Bienvenido a la serie de guas resueltas de Exapuni! Esta serie de guas resueltas fue

hecha por estudiantes de la comunidad Exapuni para facilitar el estudio y con la mejor

intencin de ayudar. Esperamos que te sean tiles. Pods buscar todo el material,

responder tus dudas y mucho ms durante toda tu carrera en www.exapuni.com,

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Integrales

Comenzamos con el ltimo tema de la materia, integrales. Ten en cuenta que

integrar es la operacin inversa a derivar. Se va entender mejor a medida que

resolvemos los ejercicios. Al igual que con derivadas para las integrales tambin hay

reglas para aplicar y obtener el resultado.

a)

i) Nos dan una funcin derivada y nos piden que obtengamos la funcin .

Antes tenamos la funcin y nos pedan que obtengamos la funcin derivada. Es

por esto que les comentaba que es la operacin inversa. Tenemos la funcin:

La regla que ms vas a usar en integrales es la siguiente:

Gua 6 - Integrales

2014

Ejercicio 1. Hallar, utilizando

Vamos a explicar un poco lo que escribimos. El smbolo se usa para denotar que

estamos integrando. El trmino es el exponente al que esta elevado la . El trmino

se coloca para aclarar que lo que estamos integrando es la variable . Esto se hace

debido a que podemos tener ms de una variable en la integracin y es importante

aclarar que estamos integrando. El trmino no es ms que una constante. Record

que cuando derivbamos una constante obtenamos como resultado . Ponemos una

constante porque no sabemos si la funcin primitiva, en este caso tena una

constante que fue derivada y quedo como resultado. Siempre recordar escribir la

constante. Ya podemos resolver el ejercicio:

ii)

Al integrar una constante nicamente tenemos que agregar la variable . Recordar que

la derivada de es y estamos realizando la operacin inversa.

iii)

Recordar que la derivada del es . La derivada del es .

Necesitamos la integral de .

Se entendi? Fjate que si derivas obtens la funcin que nos da el

enunciado.

iv)

v)

No olvides que la derivada de es . La integral por lo tanto tampoco vara.

vi)

Es como el ejercicio i pero cambia el exponente:

vii)

viii)

b)

i)

Los ejercicios son similares a los anteriores pero con algunas nuevas reglas:

Usamos las mismas reglas que ya vimos para resolver.

ii)

(

)

Record que la derivada de es

iii)

Para integrar lo vamos a expresar como .

( )

( )

iv)

a)

Nos dan el valor , reemplazamos:

Ya tenemos la funcin completa:

b)

Nos dan el valor , reemplazamos:

Ejercicio 2. Hallar la funcin

c)

Nos dan el valor (

) , reemplazamos:

(

) (

)

(

)

a)

b)

c)

( ) ( )

d)

Ejercicio 3. Calcular las

( )

e)

f)

( ) ( ) ( )

g)

(

)

h)

( )

a)

No todos los ejercicios se pueden resolver con las reglas que venimos usando, existen

casos en que no es posible aplicarlas. Se usan diferentes mtodos en esos casos. El

primero que vamos a ver es el mtodo de sustitucin.

La sustitucin consiste en hacer un cambio de variable para poder resolver el ejercicio

llevando una situacin que no se puede resolver con las reglas de integracin a una

situacin en la que si se puede. Resolvamos este ejercicio para entender mejor, al

principio seguramente te va a parecer rara la resolucin, es hasta que resuelvas

ejercicios y vayas entendiendo como funciona.

Vamos a hacer un cambio de variable . Ahora derivamos:

Expresamos en funcin de .

Ejercicio 4. Calcular aplicando

Ahora podemos remplazar en la funcin original:

se reemplaza con y con

.

Nos quedo una funcin en funcin de . Ahora si podemos resolver con las reglas

clsicas de integracin:

Volvemos a reemplazar para que nos quede en funcin de .

Se entendi? Ahora con el resto de ejercicios va a quedar ms claro.

b)

El problema es lo que est dentro del , si fuese podra haberse resuelto

directamente, pero como dice necesitamos hacer una sustitucin.

No hace falta despejar en funcin de ya que podemos reemplazar por

directamente.

Ahora ya podemos resolver:

Volvemos a reemplazar :

c)

Muy similar al anterior as que no explicamos mucho:

d)

Hacemos la sustitucin:

Reemplazamos:

Volvemos a reemplazar:

e)

Hacemos la sustitucin:

Despejamos :

Reemplazamos:

Ya podemos integrar:

Volvemos a reemplazar:

f)

No siempre es obvia la sustitucin que tenes que aplicar. A veces la sustitucin no

funciona y tenes que cambiarla. Es normal! En ste ejercicio por ejemplo primero

intentamos la sustitucin y no funciono. Quedo la integral en funcin de

y de . Por lo tanto no pudimos integrar. Vamos a probar con :

Reemplazamos:

(

)

Volvemos a reemplazar:

g)

Hacemos la sustitucin:

Reemplazamos:

Ya podemos integrar:

Volvemos a reemplazar:

h)

Hacemos la sustitucin:

Reemplazamos:

Ya podemos integrar:

