Lgica ProposicionalLa lgica proposicional es la ms antigua y simple de las formas de lgica. Utilizando una representacin primitiva del lenguaje, permite representar y manipular aserciones sobre el mundo que nos rodea. La lgica proposicional permite el razonamiento, a travs de un mecanismo que primero evala sentencias simples y luego sentencias complejas, formadas mediante el uso de conectivos proposicionales, por ejemplo Y (AND), O (OR). Este mecanismo determina la veracidad de una sentencia compleja, analizando los valores de veracidad asignados a las sentencias simples que la conforman. Una proposicin es una sentencia simple que tiene un valor asociado ya sea de verdadero (V), o falso (F). Por ejemplo: Hoy es Viernes Ayer llovi Hace fro La lgica proposicional, permite la asignacin de un valor verdadero o falso para la sentencia completa, no tiene facilidad par analizar las palabras individuales que componen la sentencia. Por este motivo, la representacin de las sentencias del ejemplo, como proposiciones, sera: hoy_es_Viernes ayer_llovi hace_fro La proposiciones pueden combinarse para expresar conceptos ms complejos. Por ejemplo: hoy_es_Viernes y hace_fro. A la proposicin anterior dada como ejemplo, se la denomina frmula bien formada (well-formed formula, wff). Una frmula bien formada puede ser una proposicin simple o compuesta que tiene sentido completo y cuyo valor de veracidad, puede ser determinado. La lgica proposicional proporciona un mecanismo para asignar valores de veracidad a la proposicin compuesta, basado en los valores de veracidad de las proposiciones simples y en la naturaleza de los conectores lgicos involucrados. Los conectadores bsicos de la lgica proposicional, se dan en la Tabla 4.1. Las tablas de verdad para las operaciones bsicas, se muestran en la Tabla 4.2.

NOMBREConjuncin Disyuncin Negacin Implicacin Equivalencia

CONECTOR

SMBOLO

AND OR NOT If-Then Igual

^ v ~ => =

Conectores bsicos de la lgica proposicional p Q Disyuncin p vq V V F F V F V F V V V F Conjuncin p ^q V F F F Negacin ~p F F V V Implicacin p => q V F V V Equivalencia p=q V F F V

Tablas de verdad para operadores lgicos El conectador de implicacin, puede ser considerado como un condicional expresado de la siguiente forma: Si A => B va a ser verdadero, entonces toda vez que A sea verdadero, B debe ser siempre verdadero. Para los casos en los cuales A es falso, la expresin A => B, es siempre verdadera, independientemente de los valores lgicos que tome B, ya que el operador de implicacin no puede hacer inferencias acerca de los valores de B. Existen varias equivalencias en lgica proposicional, similares a las del lgebra Booleana. Estas se dan en la Tabla 4.3. DENOMINACIN Leyes Equipotenciales REPRESENTACIN LGICA A => B = ~A v B

A ^ ~A = F A v ~A = V Leyes Conmutativas A ^B=B^ A AvB=BvA Leyes Distributivas A ^ (B v C) = (A ^ B) v (A ^ C) A v (B ^ C) = (A v B) ^ (A v C) Leyes Asociativas A ^ (B ^ C) = (A ^ B) ^ C A v (B v C) = (A v B) v C Leyes Absortivas A ^ (A v B) = A A v (A ^ B) = A Leyes de DeMorgan ~(A ^ B) = ~A v ~B ~(A v B) = ~A ^ ~B Equivalencias en lgica proposicional

LOGICA DE PREDICADOS

Representacin mediante Lgica de PredicadosLa principal debilidad de la lgica proposicional es su limitada habilidad para expresar conocimiento. Existen varias sentencias complejas que pierden mucho de su significado cuando se las representa en lgica proposicional. Por esto se desarroll una forma lgica ms general, capaz de representar todos los detalles expresados en las sentencias, esta es la lgica de predicados. La lgica de predicados est basada en la idea de las sentencias realmente expresan relaciones entre objetos, as como tambin cualidades y atributos de tales objetos. Los objetos pueden ser personas, objetos fsicos, o conceptos. Tales cualidades, relaciones o

atributos, se denominan predicados. Los objetos se conocen como argumentos o trminos del predicado. Al igual que las proposiciones, los predicados tienen un valor de veracidad, pero a diferencia de las preposiciones, su valor de veracidad, depende de sus trminos. Es decir, un predicado puede ser verdadero para un conjunto de trminos, pero falso para otro. Por ejemplo, el siguiente predicado es verdadero: color (yerba, verde) el mismo predicado, pero con diferentes argumentos, puede no ser verdadero: color (yerba, azul) o color (cielo, verde) Los predicados tambin pueden ser utilizados para asignar una cualidad abstracta a sus trminos, o para representar acciones o relaciones de accin entre dos objetos. Por ejemplo:mortal(juan_carlos) clima(martes, ave(gaviota) ama(roberto, vanessa) lluvioso) lee(alex, novela)

mordio(boby, cartero)

Al construir los predicados se asume que su veracidad est basada en su relacin con el mundo real. Naturalmente, siendo prcticos, trataremos que los predicados que definimos estn de acuerdo con el mundo que conocemos, pero no es absolutamente necesario que as lo hagamos. En lgica de predicados el establecer como verdadero un predicado es suficiente para que as sea considerado. Demos el siguiente ejemplo, que indica que Ecuador est en Europa: parte_de(ecuador, europa) Obviamente, esto no es verdadero en el mundo real, pero la lgica de predicados no tiene razn de saber geografa y si el predicado es dado como verdadero, entonces es considerado como lgicamente verdadero. Tales predicados, establecidos y asumidos como lgicamente verdaderos se denominan axiomas, y no requieren de justificacin para establecer su verdad. La lgica de predicados, se ocupa nicamente de mtodos de argumentacin slidos. Tales argumentaciones se denominan Reglas de Inferencia. Si se da un conjunto de axiomas que son aceptados como verdaderos, las reglas de inferencia garantizan que slo sern derivadas consecuencias verdaderas. Tanto los conectivos lgicos, como los operadores dados anteriormente para la lgica proposicional, son igualmente vlidos en lgica de predicados. De hecho, la lgica proposicional es un subconjunto de la lgica de predicados.

