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Tema:

3 Multiplicación de números enteros Números 2001 - Matemáticas 1.º ESO1

Multiplicación de números enteros de distinto signo

Cada vez que va al cine gasta 6 euros

(a) (–7) ·(+ 9) = – 63

El producto de dos números enteros de distinto signo es un número entero negativo, cuyo valor absoluto es el producto de los valores absolutos de los factores.

Ejemplo:

(– 6) · (+ 3) = – 18

Otros ejemplos:

– 6

(c) (– 13) · (+4)= –52(b) (+12) · (–12) = –144

Beatriz gasta 6 euros cada vez que va al cine. ¿Cuánto dinero ha gastado después de haber ido tres veces?

Va tres veces + 3

Gasta: 3 · 6 euros = 18 euros – 18

Gráficamente:

0 +6 +12–24 –18 –12 –6

–6–6 –6

Tema:


Multiplicación de números enteros

(a) (+5) · (– 1) = –55

(+7) · (+ 9) = +(7·9) = +63

Otros ejemplos:

Hay cuatro posibilidades:

Para multiplicar números enteros hay que tener en cuenta el signo que lleven.

(+7) · (– 9) = –(7·9) = –63

(–7) · (+ 9) = –(7·9) = –63

(–7) · (– 9) = +(7·9) = +63

Regla de los signos:

+ · + = +

+ · – = –

– · + = –

– · – = +

(b) (–5) ·(+7) = –35 (c) (–3) · (–9) = 27

1º. Se halla el producto de sus valores absolutos.Observa:

2º. El resultado es positivo(+) si los factores son del mismo signo. El resultado es negativo (–) si tienen distinto signo.

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División exacta de números enteros

(a) 15 : (– 5) = – (15 : 5) = –3 (b) (–54) : (+6) = –(54 : 6) = –9

(+21) : (+ 7) = +(21 : 7) = 3

Otros ejemplos:

Pueden darse cuatro casos:

Para dividir números enteros hay que tener en cuenta el signo que lleven.

(+32) : (– 4) = –(32 : 4) = –8

(–63) : (+ 9) = –(63 : 9) = –7

(–48) : (– 8) = +(48 : 8) = 6

Regla de los signos:

+ : + = +

+ : – = –

– : + = –

– : – = +

(c) –35 : 7 = –5 (d) – 72 : (–9) = 8

Es la mismaque para la

multiplicación

Observación: El paréntesis es necesario cuando se divide por un número negativo. En cualquier otro caso es optativo.

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Propiedad conmutativa

7 +(– 12) = – 5

Otros ejemplos:

De la suma

La suma de dos números enteros no varía cuando se cambia el orden de los sumandos.

Observa:

(– 12) + 7 = – 57 +(– 12) = (–12) + 7

Del producto 4 ·(– 5) = – 20Observa:

(– 5) · 4 = – 204 · (– 5) = (– 5) · 4

El producto de dos números enteros no varía cuando se cambia el orden de los factores.

Suma(–5) + 7 = 7 +(–5) = 2

2 + (–13) = (–13) + 2 = –11

Producto(– 3) · (–9) = (– 9) · (–3) = 27(+6) · (–8) = (–8) · (+6) = –48

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Propiedad asociativa de la suma

La suma de tres números enteros no varía cuando se asocian los términos de modos distintos

La suma 10 + (–5) + (–2) puede hacerse de dos maneras:

1º. Sumando los dos primeros números al tercero:

[10 + (–5)] + (–2) = 5 + (–2) = 3

2º. Sumando el primer número a los otros dos:

10 + [(–5) + (–2)] = 10 + (–7) = 3

Luego: [10 + (– 5)] + (– 2) = 10 + [(– 5) + (– 2)] Propiedadasociativade la suma

Otro ejemplo: [(–5) + 17] + (–8) = = 12 + (–8) = 4

(–5) + [17 + (–8)] = = –5 + 9 = 4

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Propiedad asociativa del producto

El producto de tres números enteros no varía cuando se asocian los términos de modos distintos

El producto (–12) · 8 · (–5) puede hacerse agrupando los factores de dos formas distintas:

1º. (los dos primeros) · (el tercero):

[(–12) · 8] · (–5) = (–96) · (–5) = 480

2º. (el primero) · (el producto de los otros dos):

(–12) · [8 · (–5)] = (–12) · (–40) = 480

Luego: [(–12) · 8] · (–5) = (–12) · [8 · (–5)]

Propiedadasociativa

del producto

Otro ejemplo: [(–5) · 7] · (–3) = = –35 · (–3) = 105

(–5) · [7 · (–3)] = = –5 · (–21) = 105

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Propiedad distributiva

El producto de un número entero por una suma es igual a la sumade los productos del número entero por cada uno de los sumandos.

El valor de la expresión –5 · (–3 + 7) puede calcularse de dos formas distintas:

Hacemos primero la suma y a continuación la multiplicación.

Multiplicamos el factor por cada sumando y después sumamos.

Luego: –5 · (–3 + 7) = –5 · (–3) + (–5) · 7

Una forma:

–5 · (–3 + 7) = –5 · 4 = –20

Otra forma:

–5 · (–3 + 7) = –5 · (–3) +(–5) · 7= +15 + (–35) = –20

El resultado es el mismo

Esta es la propiedaddistributiva de la multiplicación

respecto a la suma

Otro ejemplo:15 · [–10 +8 + (–17)] = 15 · (–19) = –285

15 · [–10 +8 + (–17)] = 15 · (–10) + 15 · 8 + 15 · (–17) = –150 + 120 + (–255) = –285

15 · [–10 +8 + (–17)]Sumando antes:Multiplicando por cada sumando:

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Factor común

En la suma –3 · 7 + (–3) · (–2) los sumandos son productos. En ambos se repite el factor –3.

