matematica 51 - guia 3 limite

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Bienvenido a la serie de guas resueltas de Exapuni! Esta serie de guas resueltas fue

hecha por estudiantes de la comunidad Exapuni para facilitar el estudio y con la mejor

intencin de ayudar. Esperamos que te sean tiles. Pods buscar todo el material,

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Lmite de funciones y asntotas

Nos piden que calculemos el lmite de las funciones graficas cuando tiende a y a

. Hay que tener en cuenta que las lneas punteadas son asntotas. Sabiendo que

se aproxima a las asntotas pero nunca llega podemos resolver el ejercicio.

a)

Mientras ms grande es el valor de ms la imagen se aproxima al valor ( ).

Cuando tiende a el valor de la imagen es .

b)

Gua 3 Matemtica

2014

Ej. 1) Analizando el grfico


c)

Notar que no hay asntota cuando tiende a .

d)

e)

No hay asntotas.

f)

Tanto el seno como el coseno son funciones peridicas (los valores de la funcin se

repiten conforme se aade a la variable independiente un determinado perodo), las

mismas no tienen lmite en el infinito.

Vamos a ir resolviendo los ejercicios y explicando que pasa en cada caso particular,

cualquier duda podes consultar en la pgina.

a)

Infinito es un nmero extremadamente grande, si elevamos un nmero

extremadamente grande al cuadrado y lo multiplicamos por cuatro vamos a obtener un

Ej. 2) Calcular


nmero extremadamente grande. Esta es la razn del que el resultado sea . Hay

que tener en cuenta esta lgica que acabamos de plantear para resolver los ejercicios

de lmite.

b)

Pasa lo mismo que en el inciso anterior, la lgica es la misma.

c)

Es similar a los dos incisos anteriores, al elevar a la quinta el resultado es , al

multiplicarlo por un nmero negativo cambia el signo del nmero siendo el resultado

.

d)

En este ejercicio sucede algo diferente, al dividir un nmero por infinito obtenemos

como resultado el cero. Esto se debe a que mientras ms grande sea el nmero del

denominador de una fraccin ms nos aproximamos al valor . Podes probar esto

fcilmente con una calculadora.

e)

(

) (

)

f)

(

)

(

)

g)


(

)

( )

(

)

(

)

h)

(

)

i)

(

)

j)

(

)

( )

(

)

( )

(

)

(

)

k)

(

)

(

)

(

)

(

)

l)


(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

m)

(

)

(

(

)

(

) )

( (

)

(

) )

(

(

)

(

)

)

(

)

n)

(

)

(

(

)

( )

)

(

)

(

)

o)

(

) (

)

(

( )

)(

)


(

(

)

)

(

)

p)

(

)(

)

( (

)

(

))(

( )

)

((

)

( )

)(

( )

)

(

(

)

(

)

)

(

(

)

)

(

)(

)

a)

La lgica es la misma que en el punto anterior, hay que tener en cuenta que al elevar

a un nmero par se transforma en . No es el caso pero hay que tenerlo en

cuenta.

b)

c)

Ej. 3) Calcular


(

)

(

)

d)

(

)

(

)

e)

( )

(

)

(

)

(

)

f)

(

)

( )

(

)

(

)

g)

(

)

h)


(

)

(

)

(

)

i)

(

)

(

)

j)

(

)

(

( )

)

(

)

k)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

l)

(

)

(

)

(

)

(

)


(

)

(

)

Para determinar las asntotas horizontales de una funcin tenemos que hacer el lmite

de la funcin tendiendo a y a . Si alguno de los lmites da como resultado un

nmero ese nmero es una asntota horizontal. Ahora resolviendo los ejercicios se va a

entender mejor.

a)

Resolvamos primero con limite tendiendo a .

( )

(

)

El resultado es , por lo tanto existe un asntota horizontal en .

Veamos que pasa ahora cuando el lmite tiende a .