Cada uno de los argumentos en los ejemplos de predicados dados anteriormente, representan a un objeto especfico. Tales argumentos se denominan constantes. Sin embargo, en la lgica de predicados se pueden tener argumentos que en determinado momento pueden ser desconocidos. Estos son los argumentos tipo variable. En el ejemplo: color (yerba, X), la variable X, puede tomar el valor de verde, haciendo que el predicado sea verdadero; o puede tomar el valor de azul, dando lugar a que el predicado sea falso. Las variables, tambin pueden ser cuantificadas. Los cuantificadores que tpicamente se utilizan en lgica de predicados son:

El cuantificador universal; indica que la frmula bien formada, dentro de su alcance, es verdadera para todos los valores posibles de la variable que es cuantificada. Por ejemplo:X....

Establece que "para todo X, es verdad que . . . " El cuantificador existencial; , indica que la frmula bien formada, dentro de su alcance, es verdadera para algn valor o valores dentro del dominio. Por ejemplo:

X....Establece que "existe un X, tal que . . . " A continuacin se dan algunos ejemplos de predicados cuantificados: X, [nio (X) => le_gusta (X, helados)]. Y, [mamfero (Y) => nace (Y, vivo)].

Z, [cartero(Z) ^ mordi (boby, Z)].Desde el punto vista de representacin, los cuantificadores son difciles de usar. Por lo que es deseable reemplazarlos con alguna representacin equivalente, ms fcil de manipular. El caso del cuantificador universal es ms simple ya que se asume a todas las variables como universalmente cuantificadas. El cuantificador existencial es ms difcil de reemplazar. El cuantificador existencial garantiza la existencia de uno o ms valores particulares (instancias) de la variable cuantificada, que hace a la clusula verdadera. Si se asume que existe una funcin capaz de determinar los valores de la variable que hace la clusula verdadera, entonces simplemente se remueve el cuantificador existencial y se reemplaza las variables por la funcin que retorna dichos valores. Para la resolucin de problemas reales, esta funcin, llamada funcin de Skolem, debe ser conocida y definida.

CONCEPTO DE PROPOSICION.

ProposicionesUna proposicin se considera una frase, a la cual, se le puede asignar dos valores: o bin es verdadera, o bien es falsa, pero no ambas cosas. La verdad o falsedad de dicha proposicin se le llama su valor de verdad . Algunas proposiciones se pueden componer de dos o varias proposiciones simples, a los cuales, les llamaremos proposiciones compuestas . Esto lo veremos ms adelante. Comnmente se suele denotar a las proposiciones mediante las letras: p, q, r, s...etc. A continuacin, veremos algunos ejemplos muy simples, de manera que se comprenda que son las proposiciones en Lgica.

p: 7 es un nmero par; q: 2 + 2 = 4; r: 2 es un nmero impar.Como puedes darte cuenta, las proposiciones tanto p, q y r, tienen valores de verdad. De manera que la proposicin p, su valor de verdad ser Falso , pues 7 no es un nmero par. Para la proposicin q, su valor de verdad ser verdadero, siempre y cuando estemos hablando de el sistema decimal. El valor de verdad para r, ser falso, pues 2 no es un nmero impar. Ahora observemos este otro ejemplo: Cmo stas? Observa que para esta expresin no es posible asignar un valor de verdad, no podemos decir que es falso, o bien, verdadero. De manere que no se trata de una proposicin. Bueno, dejemos ste ejemplo, y ahora veamos este otro: Pedro est enfermo o viejo. Esta expresin est formada implcitamente por dos proposiciones simples: Pedro est enfermo y la otra proposicin, Pedro es viejo. Se trata de una proposicin compuesta, donde su valor de verdad, est determinado por completo por el valor de verdad de cada uno de las proposiciones simples, y por el modo de como se les rene para formar la proposicin compuesta.

De manera que, la primera proposicin: Pedro est enfermo, le podemos asignar un cierto valor de verdad, o bien es verdadero, o bien es falso.Para la segunda proposicin: Pedro es viejotambien se le puede asignar su valor de verdad: falso o verdadero.

PROPOCICIONES COMPUESTAS

Conjuncin

Anteriormente vimos que la unin de proposiciones simples dan lugar a proposiciones compuestas. El primer caso que veremos de proposiciones compuestas ser la conjuncin . Cuando dos proposiciones simples se combinan mediante la palabra y , la proposicin compuesta resultante se le llama conjuncin . Para la conjuncin usaremos el simbolo lgico ^. De esta manera, se tiene que la nueva proposicion p ^ q se llama conjuncin de p y q . Ahora, el valor de verdad, para la conjuncin de dos proposiciones cualesquiera, p y q ser de la siguiente manera: p ^ q debe ser verdadera, si, y solamente si, tanto p, como q, son verdaderas. De manera que, si al menos, una de las proposiciones simples es falsa, entonces, el valor de verdad para p ^ q , es falso. Mas adelante revisaremos esto con mayor profundidad, cuando lleguemos a la seccin de las Tablas de Verdad. Por ahora veamos un par de ejemplos sencillos para comprender el estudio de la conjuncin. 1.- Si p es la proposicin: 1 es un nmero impar y q es la proposicin: 3 es un nmero primo, entonces p ^ q ser la proposicin: 1 es un nmero impar y 3 es un nmero primo. En donde se observa que p ^ q su valor de verdad es verdadero, pues tanto p: 1 es un nmero impar, como q: 3 es un nmero primo,ambos son verdaderos. 2.- Si p es la proposicin: Pars est en Francia y q es la proposicin: 2 es un nmero impar, entonces la proposicin: p ^ q ser Pars est en Francia y 2 es un nmero

