14.3ecuaciones paramÉtricas, curvas planas y graficas polares

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70 http://www.damasorojas.com.ve/ Dr. DÁMASO ROJAS

INSTITUTO UNIVERSITARIO DE TECNOLOGÍA

JOSÉ ANTONIO ANZOÁTEGUI INGENIERÍA PROCESOS QUÍMICOS

ECUACIONES PARAMÉTRICAS, CURVAS PLANAS Y GRAFICAS POLARES.

Suponga que una partícula se mueve en un plano de modo que las coordenadas (x, y), de su posición en cualquier tiempo t. están dadas por las ecuaciones:

( ); ( )x f t y g t= = Entonces, para cada número t del dominio común de f y g la partícula se encuentra en el punto ( ( ), ( ))f t g t y estos puntos describen una curva plana C recorrida por la partícula. Las ecuaciones dadas se denominan ecuaciones paramétricas de C y la variable t se llama parámetro. Si se elimina el parámetro t del par de ecuaciones dadas, se obtiene una ecuación en ( , )x y , denominada ecuación cartesiana de C. La eliminación del parámetro puede conducir a una ecuación cartesiana cuya gráfica contiene más puntos que la gráfica definida por las ecuaciones paramétricas. Ejemplo: Obtenga una ecuación cartesiana de la gráfica de las ecuaciones paramétricas

[ ]2cos( ); 2 ( ); 0, 2x t y sen t π= = 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

4cos ( ); 4 ( )4cos ( ) 4 ( ) 4(cos ( ) ( )) 4

x t y sen tx y t sen t x y t sen t x y

= =

+ = + ⇒ + = + ⇒ + =

La gráfica de esta ecuación es una circunferencia con centro en el origen y radio 2. Nota: Si se permite que t tome todos los valores del intervalo cerrado [ ]0, 2π , se obtiene la circunferencia completa iniciando en el punto (2, O) y se recorre en el sentido contrario al giro de las manecillas del reloj, Si bien el parámetro de un par de ecuaciones paramétricas representa regularmente el tiempo, esto no siempre es así, el parámetro t puede representar la medida en radianes del ángulo medido a partir del semieje x positivo hasta el segmento de recta que une el origen con el punto ( , )x y de la circunferencia. CIRCUNFERENCIA CON CENTRO EN EL ORIGEN Y RADIO R > 0. Obviamente un punto (x, y) del plano está en la circunferencia si, y sólo si, su distancia al centro de la misma (que por lo que se ha dicho es el origen) es r, es decir los puntos

de la circunferencia son aquellos que cumplen 2 2 2x y r+ = Resulta imposible obtener y, como una sola función de x, ya que al despejar y de la

ecuación anterior se obtiene 2 2y r x= − y si se elige el signo + en la raíz cuadrada se obtiene la parte superior de la circunferencia, mientras que si se elige el signo − se obtiene la inferior.

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Sin embargo es posible describir la posición de un punto de la circunferencia de otra manera muy natural. Dado un punto cualquiera sobre la circunferencia, se traza el segmento que lo une al centro de la misma. Se tiene que este segmento forma con el eje de abscisas un ángulo que mide t radianes y las coordenadas del punto son ( cos( ), ( ))r t rsen t . Obviamente si se hace variar t en el intervalo[0, 2 ]π se obtienen todos los puntos de la circunferencia. Las ecuaciones paramétricas de la circunferencia son, por tanto ( ) cos( ); ( ) ( ) [0,2 ]x t r t y t rsen t dondet π= = ∈ RECTA La ecuación paramétrica de la recta que pasa por el punto (a, b) y tiene dirección

1 2,V v v= es 1 2; :x a v t y b v t donde t R= + = + ∈ , por tanto la ecuación de la recta

que pasa por los puntos (a, b) y (c, d) es ( ) ; ( ) :x a c a t y b d b t donde t R= + − = + − ∈ CIRCUNFERENCIA CON CENTRO EN UN PUNTO CUALQUIERA Y RADIO R La ecuación paramétrica de la circunferencia con centro en el punto (a, b) y radio r se obtiene desplazando la circunferencia con centro en el origen