( )

(

)

Obtenemos el mismo resultado, entonces existe una sola asntota horizontal en

. Graficamos para que se entienda mejor:

Ej. 4) Analizar la existencia


Esta es una funcin homogrfica, vamos a verlas mejor a partir del ejercicio 11. En el

grafico se puede ver una asntota vertical (despus vamos a aprender cmo

encontrarlas) y adems se puede apreciar que la funcin se aproxima a pero

nunca llega. Por lo tanto es una asntota horizontal tanto cuando el lmite tiende

a como a y se corrobora lo que deducimos antes analticamente.

b)


(

)

( )

(

)

(

)

Por lo tanto hay una asntota horizontal en .

Veamos que pasa ahora cuando el lmite tiende a .

(

)

( )

(

)

(

)

Obtenemos el mismo resultado, entonces existe una sola asntota horizontal en

.

c)



(

)

(

)


(

)

(

)

Obtenemos el mismo resultado, entonces existe una sola asntota en .

d)

(

)

( )

(

)

Al dar como resultado sabemos que no existe asntota horizontal cuando .

(

)

( )

(

)

Al dar como resultado - sabemos que no existe asntota horizontal cuando .

e)

( )

(

)



( )

(

)

Obtenemos el mismo resultado, entonces existe una sola asntota horizontal en .

f)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)


(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)


g)

(

)

(

)

(

)

(

)


(

)

(

)


(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

Obtenemos el mismo resultado, entonces existe una sola asntota horizontal en .

h)


(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)



(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

Obtenemos el mismo resultado, entonces existe una sola asntota en .

a)

Resolvemos:

(

)

( )

(

)

(

)

b)

Ej. 5) Determinar el valor


(

)

(

)

(

)

(

)

c)

Es similar a los incisos anteriores pero expresado de otra forma, lo vamos a expresar

como en los incisos anteriores:

Lo resolvemos con ya que el lmite es igual tanto por izquierda como por

derecha.

( )

(

)

El ejercicio es similar al ejercicio 1.

Ej. 6) Dado el grfico de


a)

b)

No hay asntotas en la funcin (notar que en el grfico no se restringe ningn punto).

c)

En los limites anteriores no es claro si existe o no lmite. No hay lnea punteada

marcando asntota aunque la funcin parece comportarse como si hubiera asntota en

. Sin embargo como no hay informacin suficiente para concluir esto preferimos

poner que no existe (no te preocupes que no te van a tomar esto en el parcial)

Es igual a los casos anteriores, lo ponemos separado para hacer una aclaracin. Notar

que en este lmite no se aclara si es por izquierda o por derecha (falta el signo), por lo

tanto solo tiene sentido resolverlo si los limites por los laterales son los mismos.

d)


e)

f)

Tener en cuenta que cuando el resultado es o significa que hay asntota

vertical para el valor al que tiende el lmite.

a)

b)

Ej. 7) Calcular.


c)

(

) (

)

(

) (

)

d)

Si reemplazamos en el valor , obtenemos una indeterminacin del tipo

Tenemos que salvar la indeterminacin:

Por lo tanto no tiene asntota vertical en (Para que exista asntota vertical el

limite tiene que ser infinito)

e)

f)

g)

h)


Ahora en vez de las asntotas horizontales nos piden que calculemos las verticales,

para calcular este tipo de asntotas hay que analizar el dominio de la funcin y ver qu

valores no puede tomar. En esos valores que el dominio no puede tomar probablemente

estn las asntotas que buscamos. Vamos a resolver:

a)

El denominador no puede tomar el valor . Por lo tanto:

Por lo tanto el dominio es: ( ) {

}

Analizamos que pasa con el lmite en ese valor.

(

)

(

)

(

)

(

)

Debido a que el lmite es existe una asntota vertical en

.

b)

Analicemos el dominio de la funcin:

Ej. 8) Analizar la existencia...


Veamos que sucede en este valor:

Debido a que el lmite es existe una asntota vertical en .

c)


Tenemos que aplicar la formula resolvente para descomponer en races:


Por lo tanto:

Esto significa que tenemos que analizar si existen asntotas en ambos valores:


Por lo tanto tambin existe una asntota vertical en .

d)




Esto significa que tenemos que analizar si existen asntotas en ambos valores:


Por lo tanto no hay asntota en .

a)

Analizamos el dominio de la funcin:

Ahora vemos que pasa en el valor

Ej. 9) Dar el dominio y las...



