métodos de la enseñanza de la matemática

8/20/2019 Métodos de la enseñanza de la matemática

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Competencias en Matemáticas

Introducción

El auge y desarrollo actual de las telecomunicaciones, medios de transporte e

industria, ha transformado las sociedades en sistemas abiertos a la denominada

aldea global . La facilidad en el transporte de la información aunado a la excesiva

producción de la misma, exige a las personas nuevas y mejores capacidades de

organización, adaptación y autonomía en todos sus contextos y formas de vida.

Es precisamente en este contexto social e informático ue la gestión del

conocimiento radica en dos pilares fundamentales, uno se refiere a las

competencias individuales ue posee cada uno de sus integrantes! y el otro

descansa en el primero y además en el manejo inteligente de las nuevas

tecnologías.

"sí la denominada sociedad del conocimiento, reclama un conjunto de

demandas a la educación, misma ue se ve obligada a proporcionar a los sujetos

una formación ue le permita organizar, discernir y valorar los conocimientos ue

manejan. Estos elementos serán definitorios de las posibilidades productivas y

socioculturales ue un individuo tenga.

Este artículo pretende presentar de manera introductoria el tema de las

competencias para de ahí desprender las enfocadas en la materia matemática.

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Las Competencias

El contexto de la sociedad de la información se encuentra impregnado de

exigencias y retos de toda índole #sociales, económicos, culturales, etc.$, ante el

cual se abren camino nuevas orientaciones de carácter holístico ue permiten

desarrollar aprendizajes importantes, por lo ue se hace necesario incorporar el

tema de las competencias en la educación.

%oy en día el paradigma es el de la denominada educación por

competencias, la cual es caracterizada por la &'E()* como+

un sistema educativo ue enfatiza la especificación, aprendizaje y

demostración de auellas competencias #conocimientos, destrezas y actitudes$

ue tienen una importancia central para determinadas tareas. "lgunos organismos

internacionales han mostrado su inters en desarrollar proyectos ue integren el

enfoue por competencias en diferentes niveles educativos. -or un lado, se

encuentra el proyecto -(", el cual emplea el trmino competencia para referirse a

los logros ue deberían alcanzar los estudiantes de educación básica u obligatoria!

y por otro lado, el proyecto /uning ue demarca las competencias a desarrollardentro de la educación superior. #"chaerandio, 0121, p. 3423$

" nivel universitario, la adopción del enfoue educativo por competencias obedece

a dos razones primordiales+

2$ El empleo de un lenguaje similar+ el trmino competencias nace del

contexto laboral bajo el cual las organizaciones cubrían su demanda de recursos

humanos. El hecho de ue las instituciones educativas decidan adoptar este

trmino es un claro reflejo de la necesidad ue tiene la educación superior de

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mejorar su formación profesional y por ende, la consecuente actuación

profesional. "sí el trmino 5competencia6 representa el puente ue vincula a la

educación superior con el ambiente laboral.

0$ El excesivo nfasis de los currículos tradicionales en el aprendizaje

teórico+ el uso del enfoue educativo por competencias permitiría superar el

enciclopedismo y el saber erudito como finalidad de la educación. Las

competencias favorecerían la generación de aprendizajes basados en proyectos o

problemas, e incluso dentro de los mismos lugares de trabajo. Especialmente en

7xico, como lo indicó 7oreno en 0118 la educación de carácter teórico se

emplea en mayor medida tanto en las universidades autónomas del interior de la

9ep:blica como en algunas instituciones superiores de carácter privado, mientras

ue las universidades autónomas mantienen una mayor apertura y aceptación de

las nuevas reformas educativas.

(i bien el enfoue por competencias es relativamente reciente y no naceespecíficamente dentro de la educación, sino de los contextos laborales, cada vez

se incrementa su demanda ya ue se adapta adecuadamente a las exigencias de

la postmodernidad y su tan mencionada sociedad de la información.

La complejidad de formas, estructuras y ámbitos ue conforman dicha

sociedad es posible llevar ue se lleve a cabo una aproximación, 4a groso modo4,

de las competencias ue deberían tener presente los profesionales ue pretenden

adaptarse a las demandas laborales, seg:n 7oreno #0118$ son estas+

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; )ompetencia general para la resolución de problemas.

; %abilidades de pensamiento crítico.

; )onocimiento de dominio general y específico.; "utoconfianza.

; )ompetencias sociales.

Competencias matemáticas

"demás de las competencias anteriores es necesario incluir competencias de

carácter matemático debido a ue constituyen uno de los pilares fundamentales detoda sociedad, como lo se$

'o cabe duda entonces ue las matemáticas integran un área del conocimiento

presente en una gran variedad de ámbitos de la vida cotidiana, además

representan el impulso ue ha hecho posible el progreso sociocultural, científico y

tecnológico de toda sociedad.

Entonces cabría preguntar ?u competencias específicas se deben formar

en el área de las matemáticas@ 5El proyecto "LA" /uning en "mrica Latina llevó

a cabo una reunión en agosto de 011B en Crasil donde convocó a 2B

universidades latinoamericanas pertenecientes al campo matemático, y despus

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de un análisis minucioso, dise


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F (uperación del currículo tradicional cuyo nfasis radica

principalmente en la aduisición de conocimiento de carácter teórico y ue

además descuida el desarrollo de otro tipo de habilidades.

F esarrollo de nuevas formas de pensamiento en los profesionales de

tal forma ue se adapten y sean capaces de responder a las exigencias de

la sociedad del conocimiento, la cual se caracteriza por la alta complejidad

y el cambio constante.

F El aprendizaje se centra en el alumno.

Este enfoue ha estado provocando un gran impacto en la gestión educativa, tanto

a nivel curricular, como docente y de evaluación. "demás se orienta hacia la

transformación del proceso ense


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ense


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ETAA ! Formación de la competencia en "ase a relacionar pequeñas

cantidades con s#m"olos$ %e &' ''' A$C$ a (''' A$C$

En este momento el hombre de la prehistoria comienza a pensar, aduiere

conciencia del medio en el ue vive, surgen en esta etapa dos elementos

matemáticos importantes+ a$ un lenguaje articulado en el ue hay un sistema de

n:meros, b$ utensilios y construcciones en los ue intervienen relaciones

espaciales.

El hombre primitivo poseía una idea de lo ue era el n:mero, por ello

encontró la distinción entre singularidad y pluralidad, podía relacionar las

cantidades de acuerdo a sus necesidades, aunue no poseía correctamente el

concepto de cardinalidad, esto no le impide utilizar la correspondencia biunívoca,

el cual les permite contar, aunue de una forma primitiva. Eliminar el soporte

material del objeto observado, para no retener más ue el elemento numrico, el

observador ya debía ser capaz de abstraer.

En esta parte el hombre primitivo debía de tener las siguientes

competencias en el razonamiento lógico matemático+

a$ )onocer el hecho de ue la naturaleza de los objetos ue se van a contar no

desempe


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En esta etapa el papel del profesor era transmitir el conocimiento a generaciones

posteriores, o sea de padres a hijos, con base en se


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objetos y más tarde ni siuiera los n:meros, en este momento se debía de contar

con las siguientes competencias

a$ ominio primitivo de la aritmtica y principios del álgebra.

b$ "bstracción de cantidades de valores posibles, ya no necesariamente conocer

la cantidad.

c$ Encontrar operaciones euivalentes.

d$ )onocer la división de cada n:mero, en diferentes fracciones, lo ue dio inicio a

mediciones más precisas y las primeras insinuaciones de la lógica.

El 7todo para desarrollar la competencia en matemáticas, a travs del

razonamiento lógico matemático, era el de abstracción y el de concreción, pues al

integrar los objetos logran un nuevo conocimiento concreto, al cual le daban

utilidad en operaciones y contabilidad de grandes cantidades y valores

especulados, ue eran utilizados para dar un valor a las cosechas ue a:n no

producían.

