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DERIVADA DE UNA FUNCION VECTORIAL DE VARIABLE REAL
La derivada de una función Vectorial de Variable Real , tal que
, está definida por:
Siempre y cuando existe este limite.
Notación de la Derivada:
Teorema.-
Si es una función vectorial dad por: , entonces:
, siempre que , y existan.
INTERPRETACION GEOMETRICA DE LA DERIVADA
Consideremos las representaciones de los vectores , y como en la
grafica.
L a curva C es trazado por el punto final de la representación de posición de
cuando t toma todos los valores en .
Si el vector - lo multiplicamos por obtenemos un vector que tiene la
misma dirección y cuya longitud es por la magnitud del vector - ,
ahora cuando t 0, el vector se aproxima a un vector que tiene una
de sus representaciones tangente a la curva C en el punto P.
Interpretación Geométrica de la Derivada
Z
Y
X
2.19. DEFINICION:
La función vectorial , se dice que es diferenciable en e intervalo ; si
existe, t .
2.20. DEFINICION:
Sea , una función vectorial diferenciable; si es continua, entonces
se dice que es una curva de clase C’.
Ejemplo:
La función vectorial , tal que , no es de clase C’.
En efecto: se observa que es continua en todo R; no es derivable en t=0, porque
la función componente no es derivable en t=0, debido a que:
Además no es continua en t=0, porque no es continua
en t=0, por lo tanto no es de clase C’.
EN GENERAL:
)(' ttf
Si (derivada de orden p en ) es continua, entonces se dice que es de clase
.
Ejemplo:
Para todo n>0, la función vectorial , definida por:
es de clase .
2.21. PROPIEDADES DE LA DIFERENCIACIÓN
Consideremos dos funciones vectoriales y y R, entonces:
1)
2)
3)
4)
2.22. VECTOR VELOCIDAD, RECTA TANGENTE, VECTOR ACELERACIÓN Y RAPIDEZ
Sea una función vectorial diferenciable, al vector no nulo se
denomina vector velocidad (vector tangente) de la curva en el punto y es
denotado por .
Si el vector velocidad , cuando es diferente de cero, determina recta tangente a la
curva : en el punto , es decir:
0f t�������������� 0'f t
��������������
0: f t������������� �
tL
Así como vector velocidad se ha definido por , el vector aceleración se
define por: .
La rapidez de una partícula es definido como la magnitud del vector velocidad, es decir:
2.23 TEOREMA
Si es una funcin vectorial diferenciable en un intervalo I y es un vector
diferente de cero de magnitud constante y direccion variable t I, entonces y Dt
son ortogonales.
Demostración:
a t b : ( )C f t��������������
Dt
f��������������
( )f t��������������
Sea k (constante) la magnitud de , entonces . =k2 , luego diferenciado con
respecto a t se tiene:
entonces: .
Como
Ejemplo:
La función vectorial luego y como:
.
Como: . = 0entonces y es ortogonal.
OBSERVACION
Las derivadas de orden superior de las funciones vectoriales están definidas en función
con las derivadas de orden superior de las funciones reales, esto es:
Si es una función vectorial definida por:
Su primera derivada es:
La segunda derivada de es:
La tercera derivada de es:
Y así sucesivamente, hasta llegar a calcular la n-ésima derivada de dado por:
2.24 TEOREMA
Si es una función diferenciable en I y es una función diferenciable
sobre un intervalo que contiene a , entonces es diferenciable
sobre I y
Ejemplos
15.- Una partícula se mueve a lo largo de la ,
para t=2. Hallar la velocidad y la aceleración de la partícula.
Solución:
, para t=2 se tiene:
20.- Hallar la ecuación de la recta tangente de la curva en
el punto de intersección con la curva .
Solución:
Calculando el punto de intersección de las curvas.
Luego se tiene: , de donde
como
para además se tiene:
α
La ecuación de la recta tangente, esta dado por:
28.- Un muchacho lanza una pelota con una velocidad inicial de 60 p/seg. y un ángulo
de elevación de 60º hacia un muro de 50 pies de alto, que se encuentra a 30 pies de
distancia. Si la mano del muchacho se halla a 5 pies del suelo:
a) Hallar la función vectorial que describe la trayectoria de la pelota.
b) ¿Cae la pelota detrás del muro ó choca con él? Si choca, determinar el ángulo con que choca.
Solución:
Daros del problema:
d= 30 pies, y0 = h = 5 pies, g= 32p/seg.
x = (V0 cos60º)t x = 30t
y = y0 + v0 y1 +
y = h + v0sen60º - = 5 + 30 t – 16t2
d = 30
x= V0cosα
H
y = V0 senα
h
X
a) Por lo tanto la función vectorial es : Por lo tanto la función vectorial es :
b) Tenemos que : 30t = x pero para x0 = d = 30 t = ahora como y
=5 + 30 - 16t2 para t = , y = 5 + 90 – 48 = 47 pies.