Ahora vamos a ver si tiene asntotas horizontales:

(

)

( )

(

)

(

)

(

)

( )

(

)

(

)

(

)

( )

(

)

(

)

Por lo tanto tiene una asntota horizontal en .

b)


Ahora vemos que pasa en el valor


Por lo tanto tiene una asntota vertical en .

Analicemos si tiene asntotas horizontales:


c)


No existe ningn valor en los nmeros reales que elevado al cuadrado de negativo. El

dominio son todos los reales y por lo tanto no existe asntota vertical.

Ahora busquemos asntotas horizontales:

(

)

(

)


(

)

(

)

Por lo tanto tiene una asntota horizontal en

.

d)




Por lo tanto es una asntota vertical.

Por lo tanto tambin es una asntota vertical.

Ahora vamos a determinar si existen asntotas horizontales:

( )

(

)

(

)

( )

(

)

(

)


e)



( )


Ahora buscamos asntotas horizontales:

( )

( )

( )

( )


f)




Vamos a buscar ahora asntotas verticales:

No hay asntota vertical en .

Por lo tanto existe asntota vertical en .


(

)

(

)


(

)

(

)


g)


El denominador es igual que el del inciso anterior, las races son y .

Vamos a buscar asntotas verticales:


No existe asntota vertical en .


(

)

(

)



h)


( )

Veamos que sucede en :


Ahora vamos a analizar asntotas horizontales:

(

)

(

)

(

)

(

)

Por lo tanto existe asntota horizontal en .

a)

Ej. 10)


Este ejercicio lo hacemos en base a lo que vinimos haciendo. Sabemos que para

determinar asntotas verticales tenemos que analizar los valores restringidos del

dominio. En este caso sabemos que la asntota vertical es . Por lo tanto:

Ahora que tenemos el valor de nos piden que calculemos la asntota horizontal:

(

)

( )

(

)

( )

Por lo tanto existe asntota horizontal en .

b)

La funcin entonces es:



Ya sabemos que es una asntota vertical, vamos a ver qu pasa con

(

)

(

)


Ahora vamos a buscar asntotas horizontales:

(

)

(

)

(

)

(

)


(

)

(

)

(

)

(

)

Ahora entramos en la unidad de funciones homogrficas, en realidad en los ejercicios

que hicimos aparecieron algunas funciones homogrficas, tienen la forma:

Vamos a resolver:

a)

Primero vamos a obtener el dominio:

( )

Para obtener la imagen vamos a usar las asntotas horizontales:

Por lo tanto existe un asntota horizontal en . Esto significa que la funcin no

tiene ceros. La imagen es:

( )

Ahora veamos si tiene asntota vertical:

Ej. 11) Hallar el dominio


Tiene asntota vertical el .

Nos queda determinar los intervalos de positividad y de negatividad.

Tenemos que ver que pasa a la izquierda y a la derecha de la asntota vertical, al no

tener ceros la funcin sabemos que no hay cambio de signo:

Por lo tanto el intervalo pertenece al intervalo de negatividad.

Por lo tanto el intervalo pertenece al intervalo de positividad.

Y finalmente graficamos:

b)



( )


Por lo tanto existe un asntota horizontal en . Esto significa que la funcin no

tiene ceros. La imagen es:

( )




Tenemos que ver que pasa a la izquierda y a la derecha de la asntota vertical, al no

tener ceros la funcin sabemos que no hay cambio de signo:

Por lo tanto el intervalo intervalo al conjunto de positividad.

Por lo tanto el intervalo intervalo al conjunto de negatividad.



c)


( )


(

)

( )

(

)

( )

Por lo tanto existe un asntota horizontal en . Por lo tanto la imagen es:

( )

Vamos a determinar los ceros de la funcin:





Tenemos que ver que pasa a la izquierda y a la derecha de la asntota vertical, a su vez

tenemos que tener en cuenta tambin que hay un cero y analizar que pasa a la

izquierda y derecha del cero.


Por lo tanto el intervalo pertenece al conjunto de negatividad.

Por lo tanto el intervalo pertenece al conjunto de positividad.



d)


( ) {

}


(

)

( )

(

)

( )


( )




(

)

(

)

(

)

(

)

Tiene asntota vertical el

.





