ensayo matematica

ENSAYO

PRUEBA DE SELECCIN UNIVERSITARIA

3 MEDIO

MATEMTICA

C u r s o : Matemtica

2

PSU MATEMTICA

INSTRUCCIONES ESPECFICAS

1. Esta prueba consta de 80 preguntas. Usted dispone de 2 horas y 40 minutos para

responderla.

2. A continuacin encontrar una serie de smbolos, los que puede consultar durante el

desarrollo de los ejercicios.

3. Las figuras que aparecen en la prueba NO ESTN necesariamente dibujadas a escala.

4. Antes de responder las preguntas N 74 a la N 80 de esta prueba lea atentamente las

instrucciones que aparecen a continuacin de la pregunta N 73.

ESTAS INSTRUCCIONES LE FACILITARN SUS RESPUESTAS

SMBOLOS MATEMTICOS

es menor que es congruente con

es mayor que es semejante con

es menor o igual a es perpendicular a

es mayor o igual a es distinto de

ngulo recto es paralelo a

ngulo trazo AB

logaritmo en base 10 pertenece a

conjunto vaco valor absoluto de x

funcin parte entera de x factorial de n

vector u complemento del conjunto A

//

AB

x

n!

AC

log

[x]

u

3

1. 4 : (16 : 2 4) (3 9 : 27) 2 =

A) 1

B) 1

3

C) 1

2

D) 1

4

E) 2

2. Una persona debe recorrer 320,6 kilmetros, el primer da recorre 1402 102 metros y

el segundo da 100000 metros. Cuntos kilmetros le faltan por recorrer?

A) 40,2 km

B) 80,4 km

C) 180,4 km

D) 220,6 km

E) 280,4 km

3. 2

0,237

0,00237

-3

2,37

0,0237

=

A) 10-3

B) 10-2

C) 10-1

D) 10

E) 102

4. El nmero = 3,14159 truncado a la milsima es

A) 3,141

B) 3,142

C) 3,146

D) 3,14

E) 3,15

4

5. El recproco de un nmero entero positivo b est comprendido entre 2

5 y

2

9. El

conjunto de todos los posibles valores de b es

A) {1, 2}

B) {3, 4, 5}

C) {3, 4}

D) {5, 6, 7}

E) {6, 7, 8}

6. Cul(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s) con respecto al nmero

0,3729?

I) Redondeado a la dcima es 0,4.

II) Truncado a la milsima es 0,372.

III) Redondeado a la centsima es 0,37.

A) Solo I

B) Solo II

C) Solo I y III

D) Solo II y III

E) I,II y III

7. Si a = 10

3, entonces a aumentada en la unidad es

A) 3,3

B) 3,3

C) 3,4

D) 4,3

E) 4,3

8. Cul de los siguientes nmeros no es real?

I) 00

II) 5

0

III) 3 -5

A) Solo I

B) Solo II

C) Solo I y II

D) Solo I y III

E) I, II y III

5

9. Si m y n son dos nmeros reales diferentes, cul de las siguientes relaciones es (son)

siempre verdadera(s) para m3 n3 0?

I) m > n

II) m + n = 0

III) m2 + mn > -n2

A) Solo I

B) Solo III

C) Solo I y II

D) Solo I y III

E) I, II y III

10. Si 2,4x = 24 y 2,3y = 230, entonces 2x + y es igual a

A) 110

B) 120

C) 200

D) 210

E) 1010

11. Si M = 5 , N = 2 + 3 , y P = 5 2 6 , entonces el orden de menor a mayor es

A) N < M < P

B) M < N < P

C) P < N < M

D) P < M < N

E) M < P < N

12. Cul(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)?

I) Si el nmero 0,0589 se escribe con una cifra significativa, queda expresado

como 0,06.

II) Si el nmero 1,51 se escribe con dos cifras significativas, entonces queda

aproximado por exceso.

III) Si el nmero 0,3648 se escribe con tres cifras significativas, entonces

queda aproximado por defecto.

A) Solo I

B) Solo II

C) Solo I y III

D) Solo II y III

E) I, II y III

6

13. Si log 5 0,7, entonces el valor de log 5

5

es igual a

A) -0,70

B) -0,35

C) 0,35

D) 0,70

E) ninguno de los valores anteriores.

