guÍa 5 curvas planas

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CÁLCULO INTEGRAL GUÍA UNIDAD 5

PRERREQUISITOS:

Los temas necesarios para esta unidad son:

Funciones.

Fórmulas de Volúmenes y áreas de figuras geométricas.

Saber encontrar los puntos de intersección entre curvas.

Límites.

Derivadas.

Integral Definida.

GUÍA DE APRENDIZAJE

Nombre de la asignatura : CÁLCULO INTEGRAL Código : 5758

Unidad 5 : CURVAS PLANAS (ECUACIONES PARAMÉTRICAS) Y COORDENADAS

POLARES

Guía : 5/5 Tiempo estimado para desarrollo :

Autores de la Guía : ICFM Revisado por: ICFM

OBJETIVOS ESPECÍFICOS

Comprender el concepto de representación paramétrica de una curva.

Transformar una ecuación rectangular a 2 ecuaciones paramétricas.

Reconocer la ecuación paramétrica de una recta, una circunferencia y una parábola.

Reconocer la ecuación paramétrica de una elipse.

Reconocer ecuaciones paramétricas de una hipérbola.

Usar coordenadas polares y convertirlas a coordenadas cartesianas.

Graficar ecuaciones de curvas dadas en coordenadas polares.

Encontrar la longitud de parte de una curva plana.

Definir y calcular áreas de superficies de revolución.

Calcular áreas de regiones definidas en coordenadas polares.

Calcular la longitud de arco de una curva representada en coordenadas polares.

2


MATERIAL DE APOYO:

Libro de texto: STEWART, J.: “Cálculo de una variable”, (Sexta edición). Cengage Learning.

2008.

Tabla de integrales y fórmulas extraídas del texto.

Software matemático

Calculadora con CAS

ACTIVIDADES ESPECÍFICAS

Una lectura compresiva de las definiciones, enunciados, y ejemplos desarrollados en clase.

Elaboración grupal de las respuestas del cuestionario, justificación de cada etapa del

desarrollo de ejercicios. Discusión grupal sobre procedimientos, resultados.

Análisis crítico de los ejercicios desarrollados.

METODOLOGÍA DE TRABAJO:

El docente durante la clase definirá los conceptos necesarios para el desarrollo de la guía. Para

lo cual es imprescindible que el estudiante analice la teoría con anterioridad para facilitar el

proceso enseñanza-aprendizaje.

En clase los estudiantes organizan equipos de hasta 2 estudiantes (dependiendo del número de

estudiantes por curso) para desarrollar las actividades de la guía propuesta

El docente realiza el control de desarrollo de guías y califica en clase según la rúbrica de

evaluación y si no termina el grupo de desarrollar completamente la guía, entonces entregará

la parte faltante al final de la clase o en la siguiente sesión.

ACTIVIDADES PREVIAS (EXTRA CLASE)

¿Sabe identificar las ecuaciones de cónicas, rectas y circunferencias?

¿Sabe graficar cónicas, rectas y circunferencias?

¿Recuerda cómo obtener intersecciones de curvas con los ejes?

3


¿Recuerda identidades trigonométricas?

¿Sabe Resolver ecuaciones trigonométricas?

DESARROLLO.

ECUACIONES PARAMÉTRICAS.

Una ecuación paramétrica permite representar un lugar geométrico en el plano o en el espacio,

mediante una variable que relaciona a cada una de las coordenadas llamada parámetro.

En una expresión paramétrica se requiere una ecuación por cada una de las coordenadas que se

requiera representar, por ejemplo en un plano será una ecuación para las abscisas y otra para las

ordenadas, las que separadamente expresan una sola función.

Ejemplo 1:

En un movimiento parabólico de una partícula cuya velocidad inicial es Vx (velocidad

horizontal)=10m/s en el eje “x” positivo y Vy (velocidad vertical) = 15. m/s en el eje “y” positivo y

tomando en cuenta el punto 0,0 como punto de partida de la partícula la representación del espacio

puede realizarse en función a otra variable como es el tiempo (parámetro). El espacio que la partícula

recorre de forma horizontal no tiene la influencia de la gravedad por lo que se comporta como un

movimiento rectilíneo uniforme, el cual responde a una ecuación de espacio x = Vx*t. mientras que

el desplazamiento vertical está influenciado por la aceleración de la gravedad volviendo a la

componente de espacio 𝑌 = 𝑉𝑦 ∗ 𝑡 −𝑔∗𝑡2

2 .

De esta manera la representación del espacio en función al parámetro antes de que la partícula toque

el suelo será:

𝑋 = 10 ∗ 𝑡 y 𝑌 = 15 ∗ 𝑡 −9,81∗𝑡2

2

En donde para encontrar un punto en un plano se debe de dar valores a t y obtener de esta manera los

valores de X y Y.

4


T X Y

0 0 0

0,5 5 6,27375

1 10 10,095

1,5 15 11,46375

2 20 10,38

2,5 25 6,84375

3 30 0,855 Tabla 1: Valores de x y y en función al parámetro t

Figura 1: Gráfico de x y y al dar valores a t

Ejemplo 2:

Trazar la gráfica representada por las siguientes ecuaciones paramétricas:

𝑥 = 2𝑡 + 3

𝑦 = 6𝑡 − 2

Solución:

De las ecuaciones anteriores, si despejamos los valores de t e igualamos queda:

𝑡 =𝑥 − 3

2=

𝑦 − 2

6

0; 0

5; 6,27375

10; 10,09515; 11,46375

20; 10,38

25; 6,84375

30; 0,855

0 5 10 15 20 25 30 35

Y

Y

5


3𝑥 − 9 = 𝑦 − 2

𝑦 = 3𝑥 − 7

Al igualar los parámetros queda una cartesiana con las variables x y y únicamente, fácilmente se puede

identificar como una recta con pendiente 3 y ordenada al origen -7, por lo que el gráfico queda como

sigue:

