folleto matematica i-2012

ESCUELA SUPERIOR DE FORMACIÓN ARTÍSTICA PÚBLICA-

ANCASHRANGO UNIVERSITARIO N° 29550 – RESOLUCIÓN N°0564-2012-ANR

MATEMÁTICA BÁSICA I

EDUCACIÓN ARTÍSTICA:

ARTES PLASTICAS

MUSICA DANZA

FOLKLORICA

ARTISTA PROFESIONAL:

INTERPRETACIÓN MUSICAL

CICLO I

L I C . R O N D Ó N R A M Í R E Z C A R L O S V Í C T O R

2012

MATEMATICA I Matemática básica ESFAP - A

L O G I C A P R O P O S I C I O N A L

INTRODUCCIÓN La ciencia que se basa en las leyes, modalidades y formas del conocimiento científico se conoce bajo el nombre de lógica. Se trata de una ciencia de carácter formal y una rama de la filosofía que estudia los principios de la demostración e inferencias válidas; carece de contenido ya que hace foco en el estudio de las alternativas válidas de inferencia. Es decir, propone estudiar los métodos y los principios adecuados para identificar al razonamiento correcto frente al que no lo es.La etimología permite saber que el término ‘lógica’ tiene su origen en el vocablo latín logĭca, que a su vez deriva del griego logikós (de logos, “razón” o “estudio”). El filósofo griego Aristóteles, cuentan los expertos en cuestiones históricas, fue pionero al emplear la noción para nombrar el chequeo de los argumentos como indicadores de la verdad dentro de la ciencia, y al presentar al silogismo como argumento válido. Aristóteles está considerado como el padre de la Lógica formal. En cambio, la lógica informal refiere al examen metódico de los argumentos probables a partir de la oratoria, la retórica y la filosofía, entre otras ciencias. Tiene como objetivo el reconocimiento de paradojas y falacias, así como ser un recurso eficaz para construir los discursos de forma correcta.La lógica natural es la destreza natural para razonar sin apelar a la ciencia. La denominada lógica borrosa o difusa, en cambio, es aquella que contempla una determinada incertidumbre al analizar el carácter verídico o falso de las proposiciones, a semejanza del raciocinio propio del ser humano.Por otra parte, la lógica matemática se caracteriza por emplear un lenguaje simbólico artificial y realizar una abstracción de los contenidos.Existen otros tipos o clases de lógica, como la llamada lógica binaria, la cual trabaja con variables que sólo toman dos valores discretos.

OBJETIVO DE ESTUDIO DE LA LOGICA FORMALLa lógica es formal porque estudia la forma o estructura de todos los razonamientos. Por lo tanto, su objeto de estudio es la estructura del razonamiento.

La lógica estudia los procesos validos del razonamiento humano. Es una disciplina que se utiliza para determinar si un argumento es válido, tiene aplicación en todos los campos del saber; como en la filosofía, para determinar si un razonamiento es válido o no, ya que una frase puede tener diferentes interpretaciones; sin embargo la lógica permite saber el significado correcto. Los matemáticos usan la lógica, para demostrar teoremas e inferir resultados que puedan ser aplicados en investigaciones. En la computación, para revisar programas y crear sus algoritmos, es utilizada en el diseño de computadoras. Existen circuitos integrados que realizan operaciones lógicas con los bits, gracias a estos se ha desarrollado las telecomunicaciones (telefonía móvil, internet,...)Existen dos tipos de razonamiento: Inductivo y Deductivo.Razonamiento Inductivo es el razonamiento por el cual una persona en base a sus experiencias especificas, decide aceptar como valida un principio general.Razonamiento Deductivo es, en cambio, el medio según el cual dicha persona utiliza el principio general aceptado previamente para decidir sobre la validez de una idea, que a su vez habrá de determinar el curso de su acción.Lo que veremos es la lógica proposicional, a través del uso y manejo de una simbología adecuada.Finalmente todo desarrollo matemático exige razonar en forma válida acerca de cosas trascendentes y particularmente abstractas. Hay que comenzar por eliminar las ambigüedades del

Lic. RONDÓN RAMÍREZ Carlos Víctor Página 2

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lenguaje ordinario, introduciendo símbolos y conectivos cuyo uso adecuado descarte las contingencias, aporte claridad y economía de pensamiento.

IMPORTANCIA DE LA LÓGICA

Valor la importancia de la lógica, nos lleva a preguntarnos: ¿puede un hombre pensar correctamente sin conocer las leyes y las reglas de la lógica? La verdad existen músicos que sin dominar el solfeo y sin leer nota, puede interpretar con cierta eficiencia un instrumento. Pero su creación intelectual en cuanto a la composición de obras originales es restringida. Algo similar sucede con quien estudia lógica; piensa de un modo más preciso, sus argumentos son más fuertes y contundentes, y en la práctica menos errores al razonar.

La lógica ayuda a demostrar los juicios válidos y a descartar los incorrectos; enseña a pensar. Clara, concisa y correctamente. La lógica es imprescindible a todos, a lo más diversos profesionales: a los profesores que deben formar en los estudiantes un pensamiento lógico y crítico, a los juristas para poder plantear la argumentación de la defensa y refutar las acusaciones, a los médicos que diagnostican una enfermedad a partir de los síntomas. La lógica la necesitan todas las personas independientemente al oficio que desempeña.

Ayuda a los estudiantes a asimilar la información en el estudio de las diferentes ciencias y actividades prácticas, les facilita separar lo secundario de lo esencial, a percibir de modo critico las definiciones y las clasificaciones de los diferentes aspectos tratados en cada ciencia, a seleccionar formas correctas de demostración. En fin, a comprender mejor la naturaleza de las cosas.

Otra aplicación valiosa que podemos dar a la lógica es en la confección de párrafos, informes y todo tipo de textos.

La lógica es una poderosa herramienta que nos permitirá realizar razonamientos correctos, arribar a conclusiones válidas, demostrar los teoremas; en in construir en nuestra mente, un conjunto de conocimientos conforme a las leyes que rigen la materia, de modo que estos conocimientos sean el fiel reflejo de la realidad.

ELEMENTOS DE LA LÓGICA SIMBÓLICA

I. ENUNCIADO: Es cualquier frase u oración que expresa una idea.

PROPOSICIÓN (enunciado cerrado).- Son oraciones aseverativas que se pueden calificar como verdaderas o falsas. Se representan con las letras minúsculas del abecedario: p; q; r; s.

Ejemplos: Túpac Amaru murió decapitado.* 9 < 10 * 45 = 3 – 2 Juan ama la música El perro es un pez El calor dilata los cuerpos



Expresiones no Proposicionales.- Son aquellos enunciados a los que no se les puede asignar un valor de verdad. Entre ellos tenemos a las exclamativas, declarativas, interrogativas o imperativas, orden.

Ejemplos: ¿Cuál es su nombre? Prohibido pasar Deténgase Borra la pizarra ¿Qué hora es? ¡Viva el Perú! Por favor mátame con pasión

OBSERVACIÓN: “Toda proposición es un enunciado, pero no todo enunciado es una proposición”.

II. ENUNCIADO ABIERTO: Son enunciados que pueden tomar cualquiera de los 2 valores de verdad.

Ejemplo: Si en la proposición: "cinco es mayor que tres" (en símbolos: 5 > 3) reemplazamos al número 5 por la letra x, se obtiene la expresión "x es mayor que tres" (x > 3), y si convenimos que x no represente necesariamente al número 5, sino a un número cualquiera, entonces al enunciado x > 3 se le denomina enunciado abierto.

Ejemplo: Si :

Se cumple que: P(9) : 9 > 6 Es verdaderoP(2) : 2 > 6 Es falsoEl valor de verdad de P(x) depende del valor de x, también, se le conoce como función proposicional.

III. VARIABLE: Es una cantidad susceptible de variar en un determinado campo o recorrido a las variables representamos por las letras minúsculas x, y ,z, t, u, v, y son denominados variables indeterminados.Ejemplo:Se tiene un numero real y=√x−5 , si “x”, entonces “x” puede ser un número mayor o igual que 5 y su campo o recorrido es x5

PROPOSICIONES LOGICASEs todo enunciado abierto que puede ser calificado como verdadero o falso, sin ambigüedad. Las proposiciones lógicas están representadas por letras minúsculas: p, q, r, t, …etc. A la veracidad o falsedad de una proposición se le llama valor de verdad.

Ejemplos: p: Huaraz es la capital de Ancash ………………….Verdadero ( V ) q: 120+400=20…………………………………….. Falso ( F )


6x:)x(P


VALOR DE VERDAD.- Son dos valores posibles: Verdadero o Falso, y pueden esquematizarse en una tabla en la forma:

p

V

F

CLASES DE PROPOSICIONES:

1. Proposición Simple o Atómica.- Son aquellas que no tienen oraciones componentes afectadas por negaciones ("no") o términos de enlace como conjunciones ("y"), disyunciones ("o") o implicaciones ("si . . . entonces"). Pueden aparecer términos de enlace en el sujeto o en el predicado, pero no entre oraciones.Ejemplo: * Cincuenta es múltiplo de diez.* 8 es par* Carlos es muy bello* El hombre es bueno

2. Proposición Compuesta o molecular: Formada por dos o más proposiciones simples unidas por conectivos lógicos o por el adverbio de negación.

Ejemplo: * 29 es un número primo y 5 es impar.* Samuel es artista plástico o músico* Hoy llueve y ayer hizo sol* Juan no es deportista* Hoy es Lunes y mañana es Jueves

Ejemplos Ensayemos una lista clasificada y luego algunas aclaraciones:1. Vincent Van Gogh es un pintor…………………………….. (Simple) 2. Sen 30° no es un número mayor que 1……………………... (Compuesta) 3. El 14 y el 7 son factores del 42……………………………… (Simple) 4. El 14 es factor del 42 y el 7 también es factor del 42……….. (Compuesta) 5. El 2 o el 3 son divisores de 48. ……………………………... (Simple) 6. El 2 es divisor de 48 o el 3 es divisor de 48………………… (Compuesta) 7. Si x es número primo, entonces x impar…………………….. (Compuesta) 8. Si x > 10, entonces 2x - 3 > 16……………………………… (Compuesta) 9. No todos los números primos son impares………………….. (Compuesta) Algunas aclaraciones a) No obstante que los ejemplos 3) y 4) gramaticalmente significan lo mismo, operativamente

se consideran distintos. Similarmente 5) y 6). b) A veces proposiciones como la 8), aparecen escritas de la forma: 2x - 3 > 16, si x > 10.

CONECTIVOS LÓGICOS.- Son símbolos que enlazan dos o más proposiciones simples para formar una proposición compuesta. Los conectores lógicos que usaremos son:



OBS: La negación es un conector monádico ("no", "no es cierto que...") , afecta solamente a una proposición.Ejemplo: p; [(p*q) > r]; “yo no estudié”

OPERACIONES LÓGICAS Y TABLAS DE VERDAD

La validez de una proposición compuesta depende de los valores de verdad de las proposiciones simples que la componen y se determina mediante una tabla de verdad.

1. Conjunción: Vincula dos proposiciones mediante el conectivo lógico "y". (Pero, también, sin embargo, además, tal como, no obstante, aunque, a la vez, sino, mas, así como, empero, sin embargo, así como, a la vez,…)

Diagrama de GantSimbólicamente se representa: & o Ejemplo:Juan está aquí y Erika ha salido

Para llegar a una solución:Se divide la proposición molecular y se simboliza cada Proposición.Así: A= Juan está aquíB= Erika ha salidoSe identifica el conector lógico y se sustituye por su símbolo: A & B ó A ^ B.