Etapa ,$* %esarrollo de la competencia para resol-er pro"lemas en

construcciones y en situaciones comerciales de + A$C$ .! %$ C$

En esta parte el nivel del razonamiento lógico matemático ha llegado a evolucionar

de tal forma ue ya se cuenta con un sistema aritmtico más complejo y las

operaciones matemáticas aduieren caminos diferentes, se conocen diversos

mtodos, lo ue ayuda al comercio y temas económicos, para trabajar con

grandes cantidades.

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(u trabajo en la geometría fue su principal aporte a la matemática mundial y

ueda de manifiesto en sus construcciones en las cuales se utilizan conceptos

como ángulo, radio, y la utilización de figuras geomtricas.

En esta etapa el papel del docente era similar al del maestro tradicional y el

alumno desarrolla un rol pasivo, porue la educación era restringida y solo se

ense


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7atemáticos como /ales de 7ileto #primer matemático griego$, -itágoras de

(amos #padre de las matemáticas griegas$, formalizan la matemática, le dan un

lenguaje lógico y, de la misma forma, los problemas a los cuales se enfrentan,

provocando un mayor nivel de abstracción y las contradicciones ue obtienen

#paradojas, = postulados de Euclides, n:meros irracionales$ dan cimiento a

nuevas teorías matemáticas.

"parecen los libros de Euclides y sus postulados, se llega a niveles de

abstracción muy fuertes, surge la necesidad de E7*(/9"9 y solo

demostrándolo lo convierte en lógico y verdadero, se da origen a la lógica

matemática.

El papel del profesor es el de los primeros docentes formales, un maestro

cuenta con varios alumnos los cuales son sus seguidores, y muchas veces hasta

amantes, el papel del alumno es el de un verdadero discípulo, el cual aprende de

su maestro, pero ya no solo da por cierto todo lo ue dice, sino ue ahora tambindebe demostrar los hechos para ue l lo crea, es pasivo pero reflexivo.

En este punto la relación del maestro es muy cercana, por eso la definición

el ue está a lado de, auí la competencia matemática ue se solicita ha

evolucionado demasiado, ahora ya no solo se pide conocer o efectuar operaciones

con n:meros o realizar mediciones geomtricas, ahora tambin se pide demostrar,

de casos generales a particulares y viceversa, es decir, se formaliza el

razonamiento inductivo y deductivo, se comienza a observar formalmente y a

pensar con raciocinio , se crean las primeras estructuras lógicas.

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El mtodo para desarrollar competencias era hacer pensar al estudiante, es

decir el mtodo inductivo4deductivo, fue la primera vez ue se aplicó, la tcnica se

basaba en cuestionar todo lo ue estaba en su entorno, partir de las dudas para

buscar la verdad o al menos alejarse de la mentira, todo esto provoca ue se

encuentren errores, en lo ue se creía un axioma, y todas esas dudas dieron

nuevo conocimiento e hicieron al estudiante competente. En esta etapa se crearon

los axiomas, teoremas, corolario etc.

Etapa ($* %esarrollo de la competencia en la a"stracción total0 al ale1arse del

sentido com2n$ %e !+&)* a )''+

En esta etapa surgen los grandes genios de la 7atemática 'eHton, Leibniz,

Aermat, Euler, Ialileo, se crea el cálculo diferencial e integral, ue da origen al

análisis matemático, la geometría de LobachevsJi, surge y se da respuesta al

uinto postulado de Euclides, ue crea una nueva teoría, es el parteaguas de la

matemática moderna y a la ue más adelante recurren ciencias en sus niveles de

mayor abstracción #electromagnetismo, óptica, etc.$ en esta parte la matemática

se convierte en un grupo axiomático ue forma toda una teoría, ya sin ninguna

relación con objetos o percepciones físicas.

El papel del profesor es el de un investigador, ue solo trata de adiestrar estudiantes, se logran grandes adelantos matemáticos, pero se ha trabajado de

forma nula en la didáctica, el papel del alumno es el de un aprendiz ue lee notas

de su profesor y trata de enriuecerlas basado en conocimientos anteriores,13


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comienza formalmente la investigación científica, desde el punto de vista de las

competencias se pide aun mayor nivel de abstracción, gran comprensión y

aplicación de axiomas, es decir, tener muy desarrollado el razonamiento inductivo

y deductivo.

/odas las teorías creadas deben poderse aplicar, pero no siempre a algo

material ya ni siuiera a la dimensión la cual habitamos, se nos da el conocimiento

de realidades alternas, nos muestra lo relativo de nuestra geometría. Es la etapa

de los grandes descubrimientos, desde la teoría de n:meros hasta las fluxiones,

auí las competencias solicitadas fueron+

a$ Iran capacidad de abstracción.

b$ 9azonamiento lógico inductivo y deductivo bien estructurado.

c$ niciativa para la investigación.

El 7todo para desarrollar la competencia en matemáticas, a travs del

razonamiento lógico matemático, era el lógico, sin dejar de usar el mtodo de

abstracción, todo consistía en armar demostraciones y establecer algoritmos, ue

generalizaron la problemática de aul entonces, se trataba de formalizar todos

los conocimientos y las verdades puras conocida #axiomas$, crear otra verdad ue

debía demostrarse #teoremas, corolarios$, con todo esto formalizar la matemática

y el poder demostrar estos teoremas, indican el ser competente en matemáticas.

En la actualidad, de acuerdo con el proyecto -(", la competencia

matemática se define como+

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una capacidad del individuo para identificar y entender la función ue

desempe


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ue le permitan llevar a cabo de forma adecuada su labor. -oblete y =illa

entienden a la competencia del profesor de matemáticas como 5la descripción de

la habilidad aduirida efectiva y eficientemente al ejecutar el acto de ense


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se ense


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el docente opera más como un acompa


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N %abilidad para innovar, indagar y crear en el proceso de

ense


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-or su parte el alumno tambin vería modificado su rol con la

implementación del enfoue basado en competencias. "sí, se asignará al

estudiante, por medio de diversas estrategias de aprendizaje, un papel activo

dentro del proceso educativo, lo cual posibilitará la aduisición de conocimientos y

el desarrollo de sus capacidades.

5&n elemento importante sería la participación de los alumnos en la

realización de investigaciones matemáticas, desarrollo de proyectos y trabajos

colaborativos.6. #Carrantes y "naya, 0121$. "demás se les proporcionaría desde el

inicio información relacionada con su propio proceso de aprendizaje, 5los recursos

con los ue disponen, los estándares para su evaluación y autoevaluación.6.

#-eluffo y Pnust, 0118, p. >.$.

*tro factor educativo ue sería objeto de modificaciones es el aula,

tomando en cuenta mediaciones pedagógicas, los materiales, mtodos y

contenidos tendrían ue elegirse con base en el tipo de competencias ue seelijan desarrollar en los alumnos.

5(iguiendo en esta línea, las lecciones sobre matemáticas deberían tener

su sustento didáctico en auellas situaciones educativas ue privilegien la

resolución de problemas, ya ue por medio de stos los estudiantes se verán

capacitados para realizar conjeturas, verificar resultados, etc., es decir para hacer

matemáticas.6. #Carrantes y "raya, 0121, p. B1$.

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-or :ltimo, la formación de las competencias en matemáticas se lleva a

cabo a travs del desarrollo del razonamiento lógico4matemático, el cual posibilita

la aduisición de habilidades de tipo lógico, por medio del análisis e inferencias a

partir de situaciones reales o hipotticas, además propicia el establecimiento de

relaciones directas e inversamente proporcionales, razonamiento abstracto,

determinación de leyes y construcción de lenguajes matemáticos.

En la actualidad es posible observar una creciente preocupación por

establecer los fines de la educación con base en las competencias ue deben

desarrollar los alumnos a lo largo de su proceso de formación. "sí los objetivos de

la educación se expresan en función de las capacidades o competencias ue se

tendrían ue desarrollar a lo largo de un curso educativo.

