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Máximos y Mínimos de funciones de dos variables

Aplicaciones a Modelación Matemática AJUSTE DE CURVAS

Regresión lineal Linealización: exponencial, potencias y razones

Conceptos generales •  Problema general: Se tiene un conjunto discreto de

valores (mediciones) de una cantidad, se requiere conocer un valor intermedio entre los valores discretos.

Opciones •  1. Obtener una curva que

represente la tendencia general de los datos. Veremos regresión por mínimos cuadrados.

•  2. Una curva que pase por cada uno de los puntos en forma directa. Interpolación (en cursos de Análisis Numérico).

1

2

y = f(x)

x

f2(x) f1(x)

f3(x)

f4(x)

2 Matemáticas para Ingeniería I 2017

Estadística

x y x1 y1

x2 y2

x3

y3

... xn yn

n

yy

n

ii∑

== 1

12

−=nSs t

y

Se tiene un conjunto de datos (n mediciones de una cantidad y, la cual es función de la variable x)

Media aritmética n-1 grados de libertad

∑=

−=n

iit yyS

1

2)(

1−=nSs t

y

Desviación estándar varianza

donde

n-1 grados de libertad 3

Matemáticas para Ingeniería I 2017

2.1 Regresión lineal

exaay ++= 10•  Ajuste a una línea recta: •  Nuestro modelo considera que

el comportamiento del sistema es lineal Intersección

con eje y pendiente

Error o residuo: diferencia entre el modelo y las observaciones ¿Cuál es la mejor recta?

Ajuste por mínimos cuadrados: Minimizar la suma Sr de los cuadrados de los residuos entre la y medida y la y calculada con el modelo lineal, para encontrar a0 y a1. 4

Mat

emát

icas

par

a In

geni

ería

I

2017

Suma de cuadrados de los residuos entre la y medida y la y calculada con el modelo lineal:

función de a0 y a1

∑ ∑∑==

−−=−==n

iiieloimedidai

n

iir xaayyyeS

1

210

2mod,,

1

2 )()(

a0

xi

y

θ

iii xaaye 10 −−=yi

Medición

a1= tan θ

y calculada

RESIDUO

5 Matemáticas para Ingeniería I

2017

∑∑∑

∑∑∑

===

===

−−=

−−=

n

ii

n

ii

n

iii

n

ii

n

i

n

ii

xaxayx

xaay

1

21

10

1

11

10

1

0

0

Ya están corregidas 6


Sx Sy

Sx Sx2 Sxy


Sistema de ecuaciones

xyxx

yx

SaSaSSaSna=+

=+

120

10

Con esta nomenclatura, escribimos el sistema de ecuaciones como Resolvemos para a0 y a1


Solución del sistema de ecuaciones (determinantes)

( )222

xxxx

x SnSSSSn

−==Δ

Δ

−= yxxy SSnS

a1

Determinante del sistema

xaya 10 −=

Los coeficientes se calculan en términos de sumatorias de los valores de x,y.


“Bondad” del ajuste

t

rt

SSSr −

= ∑=

−=n

iit yyS

1

2)(

Coeficiente de correlación r: cuantifica la mejora o reducción del error al describir los datos mediante una línea recta en lugar de un valor promedio. Notar que está normalizada

Sr=0 à r =1 ajuste perfecto,la línea describe al 100% los datos. Sr=St à r =0 el ajuste no representa ninguna mejora respecto a considerar y=ymedia.


2017

Otras cantidades

Error estándar del estimado Sy/x cuantifica la dispersión de los datos alrededor de la línea de regresión

2/ −=nSS r

xy


Ejemplo Ajuste a una línea recta los valores de la tabla

i xi yi

1 1 0.5 2 2 2.5 3 3 2.0 4 4 4.0 5 5 3.5 6 6 6.0 7 7 5.5

Compruebe que Sxy = 119.5 Sx2 = 140 Sx = 28 Sy = 24 a1 = 0.8392857 a0 = 0.07142857 Estadística Syx = 0.7734432 r = 0.9318356 Por lo que el ajuste por mínimos cuadrados es

y= 0.07142857+0.8392857 x 13


Función exponencial

)exp( xey x −== −

)exp(xey x ==

Siempre positiva


2017

Linealización de la exponencial

•  Aplicamos logaritmo a ambos miembros

xey 11

βα=

exy lnlnln 11 βα +=

xy 11lnln βα +=Obtenemos función lineal

yln a0 a1

01

ae=α 11 a=β

1


Ejercicios

•  Con los datos x(i),y(i), definir las nuevas y yln (i)=log (y(i)) •  Haga el ajuste con los arreglos x,yln Determine las constantes Verifique sus resultados: Grafique los datos y la

curva ajustada a) en su archivo excel, en una nueva columna

evalúe la función

01

ae=α 11 a=β


Ejemplo

i xi yi

1 0 0.1

2 1 0.332

3 2 1.102

4 3 1.644

5 4 2.453

6 5 3.660

7 6 5.460

Ajuste los valores

Compruebe que a1 = 0.6285877 a0 = -1.731295 α1 = 0.1770550 β1 = 0.6285877 Syx = 0.427482 r =0.9610997 Por lo que el ajuste por mínimos cuadrados es

xey 0.62858770.1770550=

(n=7)


2017

Gráfica

Ajuste

Datos


Gráfica linealizada (semilogarítmica)

x

ln y


Linealización de potencias

•  Aplicamos logaritmo a ambos miembros

22

βα xy =

xy lnlnln 22 βα +=

xy lnlnln 22 βα +=Obtenemos función lineal

yln a0 a1

02

ae=α 12 a=β

xln


Ejemplo

i xi yi

1 1 0.5

2 2 1.7

3 3 3.4

4 4 5.7

5 5 8.4

Ajuste los valores

Compruebe que a1 = 1.751724 a0 = -0.6912818 α2 = 0.5009336 β2 = 1.751724 syx = 7.3626130E-3 r =0.9999836 Por lo que el ajuste por mínimos cuadrados es

751724.15009336.0 xy =22


23

Gráfica


24

Gráfica linealizada log-log


Linealización de razones

•  Simplificamos para

xxy+

=3

3 βα

xx

y 3

31αβ +

=

obtener función lineal Una gráfica de 1/y vs. 1/x da una línea recta

yin a0 a1

03 /1 a=α 01313 /aaa == αβxin

•  Invertimos la ecuación

33

3 111αα

β+=xy

Para un ejemplo ver Sec. 20.1 del Chapra


2017

Bibliografía

Steven C. Chapra Raymond P. Canale


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