Definiciones

Una curva plana es un conjunto C de pares ordenados de la forma (f(t),g(t)), donde f y g son funciones continuas en un intervalo I.

C

a b

I

(f(a),g(a))

(f(b),g(b))

x

y

Definiciones

Definición:

Sea C Una curva que consiste en todos los pares ordenados (f(t),g(t)), donde f y g son funciones continuas en un intervalo I. Las ecuaciones g(t) y),t(fx

Para t en I, se denominan ecuaciones paramétricas de C con parámetro t

Veamos algnos ejemplos que puedan ilustrar estas definiciones

Círculo

P(x,y)

0,2 aseny

cosax:C

)asen,cosa()y,x(

222 ayx

ay

x

Ejemplo: Hallar las ecuaciones parámetrica del círculo de radio a

Elipse

Calculemos ahora las ecuaciones paramétricas de la elipse

1a

y

b

x2

2

2

2

Solución:

De la gráfica tenemos que cosbONx

asenMQNPy

Elipse

P(x,y)

a

bO M N

Q

1. La Cicloide

Fije un punto P sobre la circunferencia

de un círculo y déjelo rodar, sin

resbalar, a través de una recta.

Suponga que P está en el origen

cuando el centro C está sobre el eje Y.

La trayectoria descrita por el punto P

se denomina Cicloide.

La CicloideLa Cicloide

r

cicloide...cicloide...

Veamos ahora la curva de manera continua

C

NP(x, y)

r

cicloide...cicloide...

Calculemos las ecuaciones paramétricas de la curva

O L A

cicloide...cicloide...De la gráfica se tiene que

LAOAOLx Pero,

θrarcPCAOA

Por otra parte θrsenPNLA

Así, θθ rsenrx

De una manera análoga, NCACLPy Pero, , rAC

rcosθ NC

Por lo tanto,

rcosry

2. Epicicloide.

Si un punto P es fijo sobre una circunferencia y

esta circunferencia está rodando, sin resbalar,

sobre otra circunferencia, la trayectoria

descrita por el punto P se denomina

Epicicloide

La Epicicloide

OX

Y

Epicicloide...

Pasemos ahora a calcular sus ecuaciones.

Epicicloide...C

R

Cr

N

L MO

N

r

X

Y

Note que = - -

P(x, y)A

D

Epicicloide...

De la figura : LMOLOMx

Pero, θ,r)cos(ROL y además

φrcos φrcosrcosNPLM θθπβ

esto implica que

φθθ rcoscosRrx

Por otra parte, el arco AD = arco AP,

por lo tanto arco AD = R, arco AP =r . Así,

R = r, lo que equivale a r

Rθφ

Sustituyendo esto en x, resulta

Epicicloide...

rRθ

θrcoscosθRrx

Análogamente, NCLCMPy , pero

r)senθ(RLC

φθ rsenφθπrsenrsenβNC de esta manera obtenemos:

rRθ

θ rsensenθRry

3. La Involuta.

Considere una cuerda enrollada en la

circunferencia de un círculo. Supóngase que

el extremo final de la cuerda está en el

punto L, como lo muestra la figura. Sujete

este extremo de la cuerda u manténgalo

tenso (tangente a la circunferencia) el punto

final de la cuerda traza una curva llamada

Involuta de círculo.

La Involuta

OX

Y

Involuta...

Involuta...Veamos ahora cual es la gráfica de manera continua, para luego calcular las ecuaciones de la curva.

Q

E L B

P(x,y)

R

A

O X

Y

Involuta...De la figura tenemos que EBOEOBx

como RcosθOE θsenAPEB QP y,, Además RθarcoALAP

Así,θθθ senRRcosx

Vamos a calcular la ecuación de y,

cosθAP -RsenθQAEAEQy

sustituyendo el valor de AP , tenemos

θθθ cosRRsenY

4. La Bruja o curva de Agnesi.

Dada la circunferencia , y su recta tangente y

= 2a, se obtiene un punto P de la siguiente

manera: Se elige un punto B de la

circunferencia y se prolonga la cuerda OB

hasta cortar a la recta y = 2a en el punto A.

Tomemos el punto que tiene la abscisa de A y

la ordenada de B. El conjunto de todos estos

puntos se denomina Bruja o curva de Agnesi.

La Bruja

La Bruja...

(0,a)

a

O

(0,a)

a

O L D

P(x,y)

C A

B

La Bruja...

La Bruja...

Calculemos las ecuaciones de la curva

Por la gráfica podemos deducir que

2ATagθCAODx

Por otra parte, como 2acosθOB

entonces

θθ 22acoscosOBLBDPy