Figura 2: y=3x-7

Actividad 1:

Graficar las siguientes ecuaciones paramétricas y obtener las ecuaciones cartesianas:

a) 𝑦 = 𝑡2, 𝑥 = 𝑡

b) 𝑥 = 𝑠𝑒𝑛(2𝑡), 𝑦 = 𝑡, −𝜋 ≤ 𝑡 ≤ 𝜋

c) 𝑥 = 3𝑠𝑒𝑛(𝑡), 𝑦 = 3 cos(𝑡) , 0 ≤ 𝑡 ≤ 2𝜋

d) 𝑥 = 9 cos(𝑡) , 𝑦 = 16𝑠𝑒𝑛(𝑡), 0 ≤ 𝑡 ≤ 𝜋

e) 𝑥 = 9 tan(2𝑡) , 𝑦 = 4 sec(2𝑡) , 0 ≤ 𝑡 ≤ 𝜋

PARAMETRIZACIÓN DE RECTAS

Una recta puede definirse en base a un punto (x1, y1) y una pendiente (m), con estos valores la

parametrización está dada de la forma

𝑥 = 𝑡 + 𝑥1

-20

-15

-10

-5

0

5

-4 -2 0 2 4

y

x

6


𝑦 = 𝑚𝑡 + 𝑦1

De esta forma al obtener las ecuaciones cartesianas despejando t de las paramétricas e igualando queda

la fórmula de la ecuación de la recta:

𝑦 − 𝑦1 = 𝑚(𝑥 − 𝑥1)

Ejemplo 3:

Parametrizar la ecuación de la recta que pasa por el punto 2, 1 y de pendiente 2

Las ecuaciones paramétricas quedan:

𝑥 = 𝑡 + 2

𝑦 = 2𝑡 + 1

PARAMETRIZACIÓN DE UNA PARÁBOLA:

Partiendo de una ecuación parabólica de la forma 𝑦2 = 4𝑝𝑥 y derivando se obtiene:

2𝑦 ∗𝑑𝑦

𝑑𝑥= 4𝑝

Si se sustituye la derivada por la tangente del ángulo y despeja y se obtiene:

𝑦 =2𝑝

tan(𝜃)

O

𝑦 = 2𝑝 ∗ 𝑐𝑡𝑔(𝜃)

Y si se reemplaza el valor de y en la ecuación de la parábola inicial y despeja x queda:

𝑥 = 𝑝 ∗ 𝑐𝑡𝑔2(𝜃)

Entonces las ecuaciones paramétricas de una parábola con vértice en h, k pueden ser establecidas de

la siguiente forma:

7


𝑥 = 𝑝 ∗ 𝑐𝑡𝑔2(𝜃) + ℎ

𝑦 = 2𝑝 ∗ 𝑐𝑡𝑔(𝜃) + 𝑘

Actividad 2:

Parametrizar las siguientes parábolas:

a) 𝑦2 = 8𝑥 − 8

b) (𝑦 − 2)2 = 6𝑥 + 12

c) 𝑥2 = 4𝑝𝑦

d) 𝑦 = 𝑥2 + 5𝑥 + 6

e) 𝑥 = 𝑦2 + 𝑦 − 20

f) Una parábola con eje vertical, que se abre a la derecha y con vértice en 3, 4.

PARAMETRIZACIÓN DE CIRCUNFERENCIA.

En una circunferencia de radio r, y con centro en el origen las coordenadas de abscisas se pueden

obtener con el coseno del ángulo multiplicado por el radio de la circunferencia y las ordenadas si se

multiplica el radio por el seno del ángulo, si se reemplaza al ángulo por el parámetro la ecuación de

la circunferencia de radio r y centro en el origen es:

𝑥 = 𝑟 ∗ 𝑐𝑜𝑠(𝑡)

𝑦 = 𝑟 ∗ 𝑠𝑒𝑛(𝑡)

Para producir un desplazamiento del centro de la circunferencia al punto h, k, se suma h y k a los

valores de x y y respectivamente de forma que una circunferencia de radio r con origen en h, k se

expresa de forma paramétrica como sigue:

𝑥 = 𝑟 ∗ cos(𝑡) + ℎ

𝑦 = 𝑟 ∗ 𝑠𝑒𝑛(𝑡) + 𝑘

Ejemplo:

8


Expresar de forma paramétrica una ecuación de una circunferencia con radio 2 y centro en 3, 4.

Luego comprobar el resultado pasándola a la forma ordinaria.

La ecuación de la circunferencia queda expresada de la siguiente forma:

𝑥 = 2 ∗ cos(𝑡) + 3

𝑦 = 2 ∗ 𝑠𝑒𝑛(𝑡) + 4

Para pasar a la forma ordinaria se despeja el término que contiene a t en cada ecuación:

𝑥 − 3 = 2 cos(𝑡)

𝑦 − 4 = 2𝑠𝑒𝑛(𝑡)

Se eleva al cuadrado cada lado de la desigualdad y se suman:

(𝑥 − 3)2 + (𝑦 − 4)2 = 4𝑐𝑜𝑠2(𝑡) + 4𝑠𝑒𝑛2(𝑡)

(𝑥 − 3)2 + (𝑦 − 4)2 = 4[𝑐𝑜𝑠2(𝑡) + 𝑠𝑒𝑛2(𝑡)]

(𝑥 − 3)2 + (𝑦 − 4)2 = 4

Se observa que el resultado es la ecuación de la circunferencia en su forma ordinaria con centro en 3,

4 y radio 2.

