separata limite

UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERA

FACULTAD DE INGENIERA CIVIL

DEPARTAMENTO ACADEMICO DE CIENCIAS BSICAS

Material de Enseanza de Matemtica I

Lmites, Asntotas y Continuidad

Elaborado por: MSc. Duani Edith Mosquera Maguia

Lima-Per

2012

ndice general

1. LIMITES 21.1. Denicin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.2. Limites Laterales: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.2.1. Limite por la Izquierda: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.2.2. Limite por la Derecha: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.3. Propiedades de los Limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.4. Operaciones con Limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.5. Limites Indeterminados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.6. Limites innitos y en el innito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.6.1. Limite innito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.6.2. Limites al Innito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.6.3. Limites al Innito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.7. Limites Trigonomtricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.8. Asintotas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

1.8.1. Asintota Vertical . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.8.2. Asintota Horizontal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.8.3. Asintota Oblicua . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

1.9. Continuidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

1.9.1. Continuidad en un intervalo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

1.9.2. Continuidad en un punto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

1.9.3. Tipos de discontinuidades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

1.10. Ejercicios Propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

ii

Presentacin

Este material ha sido elaborado para ayuda en el curso de Matemtica I, dictado

en la Facultad de Ingenieria Civil de la Universidad Nacional de Ingeniera en base al

silabo aprobado en la ltima Revisin Curricular

Los temas de limite, continuidad y asintotas constituyen la segunda parte del curso,

contiene la teora bsica y una serie de ejercicios que han sido tomados a lo largo de

los aos en los cursos de matemticas de la facultad.

Este material puede ser encontrado en versin pdf en el Aula Virtual del curso de

Matematica I.

1

Captulo 1

LIMITES

1.1. Denicin

El concepto de lmite es la base fundamental en la que se construye el clculo

innitesimal (diferencial e integral).

Se puede decir que el lmite es el valor al que tiende una funcin cuando la variable

dependiente tiende a un determinado nmero o al innito.

Denicin 1.1. Sea x0 un nmero cualquiera. Se denomina entorno o vecindad a dex0 a todo intervalo abierto que contenga a x

Si consideramos la funcin f(x) denida en un entorno de x0 . Si la variable x

toma valores cada vez ms cercanos a x0, pero sin llegar a igualarlo, as se tiene que la

diferencia entre x y x0 puede hacerse tan pequea como se quiera, entonces se dice que

x ((tiende a x0 y se denota por x ! x0. Se observa que si x ! x0 los valores de f(x)se aproximan cada vez ms a un nico nmero L, haciendose por tanto la diferencia

entre f(x) y L cada vez ms pequea, entonces se dice que cuando x! x0 la funcinf(x)! L: Tambin se dice que L es el lmite de la funcin f cuando x tiende a x0

Denicin 1.2. La denicin formal: Sea f una funcin denida en cierto intervaloabierto que contiene al punto x0, excepto tal vez al x0 mismo. Se dice que:

Limx!x0

f(x) = L

si es que 8 > 0, por pequeo que sea, existe un nmero > 0 tal que:

jf(x) Lj < siempre que x 2 Df y 0 < jx x0j <

2

Matemtica I: Lmites, Asintotas y Continuidad

Esta ltima expresin es equivalente a decir:

Si 0 < jx x0j < entonces jf(x) Lj <

Aclaraciones de la denicin

1. Cuando se escribe : Limx!x0

f(x) = L armamos la existencia del lmite y que el valor

del lmite es L

2. y representan nmeros positivos muy pequeos que se acercan a cero. Por lo

general se escoge 0 < 1 y se expresa en funcin de :

3. Las desigualdades jf(x) Lj < y jx x0j < representan intervalos abiertosL < f(x) < L+ y x0 < x < x0 + o tambin se puede reescribir como:f(x) 2< L ; L+ > y x 2< x x0,x+ x0 >

4. Vecindad de un punto

(a; ) o bola abierta con centro en a y radio al intervalo < a ; a+ >Tambin: B(a; ) = fx 2 R= jx aj <

5. La interseccin de dos vecindades:

B(a; 1) \B(a; 2) es una vecindad B(a; )

donde = mn(1; 2):

