ensayo matematica

PRUEBA DE SELECCIÓN UNIVERSITARIA

MATEMÁTICA 02

INSTRUCCIONES ESPECÍFICAS 1. Esta prueba consta de 70 preguntas. Usted dispone de 2 horas y 15 minutos para

responderla. 2. A continuación encontrará una serie de símbolos, los que puede consultar durante el

desarrollo de los ejercicios. 3. Las figuras que aparecen en la prueba NO ESTÁN necesariamente dibujadas a escala. 4. Antes de responder las preguntas N° 64 a la N° 70 de esta prueba lea atentamente las

instrucciones que aparecen a continuación de la pregunta N° 63.

ESTAS INSTRUCCIONES LE FACILITARÁN SUS RESPUESTAS

SÍMBOLOS MATEMÁTICOS

es menor que es congruente con es mayor que es semejante con es menor o igual a es perpendicular a es mayor o igual a es distinto de ángulo recto es paralelo a ángulo trazo AB logaritmo en base 10 pertenece a conjunto vacío valor absoluto de x función parte entera de x

≤

>

≥

≅ <

∼

⊥

≠

//

AB

log ∈

φ |x|

[x]

1. 18 : 9 ⋅ 2 – 22 + (-1)0 =

A) 9 B) 7 C) 6 D) 5 E) 1

2. 0,00045 3001,5 0,06

⋅⋅

=

A) 0,15 B) 1,5 C) 15 D) 150 E) 1.500

3. Si a – 3 es múltiplo de 5, ¿cuál de las siguientes opciones debe ser múltiplo de 5?

A) a – 5 B) a – 2 C) a D) a + 2 E) a + 5

4. Si a = 0,333… , b = 2 y c = 59

, entonces se cumple que

A) a > b > c B) a > c > b C) b > c > a D) c > a > b E) b > a > c

5. ¿Cuál(es) de las siguientes aseveraciones es (son) verdadera(s)?

I) 2(-5) es un número real positivo.

II) 2-3 es un número entero negativo.

III) 5 26− es un número real.

A) Sólo I B) Sólo I y II C) Sólo I y III D) Sólo II y III E) Todas ellas

2

6. 2-1 + -1

1

3 =

A) 72

B) 76

C) -73

D) 6-1 E) 14-1

7. En la figura 1, ΔABC rectángulo en C. ¿Cuál es la longitud de AD ?

A) 5 A C 10 B) 5,2

3n

2n

B

D

C) 10,4 D) 13 E) 26 24

fig. 1

8. Si 25

de los 40 alumnos de un curso son hombres, y 34

de los hombres juegan fútbol,

entonces los alumnos hombres que no juegan fútbol son

A) 2 B) 4 C) 6 D) 12 E) 14

9. En una reunión hay 3 hombres y 5 mujeres. Luego, llegan tantos hombres como mujeres

que se integran a la reunión. ¿Cuántas personas hay si la razón entre los hombres y las mujeres es 3 : 4?

A) 12 B) 14 C) 16 D) 21 E) 28

3

10. Miguel recibe una comisión de $ 5.000 por cada $ 400.000 que vende en mercadería.

¿Qué tanto por ciento es la comisión?

A) 25% B) 5% C) 2,25% D) 1,25% E) 0,25%

11. ¿En cuál de las siguientes tablas, la variable x es inversamente proporcional a la

variable y?

A) B) C) D) E)

4

12. El gráfico de la figura 2 muestra el número de mujeres correspondientes a 6 empresas.

¿Qué fracción representa, con respecto al total de las mujeres, las de la empresa A?

A) 15

B) 16

C) 18

D) 313

E) 316

13. Si a = b2 y b = 3c

, entonces ¿cuál es el valor de a cuando c = 13

?

A) 100 B) 81 C) 18 D) 9 E) 1

x y

1 50

2 25

3 12,5

4 6,25

x y

1 1

2 2

3 3

4 4

x y

1 30

2 15

3 10

4 7,5

x y x y

1 20 1 20

2 40 2 30

3 60 3 40

4 80 4 50

A B C D E F

5

10

15

20

Nº de mujeres

Empresas

fig. 2

14. Si 2t + 1 es el sucesor de s, entonces el antecesor de s, en función de t, es

A) 2t + 2 B) 2t + 1 C) 2t D) 2t – 2 E) 2t – 1

15. Si a * b = m ⋅ n, en donde m y n son los menores divisores, mayores que 1, de a y b,

respectivamente, entonces 27 * 22 =

A) 99 B) 33 C) 18 D) 6 E) 1

16. La suma de cuatro números enteros pares positivos y consecutivos es m, entonces, en

función de m, ¿cuál es el menor de esos enteros?