Tabla de Verdad



FFF

FVF

FFV

VVV

qpqp

Ejemplo:Si p: 14+5>15 y q: 8 es número par. Calcular el valor de verdad de p qSolución

p q pq

V V V

2. Disyunción (débil o inclusiva): Vincula dos proposiciones mediante el conectivo lógico "o".Términos equivalentes: salvo que, a menos que, o bien, o también, excepto que, etc.

Diagrama de GantSimbólicamente se representa:

Ejemplo:Jessica está con Lemus o está con Argelia

Se divide la proposición molecular y se simboliza cada proposición.Así: A= Jessica está con Lemus

B= Jessica está con ArgeliaSe identifica el conector lógico y se sustituye por su símbolo: A B

Tabla de Verdad

FFF

VVF

VFV

VVV

qpqp

Ejemplo:Calcular el valor de verdad de p q. Si p: 5 >15 ; q: 8 es menor que 1.



Solución

p q pq

F F F

Ejemplos:La ballena es pez o mamíferoHaré clase a menos que sea feriadoVoy a tu casa o bien te llamo

3. Disyunción Exclusiva o fuerte: Vincula dos proposiciones mediante el conectivo lógico "o ..........., o .............".

Se presenta cuando sólo uno de sus miembros puede ser aceptado, el otro invalidado.Simbólicamente se presenta: Tabla de Verdad

FFF

VVF

VFV

FVV

qpqp

Ejemplos: O es médico o es abogado O bien salimos del subdesarrollo tecnológico o bien seguimos siendo suministradores de

materias primas. Entras o sales Sea p: k es par y q: k es impar. Calcular el valor de verdad de p q. Solución

Si k es par, si puede ser impar (si p es V ; q es F)

Si k es impar, no puede ser par (si p es F ; q es V)

p q pq

V F V

F V V

Ejemplo: Nací en Huaraz o nací en Lima

4. Condicional o Implicativa: Vincula dos proposiciones mediante el conectivo lógico: "Si............, entonces..............”Equivalencias: “Si……entonces……”, “Cuando…….ocurre……”, “………implica……..”, “……es suficiente para…….”, “dado……..por eso…….”, “En cuanto ……..por tanto……..”, “siempre……..que ………., ………..”, “……..por consiguiente……….”, “De ………se deduce que ……….”, “ ……..es condicional para ……….”.



Diagrama de Gant

Simbólicamente se representa: Ejemplo:Cinthya está enfadada entonces Argelia llego tarde.

Se divide la proposición molecular y se simboliza cada ProposiciónA= Cinthya está enfadadaB= Argelia llegó tardeSe identifica el conector lógico y se sustituye por su símbolo: A B

Tabla de Verdad

FFF

VVF

FFV

VVV

qpqp

V

La proposición “p” es llamado antecedente y la proposición “q” es llamado consecuente.

Ejemplo:Sea p: Alan García es presidente del Perú ; q: 9 < 1. Hallar el valor de verdad de pqSoluciónp: Alan García es presidente del Perú ……………… ( V )q: 9 < 1 ……………………………………………... ( F )

p q pq

V F F

Ejemplos:Si es mamífero entonces es vertebrado.Cuando llego tarde, me castigan.Es suficiente que abras la ventana para que entre la luz.



Dado que tengo que viajar, implica que tengo que comprar pasajes.Para que moje es necesario que llueva.

5. Bicondicional o doble implicancia: Vincula dos proposiciones mediante el conectivo lógico: ".............. si y sólo si ..............".Equivalentes: “…….cuando y solo cuando……”, “………entonces y sólo entonces……...”, “………es una condición necesaria y suficiente de …….”, “……si, y solamente si …….”.

Tabla de Verdad

VFF

FVF

FFV

VVV

qpqp

Ejemplo:

Abigail es feliz si solo si Alejandro está con ella

Se divide la proposición molecular y se simboliza cada ProposiciónA= Abigail es felizB= Alejandro está con ellaSe identifica el conector lógico y se sustituye por su símbolo: A B

Ejemplos: A es mayor que B si, y solo si B es menor que A. Iré a la fiesta entonces, y sólo entonces tenga un vestido nuevo La naranja es agradable si, y solamente cuando está madura.

6. Negación: Afecta a una sola proposición. Es un operador monádico que cambia el valor de verdad de una proposición.

Libre: Cuando afecta a proposiciones compuestas. (Es falso que, no es cierto que, es imposible que, no es verdad que, es mentira que, no es el caso que, no es posible que, etc.)Ejemplo: No es cierto que juegues y bailes: (p q)

Binegación: Negación conjunta, es decir conjunción de negaciones y se identifica con el término “ni”.Ejemplo: Ni atiende, ni estudia: p q



Diagrama de Gant

Ejemplo:Leonardo no ganó la competencia.

Debido a que una proposición debe ser siempre afirmativa, "no" dentro de la oración es incorrecto. Para hacer que una proposición sea negativa se realiza lo siguiente:1. Se escribe la proposición de manera afirmativa.2. Se antepone el símbolo: ¬; ; no.

Ejemplo:Paris no está en Francia.a). Se escribe la proposición de manera afirmativa: Paris está en Francia.b). Se simboliza la proposición: G= París está en Francia.c). Se niega la proposición: ¬ G.Por lo que se concluye: ¬ G= París no está en Francia.

Tabla de Verdad

V

F

p~

F

V

p

Ejemplo: 2 es primo; su negación es: 2 no es número primo.

OBSERVACIÓN: La cantidad de filas en una tabla es:

# filas = 2 n

Donde n es la cantidad de proposiciones simples.

IMPORTANTE:



* Cuando los valores del operador principal son todos verdaderos se dice que el esquema molecular es TAUTOLÓGICO.

* Se dirá que el esquema molecular es CONTRADICCIÓN si los valores del operador principal son todos falsos.

* Si los valores del operador principal tiene por lo menos una verdad y una falsedad se dice que es CONTINGENCIA O CONSISTENTE.

IMPLICACIÓN LÓGICA Y EQUIVALENCIA LÓGICA

IMPLICACIÓN LÓGICA

Una implicación lógica es un condicional AB cuando es una tautología, en tal caso se puede afirmar que ‘‘A implica a B’’ y se denotará así A B.Ejemplo

Sean los esquemas: A: pq ; B: pq. Comprobar que A implique a B.

Como AB es una tautología entonces podemos afirmar que ‘‘A implica a B’’ y por consiguiente se denotará así: ( pq) (pq)

EQUIVALENCIA LÓGICA

Se llama equivalencia lógica cuando un esquema bicondicional AB es una tautología, en este caso se puede afirmar que ‘‘A es equivalente a B’’ y se denotará así AB, o también así AB.Ejemplo:

Sean los esquemas: A: pq ; B: pq¿El esquema A es equivalente al esquema B?

Para averiguarlo se unen los esquemas A y B por el bicondicional. Veamos:

Luego ‘‘A es equivalente a B’’. Entonces se puede escribir así: (pq) (pq) o (pq)(pq)Ejemplos:

Si dos números son pares entonces la suma es par. ( pq)



Se observa en el ejemplo: si dos números son pares, con seguridad podemos afirmar que su suma será par. Sin embargo lo contrario, esto es, si la suma de dos números es par, los números no necesariamente son pares.

Un número termina en par si, y sólo si es múltiplo de 2.

Se observa que hay una implicación en ambos sentidos. Si un número termina en par, entonces es múltiplo de 2 y si un número es múltiplo de 2 entonces termina en cifra par.

IMPLICACIONES ASOCIADASSea la condicional pq, que llamamos directo; en conexión con él, se presentan otros tres, obtenidos por permutaciones o negaciones del antecedente y consecuente.

PROPOSICIÓN PROPOSICIÓN RECÍPROCOpq qp

PROPOSICIÓN PROPOSICIÓN CONTRARIO o INVERSApq pq

PROPOSICIÓN PROPOSICIÓN CONTRARRECÍPROCO o CONTRADIRECTApq qp

Ejemplo:

Sea la proposición compuesta: “Si Carlos estudia, entonces irá al cine”.

a) La proposición recíproco es: “ qp: ‘‘Si Carlos va al cine, entonces estudia’’.b) La proposición contrario es: “ pq: ‘‘Si Carlos no estudia, entonces no irá al cine’’.c) La proposición contrarreciproco es: qp: ‘‘Si Carlos no va al cine, entonces no estudia’’.

EJERCICIOS PROPUESTOS

01. De los siguientes enunciados:* Qué rico durazno. * 7 + 15 > 50

* 25yx 22

¿Qué alternativa es correcta?

02. ¿Cuántas de las siguientes expresiones son proposiciones? * ¡Dios mío .... se murió!* El calor es la energía en tránsito. * Baila a menos que estés triste. * Siempre que estudio, me siento feliz. * El delfín es un cetáceo, ya que es un mamífero marino.



03. Dadas las siguientes expresiones: * El átomo no se ve, pero existe. * Los tigres no son paquidermos, tampoco las nutrias. * Toma una decisión rápida. * Hay 900 números naturales que se representan con tres cifras. * La Matemática es ciencia fáctica. * Es imposible que el año no tenga 12 meses. ¿Cuántas no son proposiciones simples?

04. Hallar el valor de verdad de las siguientes proposiciones: )1127()523(

)8102()314(

)512()1073(

23

211212

05. Determinar el valor de verdad de cada una de las siguientes proposiciones: I. Si: 3 + 1 = 7, entonces: 4 + 4 = 8 II. No es verdad que: 2 + 2 = 5 si y solo si 4 + 4 = 10.III. Madrid está en España o Londres está en Francia.

06. Si : r)q~p( ; es falsa, determinar los valores de verdad de "p", "q" y "r".

07. Si la proposición: )sr(~)q~p( es falsa, deducir el valor de verdad de:

p~)q~p(~ 09. Si la proposición compuesta:

)tr()qp( Es falsa. Indicar las proposiciones que son verdaderas:

10. Si la proposición:

)rq()qp( Es falsa, hallar el valor de verdad de las siguientes fórmulas:

I. )qp()rp(~

II. )qr(~)q~p(

III. )r~p()]r~q()qp[(

11. Indicar el valor de verdad de:

I. )qp(p

II. )qp()qp(

III. ]p)qp[(~

12. Indicar el valor de verdad de:

I. ]p)qp[(~

II. p)qp(



III. )qp()qp(

IV. )qp(p

13. Sean p, q y r las proposiciones siguientes:p: "está lloviendo"q: "el sol esta brillando"r: "hay nubes en el cielo"Traducir las siguientes oraciones a notación simbólica utilizando las letras asignadas y los conectivos lógicos:

1 Está lloviendo y el Sol brillando2 Si está lloviendo, entonces hay nubes en el cielo

3Si no está lloviendo, entonces el Sol no está brillando y hay nubes en el cielo

4 El Sol está brillando si, y sólo si, no está lloviendo

5Si no hay nubes en el cielo, entonces el Sol está brillando

6 O está lloviendo o el sol está brillando 14. Sean p, q y r del ejercicio 13. Traducir las siguientes proposiciones simbólicas a oraciones en

español:

1 (pq)r 2 p(qr)3 (pq)r4 (pr)q5 (p(qr))

15. Determinar el valor de verdad de las siguientes proposiciones compuestas:a) si: 2+4≠5 entonces 1+1=2 ó 3>5b) Si 5>2 entonces 4+2=6 y 3+1≠4c) No es verdad que: si -2<-3 entonces 4>2 o 1>2d) Si 5+2 ≠8 entonces no es verdad que: 4+6≠10 ó 5+3=8d) Si 6+1<5+2 entonces 6<5 y 1<2

