Multiplicación y división de números enteros

La multiplicación era considerada una operación muy difícil en Europa antes del siglo XVI, pues aún se utilizaban los números romanos y, en este sistema de numeración las operaciones con números grandes son más difíciles que con el sistema decimal posicional.

Antes de que se adoptara este sistema en Europa, la multiplicación sólo se enseñaba en las universidades.

 

Se considerará a continuación un grifo de agua que al abrirse, llena un tanque a razón de 4 litros por minuto.

a. Si en el momento en que son las 6:00 p.m., hay 135 litros de agua en el tanque y el grifo estará abierto hasta las 6:05 p.m., ¿cuántos litros de agua habrá a esa hora?

Como cada minuto entran 4 litros de agua al tanque, al cabo de 5 minutos habrán entrado

(4)*(5) = 20

litros de agua al tanque.

Como había 135 lts. a las 6:00 pm, a las 6:05 pm habrá

litros de agua en el tanque.

b. Si el grifo estuvo abierto desde antes de las 6:00 p.m., ¿cuántos litros de agua había en el tanque a las 5:55 p.m.?

se pueden usar números negativos para las operaciones a realizar en la resolución de este problema. La hora considerada como presente, es las 6:00 p.m., los minutos antes de las 6:00 pueden considerarse negativos y los minutos después de las 6:00, como positivos.

Por ejemplo, los 5 minutos antes de las 6:00 los escribimos así: -5.

Como el tanque se ha estado llenando a razón de 4 litros por minuto, lo cual significa que en cada minuto que pasa, entran exactamente 4 litros de agua al tanque, es natural pensar que antes de las 6:00 había menos agua que a las 6:00. Por eso, se dice que:

Es decir, 5 minutos antes de las 6:00 había 20 litros menos de agua que la cantidad que hay a las 6:00.

Ejemplos: A.) 6 * (-5) = -(6*5) = -30

  B.) -25 * 2 = -(25*2) = -50

  C.) -3 * 11 = -(3*11) = -33

Volviendo al ejemplo anterior, sabiendo que en cada minuto el tanque recibe 4 litros de agua, para saber cuántos litros de agua había en el tanque a las 5:55, se realiza la operación indicada antes:

Ahora, se deben sumar los litros de agua que había a las 6:00 con el -20 obtenido:

135 + (-20) = 115

Había, pues, 115 litros de agua a las 5:55 pm.

c. Ahora se supone que en este momento el tanque tiene 200 litros de agua y que tiene un desagüe que deja escapar 2 litros de agua cada minuto. Dentro de 5 minutos, ¿cuántos litros de agua habrá?

Para usar números negativos en este caso, igualmente se consideran los minutos futuros como positivos, pero como la variación en la cantidad de agua es, en este caso, una disminución, se toman los litros que se pierden en cada minuto como negativos.

Así, la disminución de agua en los próximos 5 minutos será de (-2) 5 = -10 litros

Luego, al transcurrir 5 minutos perdiendo agua, el tanque tendrá

litros de agua.

d. En la misma situación descrita en c), se pregunta ahora: ¿cuántos litros había hace 5 minutos? Usando números negativos para los minutos ya pasados, y también para los litros de agua perdidos en cada minuto, se tendrá la operación:

Ya que el tanque está PERDIENDO agua, a las 5:55 había más agua que a las 6:00 p.m.

Si se asigna -5 al tiempo entre 5:55 y 6:00 p.m., y -2 a los litros perdidos en cada minuto, esto permite ver de alguna manera por qué el producto de (-5) por (-2) tiene como resultado el número positivo 10. A las 5:55 p.m. había exactamente 10 litros más que a las 6:00 p.m.

Había entonces en el tanque a las 5:55 p.m. exactamente

litros de agua.

Así, al multiplicar números enteros, si se multiplican dos números de un mismo signo (ya sean los dos positivos o los dos negativos) el resultado es positivo. Si se multiplican dos números de signos opuestos, el resultado es negativo.