14. Cul es el valor de x, que satisface la ecuacin 1

4log (x + 5) = log 2?

A) 1

B) 3

C) 5

D) 11

E) 27

15. El nmero ( 2 + 2)2 ( 2 2) es un

A) entero negativo.

B) racional positivo.

C) irracional negativo.

D) irracional positivo.

E) entero positivo.

16. Cul de las siguientes afirmaciones es siempre verdadera?

I) La suma de dos nmeros irracionales es irracional.

II) El producto de dos nmeros irracionales es irracional.

III) La divisin de dos nmeros irracionales es irracional.

A) Solo I

B) Solo I y II

C) Solo I y III

D) Solo II y III

E) Ninguna de ellas

7

17. Si en la figura 1, EC = (x + b) y el ECB = 120, entonces el rea del cuadrado ABCD

en trminos de x y b es

A) 2(x + b)

2

B) 2(x + b)

4

C) 23(x + b)

4

D) 23(x + b)

4

E) 23(x + b)

2

18. En cul(es) de las siguientes expresiones el valor de x es 5?

I) 2x 2 = 8

II) 5

x + 3

3

3 = 33

III) 23 + 2x = (24)2

A) Solo I

B) Solo III

C) Solo I y II

D) Solo II y III

E) I,II y III

19. Si m < 1, entonces 1 + 2(m 1) es igual a

A) 2 m B) -m

C) m 2 D) m

E) 2m

A

B C

D E

x + b

fig. 1

8

20. Si x y, entonces (x3 + 2x2y + 2xy2 + y3) : (x3 y3) =

A) x y

x + y

B) x + y

x y

C) 3 3

3 3

x + y

x y

D) 1

E) y x

x + y

21. Si a + b

2 = 5 y

a + c

3 = 2, entonces

b c

4

=

A) 5

B) 4

C) 3

D) 1

E) 1

4

22. Si se compran 15 cuadernos, cada uno en $ p y 6 lpices, cada uno en $ p

3, cunto

se pag por esta compra?

A) $ 16 p

B) $ 17 p

C) $ 18 p

D) $ 19 p

E) $ 20 p

23. Al escribir la ecuacin 3(x + 2)2 = 5x en la forma x2 + bx + c = 0, cul es el valor de

c?

A) 1

B) 3

C) 4

D) 7

E) 12

9

24. Sabiendo que m3 n3 = 52 y m2 + mn + n2 = 13. Cul es el valor de m n?

A) 65

B) 39

C) 4

D) 1

4

E) -4

25. Si el producto de dos nmeros es x, y la suma de estos es y, entonces la suma de los

cubos de estos nmeros es

A) y3 3xy B) y2 + 3xy

C) y3 + x3

D) y3 x3 E) y2 3xy

26. Si (a + b) es igual a la mitad de c, y (a b) es igual a la cuarta parte de c, entonces cul(es) de las siguientes igualdades es (son) FALSA(S)?

I) (a + b)(a b) = c

4

II) a2 2ab + b2 = c

16

III) (a + b) (a b) = c

2

A) Solo I

B) Solo II

C) Solo I y III

D) Solo II y III

E) I, II y III

27. Para que la ecuacin cuadrtica 3

k + 4

x2 2x = 4 tenga 2 soluciones reales y

distintas, el valor de k debe ser siempre

A) igual a 1.

B) igual a -1.

C) mayor que -1.

D) menor que 1.

E) mayor que 1.

10

28. Javiera tiene 10 aos menos que Valentina. Si las edades de ambas suman menos de

76 aos, cul es la edad mxima que podra tener Javiera?

A) 18

B) 12

C) 33

D) 42

E) 32

29. Cul es el valor de x en la ecuacin (0, 4)1 x = -2

-1

5

4?

A) 2

B) 1

C) 0

D) -1

E) -2

30. Si f(x) = x

2 3, g(x) = 2x + 1 y g(f(x)) = -2, entonces el valor de x es

A) -7

B) 0

C) 1

2

D) 3

2

E) 3

31. Si z es un nmero complejo, cul es la parte imaginaria de z que cumple con

(z + 3)i = z + 4i?