PARAMETRIZACIÓN DE LA ELIPSE.

En una elipse con eje mayor a, orientado sobre el eje x y con eje menor b orientado sobre y, con centro

en el origen, los valores de x van a alcanzar valores más alejados del centro que los de y, por lo que

partiendo de una ecuación paramétrica de la circunferencia con centro en el origen y el radio cambia

en función la posición del punto x, y siendo a cuando y=0 y b cuando x=0, lo que queda:

𝑥 = 𝑎 ∗ cos(𝑡)

𝑦 = 𝑏 ∗ 𝑠𝑒𝑛(𝑡)

Al parametrizar una elipse con un desplazamiento de su centro al punto h, k la ecuación queda:

9


𝑥 = 𝑎 ∗ cos 𝑡 + ℎ

𝑦 = 𝑏 ∗ 𝑠𝑒𝑛(𝑡) + 𝑘

Ejemplo:

Identificar la ecuación paramétrica de una elipse con eje mayor de 5 y eje menor de 3, con centro en

4, -5 y eje mayor paralelo al eje x.

Las ecuaciones paramétricas de la elipse quedan:

𝑥 = 5 cos(𝑡) + 4

𝑦 = 3 cos(𝑡) − 5

PARAMETRIZACIÓN DE UNA HIPÉRBOLA.

Una hipérbola con eje horizontal de la forma(𝑥−ℎ)2

𝑎2−

(𝑦−𝑘)2

𝑏2= 1 se puede representar en su forma

paramétrica por medio de las siguientes ecuaciones:

𝑥 = 𝑎 ∗ sec(θ)

𝑦 = 𝑏 ∗ tan(𝜃)

En donde a es la distancia del centro de la hipérbola al vértice.

Actividad 3.

Parametrizar Las Siguientes Ecuaciones:

a) 𝑥2 + 𝑦2 − 9 = 0

b) 𝑥2 + 𝑦2 − 8𝑥 + 12 = 0

c) Una circunferencia de radio 4 y centro en 4, 2

d) Una elipse de eje mayor 6, paralelo a x, eje menor 4 y centro en 3, -1

e) (𝑥−2)2

9+

(𝑦+4)2

16= 1

f) (𝑥−2)2

9−

(𝑦+4)2

16= 1

10


g) 4𝑥2 + 2𝑦2 − 7𝑥 + 𝑦 − 5 = 0

COORDENADAS POLARES

SISTEMA POLAR.

A diferencia de un sistema rectangular en el que un punto en un plano se denota por las coordenadas

medidas desde el origen en sentido horizontal y vertical, en sistema polar un punto se representa

mediante la distancia al origen y un ángulo medido a partir del eje horizontal positivo formando un

par ordenado (r, θ).

P.(r, q)r

q x

y

o

Figura 3: Representación de un punto en polar.

En la figura anterior se muestra una representación de un punto en coordenadas polares y no es difícil

deducir que las coordenadas expresadas en rectangular están dadas en x por 𝑟. cos (𝜃) y en y por

𝑟. sen(𝜃).

Al tener el punto en coordenadas rectangulares se las puede convertir a polares calculando la distancia

OP por medio del teorema de Pitágoras y el ángulo aplicando la función arco tangente del cateto

opuesto sobre el adyacente.

En la siguiente tabla se resumen las operaciones para realizar las transformaciones de un sistema polar

a rectangular y viceversa.

De polar a rectangular De rectangular a polar

𝑥 = 𝑟. cos (𝜃) 𝑥 = 𝑟. sen (𝜃) 𝑟 = √𝑥2 + 𝑦2 𝜃 = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 (𝑦

𝑥)

11


Tabla 2: Transformaciones polar - rectangular.

Ejemplo:

Encontrar las coordenadas en rectangular del punto en polar (2√3,𝜋

3 ).

Para encontrar la coordenada en x:

𝑥 = 𝑟. cos(𝜃)

𝑥 = 2√3 ∗ cos (𝜋

3)

𝑥 = √3

Para encontrar la coordenada en y:

𝑦 = 𝑟. sen(𝜃)

𝑦 = 2√3 ∗ sen (𝜋

3)

𝑦 = 3

De donde el punto en coordenadas rectangulares es: (√3, 3)

Ejemplo:

Encontrar las coordenadas en polar de un punto en rectangular dado por las coordenadas (-3, -4).

Desarrollo:

Para encontrar el ángulo:

𝜃 = tan−1 (𝑦

𝑥)

𝜃 = tan−1 (−4

−3)

𝜃 = 0,9273 𝑟𝑎𝑑.

Note que al estar el punto en el cuarto cuadrante y ser las coordenadas tanto en x como en y negativas

los signos se cancelan lo cual devuelve un ángulo igual al de un punto en las coordenadas (3,4)

Para encontrar el radio se aplica la fórmula:

𝑟 = √𝑥2 + 𝑦2

12


𝑟 = √32 + 42

𝑟 = -5

Haciendo un análisis se puede llegar a la conclusión que se debe tomar el signo negativo de la raíz

debido a que de no hacerlo se representa al punto (3,4) que está en el primer cuadrante.

Figura 4: Gráfico del punto (-5, 0.9273)

Para una fácil representación de un punto en polar en lugar de una cuadrícula se utilizan círculos

concéntricos de diferentes radios, como se muestra en la figura anterior.

Al eje horizontal se lo denomina eje polar, mientras que al plano en el que se representa la gráfica se

lo llama plano polar.

Actividad 4.