( ) cos( ); ( ) ( ) [0,2 ]x t a r t y t b rsen t dondet π= + = + ∈ ELIPSE La ecuación paramétrica de una elipse de semiejes coincidiendo con los ejes y longitudes a, b, con centro en el origen es ( ) cos( ); ( ) ( ) [0,2 ]x t a t y t bsen t dondet π= = ∈ y con centro diferente del origen (c , d)es: ( ) cos( ); ( ) ( ) [0,2 ]x t c a t y t d bsen t dondet π= + = + ∈ HIPÉRBOLA Las ecuaciones paramétricas de la hipérbola son

( ) cosh( ); ( ) ( )x t a t y t bsenh t dondet R= = ∈ CICLOIDE Si una circunferencia de radio r gira sin deslizar sobre una recta, entonces uno cualquiera de sus puntos recorre una curva llamada cicloide. Para hallar las ecuaciones paramétricas de la cicloide supóngase que la recta es el eje de las abscisas, que el punto de la circunferencia elegido es el que al iniciarse el movimiento se encuentra sobre la recta, y elíjase dicho punto como origen del sistema de coordenadas.

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Unos instantes después la circunferencia ha avanzado estando apoyada sobre el punto D de la recta (ver figura).

Si el punto que se considera se encuentra en A, la distancia recorrida por la

circunferencia, que es el segmentoOD tiene la misma longitud que el arco de la

circunferencia AD . La longitud de dicho arco se puede parametrizar fácilmente en función del ángulo t que forman el radio que une el centro de la circunferencia con el punto que describe la cicloide con el radio que va a la recta.

La longitud del arco es rt . Sea B el punto sobre el radio que une el centro de la

circunferencia C con D que está a la misma altura que A. Entonces la distancia de A a B

es ( )rsen t y la distancia de C a B es cos( )r t .

La coordenada x del punto A es la longitud OD menos la longitud AB , ambas

conocidas e iguales respectivamente a rt y ( )rsen t .

La coordenada y es el radio de la circunferencia menos la distancia CB , también

conocida en función del parámetro t.

Por tanto las ecuaciones paramétricas son:

( ) ( ( )); ( ) (1 cos( )) [0,2 ]x t r t sen t y t r t donde t kπ= − = − ∈ Donde k es el número de

vueltas que da la circunferencia.

CURVA PLANA LISA

Una curva plana C definida por las ecuaciones paramétricas

( ); ( )x f t y g t a t b= = ≤ ≤ se dice que es Lisa (o suave) en el intervalo cerrado [a. b]

si f' y g' son continuas en [a, b], y f '(t) y g'(t) no son cero simultáneamente en cada

número del intervalo abierto (a, b).

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Suponga que una curva lisa C está definida paramétricamente por ( ); ( )x f t y g t= =

Entonces la derivada de cada función h, denotada por: ; : 0

dydy dxdt dondedxdx dt

dt

= ≠

Esta ecuación expresa la derivada de y con respecto a x en términos del parámetro t

para toda función diferenciable h, tal que y = h(x).

Como: 2 2 2

2 2 2

( )( )( )

d yd y d dy d y d y d y dt

dxdx dx dx dx dx dxdt

′′

= ⇒ = ⇒ =

PENDIENTE DE LA RECTA TANGENTE

La pendiente de la recta tangente en un punto de la curva C definida por las

ecuaciones paramétricas ( ); ( )x f t y g t= = es:

dydy dt

dxdxdt

=

RECTA TANGENTE HORIZONTAL

La gráfica tiene una recta tangente horizontal en un punto donde 0dydt

= y 0dxdt

≠

RECTA TANGENTE VERTICAL

La gráfica tiene una recta tangente vertical en un punto donde 0dxdt

= y 0dydt

≠

Nota: una curva que tiene las ecuaciones paramétricas

( ); ( ) :x f t y g t donde a t b= = ≤ ≤ La pendiente de la curva de la figura en un punto

particular está determinada por: ( )( )

dy f tdx g t

′=

′y la pendiente del segmento de recta que

pasa por los puntos ( ( ), ( )) ( ( ), ( ))A g a f a y B g b f b está dada por( ) ( )( ) ( )

f b f ag b g a

−−

En los ejercicios 1 a 10, dibuje la grafica de las ecuaciones paramétricas y obtenga una ecuación cartesiana de la grafica