Llevar a cabo el proceso de formación y desarrollo de las competencias

matemáticas reuiere del dise


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Conclusiones

La competencia de razonamiento matemático incrementa la habilidad para

interpretar y precisar datos, informaciones y argumentos de tal forma ue permitan

continuar aprendiendo a lo largo de toda la vida. Esta competencia reuiere del

conocimiento y manejo de elementos matemáticos básicos #n:meros, medidas,

símbolos, elementos geomtricos, etc.$ en situaciones reales o simuladas de la

vida cotidiana.

5La competencia matemática aduiere utilidad cuando el sujeto se enfrenta

a situaciones cotidianas ue reuieren su empleo, por ste motivo la aplicación de

estrategias de resolución de problemas y las tcnicas reueridas de cálculo,

representación e interpretación son vitales para desarrollar el razonamiento.6.

matemático #9uiz, 0120, p. D$.

Esta competencia de razonamiento se refleja en el modo en el cual el

estudiante act:a cuando construye matemáticas y se enfrentan a un problema, sin

embargo 5el ser competente en matemáticas constituye un objetivo de largo plazo,

pues las capacidades desarrolladas por los estudiantes en los diferentes temas

matemáticos contribuyen, en mayor o menor grado, a la evolución de sus

competencias personales e intelectuales6 #Lupia$.

5-ara poder desarrollar con efectividad esta competencia es necesario

fomentar otros tipos de procesos transversales, ya ue las ideas, procedimientos,

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resolver ciertos problemas y distinguirlos de otros, en cuya solución se emplean

otras herramientas, comprender ue pueden variar los procedimientos y sin

embargo ser válidos! reconocer ue los problemas pueden presentar diversos

datos, pueden tener una, ninguna o varias soluciones posibles! no obstante, ue

cada uien tiene la posibilidad de buscar, crear y validar su propio procedimiento,

y comprender, en definitiva, ue no todo 5está hecho6.

La importancia de la ense


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Este mtodo consiste, a grandes rasgos, en exponer una proposición ue

sólo tenga dos opciones, donde la opción ue se uiere eliminar es la ue se da

como verdadera, hasta llegar a una contradicción, como se mostró en el ejemplo

anterior en el cual se pudo demostrar ue 2T1 lo opuesto sería ue 2U1.

4noseolo5#a de la matemática y sustento teórico

?Vu es la matemática@ 9esponder esta pregunta permitirá avanzar hacia cuál

puede ser un mtodo viable para su aprendizaje. urante la historia ha habido

intentos de definir esta ciencia como nos lo muestra -ero en una lista de

definiciones seg:n diversos autores la matemática es+

* Aristóteles+ es la ciencia de la cantidad

* Ren3 %escartes+ es la ciencia del orden y de la medida

* Carl F$ 4auss6 es la reina de las ciencias, y la aritmtica es la reina de las

matemáticas.

* Eric7 T$ 8ell+ es la reina y la sirvienta de todas las ciencias.

* 9enri oincar3+ la matemática no estudia los objetos, sino sus relaciones

entre objetos, podemos reemplazar siempre un objeto por otro siempre y

cuando la relación entre ellos no cambie.

* %a-id 9il"ert+ es un juego con reglas muy sencillas ue dejan marcas sin

significado en el papel.

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* :ulio Rey astor + es la ciencia de los conjuntos, de los conjuntos finitos, nace

por abstracción, el concepto de n:mero, fundamento de toda la

matemática.

#-erero, 288>, p. 88$+

-ara este autor las definiciones antes mencionadas tienen rasgos de verdad, y

propone a partir de ellas la siguiente definición+ se entiende por matemática a los

5razonamientos lógicos bien definidos ue obedecen a una estructura6 [las

cursivas son mías] #-erero, 288>.$.

iferentes autores han manifestado la importancia de esta área del

conocimiento humano como+ AranJ C. "llen uien mencionó+ 5e hecho, en un

sentido muy real, la matemática es un idioma Q...R es mi posición, ue la

comprensión de este lenguaje de la exposición, 7atemática, es absolutamente

esencial para el xito en los estudios de las matemáticas escolares6. #"llen, 2833,

p. 3$. -ara Cogomolny+ 5El lenguaje matemático es mucho más exacto ue

cualuier otro ue uno pueda pensar6. #0121, p. 3$

En el mismo sentido de su importancia, pero apuntalando el tema de la

demostración, tan imprescindible en el trabajo científico )ecilia )respo se


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Esta :ltima autora no sólo pone de manifiesto la necesidad de las matemáticas,

sino ue toma en cuenta la importancia de demostrar, la cual es la principal

habilidad mental de razonar y de fomentar la creatividad aplicable a cualuier tipo

de problemas.

)abe resaltar lo complicados ue resultan la ense


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razona y dialoga propiciando con ello el desarrollo de una estructura de

pensamiento más abstracto.

El principio de Contradicción de Senón de Elea es un mtodo de

razonamiento dialctico ue consiste en admitir a manera de hipótesis lo ue

afirma el adversario hasta llegar a una propuesta absurda capaz de confundir al

enunciador de dicho razonamiento, este mtodo sigue utilizándose en la

ense


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En esta propuesta, la actividad se considera igualmente importante pues

solo se aprende haciendo, esto se observa desde las teorías de 9ousseau uien

manifiesta ue 5la acción en todo mtodo de aprendizaje es crucial pues siempre

se aprende haciendo.6, #28DB, p. 2K28$, y como lo comprobó en algunos de sus

experimentos 7ontessori 5se aprende más en la acción ue con el pensamiento,

esto en parte es real, ya ue no se debe olvidar el hecho de ue para abstraer en

ocasiones no se puede ver lo ue se crea y resuelve.6. #28DB, p. 2KK$

(olo se aprende mediante la actividad y el alumno debe reinventar la

ciencia no :nicamente repetirla, con esto se abre la puerta a la creatividad para

entender ue siempre es importante crear tcnicas nuevas de ense


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cooperación, las cuales son suficientes para educar y no aislar, esta parte será

primordial en la tcnica ue el autor ha creado, puesto ue en la responsabilidad

está la disciplina, siempre :til en cualuier actividad humana y de la misma forma

en la educación.

-or otro lado para esta propuesta tambin se retomó el inters por el

trabajo grupal manifiesto por -estalozzi #2822$ a travs de su organización de la

llamada ense


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corresponde a 3.3 es importante mencionar ue en estos cursos lo más com:n es

ue apruebe solo el >1X de los estudiantes de cada grupo.

4ráfica7atemáticas Elementales

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M3todo ro"lemati/ador

asos del m3todo propuesto

El presente mtodo es una forma para aprender y ense


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Iran parte de las dificultades ue se presentan al resolver un problema se deben

a la falta de comprensión de los conceptos, en caso de entenderlos se ignoran las

consecuencias y caminos, por lo ue no se puede llegar a la solución, como lo dijo

Leibniz 5el mtodo más sublime es la deducción a partir de los primeros principios,

estos principios son las definiciones [las cursivas son mías] y la forma de

razonamiento procede de la silogística.6. #28GD, p. 0D$

-artiendo de lo más simple a lo más complejo, ejercitando así su

abstracción y además para evidenciar el logro de la comprensión en cuanto a la

definición, el alumno debe ser capaz de dar los pormenores de la misma, unejemplo de sta y además resolver un problema, es decir, se debe buscar ue el

estudiante sea capaz de trasladar esta estrategia de pensamiento a la soluciones

de otros posibles problemas.

E1emplo ! de la demostración$ (i la pregunta es+ demostrar ue la función

A#x$Y0x es una función continua cuando x tiende a 0. -rimero hay ue conocer

ue significa el hecho de ue una función sea continua y no sólo eso, sino ue

además sea continua a un punto en particular, al entender la definición, es básico

comprender ue se particulariza en ese punto, es decir, se efect:a una deducción,

pero todo parte de la definición.