impar, donde su valor de verdad es: falso, pues el valor de verdad de q: Pars est en Francia , es verdadero, pero el valor de q: 2 es un nmero impar es falso.

Disyuncin

Se emplea la palabra o en el sentido inclusivo, como el trmino y/o. Entonces una proposicin del tipo p o q se toma siempre como p o q ambas.Dado esto admitimos la frase compuesta como una proposicin.

Simbolicamente la denotaremos escribiendo p v q . A esta nueva proposicin compuesta se le llama Disyuncin, de modo que la proposicin p v q se llama disyuncin de p y q.

El valor de verdad de la proposicin compuesta p v q cumple la condicin siguiente: Si p es verdadero o q es verdadero o si ambos, entonces p v q es verdadero; en cualquier otro caso p v q es falso. Es decir la disyuncin de dos proposiciones es falsa solamente si cada proposicin componente es falsa.

Veamos a continuacin los siguientes ejemplos:

1.- Si p es la proposicin 2 es un nmero par y q es la proposicin 3 es un nmero primo, entonces la disyuncin p v q ser la proposicin 2 es un nmero par o 3 es un nmero primo.Donde el valor de la disyuncin es verdadero pues tanto p y q son ambas verdaderas. 2.- Si p es la proposicin 2 < 3 y q es la proposicin 4 es un nmero primo. Entonces la disyuncin p v q es la proposicin:2 < 3 o 4 es un nmero primo. Donde el valor de verdad de p v q es verdadero, pues p 2 < 3 es verdadero, y q 4 es un nmero primo es falso.

Con esto se observa: si al menos una de las proposiciones que forman la disyuncin p v q es verdadera, entonces el valor de la disyuncin es verdadera.3.- Si p es: Pars se encuentra en Inglaterra y q es: 2 + 2 = 5, luego entonces el valor de la disyuncin p v q ser falso, pues tanto p como q, ambas son falsas.

Negacin

Si p es una proposicin fundamental, de sta se puede formar otra proposicin, que se le llama Negacin de p, escribiendo: Es falso que antes de p, , cuando es posible, se inserta en p la palabra No. Simblicamente denotaremos a la negacin por ~p, aunque existen varias maneras de hacerlo, algunos autores usan las notaciones para la negacin de una proposicin p como: p ,-p , etc...., nosotros utilizaremos la notacin ~p. El valor de verdad de la negacin de una proposicin fundamental depende de la condicin siguiente: Si p es verdadero, entonces ~p es falso; si p es falso, entonces ~p es verdadero. Es decir el valor de verdad de la negacin de una proposicin fundamental es siempre opuesto del valor de verdad de la proposcion. Consideremos los siguientes ejemplos:

1.- Si p es la proposicin Alemania se encuentra en Europa,entonces la negacin de p, ~p, ser la proposicin: Es falso que Alemania se encuentre en Europa Es obvio que el valor de verdad para ~p es falso, pues la proposicin p: Alemania se encuentra en Europa es verdadero. Tambien se pudo haber expresado la negacin de p como:Alemania no se encuentra en Europa. 2.- Si p es la proposicin: 2 * 3 = 7, entonces ~p es la proposicin: 2 * 3 /= 7, donde el valor de verdad de ~p es verdadero, pues p2 * 3 = 7, es falso.

Condicional

En matemticas se suele utilizar muy frecuentemente la proposicin Si p, entonces q. Tales proposiciones se llaman condicionales y se le denota por:

p --> q

El condicional p --> q tambin se puede expresar de las siguientes maneras:

a. p b. p c. p d. q

implica q solamente si q es suficiente para q es necesario para p

Veamos un ejemplito, el cual te ayudara a comprender las maneras en que una proposicin condicional se puede expresar: Por ejemplo, cuando decimos: Mi automvil funciona si hay gasolina en el tanque.

Este enunciado es equivalente a expresarlo de las siguientes maneras:

a) Si hay gasolina en el tanque, entonces mi automvil funciona. Observa que en este caso la proposicin condicional es del caso: Si p, entonces q. b) Mi automvil slo funciona si hay gasolina en el tanque. En este caso la proposicin condicional es del caso: p solamente si q. c) Si hay gasolina en el tanque, es suficiente para que mi automovil funcione En este caso la condicional es de la forma: p es suficiente par q. d) Para que mi automvil funcione es necesario que haya gasolina en el tanque. Para este caso la proposicin condicional es de la forma: q es necesario para q. e) Que haya gasolina en el tanque implica que mi auto funcione. En este caso la condicional es de la forma: p implica q.