A) -1

2i

B) -1

2

C)

1

2

D)

1

2i

E)

2

11

32. Si g(p) = px2 p, entonces g(5) =

A) 24p

B) 4x2

C) 4p

D) 5(x2 1) E) 4(x2 1)

33. Si f(x) = 5 2x

3

, para qu valores de x se cumple que f(x) > 0?

A) x < 5

2

B) x > 5

2

C) x > 5

3

D) x < 5

3

E) x < 2

5

34. Se tiene f(x) = x2 + bx y f(-2) = -2. El valor de x donde la funcin alcanza su valor

mnimo es

A) 3

2

B) 2

3

C) -3

2

D) 9

4

E) -9

4

12

35. Dada la funcin f(x) =2x a

5

y f(6) = 3, entonces f(11) es

A) -17

5

B) -3 C) 2

D) 9

5

E) 5

36. Las coordenadas de los vrtices de un tringulo son A(-2, 5), B(-2, -3) y C( 4, -3).

Cul es el cuociente entre las distancias AC y BC?

A) 0,2

B) 1,6

C) 1,25

D) 1,3

E) 1,5

37. Si el punto P se traslad segn V = (5, 4) quedando en el punto (2, 5), cul de las

siguientes grficas podra representar al punto P?

A) B) C)

D) E)

x

y

P x

y

P

x

y

P

x

y

P

x

y

P

13

38. Si el rea de un tringulo equiltero es a2 3 , entonces su permetro en trminos de a

es igual a

A) 3a 3

B) 6a 3

C) 3a 6

D) 3a

E) 6a

39. Dados a = (1, 4) y b = (3, n), cul es el valor de n para que se cumpla

2a b = (-1, 3)?

A) 1

B) 5

C) 7

D) 20

E) 25

40. Cul(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)?

I) En un cuadrado las diagonales son perpendiculares.

II) En un trapecio issceles sus diagonales se dimidian.

III) En un rectngulo las diagonales son congruentes.

A) Solo I

B) Solo II

C) Solo I y II

D) Solo I y III

E) I, II y III

41. En la figura 2, los tringulos ABC y EFD son semejantes en ese orden. Si los trazos BC

y FD miden 12 y 5 respectivamente, y el rea del triangulo ABC es 60 cm2, entonces,

cunto mide el rea del tringulo EFD?

A) 20

3

B) 12

125

C) 20

D) 25

E) 125

12 A B E F

D

C

fig. 2

14

42. En el tringulo ABC de la figura 3, el BAC = 58. Cunto mide el ngulo BDC donde

D es el punto de interseccin de las bisectrices de los ngulos con vrtice en B y C?

A) 125

B) 119

C) 110

D) 102

E) 85

43. Si el polgono de la figura 4 se hace girar indefinidamente en torno AB , entonces se

obtiene un cuerpo que est formado por

A) un tronco de cono.

B) una pirmide.

C) un cilindro y un cono.

D) un cono y una esfera.

E) un tringulo y un rectngulo.

44. En la circunferencia de centro O de la figura 5, el segmento AB es perpendicular al

dimetro y mide 12cm. Si BC es 4 cm, entonces el radio de la circunferencia mide

A) 5 cm

B) 10 cm

C) 12 cm

D) 20 cm

E) 25 cm

45. En el trapecio escaleno ABCD de la figura 6 de rea igual a 21 cm2, la mediana

EF = 7 cm y DC = 4 cm. Cul es el rea de la regin achurada?

A) 7 cm2

B) 15 cm2

C) 21 cm2

D) 30 cm2

E) 35 cm2

D C B

A

O

fig. 5

C

fig. 3

A B

D

F E

D C

B A

fig. 6

A

B

fig. 4

15

46. En la figura 7, MN // AT , AD = CD y DT AP , cunto mide el arco NP?

A) 180

B) 160

C) 150

D) 140

E) 120

47. En la figura 8, ABCD paralelogramo, cuyo arco FE, es un sexto de circunferencia con

centro en A y radio 2. Cul es el valor del rea achurada, considerando = 3?

A) 4 3 4

B) 2 3 1

C) 3 3 2

D) 2 3 2

E) 3 1

48. En la figura 9, EF // AC , GE AB , AGE = 45, EB = 6 cm y BF : FC = 2 : 3.

Entonces, AG =

A) 8 2 cm

B) 18 2 cm

C) 9

22 cm

D) 9 2 cm

E) 9 cm

49. Cul de las siguientes ecuaciones corresponde a la recta que pasa por los puntos

(1, 6) y (4, 9)?