E1emplo ) de la demostración$ emostrar ue 2T1. "uí lo primero ue

se debe hacer es reflexionar el hecho de ue se trata de dos n:meros reales, los

cuales cumplen algunos axiomas de campo, orden y completitud, al conocer esas

definiciones ya encontraremos elementos para poder demostrarlo y efectuar una

respuesta.33


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Paso 2.- Recordar las preguntas

Za comprendidas las definiciones, con las consecuencias de ello en mente y listas

para usarse, es momento de visualizar las tres preguntas

-9*CLE7"/S"*9"(+

;


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# . (e responden las preguntas+ ?Vu tengo@ 2 y 1 son dos n:meros

reales, eso es lo ue tengo, los cuales cumplen axiomas de campo y orden, junto

con todos los teoremas en consecuencia! ?" u uiero llegar@ a ue sea

evidente, de forma explícita, ue 2T1. para responder a la siguiente pregunta es

donde interviene la parte heurística.

'o solo hay ue saber u usar, sino como usarlo, auí es donde se

promueve la creatividad de cada estudiante. En caso de ser el docente se

aconseja ue cada estudiante d una propuesta de solución, la cual le permita

experimentar con ella ya sea ue llegue a la solución o no, así se creará en l una

estructura mental y una confianza en sus conocimientos, los cuales al practicar

continuamente llegará a no solo dar la solución, sino a formar su conocimiento y

su criterio.

La forma en ue se dise


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Los alumnos desarrollaron su capacidad de convivencia y apoyo entre sí,

además se propició el ejercicio de la responsabilidad de forma seria y acadmica,

facultad ue facilita la madurez como individuos y los prepara para la vida.

(e recomienda ue complementariamente, una vez cada uincena los

alumnos comenten y reflexionen lecturas filosóficas, propiciando con ello el

desarrollo sistemático de su pensamiento crítico.

M3todo 5rupal para el aprendi/a1e de la Matemática

&na de las carencias de la sociedad actual es el trabajar en euipo, fenómeno ue

se evidencia en cualuier rama laboral, en la educación no es distinto, aun en el

ambiente universitario, se desarrolla y se explota muy poco este tipo de trabajo.

La problemática ue se produce es no saber a ciencia cierta, poru se

sigue alg:n tipo de algoritmo para resolver cualuier dificultad, se vuelve a repetir

una y otra vez el mismo error y al parecer solo hay una forma de abordar los

problemas.

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%ay poca creatividad en el tipo de ra/onamiento, puesto ue en el

aprendizaje de la matemática se sigue recurriendo a la educación tradicional, sin

tomar en cuenta ue existen diversos tipos de percepciones ue dependen de

cada alumno, de su experiencia y además su forma de comprensión no es la

misma, con lo ue no se uiere decir ue haya mayor o menor capacidad, sino

ue hay capacidades de diferentes características.

%ay alumnos inscritos ue tienen sus notas altas y más ue eso, su

facilidad de aduirir y asimilar nociones es notable, pero al aplicar dicho

conocimiento tienen dificultades en materias ue reuieren mayor abstracción

como 7atemáticas elementales, )alculo 2 o "lgebra lineal en estas se recurre en

forma continua a demostrar conceptos.

e la misma forma existen estudiantes ue poseen facilidad de asimilación

en materias como )alculo 0, Ecuaciones iferenciales o /eoría de Ecuaciones,

donde se reuiere mayor nivel de aplicación o utilizar conceptos, es auí dondeaduieren un nivel mayor de conocimiento, pero en materias de abstracción

presentan dificultades. Esto se debe a ue hay diferente afinidad con materias. El

tipo de conocimiento mencionado desarrolla el razonamiento inducti-o y el

enunciado primero facilita el razonamiento deducti-o$

El mtodo de aprendizaje ue auí se aborda es la dinámica grupal basada

en la teoría de -estalozzi la cual busca desarrollar al individuo en el terreno

colectivo, este mtodo pretende aprovechar las virtudes de los alumnos de tienen

facilidad en el razonamiento inductivo y los ue lo poseen en el deductivo, además

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de provocar ue en la convivencia haya un aprendizaje mutuo para ue ambos

desarrollen la parte ue no han explotado.

(e busca ue los alumnos ue no han aduirido ninguno de estos dos

razonamientos con la convivencia, experiencia y motivación de los compaustento teórico

La teoría de -estalozzi es una propuesta humana, donde se pone en práctica la

organización de experiencias, una educación tica, puesto ue pone nfasis en la

necesidad de aprender del ser humano de todas las escalas sociales, educa al

hombre para la libertad moral y cree en la libertad del individuo, el cual por medio

de la acción aprende, de la misma forma manifiesta ue el punto de partida de la

instrucción humana es el deseo, no la ejercitación mecánica, un trabajo consiente

se aprende haciendo y la necesidad es el detonante , siempre partiendo de lo más

sencillo a lo más complejo.

El aprender haciendo indica ue la educación debe ser práctica. En el

presente artículo el autor utilizará la dinámica de grupos, aludiendo al hecho de

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ue el trabajo educativo se realiza en el terreno colectivo, referenciando a las

diferencias individuales y a la realidad social, ambos hechos concretos.

)omo lo menciona -estalozzi 5la educación penetra en la organización del

hombre y lo forma, contribuyendo al desarrollo de sus facultades.6. #0112, p. 0D.$,

por ello cada alumnos tendrá una tarea individual.

El presente proyecto de ense$.

Estableciendo ue se hará un trabajo grupal un punto a observar es

identificar la forma óptima de comprensión de los estudiantes, hay ue observar el

entendimiento humano y dise.$.

&n punto más a tomar en cuenta es el hecho de trabajar con motivación,pues la forma responsable se afianza a la vida colectiva y se sublima a una

conciencia social, en todos estos puntos se manifiesta la importancia de la

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educación y la matemáticas es una parte de ella, la cual ha ido aduiriendo mayor

importancia en la vida actual.

>ustento %idáctico

)omo lo menciona 9ousseau 5la educación debe hacer al hombre apto, para

todas las condiciones humanas6 #0122, p. 2D.$, auí se pone de manifiesto la

importancia de la educación en vida del hombre, se tomará para el aprendizaje de

la matemática y se buscará acrecentar la inteligencia de los estudiantes

resolviendo problemas, porue 5la inteligencia surge al resolver problemas.6

#-estalozzi, 0112, p. B0$, estos harán ue el estudiante desarrolle un nivel mayor

de intuición, ue parta de una situación concreta para elevarse gradualmente por

vía racional hasta las nociones y conceptos, partiendo de lo particular hasta llegar

al conocimiento general.

*tro mtodo ue se trabajará es el deductivo, ue va de lo general a lo

particular, es decir, de ideas generales particulariza, para ue tenga aplicación y

así poder ser :til, poco a poco el estudiante dominará ambas formas de pensar

como las vaya necesitando, puesto ue el mejor maestro es la necesidad.

Los mtodos deductivo e inductivo serán utilizados en el presente trabajo,

ya ue son las partes medulares del desarrollo de la matemática, es decir la

abstracción y la aplicación, 5a travs de su organización de la llamada ense


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provocando con esto un ambiente completo de aprendizaje, cooperación y la

formación de mejores ciudadanos.6 #-estalozzi, 2822$

En la parte psicológica se va a tomar en cuenta el mtodo de =ygotsJy con

la #S-$, 5la distancia en el nivel real de desarrollo, determinado por la capacidad

de resolver independientemente un problema, y el nivel de desarrollo potencial,

determinado a travs de la resolución de un problema bajo la guía de un adulto o

en cola"oración con otro compa


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mtodo grupal, donde la tercera parte del grupo reprobó! en la segunda gráfica se

muestra el resultado de los mismos estudiantes despus de utilizar el mtodo auí

expuesto.

Grafca 1

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Gráfca 2

La cantidad de alumnos reprobado es inexistente y ahora la tercera parte de ellos

obtuvo la calificación máxima, todos lograron un avance en aprovechamiento

general, el cual generó ue hayan ganado confianza y autoestima.

"ntes de enunciar el procedimiento, se debe mencionarse ue se utilizará

la tcnica de obtener conocimiento de [ohn LocJe #2K8>$, ue reside en tres

pasos+

2$ -ercepción 0$ retención D$ iscernir

M3todo %inámica de 4rupos para Aprendi/a1e de la Matemática

43


44/83

?r5ani/ación

aso !