El valor de verdad de la proposicin condicional p --> q est dada de la siguiente condicin: El condicional p --> q es verdadero a menos que p sea verdadero y q falso. Es decir, una proposicin verdadera no puede implicar una falsa. La proposicin condicional juega un papel muy importante en matemticas, en particular, en la demostracin matemtica. Veremos mas adelante cuando lleguemos a este tema, que los teoremas, corolarios,.etc,etc...vendran dadas por una serie de condiciones a la que llamaremos: Hiptesis o antecedentes, lo cual implican un consecuente. En el condicional p --> q a p se le llama el antecedente, y a q el consecuente. Tambien, es muy importante comprender el carcter que tiene el condicional p --> q, es decir, si llegara a ocurrir p....entonces q, no es necesario a que siempre ocurra p para que entonces q. Veamos algunos ejemplos para aclararte esto: 1.- Si maana llueve, entonces har frio. Se observa, de que, si llega a ocurrir de que el da de maana llueva, entonces el da de maana ser fro. Ahora, para saber el valor de verdad de esta proposicin, depende de los factores climatolgicos que se presenten para el da de maana. Es decir, puede ser que maana llueva, pero no haga fro, en este caso dado la ley del valor de verdad de la condicional, sera falsa. Pues una proposicin verdadera no implica una proposicion falsa. 2.- Si a y b son nmeros pares, entonces la suma (a+b) tambien es un nmero par. Para este caso, si se tienen que dos nmeros son pares entonces su suma son otro nmero par, es decir, no afirma que para cualesquiera dos nmeros la suma de estos es un nmero par. Otra observacin interesante que hay que notar, es como ya dijimos anteriormente de que el valor de verdad de la proposicin condicional p --> q es falso, si p es verdadero y q es falso. Ahora puede puede ser que te sorprenda de que el valor de verdad de la condicional p --> q es verdadero, dado que q es falsa y q verdadera, o ms an, es verdadero, dado que p es falsa y tambin q es falsa. Veamos otro ejemplo para aclarar esto: Sea la proposicin condicional: Si 4 es un nmero primo, entonces 6 es un nmero primo. Es una proposicin verdadera a pesar de que 4 es un nmero primo es una proposicin falsa. El que la proposicin 6 es un nmero primo sea falsa, no tiene importancia. Nada se afirma con respecto al valor de verdad de q en este caso, solamente el valor de verdad de p --> q, y ste queda completamente determinado por las tablas de verdad que veremos mas adelante.

Bicondicional

Otro tipo de proposicin que se presenta con frecuencia es de la forma p si, y solamente si, q que se suele abreviar p ssi q. Intuitivamente esta proposicin parece ser la combinacin de p --> q y q --> p A este conectivo lgico especial lo llamamos condicional y se denota por el simbolo , entonces p q es lo mismo que (p --> q) y (q --> p) o aplicando la definicin de la conjuncin, que vimos en una de las secciones anteriores, (p --> q) ^ (q --> p). El valor de verdad de las proposiciones Bicondicionales p q obedece a la condicin: Si p y q tienen el mismo valor de verdad, entonces p q, es verdadero. Si p y q tienen valores de verdad opuestos, entonces p q es falso. Dicho de otra manera: si

tanto p como q son verdaderos, entonces p q es verdadero. Si tanto p como q son falsos, entonces p q tambien es verdadero. Si p es verdadero y q falso, entonces p q es falso. Si p es falso y q verdadero, entonces p q tambin es falso Veamos los ejemplos siguientes: 1.- 3 + 2 = 7 si, y solamente si, 4 + 4 = 8. Si se toma p como: 3 + 2 = 7 y q como: 4 + 4 = 8, entonces el valor de verdad de p, es falso, pero el valor de verdad de q es verdadero, luego entonces la bicondicional p q es falsa. 2.- Londres est en Inglaterra si, y solamente si, Pars est en Francia. Sea p Londres est en Inglaterra y q Pars est en Francia, entonces tanto el valor de p, como de q, son verdaderos,es decir tienen el mismo valor de verdad, luego entonces la bicondicional p q es verdadera. 3.- 10 es un nmero impar si, y solamente si, 6 es un nmero primo Si p es: 10 es un nmero impar y q es: 6 es un nmero primo, entonces se observa que tanto el valor de verdad de p, como de q, son falso, es decir tienen el mismo valor de verdad, luego entonces la bicondicional p q es verdadera.

Hasta ahora, hemos visto las definiciones de el uso de conectivos en Lgica y algunos ejemplos muy sencillos con el fin de facilitar la comprension de dicho estudio A manera de recapitulacin en la seccin siguiente vers una serie de ejercicios que abarcan todo lo que hemos visto hasta ahora. Te aconsejo que los veas y trates de resolverlos t mismo, si esto no es as, entonces podrs ver la respuesta a cada ejercicio.

Tablas de Verdad

Ahora resumamos lo que se ha visto hasta ahora:

A partir de el conjunto original de proposiciones fundamentales hemos formado un nuevo conjunto, aceptando en l toda combinacin de proposiciones del conjunto original, que se pueden formar empleando los conectivos lgicos ^, v, ~. Los elementos del ltimo conjunto se le llaman proposiciones compuestas. Podemos tener ahora proposiciones compuestas del tipo (p ^ q)v r. El valor de verdad que se asigna a una proposicin compuesta suponemos que se asigna de acuerdo con la extensin natural de las hiptesis anteriores. Dichas hiptesis se resumen y se generalizan por medio de lo que se llama una tabla de verdad Se puede conocer el valor de verdad de una proposicin, que contiene conectivos, determinando el valor de verdad de cada una de las componentes. A una proposicin p se le asigna los valores V o F, escritos en este orden, debajo de la proposicin p. Las tablas de verdad para los conectivos ~, v, ^,-->, se vern a continuacin.

