1 = 2 x 1 = 2 x 9 = 2 x 2 = 2 x 3 = 2 x 2 = 2 x 8 = 2 x 4 = 2 x 5 = 2 x 3 = 2 x 7 = 2 x 6 = 2 x 7 = 2 x 4 = 2 x 6 = 2 x 8 = 2 x 9 = 2 x 5 = 2 x 10 = 2 x 5 = 2 x 0 = 2 x 6 = 2 x 4 = 2 x 1 = 2 x 2 = 2 x 7 = 2 x 3 = 2 x 3 = 2 x 4 = 2 x 8 = 2 x 2 = 2 x 5 = 2 x 6 = 2 x 9 = 2 x 1 = 2 x 7 = 2 x 8 = 2 x 10 = 2 x 0 = 2 x 9 = 2 x 10 = 2 x 5 = 2 x 1 = 2 x 0 = 2 x 1 = 2 x 6 = 2 x 2 = 2 x 8 = 2 x 9 = 2 x 4 = 2 x 3 = 2 x 6 = 2 x 7 = 2 x 7 = 2 x 4 = 2 x 4 = 2 x 5 = 2 x 3 = 2 x 5 = 2 x 2 = 2 x 3 = 2 x 8 = 2 x 6 = 2 x 1 = 2 x 2 = 2 x 2 = 2 x 7 = 2 x 3 = 2 x 4 = 2 x 9 = 2 x 8 = 2 x 5 = 2 x 6 = 2 x 1 = 2 x 9 = 2 x 7 = 2 x 8 = 2 x 0 = 2 x 10 = 2 x 9 = 2 x 10 =


Calcula el número que falta en las multiplicaciones: 1 x = 9 10 x = 60 10 x = 80 1 x = 4 2 x = 18 3 x = 21 4 x = 27 5 x = 15 6 x = 24 7 x = 49 8 x = 24 9 x = 27 2 x = 8 3 x = 6 4 x = 20 5 x = 25 6 x = 30 7 x = 14 8 x = 64 9 x = 63 2 x = 14 3 x = 12 4 x = 36 5 x = 35 6 x = 42 7 x = 21 8 x = 56 9 x = 72 2 x = 10 3 x = 9 4 x = 28 5 x = 45 6 x = 18 7 x = 42 8 x = 32 9 x = 18 2 x = 4 3 x = 27 4 x = 16 5 x = 30 6 x = 36 7 x = 28 8 x = 40 9 x = 36 2 x = 6 3 x = 24 4 x = 24 5 x = 40 6 x = 54 7 x = 56 8 x = 48 9 x = 54 6 x = 48 7 x = 63 8 x = 72 9 x = 45


Calcula el número que falta en las multiplicaciones: 1 x = 8 0 x = 0 10 x = 70 1 x = 2 2 x = 12 3 x = 15 4 x = 12 5 x = 20 6 x = 12 7 x = 35 8 x = 16 9 x = 81 2 x = 16 3 x = 18 4 x = 8 5 x = 10 6 x = 54 7 x = 42 8 x = 72 9 x = 72 2 x = 8 3 x = 12 4 x = 20 5 x = 45 6 x = 18 7 x = 28 8 x = 24 9 x = 63 2 x = 10 3 x = 21 4 x = 36 5 x = 35 6 x = 48 7 x = 49 8 x = 64 9 x = 54 2 x = 18 3 x = 27 4 x = 32 5 x = 15 6 x = 24 7 x = 21 8 x = 32 9 x = 45 2 x = 14 3 x = 24 4 x = 28 5 x = 40 6 x = 42 7 x = 63 8 x = 56 9 x = 36 6 x = 36 7 x = 56 8 x = 48 9 x = 27


Calcula el número que falta en las multiplicaciones: x 2 = 4 x 3 = 6 x 4 = 20 x 5 = 10 x 6 = 30 x 7 = 21 x 8 = 40 x 9 = 27 x 2 = 8 x 3 = 12 x 4 = 12 x 5 = 45 x 6 = 18 x 7 = 14 x 8 = 32 x 9 = 18 x 2 = 18 x 3 = 18 x 4 = 28 x 5 = 15 x 6 = 12 x 7 = 42 x 8 = 48 x 9 = 36 x 2 = 16 x 3 = 24 x 4 = 36 x 5 = 40 x 6 = 36 x 7 = 28 x 8 = 24 x 9 = 54 x 2 = 14 x 3 = 27 x 4 = 24 x 5 = 25 x 6 = 48 x 7 = 56 x 8 = 56 x 9 = 81 x 2 = 12 x 3 = 21 x 4 = 16 x 5 = 35 x 6 = 54 x 7 = 49 x 8 = 72 x 9 = 63 x 2 = 10 x 3 = 15 x 4 = 32 x 5 = 30 x 6 = 42 x 7 = 63 x 8 = 64 x 9 = 72