Volvemos a reemplazar:

i)

Hacemos la sustitucin:

Reemplazamos:

(

)

Ya podemos integrar:

Volvemos a reemplazar:

j)

Hacemos la sustitucin:

Reemplazamos:

Volvemos a reemplazar:

k)

Hacemos la sustitucin:

Reemplazamos:

Volvemos a reemplazar:

l)

Hacemos la sustitucin:

Reemplazamos:

Volvemos a reemplazar:

m)

Hacemos la sustitucin:

Reemplazamos:

(

)

(

)

Volvemos a reemplazar:

n)

Hacemos la sustitucin:

Reemplazamos:

Volvemos a reemplazar:

o)

Hacemos la sustitucin:

Reemplazamos:

( )

Integramos:

Volvemos a reemplazar:

p)

Hacemos la sustitucin:

Reemplazamos:

(

)

Integramos:

Volvemos a reemplazar:

q)

Hacemos la sustitucin:

Reemplazamos:

Integramos:

Volvemos a reemplazar:

r)

Hacemos la sustitucin:

Reemplazamos:

Integramos:

Volvemos a reemplazar:

a)

Ahora vamos a ver un segundo mtodo para resolver integrales, se llama mtodo de

integracin por partes. No siempre es posible aplicar ste mtodo. Es necesario que

haya dos funciones para poder hacer la integracin.

La frmula que hay que aplicar es la siguiente:

Vamos a resolver el ejercicio para que se entienda mejor, primero hacemos cambios de

variable:

y

Tenemos que determinar y :

Ya podemos resolver:

Notar que transformamos una integral difcil de resolver a una sencilla

. Si no queda una integral sencilla hay que cambiar y .

Ejercicio 5. Calcular aplicando

Resolvemos:

b)

Ya tenemos y

Tenemos que determinar y :

Ya podemos resolver:

c)

Ya tenemos y

Tenemos que determinar y :

Ya podemos resolver:

d)

Ya tenemos y

Tenemos que determinar y :

Ya podemos resolver:

e)

(

)

Ya tenemos (

) y

Tenemos que determinar y :

(

)

Ya podemos resolver:

(

)

(

)

(

)

(

)

f)

Ya tenemos y

Tenemos que determinar y :

Ya podemos resolver:

An no se puede resolver la integral de manera sencilla. Tenemos que aplicar

nuevamente integral por partes para la integral:

Tenemos y

Tenemos que determinar y :

Ya podemos resolver:

Ya tenemos el resultado:

g)

Ya tenemos y

Tenemos que determinar y :

Ya podemos resolver:

An no se puede resolver, necesitamos resolver la integral :

Ya tenemos y

Tenemos que determinar y :

Ya podemos resolver:

Ya tenemos el resultado:

h)

Ya tenemos y

Tenemos que determinar y :

Ya podemos resolver:

(

) (

)

An no se puede resolver, tenemos que resolver la integral .

Ya tenemos y

Tenemos que determinar y :

Ya podemos resolver:

[ ] [ ]

Ya tenemos el resultado:

[ ]

a)

En estos ejercicios no nos dicen si usar el mtodo de integracin por partes o el de

sustitucin. ste ejercicio es un gran candidato para aplicar el mtodo de integracin

por partes ya que se trata de la multiplicacin de dos funciones y al analizarlo no hay

un cambio de variable apropiado para aplicar el mtodo de sustitucin. Resolvamos:

Ya tenemos y

Ejercicio 6. Calcular

Tenemos que determinar y :

Ya podemos resolver:

(

) (

)

Necesitamos resolver la integral (

) , aplicamos el mtodo de

integracin por partes:

Ya tenemos y

Tenemos que determinar y :

Ya podemos resolver:

(

) (

)

(

) (

) (

)

Ya tenemos el resultado:

(

) [ (

)

]

(

) (

)

b)

En ste ejercicio podemos aplicar sustitucin, recordar que la derivada de es .

Reemplazamos:

Volvemos a reemplazar:

c)

En ste ejercicio no es necesario aplicar ningn mtodo. La intensin es confundir. Se

resuelve el trinomio cuadrado perfecto normalmente.

Ya podemos resolver con las reglas clsicas:

d)

Tenemos que resolver con el mtodo de sustitucin:

Ya podemos reemplazar:

Volvemos a reemplazar:

e)

(

) (

)

Lo resolvemos con sustitucin:

Reemplazamos:

Volvemos a reemplazar:

( )

f)

Tenemos que aplicar el mtodo de integracin por partes para resolver

Tenemos y

Tenemos que obtener y :

Resolvemos:

Tenemos que resolver , aplicamos integracin por partes:

Tenemos y

Tenemos que obtener y :

Resolvemos:

(

)

Ya podemos armar el resultado:

[

]

Si la integral no te sale directamente podes usar el mtodo de sustitucin,

como hicimos en el ejercicio 4.i.

a)

El ejercicio es similar al 4.n

Resolvemos con sustitucin:

Ejercicio 7. Hallar la

Reemplazamos:

Podemos determinar el valor de ya que nos dan el dato

Por lo tanto:

b)

Es posible resolverlo con sustitucin o con integral por partes. Es ms sencillo con

sustitucin:

Reemplazamos:

Ya podemos calcular .