A) x + y 10 = 0 B) x y + 5 = 0 C) 2x + 5y 20 = 0 D) 2x 5y + 20 = 0 E) 2x y + 10 = 0

E

F B C

G

A

fig. 9

A

D

C

M

B

T

N

P

fig. 7

A E B

C D

fig. 8 F

16

50. Los vrtices de un tringulo son A(3, 4) , B(-4, 6) y C(-1, -3). Cul de las siguientes

ecuaciones de recta contiene a la altura bajada desde el vrtice B?

A) y = -7

4x 1

B) y = x

2 + 8

C) y = -4

7x +

26

7

D) y = 7

4x + 13

E) y = -2x 2

51. En un tringulo de vrtices A = (2, 4), B = (6, -2) y C = (4, y), cul es el valor de y,

para que el producto de las pendientes de las rectas que contienen cada uno de los

lados del tringulo sea -3?

A) 2

B) 5

2

C) 7

2

D) 4

E) 5

52. El punto Q(-2, -5) se rota en torno al punto F(2, 3) en 90 con sentido antihorario.

Cules son las nuevas coordenadas del punto rotado?

A) (7, 1)

B) (10, 1)

C) (10, -1)

D) (8, -4)

E) (3, -5)

53. En el rectngulo de la figura 10 se traza una de sus diagonales con lnea punteada,

Cul es la ecuacin de la recta que pasa por la diagonal?

A) y = 3

5x + 3

B) y = 3

5x 3

C) y = -3

5x 3

D) y = -3

5x + 3

E) y = -5

3x + 5

y

x

(5, 3)

fig. 10

17

54. Al punto B(2, -2) se le aplica una reflexin con respecto al eje de las abscisas

obteniendo el punto B. Si el punto B se rota en torno al origen en 90, y en sentido horario, se obtiene el punto B, entonces las coordenadas de B son

A) (2, -2)

B) (-2, 2)

C) (-2, -2)

D) (0, -2)

E) (0, 2)

55. Se tiene un tringulo ABC equiltero de altura 27 . Se realiza una homotecia con

centro C y razn = -2, el rea de la imagen homottica del tringulo ABC es

A) 9 3

B) 12 3

C) 36 3

D) 42 3

E) 45 3

56. El punto P(-2,6) se rota en sentido horario en 90 con respecto al origen, obtenindose

el punto P, entonces la ecuacin de la simetral de PP' es

A) y = 2x + 8

B) y = 2x 8

C) y = 1

2x + 3

D) y = 2x

E) y = -2x + 8

57. En un tringulo ABC, rectngulo en C, cuya altura CD mide a y a la vez tambin es

transversal de gravedad. Si la hipotenusa mide 8 cm, entonces el permetro del ABC

mide, en cm

A) 8 2

B) 4 + 8 2

C) 8 + 8 2

D) 16 + 2 2

E) 16 + 8 2

18

58. En la circunferencia de centro O y dimetro AB de la figura 11, la cuerda CD mide

17 cm, ED = 8 cm y OE = 6 cm, entonces el radio de la circunferencia es

A) 12 cm

B) 13 cm

C) 6 3 cm

D) 3 6 cm

E) faltan datos.

59. En una muestra, si el percentil 70 corresponde a 86, cul(es) de los siguientes

afirmaciones es (son) verdadera(s)?

I) Hay 70 datos sobre 86.

II) Al menos el 70% de la muestra est bajo ese valor.

III) Al menos el 30% de la muestra est sobre ese valor.

A) Solo II

B) Solo I y II

C) Solo I y III

D) Solo II y III

E) I, II y III

60. Cul de las siguientes afirmaciones es FALSA?

A) En una muestra de datos, el rango es la diferencia entre el mayor y el menor de

ellos.

B) La mediana corresponde al segundo cuartil.

C) La desviacin estndar puede ser cualquier valor real.

D) La varianza de una constante es cero.

E) El percentil 10 es una medida de posicin.