Por lo tanto la pelota choca en el muro a 47 pies de altura, ahora para determinar el
ángulo de impacto.
Calculamos con es decir y
y como
.
30.-Consideremos las curvas C1 y C2 descritas por las ecuaciones siguientes:
y . Hallar las
ecuaciones de las rectas tangentes en cada punto de intersección de las curvas.
Solución:
Calculando los puntos de intersección de las curvas.
Sea es decir:
= , de donde
de (1) obtenemos:
reemplazando en (3):
para se tiene que satisface la ecuación (2).
En cambio no satisface la ecuación (2) por lo tanto se considera
obteniendo el punto P(ln 2, 2, 5) es decir que se tiene que ahora
calcularemos la ecuación de la recta tangente a la curva en P(ln 2, 2, 5).
Luego : de donde
como entonces:
Calculando la recta tangente a la curva
de donde
2.27. CURVAS REGULARES
Diremos que es una curva regular si es de clase C1 y , t
, en este caso t se llama parámetro regular.
Ejemplo1:
La función vectorial definida por es una curva
regular, puesto que
Ejemplo2:
Determinar los puntos en los cuales la función vectorial , no
es regular.
Solución
Como existe entonces es de clase C1, luego los puntos en
los cuales no es regular se obtiene de la ecuación de donde
de donde t=0 luego el punto no regular es:
.
2.28.CURVAS PARAMÉTRICAS
Se ha visto las curvas principalmente como graficas de ecuaciones, por ejemplo una
ecuación de la forma o de la forma determina una curva al dar una
de las variables coordenadas explícitamente como función de la otra, así mismo una
ecuación de la forma , o también puede determinar una curva, pero en este
caso cada variable está dad implícitamente como función de la otra, otro tipo importante
de curva es la trayectoria de un punto que se mueve en el plano coordenado.
El movimiento del punto puede indicarse dando su posición en el instante t.
Esta descripción implica que debemos expresar ambas variables x e y en coordenadas
rectangulares en función de una tercera variable, o parámetro t, de aquí la definición de
curva paramétrica.
A.- DEFINICION DE CURVA PARAMÉTRICA:
Una curva paramétrica en el plano, es un par de funciones que
expresa a x e y como funciones continuas del número real t (al parámetro) en algún
intervalo .
Cada valor del parámetro t determina un punto y el conjunto de todos los
puntos es la gráfica de la curva .
Las dos ecuaciones en (t) se denominan ecuaciones paramétricas de la curva que
denotaremos por:
OBSERVACIONES:
1. En la mayor parte de los casos, el intervalo donde la curva paramétrica está
definida es un intervalo cerrado siendo los extremos de la curva
. Ilustraremos las curvas que se dan.
Pa
Pb
Y
X
Curva simplepero no cerrada
Pa = Pb
Y
X
Cerrada pero
no simple
Y
X
Pa
Pb Ni cerradani simple
2. La gráfica de una curva paramétrica se puede graficar con suficientes puntos que
indiquen su forma probable. En algunos casos podemos eliminar el parámetro t,
y así obtener una ecuación en x e y, que nos puede dar más información acerca
de la forma de la gráfica.
Ejemplo: Determinar la gráfica de la curva
Solución
Y
X
Pa = Pb
Simple ycerrada
Haciendo la tabulación correspondiente:
t x y
0 1 0
0 1
-
-1 0
- -
0 -1
-
2 1 0
La gráfica es de círculo unitario
t
(cost, sent)
Podemos verificar la gráfica eliminando el parámetro t para obtener la ecuación
cartesiana de donde
Luego x2+y2=1 es él circulo unitario.
OBTENCION DE LA ECUACION CARTESIANA DE UNA CURVA A PARTIR DE SU REPRESENTACION PARAMETRICA
Dadas las ecuaciones paramétricas de una curva:
Se puede obtener una ecuación cartesiana F(x,y) = 0, con solo eliminar el parámetro t se
puede hacer por métodos algebraicos o por medio de algunas identidades
trigonométricas.
Ejemplo 1:
Hallar la ecuación cartesiana de la curva
Solución:
De las ecuaciones dadas podemos despejar cos θ y sen θ.
de donde
que es una circunferencia.
Ejemplo 2:
Hallar la ecuación cartesiana de la curva
Solución:
De la ecuación y=2t + c, despejamos t.
reemplazando en la ecuación
de donde , es la ecuación de una parábola.