Pasos a seguir para demostrar que:

Limx!x0

f(x) = L

1. Demostracin

8 > 0 9 > 0 tal que:

jf(x) Lj < siempre que x 2 Df y 0 < jx x0j <

Se hace jf(x) Lj = jQ(x)j jx x0j < :

Se trata de acotar jQ(x)j partiendo de jx x0j < 1, se puede seleccionar un 1inicial y arbitrario que puede ser 1; 1

2; 13:::;utilizando este dato se acota jQ(x)j < M .

donde Mes un valor numerico positivo. Entonces se tiene:

Elaborado por MSc. Ing. Duani Mosquera Maguia 3


jf(x) Lj = jx x0j jQ(x)j M jx x0j <

Se puede armar que:

jx x0j < M

= 2

Obteniendo dos vecindades

= mn(1; 2): () x 2 B(x0; )

OBSERVACIONES

(a) A veces es posible hallar una relacin entre y sin necesidad de un 1 inicial.

(b) Si se tiene que demostrar un lmite en un punto x0 muy cerca de una asntotavertical, para poder acotar sin dicultad se debe escoger un 1de modo que sea

1 < jx0 aj donde a es la asntota vertical, se recomienda 1 = 12 jx0 aj

Ejemplo 1.1. Mediante la denicin de lmite demostrar:

Limx!4

px 2x 4 =

1

4

Se puede observar que es un lmite indeterminado, levantando primero la indeter-

minacin:

Limx!4

px 2x 4

px+ 2px+ 2

= Limx!4

x 4x 4

1px+ 2

= Limx!4

1px+ 2

=1

4

Con esta nueva expresin iniciamos la demostracin:

8 > 0 9 > 0 tal que: 1px+2 14 < siempre que x 2 Df y 0 < jx 4j < =)

1px+ 2 14 = 4 (px+ 2)4 (px+ 2)

= 2px4 (px+ 2)px+ 2px+ 2



4 x4 (px+ 2)2 =

14 (px+ 2)2 jx 4j < (i)

Buscando acotar: 14 (px+ 2)2 = Q(x)

Para un 1 inicial, se tiene que: 0 < jx 4j < 1 ! 3 < x < 5

4p

3 + 22< 4 (

px+ 2)

2< 4

p5 + 2

2, invirtiendo los trminos se tiene:

1

4p

5 + 22 < x < 1

4p

3 + 22 < 14 42 = 164

Entonces se puede reescribir:

jQ(x)j jx 4j < 164jx 4j <

=) jx 4j < 64 = 2

=) = mn f1; 2g = mn f1; 64g

1.2. Lmites Laterales:

1.2.1. Lmite por la Izquierda:

Limx!x0

f(x) = L

8 > 0, 9 > 0 tal que: jf(x) Lj <

siempre que x 2 Df , x0 < x ^ 0 < jx x0j <

entonces x0 < x < x0



1.2.2. Lmite por la Derecha:

Limx!x+0

f(x) = L

8 > 0, 9 > 0 tal que: jf(x) Lj <

siempre que x 2 Df , x > x0 ^ 0 < jx x0j <

entonces x0 < x < x0 +

Lmites laterales son tiles para:

Radicales

Valor Absoluto

Mximo Entero

Diferentes reglas de correspondencia para x < xo y x > xo

Ejemplo 1.2. Hallar si existe:

Limx!1jx 1jSgn(x kxk 1

2)p

5 x2 2px = L

Si x < 1 (x kxk 12

) > 0 =) Sgn(x kxk 12

) = 1

Calculando el lmite por la izquierda:

Limx!1

(1 x)p5 x2 2px

p5 x2 + 2pxp5 x2 + 2px

=) Limx!1

(1 x) (x+ 5) (x 1)

p5 x2 + 2px

=

2

3

Si x > 1 (x kxk 12) < 0 =) Sgn(x kxk 1

2) = 1



Calculando el lmite por la derecha:

Limx!1+

(x 1)p5 x2 2px

p5 x2 + 2pxp5 x2 + 2px

=) Limx!1+

(x 1) (x+ 5) (x 1)

p5 x2 + 2px

=

2

3

Los lmites laterales son iguales, entonces el lmite existe y es 23

Ejemplo 1.3. Calcular si existe:

Limx!p2

x2 + 5 + Sgn(

x2 1) 1Solucin: Para un intervalo x > 0 x21 > 0 se puede redenir el lmite:

Limx!p2

x2 + 5 + Sgn(

x+p

2 xp2

Si se analiza por intervalos, por lmites laterales:

Limx!p2

(x2 + 4) = 6

Limx!p2+

(x2 + 6) = 8

=) Si los lmites laterales son diferentes el lmite no existe.

1.3. Propiedades de los Limites

1. Teorema de la Unicidad del Limite:

El lmite cuando existe es nico

Limx!a

f(x) = L1 ; Limx!a

f(x) = L2 =) L1 = L2



2. Sean f y g son funciones tales que:

Si f(x) g(x) 8x 2 B(xo; ) con x 6= xoademas Lim

x!xof(x) = L Lim

x!xog(x) = M

=) L M

3. Teorema Triangular o Teorema del Sndwich

Sean f , g y h son funciones tales que:

i. f(x) g(x) h(x) 8x 2 B(xo; ) con x 6= xo

ii. Limx!xo

f(x) = L Limx!xo

h(x) = L

=) Limx!xo

g(x) = L

4. Teorema de la reduccin del lmite de xo a 0

Limx!xo

f(x) = Limh!0

f(xo+ h) = Limx!0

f(x+ xo)

1.4. Operaciones con Lmites

Las operaciones con lmites, tanto en un punto como en el innito, tienen propiedades

que debemos conocer:

a.- Limx!xo

(f(x) g(x)) = Limh!0

f(x) Limh!0

g(x) = L1 + L2

b.- Limx!xo

f(x)g(x)

=

Limx!xof(x)

Limx!xog(x)

= L1L2; L2 6= 0

c.- Limx!xo

1

g(x)

= 1

Limx!xog(x)

= 1L2; L2 6= 0

d.- Limx!xo

xn = xno ; Limx!xo

npx = npxo

e.- Limx!xo

fn(x) =Limx!xo

f(x)

nn entero positivo

f.- Limx!xo

n

qf(x) = n

qLimx!xo

f(x) n par positivo



1.5. Lmites Indeterminados

Reglas validas o formas indeterminadas:

a.- a+1 =1

b.- a1 = 1c.- 1+1 =1d.- 1 1 =1e.- a 1 = +1 a > 0f.- a 1 = 1 a < 0g.- c

0= +1 c > 0

h.- c0

= 1 c < 0i.- c1 = 0 c > 0

j.- c0+

= +1 c > 0k.- c

0 = 1 c > 0

Formas determinadas:

00;11; 11 ; 0 1

Para la solucin se trata de llevar a la forma 0=0 1=1 y se trata de levantar lainformacin.

Calculo de Limites Indeterminados de la forma 0=0

Si el binomio de la forma (x x0) est originando el 0=0 en la expresin se puedepresentar por:

-Si f(x) y g(x) son polinomios (Factorizacin)

-Si f(x) y g(x) son radicales entonces la indeterminacin se levanta usando la

racionalizacin usando articios del algebra.

-Si tienen expresiones trigonometricas usando Lmites Trigonomtricos.

Ejemplo 1.4. Calcular el siguiente lmite:



Limx!3

px2 +

p8x+ 25 x 1

3p

5x 7 2

Al tratar de calcular el lmite se comprueba que es de la forma 0=0, buscando la

forma del factor (x 3) que hace que se forme el cero en el numerador y denominador.