Hay un cuento que relata que en la isla de Barataria, hay ciudadanos "buenos'' (a los que se asigna el signo +) y ciudadanos malos (se les da el signo -).

Si alguien sale de la isla, se considera que se tiene el signo -, y si alguien entra, esto equivale al signo +.

Así, si un ciudadano bueno (+) entra en Barataria (+), el resultado para la isla es positivo:

.

Si un ciudadano malo (-) sale de Barataria (-), el resultado para la isla es positivo: (-).

Si un ciudadano bueno (+) sale de la isla (-), el resultado es negativo: .

Si un ciudadano malo (-) entra a la isla (+), el resultado es negativo:

Distributividad del producto respecto a la suma de números enteros

Cuando se multiplica un número entero por otro, y éste último está escrito como la suma de otros dos, por ejemplo, 7(10+3), se sabe que esta operación es igual a

Esta propiedad se conoce como la propiedad distributiva del producto con respecto a la suma de números enteros y se puede ver que es muy natural que esto se cumpla siempre, si se observa el siguiente cálculo con piedritas:

Esta propiedad es válida para todos los números enteros, por lo tanto, si intervienen números negativos en las operaciones, sigue cumpliéndose la propiedad distributiva, por ejemplo: 

En otras palabras

para ver una representación gráfica de esta situación, se puede interpretar así: es igual al área de un rectángulo que tiene lados 5 y 6:

5 * 10 es el área de un rectángulo delados 5 y 10:

5 * 4  es el área de un rectángulo de lados 5 y 4:

Si al rectángulo de lados 5 y 10 se le quita un rectángulo de lados 5 y 4, como en la figura, se obtiene un rectángulo de lados 5 y 6:

¿Qué ocurre cuando el factor que está fuera del paréntesis es negativo?

Por ejemplo, si se tiene el producto

la propiedad distributiva asegura que

División de números enteros

Para dividir un número entero entre otro, se aplica la misma regla establecida para la multiplicación de números enteros:

El cociente tendrá signo positivo si el dividendo y el divisor tienen igual signo.

El cociente tendrá signo negativo si el dividendo y el divisor tienen signos opuestos.

Por ejemplo:

A continuación algunos ejemplos de operaciones combinadas entre números enteros:

{ [7( -8 )] ÷ [4( 5 + 2)] } - 1

se efectúan en primer lugar las operaciones que están dentro de los paréntesis, y luego las que están agrupados por los corchetes:

{ [7( -8 )] ÷ [4( 7)] } - 1 = { [-56] ÷ [28] } - 1

ahora se efectúa la división que está dentro de las llaves:

{ -56 ÷ 28 } - 1 = -2 -1 = -3

Otro ejemplo:

7 - {[4(-5)] ÷ [-1(2)]} + [7(3 - 1 + 8 - 10)]

para efectuar las operaciones que están dentro del último paréntesis, es bueno reunir por un lado todos los números que tienen signo + y por otro todos los que tienen signo -. Esto mismo es lo que se hace muchas veces para calcular saldos: se suma todo lo que ha sido ganancia por un lado, todo lo que ha sido gasto por el otro y luego se resta a última suma de la primera.

En este caso:

3 - 1 + 8 - 10 = 3 + 8 - (1 + 10) = 11 - 11 = 0

como en el último corchete se tiene 0, éste último término no añade nada a la expresión total, así es que se calcula el resto:

7 - {[4(-5)] ÷ [-1(2)]} = 7 -{(-20) ÷ (-2)} = 7 - {10} = -3

El ojo es un órgano que detecta la luz, por lo que es la base del sentido de la vista.

Se compone de un sistema sensible a los cambios de luz, capaz de transformar éstos en impulsos eléctricos. Los ojos más sencillos no hacen más que detectar si los alrededores están iluminados u oscuros. Los más complejos sirven para proporcionar el sentido de la vista.