16. Sea la proposición: “Si gano la lotería, iré de viaje”. Escribe la proposición: reciproca, contradirecta e inversa.

LEYES DEL ALGEBRA PROPOSICIONAL

Las formulas lógicas resultan ser siempre verdaderas, no importa la combinación de los valores veritativos de sus componentes, son tautológicas o leyes lógicas. En el cálculo proposicional existen algunas tautologías especialmente útiles cuya demostración se reduce a la confección de su correspondiente tabla de verdad, a saber:

INVOLUCIÓN O DOBLE NEGACION

(p) p


http://www.monografias.com/trabajos5/oriespa/oriespa.shtml

http://www.monografias.com/trabajos12/sol/sol.shtml#sol


LEYES DE COMPLEMENTACIÓN

ppF ppV

IDEMPOTENCIA pp p pp p

LEYES DE De MORGAN

(pq) pq (pq) pqpq(pq)

pq(pq)

LEY DE ABSORCION

p(pq) p p(pq)pp(pq)pq

p(pq)pq

CONMUTATIVIDAD pqqp pqqp pqqp

ASOCIATIVIDAD p(qr)(pq)r p(qr)(p q)r p(qr)(pq)r

DISTRIBUTIVIDAD p(qr)(pq) (pr) p(qr)(pq) (pr) p(qr)(pq)(pr)

LEY CONDICIONAL

pqpq (pq)pq pq(pq)

LEY BICONDICIONAL

pq(pq)(qp) pq(pq)(pq)

LEYES DE IDENTIDAD

pVp,

pVV

pFp,

pFF

EQUIVALENCIA NATURAL O MATERIAL

pq(pq)(qp)

También (pq)(pq)p (pq)(pq)p

Estas leyes son muy importantes para poder simplificar algunos problemas, puesto que es válido para reemplazar a una proposición por su equivalente sin alterar el resultado.PROBLEMAS1. Simplificar la siguiente expresión, aplicando las leyes lógicas: (pq)qp

Solución(pq)qp …………………….Ley condicional[(pq)q]p ……………………Ley de De Morgan[(pq)q]p …………………...Asociatividad[(pq)][ pq] …………………Ley de tercio excluidopq ………………………………..Ley del complementoV

2. Simplificar: A=[(qp)p](qp)



SoluciónA[(qp)p](qp)………………….Ley condicionalA[(qp)p](qp)……………….…Ley condicionalA[(qp)p](qp)…………………….Doble negaciónA[(qp)p](qp)………………….…..D’MorganA[(qp)p](pq)……………………...ConmutativaA[(qp)p]pq………………….….AsociativaApq……………………………………….Ley de AbsorciónApq………………………………………..Condicional

3. Simplificar: M=(pr)[(pq)(qr)](rp)SoluciónM=(pr)[(pq)(qr)](rp)………………….CondicionalM=(pr)[(pq)(qr)](rp)…………….…...CondicionalM=(pr) (pq)(qr)(rp)……………........D’MorganM=(pr) (pq)(qr)(rp)……………...…......D’MorganM=(pr) [(pq) p][(qr) r]……………..…..AsociativaM=(pr) p r…………………………………….…AbsorciónM=(pr) r p ……………………………………..ConmutativaM=(pr) r p ………………………………….…..CondicionalM=pr ……………………………………………………Equivalencia natural

PRACTICA1. Simplificar D=([pq][(rs)(pq)])(pq)q2. Simplificar la siguiente expresión, aplicando las leyes lógicas: (pq)qp3. Simplificar la siguiente expresión: (pq)(pq)4. Simplificar la siguiente expresión: (pq)p5. Simplificar la siguiente expresión: p(pq)6. Simplificar la siguiente expresión: [p(qp)]q7. Simplificar a su mínima expresión: [(pq)(pq)]8. Analiza los siguientes enunciados o proposiciones:

1 Llueve y hace sol, las brujas se peinan Simbolizamos:

"Llueve" = p , "Hace sol" = q, "Las brujas se peinan" = r

2 No es cierto que si llueve y hace sol las brujas se peinan

3 Las brujas se peinan únicamente si llueve y hace sol

4 Cuando las brujas no se peinan, no llueve o no hace sol

5Llueve y las brujas no se peinan o bien hace sol y las brujas no se peinan

¿Cuál es la formalización adecuada?

(pq) r r(pq) r( pq)

[(pq) r] (pr) (qr)

9. Analiza los siguientes enunciados o proposiciones:

1Si las estrellas emiten luz, entonces los planetas la reflejan y giran alrededor de ellas

Simbolizamos:

"Las estrellas emiten luz" = p ; "Los

2 Las estrellas emiten luz o los planetas la reflejan y, por otra parte, los planetas giran alrededor de ellas



planetas reflejan la luz = q ; "Los

3Los planetas reflejan luz si y sólo si las estrellas la emiten y los planetas giran alrededor de ellas

4Si no es cierto que las estrellas emiten luz y que los planetas la reflejan, entonces éstos no giran alrededor de ellas


p (qr) (pq) r (p v qr q (p r)

10. Analiza los siguientes enunciados o proposiciones:

1Si Pablo no atiende en clase o no estudia en casa, fracasará en los exámenes y no será aplaudido

Simbolizamos:

"Pablo atiende en clase" = p ; " Pablo estudia en casa = q; "Pablo fracasa en los exámenes" = r ; "Pablo es aplaudido" = s ;

2Si no es el caso que Pablo atiende en clase y estudia en casa, entonces fracasará en los exámenes o no será aplaudido

3Pablo atiende en clase y estudia en casa o, por otra parte, fracasa en los exámenes y no es aplaudido

4Únicamente si Pablo atiende en clase y estudia en casa, no se dará que fracase en los exámenes y no sea aplaudido


(pq) v (rs) (pq) (rs) (

pvq(rs)

(pq) (rvs)

11. Verificar si el siguiente argumento es válido:*Todos los perros tienen dos patas*Todos los animales de dos patas son carnívoros.*Por lo tanto, todos los perros son carnívoros.

12. Verificar si el siguiente argumento es válido:*Todos los vehículos tienen cuatro ruedas.*Una bicicleta es un vehículo.*Por lo tanto, una bicicleta tiene cuatro ruedas.

INFERENCIASEs un conjunto de proposiciones como premisas y una conclusión deducida de estas premisas, siendo la deducción el paso lógico de las premisas a la conclusión.En otras palabras: Es un proceso que consiste en pasar de un conjunto de premisas a una conclusión, sin necesidad de elaborar tablas o cuadros muy extensos.Una inferencia es de la forma:Los leones son carnívorosTodos los carnívoros son vertebrados.Podemos concluir diciendo que: Los leones son vertebrados.Todo ejercicio o problema que se resuelve usando inferencia lógica, tiene la forma:

Los niños son personas



Las personas son inteligentesPor lo tanto, los niños son inteligentes.

ConclusionesPremisas Inferencia p → q

q → r Premisas Inferencias

p r Conclusión

(pq) (qr) (pr) Premisas conclusión

Inferencias

Aquí: p; q; r; s; t; ..... ; w son llamadas premisas. Este conjunto de premisas originan como consecuencia otra proposición “C”, llamada

CONCLUSIÓN, la cual es denominada también ARGUMENTO LÓGICO. Todo ejercicio o problema que se resuelve usando inferencia lógica, tiene la forma:

(p1p2p3p4…pk) C.

Una inferencia puede ser una tautología, una contradicción o una contingencia.1. Si la condicional es una tautología, es decir si es una implicación entonces recibe el nombre

de ARGUMENTO VALIDO O Inferencia Válida.2. Si la condicional no es una tautología entonces se denomina FALACIA.

NOTACIÓN: p1

p2

p3

⋮pk

q

Ejemplo: Demostrar que el siguiente Argumento es válido: p p q

q Solución Del dato se tiene el siguiente esquema molecular: [ p (pq)]q

p q [ p ( p q )] qV V V V V V V V F V F F V F V V F F V V VV F F F V V F

tautologíaSiendo el esquema molecular una tautología se puede afirmar que el argumento es Válido.

INFERENCIAS VÁLIDA NOTABLES O IMPLICACIONES NOTABLES: Estas nos sirven para realizar la demostración directa llamada prueba formal de validez.



MÉTODOS DE DEMOSTRACIÓN

1) LEY DEL MODUS PONENDO PONENS: Es aquella operación que establece entre dos enunciados una relación de causa efecto. La regla “ponendo ponens” significa (en Latín, modo que “afirmando afirma”) y en una condicional establece la siguiente forma: Una proposición condicional como primera premisa y que En la segunda premisa afirme el antecedente. Debe necesariamente En la conclusión afirmar el consecuente.Se presenta de la forma siguiente: [(pq)p] qTambién simbolizado como: p q

p q

Ejemplo: p q “Si llueve, entonces las calles se mojan” (Premisa) p “Llueve” (Premisa) q “Luego, las calles se mojan” (Conclusión)

2) LEY DEL MODUS TOLLENDO TOLLENS: significa “Negando Niega”, y se refiere a una propiedad inversa de las condicionales, a los que nos referimos en primer lugar. Si de una condicional, aparece una premisa el consecuente negado (el efecto), eso nos conduce a negar el antecedente (la causa), puesto que si un efecto no se da, su causa no ha podido darse. Esta ley señala que un argumento que tenga la siguiente forma: Una proposición disyuntiva como primera premisa, y que En la segunda premisa niegue la primera opción. Debe necesariamente En la conclusión afirmar la segunda opción.Se presenta de la forma siguiente: [(pq)q] (p)También simbolizado como: p q

q p

Ejemplo: p q “Si llueve, entonces las calles se mojan” q “Las calles no se mojan” p “Luego no llueve”

3) LEY DEL SILOGISMO HIPOTÉTICO O CONDICIONAL.-Dados dos implicaciones, de las cuales, el antecedente de la una sea el consecuente de la otra (el mismo enunciado), podemos construir una nueva implicación cuyo antecedente sea el de aquella implicación cuya secuencia sea el antecedente de la otra implicación, y cuyo consecuente sea el de esta última, cuyo antecedente era consecuencia del primero.Expresando de otro modo, si una causa se sigue una consecuencia, y ésta consecuencia es a su vez causa de una segunda consecuencia, se puede decir que esa primera causa es causa de esa segunda consecuencia, del mismo modo que, si una bola de billar roja golpea a otra bola blanca que a su vez golpea a una bola negra, la bola roja es causa del movimiento de la bola negra.Se presenta de la forma siguiente: [(pq)(qr] (pr) (LEY TRANSITIVA)También simbolizado como: p q

q r p r

Ejemplo: p q “Si la bola roja golpea a la bola blanca, la bola blanca se mueve” q r “Si la bola blanca golpea a la bola negra, la bola negra se mueve” p r “Si la bola roja golpea a la bola blanca, la bola negra se mueve”



Ejemplo:Si no llueve entonces se perderá la cosechaSi se pierde la cosecha entonces no se podrá cancelar la deuda Si no llueve, no se podrá cancelar la deudaEjemplo: Si llueve las calles se mojan

Si las calles se mojan me resbaloPor lo tanto: Si llueve me resbalo

4) LEY DEL SILOGISMO DISYUNTIVO: históricamente conocido como Modus Tollendo ponens (en latin, modo que negando afirma). Dadas tres premisas, dos de ellas implicaciones, y la tercera una disyunción cuyos miembros sean los antecedentes de los condicionales, podemos concluir en una nueva premisa en forma de disyunción, cuyos miembros serían los consecuentes de las dos implicaciones. Lógicamente, si planteamos una elección entre dos causas, podemos plantear una elección igualmente entre sus dos posibles efectos, que es el sentido de esta regla.Se presenta de la forma siguiente: [(pq)(q)] qTambién simbolizado como: p q

p q

Ejemplo: Carlos tiene un carnet o un DNICarlos no tiene ningún carnet

Carlos tiene un DNI

5) LEY CONJUNTIVA: p q p q

Ejemplo: Soy guapo Soy millonario Luego: Soy guapo y millonario

6) LEY DE SIMPLIFICACION: a) p b) p q q p q

Ejemplo: Ningún estudiante es ocioso y Carlos es un excelente músicoPor lo tanto, ningún estudiante es ocioso

7) LEY DE LA ADICION: : a) p b) q p q p q

Ejemplo: Voy al cinePor lo tanto : Voy al cine o voy al estadio

8) LEY DE TRANSPOSICIÓN: : a) p q b) q p q p p q

Ejemplo: Si la flor tiene espinas, entonces es RosaPor lo tanto: La Flor no es rosa entonces no tiene espinas.