A) m + 124

B) m + 64

C) m4

D) m 64−

E) m 124−

17. Si 5a ⋅ 5b = c

d

25

5, entonces c, en función de a, b y d, es

A) a + b + d2

B) a + b d2

−

C) abc2

D) a + b – d E) a + b + d

5

18. ¿Para qué valor del parámetro t, la ecuación (t – 1)x + 5x = 6, no tiene solución?

A) t = 1 B) t = 4 C) t = -4 D) t > 4 E) t < -4

19. Si 4x2 – 8x – 15 = 4(x + p)2 + q, entonces p – q =

A) -20 B) -19 C) -18 D) 18 E) 20

20. Si 3x + 4y = 32 y 4x + 3y = 31, entonces 2x + 2y =

A) 9 B) 18 C) 24 D) 27 E) 30

21. Si (a + b)2 = 1 y (a – b)2 = 2, entonces a2 + b2 =

A) -14

B) -32

C) 14

D) 32

E) 4

6

22. Si una colonia de bacterias duplica su población cada 3 horas y a las 10 de la mañana tenía

12 · 106 bacterias, ¿a qué hora la colonia estaba formada por 3 · 106 bacterias?

A) A las 2 a.m B) A las 3 a.m C) A las 4 a.m D) A las 6 a.m E) A las 7 a.m

23. La pendiente de la recta paralela a la recta de ecuación 2x + 3y – 8 = 0 es

A) 23

B) 32

C) -2

D) -32

E) -23

24. En la figura 3, las rectas L1 y L2 tienen por ecuación y = 3x + 6 y -6x – y + 12 = 0,

respectivamente. Entonces, el área del ΔABC es

A B

C

L1 L2

O

y

x

A) 16

fig. 3 B) 32 C) 48 D) 64 E) 108

7

25. ¿Cuál(es) de los siguientes diagramas define(n) una función?

I) II) III) y

x

y

x

y

x

A) Sólo II B) Sólo III C) Sólo I y II D) Sólo II y III E) I, II y III

26. Si f(x) = 5x – 9 y f(a) = 0, entonces a =

A) -9 B) 4

C) 95

D) 59

E) -95

27. En un kiosco se venden dos tipos de diarios, uno a $ 400 y el otro a $ 500. Si se venden

43 diarios en $ 19.000, ¿cuál es la ecuación que permite determinar el número x de diarios que se vendieron a $ 400?

A) 500x + 400(43 – x) = 19.000 B) 400x + 500x = 43 ⋅ 19.000 C) 500x – 400x = 19.000 ⋅ 43 D) 500x – 400(43 – x) = 1.900 E) 400x + 500(43 – x) = 19.000

28. Para llamar de Santa Juana a Chiguayante se cobra $ 200 el primer minuto y $ 90 por

cada minuto o fracción adicional. Entonces, ¿cuánto se debe pagar por una llamada que dura 5,5 minutos?

A) $ 650 B) $ 740 C) $ 850 D) $ 940

8E) $ 1.000

9

29. Si la trayectoria de un proyectil está dada por la ecuación y(t) = 20t – t2, donde t se mide

en segundos y la altura y(t) en metros, entonces el proyectil estará a 75 m del suelo por primera vez, en t =

A) 20 segundos B) 15 segundos C) 10 segundos D) 5 segundos E) 3 segundos

30. ¿Cuál es el conjunto de todos los números que están a una distancia menor o igual que

4 de 3 y a una distancia no menor que 5 de 5?