(e formarán grupos de tres estudiantes cada uno, pero en forma ordenada de

acuerdo a las características de cada estudiantes, la clasificación es+ a$ estudiante

hábil para razonamiento abstracto, facilidad para demostrar, b$ alumno hábil para

razonamiento inductivo, es decir, facilidad para aplicar, c$ alumno al ue se le

dificultan ambos razonamientos o la matemática en general, pero cuenta con

inters.

(e seleccionarán a los estudiantes mediante un examen diagnóstico, en

donde una pregunta sea teórica, otra práctica y la :ltima una demostración, con

esto se observará donde muestra el estudiante mayor facilidad o más capacidad,

en resolver la problemática ue se le presente.

asó )

&na vez formados los euipos, se le darán diferentes obligaciones a cada

estudiante, es decir se le asignan diferentes responsabilidades, pero todas estas

serán intercambiables de manera ue cada uno de los integrantes desarrolle,

diferentes posiciones para lograr aumentar no solo las calificaciones, sino su

aprendizaje y apropiación del conocimiento. (e distribuirán de esta forma las

posiciones+

; Alumno A@ Vuien responde a la pregunta ?u tengo@ y ?a dónde

uiero llegar@, este alumno es el de mayor responsabilidad, puesto ue

44


45/83

entenderá el problema, escogerá un camino, el cómo demostrarlo o cómo

resolverlo y le entregará el problema al alumno siguiente.; Alumno 8@ Es uien sigue el camino ue escogió el alumno ", el

alumno C creará el puente entre el ?u tengo@ y ?a dónde uiero llegar@,este seguirá el algoritmo establecido y resolverá el problema, en esta parte

el alumno desarrollará la aplicación de la matemática ue domina y si le

hacen falta herramientas matemáticas l buscará acrecentar el dominio de

la misma, es decir aprenderá haciendo. Alumno C@ Este alumno revisará ue la idea de resolución del

problema está bien establecida y el camino está bien seguido, es decir si se

llega a la solución deseada, este alumno aprenderá al ver la solución y

tendrá un ojo crítico acerca de todo el trabajo establecido, además el

alumno ) debe exponer el problema y dar explicación a cada uno de los

pasos, en este punto es el responsable principal.

espus de exponer el problema los tres alumnos perci"irán si la solución ue

ellos consideraron adecuada es la mejor, debido a ue despus verán problemas

semejantes para aumentar la retención y finalmente deberán discernir si la

solución propuesta fue la correcta.

-odría pensarse ue el alumno de la posición " trabaja más arduamente

ue el resto de sus compa


46/83

)abe mencionar ue la calificación es compartida, se da una calificación

para los tres estudiantes de cada grupo, logrando con esto ue se hagan

solidarios, trabajen en euipo y comprendan ue su labor es importante en una

sociedad, en la ue impactan todos los aciertos o errores ue cometan.

"l docente le corresponde coordinar y estructurar el material, este deberá

escoger de la forma más precisa a cada uno de los integrantes de los euipos, con

base en las características mencionadas, además debe buscar mtodos diferentes

para encontrar la mejor forma para fomentar el aprendizaje de sus estudiantes,.

)omo lo menciona 9en escartes 5los mtodos y las cosas deben

ponerse en duda, puesto ue no conocemos la verdad. e la misma forma se

debe recordar ue el mejor camino de llegar a la verdad consiste en examinar las

cosas realmente como son y no concluir ue son como nos la imaginamos o como

se no ha ense


47/83

vectores son linealmente independientes y utilizar el siguiente teorema+ tres

vectores linealmente independientes, generan todo 9D. )ualuiera de estos

caminos lleva a ue los tres vectores dados son una base para el espacio

mencionado.

El alumno 8 efect:a todas las operaciones indicadas por el alumno ",

resolviendo todos los algoritmos detalladamente, en esta parte el alumno mejora la

aplicación y resuelve la dificultad de ir de lo abstracto a lo concreto, este alumno,

particulariza las soluciones generales de acuerdo a lo ue vaya siendo necesario.

espus de la práctica constante se puede generar el caso contrario, es

decir el ir de lo concreto a lo abstracto, al ver ue los algoritmos resuelven un tipo

de problemas se va generalizando, es decir se hace adaptable, como lo dice [ohn

LocJe 5la mente hace ue las ideas particulares de un objeto particular lleguen a

ser generales.6 #283>, p. 32$

El alumno C, además de estudiar el camino y cada uno de los pasoshechos por el alumno C, debido a ue expondrá el problema, explicará cada uno

de estos y el por u hacer cada uno de ellos, deberá analizar si el camino elegido

fue el mejor, este alumno será el responsable del proyecto, las posiciones serán

intercambiables para ue cada alumno domine una de las partes de la

matemática, lo abstracto y la aplicación, así como defender los conocimientos

aduiridos.

Ainalmente todos grupos de tres, en conjunto con el docente, al finalizar la

exposición de los alumnos ), comentarán los pasos y sobre todo la forma de

47


48/83

abordar los problemas, para ue todos puedan aprender diversas formas de

solución obteniendo una retroalimentación.

El docente explicará porue cada uno de los pasos elegidos y evaluará el

progreso individual de cada de los alumnos, en palabras de CerJeley 5el

pensamiento abstracto, pone acento en lo ue las cosas materiales tienen en

com:n.6 #283B, p. 21$.

Conclusiones

En toda esta dinámica de grupos el alumno aduirirá experiencias, lo ue formará

el conocimiento y poco a poco ira creando su comprensión lógica, mejorando sus

calificaciones, pero no solo eso, sino ue aprenderá a trabajar en euipo, siendo

cada vez más responsable.

Este mtodo ha funcionado en la Aacultad de )iencias de la Electrónica de

la Cenemrita &niversidad "utónoma de -uebla, promoviendo en los estudiantes

una actitud cada vez más consciente, responsable, con espíritu de estudio,

además de la obtención de buenos resultados acadmicos.

Es de importancia resaltar ue todos los alumnos, incluidos auellos ue

tenían muchos problemas en su desempe


49/83

menciona CerJeley, 5la propiedad esencial de la mente es la actividad.6 #283B, p.

2G>$.

Inclusión de un


50/83

En este sentido, el aporte de Ieorge -olya. #28>B$ es sumamente

enriuecedor al plantear la solución de problemas como estrategia para la

ense


51/83

5/ratándose de jóvenes alumnos el aprendizaje de las matemáticas, a:n

por obligación escolar, desarrolla, entre otras, sus habilidades de atención, orden y

agudeza en el razonamiento, ingenio y creatividad.6 #-erero, 2881, p. G3$.

En la ense


52/83


53/83

La metodología de -olya consta de cuatro pasos, la principal acción del

nuevo paso introducido por el autor es responder a las preguntas, ?Vu se

aprendió@ y ?Vu camino llevo a este conocimiento@.

"l incluir un punto extra al mtodo se busca 5enerali/ar el conocimiento0

es decir, para un problema similar próximo en lugar de repetir los cuatro pasos

solo se efectuara uno, 5la experiencia es necesaria para poner atención a las

ideas, pero se debe recurrir a la abstracción para generalizar.6 #Leibniz I.,

28GG+21>$

9azonar es indispensable porue como nos dice Leibniz 5se obtiene por

medio de la abstracción6 #Leibniz I., 28GG, p. 21>$. Z además 5integra la

multiplicidad de hechos singulares.6. #)ompte, 283>, p. 28$,

(e entiende por lógica 5la operación discursiva por medio de la cual

obtenemos conocimiento nuevo, inferido de otro conocimiento.6. #IorsJi, 28K3, p.

010$, el razonamiento inductivo es el más utilizado además de ser estn en el ue

se basó -olya para formular su mtodo de solución de problemas, el cual se

muestra a continuación+

Al5oritmo de olya

2.4 )omprender el problema

0.4 )oncebir un plan

D.4 Ejecución del plan

>.4 =erificación del resultado

ropuesta

53


54/83


55/83

manifiesta la contradicción, y como no existe otro, entonces 1 es el :nico con la

propiedad mencionada.