9) LEY DEL DILEMA CONSTRUCTIVO: ( p q ) ( r s ) ( p r )

q s



Ejemplo: Si Víctor toma bebidas heladas, entonces se resfriaráSi Carlos no llega a tiempo, se quedara sin viajar a CarhuazVíctor toma bebidas heladas o Carlos no llega a tiempoPor lo tanto Víctor se resfriará o Carlos se quedara sin viajar a Carhuaz.

10) DILEMA DESTRUCTIVO: ( p q ) ( r s ) ( q s )

p r

PROBLEMAS SOBRE INFERENCIAS

1) Determinar la validez de las siguientes inferencias mediante la tabla de verdad:

a) Juan es abogado o ingeniero

Juan no es abogadoPor lo tanto es ingeniero

b) Si llego tarde entonces me castigan

No me castigaronPor lo tanto, no llegue tarde

c) Si un animal es gato entonces es felino

Este animal no es un gatoPor tanto, no es felino

d) Si está nublado entonces llueve

No llueve o está nubladoPor lo tanto, llueve

e) Los políticos no son honestos

Jorge es honestoJorge no es político

f) Si trabajas tienes un sueldo

Percy no trabaja y tiene sueldoPercy trabaja

2) Dadas las siguientes premisas, escribir su respectiva conclusión:

a) No vamos si, y solo si me alisto

Nos vamos………………………………………

b) Si llueve entonces habrá una buena cosecha

Empezó a llover……………………………………….

c) Si venia aprobaba el examen

No aprobó el examen…………………………………………..

d) En cuanto llegue iniciamos la reunión



No se inicio la reunión…………………………………………..

e) Estas enferma o es tu contextura

Estas sana…………………………………………….

f) Estás loca o yo estoy mintiendo

Yo estoy diciendo la verdad……………………………………………

g) Si hay suficiente agua entonces los campos podrán ser regados

Si los campos son regados habrá una buena cosecha…………………………………………………………………….

h) Si es ave entonces puede volar

No puede volar………………………………………….

Evaluación mediante tablas: se dice que una inferencia es válida cuando es tautológico y no es válido cuando es contingencia.

REDUCCIÓN AL ABSURDODado el esquema de una inferencia se le da el valor de falso. En base a este valor se trata de determinar los valores de verdad de las proposiciones atómicas que componen el esquema.Si la misma proposición atómica resulta con valores verdadera y falsa, entonces se concluye que el esquema no tiene la posibilidad de tener un valor falso, en consecuencia la inferencia ES VALIDA.Si a cada proposición que figura en el esquema de la inferencia, le corresponde uno, y solo un valor de verdad, entonces el esquema tiene la posibilidad de ser falso y por consiguiente la inferencia NO ES VALIDO.Ejemplo: determinar la validez de la inferencia: pqpProcedimiento

ES VALIDOEjemplo: determinar la validez de la inferencia: pqpProcedimiento

NO ES VALIDOEjemplo: determinar la validez de la inferencia: (pq)(qr)(pr)Procedimiento



ES VALIDOEjemplosa) Determinar la validez de las siguientes inferencias:

1. (pq)qq

2. (pq)rqr

3. (pr)(qs)rs

4. (pr)(qr)(pr)

5. [(pr)(pr)](qs)(rs)

6. [(pq)(pr)](ps)(rs)

7. [(pr)(pr)](qs)(rs)

8. q(pq)q

CIRCUÍTOS LÓGICOSEs la que permite el paso de corriente eléctrica o la interrupción. Para estos casos se dice que es circuito cerrado cuando hay paso de corriente y cuando hay interrupción será falso a esta se denomina circuito abierto.

Para diseñar los circuitos eléctricos, se usa las siguientes notaciones:a) El 1 indica que pasa corriente eléctrica; por lo que se considera Vb) El 0 indica que no pasa corriente eléctrica; por lo que se considera FEn el diseño de esquemas de circuitos eléctricos para representar a proposiciones compuestas y viceversa se considera dos clases de instalaciones: en serie y en paralela.

1) DISEÑO DE CIRCUITOS ELÉCTRICOS EN SERIEConsideremos los interruptores (proposiciones) p y q conectados en serie.

Cuando los dos interruptores p y q están cerradas, esta admite corriente eléctrica, en cualquier otro caso no hay corriente; es decir esta situación corresponde a la tabla de verdad de la Conjunción p q.



p q pq1100

1010

1000

En la tabla de verdad se observa que basta que uno de los interruptores esté abierto “0” para que no circule la corriente en todo el circuito.

A la expresión p q se le llama la “Función Booleana del circuito en serie”

2) DISEÑO DE CIRCUITOS ELÉCTRICOS EN PARALELOConsideremos los interruptores (proposiciones) p y q conectados en paralelo.

Se observa en el circuito para que circule corriente es suficiente que alguno de los interruptores o ambos p o q esté cerrado “1” y no hay paso de corriente si ambos interruptores están abiertos (ambos con el valor “0”).Este circuito corresponde a la tabla de verdad de la Disyunción p q.

p q pq1100

1010

1110

A la expresión p q se denomina la función booleana del circuito en paralelo.

NOTA: A un interruptor p representaremos simplemente como:

Ejemplo:



Ejemplos:1) Construir el circuito lógico de las funciones Booleanas.

a) p qSoluciónpqpq ( paralelo)

b) (p q ) rSolución

c) Describir simbólicamente el circuito.

Solución p ( r q ) q r )

LÓGICA CUANTIFICACIONAL

FUNCION PROPOSICIONAL A todo enunciado abierto de la forma P(x) se denomina función proposicional la cual tiene la propiedad de convertirse en una proposición al ser sustituido la variable “x” por una constante “a” especifica, al conjunto de todos los valores convenidos para la variable “x” se denomina dominio de la variable.La función proposicional sobre D es toda expresión P(x) donde P(a) es verdadero o falso para todo a D.Ejemplo: P(x)=x+1<9, si “x” pertenece al conjunto de los enteros, entonces P(x) es una

función proposicional cuyo dominio es los enteros.SoluciónSi: x= -2 Z, -2+1< 9 es verdadero

x=10 Z, 10+1< 9 es falsoPor lo tanto P(x) es una función proposicional.



CUATIFICADORESUn cuantificador es una expresión que permite determinar cantidad en una proposición.Ejemplo: “todos los animales mamíferos son vivíparos”,

La expresión todos determina la cantidad de mamíferos que son vivíparos.

CUANTIFICADOR EXISTENCIALEn el lenguaje de predicados en lógica matemática, se usa el símbolo, llamado cuantificador existencial, antepuesto a una variable para decir que "existe" al menos un elemento del conjunto al que hace referencia la variable, que cumple la proposición escrita a continuación.Normalmente, en lógica, el conjunto al que se hace referencia es el universo o dominio de referencia, que está formado por todas las constantes.Otros giros utilizados para la expresión “Existe un x” son: Hay x; Existe x, tal que; Algún x; Algunos x.

Ejemplo

Si tenemos dos conjuntos diferentes A y B, y A es un subconjunto de B: AB ABExiste al menos un elemento x de B que pertenece a A: x B x AAl afirmar que existe al menos un x que pertenece a B y pertenece a A, quiere decir que no todos los elementos de B pertenecen a A, al ser A y B conjuntos distintos, existe al menos un elemento y de B que no pertenece a A: y B y AQue podemos leer: existe al menos un elemento y en B, y este elemento y no pertenece a A.Ejemplo: “Algunos hombres son sabios”

Traducción: Existe un x, tal que x es hombre y x es sabio.

CUANTIFICADOR UNIVERSALEn lógica matemática, se usa el símbolo ∀, denominado cuantificador universal, antepuesto a una variable para decir que "para todo" elemento de un cierto conjunto se cumple la proposición dada a continuación. En texto se puede representar con el carácter ∀.Normalmente, en lógica, el conjunto al que se refiere es el universo o dominio de referencia, en el cual aparecen todas las constantes.Otros giros utilizados para la expresión “Para todo x”, son: Todo x; Cualquiera x; Cada x.Ejemplo

Si tenemos dos conjuntos diferentes A y B, y A es un subconjunto de B: AB ABTodo elemento x de A pertenece a B: x A x B


http://es.wikipedia.org/wiki/Archivo:Conjuntos_04.svg


Al ser A y B conjuntos diferentes como indica el diagrama, podemos decir que no todos los elementos y de B pertenecen a A, siendo esto una garantía suficiente para que dos conjuntos cualesquiera puedan ser diferentes: y B y AEs decir, que no para todo elemento y de B tenemos que o implica que y también pertenezca a A.Ejemplo: “Todo hombre es mortal”

Traducción: Para todo x, si x es hombre entonces x es mortal.RELACIÓN CUANTIFICADOR UNIVERSAL Y EL CUANTIFICADOR EXISTENCIALDada una expresión P(x), según el cuantificador universal se puede transformar en otra equivalente con el cuantificador existencial: x P(x) x P(x)Que podríamos leer: si para todo x se cumple P(x) no existe un x que no cumpla P(x).Según el ejemplo anterior: x A x BPara todo x que pertenece a A implica que x pertenece a B, que podemos expresar: x B x A.No existe un x de B por tanto x no está en A.

NEGACIÓN DE PROPOSICIÓN CON CUANTIFICADORES

PROPOSICION LA NEGACIÓNx: P(x)

x: P(x)

xA: P(x)

xA: P(x)

[x:P(x)] x: P(x)

[x: P(x)] x: P(x)

[xA: P(x)] xA: P(x)

[xA: P(x)] xA:P(x)

Según lo anterior, se tiene que la negación de una proposición existencial es equivalente a la afirmación de un cuantificador universal cuya función proposicional es la negación de la primera.Ejemplo: Negar la proposición, xN/x+3>5

Solución[xN/x+3>5] xN/x+35

También, decir que (xPxes falsa significa entonces (xPxes verdadera y por lo tanto, lo es (xPx. Este resultado es la base de una regla lógica útil para demostrar que un enunciado es falso. Esta regla se llama regla del contraejemplo y dice así: Si: (xPx es verdadera, entonces (xPxes falso.

Ejemplo: La afirmación "todos los números primos son impares" Es falso porque, "existe un número primo que no es impar". A dicho número, el dos, se le llama un contraejemplo.