Pasar de a polar los siguientes puntos en coordenadas rectangulares:

a) (3,4)

b) (-6,8)

c) (5,-12)

d) (-7,-24)

13


e) (9,40)

f) (-11,60)

g) (-13,-84)

Pasar a rectangular los siguientes puntos en coordenadas polares:

h) (2,/2)

i) (5,/4)

j) (3,5/4)

k) (8,4/3)

GRÁFICAS DE ECUACIONES POLARES

Una ecuación de forma polar está representada por un radio dependiente de un ángulo, de la forma

𝑟 = 𝑓(𝜃).

Si se realiza una gráfica por medio de una tabla de valores se procede dando valores a 𝜽 para obtener

los valores de r. El punto (r, 𝜽) representa la distancia medida desde el centro hasta el punto cuando

se ha desplazado un ángulo 𝜽.

Ejemplo:

Dibujar la curva siguiente curva polar:

𝑟 =𝜃

𝜋

Haciendo una tabla en la cual se asignan diferentes valores al ángulo 𝜽 obteniendo los valores de r,

para este ejemplo se dibujará el radio con valores de 𝜃 desde 0 hasta 2𝜋con variación de 𝜋/4 se

obtiene:

14


n θ r

1 0 0

2 0,785398 0,25

3 1,570796 0,5

4 2,356194 0,75

5 3,141593 1

6 3,926991 1,25

7 4,712389 1,5

8 5,497787 1,75

9 6,283185 2

Tabla 3: Tabla de valores.

Al colocar los valores del ángulo y el radio de la tabla anterior en un plano cartesiano se obtienen los

puntos rojos mostrados en la siguiente figura y uniendo los puntos se obtiene la gráfica polar, la cual

se muestra con un trazo azul en la figura que se muestra a continuación.

Figura 5: Ejemplo de gráfica polar.

Actividad 5.

Determine el gráfico de las siguientes curvas polares mediante una tabla de valores en el

intervalo [0; 2]:

a) 𝒓 = 𝟒𝒔𝒆𝒏(𝜽)

x

y

15


q r

0

0,5*

0,5*

0,375*

0,5*

0,65*

0,75*

0,875*

*

,5*

,5*

,375*

,5*

,65*

,75*

,875*

*

b) 𝒓 = 𝟐 + 𝟐𝒔𝒆𝒏(𝜽)

q r

0

0,5*

0,5*

0,375*

0,5*

0,65*

0,75*

0,875*

*

,5*

,5*

,375*

,5*

,65*

,75*

,875*

*

c) 𝒓 = 𝟐𝜽/𝟑

3 5

x

y

3 5

x

y

16


q r

0

0,5*

0,5*

0,375*

0,5*

0,65*

0,75*

0,875*

*

,5*

,5*

,375*

,5*

,65*

,75*

,875*

*

RECTAS TALES QUE CONTIENEN AL POLO

La ecuación de una recta en coordenadas polares puede representarse partiendo de la ecuación:

𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑏

En donde se tiene que los valores de x y de y están representados por las siguientes expresiones:

𝑦 = 𝑟𝑠𝑒𝑛(𝜃)

𝑥 = 𝑟𝑐𝑜𝑠(𝜃)

Reemplazando las expresiones anteriores en la ecuación de la recta:

𝑟. 𝑠𝑒𝑛(𝜃) = 𝑚. 𝑟. 𝑐𝑜𝑠(𝜃) + 𝑏

Si se trata de una recta que pasa a través del polo la constante b toma un valor de cero y despejando 𝜃

de la ecuación queda:

𝑡𝑎𝑛(𝜃) = 𝑚

𝜃 = tan−1 𝑚

ECUACIONES POLARES DE LA CIRCUNFERENCIA.

3 5

x

y

17


En una circunferencia con centro en el polo y de radio a la ecuación estaría completamente definida

por la ecuación r = a. manteniendo un radio constante para cualquier ángulo de cero a 2𝜋.

En la siguiente figura se representa la ecuación r=3.

Figura 6: Gráfica de r=3 con 0< 𝜽 <𝝅

Una ecuación de una circunferencia desplazada en x que pase por el polo se puede expresar mediante

la siguiente ecuación polar:

𝑟 = 𝑎 ∗ cos (𝜃) en el intervalo: 0 ≤ 𝑡 ≤ 𝜋

En donde a es el radio de la circunferencia. En la siguiente figura se puede ver el gráfico polar de una

circunferencia de radio 2 que pasa por el polo y está desplazada en el eje x.

3 3 5

3

3

x

y

18


Figura 7: Ecuación de circunferencia de radio 2 desplazada en x que pasa por el polo.

Si el desplazamiento de la circunferencia es hacia arriba la ecuación correspondiente tiene la forma:

𝑟 = 𝑎 ∗ 𝑠𝑒𝑛(𝜃)

Si se desea cambiar el sentido del desplazamiento es suficiente con cambiar el sentido del radio, es

decir: se cambia de signo a la ecuación.

En la siguiente figura se muestran diferentes circunferencias en los ejes x y y con desplazamientos

positivos y negativos con sus ecuaciones respectivas.

x

yr = 2*cos(t); 0.0 <= t <= pi

19


Figura 8: Desplazamiento de circunferencias.

CARACOL O LIMACÓN.

Está definido según su orientación por las ecuaciones: 𝑟 = 𝑎 ± 𝑏 ∗ 𝑠𝑒𝑛(𝜃) ó 𝑟 = 𝑎 ± 𝑏 ∗ cos (𝜃)

Las funciones seno o coseno definen la orientación del caracol si está a lo largo del eje x o del eje y,

el signo cambia según si la orientación del caracol es hacia el lugar positivo del eje o del negativo, así

por ejemplo un caracol orientado en el eje x positivo tendrá una ecuación de la forma:

𝑟 = 𝑎 + 𝑏 cos(𝜃).