-aso >.4 Berificación del resultado+ se revisa ue el resultado sea el

esperado, en el ejemplo se uiere decir ue 1 es el :nico elemento de los

n:meros reales ue tiene esa propiedad, se llegó a la contradicción deseada y

cada paso fue lógico, con lo ue se concreta la demostración.

-aso B.4 Conocimiento adquirido+ además de la unicidad del cero, se

obtuvo la muestra de ue la contradicción es un mtodo aplicable a las

demostraciones de los n:meros reales, es decir ue es un camino efectivo a

seguir.

(e obtuvo una conclusión ue reuiere un razonamiento heurístico dentro

del algoritmo, así el alumno no perderá de vista u hizo y u camino siguió para

llegar al conocimiento buscado.

E1emplo )$* emostrar ue para todo 5a6 elemento de los reales, a.1Y 1

-ara resolver este problema ue se trata de n:meros reales, los cuales se

pueden resolver mediante el mtodo de contradicción, ya no es necesario hacer

todo el algoritmo anterior, sino ue se reduce a aplicar el punto anterior.

aso 2nico$* suponga ue a.1 diferente ue 1 #contradicción$

(e tiene ue a.1Y a #1]1$ Y a #1]1$ Y a.1 ] a.1

Entonces a]1 Y a.1 ] a.1 entonces a.1 M a.1 Y a.1 ] a.1 M a.1 entonces por ley

cancelación 1 Y a.1 pero se supone ue es diferente de cero, contradicción

Entonces a.1 Y1.

55


56/83

El hecho de generalizar el mtodo de -olya y además aumentar un uinto

paso nos permitió ue en lugar de hacer los cinco pasos solo se haga uno para

problemas similares, facilitando el camino para demostrar cualuier teorema.

C?CLD>I

En toda demostración matemática las principales dificultades ue presentan los

estudiantes es no saber cómo iniciar el ejercicio, y cómo terminar, se les dificulta el

razonamiento heurístico, están acostumbrados a aplicar algoritmos desde su

educación temprana, con este mtodo de cinco pasos les será fácil aplicar el

algoritmo al tener tal práctica en ello.

"demás desarrollarán su creatividad, poco a poco lograrán aduirir el

razonamiento heurístico, ya ue sabrán cómo comenzar la solución, y notarán ue

aprendieron, estarán convencidos del aprendizaje ue están aduiriendo.

La abstracción resultará de utilizar y practicar este mtodo algorítmico, ya

ue 5el saber verdadero, es el resultado de un proceso.6. #%egel, 0118, p. B$,

)on el mtodo de -olya como base y a, p. >K$, además se puede adaptar

a cualuier disciplina, ayuda a relacionar a cualuier individuo y saber humano, lo

ue fomenta a 5la inteligencia ue es adaptarse a las condiciones.6. #-iaget, 28GG,

p. >8$.

Este es un intento de facilitar el aprendizaje de las matemáticas a los

alumnos, además de hacer más accesible el algoritmo de -olya, pero se debe

56


57/83

recordar ue no hay sistema absolutamente erróneo o verdadero, 5todos los

sistemas son necesarios para llegar a la verdad.6. #%egel, 0118, p. 0K$.

ARE%IA:E %E LA MATEMGTICA> ?R ME%I? %EL :DE4?

9esumen

&n recurso ue se tiene en el aprendizaje actual es aprender por medio del juego,

se crean actividades l:dicas para ue el estudiante relaciona el aprendizaje con

emoción y diversión en lugar de verlo con tedio y aburrimiento, de la misma forma

se busca ue la actividad lleve a descubrir y madurar un saber, este recurso de

aprender por el juego, principalmente se trabaja en educación temprana en

estudiantes muy jóvenes, ni


58/83

busca ue el estudiante aprenda a abstraer y sobre todo, ue de toda actividad

ue realice tome la idea principal.

-alabras clave+ juego, l:dico, aplicación, abstraer, matemática

(ummary

7athematics and the game method

Learning through games is a resource used noHadays in the process of learning!

ludic activities are created in order to maJe students linJ the learning Hith

excitement and fun instead of taJing it Hith tedium and boredom, at the same time

it is intended to maJe the students, leaded by these activities, discover and mature

neH JnoHledge. /he resource of learning through games is mainly used in early

education! in very young learners, children or teenagers, but it is not usual in

higher education. " discipline Hhich is very difficult to dominate due to its complex

abstraction is 7athematics, for this reason it is necessary to looJ for alternativesHhich facilitate the learning, in the same Hay, the alternative proposed by the

author is to design pleasant learning methods that must be recreative and ludic

Hhere the students not only find it funny but also have a feeling of an intellectual

challenge creating a passion in their learning. n this method called 5the game6,

students should use their basic JnoHledge as a support, use the dominate of the

evaluated subject, and most important, they should use their Hit to apply their acuired JnoHledge and go from the abstruse to the concrete, the purpose is to

maJe students acuire JnoHledge in subjects liJe elementary mathematics,

algebra, arithmetic, trigonometry or calculus, but above all, it is expected that

58


59/83

students learn to solve problems and find applications, it is intended that students

learn to abridge and most important, students should taJe the main idea of every

activity performed.

PeyHords+ Iame, ludic, application, abridge, mathematics.

'/9*&))^'

[uego es cualuier diversión ue se realice siguiendo determinadas reglas

#Larousse, 011>+ pag.D32$, otra definición seria, el juego consiste en todo lo ue

un cuerpo no está obligado a hacer #Pasner, 283>! pág 2D2$ y en palabras de

7arJ /Hain solo divirtindose uno puede aprender #Jasner, 283>! pag.D32$, (eg:n

)laparede un fenómeno biológico importantísimo desde el punto de vista teórico y

práctico #barra, 28K0! pag.2D1$, -ara -iaget el juego se caracteriza por la

asimilación de los elementos de la realidad sin tener aceptar las limitaciones de su

adaptación #Prasner, 28G0! pag.0DB$, onde uiera ue est la verdad, es

innegable ue la recreación proporciona un desafío a la imaginación y un

poderoso estímulo a la actividad matemática, con esto se estimula la mentalidad

creadora, para resolver problemas los ue en muchas ocasiones son verdaderos

rompecabezas, muchos de estos fueron creados por pensadores como Pepler,

-ascal, Aermat, Leibniz Euler, la invención de la matemática recreativa los

rompecabezas.

Los juegos, rompecabezas y las paradojas han sido populares desde la

antigWedad desde poca de los egipcios y probablemente desde antes de las

expresiones secretas del *ráculo de elfos pasando por la poca de )arlomagno,

hasta la edad de oro de los crucigramas y rompecabezas en el siglo _=, las

59


60/83

investigaciones en las matemáticas recreativas nacieron del deseo de saber y

estas fueron guiadas por los mismos principios y reuerimientos de las facultades

de investigación ue produjeron el descubrimiento del aprendizaje de la

matemática por medio del juego o actividades l:dicas.

El desarrollo de esta disciplina ha sido muy basta como la teoría del juego

desarrollada en a partir de 2803 por [ohn von 'eumann se convertido en los

:ltimos a


61/83

#(hopenhauer, 283>! pag.>1$, esta experiencia se obtendrá realizando ejercicios y

más ue resolver problemas por medio de la práctica, puesto ue tanto (ócrates

como Pant afirman ue el hombre debe tomar una actitud práctica y lo práctico es

lo ue el hombre debe hacer #(chopenhauer, 283>! D8$.y la experiencia es la

fuente de todo conocimiento #(neca, 0120! pag.K$.