Por lo tanto el intervalo (

) pertenece al intervalo de positividad.





) pertenece al intervalo de negatividad.

(

)

(

) (

)


e)


( )


(

)

( )


(

)

( )


( )










Por lo tanto el intervalo pertenece al intervalo de negatividad.



f)


( )



(

)

( )

(

)

( )


( )











(

)

(

)

( )

( )


) pertenece al intervalo de negatividad.


(

)

(

)


a)

Sabemos que

es una asntota horizontal y es asntota vertical.

Ej. 12)


(

)

( )

Ahora vamos a determinar en base a la asntota vertical.

Para que el resultado sea el valor de debe ser 3.

Por lo tanto la funcin es:

b)

Determinamos la asntota horizontal:

(

)

( )

Ahora usamos el cero

:


( )

( )

(

)

Ahora reemplazamos en la primera ecuacin:

La funcin por lo tanto es:

Sabemos que el rea de un rectngulo se obtiene multiplicando la base ( ) por la altura

( ).

Vamos a llamar a la altura y vamos a expresar la altura en funcin de dos variables,

la variable que es la altura sumndole la variable que es lo que le falta a para

alcanzar la medida de la base. Por lo tanto expresamos esto con las nuevas variables:

Ej. 13) Hallar la expresin


Ahora podemos calcular los lmites que nos piden:

(

)

(

)

(

)

Por lo tanto la funcin no tiene asntota horizontal.

Por lo tanto es una asntota vertical de la funcin.

El grfico de la funcin es:

Vamos a ver qu sucede cuando la funcin tiende a .

(

)

(

)

Se puede ver que existe una astintota horizontal en

, esto significa que el agua

salada va a fluir hacia el agua pura hasta que sea igual a . Transcurrido este

tiempo esto ya no sucedera. Este es un proceso natural conocido como difusin, en

este caso la sal pasa del medio de menor concentracin al de mayor concentracin

hasta que se produzca un equilibro que est dado por la ecuacin.

Ej. 14) Hacia un tanque que


Ahora vamos a hacer un nuevo tipo de ejercicio. Para aplicar composicin de funciones

lo que hacemos es poner una funcin dentro de la otra. Es ms claro verlo con los

ejercicios, as que vamos a resolverlos.

a)

( )

Notar que lo que estamos haciendo es reemplazar en la de la funcin la funcin

.

( )

Notar que lo que estamos haciendo es reemplazar en la de la funcin la funcin

.

b)

( ) (

)

( )

c)

( ) (

)

( )

Ej. 15) Dadas las funciones


Notar que en hay dos , la funcin se coloca en ambas al hacer la

composicin.

d)

( )

( )

( )

(

)

e)

( )

( ) ( )( )

f)

( ) ( )

( )

a) Nos dicen que la funcin que hay que encontrar es lineal. Por lo tanto tiene la forma

Ej. 16)


Las igualdades que nos dan se pueden interpretrar como dos puntos de la funcin

donde uno de los valores es y el otro . Nos dicen que conociendo los grados Kelvin

tenemos que determinar los grados Celsius, esto lo interpretramos como que grados

Kelvin corresponde a la variable (variable que conocemos) y grados Celsius

corresponde a la variable (el valor a calcular).

{

Expresamos la primera ecuacin en funcin de

Reemplazamos en la segunda ecuacin:

Ya tenemos el valor de la pendiente, ahora vamos a obtener :

Por lo tanto la funcin es

b)

Claramente estamos frente a un ejercicio de composicin de funciones. Tenemos

ambas funciones:

( )

La funcin resultante es lineal, siempre que hagamos una composicin de dos funciones

lineales vamos a obtener una funcin lineal.

Ej. 17)


a)

Primero obtenemos

( )

Ahora tenemos que obtener

Ya teniendo el valor de podemos obtener la funcin

( )


b)

Primero obtenemos


( )


Ya teniendo el valor de podemos obtener la funcin

( ) (

)


(

) (

)

Primero vamos a obtener

( ) (

)

Ya tenemos , ahora vamos a buscar las asntotas. Primero veamos si tiene

asntota horizontal:

Ej. 18) Sean


Por lo tanto existe una asntota horizontal en .