Tabla de verdad para ~p.

p V F

~p F V

Esta tabla nos hace recordar la definicin que vimos anteriormente de la negacin, que dice: si el valor de verdad de p es verdadero, entonces el valor de verdad de ~p es falso. Si el valor de verdad de p es falso, entonces el valor de verdad de ~p es verdadero.

Tabla de verdad para p

v

q.

p V V F F

q V F V F

p V V V F

v

q

En esta tabla se observa: Si p es verdadero o q es verdadero o si ambos p y q son verdaderos, entonces p v q es verdadero; en otro caso p v q es falso. Es decir, la disyuncin de dos proposiciones es falsa solamente si cada proposicin componente es falsa.

Tabla de verdad para p ^ q.

p V V F F

q V F V F

p^q V F F F

Esta tabla nos hace ver la definicin de la conjuncin: Si p es verdadero y q es verdadero, entonces p ^ q es verdadero; en otro caso p ^ q es falso. Es decir, la conjuncin de dos proposiciones es verdadera solamente si cada componente es verdadero.

Tabla de verdad para p --> q.

p q p --> q V V V

V F F F V V F F V

De la tabla anterior se abserva que el condicional p --> q es verdadero a menos que p sea verdadero y q falso. Es decir una proposicin verdadera no puede implicar una falsa.

Tabla de verdad para p q.

p q p q V V V V F F F V F F F V

De la anterior tabla se puede observar que: Si p y q tienen el mismo valor de verdad, entonces p q es verdadero; si p y q tienen valores de verdad opuestos, entonces p q es falso.

Las tablas de verdad anteriores son las que se necesitan para deducir el valor de verdad de cualquier proposicin por complicada que sea. A las tablas de verdad deducidas a partir de ellas se les llama tablas de verdad deducidas Ilustremos esto con el siguiente ejemplo: Calculemos la tabla de verdad de la proposicin ~p v q. Como se indica en la tabla que veremos a continuacin, para construir dicha tabla, debemos empezar con todas las posibles combinaciones de valores de verdad de p que se deducen de la primera columna, podemos escribir la columna dos en la cuarta columna, finalmente aplicamos la definicin de la disyuncin para ~p v q. Esto lo verificamos con la siguiente tabla:

Tabla de verdad para ~p

v

q.

p q ~p V V F V F F F V V F F V

q ~p V V F F V V F V

v

q

Nota: De la tabla anterior podemos observar lo siguiente:Si comparamos las columnas primera y segunda con los de la cuarta columna, es decir los valores de verdad de p y q con los valores de verdad de ~p v q, observamos que ~p v q es falsa solamente cuando p es verdadera y q es falsa. Esto nos hace recordar los valores de la proposicin condicional p q, veremos mas tarde la relacin que existe entre stas dos proposiciones.

Antes de continuar construyendo tablas de verdad mas complejas, es necesario dar una regla para la construccin de dichas tablas:

Regla:Si tenemos dos proposiciones, como en todos los casos anteriores que hemos visto, necesitaremos cuatro filas. De estas cuatro filas la primera columna tendr los valores de verdad: V,V, y F,F, y la segunda columna V,F,V y F. Las siguientes columnas tendrn los valores de verdad segn la proposicin dada. Si se tienen tres proposiciones, necesitaremos ocho filas, de las cuales la primera columna se acomodarn los valores de verdad de la siguiente manera: V,V,V,V y F,F,F,F. Para la segunda columna se reparten los valores: V,V, F,F, V,V, F,F. Y para la tercera columna seran: V,F,V,F,V,F,V,F. Para cuatro proposiciones, se necesitan 16 filas de las cuales en la primera columna se reparten los valores de verdad: 8 V y 8 F. La segunda columna empezar con cuatro V, despues cuatro F, y as sucesivamente hasta ocupar los 16 lugares, es decir, V,V,V,V F,F,F,F V,V,V,V y F,F,F,F. Para la tercera columna: V,V, F,F...hasta la fila nmero 16. En general: Analizando que para dos proposiciones se necesitan cuatro filas..o visto de otra manera: se necesitan 22 = 4 filas. Para tres proposiciones se necesitan ocho filas, o, 2 3 = 8. Para cuatro proposiciones necesitaremos 24 = 16 filas...en general para n proposiciones necesitaremos 2n filas.

Ilustremos todo esto con un ejemplo, construyamos la tabla de verdad para la proposicin compuesta: [(p v q) ^ r ] --> ~q ^ p. Este el caso para tres proposiciones:p, q y r, en donde segn vimos anteriormente necesitamos ocho filas. En la primera columna irn repartidos los valores: V,V,V,V y F,F,F,F, para la segunda columna: V,V, F,F, V,V, F,F, y para la tercera columna: V,F,V,F,V,F,V,F. Se observa que la proposicin compuesta [(p v q) ^ r] --> ~q ^ p a fn de cuentas es una condicional p --> q, donde digamoslo as p = [(p v q ^ r)] y q = ~q ^ p. Por tanto lo que nos interesa al final son los valores de verdad de la condicional -->. Debemos encontrar los valores para la proposicin [(pvq) ^ r ], donde observamos que esta proposicin es una conjuncin p ^ q, donde p = p v q y q = r, (conste que hago estas igualdades para que se te haga mas claro). Para esto encontraremos el valor de verdad de la disyuncin p v q ,donde los valores de sta se deducen de las columnas primera y segunda, los valores de esta disyuncin las colocaremos en la cuarta columna. Ahora encontraremos los valores de verdad de la conjuncin [(p v q) ^ r] de la cual los valores los podemos

deducir de las columnas tercera y cuarta, dichos valores los colocamos en la quinta columna. Ahora nos hace falta encontrar los valores de verdad de la proposicin ~q ^ p, la cual evidentemente se trata de una conjuncin, para esto se necesita encontrar los valores de ~q los cuales se deducen de la columna dos aplicando la ley de la negacin: si q es V entonces ~q es F, si q es F entonces ~q es V..etc., a estos valores los colocamos en la columna nmero seis, y ahora hayamos los valores de la conjuncin ~q ^ p, estos se deducen de las columnas primera y sexta, valores que colocamos en la sptima columna. Finalmente encontramos los valores de la implicacin [(p v q) ^ r] --> ~q ^ p de donde ahora se pueden deducir con claridad de las columnas quinta y sptima, a estos valores los colocamos en la octava y ltima columna. La tabla de dicha proposicin es la siguiente:

Tabla de verdad para [(p p.

v

q) ^ r] --> ~q ^

pqr p q VVVV VVF V VF VV VF F V F VVV

v

p r V F V F V

v

q ^ ~q ~q p F F V V F F F V V F

^ [(p ^r F V V V F

v

q ^ r] --> ~q

F VF v F F VF FFFF

F F F

F V V

F F F

V V V

TautologaAhora veamos un caso especial de proposiciones, las cuales se caracterizan por tener slo el valor de verdad V en la ltima columna de sus tablas de verdad, independientemente de el valor de las demas proposiciones. Tales proposiciones se le llaman: Tautologas. Algunas de estas tautologas son muy comunes y tiles y por eso se le llaman leyes.

Ahora costruyamos la tabla de verdad para la proposicin: p v ~p.

Tabla de verdad para p

v

~p.

p V F

~p F V

p V V

v

~p

Se observa que el valor de verdad de esta proposicion p v ~p es V, independientemente de el valor de p. Por tanto se trata de una tautologa. A dicha tautologa se le llama ley del tercio excludo.

Construyamos la tabla de verdad para la proposicin:

[(p --> q) ^ (q --> r)] --> (p --> r).

Tabla de verdad para: [(p --> q) ^ (q --> r)] --> (p --> r)

p q r [(p --> q) ^ (q --> r)] --> (p --> r) V V V V V V F V V F V V V V F V V V V V F V F F F F V V F V V V V V V V F V V V F V

V F F V F V V F F V F F F F V F F F F F

F V V V V

F

F F

V

F V F V F

V V V V V

V F F F F F V V V V

F V F V F

V V V V V F V F F F V F V F V V

A esta proposicin se le conoce con el nombre de La ley del silogismo, la cual es un principo fundamental del razonamiento lgico.

Antes de pasar a la siguiente observacion, veamos antes algo sobre notacion: Podemos denotar a una proposicin compuesta, como las que hemos visto desde casi el principio, como P(p,q,r,....), donde P es la proposicin compuesta en s, y p,q,r,...sus componentes. Por ejemplo: La proposicin anterior que vimos, [(p -->q) ^ (q -->r)] --> (p -->r), podemos llamar a esta proposicin compuesta como P, de componentes p,q y r. Es decir nuestra proposicin compuesta es de la forma: P(p,q,r).

Observacion:

Si P(q,r,s...) es una tautologa, entonces ~P(q,r,s...) es una contradiccin y viceversa

Contradiccin

La contradiccin es una proposicin compuesta: P(q,r,s...) que se caracteriza por tener slo el valor de verdad F en la ltima columna de sus tablas de verdad, independientemente de el valor de las dems proposiciones: q,r,s...

Veamos la proposicin p ^ ~ p y verificaremos que se trata de una contradiccin.

p ^ ~p

p V F

~p F V

p ^ ~p F F

La tabla nos muestra que en la ltima columna aparecen los valores de verdad F, independientemente de los valores de p y ~p.

EQUIVALENCIAS LOGICAS.Dos frmulas lgicas son equivalentes si tienen los mismos valores de verdad para todos los posibles valores de verdad de sus componentes atmicos. Diremos que dos proposiciones P y Q son lgicamente equivalentes si es una tautologa, es decir, si las tablas de verdad de P y Q son iguales.

Leyes Lgicas

Asociativas Distributivas Leyes de De Morgan De idempotencia De identidad De dominacin Inversas De absorcin

Reglas de Sustitucin

Sea P una tautologa y q una variable de P. Si sustituimos cada aparicin de q por cualquier otra proposicin Q entonces la proposicin resultante es tambin una tautologa. Sea P una tautologa y Q una proposicin que aparece en P. Si reemplazamos Q por una proposicin lgicamente a Q obtendremos una nueva proposicin lgicamente equivalente a P. Cualquier proposicin es lgicamente equivalente a otra que contiene slamente los conectivos lgicos -, v,and.

Reglas de Inferencia Dadas dos proposiciones P y Q diremos que P implica lgicamente Q , y escribiremos P \Rightarrow Q si P rightarrow Q es una tautologa. Si P es falso, entonces la proposicin P, Q es verdadera independientemente del valor de Q. Por tanto, P si los valores de las variables que hacen a P verdadero tambin hacen verdadero a Q. De manera equivalente P Q significa que P y Q no tienen nunca de manera simultnea los valores de verdad 1 y 0 respectivamente. Como hemos dicho, las proposiciones pueden tomar dos valores, verdadero o falso, que representaremos respectivamente con los nmeros 1 y 0. Por tanto, cuando digamos que una proposicin toma valor 1 estaremos diciendo que es verdadera. El valor de verdad de una proposicin compuesta queda determinado por los valores de las proposiciones simples que la forman. Las tablas de verdad nos indican los valores de verdad de una proposicin para cada posible combinacin de los valores de las proposiciones simples.