Siendo a y b constantes positivas.

La relación entre las constantes a y b determina la forma del caracol de esta manera un caracol puede

tener la siguiente sub clasificación según la relación entre sus constantes:

A. Si a<b se forma un caracol con lazo interno, la gráfica que se muestra a continuación se la

realizó con a=3 y b=2.

3

3

x

yr = 2*cos(t); 0.0 <= t <= pi

r = -2*cos(t); 0.0 <= t <= pi

r = 2sin(t); 0.0 <= t <= pi

r = -2*sin(t); 0.0 <= t <= pi

20


Figura 9: Caracol con lazo interior

B. Si a = b se forma un caracol en forma de corazón (cardioide) El que se muestra en la siguiente

figura se construyó con a=b=3.

3 5 6

3

3

x

yr = 2+3cos(t); 0.0 <= t <= 2pi

21


Figura 10: Cardioide.

C. Si los coeficientes a y b tienen la relación 1 <𝑎

𝑏< 2 el caracol se convierte en un caracol

cóncavo que se muestra en la figura:

3 5 6 7

3

3

x

yr = 3+3cos(t); 0.0 <= t <= 2pi

22


Figura 11: Caracol cóncavo

D. Si a/b es mayor que dos, la gráfica resulta en un caracol convexo el que se muestra a

continuación:

3 3 5

3

3

x

yr = 3+2cos(t); 0.0 <= t <= 8pi

23


Figura 12: Caracol convexo.

ROSAS

Ecuación de la forma 𝒓 = 𝒂. 𝒔𝒆𝒏(𝒏𝒙) ó 𝒓 = 𝒂. 𝐜𝐨𝐬 (𝒏𝒙) con n entero mayor que uno forman rosas,

si n es impar la rosa tiene n pétalos y en un intervalo del ángulo de 0 a 2𝜋 radianes la gráfica se dibuja

dos veces, por otro lado si n es par la rosa tiene un número de pétalos igual a 2n y en un intervalo del

ángulo de 0 a 2𝜋 radianes se dibuja una sola vez. La constante a determina la longitud de los pétalos.

A continuación se muestran algunas gráficas de rosas con sus ecuaciones:

3 3 5

3

3

x

yr = 3+1.4cos(t); 0.0 <= t <= 8pi

24


Figura 13: gráfica de r=sen(2t) Figura 14: gráfica de r=cos(2t).

Figura 15: Gráfica de r=sen(3t)

Figura 16: Gráfica de r=3cos(5t)

6.2.7. Lemniscatas

La ecuación de una lemniscata está representada por la curva 𝑟2 = 𝑎. cos (2𝜃) ó 𝑟2 = 𝑎. 𝑠𝑒𝑛(2𝜃). Su

gráfica se muestra a continuación:

x

yr = sin(2t); 0.0 <= t <= 2pi

x

yr = cos(2t); 0.0 <= t <= 2pi

x

yr = sin(3t); 0.0 <= t <= 2pi

3 3

3

3

x

yr = 3cos(5t); 0.0 <= t <= 2pi

25


Figura 17: Lemniscata r^2=4*cos(2t)

ESPIRAL DE ARQUÍMEDES:

Tiene por ecuación: 𝑟 = 𝑎𝜃 en donde el radio de la espiral crece conforme aumenta el ángulo de

manera lineal. La siguiente figura muestra una espiral de Arquímedes que responde a la ecuación 𝑟 =

𝜃

𝜋 .

Figura 18: Espiral de Arquímides.

ESPIRAL LOGARÍTMICA:

Su ecuación polar es de la forma 𝑟 = 𝑎𝑒𝑏𝜃

x

y

3 3

3

3

x

y

26


AREA EN COORDENADAS POLARES

Con el fin de obtener una expresión para calcular el área que encierra una curva polar se procederá a

determinar el área de un componente diferencial. Si se tiene una curva cualquiera expresada en

coordenadas polares, el elemento diferencial de área se muestra a continuación:

Figura 19: diferencial de área polar.

Como se muestra en la figura anterior el diferencial de área para coordenadas polares está compuesto

de un diferencial de radio y un arco circular cuya longitud es igual al producto del radio (r) por el

diferencial de ángulo (𝑑𝜃). Al considerar que 𝑑𝜃 es un elemento diferencial por lo que se aproxima a

un ángulo de cero lo que ocasiona que las dos rectas que forman 𝑑𝜃 sean prácticamente paralelas y

el arco sea casi una recta, entonces el área del elemento diferencial mostrado en la figura anterior se

puede obtener como el de un rectángulo (base por altura) en donde la base es 𝑟. 𝑑𝜃 y la altura 𝑑𝑟, por

lo que el área del diferencial es: 𝑑𝑎 = 𝑟. 𝑑𝑟. 𝑑𝜃

Con el fin de encontrar una expresión para el área se integra el diferencial de área de la siguiente

manera:

𝐴 = ∫ ∫ 𝑟. 𝑑𝑟. 𝑑𝜃𝑟

0

𝜃2

𝜃1

Esta expresión se puede integrar en función al radio lo que da:

27


𝐴 =1

2∫ 𝑟2. 𝑑

𝜃2

𝜃1

𝜃

Donde r es una expresión del radio en función del ángulo, 𝜃1 𝑦 𝜃2 son los ángulos inicial y final que

limitan el área.