61. La seora Mara arm su rbol de navidad y lo adorn con 10 bolitas azules, 10

amarillas, 12 moradas y 10 plateadas. Si su nieto toma una bolita del rbol, cul es la

probabilidad de que la bolita tomada sea amarilla?

A) 1

42

B) 5

21

C) 6

21

D) 5

6

E) 6

5

fig. 11

A

B

D C

O

E

19

62. Cada alumno de un curso debe vender una rifa con 10 nmeros cada una. Si el curso

se compone de 20 alumnos, cuntos nmeros de rifa debe comprar una persona para

que la probabilidad de ganar sea del 30%?

A) 6

B) 60

C) 50

D) 100

E) 140

63. Con respecto a la tabla de frecuencias adjunta, la desviacin estndar es

A) 2

B) 2

C) 3

2

D) 3

E) 3

64. Juanito y Pedrito lanzan un dado (no cargado) cada uno simultneamente. Si A es la

probabilidad que la suma de los puntos obtenidos en dicho lanzamiento sea un nmero

primo. Luego, hacen un segundo lanzamiento y en el dado de Pedrito sali un nmero

mltiplo de 3 y B es la probabilidad de que salga como suma de nuevo un nmero

primo, entonces

A) A es mayor que B.

B) B es mayor que A.

C) A es igual a B.

D) A es el triple B.

E) ninguna de las anteriores.

65. Si de 15 huevos 1 sale quebrado, cul es la probabilidad de encontrar un huevo

quebrado en 60 huevos?

A) 1

60

B) 15

60

C) 4

15

D) 1

6

E) 1

15

Edad (Aos) N Nios

] 0, 2 ] 1

] 2, 4 ] 2

] 4, 6 ] 1

20

66. Si al lanzar un dado no cargado se obtiene 5 en tres lanzamientos, cul es la

probabilidad de obtener nuevamente un 5 al realizar un cuarto lanzamiento?

A) 5

6

B) 1

5

C) 1

6

D) 4

6

E) 4

5

67. La probabilidad que Andrs resuelva un problema es 3

4 y la probabilidad que lo

resuelva Roberto es 1

3. Cul es la probabilidad que no lo resuelva Andrs y lo resuelva

Roberto?

A) 1

12

B) 1

6

C) 1

4

D) 7

12

E) 13

12

68. Al lanzar una moneda 6 veces, cul es la probabilidad de obtener a lo ms 5 caras?

A) 1

64

B) 6

64

C) 15

64

D) 63

64

E) 20

64

21

69. En un juego de lotera hay 36 bolitas enumeradas del 1 al 36, cul es la probabilidad

de que al extraer 1 bolita esta sea impar y mltiplo de 5?

A) 32

36

B) 22

36

C) 8

36

D) 7

36

E) 4

36

70. Una caja contiene 3 pirmides rojas y 2 azules, 1 cubo rojo y 4 azules. Cul(es) de las

siguientes afirmaciones es (son) FALSA(S)?

I) La probabilidad de extraer una pirmide y que esta sea roja es 3

10.

II) Al extraer una pirmide y luego un cubo sin reposicin son sucesos

independientes.

III) La probabilidad de extraer una pirmide roja o un cubo rojo es 1.

A) Solo I

B) Solo I y II

C) Solo I y III

D) Solo II y III

E) I, II y III

71. En una bolsa hay 3 fichas rojas y 2 fichas amarillas. Si se extraen dos fichas al azar (sin

reposicin), cul(es) de las siguientes proposiciones es (son) verdadera(s)?

I) La probabilidad de obtener 2 fichas rojas es 3

10.

II) La probabilidad de obtener al menos una ficha amarilla es 4

10.

III) La probabilidad de obtener por lo menos 1 ficha roja es 6

10.

A) Solo I

B) Solo II

C) Solo III

D) Solo II y III

E) I, II y III

22

72. Si R y B son sucesos de un mismo experimento aleatorio, entonces cul(es) de las

siguientes proposiciones es (son) siempre verdadera(s)?

I) Si R y B son sucesos independientes, entonces 0 P(R) + P(B) 1.

II) Si R es subconjunto de B, entonces P(R) P(B).