Equivalencia lgica en la ley asociativa de la conjuncin A modo ilustrativo demostraremos, a continuacin, que, en virtud de la ley asociativa de la conjuncin, la frmula p(qr) es lgicamente equivalente a (pq)r. Para ello no hay ms que hacer la tabla de verdad de cada una de esas expresiones y comprobar si, en efecto, todas sus interpretaciones son iguales para la conectiva dominante.

Equivalencia lgica en la ley asociativa de la disyuncin Te proponemos que rellenes la siguiente tabla con Vs y Fs donde proceda para comprobar que, en virtud de la ley asociativa de la disyuncin, la frmula p(qr) es equivalente a (pq)r. Ejemplo: Las dos frmulas siguientes son equivalentes: (p q) (p r) p q r

p q r q p p q p r (p q) (p r) p q p q r VVV F F VV F F F V F V V F V F F V F F VV F V F V F F V F F V V V F F F V V F F V V V V V V V F V F V V V V V F V V V V V V F F V V V V V V V F V V V V V V

donde se puede observar que la ltima yla antepenltima columnas son iguales. Las equivalencias se relacionan con las tautologas de la siguiente forma. Teorema:Si dos frmulas lgicas son eqivalentes entonces la frmula que se obtiene al operarlas con la bicondiconal es una tautologa.

Si F G entonces F G La propiedad inversa tambin se cumple pues si una bicondicional es una tautologa, las frmulas que la componen son equivalentes. El teorema y su inverso se comprueban directamente de la tabla de verdad de la bicondicional, ver seccin 1.3.4 Bicondicional.

!!!Tautologas fundamentales Ley del medio excluido p p Ley de no contradiccin(p ^ p) Modus ponendo ponens ((p q)^p) q Modus tollendo tollens ((p q)^ q) p Silogismo Disyuntivo ((p q)^ p) q La comprobacin de cualquiera de las tautologas anteriores es directa, es suficiente hacer la tabla de verdad y se obtendr la columna correspondiente a la frmula con valores de verdaderos nicamente.

!!!Equivalencias Doble negacin(p) p Implicacin y disyuncin p q p q Contrapositiva p q q p Negacion de la Implicacin (p q) p ^ q Leyes de De Morgan(p q) p ^ q (p ^q) p q La expresin p q es equivalente a p q pues p V V F F q V F V F pq V F V V p F F V V p q V F V V

Falta hablar de formas normales, utilizar las identidades para llegar a la forma normal conjuntiva. Miguel A. Villarreal Prez Marco A. Garay Manrriquez Daniel Martinez Villegas

Equivalencias Logicas Dos frmulas lgicas son equivalentes si tienen los mismos valores de verdad para todos los posibles valores de verdad de sus componentes atmicos. Teorema: Si dos frmulas lgicas son eqivalentes entonces la frmula que se obtiene al operarlas con la bicondiconal es una tautologa. Pasos para la realizacion de equivalencias 1.- Numerar los operadores de la primer formulap v q v r , p v (q r)

2.- Primeramente los parentesis internos, seguido de las negaciones, posteriormente los operadores siguientes.

3.- Realizar el arbol. (IMG ARBOL) 4.- Se numeran las hojas del arbol de abajo haca arriba de forma alfaberica, se hace esto para las dos formulas. primero la de la izquierda. 5.- Una vez terminado el rbol, proceder a hacer la tabla. 6.- Poner los encabezados de la tabla usando los numeros del arbol. 1 2 3 4 5 p q r q r VVV VV F V F V V F F F VV F V F F F V F F F 6 q v r 7 p v q v r 8 q r 9 p v (q r)

7.- Acomodar los valores de las hojas, siempre siguiendo el mismo orden. 8.- Poner los demas valores de la tabla utilizando las tablas de verdad. 1 2 3 4 5 p q r q r VVV F F VV F F V V F V V F V F F V V F VV F F F V F F V F F V V F F F F V V 6 q v r F V V V F V V V 7 p v q v r V V V V F V V V 8 q r F V V V F V V V 9 p v (q r) V V V V F V V V

9.- Si las tablas no. 7 y no. 9 son exactamente iguales, se concluye que son equivalentes las dos.

NOTA: Las tablas 7 y 9 son las formulas originales, si estas dos son iguales entonces son equivalentes

Reglas de inferencia.En un clculo lgico, las reglas de inferencia o reglas de transformacin son aquellos esquemas formales que nos permiten derivar unas frmulas bien formadas (conclusiones) a partir de otras (premisas). Por ejemplo, la Regla de Eliminacin del Condicional: AB

A ______

B nos permite derivar la frmula p v q de las frmulas p (p v q) y p. Las reglas de inferencia no deben confundirse con las leyes lgicas o tautologas, puesto que stas no pertenecen al metalenguaje del clculo. Primero presentamos los tipos de inferencia, la inferencia vlida en computacin y matemticas y al final una serie de reglas que se utilizan para la inferencia deductiva. La inferencia es la forma en la que obtenemos conclusiones en base a datos y declaraciones establecidas. Un argumento, por ejemplo es una inferencia, donde las premisas son los datos o expresiones conocidas y de ellas se desprende una conclusin. Los argumentos basados en tautologas representan mtodos de razonamiento universalmente correctos. Su validez depende solamente de la forma de las proposiciones que intervienen y no de los valores de verdad de las variables que contienen. A esos argumentos se les llama reglas de inferencia. Las reglas de inferencia permiten relacionar dos o ms tautologas o hiptesis en una demostracin. Una inferencia puede ser: Inductiva, deductiva, transductiva y abductiva. Ver Inferencia.