Por lo tanto:

c)

Lo resolvimos en el 5.b

El resultado es:

Ya podemos calcular .

Por lo tanto:

d)

Vamos a expresarlo de otra manera:

Ya podemos resolver con una sustitucin:

Reemplazamos:

No sabemos la integral de . La pods aprender de memoria como regla, es

pero la vamos a sacar con lo que vinimos aprendiendo usando el mtodo de

integracin por partes:

Tenemos y

Vamos a obtener y :

Ya podemos resolver:

Llegamos al resultado deseado:

Ya podemos obtener c:

Ejercicio 8. La aceleracin

Nos dan la aceleracin y nos piden la velocidad. Para resolver necesitamos integrar la

aceleracin (recordar que la derivada de la velocidad es la aceleracin).

Integramos:

[

]

(

)

Sino entendiste nada no te preocupes, lo que estamos haciendo ahora es calculando

una integral definida. Hasta el momento venamos calculando integrales indefinidas. Se

aplican las mismas propiedades que en las indefinidas. La gran diferencia es que nos da

un valor. Es por eso que tiene ms sentido para problemas matemticos y adems se

usa para el clculo de rea (el ltimo tema que vamos a ver de matemtica).

Veamos paso por paso. Normalmente hubisemos escrito:

No hay un gran cambio con la nueva forma de escribir:

La resolucin si cambia un poco ms. La idea es obtener la integral de

y reemplazar la variable por el ltimo valor del intervalo (el nmero de

arriba), o sea para luego restar la integral reemplazando el primer valor

del intervalo (el nmero de abajo), o sea 1.

Veamos la formula de lo que estamos haciendo:

Ten en cuenta que es la integral (la primitiva) de . Se entiende mejor?

Mir bien el ejercicio y cualquier cosa consulta en Exapuni. Tambin pods mirar los

ejercicios que siguen que se resuelven de la misma manera.

Otra cosa a tener en cuenta es que la velocidad nos est dando negativa. Esto significa

que el mvil esta yendo para el lado contrario del que vena. No hace la diferencia para

el ejercicio pero es un dato que no est de ms.

El resultado por lo tanto es que la velocidad para es .

Integramos la aceleracin para obtener la velocidad. En ste caso no usamos Barrow

porque no nos dan un intervalo. Nos piden la velocidad en un instante en particular

.

Tenemos el dato de que en el instante el cohete se encuentra en reposo. La

velocidad por lo tanto es . Aprovechamos ste dato para obtener .

Por lo tanto la formula de la velocidad es:

Veamos que pasa en :

Ahora nos piden la distancia en

La integral de la velocidad nos da como resultado la ecuacin de la posicin.

Obtenemos usando el dato de que en el cohete se encuentra en reposo:

Ejercicio 9. Un cohete

Por lo tanto la formula de la posicin es:

Veamos que pasa en :

a)

Vamos a resolver stos ejercicios como hicimos en el ejercicio . Record la formula

de la regla de Barrow:

Resolvamos:

[ ]

b)

[

]

c)

[ ]

(

)

d)

Ejercicio 10. Usando la regla

[ ]

e)

[ ]

f)

[ ]

a)

Ahora los ejercicios se complican un poco ms porque hay que aplicar la regla de

Barrow y para resolver las integrales vamos a necesitar de los mtodos de integracin

(sustitucin y por partes). Resolvamos:

Tenemos y

Vamos a obtener y :

Ya podemos resolver:

Tenemos que resolver , aplicamos el mtodo de integracin por partes:

Tenemos y

Vamos a obtener y :

Ejercicio 11. Usando la regla

Ya podemos resolver:

Nos queda por lo tanto:

Aplicamos Barrow:

[ ]

b)

En ste ejercicio no necesitamos aplicar un mtodo, resolvemos directamente:

[ ]

c)

Resolvemos con el mtodo de integracin por partes:

Tenemos y

Vamos a obtener y :

Resolvemos:

(

) (

)

Tenemos que resolver :

Tenemos y

Vamos a obtener y :

Resolvemos:

(

)

Nos queda por lo tanto:

(

)

Ahora podemos aplicar Barrow:

[

]

(

)

d)

Vamos a resolver usando sustitucin:

Reemplazamos:

[

]

Reemplazamos:

[

]

[(

) (

)]

[ ]

e)

Vamos a resolver usando sustitucin:

[

]

Reemplazamos:

[

]

(

)

f)

Podemos resolver directamente:

[

]

[

]

(

)

(

)

g)

(

)

Resolvemos con sustitucin:

[

]

Reemplazamos:

[

]

[

]

(

)

h)

Necesitamos resolver

con el mtodo de integracin por partes:

Tenemos y

Vamos a obtener y :

Resolvemos:

Aplicamos Barrow:

[ ] [ ]

( ) ( )

a)

Tenemos que resolver:

Nos dan el dato

Resolvemos:

[ ]

b)

Tenemos que calcular

Ejercicio 12.

[ ]

a)

[

]

(

)

b)

[

]

Ejercicio 13.

[

]

Integrales