A) {x ∈ lR / x > 0} B) {x ∈ lR / -1 < x < 0} C) {x ∈ lR / -1 ≤ x ≤ 0} D) {x ∈ lR / -1 < x ≤ 0} E) {x ∈ lR / -1 ≤ x < 0}

31. Si la suma de las raíces de la ecuación cuadrática 2mx2 – (3m + 2)x + m + 1 = 0 es 2,

entonces m =

A) 0 B) 2 C) 4 D) -4 E) -2

32. Los ceros de la función y = x2 – x – 6 son

A) 0 B) -3 y -2 C) 3 y 2 D) -3 y 2 E) 3 y -2

33. La ecuación x2 – 2x + q = 0 tiene raíces reales y distintas. Si una de las raíces es el

cuadrado de la otra, entonces q =

A) 1 B) 4 C) 8 D) -1 E) -8

34. Si x 7− + 5 = 2, entonces ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) falsa(s)?

I) La ecuación no tiene solución real. II) La solución es 16. III) La ecuación es de segundo grado.

A) Sólo I B) Sólo I y III C) Sólo II y III D) Ninguna de ellas E) Todas ellas

35. 5 24 3

- : -6 25 5

⎛ ⎞ ⎛⎜ ⎟ ⎜⎜ ⎟ ⎜⎝ ⎠ ⎝

⎞⎟⎟⎠ =

A) -43

B) - 43

C) 43

D) 43

E) 23

36. Si a = 13 11− , entonces el recíproco de a es

A) 113 + 11

B) 13 + 112

C) 13 112−

D) 11 13− E) ninguna de las anteriores

10

37. Si log5 a = A y log5 b = B, entonces ab

=

A) 5A – B B) 5AB C) 25AB D) 25A + B

E) 5A

B⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

38. Si a ≠ 0, entonces ¿cuál(es) de las siguientes desigualdades es (son) siempre verdadera(s)?

I) a < a2 II) a < 2a III) a – 1 < a

A) Sólo I B) Sólo II C) Sólo III D) Sólo I y III E) Ninguna de ellas

39. Mediante una rotación en 90º con centro en el punto (1, 0) y en sentido antihorario, la

recta L se transforma en la recta L’. Si la ecuación de L es y = x – 2, entonces la ecuación de L’ es

A) y = x + 2 B) y = -x + 2 C) y = -x – 2 D) y = -x + 1 E) y = x – 1

40. A un punto A se le aplica el vector traslación T(-1, 3), obteniéndose el punto B y a éste una

traslación, obteniéndose el punto C(4, 6). Si B es el punto medio de AC , entonces las coordenadas de A son

A) (6, 0) B) (3, 9) C) (3, 3) D) (2, 3) E) (-2, 6)

11

41. En la figura 4, los puntos A, O y B están en una misma recta. Si DOC = 5º y

4 EOD = BOC = 2 AOE, entonces el complemento del AOE es

fig. 4

D E

C A) 85º B) 65º C) 50º D) 40º E) 25º

A O B

42. En la figura 5, β es igual a 32

del suplemento del complemento de α. Entonces, el ángulo α

mide

fig. 5

α β

A) 12º B) 15º C) 18º D) 30º E) 36º

43. En la circunferencia de centro O y diámetro AB de la figura 6, α = 2β. Entonces, el arco CA

mide

β α

C

A O

fig. 6 A) 30º B) 60º C) 45º

B D) 90º E) 120º

44. En el triángulo ABC de la figura 7, AD y BE son transversales de gravedad. Si el área del

ΔABC es 2M, entonces el área de la región achurada es

A B

E D

C fig. 7 A)

M6

B) M3

C) 2M3

D) M

E) 3M2

12

45. En el rectángulo ABCD de la figura 8, el segmento EF pasa por el punto de intersección de las diagonales AC y BD . Entonces, ¿qué tanto por ciento del área del rectángulo está achurado?

F D C

B E A

A) 20% B) 25% fig. 8 C) 30%

D) 3313

%

E) 35% 46. En un triángulo ABC, AB = 12, AC = 10 y BC = a. Entonces, el valor de a no puede

ser

A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6

47. En el cuadrado ABCD de la figura 9, AB = 4 cm y EC = 5 cm. Entonces, el área del

rectángulo ABFE es D C

E

A) 10 cm2 fig. 9 B) 8 cm2 C) 6 cm2 D) 4 cm2 F E) 2 cm2

A B 48. En el trapecio ABCD de la figura 10, AB = 12, CD = 6 y DE = 3. Si A = B, entonces

el perímetro del trapecio EBCD es

α

C

B

D

E A

A) 27 fig. 10 B) 21 + 3 2

C) 15 + 3 2 D) 18 + 3 2 E) 18 + 6 2

13

49. En la figura 11, el cuadrado AEFD y el trapecio EBCF tienen igual área. Si EB = 5 cm y CD = 7 cm, entonces el perímetro del cuadrado es