Los ojos compuestos se encuentran en los artrópodos (insectos, arácnidos, miriápodos, crustáceos, etc.) y están formados por muchas facetas simples llamadas omatidios que dan una imagen en mosaico, no imágenes múltiples, como a menudo se cree.[1]

En la mayoría de los vertebrados y algunos moluscos, el ojo funciona como una cámara, proyectando imágenes en la retina, donde la luz se transforma, gracias a unas células llamadas fotorreceptoras, en impulsos nerviosos que son trasladados a través del nervio óptico al cerebro.[2

El 50 % de la información que recibimos de nuestro entorno la recibimos a través de los ojos. La ingente información que recibimos en un simple vistazo a nuestro entorno se guarda durante un segundo en nuestra memoria y luego la deshechamos casi toda. ¡No nos fijamos en casi nada!

El ojo humano es un sistema óptico formado por un dioptrio esférico y una lente, que reciben, respectivamente, el nombre de córnea y cristalino, y que son capaces de formar una imagen de los objetos sobre la superficie interna del ojo, en una zona denominada retina, que es sensible a la luz.

 

En la figura anterior se ven claramente las partes que forman el ojo. Tiene forma aproximadamente esférica y está rodeado por una membrana llamada esclerótica que por la parte anterior se hace transparente para formar la córnea.

Tras la córnea hay un diafragma, el iris, que posee una abertura, la pupila, por la que pasa la luz hacia el interior del ojo. El iris es el que define el color de nuestros ojos y el que controla automáticamente el diámetro de la pupila para regular la intensidad luminosa que recibe el ojo.

El cristalino está unido por ligamentos al músculo ciliar. De esta manera el ojo queda dividido en dos partes: la posterior que contiene humor vítreo y la anterior que contiene humor acuoso. El índice de refracción del cristalino es 1,437 y los del humor acuoso y humor vítreo son similares al del agua.

El cristalino enfoca las imágenes sobre la envoltura interna del ojo, la retina. Esta envoltura contiene fibras nerviosas (prolongaciones del nervio óptico) que terminan en unas pequeñas estructuras denominadas conos y bastones muy sensibles a la luz. Existe un punto en la retina, llamado fóvea, alrededor del cual hay una zona que sólo tiene conos (para ver el color). Durante el día la fóvea es la parte más sensible de la retina y sobre ella se forma la imagen del objeto que miramos.

Los millones de nervios que van al cerebro se combinan para formar un nervio óptico que sale de la retina por un punto que no contiene células receptores. Es el llamado punto ciego.

La córnea refracta los rayos luminosos y el cristalino actúa como ajuste para enfocar objetos situados a diferentes distancias. De esto se encargan los músculos ciliares que modifican la curvatura de la lente y cambian su potencia. Para enfocar un objeto que está próximo, es decir, para que la imagen se forme en la retina, los músculos ciliares se contraen, y el grosor del cristalino aumenta, acortando la distancia focal imagen. Por el contrario si el objeto está distante los músculos ciliares se relajan y la lente adelgaza. Este ajuste se denomina acomodación o adaptación.

El ojo sano y normal ve los objetos situados en el infinito sin acomodación enfocados en la retina. Esto quiere decir que el foco está en la retina y el llamado punto remoto (Pr) está en el infinito.

Se llama punto remoto la distancia máxima a la que puede estar situado un objeto para que una persona lo distinga claramente y punto próximo a la distancia mínima.

Un ojo normal será el que tiene un punto próximo a una distancia "d" de 25 cm, (para un niño puede ser de 10 cm) y un punto remoto situado en el infinito. Si no cumple estos requisitos el ojo tiene algún defecto.

 

.

 

El ojos es un sistema óptico que concentra y logra enfocar en la retina los rayos que salen divergentes de un objeto (de otro modo los rayos salientes de un punto no podrían recogerse sobre una pantalla para dar su imagen).

Juega con la acomodación del ojo arrastrando el payaso de este applet. ¿Que le pasa al foco mientras varía la acomodación?

Practica con esta aplicación . "Glisser l'object avec la souris" significa que puedes arrastrar el objeto con el ratón.