[ ]1. 4cos , 4 ; 0,2x t y sen t t π= = ∈

[ ]4cos , 4 ; 0,2x t y sin t t π= = ∈ 2 2 2 216cos 16sin 16x y t t→ + = + =

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[ ]2. 4cos , 4 ; 0,x t y sen t t π= = ∈

[ ]4cos , 4sin , 0x t y t t π= = ∈ 2 2 2 216cos 16sin 16, 0x y t t y→ + = + = ≥

1 13. 4cos , 4s n , ,2 2

x t y e t t π π⎡ ⎤= = ∈ −⎢ ⎥⎣ ⎦

1 14cos , 4sin , ,2 2

x t y t t π π⎡ ⎤= = ∈ −⎢ ⎥⎣ ⎦ 2 2 2 216cos 16sin 16, 0x y t t x→ + = + = ≥

[ ]4. 9cos , 4 , 0,2x t y sen t t π= = ∈

[ ]9cos , 4 , 0,2x t y sin t t π= = ∈ 2 2

2 22 2 cos sin

9 4x y t t t→ + = + =

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[ ]5. 4cos , 25 , 0,2x t y sen t t π= = ∈

[ ]4cos , 25 , 0,2x t y sin t t π= = ∈ 14 tan , 9sec , 0 ,2

x t y t t π π π3→ = = ∈[ ) [ )2

∪

1 16. 4cos , 25 , ,2 2

x t y sen t t π π⎡ ⎤= = ∈ −⎢ ⎥⎣ ⎦

1 14cos , 25 , ,2 2

x t y sin t t π π⎡ ⎤= = ∈ −⎢ ⎥⎣ ⎦

2 22 2

2 cos sin 1, 04 25x y t t→ + = + = =≥

1 17. 4sec , 9 , ,2 2

x t y sin t t π π⎛ ⎞= = ∈ −⎜ ⎟⎝ ⎠

2 1 14sec , 9sec ; 0 ,2 2

x t y t t π π⎡ ⎤= = ∈ ⎢ ⎥⎣ ⎦

2 22 2

2 2 sec tan 1, 04 9x y t t x→ + = − = >

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18. 4 tan , 9sec , 0 ,2

x t y t t π π π3= = ∈[ ) [ )2

∪

14 tan , 9sec , 0 ,2

x t y t t π π π3= = ∈[ ) [ )2

∪ 2 2

2 22 2 sec tan 1, 0

9 4y x t t x→ + = − = >

9. 3 2 , 4 1x t y= − = +

( ) ( )3 2 , 4 2 3 2 8 2 11x t y t x y t t= − = + → + = − + + =

10. 2 5, 1x t y t= − = +

( ) ( )2 5, 1 2 2 5 2 2 7x t y t x y t t= − = + → − = − − + = −

En los ejercicios 11 a 16, calcule 2

2

dy d yydx dx

sin eliminar el parámetro.

211. 3 , 2x t y t= =

2

2

44 4 43;3 3 3 9

dy dydy t d ydt dttdx dxdx dx

dt dt

′

= = = = = =

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212. 1 , 1x t y t= − = +

( )2

22

2 3

12 ; 12

1' 3 12'

2 2 4

dydx dy dx dtt dxdt dt dt t

dt

td ydy d yy tdx dt dx t x

−

−

= − = ⇒ = = −

= ⇒ = ⇒ = = −−

213. , lntx t e y t t= =

( )

( ) ( ) ( ) ( )

( )( ) ( )( )

( )

22 2 2 2

32 3 2

ln 12

2 ln 1 2 22 ln 1 4 2(2 )