Decimos que –3 es factor común.

Aplicando la propiedad distributiva, leyéndola de derecha a izquierda.

Podemos escribir: –3 · 7 + (–3) · (–2) = –3 · [7 + (–2)]

Hemos sacadofactor común.

Otros ejemplos:

(c) –9 · 7 + (–9) · (–15) + 27 · 12

(a) 5 · (–10) + 5 · (–17) 5 · [–10 + (–17)] = 5 · (–27) = –135

(b) –6 · (–12) + (–6) · 17 + (–6) · (–9)

–6 · [(–12) +17 + (–9)] = –6 · (–4) = –24

El factor común es –6.

Aparentemente no hay factor común. Pero como 27 = –9 · (–3), se tiene:

–9 · 7 + (–9) · (–15) + (–9 )· (–3) · 12 = –9 · [ 7 + (–15) + (–3 )· 12] = –9 · (–44) = 396

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Operaciones combinadas. Sin paréntesisEjemplos:

–5 · 6 + (–4) · 8 +30

Otros ejemplos:

2º. 8 ·(– 6) – 3 · (12 –17) –48 – 3 ·(–5) = –48 + 15 = –33

1º –6 · (–4) + (–12) · 4 + (–5) · (–9) = 24 – 48 + 45 = 21

(a) La operación debe realizarse en el siguiente orden:

–30 + (–32) + 30 = –32Primero hemos hecho los

productos y después las sumas

–30 : 6 + (–3) · 4 + 14 (b) Para hallar hay que seguir el siguiente orden:

–5 + (–12) + 14 = –3Primero divisiones y productos,

después las sumas

Operando en el paréntesis

Aplicando la propiedad distributiva 8 ·(– 6) – 3 ·12 –3 · (–17) = –48 – 36 + 51 = –33

1º Multiplicaciones y divisiones.2º Sumas y restas

El orden de las operaciones es:

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Operaciones combinadas. Con paréntesis

Ejemplos:

–12 + [8 + (–14) : 2] + [–7 + (–9) · 5]

Otros ejemplos:

1º –6 ·[ (–4) + (–12) ] + [4 + (–5)] · (–9) = –6 · (–16) + (–1) · (–9) = 96 + 9 = 105

(a) La operación

Se hace así: –12 + [8 + (–7)] + [–7 + (–45)]

= –63

2º. El mismo ejemplo aplicando la propiedad distributiva

1º Operar dentro de los paréntesis2º Hacer las multiplicaciones y divisiones.3º Hacer las sumas y restas

El orden a seguir es:

–12 + 1 + (–52)

–6 ·[ (–4) + (–12) ] + [4 + (–5)] · (–9) = –6 · (–4) + (–6) · (–12) ] + 4 · (–9) + (–5) · (–9)= 24 + 72 – 36 + 45 = 105

3º [15 : (–5) + (–2) ] + [ (–8) · (–3) + 10] + (–5) = [(–3) + (–2) ] + [24 + 10] + (–5)= –5 + 34 – 5 = 24

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Operaciones combinadas. Resumen

Resumimos con los siguientes casos:

–12 + (–3) · (+4) + (–9)

[–12 + (–3)] · (+4) + (–9)

–12 + (–3) · [(+4) + (–9)]

[–12 + (–3)] · [(+4) + (–9)]

Caso 1:

Caso 2:

Caso 3:

Caso 4:

Observa que en todos los casoshay los mismos números y operaciones.

Cambia la situación de los paréntesis

= –12 + (–12) + (–9) = –33

= (–15) · (+4) + (–9) = –60 + (–9) = –69

= –12 + (–3) · (–5) = –12 + 15 = 3

= –15 · (–5) = 75

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Resolución de problemas

Tantear para comprender mejorPrimero:

Problema 1: La suma de dos números enteros es igual a –19 y su producto es igual a 60. ¿Cuáles son esos números?

Hacer una tablaSegundo:

Comprobación.Tercero:

La suma es: –4 + (–15) = –19.

Que son las condiciones requeridas.

No puede ser, pues su producto debe ser 60.

¿Por qué no valdrían dos números positivos?

Entonces, su producto sería: –29 · 10 = –290.Si los números suman – 19, uno podría ser –29 y el otro 10.

¿Has advertido quepara que el producto sea

60, los dos números debenser negativos?

Negativos que sumen 19 1, 18 2, 17 3, 16 4, 15 5, 14 6, 13

Negativos de producto 60 1, 60 2, 30 3, 20 4, 15 5, 12

Luego, los números buscados son –4 y –15.

Su producto vale: (–4) · (–15) = 60

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Resolución de problemas

800 + 25 · 15 – (30 · 15) = 800 + 375 – 450 = 725

Leer el enunciado y resumirlo.Primero:

Problema 2: En un depósito hay 800 litros de agua. Por la parte superior un tubo vierte en el depósito 25 litros por minuto, y por la parte inferior, por otro tubo, salen 30 litros por minuto. ¿Cuántos litros de agua habrá en el depósito después de 15 minutos de funcionamiento?

Hay 800 l, entran 25 y salen 30. ¿En 15 min.?

Hacer un dibujo explicativo.Segundo:+25 durante 15 min.

-30Hacer los cálculos.Tercero:

Comprobación.Cuarto:Por cada minuto que pasa, el depósito pierde 5 litros: (25 – 30 = –5)En 15 minutos: 15 · (– 5) = –75.Quedan entonces: 800 – 75 = 725.

Hay 800 l

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