Calcula el número que falta en las multiplicaciones: x 2 = 6 x 3 = 9 x 4 = 16 x 5 = 20 x 6 = 24 x 7 = 56 x 8 = 16 x 9 = 72 x 2 = 10 x 3 = 24 x 4 = 12 x 5 = 15 x 6 = 36 x 7 = 42 x 8 = 32 x 9 = 63 x 2 = 14 x 3 = 18 x 4 = 8 x 5 = 25 x 6 = 30 x 7 = 28 x 8 = 24 x 9 = 36 x 2 = 18 x 3 = 12 x 4 = 32 x 5 = 30 x 6 = 42 x 7 = 63 x 8 = 48 x 9 = 54 x 2 = 8 x 3 = 15 x 4 = 24 x 5 = 40 x 6 = 54 x 7 = 35 x 8 = 64 x 9 = 45 x 2 = 12 x 3 = 21 x 4 = 36 x 5 = 35 x 6 = 48 x 7 = 49 x 8 = 72 x 9 = 27 x 2 = 16 x 3 = 27 x 4 = 28 x 5 = 45 x 6 = 18 x 7 = 21 x 8 = 56 x 9 = 18


Realiza la siguiente multiplicación: x Gráficamente

Por descomposición vertical: Por descomposición horizontal: + + x = + = X + = De forma abreviada: x Realiza la siguiente multiplicación: x Gráficamente

Por descomposición vertical: Por descomposición horizontal: + + x = + = X + = De forma abreviada: x


Realiza la siguiente multiplicación: x Por descomposición vertical: Por descomposición horizontal: + + x = + = X + = De forma abreviada: x Realiza la siguiente multiplicación: x Por descomposición vertical: Por descomposición horizontal: + + x = + = X + = De forma abreviada: x Realiza la siguiente multiplicación: x Por descomposición vertical: Por descomposición horizontal: + + x = + = X + = De forma abreviada: x


Calcula de forma gráfica y numérica de manera abreviada

C D U X


C D U X


C D U X


Realiza las siguientes multiplicaciones de forma abreviada:

C D U C D U C D U C D U C

D

U

3 4 9 5 7 0 9 3 9 5 x 2 x 1 x 4 x 3 x 5


D

U

8 3 7 6 9 2 5 7 4 3 x 6 x 2 x 3 x 4 x 5


D

U

9 4 9 7 6 1 7 4 6 9 x 6 x 7 x 8 x 9 x 7


D

U

7 8 9 6 8 7 4 8 7 2 x 3 x 8 x 6 x 7 x 5


D

U

7 4 8 3 3 6 3 5 7 9 x 9 x 4 x 7 x 8 x 6


Realiza la siguiente multiplicación: x Gráficamente:

Por descomposición vertical: De forma abreviada: M C D U + x + x + + + + = Por descomposición horizontal: + x + = + + + =


Realiza la multiplicación x de las tres maneras: Por descomposición vertical: De forma abreviada: M C D U + x + x + + + + = Por descomposición horizontal: + x + = + + + = Realiza la multiplicación x de las tres maneras: Por descomposición vertical: De forma abreviada: M C D U + x + x + + + + = Por descomposición horizontal: + x + = + + + =



M C D U M C D U M C D U M C D U

5 6 8 2 7 4 2 9

X 1 3 X 2 4 X 3 5 X 4 6


7 5 6 3 2 8 4 4

X 2 7 X 3 8 X 4 9 X 6 8


4 6 7 2 6 9 7 5

X 7 9 X 8 2 X 6 3 X 9 5


3 9 9 7 8 4 6 8

X 9 7 X 8 6 X 5 1 X 7 7


Realiza la multiplicación x de las tres maneras: Por descomposición vertical: De forma abreviada: + + x + + = Por descomposición horizontal: + + x = + + = Realiza la multiplicación x de las tres maneras: Por descomposición vertical: De forma abreviada: + + x + + = Por descomposición horizontal: + + x = + + =

M C D U

X

M C D U

X




6 8 3 8 3 5 2 9 1 8 5 7 x 3 x 2 x 4 x 6


9 2 7 4 6 3 5 4 6 7 6 9 x 5 x 7 x 9 x 8


8 6 7 3 8 6 7 9 2 6 5 4 x 1 x 9 x 6 x 7


7 0 8 4 5 9 6 5 2 6 5 7 x 8 x 3 x 4 x 7


9 2 5 7 8 4 9 8 7 7 3 6 x 8 x 5 x 2 x 9


5 4 3 4 8 6 9 3 6 7 8 4 x 3 x 6 x 7 x 4



5 6 2 5 2 1 9 2 3 6 5 7

X 3 4 X 6 5 X 7 2

8 0 5 7 3 2 8 7 3 6 4 2

X 9 8 X 5 7 X 6 3

2 5 4 6 7 3 3 2 5 8

X 3 6 2 X 7 5 9 X 4 8 9

4 6 1 7 3 5 9 4 0 6

X 7 0 5 X 6 2 8 X 3 4 9

microsoft word - la multiplicación de números naturales

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