2 2

t

t t t t

t

t t

dydy tdt

dxdx te tdt

e t t e t te t tedyt t t td y t e tdt

dxdx te t t e tdt

+= =

+

⎡ ⎤+ − + + + + +′ ⎣ ⎦+ − + + ++= = =

+ +

214. , 1 costx e y t= = +

22

12 2

tt

dydy sentdt e sentdxdx e

dt

−−= = = −

2 22

42 2

1 cos 1 12 cos2 2 4

t t

tt

e sent e td y sent t edx e

− −

−− ⎛ ⎞= = −⎜ ⎟

⎝ ⎠

15. cos ,x a t y b sen t= =

22

32 2

' csccos csc

dy dy b tdy b t b d y bdt dt actg t tdx dxdx a sent a dx a sent adt dt

= = = − ⇒ = = = −− −

16. cosh ,x a t y b senh t= =

( )2

22 3

2 2

cosh( ); cosh h

csc'' csc csc

dx dy dy b t ba senht b t ctg tdt dt dx a senht a

b h td y b d y bay h t h tdt a dx a senh t a

= = ⇒ = =

−= = − ⇒ = =−

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En los ejercicios 17 a 21, para las graficas de las ecuaciones paramétricas (a) obtenga las rectas tangentes horizontales y verticales y (b) determine la concavidad (c) dibuje la gráfica.

2 217. 4 4 , 1 4x t t y t= − = −

2

8 4; 8 .

10 8 4 0 , : 4 02

: 4 4 1 1 . .

0 8 0 0, : 4 0

dx dyt tdt dtdx dy dyt t sustituir esevalor endt dt dtahora sustituir enla ecuación x t t x x Ec dela recta tg verticaldy dx dxt t sustituir esevalor endt dt dtahora sustit

= − = −

= ⇒ − = ⇒ = ⇒ = − ≠

= − = − = −

= ⇒ − = ⇒ = ⇒ = − ≠

( )

2

22 2

32 2

: 1 4 1 . .32

8 48 18 4 8 4 116

21 12 2

uir enla ecuación y t y Ec dela recta tg horizontal

dytdy d y d ydt

dxdx t dx t dxtdt

La gráfica es concava hacia arriba cuando t y hacia abajo cuando t

= − ⇒ = −

−−= = ⇒ = ⇒ =

− − ⎛ ⎞−⎜ ⎟⎝ ⎠

< >

2 218. ,x t t y t t= + = −

( )22 2 2

32 2 2

2 1; 2 1.

1 10 2 1 0 2 0; . .2 41 10 2 1 0 2 0; . . .2 4

4 12 12 1 2 0

2 1 2 1 12

dx dyt tdt dtdy dxt t y Ec dela recta tg horizontaldt dtdx dyt t x Ec dela recta tg verticaldt dt

tdy t d y d y d ysi tdx t dt t dt dt

t

= + = −

= ⇒ − = ⇒ = ⇒ = ≠ =−

= ⇒ + = ⇒ = ⇒ = − ≠ = −

+−= ⇒ = ⇒ = = ⇒

+ + ⎛ ⎞+⎜ ⎟⎝ ⎠

1 ;2

1 12 2

La gráfica es concava hacia abajo si t y concava hacia arriba si t

= −

< − > −

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3 219. 2 , 4x t y t= =

( )3 2 2

2

2 22

2 2 2 4

2 , 4 6 ; 8

8 4 0 0 0 .6 3

423 ;

6 9

dx dyx t y t semicúbica parábola t tdt dt

dydy t dydt si t x Ec dela recta tg verticaldxdx t t dx

dt

d y d yt la gráfica es siempreconcava hacia abajodt t dt t

= = ⇒ = =

= = = ⇒ = ⇒ = ⇒ =

−

= ⇒= = −

2 320. 2 , 3x t y t= =

( )

22

2 2 2

2 2 2

9 94 ; 94 4

0 4 0 0, 0; 0 . .

9' 9 94' ; 0 0

4 4 160 0

dydx dy dy tdtt t tdxdt dt dx t

dtdx dyt t y Ec dela recta tg horizontaldt dt

d y d y d y d yy si tdt dx t dx t dx

La gráfica es concava hacia abajo si t concava hacia arriba si t

= = ⇒ = = =

= ⇒ = ⇒ = ⇒ = =

= = ⇒ = ⇒ = = ⇒ =

< >

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2

3 3

3 321. , ; 11 1

t tx y tt t

= = ≠−+ +

( )( )

( )( )

( )( )

3 32

2 23 3 3 3

3 23

2 33

23 23

3

3 1 2 3 23 3, ; 1 ,1 1 1 1

3 2 30 0 0; 2 0 3 0 : 011

9 32 0 : 2 .25 1

t t tt t dx dyx y tt t dt dtt t

t tdy dx tt t Cuando t susten y ydt dt tt

dx tcuando t susten y y estassonlasrectastg horizontalesdt t

− −= = ≠− ⇒ = =

+ + + +

−= ⇒ = ⇒ = = = ⇒ = ≠ = ⇒ =

++

= ⇒ =− ≠ = ⇒ =+

( )( )