Ejemplo:

Hallar el área interior al cardioide 𝑟 = 3 + 3. cos (𝜃)

Solución:

Se reemplaza en la fórmula el valor del radio t los límites, teniendo en cuenta que el cardioide se

dibuja en 2pi radianes:

𝐴 =1

2∫ 𝑟2. 𝑑𝜃

2𝜋

0

𝐴 =1

2∫ (3 + 3 cos(𝜃))2. 𝑑𝜃

2𝜋

0

Se integra la expresión:

𝐴 =9

2∫ (1 + 2 cos(𝜃) + cos2(𝜃)). 𝑑𝜃

2𝜋

0

𝐴 =9

2[𝜃 + 2𝑠𝑒𝑛(𝜃) +

𝑠𝑒𝑛(𝜃). cos (𝜃)

2+

𝜃

2]

𝐴 =27𝜋

2 𝑢𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠2

Ejemplo:

Hallar el área interior a las dos curvas:

𝑟 = 5𝑠𝑒𝑛(2𝜃) 𝑦 𝑟 = 5cos (2𝜃)

28


Solución:

Al dibujar las dos curvas para determinar el área se obtiene:

Figura 20: ecuaciones del ejemplo.

Área interior a las dos rosas forma ocho secciones iguales de modo que se puede calcular una de ellas

y multiplicar por ocho. La primera sección (desde el eje polar siguiendo el sentido anti horario) está

limitada abajo por la rosa roja correspondiente a la primera función, mientras que arriba por la rosa

azul. Para realizar la integral de área existe un punto común entre las dos rosas en la sección a tratarse

a partir del cual se debe conmutar entre la rosa roja y la azul y es necesario hallar las coordenadas de

dicho punto, para ello se igualan las dos ecuaciones.

5𝑠𝑒𝑛(2𝜃) = 5cos (2𝜃)

5𝑠𝑒𝑛(2𝜃)

5cos (2𝜃)= 1

𝑡𝑎𝑛(2𝜃) = 1

2𝜃 = tan−1 1

𝜃 =𝜋

8

La integral estaría conformada como sigue:

6 5 3 3 5 6

5

3

3

5

x

yr = 5sin(2t); 0.0 <= t <= 2pi

r = 5cos(2t); 0.0 <= t <= 2pi

29


𝐴 = 8 [1

2∫ (5𝑠𝑒𝑛(2𝜃))

2. 𝑑𝜃

𝜋8

0

+1

2∫ (5𝑐𝑜𝑠(2𝜃))

2. 𝑑𝜃

𝜋/4

𝜋8

]

De donde la integral marcada con rojo representa el área de la función dibujada con rojo y la integral

azul representa el área de la función dibujada en azul en la intersección de dos pétalos.

𝐴 = 8 {[25 ·𝜃

4− 25 ·

𝑆𝐼𝑁(4 · 𝜃)

16]

0

𝜋8

+ [25 ·𝑆𝐼𝑁(4 · 𝜃)

16 + 25 ·

𝜃

4]

𝜋8

𝜋4

}

𝐴 = 25 · 𝜋 − 2

32+ 25 ·

𝜋 − 2

32

𝐴 =25𝜋 − 50

16

LONGUITUD DE ARCO EN COORDENADAS PARAMÉTRICAS.

Para calcular la longitud de un arco se puede partir de un diferencial de longitud como el que se

muestra a continuación:

Figura 21: Diferencial de longitud.

El diferencial de longitud aplicando Pitágoras se convierte en:

30


𝑑𝑙 = √𝑑𝑥2 + 𝑑𝑦2

Puesto que se busca una fórmula para funciones paramétricas se puede multiplicar y dividir todo lo

que está dentro de la raíz por 𝑑𝑡2 de manera que queda:

𝑑𝑙 = √(𝑑𝑥2 + 𝑑𝑦2)𝑑𝑡2

𝑑𝑡2

𝑑𝑙 = √(𝑑𝑥

𝑑𝑡)

2

+ (𝑑𝑦

𝑑𝑡)

2

∗ 𝑑𝑡

𝑙 = ∫ √(𝑑𝑥

𝑑𝑡)

2

+ (𝑑𝑦

𝑑𝑡)

2

∗ 𝑑𝑡𝑡2

𝑡1

Donde l es la longitud del arco desde t1 a t2, x y y son funciones paramétricas.

Ejemplo:

Determinar la longitud de arco de la siguiente expresión paramétrica:

𝑥 = 𝑡 − 𝑠𝑒𝑛(𝑡), 𝑦 = 1 − cos(𝑡) 𝑝𝑎𝑟𝑎 0 ≤ 𝑡 ≤ 2𝜋

Solución:

Para aplicar la fórmula se encuentra primero las derivadas de las tanto de x como de y con respecto a

t:

𝑑𝑥

𝑑𝑡= 1 − cos(𝑡)

𝑑𝑦

𝑑𝑡= 𝑠𝑒𝑛(𝑡)

𝑙 = ∫ √(𝑑𝑥

𝑑𝑡)

2

+ (𝑑𝑦

𝑑𝑡)

2

∗ 𝑑𝑡𝑡2

𝑡1

31


𝑙 = ∫ √(1 − cos(𝑡))2 + (𝑠𝑒𝑛(𝑡))2

∗ 𝑑𝑡𝑡2

𝑡1

𝑙 = ∫ √1 − 2 ∗ cos(𝑡) + cos2(𝑡) + 𝑠𝑒𝑛2(𝑡) ∗ 𝑑𝑡𝑡2

𝑡1

La expresión resaltada en amarillo es igual a 1 por lo que la longitud es:

𝑙 = ∫ √2√1 − cos(𝑡) ∗ 𝑑𝑡𝑡2

𝑡1

Tomando en cuenta que:

sin2 (𝑡

2) =

1 − cos(𝑡)

2

Despejando 1-cos(t) y reemplazando en la ecuación de la longitud, con límites de 0 a 2𝜋 queda:

𝑙 = ∫ √2√2𝑠𝑒𝑛2 (𝑡

2) ∗ 𝑑𝑡

𝜋2

0

𝑙 = ∫ 2𝑠𝑒𝑛 (𝑡

2) ∗ 𝑑𝑡

𝜋2

0

𝑙 = 8 𝑢𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠.