EJEMPLOS APLICATIVOS

“x protege el circuito de luces” SoluciónPara cada “x”, x protege el circuito de luces.En este caso utiliza “x” para afirmar que cada elemento del universo tiene una cierta propiedad.



Wx x protege el circuito de lucesPor tanto: (x) Wx Esta operación no tiene límites en el número de veces que pueden aplicarse especificaciones a la misma proposición universal.

“Solamente todas las personas de la ciudad de Huaraz dicen que existen los Ichic kollcos”SoluciónDel enunciado anterior vamos a sacar dos predicados:P(x): x es de la ciudad de Huaraz.D(x): x dice que existen los Ichic kollcos.Esto se puede traducir: x: P(x) D(x)*Para toda persona, si es de la ciudad de Huaraz, entonces dice que existen los Ichic kollcos.Para todo x, si no P(x) no D(x)*Para toda persona, si no es de Huaraz, entonces no dice que existen los Ichic kollcos.

"todas las hormigas son insectos"Solución Para toda x, si x es hormiga entonces x es insecto que se puede simbolizar de la manera siguiente: (∀x)(Hx→ Ix)

Donde Hx simboliza la expresión: " x es hormiga", e Ix simboliza la expresión "x es insecto".

"hay animales carnívoros"

Solución Se observa que se puede escribir como: "existe al menos un x, tal que x es animal y x es carnívoro" que se puede simbolizar como: (∃ x)(Ax ∧ Cx).

Expresar “todos los gatos tienen cola” en cálculo de predicados. Solución Hallar primero el ámbito del cuantificador universal, que es “Si x es un gato, entonces x tiene cola” y se define como Gx↔ x es un gato Cx↔ x tiene cola∴ (∀x) Gx→ Cx

Leer las siguientes proposiciones cuantificadas. Luego, explicar el significado de cada una y dar su valor de verdad.a. Todas las plantas son medicinales

Significa que no hay plantas que no sean medicinales. Esta expresión es una proposición en la cual se utiliza el cuantificador universal y su valor de verdad es falso.

b. Algunos números son pares.Significa que hay otros números que no son pares. Esta es una proposición en la cual se utiliza el cuantificador existencial y su valor de verdad es verdadero.

c. Sólo en la tierra hay vida.Significa que no existe otro planeta en el cual haya vida. Esta expresión es una proposición en la cual se usa el cuantificador existencial y su valor de verdad es verdadero.

d. Uno de los mamíferos es la vaca.Significa que hay otros mamíferos. Esta es una proposición con cuantificador existencial y su valor de verdad es verdadero.

e. Unos peces viven en el agua.



Significa que hay otros peces que no viven en el agua. En esta proposición se utiliza el cuantificador existencial y su valor de verdad es falso.

f. Ningún estudiante tiene más de 18 años.Significa que todos los estudiantes tienen menos de 18 años. Esta es una proposición en la cual se utiliza el cuantificador universal y su valor de verdad es falso.

Negar las siguientes proposiciones cuantificadas:a. Todos los números naturales son impares

Negación: Existe por lo menos un números natural que no es impar.b. Existe un número par que no es múltiplo de 4.

Negación: Todos los números pares son múltiplos de 4

PRACTICA PROPUESTA

1) Simbolizar, utilizando el cuantificador existencial las siguientes expresiones. Todos aprobamos el curso y disfrutamos las vacaciones. Todo cetáceo es un pez. Toda hormiga es un insecto.

2) Simbolizar, utilizando el cuantificador universal, las siguientes expresiones. a) Existe al menos una montaña. b) Hay cisnes negros. c) Existen animales carnívoros. d) Hay números perfectos.

3) Simbolizar los siguientes enunciados: Todo es perecedero. Hay marcianos. Alguien no es perfecto. No hay cosas sólidas. Si todo es rojo, hay algo rojo. Nada se mueve. No todo es perecedero. Nada es perecedero. Algunos números negativos no son enteros. Algunos gobiernos no respetan la libertad.

4) Determinar los circuitos lógicos que representan a los siguientes esquemas moleculares:a) (p)(pq)b) p (q p)c) [rq)pr]qd) [(pq)p][(pq)p]e) (pq)[(pq)(pq)]

5) Representar mediante funciones booleanas los siguientes argumentos:

a)



b)

c)6) Determinar la menor expresión que representa al circuito dado:

7) Simplificar los siguientes circuitos lógicos:

8) Dado el circuito lógico, hallar el circuito lógico más simple posible.

9) Simbolizar los siguientes enunciados: 1) Hay cisnes negros. 2) Existen animales carnívoros.3) Hay números perfectos.4) Existen ciudades de clima frío.5) Todos los nevados son peruanos.6) Hay cetáceos que son peces.

10) Simbolizar, utilizando el cuantificador existencial las siguientes expresiones. Todos aprobamos el curso y disfrutamos las vacaciones. Todo cetáceo es un pez. Toda hormiga es un insecto.

11) Simbolizar, utilizando el cuantificador universal, las siguientes expresiones. *Existe al menos una montaña.*Hay cisnes negros.*Existen animales carnívoros.*Hay números perfectos.

12) Verificar que la negación de:a) x: y: z: (x+y)=z es x:y: z: (x+y z)



b) y: x: (xy2) es y: x: (xy>2)c) x: [p(x) q (y)] es x: [p(x)q(y)]d) x: y: [p(x)yx] es x: y: [p(x)y>x]

13) Negar y hallar el equivalente de la siguiente proposición: “Es de día y toda la gente se ha levantado”.

T E O R I A D E C O N J U N T O S

Tiene un concepto primitivo, se acepta sin definición. Pero por su importancia en todas las ramas de la matemática aceptamos la siguiente definición: “Es toda agrupación, colección o reunión de objetos de cualquier especie siempre que exista un criterio preciso que nos permita que un objeto pertenece o no a dicha agrupación”. Los objetos que pertenecen a un conjunto se llaman elementos.Notación: Se representan con letras mayúsculas: A, B, C,…; y a los elementos con letras

minúsculas: a, b, c,…RELACION DE PERTENENCIA ()Es un símbolo que relaciona a los elementos de un conjunto con el mismo conjunto. Notación: x A se lee: “x pertenece al conjunto A”

La negación de: x A es x A y se lee: “x no pertenece al conjunto A”Si la proposición x A es VERDADERA, entonces la proposición x A es FALSA o viceversa.OBSERVACIONES Sea M el conjunto formado por las letras: a; b; c; d; e. del mismo modo podemos escribir:

aM; bM; cM; dM; eM; fM.Representación: M= a; b ;c ;d ;e

Sea M el conjunto formado por las menciones artísticas: pintura, música, escultura, cerámica. Del mismo modo podemos escribir: pinturaM; músicaM; esculturaM; cerámicaM; DerechoM; ContabilidadM.Representación: : M= pintura ,mú sica , escultura, cer á mica

Ejemplo: sean los conjuntos: M= x∈R /x2−4=0 ; R=x∈R /ax+1=1DIAGRAMA DE VENN EULER (John Venn, matemático y filósofo británico)Para facilitar la resolución de problemas se usa los diagramas de VENN, estos pueden ser curvas, cerradas, etc.

DETERMINACION DE CONJUNTOSUn conjunto está bien determinado, cuando se conoce con exactitud qué elementos pertenecen o no al conjunto.Un conjunto puede determinarse de dos formas: por extensión y por comprensión.


http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/c/cc/Syllogism-Set-Diagrams.jpg

http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/d/df/VennDiagram.svg


POR EXTENSIÓN: Un conjunto se designa por extensión, cuando es posible indicar explícitamente sus elementos de dicho conjunto, señalándolo uno a continuación del otro.

Ejemplo: M= 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 se lee: M es el conjunto formado por los números consecutivos: 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9.

POR COMPRENSION: Un conjunto se designa por comprensión, cuando los elementos del conjunto pueden expresarse mediante una propiedad característica única y común a ellos.

Ejemplo: N= x∈Z /0<x<12 se lee: N es el conjunto de las “x” pertenecientes a los números enteros, tales que, los “x” sean mayores que 0 y menores que 12.

CONJUNTOS NUMÉRICOSEn matemática los conjuntos numéricos característicos que se estudian son: N , Z , Q, I , R y C.a) CONJUNTO DE LOS NUMEROS NATURALES (N )

Los números naturales expresan valores referentes a cosas enteras, no partidas, los números naturales van de uno en uno desde el 0, no admiten la partición de las unidades, y solamente expresan valores positivos.N= 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6,... ... ..., n,..Nota: algunos autores consideran los números naturales a partir del 1 y no del cero.

b) CONJUNTO DE LOS NUMEROS ENTEROS (Z)En ciertas ocasiones necesitamos expresar valores que están antes o por debajo del valor que consideramos punto de partida o valor cero. Ha sido necesario ampliar el conjunto de los números incluyendo también los negativos, para ello añadimos al número natural un signo + o - .De esta manera han surgido los números enteros, que expresan valores que van de uno en uno, pero permiten expresar valores positivos y también valores negativos.Z=... ... ... -7, -6, -5, -4, -3, -2, -1, 0, +1, +2, +3, +4, +5, +6, ... ... ...

c) CONJUNTO DE LOS NUMEROS RACIONALES (Q)Es un número de la forma a/b en donde “b” es diferente de 0 y se encuentran ubicados dentro de los números reales.

Q=mn /m∈Z⋀ n∈Z , n≠ 0d) CONJUNTO DE LOS NUMEROS IRRACIONALES (I)

Son aquellos que se escriben mediante una expresión decimal con infinitas cifras y no periódicas. Dicho conjunto lo denotamos por "I"I=x / x tiene representaci ó ndecimal infinitano peri ódica

e) CONJUNTO DE LOS NUMEROS REALES (R ¿Por número real llamaremos a un número que puede ser racional o irracional, por consiguiente, el conjunto de los números reales es la unión del conjunto de números racionales y el conjunto de números irracionales. El conjunto de los números reales es el conjunto de todos los números que corresponden a los puntos de la recta:



R=N⋃ Z⋃Q⋃ I

f) CONJUNTO DE LOS NUMEROS COMPLEJOS (C ¿C=a+bi /a∈R∧b∈ R ,i=√−1

A toda expresión de la forma a + bi donde a y b son números reales e “i” es la unidad imaginaria

( ) recibe el nombre de Número Complejo. x>0Se designan a los números complejos con la letra C ; así: C = a + bi (aR)Se llama PARTE REAL a la primera componente "a" y se indica de esta forma: Re(C) = aY a la segunda parte de la componente "b" se llamará PARTE IMAGINARIA. Im(C) = b¿Cuando un número complejo se dice imaginario puro?Si la parte real "a" es 0 se dice que el complejo 0 + bi es un Número Imaginario Puro. Es decir, es un Número Imaginario Puro, Cuando su parte real vale 0.Ejemplo: x2 + 16 = 0x2 = - 16

x= ± x= ± 4ix1= 4i; x2 = - 4i

CONJUNTO FINITOEs el conjunto que está formado por un número limitado de elementos.Ejemplos: A= x /x esuna vocal ; B= x∈N /5 ≤ x≤ 12 ; etc.CONJUNTO INFINITOEs el conjunto que está formado por un número infinito de elementos.Ejemplos:A=x∈Z / x es impar ; B= x / x esun n ú meronatural ; etc.RELACIONES ENTRE CONJUNTOSa) INCLUSION DE CONJUNTOS (SUBCONJUNTOS).- Se dice que el conjunto A es un

subconjunto B, o que A esta contenido en B o que A es parte de B, si todos los elementos de A pertenece al conjunto B. La relación se da de Conjunto a Conjunto.Notación: A⊂BSe lee: A esta incluido en B

