matematica 3

www.edukperu.com MATEMÁTICA 3

índice CAPITULO I

ÍNDICE

CAPÍTULO I

1. ECUACIONES E INECUACIONES 1

1.1. Igualdad Matemática 1

1.2. Clasificación de las Igualdades 1

1.3. Ecuación 2

1.4. Solución o Raíz de una Ecuación 2

1.5. Conjunto Solución de una Ecuación (C.S.) 2

1.6. Clasificación de las Ecuaciones 3

1.7. Ecuaciones Reducibles a Cuadráticas 6

1.8. Ecuaciones Irracionales 8

1.9. Ecuaciones Fraccionarias 10

1.10. Ecuaciones Trinómicas Bicuadradas 12

1.11. Ecuaciones Recíprocas 14

1.12. La Recta Real 15

1.13. Desigualdades 16

1.14. Axioma de la Relación de Orden 17

1.15. Definición 17

1.16. Propiedades de la Desigualdad de Números Reales 17

1.17. Inecuaciones 18

1.18. Inecuaciones de Segundo Grado o Cuadráticas en R 21

1.19. Inecuaciones Polinómicas 29

1.20. Inecuaciones Fraccionarias 33

1.21. Inecuaciones Irracionales 35

1.22. Valor Absoluto 38

1.23. Ejercicios Desarrollados. 43

1. ECUACIONES E INECUACIONES

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1.24. Ejercicios Propuestos. 102