( )

33 32 2

2 333

3

3

3 1 2 1 30 0 2 0, : 2 . e .121

: , 0, 0

2. 0 . (0,0)

1 2

tdx dy tt susten x x ec r ctatg verticaldt dt tt

Como t x y ytambiéndy

t tdy dt x esunarectatg vertical sianexamosalacurvael puntodxdx tdt

−= ⇒ = ⇒ = ⇒ = ≠ = ⇒ =

++

→±∞ → →

−= = ±∞ ⇒ =

−

( ) ( )( )

( )( )

( )( )

( )( )

( )( )

2 2 2 43 3 3 32 2

2 2 32 233 3 3

432

32 33

3 3

2 1 2 1 1 2 1'.3 1 22 1 2 1 3 2 1

2 1 10 0 1;23 2 1

1 11 1 ;2 2

1 0

t t t td y d y d ydt dx dxtt t t

td y t tdx t

La gráficaes concavahaciaarribaen t y t concavahaciaabajo t

Larecta x y esunaasínto

+ + + += ⇒ = ⇒ = −

−− − −

+= ⇒− = ⇒ = − =

−

< − − < < >

+ + =

( ) ( ) ( )

( )( )( )

1 1

2

3 3 221 1 1

, 1 lim 1 lim 1

3 13 3 3lim 1 lim 1 lim 1 1 1 01 1 11 1

t t

t t t

taoblicuael punto x x sobrelarectaes y x y x

t tt t tt t t tt t t

→− →−

→− →− →−

− − − − − = + + =

⎡ ⎤+⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎢ ⎥+ + = + = + = − + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟+ + − ++ − + ⎝ ⎠⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎣ ⎦

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22. Un proyectil se desplaza de modo que las coordenadas de su posición en cualquier instante t están dadas por las ecuaciones paramétricas 260 80 16x t y y t t= = − . Dibuje la trayectoria de proyectil.

23. Obtenga una ecuación de la recta tangente en el punto de la curva definida por las

ecuaciones paramétricas 12 5 cos ,3

x sen t y y t para el cual t π= = = .

( ) 5 52 5 cos : tan2cos 2

dydy sen tdtx sin t y y t elipse tdxdx t

dt

−= = = = = −

( )

1 5 5: 2 3, , 3 . :3 3 2 2

5 5 3 3 2 5 5 3 15 5 3 2 202 2

dysi t x sen y la recta tg esdx

y x y x x y

ππ ⎛ ⎞= ⇒ = = = = − ⇒⎜ ⎟⎝ ⎠

− = − − ⇒ − = − + ⇒ + =

24. Obtenga una ecuación de la recta tangente en el punto de la curva definida por

las ecuaciones paramétricas 11 3 2 5cos ,6

x sen t y y t para el cual t π= + = − =

( ) 5 51 3 ; 2 5 cos tan .3 cos 3

1 1 5 3: 1 3 ; 2 56 2 2 2

35 5 3 35 32 3 29 9 93

2

dydy sentdtx sent y t elipse tdxdx t

dt

Cuando t x y

dy La recta tg es y xdx

π

= + = − ⇒ = = =

⎛ ⎞⎛ ⎞= ⇒ = + = = − ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎛ ⎞= = ⇒ = + −⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠

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25. calcule 2 3

2 3.dy d y d yydx dx dx

en el punto de la cicloide que tiene ecuaciones

( ); (1 cos )x a t sent y a t= − = − para el cual y alcanza su valor máximo cuando x esta en el intervalo cerrado [ ]0,2 aπ

[ ] [ ]

( ) ( )

( )( ) ( )

2

2 2

22 2

23

33 2

2

2

0, 2 0, 2 ;1 cos

111 cos .

1 cos 1 cos

21 cos 21 cos 1 cos

1: cos 1 0;4

dydy sentdtsi x a t dxdx t

dtdy

d y d ytdtdxdx a t dx a tdt

sentdya td y sentdt

dxdx a t a tdt

dy d yy tiene su máximovalor cuando t tdx dx a

π π

π

∈ ⇒ ∈ = =−

′−= = ⇒ =− −

′′−

= = =− −

= − ⇒ = ⇒ = = −2

; 0.d ydx

=

26. Demuestre que la pendiente de la recta tangente a la cicloide que tiene ecuaciones

( ); (1 cos )x a t sent y a t= − = −

en 1 11cot2

t t es t= .