En ella puedes ver que cuando el objeto se sitúa en cualquier punto entre el punto remoto y el punto próximo la imagen se forma en la retina del ojo normal. También puedes comparar y ver lo que ocurre cuando los ojos tienen algún defecto.

 

Si un objeto está situado en el punto próximo del ojo, se ve del mayor tamaño y bajo el mayor ángulo que es posible verlo a simple vista.

 

DEFECTOS DE LA VISIÓN

Miopía.

El ojo miope tiene un sistema óptico con un exceso de convergencia.

El foco está delante de la retina cuando el ojo está relajado, sin efectuar acomodación, y al alcanzar la máxima acomodación está más cerca del cristalino que en el ojo normal.

La persona miope no ve bien de lejos. Al estar el punto focal del ojo más cerca de la córnea que en un ojo normal, los objetos situados en el infinito forman la imagen delante de la retina y se ven borrosos. Empiezan a verse bien cuando están cerca (en el punto remoto).

Del punto remoto al punto próximo realiza acomodación como el ojo normal.

En consecuencia:

El punto remoto y el punto próximo están más cerca que en el ojo normal.

Para corregir la miopía se necesitan lentes divergentes: divergen los rayos que llegan.

El foco de las lentes divergentes empleadas para corregir la miopía debe estar en el punto remoto para que los rayos que salen de ellas se enfoquen en la retina.

 

Practica con esta aplicación

Hipermetropía

Es un defecto de convergencia del sistema óptico del ojo. El foco imagen del ojo está detrás de la retina cuando el ojo está en actitud de descanso sin empezar la acomodación.

El foco está fuera del globo ocular.

El ojo miope cuando está en reposo (sin iniciar la acomodación), tiene la lente del cristalino muy poco convergente.

Para ver los objetos situados en el infinito tiene que realizar acomodación. Ve bien a lo lejos pero para hacerlo ya gasta recorrido de acomodación.

Tiene el punto próximo más lejos que el ojo normal (más de 25 cm) porque "gasta antes" el recorrido de acomodación que es capaz de hacer.

El punto remoto es virtual y está detrás del ojo.

La hipermetropía se corrige con lentes convergentes. En algunos casos se corrige al crecer la persona y agrandarse el globo ocular.

Practica con esta aplicación

Presbicia

Vista cansada.

Con el paso de los años se reduce la capacidad de adaptación del cristalino (pierde flexibilidad) y aumenta la distancia a la que se encuentra el punto próximo. Este defecto se llama presbicia y se corrige con lentes convergentes.

 

Astigmatismo

Si el ojo tiene una córnea deformada (como si la córnea fuese esférica con una superficie cilíndrica superpuesta) los objetos puntuales dan como imágenes líneas cortas. Este defecto se llama astigmatismo y para corregirlo es necesario una lente cilíndrica compensadora.

Cataratas

Es muy frecuente que al envejecer el cristalino se vuelva opaco y no permita el paso de la luz. En esto consiste la catarata. Recuerda que muchos personajes históricos que vivieron muchos años, en su vejez se volvieron ciegos.

Hoy se operan extirpando el cristalino e instalando en su lugar una lente plástica intraocular que hace su funciones y que no necesita ser sustituida en el resto de la vida.

Sumas y restas entre números enteros

Los comerciantes europeos usaban los signos "+" y "-" para diferenciar las ganancias de las pérdidas o deudas.

De allí fue que los matemáticos adoptaron estos signos y, comenzaron a escribir 5 + 10 en vez de

Esto era lo que se usaba antes de usarse el signo "+" : "p'' era el símbolo de la suma, pues la palabra "plus'' significa en latín "más''. Así, cuando en Europa se comenzaron a usar los números que representaban deudas, se les asignó el signo "-'' adelante.