1.25. Respuestas. 123

CAPÍTULO II

2. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES 124


2.2. Solución de Una Ecuación Lineal 124


2.4. Solución de un Sistema de Ecuaciones 126

2.5. Clasificación de Sistemas de Ecuaciones 126

2.6. Sistemas de Dos Ecuaciones Lineales con Dos Incógnitas 128

2.7. Interpretación Geométrica de un Sistema de Dos Ecuaciones con Dos Incógnita 133

2.8. Sistemas de Tres Ecuaciones Lineales con Tres Incógnitas 135

2.9. Sistemas Especiales de Ecuaciones 136

2.10. Matrices 139

2.11. Determinante de una Matriz 153

2.12. Aplicaciones de las Matrices y Determinantes en la Solución de Sistemas

de Ecuaciones Lineales 161




CAPÍTULO III

3. NOCIONES BÁSICAS DE GEOMETRÍA PLANA 239

3.1. Punto 239

3.2. La Recta 239

3.3. Plano 240

2. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

CAPITULO II

CAPITULO III

3. NOCIONES BÁSICAS DE GEOMETRÍA PLANA


3.4. Postulados de la Recta 240

3.5. Líneas 241

3.6. Partes de la Línea Recta 241

3.7. Longitud de un Segmento 242

3.8. Punto Medio de un Segmento 242

3.9. Puntos Sobre una Recta 243

3.10. Operaciones con las Longitudes de Segmentos 243

3.11. Conjuntos Convexos y No Convexos 247

3.12. Particiones en el Plano 247

3.13. Ángulos 250

3.14. Triángulos 259




CAPÍTULO IV

4. CONGRUENCIA, PERPENDICULAR Y PARALELISMO 320

4.1. Segmentos Congruentes 320

4.2. Ángulos Congruentes 321

4.3. Congruencia de Triángulos 321

4.4. Triángulos Rectángulos Notables 327

4.5. Posición Relativa de Dos Rectas en el Plano 328

4.6. Ángulos Formados por Dos Rectas al Ser Cortados Por Una Recta Secante 330

4.7. Ángulos Formados por las Bisectrices de un Triángulo 335

4.8. Propiedades Adicionales 338




CAPITULO IV

4. CONGRUENCIA, PERPENDICULAR Y PARALELISMO


CAPÍTULO V

5. GEOMETRIA DEL ESPACIO: NOCIONES BASICAS 389


5.2. Punto 389

5.3. La Recta 390

5.4. El Plano 390

5.5. Determinación de un plano 390

5.6. Posiciones relativas de rectas y planos en el espacio 391

5.7. Proyección ortogonal de un punto y una recta sobre un plano 393

5.8. Angulo entre una recta y un plano 394

5.9. Teorema de las tres rectas perpendiculares 395

5.10. Ángulo Diedro 395

5.11. Planos Perpendiculares 396

5.12. Plano Bisector de un Ángulo Diedro 396

5.13. Clasificación de los Ángulos Diedros 397

5.14. Ángulo Poliedro 398

5.15. Elementos del ángulo Poliedro 399

5.16. Clasificación de los Ángulos Poliedros 399

5.17. Ángulo Triedro 399

5.18. Elementos del Ángulo Triedro 400

5.19. Clasificación de los Ángulos Triedros 400

5.20. Poliedros 400

5.21. Elementos de un Poliedro 401

5.22. Propiedades de los Poliedros 401

5.23. Medida 403

5.24. Cono de Revolución 406

5.25. Superficie Esférica y esfera 410

CAPÍTULO V

5. GEOMETRIA DEL ESPACIO: NOCIONES BASICAS


5.26. Ejercicios Desarrollados 414

5.27. Ejercicios Propuestos 425

5.28. Respuestas 435

CAPÍTULO VI

6. ESTADÍSTICA Y PROBABILIDADES 436

6.1. Estadística 436

6.2. Variable Estadística 436

6.3. Clasificación de la Variable Estadística 436

6.4. Frecuencia 437

6.5. Rango de la Muestra (R) 440

6.6. Representación Gráfica de Distribuciones de Frecuencias 441

6.7. Medidas de Tendencia Central 443

6.8. Probabilidad 447



Bibliografía. 463

CAPITULO VI

6. ESTADÍSTICA Y PROBABILIDADES

1EcuacionEs E inEcuacionEsEduardo Espinoza ramos


Ecuaciones e Inecuaciones 1

CAPÍTULO I

1. ECUACIONES E INECUACIONES.-

1.1. IGUALDAD MATEMÁTICA.-

Una igualdad matemática es una relación que existe entre dos expresiones matemáticas, mediante el signo “=” (igual) y que nos indica que estos tienen el mismo valor numérico.

Si A y B son dos expresiones matemáticas, entonces se tiene:

A = B

que se denomina igualdad matemática, donde:

A = es el primer miembro

B = es el segundo miembro

= es el signo que representa a la igualdad

1.2. CLASIFICACIÓN DE LAS IGUALDADES.-

Se clasifican en dos:

a) IGUALDADES NUMÉRICAS.- Es la igualdad formada por números, por ejemplo: 31652 =+

b) IGUALDADES LITERALES.- Es la igualdad formada por letras y números, pudiendo a su vez ser:

i) IGUALDADES ABSOLUTAS O IDENTIDADES.-

Son aquellos que se verifican para cualquier sistema de valores atribuidos a sus variables.

Ejemplo.- Sea 22))(( yxyxyx −=−+

Como podemos observar en esta igualdad se puede dar valores voluntarios a las variables y podrá comprobarse que siempre se va a verificar.

1. ECUACIONES E INECUACIONES.-

1.1. IGUALDAD MATEMÁTICA.-

CAPITULO I

1.2. CLASIFICACIÓN DE LAS IGUALDADES.-

46 EcuacionEs E inEcuacionEs Eduardo Espinoza ramos


Eduardo Espinoza Ramos46

Para y = 1; 2 1x y= = de donde x = ± 1 entonces 1 1x = − , 2 1x =

Calculando 2 2 2 21 2 ( 1) 1 1 1 2E x x= + = − + = + = , la respuesta es b

5 Calcular la suma de las raíces de la ecuación: 22

3 31

x xx x

= − −+ +

a) 1 b) 2 c) -2 d) -1 e) 4

Desarrollo

Transformamos la ecuación dada en una ecuación cuadrática para esto buscamos una expresión común en x

