ENSAYO GENERAL Nº3 DE MATEMÁTICA

2

1. 1

3 +

1

4 :

1

5 =

A) 10

7

B) 5

12

C) 19

12

D) 35

12

E) 23

60

2. ¿Cuántos octavos hay en 13

2?

A) 16 B) 28 C) 36 D) 48 E) 52

3. Si t es un número racional y s es un número irracional, entonces ¿cuál(es) de las

siguientes afirmaciones es (son) siempre verdadera(s)?

I) t ⋅ s es un irracional. II) t – s es un irracional.

III) t

s es un irracional.

A) Sólo I B) Sólo II C) Sólo I y III D) Sólo II y III E) I, II y III

4. Si k – 1 es un número impar, ¿cuál(es) de las siguientes expresiones representa(n) un

número par?

I) k 3 II) (k + 1)(k + 2) III) k (k – 1)

A) Sólo II B) Sólo I y II C) Sólo I y III D) Sólo II y III E) I, II y III

3

5. De un canasto con 160 castañas, se reparte equitativamente 1

4 de ellas entre 5 niños,

y el resto entre 15 niñas. ¿Cuántas castañas recibieron dos niños y tres niñas? A) 16 B) 24 C) 32 D) 36 E) 40

6. En el círculo de centro O (fig. 1 ) ∝= 120º, ¿qué porcentaje de la superficie en blanco es la superficie sombreada?

A) 50%

B) 33,3%

C) 25%

D) 66,6%

E) 75% 7. El 20% del 40% de c, es igual al 40% de d. ¿Qué porcentaje es d de c?

A) 5% B) 10% C) 20% D) 25% E) 50%

8. En una tienda comercial el artículo A bajó su precio de $5.000 a $4.000 y el artículo B

lo aumentó de $4.000 a $5.000. La diferencia porcentual entre el aumento y la rebaja de estos dos artículos es de

A) 0% B) 5% C) 10% D) 20% E) 25%

∝

O fig. 1

4

9. Si (k – 3) 3 = 27, entonces ¿cuál(es) de las siguientes igualdades puede(n) ser verdadera(s)?

I) k = 0 II) k = 6 III) k = -3

A) Sólo I B) Sólo II C) Sólo III D) Sólo I y II E) Sólo II y III

10. La ciudad de Iquique recibió en el verano del año 2011, 60.000 turistas y espera

recibir 100.000 turistas en el verano del año 2012, entonces el tanto por ciento de aumento del turismo esperado es

A) 662

3 %

B) 661

3 %

C) 60%

D) 331

3 %

E) 40% 11. A y B son dos magnitudes inversamente proporcionales. Si cuando A = 4, B = 7,

entonces cuando A = t, B =

A) 7

t

B) 11t C) 28t

D) 11

t

E) 28

t

12. Si 1a− = 6 y 1b− = 1

3, entonces

1a

b

−

=

A) 18 B) 2 C) 1

D) 1

2

E) 1

18

5

13. ¿Cuál es el valor de k? si k

2 -

k

3 +

k

4 = 5

A) 12

B) 1

12

C) 25

12

D) 12

25

E) 60

13

14. Si A = ST y S = TQ, entonces ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son)

verdadera(s)?

I) A = T

Q

II) A = 2T ⋅ Q

III) A = 2S

Q

A) Sólo II B) Sólo III C) Sólo I y II D) Sólo I y III E) Sólo II y III

15. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s) si se sabe que A es 2

3

de B y que B es 3

4 de C?

I) 2A = C II) 2B = A – C III) C – A = B

A) Sólo I B) Sólo I y II C) Sólo I y III D) Sólo II y III E) I, II y III

16. ¿Cuál es el perímetro del triángulo equilátero de la figura 2?

A) 15 B) 24 C) 27 D) 33 E) 36

3X - 1 X + 7 fig. 2

6

17. ¿En cuál(es) de las siguientes figuras se puede siempre determinar su área si se

conoce su perímetro?

I) Cuadrado II) Círculo III) Hexágono

A) En sólo I B) En sólo II C) En sólo I y II D) En I, II y III E) En ninguna de ellas

18. ¿Cuál(es) de las siguientes expresiones es (son) equivalente(s) a n4 + n4 + n4 + n4 ?

I) n 14 +

II) 16 n

III) 2 2(n 1)+

A) Sólo I B) Sólo II C) Sólo I y III D) Sólo II y III E) I, II y III

19. Tres números enteros consecutivos son tales que, el doble del mayor es igual al triple

de la suma de los otros dos, más 21. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) FALSA(S)?