III) P() = 0

A) Solo I

B) Solo II

C) Solo III

D) Solo I y II

E) I, II y III

73. La probabilidad que Pedro se encuentre con su novia en la Universidad es del 60% y

que despus salgan a caminar a la playa es del 70%. Cuando no se ven, se envan

mensajes de texto y en ese caso, la probabilidad que salgan a caminar a la playa es del

40%. Cul es la probabilidad que un da cualquiera no salgan a caminar a la playa?

A) 90%

B) 60%

C) 42%

D) 40%

E) 24%

23

Evaluacin de Suficiencia de Datos

Instrucciones Para las Preguntas N 74 a la N 80

En las preguntas siguientes no se le pide que d la solucin al problema, sino que decida si

los datos proporcionados en el enunciado del problema ms los indicados en las

afirmaciones (1) y (2) son suficientes para llegar a esa solucin.

Usted deber marcar la letra:

A) (1) por s sola, si la afirmacin (1) por s sola es suficiente para responder a la

pregunta, pero la afirmacin (2) por s sola no lo es.

B) (2) por s sola, si la afirmacin (2) por s sola es suficiente para responder a la

pregunta, pero la afirmacin (1) por s sola no lo es.

C) Ambas juntas, (1) y (2), si ambas afirmaciones (1) y (2) juntas son suficientes

para responder a la pregunta, pero ninguna de las afirmaciones por s sola es suficiente.

D) Cada una por s sola, (1) (2), si cada una por s sola es suficiente para

responder a la pregunta.

E) Se requiere informacin adicional, si ambas afirmaciones juntas son insuficientes

para responder a la pregunta y se requiere informacin adicional para llegar a la

solucin.

Ejemplo:

P y Q en conjunto tiene un capital de $ 10.000.000, cul es el capital de Q?, si:

(1) Los capitales de P y Q estn en razn de 3 : 2.

(2) P tiene $ 2.000.000 ms que Q.

A) (1) por s sola

B) (2) por s sola

C) Ambas juntas, (1) y (2)

D) Cada una por s sola, (1) (2)

E) Se requiere informacin adicional

En este ejemplo, usted puede observar que con los datos proporcionados en el enunciado

ms los indicados en la condicin (1) es posible llegar a la solucin, en efecto:

P : Q = 3 : 2, luego

(P + Q) : Q = 5 : 2, de donde

$ 10.000.000 : Q = 5 : 2

Q = $ 4.000.000

Sin embargo, tambin es posible resolver el problema con los datos proporcionados en el

enunciado (P + Q = $ 10.000.000) y en la condicin (2) (P = Q + $ 2.000.000).

Por lo tanto, usted debe marcar la clave . Cada una por s sola, (1) (2). D

24

74. Los tringulos ABC y EFD de la figura 12 son congruentes, si:

(1) FE = AB

(2) FA = EB

A) (1) por s sola

B) (2) por s sola




75. En la figura 13, EP tangente a la circunferencia de centro O, CP y AP secantes, se

puede determinar el valor de DP + BP, si:

(1) EP = 12, CP = 18 y AP = 15

(2) CD = 10 y AB = 5,4

A) (1) por s sola

B) (2) por s sola




76. Se sabe que 2ax + by

ab =

7

3. Se puede determinar cul es el valor de

a

y, si:

(1) x

b = 5

(2) ax = 7

A) (1) por s sola

B) (2) por s sola




77. Se puede saber si el sistema 1 1 1

2 2 2

a x + b y = c

a x + b y = c tiene nica solucin, si:

(1) a1b2 a2b1

(2) b1 2 1

2

b c

c

A) (1) por s sola

B) (2) por s sola



E P

D

B

A

O

C fig. 13

B A

C E F

D

fig. 12

25


78. Se pueden conocer las componentes del vector A(x, y), si:

(1) A B = (3, 4)

(2) El mdulo de B es 5.

A) (1) por s sola

B) (2) por s sola




79. En el tringulo ABC de la figura 14, se puede determinar que el ADC BDC, si:

(1) CD es altura.

(2) D punto medio de AB .

A) (1) por s sola

B) (2) por s sola




80. Si z es un nmero natural, es posible conocer el valor de z, si:

(1) El cuadrado de su diferencia con 4 es igual a 16.

(2) El promedio entre z, su sucesor y su antecesor es 8.

A) (1) por s sola

B) (2) por s sola




C

B A D

fig. 14

ensayo matematica

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