Limx!3

px2 +

p8x+ 25 1

FR1FR1 x

3p

5x 7 2 FR2FR2

Donde los factores racionalizantes son de la forma:

FR1 =px2 +

p8x+ 25 + 1

FR2 = (5x 7) 23 + 2 (5x 7) 13 + 4

=) Limx!3

x2 x 6 + p8x+ 25 7 FR3

FR3

5(x3)FR1

FR2

Si: FR3 =p

8x+ 25 + 7

Resultando:

Limx!3

(x 3) (x+ 2) + 8(x3)

FR3

5(x3)FR1

FR2

Al eliminar el factor (x 3) tanto en el numerador como denominador, se levan-ta la indeterminacin y reemplazando el valor de x = 3 en el lmite y los factores

racionalizantes se obtiene:

Limx!3

(x+ 2) + 8

FR3

5FR1FR2

=234

35


Limx!2

x2 2pp

x+ 6 + 7 + 23p

2 3x 2



Si se calcula el lmite se comprueba que es de la forma 0=0, el factor (x + 2) es

el que hace que se forme el cero en el numerador y denominador. tratando de dar la

forma del factor (x+ 2) :

Limx!2

(x2 4) 2pp

x+ 6 + 7 3FR1FR1

3p

2 3x 2 FR2FR2

Donde los factores racionalizantes son:

FR1 =pp

x+ 6 + 7 + 3

FR2 = (2 3x) 23 + 2 (2 3x) 13 + 4

=) Limx!2

(x+ 2) (x 2) 2p

x+62FR1

FR3FR3

3p

2 3x 2 FR2FR2

Entonces el FR3 =px+ 6 + 2

Operando y dando la forma del factor (x+ 2); en el numerador y denominador:

=) Limx!2

(x+ 2) (x 2) 2 x+2FR1FR3

3(x+2)FR2

Eliminando el factor y reemplazando el valor de x = 2:

=) Limx!2

(x 2) 2 1FR1FR3

3FR2

= 496

1.6. Lmites innitos y en el innito

1.6.1. Lmite innito

Limx!xo

f(x) =1 ()

8 M > 0, 9 > 0 tal que: f(x) > Msiempre que x 2 Df ^ 0 < jx x0j <



1.6.2. Lmites al Innito

Limx!1

f(x) = L ()

8 > 0, 9 N > 0 tal que: jf(x) Lj < siempre que x 2 Df ^ x > N

1.6.3. Lmites al Innito

Limx!1

f(x) =1 ()

8 M > 0, 9 N > 0 tal que: f(x) > Msiempre que x 2 Df ^ x > N


Limx!1

4px+ 1 4px

3px+ 1 3pxx

112

Solucin:

Si se evalua el lmite, se observa que es de la forma: (11)(11) (1)

=) Para levantar la indeterminacin se multiplicar con factores de racional-izacin convenientes.

Limx!1

4px+ 1 4px FR1

FR13px+ 1 3px FR2

FR2

x112

Donde:

FR1 = (x+ 1)34 + (x+ 1)

24 x

14 + (x+ 1)

14 x

24 + x

34

=) FR1 = x 34 (1 + 1

x

34 +

1 + 1

x

24 +

1 + 1

x

14 + 1) = x

34FR11

FR2 = (x+ 1)23 + (x+ 1)

13 x

13 + +x

23



=) FR2 = x 23 (1 + 1

x

23 +

1 + 1

x

13 + 1) = x

23FR21

Operando el lmite se obtiene:

Limx!1

1FR11

FR2

x112 = Lim

x!1FR2

FR1x

112 = Lim

x!1x23FR21

x34FR11

x112 = Lim

x!1FR21FR11

=3

4

1.7. Lmites Trigonomtricos

Los principales lmites trigonomtricos notables son:

1. Limx!0

Sen(x) = 0

2. Limx!0

Cos(x) = 0

3. Limx!0

Sen(x)x

= 1

Otros Lmites Trigonomtricos:

1. Limx!0

xSen(x)

= 1

2. Limx!0

1Cos(x)x2

= 12

3. Limx!0

1Cos(x)x

= 0

4. Limx!0

Tang(x)x

= 1

5. Limx!0

Tang(x) = 0

6. Limx!0

Sec(x) = 1




L = Limx!2

senx4

cos x2

2x3 3x2 + 4

Solucin:

Si se hace un cambio de variable de reduccin a cero

donde: h = x 2; si x! 2 =) h! 0

=) Limh!0

sen((h+2)4 )cos((h+2)

