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Funciones vectoriales
Ecuaciones paramétricas
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Ecuaciones paramétricas
Las componentes del campo vectorial son funciones de algún parámetro
x= f(t); y = g(t); z= h(t) t parámetro (puede ser el tiempo o algún
otro) Función vectorial en el plano
R(t) = f(t) i + g(t) j Función vectorial en el espacio R(t) = f(t) i + g(t) j + h(t) k
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Gráficamente • Para cada valor del parámetro t tenemos
las coordenadas (x(t),y(t),z(t)) con vector de posición R(t) = f(t) i + g(t) j + h(t) k
= x(t) i + y(t) j + z(t) k
R(t1)
(x(t1),y(t1),z(t1))
R(t2) R(t3)
(x(t2),y(t2),z(t2))
(x(t3),y(t3),z(t3))
x y
z
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Operaciones
Dadas las funciones vectoriales F y G y las funciones reales f(t) y g(t)
i) Suma (F+G)(t) = F(t) + G(t) ii) Diferencia (F-G)(t) = F(t) - G(t) iii) Producto punto (F·G)(t) = F(t) · G(t) iv) Producto vectorial (FxG)(t) = F(t) x G(t) v) Producto por escalar (fF)(t) = f(t)F(t) vi) Función compuesta (Fºg)(t) = F(g(t))
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Ejemplos
• Figuras de Lissajous https://www.desmos.com/calculator/tti5dasmc4 http://lissajousfigure.netne.net/ http://mathworld.wolfram.com/LissajousCurve.html
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Mathematical heart x = 5 sin3t, y = 4 cos(t) − 1.3 cos(2t) − 0.6 cos(3t) − 0.2 cos(4t)
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Derivada
• Definición
ttRttRtR
t Δ−Δ+
=→Δ
)()(lim)('0
!!!
Teorema R’(t) = f’(t) i + g’(t) j + h’(t) k
Vector tangente a la curva definida por R(t) Similarmente, integral.
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Por componentes (R2)
• De la definición y R(t) = f(t) i + g(t) j
kiki
kji
hgdtdh
dtdg
dtdf
ΔtΔt)-h(t)h(t
ΔtΔt)-g(t)g(t
ΔtΔt)-f(t)f(t
Δt(t)RΔt)-(tRtR
ttt
t
ʹ′+ʹ′+ʹ′=++=
++
++
+=
+=ʹ′
→Δ→Δ→Δ
→Δ
j(t)fj
limlimlim
lim)(
000
0
!!!
• Derivar cada una de las componentes • Derivadas de cualquier orden (si existen)
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Gráficamente R(t+Δt) = f(t +Δt) i + g(t +Δt) j + h(t +Δt) k
R(t) = f(t) i + g(t) j + h(t) k = x(t) i + y(t) j + z(t) k
R(t)
(x(t),y(t),z(t))
(x(t +Δt),y(t +Δt),z(t +Δt)) R(t+Δt)
R(t+Δt) –R(t)
En el límite Δtà0 el vector derivada es tangente a la trayectoria
x
z
y
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Reglas de derivación
dtdf
dtdftf
dtd
dtd
dtd
dtd
dtd
dtd
dtd
dtd
dtd
dtd
AAA
BABABA
BABABA
BABA
+=
×+×=×
•+•=•
+=+
)(
)(
)(
)(
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Aplicaciones: Ecuación de la recta en R3
Determinada por un punto P0 y la dirección dada por un vector v Sea P(x,y,z) punto sobre línea con posición r. Posición de P0 es r0 Sea t un escalar, a= tv r = r0+a= r0+t v
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Ecuaciones de la recta
r = r0+ t v Ecuaciones paramétricas. Si v=<a, b, c>
Ecuaciones simétricas. Despejando t e igualando
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Aplicaciones: vectores unitarios Vector unitario tangente
Normal unitario
T y Nplano osculante
Binormal
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Velocidad y aceleración
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Bibliografía • Stewart, James. Cálculo, Trascendentes tempranas.
Trad. J. E. Pérez C. y D. Garmendia G. México, International Thomson Editores. 2001. 991 páginas.
• Leithold, L. El Cálculo. Trad. F. Mata G. 7a Edición. México. Oxford University Press -Harla México. 1998.1360 páginas.
• Larson, R. E.,Hostetler, R.P.,Edwards, B.H., Cálculo y Geometría Analítica, Vol. 2, 6ª Ed., McGraw Hill.