22

3 31

x xx x

= − −+ +

agrupando 22

3 3 ( )1 ( )

x xx x

= − ++ +

... (1)

haciendo el cambio 2x x y+ = y reemplazando en (1)

3 31

yy= −

+de donde 3 = (3 – y)(1 + y), efectuando

23 3 2y y= + − entonces 2 2 0y y− = de donde y = 0; y = 2

Si y = 0: 2 0x x+ = ⇒ x(x + 1) = 0 de donde 1 0x = , 2 1x = −

Si y = 2: 2 2x x+ = ⇒ 2 2 0x x+ − = , factorizando se tiene:

(x + 2)(x – 1) = 0 de donde 3 2x = − , 4 1x =

calculando la suma: 1 2 3 4 0 1 1 2 2x x x x+ + + = − + − = −

como 1 2 3 4 2x x x x+ + + = − , la respuesta es c

6 Resolver la ecuación 2 2 21 2 6

2 2 2 3 2 4x x x x x x+ =

− + − + − +y dar como respuesta la

suma de las raíces.

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

5

6

DESARROLLO




Desarrollo

Transformando la ecuación dada a una ecuación de segundo grado mediante la sustitución 22x x z− = , obteniéndose la ecuación 1 2 6

2 3 4z z z+ =

+ + +, dando común denominador

3 2 4 6( 2)( 3) 4z zz z z+ + +

=+ + +

de donde 3 7 6( 2)( 3) 4

zz z z

+=

+ + +entonces

(3z + 7)(z + 4) = 6(z + 2)(z + 3), efectuando la multiplicación

2 23 19 28 6 30 36z z z z+ + = + + , simplificando se tiene:

23 11 8 0z z+ + = , factorizando mediante el aspa

3z 8 8z

z 1 3z 11z

(3z + 8)(z + 1) = 0 de donde z = -1; 83

z = −

para z = -1; 22 1x x− = − entonces 22 1 0x x− + =

2 4 1 1 8 1 72 4 4

b b ac ixa

− ± − ± − ±= = = de donde 1

1 74 4

x i= + ; 21 74 4

x i= −

para 83

z = − en 2 823

x x− = − entonces 26 3 8 0x x− + =

2 3 9 4(6)(8)4 3 1832 12 12

b b ac ixa

± −− ± − ±= = = , de donde

33 183

12 12x i= + ; 4

3 18312 12

x i= −

calculando la suma de las raíces:

DESARROLLO

48 EcuacionEs E inEcuacionEs Eduardo Espinoza ramos



1 2 3 41 7 1 7 3 183 3 1834 4 4 4 12 12 12 12

x x x x i i i i+ + + = + + − + + + −

1 1 1 1 1 1 14 4 4 4 2 2

= + + + = + =

como 1 2 3 4 1x x x x+ + + = , la respuesta es a

7 Indicar la menor solución de la ecuación: 5 56 55 5

x xx x+ −

+ =− +

a) 253

b) 254

c) 256

d) 257

e) 258

Desarrollo

A la ecuación dada expresamos en la forma: 5 6 55 5

5

xx x

x

++ =

− +−

... (1)

A la ecuación (1) lo transformamos en una ecuación de segundo grado mediante la

sustitución 55

x yx+

=−

... (2)

ahora reemplazamos (2) en (1) obteniéndose

6 5yy

+ = de donde 2 5 6 0y y− + = , factorizando

(y – 2)(y – 3) = 0 de donde y = 2; y = 3

para y = 2: 5 25

xx+

=−

⇒5 45

xx+

=−

de donde 253

x =

para y = 3: 5 35

xx+

=−

⇒5 95

xx+

=−

de donde 254

x =

se observa que la menor solución es 254

x = , la respuesta es b

7

DESARROLLO




8 Hallar la suma de las raíces de la ecuación: 1 12 22 2

2 22 14 4 2( ) ( ) 24 2 2 14

x x x xx x x x− + + +

+ =+ + − +

(Admisión 1983 – UNI)

a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6

Desarrollo

Como 122

2 122

2

2 14 1( )4 2 2 14( )