Ahora veamos si tiene asntota vertical, primero averiguamos el dominio:

( )


Por lo tanto hay una asntota vertical en

Ahora vamos a obtener

( )

Ya tenemos , ahora vamos a buscar las asntotas. Primero veamos si tiene

asntota horizontal:


Por lo tanto existe una asntota horizontal en .

Ahora veamos si tiene asntota vertical, primero averiguamos el dominio:

( )


Por lo tanto hay una asntota vertical en

a)

Tenemos la ecuacin y el enunciado nos dice que tenemos que tener en cuenta que

. Resolvamos:

Para

Graficamos:

Ej. 19) Resolver la ecuacin


Para

Graficamos:

b)

Para

Graficamos:


Para

No existe solucin en los nmeros reales.

c)

Para

Graficamos:


Para

Da un absurdo, por lo tanto no tiene solucin.

a)

Tenemos la funcin , para obtener la funcin inversa de la misma lo que tenemos

que hacer es reemplazar la variable por la variable y la variable (o sea ) por

la variable . Luego tenemos que despejar la variable . Vamos a verlo en el ejercicio.

Lo que acabamos de obtener es la funcin , la inversa de la funcin .

Ej. 20) Calcular y dar


El dominio de la funcin son todos los reales.

Vamos a graficar ambas funciones

b)


no puede tomar el valor por lo tanto el dominio de la funcin es

( )


c)


( )


d)


( )


e)


Vamos a determinar el dominio:

( )


Graficamos la parbola unicamente entre y debido a que es el dominio que nos

plantea el enunciado.


f)

Vamos a determinar el dominio:

( )



g)

( )



Tenemos una funcin que nos devuelve grados Fahrenheit al conocer los grados

Celsuis. Estamos necesitando justo lo contrario. Por lo tanto invertimos la funcin.

Vamos a calcular

Ya tenemos la funcin que necesitamos. Ahora utilizamos el dato del enunciado.

El resultado es .

En ste ejercicio vamos a combinar composicin de funciones y obtencin de funcin

inversa junto a lmite para obtener las asntotas.

a)

Ej. 21) La funcin

Ej. 22) Dadas y , calcular


( )

Vamos a obtener la inversa de :

Ya tenemos la funcin. Ahora vamos a buscar las asntotas, primero la horizontal:

(

)

(

)

(

)

(

)

Por lo tanto hay una asntota horizontal en


Ahora para obtener las asntotas vrticales primero obtenemos el dominio.

Veamos que pasa en el valor

(

)

(

)

(

)

(

)


b)

( )




(

)

(

)

(

)

(

)




(

)

(

)

(

)

(

)



c)

( )



(

)

(

)


(

)

(

)





d)

( ) (

)




(

)

(

)

(

)

(

)




(

)

(

)


(

)

(

)


Ejercicios Surtidos

La funcin tiene la forma:

Segun el enunciado se tiene que cumplir que:

Generamos las ecuaciones:

Tenemos un sistema de ecuaciones:

Una incgnita ya est resuelta . Por lo tanto podemos reemplazar:

Ej. 1) Sea la funcin


Obtenemos el resultado:

Ya tenemos


Buscamos los ceros:

Hacemos un cambio de variable para simplificar las cuentas

(

) (

)

Quedan dos posibilidades:

Al resolver con formula resolvente se obtiene:


Quedan tres resultados, no olvidar el cambio de variable:

Ya tenemos las races de la ecuacin:

Ahora graficamos para obtener el conjunto de negatividad:

Nos dicen que es la asntota horizontal. Por lo tanto:

(

)

(

)

Ej. 2) Sea


Ya tenemos el valor de , ahora necesitamos el valor de . Sabemos que es

asntota vertical. Por lo tanto:

Para que se cumpla se tiene que cumplir . Por lo tanto b .

Ya tenemos la funcin completa:

Ahora necesitamos el conjunto de positividad. Para determinarnos vamos a obtener los

ceros:

Veamos que pasa a la izquierda del cero

.

Por lo tanto el conjunto de positividad es (

).

