Unidad 2:Curvas en R2 y

ecuaciones paramétricas.

Cálculo vectorial

L

tv

ao

a + tv

FORMA PUNTO DIRECCIÓN DE UNA RECTA

La ecuación de la recta L que pasa por la punta de a y en la dirección del vector v es:

l (t) = a + tv, donde el parámetro t toma todos los valores reales en forma de coordenadas las ecuaciones son:

x = x1 + atY = y1 + btZ = z1 + ct

Donde a = ( x, y, z) y v = (a, b,c)

Nota: para rectas en el plano xy, simplemente se elimina la componente z

2.1 Curvas planas y ecuaciones paramétricas

ECUACIÓN PARAMÉTRICA DE UNA RECTA QUE PASA POR DOS PUNTOS

l

t (b-a)

ao

a + t (b-a)b - a

b

La recta l dada en forma paramétrica por l(t) = a + t (b-a) = (1-t)a + tb, pasa por las puntas de a y b

Las ecuaciones paramétricas de la recta l a través de los puntos P (x1, y1,z1) y Q (x2, y2, z2) son:

x = x1 + (x2 – x1)ty = y1+ (y2– y1)tz = z1 + (z2 – z1)t

Definición de una curva plana

EJEMPLO1: Dibujar la curva descrita por las ecuaciones paramétricas:

X = t2 – 4 y = t/2 , - 2 ≤ t ≤ 3

EJEMPLO2: Dibujar la curva descrita por las ecuaciones paramétricas:

X = 4t2 – 4 y = t , -1 ≤ t ≤ 3/2

Ocurre a menudo que 2 conjuntos diferentes de ecuaciones paramétricas tienen la misma gráfica.

No obstante comparando los valores de t en ambas gráficas, puede verse que en la segunda gráfica se recorre más rápidamente que la primera (considerando a t como el tiempo)

2.2 Ecuaciones paramétricas de algunas curvas y su representación gráfica

Trazado de una curva

ELIMINACIÓN DEL PARÁMETRO:

Se llama eliminar el parámetro a encontrar una ecuación rectangular que represente la gráfica de unas ecuaciones paramétricas. (Por ejemplo es posible eliminar el parámetro de las ecuaciones paramétricas del ejemplo 1.

PROCEDIMIENTO:

PONER LAS ECUACIONESPARAMÉTRICAS

DESPEJAR t EN UNAECUACIÓN

SUSTITUIR t EN LA OTRAECUACIÓN

HALLAR LA ECUACIÓNRECTANGULAR

Una vez eliminado el parámetro se reconoce la ecuación rectangular

Debe ajustarse el dominio de la ecuación rectangular para que su gráfica coincidaCon la de las ecuaciones paramétricas

EJEMPLO 3: USO DE LA TRIGONOMETRÍA PARA ELIMINAR EL PARÁMETRO

Trazar la curva representada por: x = 3cosθ , y = 4senθ , 0 ≤ θ ≤ 2πSOLUCIÓN:

2

2

23

EJERCICIOS PARA LA CARPETA:

Esboce la curva de las siguientes ecuaciones paramétricas y encuentre su ecuación rectangular.

FORMA PARAMÉTRICA DE LA DERIVADA

Si una curva suave C viene dada por las ecuaciones x = f (t), y = g (t) la pendiente de C en ( x, y) es:

dy/dx = dy/dt/dx/dt , dx/dt es diferente de cero

dy/dx = dy/dt/dx/dt PRIMERA DERIVADA

d 2y/dx2 = d /dX (dy/dX ) = d /dt (dy/dx ) /dx/dt SEGUNDA DERIVADA

d 3y/dx3 = d /dX (d2 y/dX 2 ) = d /dt (d 2

y/dx2 ) /dx/dt TERCERA DERIVADA

EJEMPLO 1: DERIVACIÓN EN FORMA PARAMÉTRICA:

Hallar dy/dx para la curva dada por x = sen t , y = cos t

EJEMPLO 2: DETERMINACIÓN DE LA PENDIENTE Y LA CONCAVIDAD

Dadas la ecuaciones:

tx 441 2 ty 0t

Hallar su pendiente y su concavidad en el punto (2, 3)

SOLUCIÓNES:

EJERCICIOS PARA LA CARPETA

Si una curva suave C dada por x = f (t) e y = g (t) no tiene auto intersecciones en el intervalo a ≤ t ≤ b, entonces la longitud de arco de C en el intervalo viene dada por:

ddd

dd

t

b

at

y

t

xs

22

tex t cos

EJEMPLO 1: Calcular la longitud de arco de la curva dada en el intervalo indicado:

sentey t2

0t

Hasta ahora, hemos representado las gráficas como colecciones de puntos (x, y) en el sistema de coordenadas rectangulares. Las ecuaciones de estas gráficas se han dado en forma rectangular o paramétrica. En esta sección introduciremos un sistema de coordenadas denominado sistema de coordenadas polares.