I) El mayor de los números es el -5. II) El producto de los dos menores es 12. III) El cuadrado del menor es 25.

A) Sólo I B) Sólo III C) Sólo I y II D) Sólo I y III E) Sólo II y III

20. Si x-1 = a -1 + b-1, entonces x =

A) a + b

B) a

b

C) a

-b

D)a + b

ab

E) ab

a + b

7

21. ¿Para qué valores de x la expresión 1

3x 1−

no está definida?

A) Para x = 0

B) Para x = 1

3

C) Para todos los valores negativos de x

D) Para todos los valores de x mayores que 1

3

E) Para todos los valores de x menores o igual a 1

3

22. Si x16

16 = 64 ⋅ 64

x

, entonces x =

A) -5 B) -4 C) -1 D) 4 E) 5

23. El área de un triángulo rectángulo siempre permanece constante si un cateto

A) se duplica y el otro se reduce a la mitad. B) permanece constante, el otro aumenta y la hipotenusa disminuye. C) se duplica igual que el otro y la hipotenusa se reduce a la mitad. D) aumenta en 1 cm y el otro disminuye en 1 cm. E) Ninguna de las anteriores.

24. Sea n un número entero y M = n2 – n. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones

es(son) siempre verdadera(s)?

I) M

2 es un número entero

II) M2 es múltiplo de cuatro III) 3M es múltiplo de seis A) Sólo II B) Sólo III C) Sólo I y II D) Sólo I y III E) I, II y III

8

x + y = p x - y = q

25. Una reciente encuesta estableció que el 75% de las personas consultadas está afiliada

a alguna de las tres AFP siguientes: Master, Royal o Magnun. Este porcentaje se distribuye según lo indica el gráfico de la figura 3.

Si el sistema de AFP contara con un total de 4.896.000 afiliados, ¿con cuántos contaría

la AFP Royal?

A) 3.672.000 B) 1.958.400 C) 1.762.560 D) 1.321.920 E) 1.175.040

26. Si log b 3 = K y log b 2 = L, entonces log b 24 =

A) K ⋅ L 3

B) 3K ⋅ 8L C) 3(K + L)

D) K + L 3 E) K + 3L

27. Dado el sistema entonces x 2 - y 2 =

A) pq

B) p 2 q 2

C) 2

2

p

q

D) pq

E) p 2 - q 2

32%

36%

32%

Master Royal Magnun (AFP)

(% afiliados)

fig. 3

9

28. La curva de la figura 4 corresponde a la representación gráfica de a función f(x) = 2 x . La suma de los perímetros de los rectángulos sombreados es igual a

A) 9 B) 27 C) 28 D) 30 E) 32

29. Si 3x 2 - 5x – 1 = 1 y x > 0, entonces x =

A) 12 B) 4 C) 2

D) 2

3

E) 1

3

30. Si x + y = a + b y ax + by = a 2 + b 2 , entonces xy =

A) a

b

B) ab

C) a 2 + b 2

D) (a + b) 2

E) a 2 - b 2

31. La recta de ecuación y – x + 1 – 2K = 0 pasa por el origen. ¿Cuál es el valor de K?

A) 1

B) 1

2

C) - 1

2

D) - 1 E) 0

f(x) = 2 x

3 6 X

Y

fig. 4

10

32. ¿ En cuál(es) de los siguientes gráficos se muestra una recta de pendiente positiva y

coeficiente de posición negativo?

A) En sólo I B) En sólo III C) En sólo I y II D) En I, II y III E) En ninguno de ellos

33. Si A = πr 2 y C = 2πr, entonces A en función de C es

A) Cr

2

B) 2C

r

C) C

2r

D) 2 Cr E) Ninguna de las anteriores

34. De acuerdo a la parábola de la figura 5, ¿cuál es el conjunto de todos los valores de x

cuya imagen es mayor o igual a cero?

A) 0,1

B) 0,1

C) ,4−∞ ∩ 0,+∞

D) ,0−∞ ∪ 4,+∞

E) ,0−∞ ∪ 4,+∞

I) II) III)

x 4

y

fig. 5

11

35. El dominio de la función f(x) = x 5

x

− está formado por

A) todos los reales excepto el cero. B) todos los reales positivos. C) todos los reales no negativos. D) todos los reales mayores que 5. E) todos los reales mayores o igual a 5.

36. Se depositan $500.000 con un interés simple mensual de un 2%. ¿Cuál será la

ganancia al cabo de 10 meses?