LONGUITUD DE ARCO EN COORDENADAS POLARES

De forma similar a las ecuaciones paramétricas en coordenadas polares se puede calcular la longitud

de un arco partiendo del mismo diferencial de longitud:

𝑑𝑙 = √𝑑𝑥2 + 𝑑𝑦2

Se puede multiplicar y dividir para 𝑑𝜃2 dentro de la raiz, reemplazar x por 𝑟𝑐𝑜𝑠(𝜃) y y por 𝑟𝑠𝑒𝑛(𝜃)

y queda:

32


𝑑𝑙 = √(𝑑(𝑟𝑐𝑜𝑠(𝜃))

𝑑𝜃)

2

+ (𝑑(𝑟𝑠𝑒𝑛(𝜃))

𝑑𝜃)

2

𝑑𝜃

𝑑𝑙 = √(𝑟′ cos(𝜃) − 𝑟𝑠𝑒𝑛(𝜃))2

+ (𝑟′𝑠𝑒𝑛(𝜃) + 𝑟𝑐𝑜𝑠(𝜃))2

𝑑𝜃

𝑑𝑙 = √(𝑟′)2 cos2 𝜃 − 2𝑟′𝑟𝑐𝑜𝑠(𝜃)𝑠𝑒𝑛(𝜃) + 𝑟2𝑠𝑒𝑛2𝜃 + (𝑟′)2𝑠𝑒𝑛2𝜃 + 2𝑟′𝑟𝑠𝑒𝑛(𝜃) cos(𝜃) + 𝑟2 cos2 𝜃 𝑑𝜃

Simplificando la ecuación y colocándola en su forma integral queda:

𝑙 = ∫ (√(𝑑𝑟

𝑑𝜃)

2

+ 𝑟2)𝜃2

𝜃1

𝑑𝜃

Ejemplo:

Calcular la longitud del arco formado por la siguiente expresión:

𝑟 = 3cos (𝜃)

La ecuación representa un círculo y su periodo se completa en pi radianes. Al derivar la funión y

reemplazarla en la fórmula incluidos los límites queda:

𝑙 = ∫ (9𝑠𝑒𝑛2(𝜃) + 9 cos2(𝜃))𝑑𝜃𝜋

0

𝑙 = 9 ∫ 𝑑𝜃𝜋

0

𝑙 = 9𝜋. 𝑈𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠.

ÁREAS DE SUPERFICIES DE REVOLUCIÓN.

Al hacer girar la figura 21 en torno al eje polar queda la forma mostrada a continuación:

33


Figura 22: superficie en revolución de la figura 21

Para calcular el diferencial de superficie en azul se puede multiplicar al diferencial de longitud

establecido para la figura 21 por 2𝜋𝑦 siendo y el radio del cilindro que se forma debido al diferencial.

Tomando en cuenta que 𝑦 = 𝑟𝑠𝑒𝑛(𝜃) la fórmula para el diferencial de superficie es:

𝑑𝑠 = 2𝜋𝑟𝑠𝑒𝑛(𝜃) (√(𝑑𝑟

𝑑𝜃)

2

+ 𝑟2) 𝑑𝜃

Y de la forma integral:

𝑠 = 2𝜋 ∫ 𝑟𝑠𝑒𝑛(𝜃) (√(𝑑𝑟

𝑑𝜃)

2

+ 𝑟2) 𝑑𝜃𝜃2

𝜃1

ACTIVIDADES ADICIONALES.

PARAMETRIZACIÓN:

1 Para la siguiente curva, hallar ecuaciones paramétricas, de acuerdo al sentido de orientación que

se recorre la curva (arco de parábola).

34


Figura 23: Gráfica de actividad 6.a

2 Dibuje en WINPLOT las siguientes ecuaciones paramétricas en un mismo plano:

𝑥 = 0; 𝑦 = 𝑡 𝑝𝑎𝑟𝑎 − 3 ≤ 𝑡 ≤ 3.

𝑥 = 𝑡; 𝑦 = 𝑡 𝑝𝑎𝑟𝑎 2 ≤ 𝑡 ≤ 3.

𝑥 = 𝑡; 𝑦 = 𝑡 𝑝𝑎𝑟𝑎 − 3 ≤ 𝑡 ≤ −2.

𝑥 = 𝑡; 𝑦 = −𝑡 𝑝𝑎𝑟𝑎 2 ≤ 𝑡 ≤ 3.

𝑥 = 𝑡; 𝑦 = −𝑡 𝑝𝑎𝑟𝑎 − 3 ≤ 𝑡 ≤ −2.

𝑥 = 𝑡; 𝑦 = 0 𝑝𝑎𝑟𝑎 2,5 ≤ 𝑡 ≤ 4.

𝑥 = 𝑡; 𝑦 = 0 𝑝𝑎𝑟𝑎 − 4 ≤ 𝑡 ≤ −2,5.

𝑥 = 𝑡𝑎𝑛(𝑡) − 1.5; 𝑦 = −(𝑠𝑒𝑐(𝑡))2

+ 7 𝑝𝑎𝑟𝑎 − 1 ≤ 𝑡 ≤ 0,8.

𝑥 = 𝑡𝑎𝑛(𝑡) + 1.5; 𝑦 = −(𝑠𝑒𝑐(𝑡))2

+ 7 𝑝𝑎𝑟𝑎 − 0,8 ≤ 𝑡 ≤ 1.

