CURVAS PLANAS Y ECUACIONES PARAMÉTRICAS:

Hasta ahora, se ha representado una gráfica mediante una sola ecuación con dos variables. En esta sección se estudiarán situaciones en las que se emplean tres variables para representar una curva en el plano.

Considérese la trayectoria que recorre un objeto lanzado al aire con un ángulo de 45º. Si la velocidad inicial del objeto es 48 pies por segundo, el objeto recorre la trayectoria parabólica dada por:

y= x2

72+ x Ecuación rectangular.

Como se muestra en la figura. Sin embargo, esta ecuación no proporciona toda la información. Si bien dice donde se encuentra el objeto, no dice cuando se entra en un punto dado(x , y ). Para determinar este instante, se introduce una tercera variable t , conocida como parámetro. Expresando x y ycomo funciones de t , se obtienen las ecuaciones paramétricas.

x=24 √2 t Ecuación paramétrica para x.

Y

y=−16 t2+24√2 t Ecuación paramétrica para y .

A partir de este conjunto de ecuaciones, se puede determinar que en el instante t=0, el objeto se encuentra en el punto (0,0), porque:

x=24 √2 t=24√2 (0 )=0

y=−16 t2+24√2 t=−16 (0 )2+24√2 (0 )=0

Entonces: (0,0)

De esta manera semejante, en el instante t=1 ,el objeto está en el punto (24 √2 ,24√2−16) porque:

x=24 √2 t=24√2 (1 )=24√2

y=−16 t2+24√2 t=−16 (1 )2+24√2 (1 )=24√2−16

Entonces: ¿)

En este problema particular de movimiento, x y y son funciones continuas de t , y a la trayectoria resultante se le conoce como curva plana.

CURVA PLANA:

Si f y g son funciones continuas de ten un intervalo I , entonces las ecuaciones:

x=f (t) Y y=g (t)

Se les llamas ecuaciones paramétricas y a t se le llam el parámetro. Al conjunto de puntos (x , y ) que se obtiene cuando t varia sobre el intervalo I se llama la gráfica de las ecuaciones paramétricas. A las ecuaciones paramétricas y a la gráfica, juntas, es a lo que se llama una curva plana, que se denota por C.

NOTA:

“Algunas veces es importante distinguir entre una gráfica (conjunto de puntos) y una curva (los puntos junto con las secciones paramétricas que los definen). Cuando sea importante hacer esta distinción, se hará de manera explícita. Cuando no sea importante se empleará C para representar la gráfica o la curva, indistintamente”.

Ejemplo: Trazar la curva dad por las ecuaciones parámetros:

x=t 2−4 y=t2

−2≤t ≤3

t -2 -1 0 1 2 3X 0 -3 -4 -3 0 5y -1 -1/2 0 1/2 1 3/2

ELIMINACIÓN DEL PARÁMETRO:

A encontrar la ecuación rectangular que representa la gráfica de un conjunto de ecuaciones paramétricas se le llama eliminación del parámetro. Por ejemplo, el parámetro del conjunto de ecuaciones paramétricas del ejemplo anterior se puede eliminar:

x=t 2−4 y=2 y x=2 y2−4 x=4 y2−4 y=t2

Una vez eliminado el parámetro se ve que la ecuación x=4 y2−4 representa una parábola con un eje horizontal y vértice en (−4,0 ). Como se muestra en la figura del ejemplo 1.

Ejemplo:

Dibujar la curva representada por las ecuaciones.

x= 1

√ t+1 y y=tt+1

t>−1

Eliminando el parámetro y ajustando el dominio de la ecuación rectangular resultante.

De acuerdo a los pasos:

x= 1

√ t+1

√ t+1=1x

t+1=( 1x)2

t=( 1x)2

−1= 1x2

−1

y= 1t+1

=( 1x)2

−1

( 1x)2

−1+1=

1x2

− x2

x2

1x2

=1−x2

Entonces: y=1−x2

x= 1

√ t+1 y y=

1

√ t+1 t¿1

t 0 1 2 3 4

x 11

√21

√312

1

√5

y 012

23

34

45