2 )2(h+2)33(h+2)2+4 = Limh!0

cos(h4 )+cos(h2 )2

h2(h+3)

Dandole la forma de lmites conocidos:

Limh!0 1 cos h

4

h4

2(h+ 3)

4

2

1 cos h

2

h2

2(h+ 3)

2

2Reemplazando en el lmite h ! 0 y haciendo uso de los lmites trigonomtricos

notables:

L = 52

96

1.8. Asntotas

Denicin 1.3. Si la distancia d entre un recta L y el punto A que se mueve a lo largode una curva tiende a cero, cuando el punto A tiende al innito, la recta L es llamada

asntota de la curva, es decir:

LimA!1

d(A;L) = 0

x

y



Esta es la denicin general de un asntota, en la prctica las asntotas se clasican

en verticales, horizontales y oblicuas.

1.8.1. Asntota Vertical

Proposicin 1.1. La recta x=a es una asntota vertical de la curva y=f(x), si secumple uno de los siguientes enunciados:

a) Limx!a

f(x) = 1b) Lim

x!a+f(x) = 1

c) Limx!a

f(x) = 1En la grca se puede observar que la funcin tiene dos asntotas verticales, que

son rectas paralelas al eje Y.

x

y

Se analizar asintotas verticales en la funcin cuando tenga la forma de f(x) = g(x)h(x),

siendo el h(x) un polinomio que puede expresarse en factores lineales de la forma (xa),siendo x = a una posible asintota vertical pudiendose armar con el anlisis

1.8.2. Asntota Horizontal

Proposicin 1.2. La recta y=b es una asntota horizontal de la curva f(x), si cumpleuna de las siguientes proposiciones:

a) Limx!1

f(x) = b Asntota Horizontal Derecha

b) Limx!1

f(x) = b Asntota Horizontal Izquierda



x

y

En la grca se puede observar que la funcin tiene tanto Asintota horizontal por

la izquierda como por la derecha.

1.8.3. Asintota Oblicua

Proposicin 1.3. La recta y = mx + b, m 6= 0 es una asintota oblicua de la curvay = f(x) si y solo si una de las siguientes condiciones se cumple:

a) Limx!1

f(x)x

= m y Limx!1

(f(x)mx) = b

b) Limx!1

f(x)x

= m y Limx!1

(f(x)mx) = b

x

y



En el ejemplo se puede observar el caso de una funcin que tiene una sola asntota

oblicua tanto para la derecha como para la izquierda.

Nota:

- Si al tratar de calcular m y b cuando x ! 1 uno de los lmites no existeentonces no tiene asntota.

- Si en el clculo el valor de m = 0 y b es un nmero nito entonces y = b es

una asntota horizontal

l

Ejemplo 1.8. Sea f(x) = jx+ 4j+ 4jxj3

Hallar sus asntotas y bosquejar su grca

Solucin:

Por inspeccin se puede armar que la funcin tiene Df = R f3; 3g

Analizando sus asntotas:

a) Posibles asntotas verticales x = 3 y x = 3

Analizando en el lmite:

Limx!3

jx+ 4j+ 4jxj 3 = +1

Limx!3+

jx+ 4j+ 4jxj 3 = 1

Limx!3

jx+ 4j+ 4jxj 3 = 1

Limx!3+

jx+ 4j+ 4jxj 3 = +1

Los lmites resultan innitos, entonces se tiene asntotas verticales en 3 y 3

b) Analizando posibles asntotas oblicuas:



Asntota Oblicua Derecha: x!1

Limx!1

jx+ 4j+ 4jxj3x

= Limx!1

x+ 4

x+

4

x (x 3)

= 1

b = Limx!1

x+ 4 +

4

(x 3) x

= 4

=) La recta y = x+ 4 es AOD.

Asntota Oblicua Izquierda: x! 1

Limx!1x

= Limx!1

x 4x

+

4

x (x 3)

= 1

b = Limx!1

x 4 4

x+ 3+ x

= 4

=) La recta y = x 4 es AOI.

Nota: Si la funcin presenta asntotas oblicuas, no es necesario hacer el anlisis para

asntotas horizontales porque no podra tener ambas a la vez.