Se comenzará por observar que una resta entre números naturales puede interpretarse de la siguiente manera, usando los números negativos:

Si se piensa que el número negativo -6 representa una deuda en bolívares, está claro que al tener 10 Bs. más una deuda de 6 Bs., el saldo es de 4 Bs., y esto es lo que se obtiene al restar 10 -6.

Así, siempre que se tenga que realizar una resta , puede escribirse como la suma del minuendo más el opuesto del sustraendo.

En esta operación última la resta podría parecer un poco extraña: un número negativo menos un número positivo. Si la escribimos como suma del minuendo más el opuesto del sustraendo, se obtiene una suma de dos números negativos. Podría decirse, la suma de dos deudas. Ciertamente, eso lo que da es una deuda mayor que las anteriores. ¿Exactamente a cuánto alcanza la deuda?

Naturalmente, se suman 20+37=57 y eso da la cantidad que se debe, es decir,

Veamos ahora este caso:

En este caso, debe restarse a 30 un número mayor, que es 40. Si se interpreta como la suma de 30 + (-40) , se puede realizar esa operación, cosa que no podía hacerse cuando no se conocían los números negativos. Volviendo a pensar en deudas, se tiene 30 Bs. y una deuda de 40 Bs. Eso significa que se paga lo que se tiene y se siguen debiendo 10 Bs.

Es decir:

Ahora se sabe que cualquier resta se puede interpretar como una suma (el minuendo más el opuesto del sustraendo). Bastará entonces con aprender bien a realizar la SUMA de números enteros, para poder realizar cualquier suma o resta de números enteros. Como los números enteros pueden ser positivos o negativos, se estudiarán los casos que es posible encontrar:

Suma de dos enteros positivos:

Se realiza como hasta ahora se han sumado dos números naturales:

Suma de dos enteros de signos contrarios:

Cuando se suman dos números de signos contrarios, se está en presencia de una ganancia y una pérdida; se sabe bien que si la pérdida es mayor que la ganancia, lo que queda al final es una deuda, y si, por el contrario, la ganancia es mayor que la pérdida, lo que queda es ganancia.

De esta manera, se ve que el signo del resultado de sumar dos números de signos contrarios es el signo del mayor de los números, si ambos fueran positivos.

Podría interpretarse la suma del ejemplo como la operación de "moverse" 8 unidades a la derecha de -10. Se puede ver que, como 8 es menor que 10, al moverse uno 8 unidades a la derecha, no alcanza al cero. Faltarían 2 unidades para alcanzar al cero. Es decir, se llega hasta -2.

El monto total de pérdida o ganancia en cada caso será la diferencia entre los números, ignorando el signo.

En el ejemplo 5: -10+8=-2 porque la diferencia entre 10 y 8 es 2.

En el ejemplo 6: 11+(-8)=3 porque la diferencia entre 11 y 8 es 3.

De nuevo, puede interpretarse esta suma como el resultado de moverse desde 11, hacia la izquierda, 8 unidades. Otros ejemplos:                         -5+7=2 

    3+(-1)=2

    9+(-12)=-3

En los ejemplos citados al comienzo, se tienen sumas de números con signos contrarios.

Se tiene

El resultado 9, lleva el signo positivo porque 12 tiene signo positivo. En 2), igualmente tenemos

En cambio, en 4), el mayor de los dos números (sin tomar en cuenta el signo) entre 30 y (-40) es 40. En la suma original, tiene signo negativo, por lo tanto, al restar 40-30, para efectuar esa suma, debemos colocarle el signo negativo al resultado.

 

Si has acertado en todas tus respuestas, ¡felicitaciones! has hecho un buen avance, y eso te permitirá seguir aprendiendo lo que sigue sin dificultades.

Si no has realizado correctamente alguno de los ejercicios, revisa de nuevo los ejemplos que se han dado antes, para que asimiles mejor las ideas expuestas.