F D

B E A

C A) 12 cm B) 16 cm fig. 11 C) 20 cm D) 24 cm E) 25 cm

50. En el ΔABC de la figura 12, AD = DB = CD . Si AE = ED y el área del ΔDBC es 26 cm2,

entonces el área del ΔAEC es C

A) 26 cm2 fig. 12

E A

B) 13 cm2 C) 9 cm2 D) 6 cm2 E) No se puede determinar

D B 51. En la figura 13, O es el centro del círculo de radio OP = 6 y el área del ΔQPO, rectángulo

en P, es 18. Entonces, el área de la figura achurada es

O

Q

A) 31,5π + 18 fig. 13

B) 34,5π + 18 C) 30π + 18 D) 36π + 18 E) 63π + 18

P

52. En el rectángulo ABCD de la figura 14, AD = AE = 8 cm y EB = 5 cm. ¿Cuál es el

perímetro del rectángulo achurado?

C D

B E A

A) 13 cm B) 16 cm

fig. 14 C) 16 2 cm

D) 8 2 cm E) 30 cm

14

53. En el ΔABC de la figura 15, CD ⊥ AB , ACD = 45º y ABC = 30º. Si AC = 4, entonces la

longitud de BC es

fig. 15 C

A) 4 2 B) 4 C) 2 2 D) 8

A D B E) 8 2 54. cos2 5º + cos2 85º – 1 =

A) -1 B) 0 C) 1 D) 0,5 E) ninguna de las anteriores

55. En la figura 16, M divide al segmento PQ, de 18 cm, en la razón 2 : 7. Entonces, MQ =

A) 4 cm Q M P B) 9 cm

C) 14 cm D) 16 cm

fig. 16 E) ninguna de las anteriores 56. En la circunferencia de centro O (fig. 17), PA y PC son secantes. Si PA = 12, PB = 2 y

PD = 4, entonces DC =

A

C

P B

D O

A) 2 B) 4 C) 5 fig. 17 D) 6 E) 8

15

57. Un segmento AB de 30 cm de longitud se proyecta sobre un plano. Si los extremos A y B

están a 35 cm y 11 cm del plano, respectivamente, entonces la longitud de la proyección es

A) 3 cm B) 11 cm C) 13 cm D) 18 cm E) 24 cm

58. Un curso tiene 15 hombres y 9 mujeres. Si un alumno del curso es seleccionado al azar,

¿cuál es la probabilidad que sea hombre?

A) 115

B) 124

C) 25

D) 58

E) 89

59. Una persona escribe al azar un número natural de 2 cifras. ¿Cuál es la probabilidad de que

escriba 34?

A) 281

B) 145

C) 150

D) 125

E) 190

16

60. Se lanza un dado y se obtiene 1. ¿Cuál es la probabilidad de que en un segundo

A)

lanzamiento se obtenga un número que sumado con 1 sea inferior a 5?

16

14

B)

13

C)

12

D)

E) 23

61. En una bolsa hay 4 fichas rojas y 5 amarillas. Si se extrae al azar consecutivamente dos

A)

fichas, sin devolución, ¿cuál es la probabilidad de que se extraiga una ficha amarilla y una roja en ese orden?

518

59

B)

917

C)

2081

D)

E) 18

62. Se lanzan simultáneamente 3 monedas. ¿Cuál es la probabilidad de obtener 2 caras y un

A)

sello?

28

38

B)

48

C)

58

D)

E) 78

17

63. El gráfico de la figura 18 muestra los minutos de retraso con que llegan los buses a un

I) La moda es 10 minutos.

.

A) Sólo I II

cierto paradero. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)?

II) La media es 10 minutos.