"'/E)EE'/E(

El aprendizaje basado en el juego cuyo trmino en ingls es Iame4Cased

Learning #ICL$ conjuga el aprendizaje con el recurso del juego en particular

digital o de naturaleza computacional, con el fin de apoyar la ense


62/83

-ara [ean -iaget el juego constituye una de las manifestaciones más importantes

del pensamiento infantil además ue el ni


63/83

ebido al uso de nuevas tecnologías en la vida cotidiana y en particular en la

educación, ha provocado la complejidad para aduirir conocimiento, y en la

necesidad de crear tcnicas de aprendizaje para ue el alumno se apropie del

conocimiento y madure en el saber como individuo, de la misma forma como

sociedad, porue todos los individuo aprende de su entorno.

La propuesta de aprendizaje de la matemática por medio del juego ue propone el

autor, es una estrategia ue aparte de hacerlo de forma entretenida, l:dica y

reflexiva, se plantea ue sea grupal, porue la organización provoca una

ense! pag.23$, y además tenemos ue

conocer las cosas individuales en todo lo ue sea posible, luego terminaremos por

conocer las cosas general #(chopenhauer, 283>! pag.B3$ de la misma forma el

proyecto será práctico, como mencionó (ócrates y Pant afirma ue el hombre

debe tomar actitud práctica #(chopenhauer, 283>, pag.D8$ y la experiencia es la

fuente de todo conocimiento #(neca, 0120!pag.K$.

63


64/83

El mtodo se aplicó en la Aacultad de )iencias de la Electrónica, en cuatro grupos

de las materias de matemáticas, )álculo iferencial #tres grupos con esta materia$

y 7atemáticas elementales, en ella los alumnos mejoraron sus calificaciones en el

examen departamental aplicado cada cuatrimestre, su mejora fue de un 2BXcon

respecto de exámenes pasados, pero más ue eso se logró ue conocieran los

temas y supieran abordar un problema así como abstraer lo esencial de cada

experiencia educativa.

El juego comienza de la siguiente forma se agrupan los estudiantes de cada salón

en siete euipos con cinco estudiantes cada uno, y en cada ejercicio propuesto

por el docente ue este tendrá funciones de moderador, el maestro guía la

organización del conocimiento para desarrollo del ser #Prasner, 28G0! pag.>2$, en

los cuales el alumno hará cada ejercicio de forma individual, para más tarde

comentarlo con sus compa


65/83

0.4 al finalizar el los integrantes los problemas propuestos por el docente, el

capitán de cada euipo avisará al docente para ue este, de ese mismo orden,

para tener la oportunidad de pasar a exponer los problemas

D.4 el docente escogerá a cualuier miembro del euipo para ue exponga

problemas de estar correctos y despus de contestar cada uno de las preguntas

de los demás euipos ganaran un punto.

>.4 euipo ue se ayude de computadora portátil, computadora, libros o libreta

durante la realización del juego obtendrá D puntos menos para su euipo.

B.4 los exámenes serán individuales pero por cada miembro del euipo ueapruebe el euipo obtendrá 0 puntos positivos y por cada uno ue repruebe el

euipo obtendrá D puntos menos.

En el juego se pudo observar ue los alumnos integrantes estudiaban juntos y

dedicaban más horas estudio, se promovió una sana competencia, donde cada

uno de los estudiantes buscaba saber más ue lo demás y este conocimiento lo

compartían con sus compa


66/83


67/83

&na propuesta didáctica desarrollada en la Aacultad de )iencias de la Electrónica

de la Cenemrita &niversidad "utónoma de -uebla, mostró ue la ense


68/83

permiten, aparte de resolver problemas, entender el funcionamiento de la

naturaleza y herramientas como las computadoras.

ebido a esto, es importante ue el estudiante aprenda a crear estas reglas, las

cuales les permitirán generalizar el conocimiento, porue todo conocimiento debe

generalizarse para ser :til #-oincar, 283>+BG$ y poder hacer un conocimiento a

priori, al crear estas reglas, se obtiene un conocimiento %eurístico, ue es el ue

le permitirá al estudiante crear tecnología y cambiar la naturaleza así como la

sociedad actual.

ala"ras cla-e6 Al5oritmo0 heur#stico0 crear0 pro"lemas

A"stract

"lgorithm is understood as the exact procedure for the accomplishment of a certain

system of operations in a defined seuence for the resolution of all problems of any

type. #/rajtenbrot, 28GG+22$, the Hord 5algorithm6 derives from the name of the

&zbeJ mathematician "l4 [Harizmi, Hho proposed in the 8th century, the rules of

the simplest algorithms Hhich belong to the four elementary arithmetic operations

#addition, subtraction, multiplication and division$, this is Hhy 5algorithm6 is the

name given to the seuence that determines the content and succession of

operations Hhich translate initial data to the desired result.

n mathematics it is considered solved a set of problems of a determined type

Hhen the algorithm is elaborated for their solution, the natural objective of

mathematics is the creation of such algorithms, algorithms are the cornerstone of

computers, they have great importance in the academic life of students, since the

68


69/83

application of these 5rules6 alloHs them to, besides solving problems, understand

the functioning of nature and tools as computers.

ue to this, it is important that students learn to create these rules, Hhich Hill alloH

them to generalize the JnoHledge, because all JnoHledge should be generalized to

be useful #-oincare, 283>+BG$ and be able to create a priori JnoHledge, Hhen

creating this rules, a heuristic JnoHledge is obtained, Hhich Hill alloH to students to

create technology and change nature as Hell as the current society.

Hord 7eys6 al5orithm0 heur#stico0 create0 pro"lems

Introducción

En la ense


70/83

y el alumno desea aprender, y, lo mejor ue se puede ense


71/83

El científico griego notó, cuando entró en la baustento teórico

%istóricamente el problema de la matemática ha sido, crear un algoritmo ue

permita resolver cualuier problema matemático. Este problema tiene su historia,

el matemático y filósofo alemán Leibniz #2K>K4 2G2K$ so


72/83

creado el proceso de resolución de los problemas correspondientes, se hace tal

ue lo pueda cumplir exactamente una persona ue incluso no tenga ni el mínimo

concepto de la esencia del propio problema.

La elaboración de un algoritmo es necesario tener amplios conocimientos y

emplear mucho trabajo creativo, el :nico reuisito del algoritmo es ue debe ser

:til para solucionar todo problema de un tipo dado, ue tenga utilidad, los

algoritmos no solo son usados en el área de la matemática sino tambin en otras

ciencias, puesto ue todas las ciencias tienen alguna parte práctica ue consiste

en problemas ue ponen alg:n fin y dicen cómo puede conseguirse tal fin #Pant,

0113+222$. Los algoritmos por su carácter lógico tambin son utilizados en la

computación, los algoritmos creados especialmente creados para las

computadoras se llaman programas, los programas son algoritmos ue se

ejecutan por la computadora #/rajtenbrot, 28GG+B1$ de la información más

importante ue trata la computadora.

*tro de los mtodo utilizados en la matemática es el mtodo axiomático ue

consiste en ue todas las proposiciones de la teoría dado se obtiene de varias

sentencias #axiomas$, ue se aceptan sin demostración, este mtodo es la base

de la geometría, en la actualidad la matemática están construidas sobre axiomas.

>D>TET? %I%GCTIC?

-ara 9en escartes el grave error de la lógica de "ristóteles es la incapacidad

para invención, el silogismo no puede ser un mtodo de descubrimiento, pues las

premisas deben tener conclusión #escartes, 0122! 2G$. escartes busca reglas

fijas para descubrir verdades no para defender tesis, escartes propone un

72


73/83

mtodo donde sucesión de intuiciones por la cual se va pasando de una verdad a

otra, hasta llegar a la ue deseamos demostrar, partiendo un poco más de hechos

particulares y no verdades absolutas como es el mtodo de "ristóteles.

El mtodo inductivo de Cacon donde se estudia la 5forma6 de los fenómenos, y el

problema debe ser resuelto mediante una progresiva exclusión Cacón presenta

como inducción a un complicado procedimiento de abstracción ue tiene su base

en la hipótesis metafísica del formalismo escolástico, tambin Cacon critica la

lógica "ristotlica y propone un nuevo mtodo de ciencia activa #Cacon, 0118!>$,

el crea algoritmos y va obteniendo resultados particulares, los cuales generaliza y

obtiene una ciencia nueva, l va de casos particulares a casos generales, ue es

lo ue se usará para el aprendizaje de los estudiantes.