A esta contenido en BA es parte de B

Definición Simbólica: A⊂B⟺ ∀ x∈ A ; x∈ A⟹x∈B Ejemplo: Sean los conjuntos: A=2,4,6,8; B=2,4,6,8,10,12; M=a,b,c,d,e; N=b,c,d,m,n, podemos afirmar que:i) A⊂B, porque todos los elementos de A está en B.



ii) M⊄N , porque algunos elementos de M no están en N.REPRESENTACION GRAFICA:

b) SUBCONJUNTO PROPIO.- Diremos que A es subconjunto propio de B, si A⊂B AB

Notación: se lee: “A es subconjunto propio de B” ó “A es una parte propia de B”

Ejemplo: Sea el conjunto R=1,2,3 es un subconjunto de P=1,2,3,4,5,6, puesto que RP además 4P, 5P, 6P tal que 4R, 5R, 6RPROPIEDADESa) AA …………………………….…(Propiedad reflexiva)b) Si AB BD AD....………..(Propiedad Transitiva)c) Si: AB BA A=B ………... (Propiedad Antisimetrica)d) A.…………………………….. (∀ conjunto A, donde es el conjunto vacio)

c) IGUALDAD DE CONJUNTOS.- Dos conjuntos A y B se dice que son iguales si y solo si AB y BA.Definición simbólica: A=B [ AB BA]PROPIEDADESa) A=A, ∀ A ………………………..(Propiedad reflexiva)b) A=B y B=C A = C ………….. (Propiedad transitiva)c) A=B B=A …………………… (Propiedad de simetría)

d) CONJUNTO POTENCIA DE UN CONJUNTO.- Dado un conjunto A, definimos el conjunto potencia de un conjunto formado por todos los subconjuntos de A.

Notación: P( A ) o por 2A se lee: el conjunto potencia de A ó el conjunto de partes de A.

Definición simbólica: 2A= x / x⊆ A se lee: el conjunto potencia de A, es igual conjunto de

los elementos x, tales que, los x son subconjuntos de A.Además, si el número de elementos de A es “k”, “kN , entonces el número de elementos de 2A es 2k.Ejemplo: Hallar el conjunto potencia de: M = 1,2.SoluciónSabemos que: n(M)=2 y n(2M)=22=4Luego se tiene: M=1,2, 1,2,, cuatro subconjuntos.Ejemplo: Hallar el conjunto potencia de: N=a, 1,b,c.SoluciónSe tiene: n(N)=3 y n(2N)= 23=8Luego los subconjuntos son: N=a,1,b,c,a,1,b,a,c,1,b,c,,NEjemplo: Hallar el conjunto potencia de: P=1,n,m,a,b.

CONJUNTOS ESPECIALES



1. CONJUNTO VACIO.- Es el conjunto que no tiene elementos y se representa simbólicamente por: (phi), se define por: =x/x x se lee: para cualquier numero x tal que, x es diferente de x, no se satisface para algún elemento. Ejemplo: Sea C=xN / 8<x<9, es un conjunto vacio, porque no existe un número natural que sea mayor que 8 y menor que 9, luego C=

2. CONJUNTO UNIVERSAL (U).-Es el conjunto tomado como base o conjunto fijo, para la determinación de otros conjuntos y se denota por U.También se denomina conjunto referencial para el estudio de una situación particular, que contiene a todos los conjuntos considerados. No existe un conjunto universal absoluto.Ejemplo: U=x/x es una fruta , A=x/x es una peraGráficamente se representa:

3. CONJUNTO UNITARIO O SINGLETON.-Es aquel conjunto que tiene un solo elemento.

Ejemplo: R=x/x es presidente de la República del PerúM=xZ/ 25<x<27T=2,2,2,2,…

4. CONJUNTO DE CONJUNTO O FAMILIA DE CONJUNTOS.- Es aquel conjunto cuyos elementos son todos conjuntos.Ejemplo: S= 2,5,6,2,6,8, F=, 4,4,5

5. CONJUNTOS DISJUNTOS.- Dos conjuntos son disjuntos cuando no tienen ningún elemento en común.En general se expresa: A es disjunto con B si y solo si, ∄ x/x A xB.Ejemplo: Sea S=1,2,3 y T=8,9,10,11 son conjuntos disjuntos.

OBSERVACION: Los subconjuntos propios de A son aquellos subconjuntos diferentes al conjunto A.

PRACTICA1. Determinar por extensión los siguientes conjuntos:

a) A=xN / x≤3 5<x<7b) F=x/ x2>0 x2<0c) B=x/6x2-5x+1=0d) R=x/ 2x3-7x2+7x-2=0e) M=x/x5+3x4-7x3-21x2+12x+36=0

2. Hallar el conjunto solución del siguiente conjunto:A=x/64x3+24x2-6x-1=0

3. Determinar los elementos de cada conjunto:a) A=Números naturales x que satisfacen x2=16b) C=xN/ 2x+3=15c) D=xQ/ (2x-1)(x-2)=0d) E=xN/5<x<12e) F=xZ/x2-2x-3=0



4. Determinar por comprensión el siguiente conjunto:a) G=2,4,6,8,10,…b) R=2,3,6,11,18,…c) S=-1,1,2d) P=bonito, pejerrey, jurel, caballa, anchoveta, …

5. Si A=2,3,5,7, diga cuál de las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas.a) 5Ab) 3Ac) 7Ad) 3,5A

6. Dados los siguientes conjuntos: A=7x+2/xZ, B=7x-26/xB, C=4x+1/xZ y D=2x+1/xZ, analizar y justificar debidamente su conclusión en los siguientes casos.a) A=Bb) C=D

7. Cuantos de los siguientes conjuntos son vacías:a) A=xU/xUb) B=xZ/x3=3

c) C=xR/ 1xR

d) D=xN/x2+1=0e) E=xQ/x2-x=2a) F= x/x es un entero par y x2=9

8. Dado A y B determinar si A=B en los siguientes ejercicios:a) A=-2,0,2 y B=xZ/x3-4x=0b) A=xZ+/1≤x≤6 y B=1,2,13,4,5,6

9. Si: A, B y C son conjuntos tal que ABC. ¿Cuál es la relación entre A-C y C-A?10. Si: A=1,2,3,4,5, B=2,3,4, C=2,4, ¿Cuál de las siguientes proposiciones son

verdaderas?a) ABb) ADc) CAd) BAe) BCf) DBg) AAh) BCi) DA

11. Sea U=1,2,3,4,5,9 el conjunto universal, si A=x2/xU, hallar A y A’ por extensión.

12. Sea: A=x+12

/ x∈Z /0<x<4 y B=x2−12

/ x∈Z ,−2≤ x≤ 3, determinar cuál de las

relaciones se cumplen AB, BA, A=B.13. Si: A=4,5,4,5,6. ¿Cuántas proposiciones son verdaderas?

* 4A * 5A *5A *7A



*4A *5A *4,5A *5,6A*6A *A

OPERACIONES CON CONJUNTOSI. UNION Ó REUNION.- La unión de dos conjuntos A y B es el conjunto formado por la

agrupación de todos los elementos A con todos los elementos BNotación: AB (A o B)Simbólicamente se define como: A∪B= x / x∈ A∨ x∈B Grafica:

OBSERVACIÓN: Si: BA AB=APROPIEDADES:a) AB=BA Conmutativab) A(BC)=(AB) C Asociativac) AA=A Idempotenciad) AU=Ue) A=A Elemento neutro

II. INTERSECCIÓN.- La intersección de dos conjuntos A y B es el conjunto formado por los elementos que pertenecen a los dos conjuntos a la vez.Notación: AB (A y B)Simbólicamente se define: A ∩ B= x / x∈ A∧ x∈B Grafica:

OBSERVACION: Si: BA AB=B

Si: A y B son conjuntos disjuntos AB=PROPIEDADES:a) AB=BA Conmutativab) A (BC)=(AB) C Asociativac) AA=A Idempotenciad) AU=Ue) A=A Elemento neutroPROPIEDADES COMPLEMENTARIAS:f) A(BC)=(AB)(AC)g) A(BC)=(AB)(AC)



LEY DE ABSORCIONh) A(AB)=Ai) A(AB)=Aj) (AB)CAC y BCk) Si: AB y CD (AC)(BD)

III. DIFERENCIA.- Es aquel conjunto cuyos elementos pertenecen a “A” pero no al conjunto “B”.Notación: A –BSe lee: A pero no B; solo ASimbólicamente se define: A−B=x / x∈ A∧ x∉B Grafica:

OBSERVACIONES: Si: BA B – A = Si: A y B son conjuntos disjuntos A-B=A; B-A=B

IV. DIFERENCIA SIMETRICA.- La diferencia simétrica de dos conjuntos A y B es el conjunto formado por los elementos que pertenecen a “A” o “B” pero no a ambos.Notación: A BSimbólicamente se define: AB=¿ AB=x /(x∈ A∨ x∈B)∧ x∉ A⋂B También: AB=( A−B )∪(B−A)Grafica:

OBSERVACIONES: Si: BA B A = A – B Si: A y B son conjuntos disjuntos A B= A BPROPIEDADESa) A B=(A-B)(B-A)b) A B=(AB)-(AB)c) A A=d) A =A

V. COMPLEMENTO.- El complemento de A, es el conjunto formado por los elementos que pertenecen al conjunto universal U pero no a “A”.Notación: A; A’; Ac; CA.Simbólicamente se define: A=x /x∈U ∧ x∉ A = U-AGrafica:



NÚMERO CARDINAL.-Representa la cantidad de elementos que tiene un conjunto. Ejemplo: M=2,3,5 n(M)=3

Para la resolución de algunos problemas también se usa las siguientes formulas:UNIÓN DE CONJUNTOS: a) Caso I: n(AB)=n(A)+n(B)-n(AB)

n(U)=n(AB)+n(D)b) Caso II: n(ABC)=n(A)+n(B)+n(C)-n(AB)-n(AC)-n(BC)+n(ABC)

PRACTICA1) Se encuentra a cierto número de personas sobre la presencia de tres periodos A, B y C.

¿Cuántas personas leen sólo un periódico? ¿Cuántas personas leen dos periódicos solamente? ¿Cuántas personas leen los tres periodos? ¿Cuántas personas leen el periódico A? ¿Cuántas personas leen sólo A? ¿Cuántas personas leen A y B pero no C?¿Cuántas personas leen A o B pero no C? ¿Cuántas personas no leen ninguno de los periódicos? ¿Cuántas personas leen como mínimo dos periódicos? ¿Cuántas personas leen como máximo dos periódicos?¿Cuántas personas leen B pero no A ó C?

2) Si: A = 5, 2, 9; señale la expresión falsa a) 2 A b) 2 A c) 9 A d) 5 ,9 A e)5,2 A

3) Determinar la notación falsa:a) 2, 5, 3 = 3, 5, 2b) 4 4, 5c) 3 2, 3, 4d) 3, 4, 5e) 3. 4, 2



4) Si: U = x/x Z 0 x < 10(A ∪ B)' = 0, 6, 9;A B = 1, 2, 7A – B = 3, 5¿Hallar la suma de los elementos de B – A?

5) Dado A =; . ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es falsa?a) A b) A c) A d) A e)A

6) En una entrevista realizada en el aeropuerto se determino que 49 viajaban al Cuzco, 43 a Tacna, 39 a Arequipa, 19 sólo a Tacna y 21 sólo a Arequipa. Si 16 viajan a Tacna y Arequipa y 5 de ellos viajaban también al Cuzco, determinar cuántas personas viajaban sólo al Cuzco.