6

12

14

8

3 2 1

0 5 10 15 20 25 30

Minutos de retraso de los buses

Núm

ero d

e buse

s fig. 18 III) La mediana es 10 minutos

B) Sólo I yC) Sólo I y III D) Sólo II y III E) I, II y III

18

Evaluación de Suficiencia de Datos

Instrucciones Para las Preguntas N° 64 a la N° 70 n las preguntas siguientes no se le pide que dé la solución al problema, sino que decida si los

sted deberá marcar la letra:

) (1) por sí sola, si la afirmación (1) por sí sola es suficiente para responder a la

) (2) por sí sola, si la afirmación (2) por sí sola es suficiente para responder a la

) Ambas juntas, (1) y (2), si ambas afirmaciones (1) y (2) juntas son suficientes para

) Cada una por sí sola, (1) ó (2), si cada una por sí sola es suficiente para responder a

) Se requiere información adicional, si ambas afirmaciones juntas son insuficientes para

jemplo:

P y Q en conjunto tiene un capital de $ 10.000.000, ¿cuál es el capital de Q?

A) (1) por sí sola

(1) y (2) ó (2)

n este ejemplo, usted puede observar que con los datos proporcionados en el enunciado más los

P : Q = 3 : 2, luego de

$ 10.000

in embargo, también es posible resolver el problema con los datos proporcionados en el

or lo tanto, usted debe marcar la clave ada una por sí sola, (1) ó (2).

Edatos proporcionados en el enunciado del problema más los indicados en las afirmaciones (1) y (2) son suficientes para llegar a esa solución. U A

pregunta, pero la afirmación (2) por sí sola no lo es.

Bpregunta, pero la afirmación (1) por sí sola no lo es.

Cresponder a la pregunta, pero ninguna de las afirmaciones por sí sola es suficiente.

Dla pregunta.

Eresponder a la pregunta y se requiere información adicional para llegar a la solución.

E

(1) Los capitales de P y Q están en razón de 3 : 2. (2) P tiene $ 2.000.000 más que Q.

B) (2) por sí sola C) Ambas juntas, D) Cada una por sí sola, (1) E) Se requiere información adicional

Eindicados en la condición (1) es posible llegar a la solución, en efecto:

(P + Q) : Q = 5 : 2, de don 0.000.000 : Q = 5 : 2 Q = $ 4.00

Senunciado (P + Q = $ 10.000.000) y en la condición (2) (P = Q + $ 2.000.000).

19

P CD

64. Juan y Pedro tienen un capital de $ 3.000.000 para formar un negocio. Se puede

(1) El dinero aportado por Juan y Pedro están en la razón 3 : 2, respectivamente.

A) (1) por sí sola

(1) y (2) ó (2)

al

5. Se puede determinar la suma de la raíces de la ecuación x2 + ax + b = 0 si :

(1) a = 3b

) (1) por sí sola

(1) y (2) ó (2)

al

6. Se puede determinar la clasificación del ΔABC de la figura 19 si :

(1) α = 2β

90º

A) (1) por sí sola

(1) y (2) ó (2)

al

7. Se puede determinar el área del ΔABC de la figura 20, si :

(1) ΔABC rectángulo en C e isósceles.

(2)

determinar el capital aportado por Pedro si :

(2) Juan aportó $ 600.000 más que Pedro.

B) (2) por sí sola C) Ambas juntas, D) Cada una por sí sola, (1)E) Se requiere información adicion

6

(2) b = 2 AB) (2) por sí sola C) Ambas juntas, D) Cada una por sí sola, (1)E) Se requiere información adicion

6

C

α β

(2) α + β = λ

A

fig. 19

B) (2) por sí sola C) Ambas juntas, D) Cada una por sí sola, (1)E) Se requiere información adicion B

6 C

fig. 20 AB = 3 2

A) (1) por sí sola

(1) y (2) ó (2)

al

B) (2) por sí sola C) Ambas juntas,

B A D) Cada una por sí sola, (1)E) Se requiere información adicion

20

21

68. Se puede determinar el área de un rombo si se conoce :

(1) El perímetro.

A) (1) por sí sola

(1) y (2) ó (2)

al

9. En una bolsa hay 50 fichas entre rojas y azules solamente. Se puede determinar el número

(1) La probabilidad de extraer una ficha roja es del 44%.

ichas rojas.

A) (1) por sí sola

(1) y (2) ó (2)

al

0. Dado el siguiente conjunto de números: 3, 7, 5, 5, 2, 3, a, 4, b. Se puede determinar la

(1) b > a > 5

A) (1) por sí sola

(1) y (2) ó (2)

al

(2) Una diagonal.


6

de fichas rojas si :

(2) El número de fichas azules excede en 6 el número de f


7

mediana si :

(2) a = 6


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