El bosquejo de la grca se muestra en la gura:

-10 -8 -6 -4 -2 2 4 6 8 10

-4

-2

2

4

6

8

10

12

14

x

y



1.9. Continuidad

1.9.1. Continuidad en un intervalo

Para que f(x) sea continua en el intervalo [a; b], entonces debe cumplir:

a) Debe ser continua sobre el intervalo

b) Limx!a+

f(x) = f(a)

c) Limx!b

f(x) = f(b)

x

y

1.9.2. Continuidad en un punto

Intuitivamente la funcin continua en un punto es bien sencilla, se puede decir que

es aquella que no da saltos, que se puede dibujar sin levantar el lpiz del papel.

Matemticamente la denicin de funcin continua es un poco ms compleja.

Propiedad: Para que una funcin sea continua en un punto a es necesario y suciente

que:

a) Exista el valor de la funcin en el punto, f(a).

b) Existan los lmites laterales.

Limx!x0

f(x) y Limx!x+0

f(x)

Sean nitos e iguales entre s e iguales a f(a) es decir:

Limx!x0

f(x) = Limx!x+0

f(x) = f(a)



1.9.3. Tipos de discontinuidades

Discontinuidad Removible o Evitable

i) x0 =2 Df ^ 9 Limx!x0

f(x)

ii) 9 Limx!x0

f(x) 6= f(x0)

Discontinuidad Inevitable o Esencial

i) no 9 Limx!x0

f(x) =) Limx!x0

f(x) 6= Limx!x+0

f(x)

ii) Limx!x0

f(x) = 1

En la grca se muestra un caso de discontinuidad inevitable

x

y

Ejemplo 1.9. Analizar la continuidad de la funcin f(x), si:

f(x) = (1)[[x]] (x [[x]])2+g(x): Donde: g(x) =(

0 ; [[x]] es par

1 ; [[x]] es impar

Bosquejar la grca de f(x) indicando los intervalos de continuidad.

Solucin:

La funcin g(x) tambin se puede expresar como:



g(x) =

(0 2n x < 2n+ 11 2n 1 x < 2n 2n+ 1 x < 2n+ 2

De esta manera se puede reescribir f(x) como:

f(x) =

8>:(1)2n (x 2n)2 + 0 2n x < 2n+ 1

(1)2n1 (x (2n 1))2 + 1 2n 1 x < 2n(1)2n+1 (x (2n+ 1))2 + 1 2n+ 1 x < 2n+ 2

Analizando la continuidad, se puede armar que dentro de cada intervalo por ser

ecuaciones cuadrticas son continuas en el intervalo; siendo necesario analizar en x = 2n

y x = 2n+ 1 :

En x = 2n, para valores de x < 2n, haciendo el anlisis por la izquierda

Limx!2n

(1)2n1 (x (2n 1))2 + 1 = (2n 2n+ 1)2 + 1 = 0

Para valores de x > 2n, haciendo el anlisis por la derecha

Limx!2n+

(1)2n (x 2n)2 = (2n 2n)2 = 0

f(2n) = 0

=) f(x) es continua en x = 2n

En x = 2n+ 1, para valores de x < 2n+ 1, haciendo el anlisis por la izquierda

Limx!(2n+1)

(1)2n (x 2n)2 = (2n+ 1 2n)2 = 1

Para valores de x > 2n+ 1, haciendo el anlisis por la derecha

Limx!(2n+1)+

(1)2n+1 (x (2n+ 1))2 + 1 = (2n+ 1 (2n+ 1))2 + 1 = 1



f(2n+ 1) = 1

=) f(x) es continua en x = 2n+ 1

Se concluye que la funcin es continua en R

Ejemplo 1.10. Sea la funcin:

f(x) =

8>>>>>>>>>>>:

3x22x2+1

x 2

2Sgn(x)xpx2+124 2 < x < 2px+24x22x2x6 x 2

Analizar la continuidad de f en R, indicando los tipos de discontinuidad. En lospuntos en que f no es continua, es posible redenir f de modo que se haga continua

en todo R?