Suma de dos enteros negativos:

Si tenemos que sumar, por ejemplo, -9 + (-3) , ya sabemos que la suma de dos deudas es una deuda, en este caso igual a:

Veamos otros ejemplos:

Hemos dicho antes que el opuesto de un número entero es aquel que, sumado a nuestro número, nos da el cero:

El opuesto de 5 es -5, pues 5 + (-5) = 0 El opuesto de 3 es -3, pues 3+ ( -3) = 0 El opuesto de -7 es 7, pues -7 + 7 = 0 El opuesto de -1 es 1, pues -1+1 = 0

Es claro que dado cualquier entero positivo, para encontrar su opuesto, basta con anexarle un signo - por delante. Por ejemplo: el opuesto de 8 es -8.

El signo -, delante de cualquier expresión matemática, significa el opuesto de esa expresión. Por ejemplo: el opuesto de -6 es -(-6)=+6.

Por otra parte, como se acaba de ver en los ejemplos anteriores, para encontrar el opuesto de un número negativo, basta con eliminar el signo - del número. Por ejemplo: el opuesto de -9 es 9.

Viendo estas cosas desde el punto de vista de las deudas y las ganancias, es natural pensar que lo opuesto de una deuda es una ganancia de esa misma magnitud:

Es muy importante tener presente lo que cada símbolo matemático significa. Aprender Matemáticas se parece a aprender un idioma nuevo. Si no se comprende lo que significa cada palabra de una frase, no se puede entender la frase.

Entre los símbolos importantes en el lenguaje de las matemáticas está el signo -. Como se dijo antes, no debe olvidarse su significado: se usa para expresar el opuesto de cualquier expresión que le siga.

Si se quiere calcular lo siguiente:

Aquí es importante decir que el paréntesis sirve para especificar lo siguiente: todo lo que está dentro del paréntesis está afectado por el signo negativo. Si se tiene en cuenta el significado de esa expresión matemática, no habrá dificultad alguna, pues basta con calcular lo que está dentro del paréntesis, y luego encontrar su opuesto, porque eso es lo que indica el signo - delante de todo.

Entonces, 76+32=108, y el opuesto de 108 es -108, por lo tanto,

Otros ejemplos:

Ahora, ocurre algo muy simpático con estos ejemplos, y es que se pueden hacer los cálculos de otra manera y obtener el mismo resultado. Con mucha frecuencia en Matemáticas ocurre esto: hay más de una forma correcta de resolver los problemas y ejercicios.

Se verá cuál es esa otra forma en este caso. En el primer ejemplo,

en lugar de calcular, como se hizo antes, en primer lugar lo que está dentro del paréntesis, es posible deshacerse del paréntesis primero, haciendo "entrar" al signo -, permitiéndole actuar sobre cada número, así:

El signo -, al entrar en la expresión dentro del paréntesis, se coloca delante de cada número que encuentra a su paso, y luego se realizan las operaciones indicadas.

Se calcularán los otros ejemplos, haciéndolo de esta misma manera:

Signos de agrupación

Algunas veces se hace necesario realizar operaciones de suma y resta con más de dos números enteros, por ejemplo:

Los signos (paréntesis), (corchetes) y (llaves) son llamados signos de agrupación y su papel en las expresiones como la anterior, es el mismo que el de los paréntesis, explicado ya.

La diferencia entre un signo de agrupación y otro es sólo que se usan en este orden: el más interno: paréntesis, luego viene el corchete, y el más externo es la llave.

Un signo - delante de un paréntesis o de un corchete, o de una llave, indica que se tomará el opuesto de todo lo que hay dentro del signo de agrupación.

Deberán, entonces, realizarse las operaciones que están dentro de cada signo de agrupación y luego cambiarse el signo en este caso.

Si el paréntesis, el corchete o la llave están precedidos por un signo +, no se cambia el signo de lo que está dentro de los signos de agrupación.

Para realizar la operación anterior, se comienza por operar con lo que hay dentro de los signos de agrupación más internos: los paréntesis.

Así la expresión

se transforma en

Ahora se calcula lo que hay dentro de los corchetes:

y se escribe

Resolviendo las operaciones dentro de las llaves, se obtiene

y así la expresión original es igual a