4 2

x xx x x x

x x

− +=

+ + − ++ +

, entonces a la ecuación dada expresamos en la

forma siguiente122

2 122

2

2 14 1( ) 24 2 2 14( )

4 2

x xx x x x

x x

− ++ =

+ + − ++ +

... (1)

ahora transformamos a la ecuación (1) en una ecuación de segundo grado mediante la

sustitución.122

22 14( )4 2

x x yx x− +

=+ +

... (2)

ahora reemplazamos (2) en (1) obteniéndose

1 2yy

+ = de donde 2 2 1 0y y− + = como 2( 1) 0y − =

Luego 2( 1) 0y − = ⇒ (y – 1) = 0 de donde y = 1

Para y = 1: 122

22 14( ) 14 2

x xx x− +

=+ +

⇒2

22 14 14 2

x xx x− +

=+ +

, efectuando

2 22 14 4 2x x x x− + = + + , simplificando 6x = 12, de donde

12 26

x = = , que es la solución única, luego la respuesta es a

9 Hallar la solución mayor de la ecuación 4 29 10 1 0x x− + =

a) 1 b) 2 c) 3 d) -1 e) 13

8

9

DESARROLLO

290 NocioNes Básicas de Geometría aNalítica eduardo espiNoza ramos



B

CA

Cx

φφ

β

αθθ

Luego en el ∆ ADE, la suma de ángulos internos es:

θ + θ + 90º + 60º = 180º, simplificando

2θ = 30º de donde θ = 15º, la respuesta es a

32 Hallar el ángulo formado por la intersección de las bisectrices de los ángulos exteriores de los ángulos agudos de un triángulo rectángulo.

a) 60º b) 45º c) 30º d) 65º e) 70º

(Admisión UNMSM – 1994)

Desarrollo

Ilustremos el problema en un gráfico

Por calcular:

x = 180º - (θ - φ) … (1)

del gráfico observamos en A y en B

2θ + α = 180º

2φ + β = 180º sumando

2(θ + φ) + (α + β) = 360º … (2)

En el ACD recto en C se tiene: α + β = 90º … (3)

Ahora reemplazamos (3) en (2) obteniéndose

2(θ + φ) + 90º = 360º entonces 2(θ + φ) = 270º de donde: θ + φ = 135º … (4)

Al reemplazar (4) en (1) se obtiene: x = 180º - 135º = 45º, la respuesta es b

33 Un cateto de un triángulo rectángulo mide 15 cm y la hipotenusa es 5 cm mayor que el otro cateto. Halle el perímetro de dicho triángulo.

a) 55 cm b) 50 cm c) 60 cm d) 65 cm e) 70 cm

Desarrollo

32

33

DESARROLLO

DESARROLLO

291NocioNes Básicas de Geometría aNalíticaeduardo espiNoza ramos


Nociones Básicas de Geometría Analítica 291

C

B Aa

a + 515

B

A C2α

α

F

α

x

Sea el triángulo ABC

P = perímetro = 15 + a + (a + 5)

P = 2a + 20 … (1)

El valor de “a” calculamos por el teorema de

Pitágoras: 2 2 2

AB BC AC+ =

2 2 215 ( 5)a a+ = + , desarrollando

2 2225 10 25a a a+ = + + ⇒ 10a = 200 de donde a = 20

Reemplazando en (1) se tiene: P = 2(20) + 20 = 60 cm

Por lo tanto la respuesta es c

34 En un triángulo ABC, AB = BC, se traza la bisectriz interior CF. Calcular m B , si

( ) 102ºm BFC =

a) 34º b) 44º c) 38º d) 48º e) 52º

Desarrollo

Mediante un gráfico ilustraremos los datos del problema

Por calcular: m B x=

Como AB = BC, entonces el ∆ ABC es isósceles de donde

( ) ( ) 2m CAB m ACB α= =

Ahora en el ∆ AFC se tiene el ángulo exterior es:

2α + α = 102º ⇒ 3α = 102º de donde α = 34º

En el ∆ FBC, la suma de ángulos internos

x + α + 102º = 180º ⇒ x + 34º + 102º = 180º de donde x = 44º

Luego 44ºm B x= = , la respuesta es b

34

DESARROLLO




A

B

CE

38º

x x 38º

A

B

C

3x

2x 4x

35 En un triángulo ABC, se traza la ceviana BE tal que: AB = BE = EC y ( ) 38ºm ECB = ,

hallar m A

a) 64º b) 68º c) 72º d) 76º e) 80º

Desarrollo

Ubicando los datos del problema en un gráfico

De los datos del problema se deduce que ∆ BEC es isósceles y ∆ ABE es isósceles

Por el concepto de ángulo exterior se tiene:

x = 38º + 38º = 76º

Como 76ºm A x= = , la respuesta es d

36 Los 3 ángulos de un triángulo están en la relación de 2 es a 3, es a 4 ¿Cuánto mide el ángulo externo correspondiente al ángulo mayor?

a) 110º b) 100º c) 90º d) 80º e) 70º

Desarrollo

De los datos del problema se tiene:

2x = 1er ángulo

3x = 2do ángulo

4x = 3er ángulo

La suma de los ángulos internos de un triángulo es 180º entonces

2x + 3x + 4x = 180º ⇒ 9x = 180º de donde x = 20º

Luego los ángulos del triángulo son:

2x = 2(20º) = 40º, 3x = 3(20º) = 60º, 4x = 4(20º) = 80º

Luego el ángulo externo correspondiente al ángulo mayor 80º es:

180º - 80º = 100º, la respuesta es b

35

36

DESARROLLO

DESARROLLO




A

B

C

x

aa

aa

03x

37 El ángulo formado por las bisectrices de los ángulos iguales de un triángulo isósceles es triple del ángulo desigual ¿Cuánto vale dicho ángulo?

a) 108º b) 106º c) 104º d) 102º e) 100º

Desarrollo

Representando los datos mediante un gráfico

Sea x = el ángulo desigual en B

3x = el ángulo formado por las bisectrices

AO y CO de los ángulos A y C del ∆ ABC

En el ∆ ABC, la suma de los ángulos internos es igual a 180º

2a + x + 2a = 180º, de donde x + 4a = 180º … (1)

En el ∆ AOC, la suma de los ángulos internos es igual a 180º

a + 3x + a = 180º, de donde 3x + 2a = 180º … (2)

Ahora comparamos (1) y (2) obteniéndose x + 4a = 3x + 2a de donde x = a … (3)

al reemplazar (3) en (1) se tiene:

x + 4x = 180º entonces 5x = 180º de donde x = 36º

como ( ) 3 3(36º ) 108ºm AOC x= = = , la respuesta es a

38 Uno de los ángulos agudos de un triángulo rectángulo es el doble del otro. Hallar el valor del ángulo que se forma al encontrarse las bisectrices de dichos ángulos.

a) 125º b) 135º c) 115º d) 130º e) 120º

Desarrollo

Sea x = el ángulo agudo

2x = el otro ángulo agudo

37

38

DESARROLLO

DESARROLLO




A

B

C

x

α

x/20

x

x/2

x

A

B

C

80º

40º

x E

A

B

C

80º

40º

x E

θθ

En ∆ ABC recto en A se tiene:

2x + x = 90º

3x = 90º de donde x = 30º

Luego 15º2x=

En el ∆ COB, la suma de los ángulos internos es igual a 180º

180º2xx α+ + = ⇒

3 180º2x α+ = ⇒

3 (30º ) 180º2

α+ =

45º + α = 180º de donde α = 35º el ángulo formado por las bisectrices,

Por lo tanto la respuesta es b

39 En la figura, calcular “x” si AE es bisectriz interior.

a) 20º b) 30º c) 35º

d) 40º e) 70º

Desarrollo

Como AE es bisectriz, entonces

( ) ( )m EAB m CAE θ= =

En el ∆ ABC: la suma de los ángulos internos es igual a 180º

80º + 2θ + 40º = 180º

2θ = 60º de donde θ = 30º

En el ∆ ACE el ángulo externo en E se tiene:

x = θ + 40º = 30º + 40º = 70º, la respuesta es d

39

DESARROLLO




θθα

α

B

D

A EC60º

x75ºF H

GE

x75ºF H45º

GE

R

Q 75º

αT

P

40 En el triángulo rectángulo ABC, hallar θ

a) 20º b) 30º c) 40º

d) 50º e) 60º

Desarrollo

Aplicando el teorema de un ángulo exterior a un triángulo de la figura dada se observa que:

En el ∆ DBC recto en B el ángulo exterior en D es 2θ, es decir: 2θ = 90º + α … (1)

En el ∆ EDC el ángulo exterior en E es 60º, es decir: θ + α = 60º … (2)

Ahora sumamos las ecuaciones (1) y (2)

3θ + α = 150º entonces 3θ = 150º, de donde 150º 50º3

θ = = , la respuesta d

41 En la figura EFGH es un cuadrado. Hallar el valor de x

a) 60º b) 45º c) 50º

d) 30º e) 20º

(Admisión (UNMSM – 1996)

Desarrollo

La diagonal EH es bisectriz del ángulo en H

En el ∆ HPQ, la suma de los ángulos internos es iguala 180º, es decir:

45º + 75º + α = 180º, de donde

α = 180º - 120º = 60º ⇒ α = 60º

DESARROLLO

40

41

DESARROLLO

436 Estadística y ProbabilidadEs Eduardo EsPinoza ramos



CAPÍTULO VI

6. ESTADÍSTICA Y PROBABILIDADES.-

6.1. ESTADÍSTICA.-

Es la ciencia de recoger, clasificar, describir y analizar datos numéricos que sirven para deducir conclusiones y tomar decisiones de acuerdo a esos análisis.

La estadística se divide en dos grandes áreas.

1ro. ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA O DEDUCTIVA.-

Dedicada a la recolección, clasificación y ordenamiento de datos.

2do. ESTADÍSTICA INDUCTIVA O INFERENCIAL.-

Que interpreta los datos recogidos en la primera etapa y obtiene conclusiones a partir de ellos.

6.2. VARIABLE ESTADÍSTICA.-

Es un símbolo que representa indistintamente a uno cualquiera de los elementos de un conjunto de datos.

Ejemplo.- Con respecto a los alumnos del 3er año de secundaria del colegio A, son variables estadística: la altura, el peso, el sexo, sus notas, etc.

6.3. CLASIFICACIÓN DE LA VARIABLE ESTADÍSTICA.-

1ro. LA VARIABLE ESTADÍSTICA CUALITATIVA O ATRIBUTO.-

Es aquella variable estadística que no es medible.

CAPITULO VI

6. ESTADÍSTICA Y PROBABILIDADES.-

6.1. ESTADÍSTICA.-

6.2. VARIABLE ESTADÍSTICA.-

6.3. CLASIFICACIÓN DE LA VARIABLE ESTADÍSTICA.-

437Estadística y ProbabilidadEsEduardo EsPinoza ramos


Estadística y Probabilidades 437

Ejemplos.- 1) La raza de un grupo de personas

2) El sexo de un grupo de alumnos.

3) El estado civil de un grupo de personas.

2do. VARIABLE ESTADÍSTICA CUANTITATIVA.-

Es aquella variable estadística que es medible.