Para construir un sistema de coordenadas polares en el plano, fijamos un punto O, llamado el polo ( o el origen), y trazamos desde O un rayo inicial llamado el eje polar, entonces, se puede asignar a cada punto en el plano unas coordenadas polares (r, θ), como sigue:

r = distancia dirigida de O a P

θ = ángulo dirigido, en sentido antihorario, del eje polar al segmento OP

La siguiente figura muestra varios puntos en el sistema de coordenadas polares. Observemos que, en este sistema, es conveniente localizar los puntos respecto a un retículo de circunferencias concéntricas y rectas radiales que pasan por el polo.

En coordenadas rectangulares, cada punto (x, y) tiene una representación única. Esto no ocurre en coordenadas polares. Por ejemplo, las coordenadas (r, θ) y (r, 2π + θ), representan un mismo punto (véase la figura de la pizarra). Así mismo, como r es una distancia dirigida, las coordenadas (r, θ) y (-r, θ + π ), representan un mismo punto. En general el punto (r, θ) puede expresarse como:

(r, θ) = (r, θ +2nπ), o como (r, θ) = (-r, θ +(2n + 1)π),

Siendo n un entero arbitrario. Además, el polo está representado por (0, θ), donde θ es cualquier ángulo.

CAMBIO DE COORDENADAS:

DE POLARES A RECTANGULARES Y DE RECTANGULARES A POLARES

Para establecer la relación entre las coordenadas polares y las rectangulares, hagamos coincidir el eje polar con el semieje x positivo y el polo con el origen, como se muestra en la figura. Puesto que (x, y) está sobre una circunferencia de radio r, se sigue que r2 = x2 + y2. Además, para r > 0, la definición de las funciones trigonométricas implica que:

Tg θ = y / x , cos θ = x / r , sen θ = y / r

Se puede verificar que si r < 0, se verifican las mismas relaciones

CAMBIO DE COORDENADAS

Las coordenadas polares (r, θ) de un punto están relacionadas con sus coordenadas rectangulares (x, y) por:

1. x = r cos θ 2. tg θ = y / x

y = r sen θ r2 = x2 + y2

Eje polar

yr

x(Origen)

Polo

(r, θ)

(x, y)

θ

EJEMPLO 1: Cambiar de coordenadas polares a rectangulares para los siguientes puntos:

a). Para el punto (r, θ) = (2, π)

b). Para el punto (r, θ) = ( , π/6)3

EJEMPLO 2: Cambiar de coordenadas rectangulares a polares:

a). Para el punto del segundo cuadrante (x, y) = (-1, 1)

b). Para el punto (x, y) = (0, 2)

EJERCICIOS PARA LA CARPETA

EJEMPLO 1: Cambiar de coordenadas polares a rectangulares para los siguientes puntos:

a). Para el punto (r, θ) = (4, π/2)

b). Para el punto (r, θ) = ( , π/4)

EJEMPLO 2: Cambiar de coordenadas rectangulares a polares:

a). Para el punto del segundo cuadrante (x, y) = (-5, 5)

b). Para el punto (x, y) = (0, 6)

3

Una forma de representar la gráfica de una ecuación en polares consiste en pasar a coordenadas rectangulares y después dibujar la gráfica de la ecuación rectangular:

REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE ECUACIONES EN POLARES

EJEMPLO 3: Describir la gráfica de cada una de las siguientes ecuaciones en polares. Verificar cada descripción pasando a una ecuación rectangular.

a) r = 2 b) θ = π/3 c) r = sec θ

SOLUCIÓN:

EJERCICIOS PARA LA CARPETA

EJEMPLO 3: Describir la gráfica de cada una de las siguientes ecuaciones en polares. Verificar cada descripción pasando a una ecuación rectangular.

a) r = 4 b) θ = π/6 c) r = sec θ