A) $ 10.000 B) $ 50.000 C) $ 100.000 D) $ 600.000 E) Ninguna de las anteriores

37. Dadas las rectas L1 : 2x – 4y = 5, L2 : 4x + 2y = 1 y L3 : 8y – 4y = 3, ¿cuál(es) de

las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)?

I) L1 ⊥ L2 II) L1 // L3 III) L2 // L3

A) Sólo I B) Sólo II C) Sólo III D) Sólo I y II E) Ninguna de las anteriores

38. En la figura 7, ¿cuál de as siguientes alternativas representa una rotación de la figura

en 180º y en torno al punto M?

fig. 7

M

A) C) D) E) B)

12

39. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)?

I) El pentágono regular no tiene centro de simetría. II) El triángulo isósceles tiene centro de simetría. III) El romboide no tiene centro de simetría.

A) Sólo I B) Sólo II C) Sólo I y II D) Sólo I y III E) I, II y III

40. Al punto A (1,-4) se le aplica una rotación en 180º con centro en el origen del sistema de coordenadas, y luego una reflexión respecto del eje Y. ¿Cuáles son las nuevas coordenadas del punto A?

A) (-1,4) B) (-4,1) C) (-1,-4) D) (4,1) E) (1,4)

41. Si f(x) = 4x2 – 12x + 9, entonces ¿cuál(es) de las siguientes proposiciones es(son) verdadera(s)?

I) La función es tangente al eje x. II) Corta al eje de las ordenadas, en el punto (0,9). III) La parábola asociada a la función, pasa por el punto (1, 1) .

A) Sólo I B) Sólo I y II C) Sólo II y III D) Todas E) Ninguna

42. Si f(x) = 2a - x

5a - 9 y f(a) = 2, entonces a =

A) 2 B) 1

C) 1

2

D) 2

5

E) 1

4

13

43. Si f(x) = 2ax y f(3) = 9, entonces a =

A) 1 B) 3 C) 9 D) 27 E) 81 44. ¿Cuál de las siguientes alternativas representa el gráfico de la función

f(x) = x - 4 - 1?

45. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s) con respecto a una

figura geométrica a la que se le aplica una traslación y luego una rotación con respecto al origen del sistema de coordenadas?

I) Cambia de posición. II) Cambia de forma. III) Cambia de tamaño.

A) Sólo I B) Sólo I y II C) Sólo I y III D) Sólo II y III E) I, II y III

y

x

y

x

y

x 4

-1

-1

-4

1

4

y

x

y

x

4

-1

-4

-1

A) B) C)

D) E)

14

46. El pentágono PQRS está formado por el cuadrado PQRT y por el y triángulo isósceles

TRS (fig.8). ¿Cuál(es) de las siguientes es (son) afirmaciones es (son) verdadera(s)?

I) ∆ QRM ∼ ∆ STM II) ∆ STM ∼ ∆ SPQ III) ∆ MQR ∼ ∆ MSR

A) Sólo I B) Sólo II C) Sólo I y II D) Sólo I y III E) Sólo II y III

47. ¿Cuál de las siguientes es la ecuación de la recta que forma un ángulo de 45º con el

eje x e intersecta al eje y en -3? A) y = x – 3 B) y = x + 3 C) y = 3x D) y = -3x E) y = 3x – 3

48. En la figura 9, �AB es semicircunferencia, ∆ ADC es rectángulo en el cual, AC = 5 y

CD = 4. ¿Cuánto mide DB ? A) 5

B) 5,3

C) 6 D) 8

E) 8,3

P Q

R M T

S

fig. 8

A D B

C

fig. 9

15

49. En la figura 10, AD mide 38 cm, AC mide 24 cm y AB = 2BC. Si E es punto medio de

CD y F es punto medio de BC , ¿cuántos centímetros mide FE ?

A) 4,5 B) 5,0 C) 5,5 D) 6,0 E) 11,0

50. Si AB y CD son diámetros de las circunferencias tangentes de centro O y O`(fig. 11 ),

¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)

I) Son congruentes si AO : CD = 1 : 2. II) Son congruentes si AO = 5 y AB = 10. III) Siempre son semejantes.