Solucin:

Si se redene f(x) eliminando el Sgn se tiene:

f(x) =

8>>>>>>>>>>>:

3x22x2+1

x 2(x+2)px2+124 2 < x < 0

0 x = 02xp

x2+124 0 < x < 2px+24x22x2x6 x 2

Si se observa las reglas de correspondencia, podemos intuir que los posibles puntos

de discontinuidad pueden ser: -2, 0, 2

=) en x = 2



Limx!2

3x2 2x2 + 1

= 2

Limx!2+

(x+ 2)px2 + 12 4

px2 + 12 + 4

px2 + 12 + 4

=) Limx!2+

(x+ 2) px2 + 12 + 4x2 4 = Limx!2+

px2 + 12 + 4x 2 = 2

f(2) = 2

Se concluye que f(x) es continua en x = 2

=) en x = 0

Limx!0

(x+ 2)px2 + 12 4 =

1p3 2

Limx!0+

2 xpx2 + 12 4 =

1p3 2

f(0) = 0

Se concluye que en cero presenta discontinuidad inevitable o esencial

=) en x = 2

Limx!2

2 xpx2 + 12 4

px2 + 12 + 4

px2 + 12 + 4

=) Limx!2

(2 x) px2 + 12 + 4x2 4 = Limx!2

px2 + 12 + 4x+ 2

= 2

Limx!2+

px+ 2 4x2

2x2 x 6 =147 0+ = 1

f(2) no esta denida no 2 al Df



Se concluye que f(x) no es continua en x = 2, presenta una discontinuidad

inevitable o esencial

1.10. Ejercicios Propuestos

Los ejercicios han sido seleccionados de prcticas y exmenes que se han tomado en

la Facultad de Ingeniera Civil de la Universidad Nacional de Ingeniera en los ltimos

ciclos.

1 Mediante la denicin de lmite demostrar:

Limx!4

px 2x 4 =

1

4

2 Por denicin de lmite, demostrar que:

Limx!4

px+ 1

2 kxk = 2

3 Por denicin de limite demostrar:

Limx!2

x3 + 4x2 + 4x

(x+ 2) (x+ 3)= 0

4 Empleando la denicin de lmite demostrar:

Limx!1

x 15

+ 1j5x 1j =

1

4

5 Hallar los valores de a y b de modo que:



Limx!2

ax2 + bx 22x2 7x+ 6 = 3

y luego demostrarlo utilizando la denicin de lmite.

6 Calcular y demostrar por denicin:

Limx!3

x3 + 6x2 + 9x

x2 + 5x+ 6

7 Calcular y demostrar por denicin:

Limx!5

Sgn (x2 7x+ 12)2x 11

8 Si > 16, hallar > 0 tal que:

Limx!3jx 2j

x+1

x

px+ 6 3 = 6

9 Hallar si existe:

Limx!1jx 1jSgn(x kxk 1

2)p

5 x2 2px

10 Calcular:

Limx!2

2x52

x 3j3x 5j

y demostrar su existencia utilizando la denicin de lmite.

11 Calcular los siguientes lmites:



(a)

Limx!2

x2px+ 6 3px+ 1 + 4x 1p

x2 3 1

(b)

Limx!2

x2 2pp

x+ 6 + 7 + 23p

2 3x 2

(c)

Limx!

3

1 256 cos8 xsen

x

3

(d)

Limx!1

qxpxpx 1 +px 1

kx2 3 + 2k

(e)

Limx!1

xp

x2 + 3 x

(f)

Limx!3

px2 + 6x 3px2 1p7x+ 4p

x2 9

(g)

Limx!2

cos3x2

+ sen

x4

1 + sen

3x4

(h)

Limx!2

63px 6Sgn (x2 4) 4px+ k4 + 2xk

x2 + 5x 3

(i)

Limx!1

x2 3px+ 2pjx+ 5j xpjx2 + 6x+ 5j

(j)

Limx!2

senx4

+ cos

x2

(x 2)2



12 Hallar el valor de nsi se sabe que:

Limx!1

(x+ 8)n (3x+ 4)n+1 (4x+ 6)n2

(9x2 + 6x 3)n (2x 6)n1 =8

243

13 Hallar las constantes a y b tal que verique:

Limx!1

x2 3px2 + 1 + 3

x 3 ax b!