7) De 30 personas que viajan rumbo a Europa, 16 dijeron que visitaran Francia, 16 Inglaterra y 11 Suiza, 5 de los encuestados visitaron Francia y Suiza, y 3 de ellos visitarían también Inglaterra, 5 solo van a Suiza y 8 sólo a Inglaterra. ¿Cuántos visitaron solo Francia?

8) Si el conjunto E es unitario E = a + 2b; 3b – a + 2; 11. Hallar: “a . b”

9) ¿Represente la parte achurada de la figura?

10) A = a, o, i; B = a, o, u el número de subconjuntos propios de: A ∪ B.

11) Si: A =1, 2, 3,5 B =2, 3, 4,5Hallar: [(A B ) ∪ (A B)] - B

12) Si: “n” significa el número de elementos, siendo A y B dos conjuntos tales que: n(AB)=30; n(A-B)=12 y n(B-A)=8.Hallar: 5[n(A)] – 4 [n(B)]

13) De un grupo de postulantes a universidades, se sabe que: 16% postulan a la UNI 42% postulan a San Marcos 58% postulan a Católica 8% postulan a las 3 Universidades El 5% no postulan a ninguna de estas 3 Universidades



Si 390 estudiantes postularon a por lo menos 2 universidades, diga ¿Cuántos postulantes hubo en total?

14) En la edición de un libro hay 120 ejemplares con fallas en el papel, fallas en la impresión y fallas en la encuadernación. Si se sabe que 68 libros tienen la primera falla, 32 tienen la segunda falla, 40 tienen solo la primera falla, 5 tienen la primera y segunda falla somanete, 17 tienen la segunda y tercera falla pero no la primera y 4 ejemplares tienen las tres fallas.A) ¿Cuántos libros tienen solo la tercer falla?B) ¿Cuántos libros tienen la tercera falla por lo menos?

15) De la siguiente relación exprese la región achurada.

16) Se tiene la región sombreada, represente la operación de la figura sombreada:

17) De un grupo de 100 universitarios, 49 no estudian Lengua y 53 no estudian Matemáticas. Si 27 no estudian ninguno de los cursos mencionados, ¿Cuántos estudian sólo un curso?

18) De 40 alumnos de una sección, 15 aprobaron física, 6 probaron física y química. ¿Cuántos alumnos desaprobaron los dos cursos mencionados, si los que aprobaron química fueron 7?

19) Si: n(A B) = 8 n(A B) =2

Hallar: n(A ∪ B)

20) Determine el conjunto “B”, si: B = x/x2 – 5x + 6 = 0

21) Si: a = 3, 5 ¿cuál de las siguientes afirmaciones es verdadera?a) 3, 5 A b) 5 A c) 5 A d) 5 A e)5 A



22) Del gráfico: ¿Cuál de las siguientes relaciones expresa mejor la siguiente región sombreada achurada?

a) (A - B) ∪ A ∪ B b) (A B) ∪ C c) (A - C) ∩ (B - C) ∪ C d) (A ∩ B) – C ∪ C – (A ∪ B)

23) Hallar ”x” si el conjunto es unitario: A = 2x – 3, x +2

24) Representar la región achurada.

25) Si A tiene 3 elementos. Hallar n[P(A)]

26) De 30 personas que viajan rumbo a Europa se obtuvo la siguiente información: 16 dijeron que visitaron Francia. 16 Inglaterra 11 Suiza 5 de los encuestados visitaron Francia y Suiza. 3 de ellos visitaron también Inglaterra. 5 solo van a Suiza. 8 solo a Inglaterra.¿Cuántos visitaron solo Francia?

27) De un grupo de 70 mujeres: 24 tienen ojos azules pero no tienen 15 años 8 no tienen ojos negros ni azules y son mayores de 18 años. De las que no son mayores de 18 años, 14 no tienen ojos negros ni azules.¿Cuántas quinceañeras tienen ojos azules, si ellas son la tercera parte de todas las que tienen ojos negros?

28) En los diferentes cursos que ofrece el departamento de Matemática en la Universidad, se han inscrito los siguientes alumnos: 150 en análisis matemático I; 75 en computación; 35 en Algebra moderna; 50 Programación Lineal; 70 en Análisis Matemático I y computación; 40 en análisis matemático I y Programación Lineal; 30 en Análisis I y Algebra M.; 5 en computación y Algebra M.; y 2 en análisis M I, computación y Algebra M. Si cada estudiante toma, cuanto menos un curso, ¿Cuántos estudiantes están inscritos?



R E L A C I O N E S Y F U N C I O N E S

PAR ORDENADO.- Un par ordenado o cupla de números reales es una expresión (a,b) donde “a” es llamada primera componente y “b” es segunda componente.Ejemplo: son pares ordenados, (6,2) , (-5,3) , etc. IGUALDAD DE PARES ORDENADOS.- Los pares ordenados (a,b) y (c,d) son iguales si sus correspondientes componentes son iguales. AXIOMA: (a,b)= (c,d) a=c b=dEjemplo: determinar el valor de x e y de tal manera que (5x+2y, -4)=(-1,2x-y).…………………………………………………………………………………………………....DESIGUALDAD DE PARES ORDENADOS

(a,b) (c,d) ac y/o bdPRODUCTO CARTESIANODados los conjuntos A y B, llamaremos producto cartesiano (A × B) al conjunto formado por todos los pares ordenados (a,b), donde la primera componente “a” pertenece al conjunto A y la segunda componente “b” pertenece al conjunto B.Simbólicamente se tiene:

A x B= (a ,b ) ∕ a ∈ A b ∈ B

Nota: (a,b)A x B aA bB

Ejemplo: Sean A=2,3,4 y B=1,7 luego el producto cartesiano de AxB es: ………………….

REPRESENTACIÓN GRAFICA DEL PRODUCTO CARTESIANOUn producto Cartesiano podemos representarlo de diferentes formas: diagramas de flechas, diagramas arbolados, tablas y gráficos cartesianos

Observación: Cuando los conjuntos A y B son finitos entonces:



n(AxB)=n(A). n(B)Ejemplo: Si: A=2,4 y B=1,3,5, determinar el número de pares ordenados.SoluciónSe tiene: n(AxB)=n(A). n(B)Luego: n(AxB)= 2 . 3 = 6 pares ordenados.Representación: A x B= (2,1), (2,3), (2,5), (4,1), (4,3), (4,5)

NO CONMUTATIVIDAD DEL PRODUCTO CARTESIANODe las definiciones de igualdad de pares ordenados y de Producto Cartesiano resulta que el Producto Cartesiano de dos conjuntos no goza de propiedad conmutativa.Simbólicamente: AxB≠BxA .

En efecto: AxB= (a ;b )/a∈ A∧b∈B . En cambio,BxA= (b;a )/b∈B∧a∈ A . Y, como (a ;b )≠(b ; a ) , resulta que AxB≠BxA , como se pretende demostrar con este razonamiento.

PROPIEDADES DEL PRODUCTO CARTESIANO1. AxB BxA, No siempre se cumple.2. Ax(BC)= (AxB) (AxC)3. Ax(B-C)= (AxB) - (AxC)4. Si: A B AxC BxC , C5. Ax = xA=6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18.

REPRESENTACION GEOMETRICA DEL PRODUCTO CARTESIANOSu representación se da a través de la intersección dos rectas perpendiculares, en donde los elementos del conjunto A se encuentra sobre el eje de las abscisas y los elementos del conjunto B sobre el eje de las ordenadas, obteniéndose el par ordenado de AxB.



A x B = (1, 3),(1, 4),(1, 5),(2, 3),(2, 4),(2, 5).

Los ejes representan a sendos conjuntos R y cada uno de los infinitos puntos de este plano representa a cada uno de los infinitos pares ordenados del conjunto RxR. También se lo reconoce con otros nombres: plano xy, plano real, plano cartesiano (en memoria a su creador, el filósofo y matemático francés Renato Descartes, o Cartesius).

Observación: 1. Si: A=B, el producto cartesiano será: AxB=AxA=A2.2. Si: A=B= R entonces AxB= RxR= R2, este producto nos representa el plano cartesiano.

DIAGONAL DE UN CONJUNTODados un conjunto A, a la diagonal del producto cartesiano A x A denotaremos por:

DA=(x,y)AxA/y=x

Ejemplo: Si R=a,b,c entonces: AxA=(a,a), (a,b), (a,c), (b,a), (b,b), (b,c), (c,a), (c,b), (c,c)Entonces: DR=(a,a),(b,b), (c,c)

PRACTICA1. Determinar los valores x e y, en cada caso:

a) (4,2x-10)=(x-1,y+2)b) (y-2,2x+1)=(x-1,y+2)c) (3x-8y,4x+3y)=(4-2x-10y,2x+4y+7)

d) ( x+ y2

−1,x− y

2+1)=( y−x

2+2 ,

x+ y2

−2)

e) (x3-19,x2y-6)=(y3,xy2)2. Dados los conjuntos A=xZ-1≤x≤3 ; B= xZ1≤x≤4 ; C= xZ1≤x≤4. Hallar los

siguientes conjuntos y graficar:a) AxBb) BxCc) (A-C)xb

3. Que parte del plano cartesiano se obtiene si se representa gráficamente los siguientes productos cartesianos.e) <0,+> x <0,+>f) <-,0> x <-,0>g) <-,0> x <0,+>h) <0,+> x <-,0>

4. Dados los conjuntos A=xRx-3<7 ; B= xR-2<y<3. Graficar: AxB y BxA.5. Dados los conjuntos A= xNx<3 ; B= xNx es par y x<5



C= xNx es impar y x≤4. Hallar el conjunto (AB)x(C-A)6. Para A y B subconjuntos arbitrarios de R, geométricamente representar, el producto

cartesiano AxB en el espacio R2.

7. Si A= x3+43

/ (x-1)(x+2)(x-3)=0 y B= x2

2+3/ x ( x+2 ) ( x−4 )=2 , xR. Hallar AxB, BxA

y graficar.

RELACIONES EN R

RELACIONES BINARIAS Dados dos conjuntos “A” y “B” no vacíos, se denomina Relación binaria de “A” en “B” a todo subconjunto R del producto cartesiano de A x B.

R es una relación de A en B R A x B

R = (a;b)/a A b B a R b

Ejemplo: Sean A= 2,4 y B= 1,3,5, entonces A x B= (2,1), (2,3), (2,5), (4,1), (4,3), (4,5)Los siguientes conjuntos de pares ordenados son relación de A x B:R1=(2,3), (2,5), R2=(2,1), (2,3), (4,5), R3=(2,5), (4,1), (2,1), R6=AxB

¿Cuándo no son relaciones de A en B?Son: R4=(2,5), (4,1),(1,2), R5=(5,4), (2,3), (2,5), porque: (1,2), (5,4) AxBPor lo tanto: R4 ⊈ AxB, R5 ⊈ AxB

OBSERVACIONES:

Si “R” es una relación de “A” en “B” entonces al conjunto “A” se le llama conjunto de partida, y el conjunto “B” se le llama conjunto de llegada.

El Dom(R), está dado por el conjunto cuyos elementos son todas las primeras componentes de los pares ordenados de la relación.

El Ran(R), está dado por las segundas componentes.

Si A tiene “x” elementos y B tiene “y” elementos entonces existe 2n relaciones entre A y B. Donde n= p.q

DOMINIO Y RANGO DE UNA RELACION BINARIA

Consideremos una relación R de A en B, es decir que R A x B.

