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CURVAS PLANAS DEFINIDAS POR

ECUACIONES PARAMÉTRICAS

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Curvas planas y ecuaciones paramétricas

• Hasta ahora hemos representado cada gráfica por una ecuación en dos variables.

• y = f(x)• En esta sección estudiaremos

situaciones en las que se usan tres variables para representar una curva en el plano.

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Ejemplo 1Trace e identifique la curva definida por las ecuaciones paramétricas

Primero construimos una tabla como la siguiente:

1 22 tyttx

6

7

8

9

Ejemplo 2¿Qué curva representan las ecuaciones

En el intervalo

sentytx cos

20 t

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Eliminamos t:

Así la relación es:

Cuando t aumenta de 0 a 2π, el punto (x,y) describe un círculo, en sentido anti horario, comenzando desde (1,0).

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ACTIVIDAD

• Grafique la curvas

3225

1

tty

tx

13

ACTIVIDADGrafique la curva paramétrica dada por:

22 31 tytx

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ACTIVIDAD

Graficar la curva dada por tytx 1 2

122 yyx

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ACTIVIDAD

Graficar la curva dada por .ttytx 0

2xy

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CÁLCULO CON ECUACIONES PARAMÉTRICAS

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Derivadas de funciones paramétricas

• La primera derivada

• La segunda derivadadtdxdtdy

dxdy

dtdxdxdy

dtd

dxdy

dxd

dxyd

2

2

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Ejemplo 3• Hallar la primera y segunda derivadas de

tcosysentx

tsectcostsec

dtdxdxdy

dtd

dxyd 322

2

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ACTIVIDAD

Hallar la segunda derivada para 32 ttyttx

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Ejemplo 4: Pendiente y concavidadHallar la pendiente y la concavidad en el punto (2,3) para la curva dada por:

441 , 2 tytx

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• En (x,y) = (2,3), se tiene que t = 4. La pendiente es:

• Y cuando t = 4, la segunda derivada es:

• Por lo que la curva es cóncava hacia arriba.

84 23 dxdy

01243422

tdxyd

23

La ecuación de la recta pendiente es:

1381683283

xyxyxy

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Ejemplo 5Una curva C está definida por

(a) Demuestre que la curva tiene dos tangentes en el punto (3,0) y halle sus ecuaciones.Solución: Como y = 0:

Esto significa que la curva se cruza a sí misma en el punto (3,0) en donde t toma dos valores.

ttytx 3 32

330 23 ttttty

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Entonces la pendiente de la tangente en (3,0) cuando t ± √3 es:

Por lo que las ecuaciones de las tangentes son

3233

32

tdxdy

tt

dxdy

33

33

xy

xy

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(b) Halle los puntos donde las tangentes son horizontales o verticales.Solución: C tiene una tangente horizontal cuando dy/dx =0, es decir que dy/dt = 0 y dx/dt ≠ 0. Como

Esto corresponde a (1,−2) y (1,2). (c) Analice la concavidad de la curva C.Solución: Como

.ttdtdy 133 2

3

22

2

413

tt

dxyd

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La curva es cóncava hacia arriba cuando t > 0 y cóncava hacia abajo cuando t < 0.(d) Dibuje la curva

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Ejemplo 6: área entre curvasHalle la superficie encerrada por el astroide.

Solución:Primero graficamos

20 33 ttsenytcosx

30

Considerando franjas verticales y tomando en cuenta la simetría de la figura:

1

04 ydxA

31

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ACTIVIDAD

Obtenga el área encerrada por

20 tbsentytcosax

abA

33

LONGITUD DE ARCO

dtdtdy

dtdxdx

dxdys

b

a

b

a

2221

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ACTIVIDADPara la curva dada halle su longitud.

tsenteytcosex tt 0

2222senttcosesenttcose

dtdy

dtdx tt

sentetcosedtdysentetcose

dtdx tttt

35

122200

2

edtedteL tt

tt etsentcose 2222 222

tcostsentcostsene

tsentsentcostcoset

t

222

222

22