= 0

14 Calcular las constantes a y b con la condicin:

Limx!+1

15x3 + 7x+ 4

3x2 + 4px2 + 4x+

3p

8x3 + 12x2 + 1 + 2ax 3b

= 0

15 Hallar el valor de a y b de modo que:

Limx!+1

ax4 3x3 + 6x 2x3 + bx2 5x+ 1 2x+ 2

= 5

16 Si

f(x) =

(xx+1

x < 1x2 + 2x x > 1

g(x) =

( 1x

x < 0

1 + 2x x > 0

h(x) =

(3x217x x < 7

2x2 22x+ 56 x > 7

Hallar:

Limx!2

f(x 3) + g(x 2)h(x+ 5)



17 Sea:f(x) =

x3

4 +mx

cos

nx+ 1

nx

sen2

nx+ 1

nx

+ 1

Hallar n2m, si: Lim

x!1f(x) = 1

24

18 Hallar las asntotas y bosquejar la grca de la funcin:

f(x) =

8>>>:p

1 + x2 ;x 3x21

x33x+2 ;3 < x 3q4x1x3 ;x > 3

19 Determinar las asntotas de la curva , analizar la continuidad e indicar los tipos dediscontinuidad que presenta:

f(x) =

8>>>:px2 + 7 x 3x21

x23x+2 x 2< 3; 3] f1; 2gq4x1x3 x > 3

20 Sea la funcin:f(x) =

px2 + 1 x 2

x2 4

21 Hallar las asintotas y bosquejar la grca de la funcin:

f(x) =x2 x3 + 1x2 + 1

+px2 + 4

22 Determinar las asntotas y gracar la funcin:

f(x) =

( p4x2 8x+ 3p1 + x2 + x jxj 1x29jx2xj2 jxj < 1

23 Determinar las asntotas y bosquejar la grca de la funcin:



f(x) =

8 1

24 Analizar la continuidad de la funcin h, si se tiene que:

f(x) =

(2x+ 1 ;x 1x2 2 ;x 0

g(x) =

(3x+ 1 x 82x3 x > 10

h = gof

25 Dada la funcin:f(x) = 3 4

x Sgn (x2 4)

Analizar la continuidad de la funcin y dar los intervalos de continuidad trazando

su grca

26 Analizar la continuidad de f(x):

f(x) =

8>:Sgn(x2 1

4) x 1

x3

x29 1 < x < 118

+px2 2x+ 1 x 1

27 Dada la funcin:

f(x) =

8>:tan(x)x+2

52< x < 2

ax+ b 2 x 02senx+3sen2x

x+2x4x > 0

Hallar los valores de a y b, de modo que f sea continua en < 5=2;+1 >



28 Analizar la continuidad y trazar la grca de la siguiente funcin, indicando lostipos de discontinuidad que se presenten:

f(x) =

8>>>:qx2 5

x

2

2 x 21 x3 x < 2x+ 1 x > 2

29 Sea la funcin:

f(x) =

8>:3x22x2+1

x 22Sgn(x)xpx2+124 2 < x < 2px+24x22x2x6 x 2

Analizar la continuidad de f en R, indicando los tipos de discontinuidad. En lospuntos en que f no es continua, es posible redenir f de modo que se haga continua en

todo R?

30 Dar los valores de a y b tal que la funcin sea continua:

f(x) =

8>:x2pa x x 1

bx2 + 1 1 < x < 4

3x+ a x 4

31 Dada f(x), hallar sus asintotas y bosquejar su grca.

f(x) =

8>>>>>:q

x5+2x+1x3+8

x < 2x3x+1x2+1

2 x 1r2(2+k 1xk)+7

x1 x > 1

32 Sea la funcin:

f(x) =

8>:x2

kxk1 x 0Sgn (x3 x) +

x

2

0 < x < 3px2 + x+ 4 x x 3

Analizar la continuidad, indicando los tipos de discontinuidad que se presenten;

adems bosquejar su grca indicando sus asintotas.


separata limite

Documents