Sabemos que

Ej. 3) Sea


Por lo tanto:

Vamos a obtener la inversa:

Antes que nada tenemos que obtener :

Sabemos cual es el dominio (cuando el denominador es ), por lo tanto:

(

)

Ya tenemos la funcin:

Vamos a buscar la inversa:

Ej. 4) Sea


Primero busquemos el dominio:

( )

Ahora para determinar la imagen vamos a graficar la funcin:

En el grfico se puede ver que hay una asntota horizontal. Vamos a determinarla:

Ej. 5) Sea


(

)

(

)

( ) {

}

Ya tenemos el dominio y la imagen, nos falta calcular . es la componente del punto

. Por lo tanto:

Debido a que el valor no es parte de la imagen se trata de una asntota

horizontal. Por lo tanto:

(

)

(

)

Ya tenemos la funcin :

Ej. 6) Sea


Vamos a representar graficamente:

Ya tenemos la asntota horizontal . Nos falta la vrtical.

Primero obtenemos el dominio:

( )

Por lo tanto hay una asntota vertical en .


Ahora obtenemos la inversa:

Ej. 7) Sea


Ahora buscamos los ceros de la funcin:

Primero buscamos la asntota horizontal:

(

)

(

)

(

)

(

)


Ahora vamos a buscar asntota vrtical. Primero determinamos el dominio:

Ej. 8) Dada


( )

Veamos que sucede en


Graficamos:

Para determinar el intervalo de positividad vamos a obtener los ceros y tener en

cuenta el grfico. Hay un solo cero como se puede ver. Veamos cual es:

Sabemos que hay una asntota en . Por lo tanto viendo el grafico el intervalo de

positividad es .

Conociendo la asntota horizontal podemos plantear:

Ej. 9) Sea


(

)

(

)

Adems sabemos que

es un cero. Por lo tanto:

(

)

(

)

( )

( )

( )

( )

(

)

Ya conociendo la relacin podemos obtener :

La funcin por lo tanto es:

Veamos cual es el dominio:


( )

Obtengamos la inversa:

Para determinar el conjunto de positivadad necesitamos los ceros:

Vamos a graficar la funcin para simplificar la obtencin del conjunto de positividad:

Ej. 10) Sea


Tenemos que obtener la asntota vertical, primero determinamos el dominio:

Viendo el grafico sabemos que efectivamente hay una asntota vrtical en . El

conjunto de positividad por lo tanto es:

(

)


Sabemos que

Ya tenemos :

Ej. 11) Dadas


( )

( )

Vamos a obtener :

(

)

Sabemos que es una asntota horizontal, por lo tanto:

(

)

Ej. 12) Sea


Ya tenemos la funcin :

Grafiquemos la funcin:

Nos estn faltando dos asntota vrticales, las vamos a buscar, primero obtenemos el

dominio:

Veamos que pasa en esos valores:

Por lo tanto hay una asntota vrtical en .

Por lo tanto hay una asntota vrtical en .

Esta gua fue hecha con la mejor intencin, con la mayor profesionalidad posible y

como un aporte til para la comunidad. Si encontrs algn detalle, pods dejarnos tus

comentarios en www.exapuni.com para que mejoremos el material al mximo!

Lmite de funciones y asntotasEj. 1) Analizando el grficoEj. 2) CalcularEj. 3) CalcularEj. 4) Analizar la existenciaEj. 5) Determinar el valorEj. 6) Dado el grfico deEj. 7) Calcular.Ej. 8) Analizar la existencia...Ej. 9) Dar el dominio y las...Ej. 10)Ej. 11) Hallar el dominioEj. 12)Ej. 13) Hallar la expresinEj. 14) Hacia un tanque queEj. 15) Dadas las funcionesEj. 16)Ej. 17)Ej. 18) Sean ,.= Ej. 19) Resolver la ecuacin Ej. 20) Calcular ,-. y darEj. 21) La funcin ,.Ej. 22) Dadas y , calcularEj. 1) Sea la funcinEj. 2) Sea ()Ej. 3) Sea ()Ej. 4) Sea ()Ej. 5) Sea ()Ej. 6) Sea ()Ej. 7) Sea ()Ej. 8) Dada ()Ej. 9) Sea ()Ej. 10) Sea ()Ej. 11) Dadas ()Ej. 12) Sea ()

matematica 51 - guia 3 limite

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