A) Sólo I B) Sólo III C) Sólo I y II D) Sólo I y III E) I, II y III

A B C D fig. 10

D

C

O`

A

B

O fig. 11

16

51. En la figura 12, ∆ MPQ es un rectángulo en P, SR ⊥ MQ , PS = 3, SQ = 5 y MQ = 10.

¿Cuál(es) de las siguientes proposiciones es (son) verdadera(s)

I) ∆ MPQ ∼ ∆ SRQ II) MP ≅ MR III) � RMS = � PMS

A) Sólo I B) Sólo I y II C) Sólo I y III D) Sólo II y III E) I, II y III

52. En el cuadrilátero ABCD (fig.13 ), AD ⊥ AB y AB // CD . AB : BD =

A) 2 : 3 B) 3 : 4 C) 3 : 5 D) 4 : 5 E) 5 : 8

R

S

M P

Q

fig. 12

D C 4

12

A B

13 fig.13

17

53. El rectángulo ABCD de la figura, está formado por tres cuadrados. ¿Cuánto mide el perímetro del triángulo AGE? A) 54 cm B) 18 cm C) 9 cm

D) (9 + 3 5 ) cm

E)

9 3 + 5

2 2 cm

54. En la figura 13, �AB y �CB son semicircunferencias. ¿Cuál(es) de las siguientes

afirmaciones es (son) verdadera(s)?

I) CE // AD

II) � BAD = � BCE

III) ∆ ABD ∼ ∆ CBE

A) Sólo I B) Sólo I y II C) Sólo I y III D) Sólo II y III E) I, II y III

55. ¿Cuál es el área de un círculo inscrito en un triángulo rectángulo cuyos catetos miden 9cm y 12cm respectivamente?

A) 4π cm2 B) 9π cm2 C) 16π cm2

D)49

2π cm2

E)23

5π cm2

A C B

D

E fig. 13

D E C

F H

A G B

6 cm

18

56. En la circunferencia de centro O (fig. 15), PQ y RS son diámetros. Si � OQS = 65º,

entonces � ROP =

A) 25º B) 37,5º C) 50º D) 65º E) 130º

57. El volumen de un cubo es a a cm 3 . ¿Cuál es el área de una de las caras de este

cubo?

A) a

6 cm 2

B) 6a cm 2

C) a cm 2

D) a cm 2

E) a 2 cm 2 58. La figura nuestra dos cilindros en que el de mayor tamaño tiene altura H y radio R,

mientras que el mas pequeño tiene altura h y radio r. Si r : R = 1 : 3 y h : H = 1 : 2 ¿en qué razón están sus volúmenes?

A) 1 : 27 B) 1 : 9 C) 1 : 18 D) 2 : 9 E) 2 : 27

P

R

S

Q O

fig. 15

fig. 16

19

59. Sabiendo que ∝ es un ángulo agudo de un triángulo rectángulo y que sen ∝ = 3

2,

entonces cos ∝ =

A) 1

2

B) 3

C) 2 3

D) 3

2

E) 3

3

60. El gráfico circular de la figura17, muestra porcentualmente la distribución de

exportación del vino chileno en el período enero-octubre del año 2009

De acuerdo a lo anterior, ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son)

verdadera(s)?

I) El 30% de lo que se exportó al Reino Unido equivale a lo que se exportó a Canadá.

II) Lo exportado al Reino Unido fue más del 85% de lo exportado en conjunto a EE.UU. y Holanda.

III) Si Chile exportó, en ese período, el 60% de su producción entonces a Holanda se destinó el 3%.

A) Sólo I B) Sólo II C) Sólo III D) Sólo II y III E) I, II y III

•

•

•

•

•

•

•

•

•

•

Otros 55%

Reino Unido 18%

EE.UU. 16%

Canadá 6%

Holanda 5%

• fig. 17

20

61. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) FALSA(S)?

I) La suma de las frecuencias absolutas es igual a 1. II) La muestra siempre es mayor que la población. III) La media aritmética divide al tamaño de la nuestra en dos

partes iguales.

A) Sólo I B) Sólo II C) Sólo I y III D) Sólo II y III E) I, II y III

62. Se lanza simultáneamente dos dados y se suman los puntos obtenidos. La

probabilidad que la suma no sea menor que 9 es

A) 1

12

B) 5

18

C) 1

6

D) 11

12

E) 3

6

36

63. Si se elige al azar un número entero entre 9 y 62, ¿cuál es la probabilidad que sea

múltiplo de 9?

A) 5

52

B) 6

52

C) 5

53

D) 6

53

E) 5

54

64. Un disco tiene una de sus caras pintadas de azul, y la otra de rojo. Si se lanza 4

veces, ¿cuál es la probabilidad que al caer a lo menos muestre 3 veces la cara azul?

A) 1

4

B) 3

4

C) 5

16

D) 7

8

E) 11

16

21

65. Se estimó porcentualmente el número de usuarios que evaden el pago de la tarjeta del

pasaje en cinco recorridos del transantiago. Esta medición se hizo aleatoriamente en tres horarios de un mismo día y se obtuvo la información que entrega el gráfico en la figura 18.

¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)?

I) El recorrido B es el que presentó mayor evasión. II) En general, se concluye que a las 6 A.M. ocurrió la mayor evasió III) A las 8 P.M. se produjo la menor evasión.

A) Sólo I B) Sólo II C) Sólo III D) Sólo I y II E) I, II y III 66. Se lanzó un dado en 20 ocasiones consecutivas, obteniéndose la información

presentada en el gráfico de la figura 19 1 2 3 4 5 6

¿Cuál de las siguientes opciones es falsa? A) La moda es 5. B) La mediana es 3,5. C) La media aritmética es igual a la mediana. D) La probabilidad que un puntaje obtenido no sea inferior a un 5 es 50%. E) La probabilidad que el puntaje obtenido no sea 4 es 0,9.

A B C D E

15%

20%

10%

15%

12% 10%

14%

5% 8%

6% 8%

10% 10%

15% 12%

A B C D E E D C B A

(6 A.M.) (2 P.M.) (8 P.M.)

%

(recorridos)

-

-

-

-

-

(Nº de lanzamientos)

4

3 3

2

3

5

(puntaje)

fig. 18

fig. 19

22

67. “Gráfico de barras rectangulares verticales adosadas donde la base es proporcional a la

amplitud del intervalo, y la altura es proporcional a su frecuencia” es definición de A) Histograma B) Cartograma C) Pictograma D) Dispersograma E) Ninguna de las anteriores 68. Una misma prueba se aplicó a dos cursos paralelos: 4º A y 4º B. En el 4º A rindieron

la prueba 20 alumnos y obtuvieron un 6 como nota promedio. Si el promedio entre los dos

cursos fue 5,4 , entonces ¿cuál fue el promedio del 4º B si rindieron la prueba 30

estudiantes?

A) 4,5 B) 5 C) 5,4 D) 5,3 E) 5,2

69. En un bus viajan 28 turistas, de los cuales 16 son santiaguinos y el resto son

viñamarinos. Se puede saber cuántas viñamarinas viajan en el bus si se sabe que: (1) el número de viñamarinos duplica al número de viñamarinas. (2) del total de turistas, 21 son hombres. A) (1) por sí sola. B) (2) por sí sola. C) Ambas juntas, (1) y (2) D) Cada una por sí sola, (1) ó (2) E) Se requiere información adicional

70. En la siguiente figura 20 los triángulos ABC y DBE son semejantes si:

(1) DE = EB (2) � DAC = � BDE A) (1) por sí sola. B) (2) por sí sola. C) Ambas juntas, (1) y (2) D) Cada una por sí sola, (1) ó (2) E) Se requiere información adicional

A B

C

D

E

fig. 20

23

71. Para determinar al eje se simetría de la parábola representativa de la función

f(x) =ax 2+bx + c, es necesario conocer el valor de: (1) a y b. (2) a y c. A) (1) por sí sola. B) (2) por sí sola. C) Ambas juntas, (1) y (2) D) Cada una por sí sola, (1) ó (2) E) Se requiere información adicional 72. En el cubo de la figura 21, se puede determinar el área del triángulo sombreado si: (1) se conoce el volumen del cubo.

(2) M es punto medio de PQ .

A) (1) por sí sola. B) (2) por sí sola. C) Ambas juntas, (1) y (2) D) Cada una por sí sola, (1) ó (2) E) Se requiere información adicional

73. Sabiendo que m es un número entero distinto de cero, la expresión a 4

a 7

m

m

+

+ toma siempre

un valor positivo si: (1) m es positivo. (2) a es impar. A) (1) por sí sola. B) (2) por sí sola. C) Ambas juntas, (1) y (2) D) Cada una por sí sola, (1) ó (2) E) Se requiere información adicional

74. Podemos afirmar que 2a + b 2 = (a + b) 2 si:

(1) a ⋅ b = 0 (2) a + b = 0 A) (1) por sí sola. B) (2) por sí sola. C) Ambas juntas, (1) y (2) D) Cada una por sí sola, (1) ó (2) E) Se requiere información adicional

P

M

Q

fig. 21

24

75. En la figura 22 se puede determinar la longitud de CD (tangente en D, a la circunferencia de centro O), si se conoce:

(1) el perímetro de la circunferencia.

(2) la longitud del diámetro AB . A) (1) por sí sola. B) (2) por sí sola. C) Ambas juntas, (1) y (2) D) Cada una por sí sola, (1) ó (2) E) Se requiere información adicional

O A B C

D

fig. 22