La variable estadística cuantitativa pueden ser discretas o continuas.

DISCRETA.- Son aquellas que se pueden contar o enumerar, toman valores enteros.

Ejemplos.- 1) El número de alumnos por colegio.

2) El número de pacientes por hospital.

CONTINUA.- Son aquellos que se puede medir, toman valores enteros o decimales.

Ejemplos.- 1) La estatura.

2) La edad

3) El peso

6.4. FRECUENCIA.-

Cantidad de veces que se repite un suceso.

6.4.1. FRECUENCIA ABSOLUTA ( )if .- Es el número de elementos de una

muestra que representa el mismo valor y se denota por ( )if sus valores son enteros que oscilan de “0” a un (n ∈ N). La suma de estas frecuencias es igual al total de datos de la muestra (n).

Ejemplo.- En la sección A del 3er año de secundaria estudian 48 alumnos, de los cuales 14 tienen 12 años, 22 tienen 13 años y el resto tiene 14 años, entonces:

f(alumnos que tienen 12 años) = 14

f(alumnos que tienen 13 años) = 22

6.4. FRECUENCIA.-

6.4.1. FRECUENCIA ABSOLUTA.-




f(alumnos que tienen 14 años) = 48 – (14 + 22) = 12, de donde

f(12 años) + f(13 años) + f(14 años) = 14 + 22 + 12 = 48 → número de elementos de la muestra.

6.4.2. FRECUENCIA RELATIVA ( )ih .- Es el cociente entre la frecuencia absoluta ( )if y el número de elementos de la muestra (n), es decir:

ii

fh

n=

La frecuencia relativa se puede expresar también en porcentaje, donde el valor del cociente se multiplica por 100%, es decir:

En %, 100%ii

fh x

n=

NOTA.- La suma de las frecuencias relativas de una muestra determina la unidad, es decir:

1

1n

ii

h=

=∑

Ejemplo.- En la sección A del 3er año de secundaria, estudian 48 alumnos de los cuales 17 son mujeres y el resto son hombres, entonces

18(mujer)48

48 18 30(hombre)48 48

h

h

= − = =

⇒18 30(mujer) (hombre) 148 48

h h+ = + =

6.4.3. FRECUENCIA ABSOLUTA ACUMULADA ( )iF .-

Es la suma en forma sucesiva y gradual de las frecuencias absolutas, es decir:

Si 1 2, ,..., nf f f son las frecuencias absolutas en una muestra, entonces

6.4.2. FRECUENCIA RELATIVA .-

6.4.3. FRECUENCIA ABSOLUTA ACUMULADA.-




1 1F f=

2 1 2F f f= +

3 1 2 3F f f f= + +...

1 2 3 ...n nF f f f f= + + + +

Ejemplo.- En la sección A del 3er año de secundaria, donde estudiaban 487 alumnos, se obtuvieron las notas siguientes, 8 alumnos obtuvieron

nota 11; 16 alumnos obtuvieron nota de 13, 14 alumnos obtuvieron nota 15, 6 alumnos obtuvieron nota de 16 y 4 alumnos obtuvieron nota de 18, entonces.

Sea: Nota 11, 1 8f = 1 1 8F f= =

Nota 13, 2 16f = 2 1 2 8 16 24F f f= + = + =

Nota 15, 3 14f = ⇒ 3 1 2 3 8 16 14 38F f f f= + + = + + =

Nota 16, 4 6f = 4 1 2 3 4 8 16 14 6 44F f f f f= + + + = + + + =

Nota 18, 5 4f = 5 1 2 3 4 5 8 16 14 6 4 48F f f f f f= + + + + = + + + + =

6.4.4. FRECUENCIA RELATIVA ACUMULADA ( )iH .-

Es la suma en forma sucesiva y gradual de las frecuencias relativas de una muestra, es decir:

Si, 1 2 3, , ,..., nh h h h son las frecuencias relativas de una muestra, es decir:

1 1H h=

2 1 2H h h= +

3 1 2 3H h h h= + +...