En buena medida, resolver problemas es un modo de adaptación. En este sentido

#-iaget,28DB+2G>$ se


74/83

cuales darán soluciones concretas y ayudará al estudiante ir abstrayendo poco a

poco, mientras se domina el material.

ropuesta

(e trata de resolver los problemas matemáticos a base de algoritmos para facilitar

su comprensión, este mtodo fue utilizado en la materia de ecuaciones

diferenciales de la facultad de ciencias de la Electrónica, los estudiantes tienen

problemas en la mencionada materia, en los exámenes departamentales tienen un

promedio de reprobación del K1X y la calificación moda es de G, utilizando elmtodo propuesto el nivel de reprobación bajo a un D1X y la calificación moda fue

de 8. " continuación se dará un ejemplo de cómo puede ser aplicado.

Ejemplo

-roblema encontrar el máximo com:n divisor de dos n:meros a y b, de no usarse

el algoritmo se debe hacer un conjunto de operaciones engorrosas sin un mtodo

específico pero para facilitarle se dará un mtodo diferente. "lgoritmo utilizado en

la aritmtica es el algoritmo de Euclides ue resuelve todos los problemas del

siguiente tipo+ %allar el máximo com:n divisor de dos n:meros naturales dados a y

b.

-ara resolver este problema pueden hallarse sus divisores de a y b, pero la

división se puede reducir a una sustracción repetida, utilizando los siguientespasos.

-aso 2.4 Examinar los n:meros a y b, pasar a la indicación siguiente.

74


75/83

-aso 0.4 )omparar los dos n:meros #aYb, aUb, aTb$ pasar a la indicación

siguiente.

-aso D.4 (i los n:meros examinados son iguales, cada uno de ellos da el

resultado buscado, el proceso se para, sino es así se pasa a la siguiente

indicación.

-aso >.4 (i el primero de los n:meros examinados es menor ue el segundo,

cámbialos de lugar y contin:a su examen. -asa a la siguiente indicación.

-aso B.4 9esta el segundo de los n:meros examinados del primero y examina dos

n:meros, el sustraendo y el resto, pasa a la indicación dos y posteriormentecontinuar con los siguientes pasos.

espus de ue las cinco indicaciones se hayan cumplido hay ue volver de

nuevo a la segunda, pasar a la tercera, a la cuarta, a la uinta y otra vez a la

segunda, la tercera etc., hasta ue se obtienen n:meros iguales, o sea, hasta ue

se cumpla la condición ue se contiene en la tercera indicación+ entonces se cesa

el proceso, el cual es llamado el algoritmo de Euclides para obtener el máximocom:n divisor de dos n:meros. )omo se nota, con este mtodo se puede resolver

cualuier conjunto de n:meros es decir, facilita la solución el resolver problemas

Es notorio, ue no necesario incluso saber ue se está haciendo, solo se sigue el

algoritmo, y se llegará a la solución, pero en la práctica de resolver poco a poco

problemas se llega a la abstracción, y al dominio del material matemático, puesto

ue se madura el conocimiento y el alumno se apropia del saber.

Conclusión

75


76/83

Los algoritmos usados en la ense


77/83

permiten a los estudiantes utilizar activamente lo ue saben en su vida profesional

y acadmica.

El matemático h:ngaro Ieorge -ólya ya había descubierto a mediados del

siglo __ el potencial (eurístico de la resolución de problemas a travs de una

ense2 sugiere usar los pasos

siguientes para resolver problemas matemáticos+

i. -rimero se tiene ue entender el

problema.ii. &na vez comprendido, se hace un plan.iii. (e lleva a cabo el plan.iv. 9evisa tu trabajo y preg:ntate si no se

podría hacer mejor.

La base de la %eurística, seg:n -ólya, está en la experiencia de resolver

problemas y en ver cómo otros lo hacen. Las ideas del matemático h:ngaro están

en sintonía con las de %enri -oincar, matemático francs ue creía ue el

conocimiento, para ser de utilidad, tiene ue generalizarse. (in embargo, para

generalizar el conocimiento matemático uno tiene ue superar varios escollos.

Los programas de ingeniería suelen tener materias en las ue el nivel elevado de

abstracción desanima a los estudiantes+ ecuaciones diferenciales, lógica, cálculo,

etc. "gobiados, los alumnos, pierden inters en la materia, se les dificulta el

contenido, y debido a esto no pueden solucionar los problemas ue se les

77


78/83

presentan en clase. 'o pueden generalizar ni apropiarse de un saber ue les

permita abstraer el contenido del material matemático. Están como "ruímedes

antes de meterse en la ba


79/83

"ngoa, [. #011> +% Matemáticas &lementales. 7xico+ C&"-.

"ngoa, [. #0113$. Matemáticas elementales. 7xico+ C&"-.

"ralla, =., Carrantes, ). #0121$. )ompetencias matemáticas en la ense$. !rincipios del conocimiento (umano. Espa$ El 7aterial para la Ense$ iscurso sobre el espíritu positivo. Espa


80/83

%egel, I. #0118$ $ntroducción a la (istoria de la ilosofía% Cuenos "ires+Iradifco.

barra *. #28K>$ idáctica 7oderna, Espa$. &nsayo sobre el entendimiento (umano. Espa


81/83

-estalozzi E. #0113$. &l canto del Cisne. 7xico+ -orr:a.

-iaget [. #28K8$. !sicología y !edagogía. 7xico+ "riel.

-iaget [. #28GG$. !sicología y !edagogía. 7xico+ (E- "riel.

-latón #0122$. iálogos de !latón% 7xico+ -orr:a.-oblete. 9. 7. =illa, (. ". #0112$. &valuación de Competencias !rofesionalesdel !rofesionales del profesorado de Matemáticas% proyecto A*'E)Z/2121831, (antiago )hile.

-olya, I. #0113$. Como 7esolver problemas. 7xico+ /rillas.

-oncaire, %. #283>$. ilosofía de las ciencias% 7xico+ )*'")Z/.

-ozo, . #011D$. 4dAuisición de conocimiento% 7adrid+ 7orata.

9ousseau, [. #0122$. &milio o de la &ducación. 7xico+ xodo.9ico, L. #011>$. 9eflexiones sobre la formación inicial del profesor de7atemáticas de (ecundaria. -rofesorado, )urriculum y formación del

profesorado, 3#2$, 242B.

9uiz, . #0120$. 4prendizaBe de la competencia matemática mediante problemas de contenido científico y de la vida cotidiana% 7, ':mero 2G.

(neca #0120$ Libro de *ro, Cuenos "ires "rgentina, ed. Iradifco.

(coto, . #283B$. Tratado del primer !rincipio. Espa1$, 2BM>3.

=ygotsJy, L. #2833$. ona de desarrollo próDimo% 7xico+ &niversidad 'acionalde )omaue.

81


82/83

`illiam, [. #283>$ !ragmatismo. Espa, disponible en/

(ttp/EEdcb%fi1c%unam%mDE&ventosEoroFEMemoriasE!onenciaG>9%pdf

Jndice

)apítulo 2+ )ompetencias matemáticas 2

)apítulo 0+ 7todo problematizador para el aprendizaje de la matemática 0D

)apítulo D+ 7todo grupal para el aprendizaje de la matemática DB

)apítulo >+ nclusión de un uinto paso al mtodo de -olya >G

)apítulo B+ "prendizaje de la 7atemática por medio del juego K0

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http://mt.educarchile.cl/MT/jjbrunner/archives/2010/03/aproximacion_a.htmlhttp://dcb.fi-c.unam.mx/Eventos/Foro3/Memorias/Ponencia_67.pdfhttp://dcb.fi-c.unam.mx/Eventos/Foro3/Memorias/Ponencia_67.pdfhttp://mt.educarchile.cl/MT/jjbrunner/archives/2010/03/aproximacion_a.html


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)apítulo K+ Ense

métodos de la enseñanza de la matemática

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