( ) ( ) ( )

( )

11

; 1 cos 1 cos ;

1 cos 1 cos 2

.2

dx dyx a t sent y a t a t asentdt dt

dydy asent sent tdt ctgdxdx a t t

dttLa pendientedela recta tg en t t parala cicloidees ctg

= − = − ⇒ = − =

⎛ ⎞= = = = ⎜ ⎟− − ⎝ ⎠

⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠

27. las ecuaciones paramétricas para la trocoide son cosx at b sen t y y a b t= − = − , si 0a b> > , demuestre que la trocoide no tiene ninguna recta tangente vertical.

[ ]; cos , , . cos 1, 0

cos 0 .

x at bsent y a b t porque t si a bdx a b t a b la trocoide no tiene resta tg verticaldt

π π= − = − − ≤ > >

= − ≥ − > ⇒

28. Una hipocicloide es la curva descrita por un punto P de una circunferencia de radio b que rueda dentro una circunferencia fija de radio ,a a b> Si el origen está en el centro

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de la circunferencia fija, A(a, 0) es uno de los puntos en los que el punto P hace contacto con la circunferencia fija, B es el punto móvil de tangencia de las dos circunferencia, y el parámetro t es el numero de radianes del ángulo AOB, demuestre que las ecuaciones paramétricas de la hipocicloide son,

( ) ( )cos cos ;a b a bx a b t b t y a b sen t b sen tb b− −

= − + = − −

( )

( ) ( ) ( )

: , : .

, . :

cos cos cos cos

Debido a que la medida de la longitud de AB es igual a la medida de longitud BPa a bse tiene que at b t t t porotraparte OQ a bb b

Dado P x y vemosen la figuraquea bx OS RP x a b t b t x a b t b tb

y SQ QR y a

θ θ θ

θ

−= ⇒ = − = = −

=

−= + ⇒ = − + − ⇒ = − +

= − ⇒ = −( ) ( ) ( ) a bb sent bsen t y a b sent bsen tb

θ −− − ⇒ = − −

29. Trace en la gráfica la hipocicloide del ejercicio 28 si ( ) [ ] ( ) [ ]6 2 ; , ; 12 2; ,a a y b t b a y b tπ π π π= = ∈ − = = ∈ − ¿Cuántas cúspides tiene la hipocicloide en cada caso? a) hipocicloide de 3 cúspides

b) hipocicloide de 6 cúspides

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30.) Si 4a b= en el ejercicio 32, se tiene una hipocicloide de cuatro cúspides. (a) Demuestre que las ecuaciones paramétricas de esta curva son 3 3cos .x a t y y a sen t= = Trace en la gráfica la hipocicloide de cuatro cúspides si ( ) [ ]4 ,b a para t π π= ∈ −

( ) ( )( ) ( ) [ ]

3 3 3

3 3 3

4 3cos cos 3 3cos 4cos 3cos 4 cos cos

3 3 3 3 4 4 , ,

Si a b x b t t b t t t b t a t

y b sent sen t b sent sent sen t bsen t a sen t t π π

⎡ ⎤= ⇒ = + = + − = =⎣ ⎦⎡ ⎤= − = − − = = ∈ −⎣ ⎦

31) (a) A partir de las ecuaciones paramétricas del ejercicio 30, obtenga una ecuación cartesiana de la hipocicloide de cuatro cúspides. (b) Utilizando la ecuación del inicio (a) para dibujar la grafica de esta hipocicloide.

( )

3 3

2 2 2 2 2 22 2 2 23 3 3 3 3 3

2 2 23 3 3

2 2 23 3 3

: cos

cos cos

:

4 4

las ecuaciones son x a t and y asen t

x y a t a sen t a sen t t a

La ecuaciónbuscada es x y a

si a x y

= = ⇒

+ = + = + =

+ =

= ⇒ + =

DÁMASO ROJAS JUNIO 2011

14.3ecuaciones paramÉtricas, curvas planas y graficas polares

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