El DOMINIO de la relación R denotado por DR es el conjunto definido por.

DR=a∈ A /∃b∈B∧(a , b)∈ R

Para determinar el dominio de una relación, primero se despeja “y”, luego se analizan los valores que puedan tomar “y” y sea real.

El RANGO de la relación R denotado por RR es el conjunto definido por:

RR=b∈ A /∃a∈ A∧(a , b)∈R

Para determinar el rango de una relación se despeja “x”, luego se analiza los valores que puedan tomar “y”, para que la variable “x” sea real.

Ejemplo: Sean A=(1,2), (1,5), (2,2), (3,4) entonces: DA ¿1,2,3 , RA=2,4,5



PROPIEDADES DE LA RELACIÓN BINARIA

1. Relación Reflexiva : Sea R una relación en A, diremos que R es una relación reflexiva, si (a,a) R para todo aA.

R es reflexiva en A aA, (a,a) R2. Relación Simétrica : Sea R una relación en A, diremos que es simétrica, si (a;b) R implica

que (b;a) R, esto es:R es simétrica (a,b)R (b,a) R

3. Relación Transitiva : Sea R una relación en A, diremos que es Transitiva si: (a;b) R y (b;c) R implica que (a:c) R, esto es:

R es transitiva a,b,cA, [(a,b)R ∧ (b,c)R (a,c) R]

4. Relación de Antisimetrica : Una relación R en A, diremos que es antisimétrica si: a,b,cA, (a,b)R y (b,a)R implica que a=b, esto es:

R es antisimetrica a,bA, [(a,b)R ∧ (b,a)R a=b R]

5. Relación de Equivalencia : Sea R una relación en A, diremos que es de equivalencia, si es reflexiva, simétrica y transitiva a la vez.

DETERMINACION DE UNA RELACION BINARIATeniendo en cuenta una relación es un conjunto de pares ordenados, entonces a una relación determinaremos por extensión o por comprensión.

POR EXTENSIÓNUna relación se determina por extensión cuando se menciona cada uno de los pares ordenados de la relación.Ejemplo: Si: A=2,3,6,9 y B=1,4,5,6,12

Expresar por extensión las siguientes relaciones:R=(x,y) AxB/ y=2x y R=(x,y) AxB/ x+y=20…………………………………………………………………………………………

POR COMPRENSIÓNUna relación queda determinada por comprensión cuando se da una propiedad que caracteriza a todos los pares ordenados que conforman la relación.Ejemplos: 1. Si A=Z conjunto de los números enteros la relación R=(x,y)ZxZ/ y=x es una relación

expresada por comprensión.

2. Si U=xN/x7. determinar por comprensión la relación R=(3,1), (4,2), (5,3), (6,4), (7,5).SoluciónR=(x,y)UxU/x-y=2

RELACIÓN INVERSA

Si R A x B es una relación de A en B; entonces a la relación inversa de R lo denotaremos por R-1, es la relación de B a A que consta de aquellos pares ordenados que cuando sufren alteraciones en el orden pertenece a R.

R-1= (b,a) / (a,b) R

Ejemplo: Sea R=(1,2), (1,3), (2,3) en A=1,2,3, entonces la inversa de la relación es:

R-1=(2,1), (3,1), (3,2).



Ejemplo: sea A=1,2,3 , B=4,5,6,7, y la relación R de A en B:

R=(1,4), (1,5), (2,4), (2,6)

R-1=(4,1), (5,1), (4,2), (6,2)

Dom(R)=1,2 Ran (R)=4,5,6 Ran(R-1)=1,2 Dom (R-1)=4,5,6

PROPIEDAD FUNDAMENTAL DE LAS RELACIONES INVERSAS

Dada una relación R de A en B y su relación inversa R-1 de B en A, se cumple que:

Dom (R-1)= Ran (R)

Ran(R-1)= Dom(R)

Ejemplo: Hallar la inversa de las siguientes relaciones:

1. R=(x,y) RxR/x+3y=122. R=(x,y) RxR/3x+4y=5 y 1x7

GRAFICA DE UNA RELACIÓN INVERSA

La grafica de R-1 es simétrica a la grafica de R con respecto a la recta y=x.

PROBLEMAS1) Grafica e indique el dominio y el rango de las relaciones:

a) R=(x,y) RxR/ |y|≥ x2 ,|y|<xb) R=(x,y) RxR/ |y|≥ x2 ,|y|≤|x|

2) Sea S=(x,y) ZxZ/3x-y12 2x-3y<0, ¿Cuáles de las siguientes afirmaciones son verdaderas?c) S-1=(m,n) ZxZ/3n-m12 2n-3m<0

FUNCIONES

HISTORIA DE LAS FUNCIONES



Mientras que el cálculo diferencial e integral surgió en el siglo XVII, el concepto de función vino a conocerse un siglo después, y el limite, entendido de una manera formal y rigurosa, solo a finales del siglo XIX, lo cual difiere de la forma como se presenta actualmente el cálculo, en donde primero se enseñan funciones, luego limites y finalmente derivadas o integrales. En la obra Introductio in Analysi Infinitorum, Leonhard Euler intenta por primera vez dar una definición formal del concepto de función al afirmar que: ``Una función de cantidad variable es una expresión analítica formada de cualquier manera por esa cantidad variable y por números o cantidades constantes''. como puede observarse, esta definición difiere de la que actualmente se conoce, pues siete años después, en el prólogo de las Instituciones, calculo diferencial, afirmó: ‘Algunas cantidades en verdad dependen de otras, si al ser combinadas las ultimas las primeras también sufren cambio, y entonces las primeras se llaman funciones de las últimas. Esta denominación es bastante natural y comprende cada método mediante el cual una cantidad puede ser determinada por otras. así, si x denota una cantidad variable, entonces todas las cantidades que dependen de x en cualquier forma están determinadas por x y se les llama funciones de x''. En la historia de las matemáticas se le dan créditos al matemático suizo Leonhard Euler(1707-1783) por precisar el concepto de función, así como por realizar un estudio sistemático de todas las funciones elementales, incluyendo sus derivadas e integrales; sin embargo, el concepto mismo de función nació con las primeras relaciones observadas entre dos variables, hecho que seguramente surgió desde los inicios de la matemática en la humanidad, con civilizaciones como la babilónica, la egipcia y la china. Antes de Euler, el matemático y filosofo francés Rene Descartes(1596-1650) mostró en sus trabajos de geometría que tenía una idea muy clara de los conceptos de ``variable'' y ``función'', realizando una clasificación de las curvas algebraicas según sus grados, reconociendo que los puntos de intersección de dos curvas se obtienen resolviendo, en forma simultánea, las ecuaciones que las representan.

FUNCIÓNDados los conjuntos no vacíos “A” y “B” y una relación F A x B se define: F es una función de “A” en “B” si y sólo si para cada x A, existe a lo más un elemento y B tal que el par (x,y) F, es decir que dos pares ordenados distintos no pueden tener la misma primera componente.

Si: F es una función tal que (x,y) F (x,z) F y=x

DOMINIO Y RANGO:

Abreviado por Dom(f) y Ran(f) respectivamente se define así:

Dominio: Denominado PRE-IMAGEN, conjuntos de los primeros elementos de un par ordenado.

Rango: Llamado también IMAGEN, es el conjunto de los segundos elementos de la correspondencia que pertenecen al conjunto de llegada B.

En conclusión: Dom(f) A Ran(f) B .

CLASES DE FUNCIONES:

F. Inyectiva o Univalente: Cuando cada elemento del Rango le corresponde un único elemento del dominio.

F. Suryectiva: Cuando el rango o imagen de F coincide con el conjunto de llegada B, es decir:

Ran(f) = F(A) = B .



F. Biyectiva: Cuando es a la vez inyectiva y suryectiva.

PRACTICA

01 Hallar verdadero (V) o falso (F) según convenga:- Toda función es una relación.- Toda relación es una función.- Toda recta es una función.- Toda parábola es una función.

02. Calcular “P” si:P = F(2) + F(4) . F(-3) +F(-1).Si:

F(x) = 3 x−1 ; x>3 ¿ x2−1 ; −2≤x≤3¿ ¿¿¿

Rpta.:

03. Hallar el mínimo:

F(x) = √ x2+x+1Rpta.:

04. Es función:F =[(8;2),(2;a),(a2-1;b)(2;2a-3), (3:5)]Hallar; “a + b”Rpta.:

05. Si: F(x+1) = F(x) + x; y F(2) = 5.

Calcular:

F ( 4 )F (0)

Rpta.: 06. Hallar el rango de:

F(x) = 2+(-1)[x] Rpta.:

07. Dada la función:

F(x) =

1

x2−1

Entonces ¿se puede afirmar que es

creciente en ⟨−∞ ,−1⟩?.Rpta.:

08. Si: F(x) =

x2−4x2+5 x+6

A = Dominio de F(x)B = Rango de F(x).Hallar “A - B”Rpta.:

09. Encontrar el valor mínimo de la función:

F(x) =

1+ x2

1+x; x∈ [0 ; ∞⟩

Rpta.:

PRACTICA1. ¿Cuál de los siguientes pares ordenados

son funciones?a) (2;1), (1;5), (0;0), (6;2)b) (-3;1), (-3;0), (4;2), (7;5)c) (-5;2), (1;2), (3;2), (5;2), (7;2)d) (0;√2), (0,6;1,5), (5,2), (7,2),

(0,5;0,5)2. Indique el rango de la función f, si f

tiene como dominio -1;3;6;7 y como regla de correspondencia f(x)=x2-2x

3. Si f es la función (1;5), (2;6), (-2;2), (3;7). Calcular : f(1)+f(2)+f(3)

4. ¿Para qué valores de a y b la relación: R=(2;5), (-1;-3), (2;2a-b), (-1;b-a), (a+b;a) es una función?

5. Si el conjunto: (1;5), (a;6), (3;a2), (3;2a+3) representa una función, proporcionar el rango.

6. Si: f(x)=x2+2x+2, hallar g(x) tal que f(g(x))= x2-4x+5

7. Hallar el dominio y rango de las relaciones:a) R=(x,y)RxR/x2=y-1b) R=(x,y)RxR/x2y2-4x2=4y2

8. Si: U= xZ+/ x impar x8. Tabular las siguientes relaciones en U.a) R= (x, y)UxU/xy=21b) R= (x, y)UxU/x+y=8

9. Siendo A=1;2;3;4;5;6 estudiar las propiedades de las relaciones binarias.a) R=(x, y)AxA/x+y>0b) R=(x, y)AxA/xy

10. Graficar las siguientes relaciones:



a) y= x2−25x+1

b)

y= x2+12 x2−5 x+2

11. Graficar las siguientes funciones y determinar su dominio y rango. a) f(x)=√ x−2+2b) h(x)=-x2+2x+2c) f(x)= - √ x d) f(x)=4-2x

12. Determinar el dominio, rango y construir

la grafica de la función: f(x)= 4 x2−12 x+1

.

13. Hallar el dominio de la función: f(x)=

√ x2−4 x+314. Siendo A=1;2;3;4;5;6;…;9 se pide:

a) tabular y construir las graficas de cada una de las relaciones de A en A.

b) Hallar el dominio y el rango de cada relación.

c) ¿Cuál de las relaciones es reflexiva, simétrica o transitiva?

R=(x, y)AxA/x2+y2=4 R=(x, y)AxA/y2=x2-9 R=(x, y)AxA/x2=4y R=(x, y)AxA/y>x

15. Discutir y graficar la siguiente relación: R=(x,y)RxR/y2(x2-4)=x2


folleto matematica i-2012

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