𝑥 = 0.5𝑐𝑜𝑠(𝑡) + 1; 𝑦 = 0.6𝑠𝑖𝑛(𝑡) + 1 𝑝𝑎𝑟𝑎 0 ≤ 𝑡 ≤ 2𝜋.

𝑥 = 0.5𝑐𝑜𝑠(𝑡) + 1; 𝑦 = 0.6𝑠𝑖𝑛(𝑡) − 1 𝑝𝑎𝑟𝑎 0 ≤ 𝑡 ≤ 2𝜋.

𝑥 = 0.5𝑐𝑜𝑠(𝑡) − 1; 𝑦 = 0.6𝑠𝑖𝑛(𝑡) 𝑝𝑎𝑟𝑎 0 ≤ 𝑡 ≤ 2𝜋.

𝑥 = 𝑐𝑜𝑠(𝑡); 𝑦 = 𝑠𝑖𝑛(𝑡) + 4 𝑝𝑎𝑟𝑎 0 ≤ 𝑡 ≤ 2𝜋.

𝑥 = 2.5𝑐𝑜𝑠(𝑡); 𝑦 = 3𝑠𝑖𝑛(𝑡) 𝑝𝑎𝑟𝑎 0 ≤ 𝑡 ≤ 2𝜋.

3 Parametrizar la siguiente figura, luego verificar la gráfica realizando en wimplot o geogebra.

35


Figura 24: Gráfica de actividad 6.b

COORDENADAS POLARES

4 Encuentre la ecuación cartesiana de la curva descrita por la ecuación polar dada:

a) r sen(Ɵ) = 2 b) 𝑟2 = 2𝑠𝑒𝑛(2𝜃) c) 𝑟 =1

1−𝑐𝑜𝑠(𝜃)

5 Encuentre la ecuación polar de la curva descrita:

𝑦 = 5

𝑥2 + 𝑦2 = 25

𝑥2 = 4𝑦

AREA EN COORDENADAS POLARES

6 Graficar y hallar el área de la región encerrada por 𝑟 = 4𝑠𝑒𝑛(3𝜃)

7 Hallar el área limitada por la curva 𝑟 = 𝑎𝑐𝑜𝑠(3𝜃)

8 La luz del reflector se proyecta en forma de un caracol como es que se muestra en la figura.

36


a) Determine la ecuación del caracol.

b) Determine el área alumbrada por el reflector.

9 Para el piso de una estancia se pretende hacer con cerámica un adorno en cerámica como el que

se muestra en la figura. Las flores son realizadas con ecuaciones de la forma a*sen(bθ) y

a*cos(bθ).

a) Identifique las ecuaciones de cada flor y del círculo.

b) Calcule el total de cerámica azul, amarilla y roja que se requiere.

37


10 Determinar el área de la región exterior a 𝑟 = 2 + 𝑠𝑒𝑛(Ɵ) e interior a 𝑟 = 4𝑠𝑒𝑛(𝜃)

11 Determine el área de la región interior de 𝑟 = 3 + 3𝑐𝑜𝑠(𝜃) y exterior a la cardioide 𝑟 =

4𝑠𝑒𝑛(3𝜃) en el primer cuadrante.

LONGUITUD DE ARCO

12 Dada la función 𝑟 = Ɵ + 𝑠𝑒𝑛(Ɵ), para 0 ≤ Ɵ ≤ 2π, graficar y calcular la longitud de arco en el

intervalo indicado.

13 Encuentre la longitud de arco (plantear en forma paramétrica) de dos arcadas completas de una

cicloide cuyas ecuaciones paramétricas son (graficar la curva):

x = 2(t – sen(t)) ; y = 2(1 – cos(t))

14 Encontrar el perímetro de la región del ejercicio AC8 y AC9

SUPERFICIE DE REVOLUCIÓN

15 Determine el área de la superficie obtenida al hacer girar la curva respecto al eje x.

a) y = x3, 0 ≤ x ≤2

38


b) 𝑥 =1

3(𝑦2 + 2)

3

2 1 ≤ y ≤2

16 Determine el área de la superficie obtenida al hacer girar la curva respecto al eje y.

𝑥 = √𝑎2 − 𝑦2 ¸ 1 ≤ y ≤a/2

17 Encuentre el área de la superficie generada al rotar la curva dada alrededor del eje y.

𝑦 = √4 − 𝑥2 ; −1 ≤ 𝑥 ≤ 1

R: 6.73430 u2

18 El cuerno de Gabriel o llamado también trompeta de Gabriel se obtiene al hacer girar la función

𝑓(𝑥) =1

𝑥 ; 𝑥 ≥ 1 alrededor del eje x. Diga cual es el área de la superficie que tiene dicha

trompeta.

19 Encuentre el área de la superficie generada al rotar la curva 𝑥 = 𝑒𝑡𝑠𝑒𝑛 𝑡, 𝑦 = 𝑒𝑡𝑐𝑜𝑠2 𝑡; 𝜋 ≤

𝑡 ≤ 2𝜋 alrededor del eje x

EJERCICIOS Y PROBLEMAS DE REFUERZO

SECCIÓN PÁGINA EJERCICIOS

10.2 637 38, 39, 53

10.4 654 47, 49

10.2 638 62,64,66

1. OBSERVACIONES ESPECIALES

Revise los conceptos vistos en clase, que están relacionados con esta guía.

Desarrollar todos los ejercicios propuestos en esta guía y los recomendados por el

docente.

Utilice software matemático para ayuda con las gráficas de algunos ejercicios.

Ante cualquier duda, pregunte a su profesor.

guÍa 5 curvas planas

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