1 2 3 ...n nH h h h h= + + + +

6.4.4. FRECUENCIA RELATIVA ACUMULADA.-




Ejemplo.- Si de un total de 48 estudiantes de matemática, se sabe que 14 estudian solamente algebra, 26 estudian solamente aritmética y 8 estudian solamente geometría, entonces

1 11448

H H= =

2 1 214 26 4048 48 48

H h h= + = + =

3 1 2 314 26 8 148 48 48

H h h h= + + = + + =

6.5. RANGO DE LA MUESTRA (R).-

Es la diferencia entre el mayor y menor de los datos de una muestra.

max minR x x= −

OBSERVACIÓN.- Para una mejor aprovechamiento en el estudio de datos de una muestra, se recomienda ordenar los datos por lo general de menor a mayor.

El estudio del conjunto de datos que se obtienen de una muestra requiere de su elaboración y para esto se disponen los datos en una tabla de distribución de frecuenciascomo se indica y que a continuación se explicara.

Valores de la Variable Frecuencia Absoluta

Es la columna encabezada por valores de variable, se ponen los distintos valores ya sean cuantitativas o cualitativas, que toma la variable cuando recorre el conjunto de datos que se obtienen de la muestra.

En la columna encabezada por frecuencia absoluta, el número de veces que se da a la variable por cada dato en la muestra.

6.5. RANGO DE LA MUESTRA (R).-




Ejemplo.- Se selecciono una muestra de 100 paquetes de café bajo investigación de su peso, al utilizar una balanza de precisión, se obtuvieron los siguientes datos.

20 paquetes parecieron con 478 gr, 4 con 428 gr, 10 con 502 gr, 34 con 503 gr, 6 con 510 gr y 26 con 499 gr.

Esta información la organizaremos de acuerdo con la característica de la variable que es peso, de menor o mayor, como mostraremos en la tabla.

Peso de 100 paquetes de café

Valores de la variable Frecuencia Absoluta

Peso en gr Nº de paquetes428478499502503510

4202610346

En la columna de frecuencias aparece el número de paquetes que corresponde a cada peso de la izquierda.

6.6. REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE DISTRIBUCIONES DE FRECUENCIAS.-

Los gráficos o diagramas son muy importantes, en donde se pude analizar en una forma más concreta y exacta los datos que se han ordenado en una distribución de frecuencia, entre los más importantes tenemos.

6.6.1. HISTOGRAMAS.- Son diagramas de barra, donde sus bases representan intervalos de clase continua y las alturas las frecuencias.

Ejemplo.- De la siguiente tabla de distribución de frecuencias, referente a la estatura de un grupo de alumnos, elaborar un histograma.

6.6. REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE DISTRIBUCIONES DE FRECUENCIAS.-

6.6.1. HISTOGRAMAS.-




Estatura iI ix if

[1,20; 1,30>[1,30; 1,40>[1,40; 1,50>[1,50; 1,60>

125135145155

10203515

Solución

Construimos un plano cartesiano (estatura vs nº de alumnos)

Nº de alumnos

estatura

35

2015

10

0 1,20 1,30 1,40 1,50 1,60

6.6.2. POLÍGONO DE FRECUENCIA.- Es el gráfico elaborado tomando como base un plano cartesiano en el cual el

eje de abscisas representa los valores de la variable estadística y la ordenada señala las frecuencias, luego se une los puntos de intersección mediante segmentos y la poligonal formada recibe el nombre de polígono de frecuencia.

Ejemplo.- DE la siguiente tabla de distribución de frecuencias, elaborar un polígono de frecuencia.

Peso ix if

404142434445

59

10974

SOLUCIÓN

6.6.2. POLÍGONO DE FRECUENCIA.-

matematica 3

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