De los cuatro tipos de inferencia sealados anteriormente, en matemticas y computain solamente se acepta el deductivo para demostraciones formales; Ver Deduccin. Por esta rezn se denominan Reglas de Inferencia Deductiva.

Reglas de Inferencia Deductiva MPP Modus ponendo ponens AB A ----B MTTModus tollendo tollens AB B ----A SD Silogismo Disyuntivo AB A ----B SH Silogismo hipottico AB BC ----AC LS Ley de simplificacin AB ----A LA Ley de adicin A ----AB

CONTRAPOSITIVA AB ----B A La comprobacin de las reglas anteriores es directa y basta hacer frmula con la conjuncin de las premisas condicional la conclusin y probar que es una tautologa, por ejemplo haciendo una tabla y obtener todos los valores verdaderos.

ARGUMENTOS VALIDOS Y NO VALIDOS.Un argumento es correcto del punto de vista lgico, si siempre que las premisas son verdaderas su conclusin lo es por razones formales. O, dicho de otro modo, si es imposible por razones formales que las premisas sean verdaderas y la conclusin sea falsa. En este caso se dice que la conclusin es consecuencia lgica de las premisas o que las premisas implican la conclusin. La argumentacin que exhibe esta relacin de implicacin entre premisas y conclusin se denomina deductiva. Un argumento deductivo tiene la propiedad de trasmisin de verdad, es decir a partir de premisas verdaderas, dadas ciertas condiciones formales se obtienen necesariamente conclusiones verdaderas. Veamos un ejemplo de argumentos deductivos: (1) Juan vendr a la fiesta, o Mara vendr a la fiesta. Juan no vendr a la fiesta Mara vendr a la fiesta Este argumento es deductivo aunque no yo no sepa nada acerca de la verdad o falsedad de las premisas y la conclusin. No necesito saber quin es Mara o Juan. No necesito saber si les gustan las fiestas o no, o si realmente asistirn a ella o no. Quienquiera que acepte que sus premisas son verdaderas tendr que aceptar que la conclusin es verdadera. Veamos otro ejemplo de argumento deductivo: (2) Todos los peces son mamferos Moby Dick es un pez

Moby Dick es un mamfero Este ejemplo nos sirve para ilustrar un argumento deductivo en el que las premisas son llanamente falsas. El hecho de que las premisas sean falsas no impide que el argumento sea deductivo: si uno estuviera dispuesto a aceptar que las premisas fueran verdaderas, entonces estaramos obligados a aceptar la verdad de la conclusin, puesto que no podramos pensar en ninguna situacin en que las premisas fueran verdaderas sin que automticamente la conclusin tambin fueran verdaderas. Dicho de otro modo, no hay ningn caso en que las premisas fueran verdaderas y la conclusin falsa. Pero por qu sucede esto? Veamos otro ejemplo (3) Todos los caballos son mamferos Todos los caballos son vertebrados Todos los mamferos son vertebrados En este ejemplo, tanto las premisas como la conclusin son efectivamente verdaderas, sin embargo el argumento no es deductivo. Por qu? Porque aceptar la verdad de las premisas no nos obliga a aceptar la verdad de la conclusin, ya que es fcil imaginar una situacin en la que debido a alguna evolucin distinta de los mamferos, no todos ellos fueran vertebrados. Es decir, aunque la conclusin es de hecho verdadera, bien podra ser falsa. No es necesariamente verdadera. Pero si no es la verdad o la falsedad de las premisas y la conclusin de un argumento lo que determina su validez, entonces qu es? Volvamos al ejemplo (1) Hemos sealado que no necesitamos siquiera saber quien es Juan para decir si el argumento es deductivo. La validez del argumento en realidad no tienen nada que ver con Juan personalmente, como podemos ver claramente si cambiamos Juan por Pedro, por ejemplo. Si escribiramos Pedro en vez de Juan, el argumento permanecera siendo vlido. (4) Pedro vendr a la fiesta, o Mara vendr a la fiesta Pedro no vendr a la fiesta Mara vendr a la fiesta (5) Pedro vendr a la reunin, o Mara vendr a la reunin.

Argumentos Vlidos y No validos Si probamos con todas las alternativas, resulta que o y no son las nicas expresiones que no pueden intercambiarse por otras. De esto es evidente que la validez de (1) depende solo del hecho de que una de las premisas consiste de dos enunciados conectados por la conjuncin o, que la otra premisa es la negacin del primer enunciado de la primera premisa y que la conclusin es el segundo enunciado de la primera premisa. Y (1) no es el nico argumento cuya validez depende de este hecho. Lo mismo ocurre con el ejemplo (4) y (5), por ejemplo. Decimos que (1), (4) y (5) tienen una misma forma en comn, y es esta forma la que es responsable de su validez. Esta forma comn puede representarse esquemticamente as: (6) A o B No A B Estas representaciones esquemticas de los argumentos se llaman esquemas argumentales. Las letras A y B representan enunciados arbitrarios. Al sustituir estas letras por enunciados reales, obtenemos un argumento real. Cualquier sustitucin de este tipo que hagamos en el esquema (6) resultar en un argumento deductivo, por eso decimos que (6) es un esquema argumental deductivo o vlido. Ejemplos de argumentos vlidos B El esquema argumental (7) no es vlido. Los esquemas argumentales son abstracciones que remueven todos los elementos de los argumentos concretos que no son relevantes para su validez. Como hemos visto, los esquemas argumentales pueden estar formados por una variedad de expresiones y construcciones sintcticas. Generalmente no se estudian todas juntas, sino que se estudian en grupos. Por ejemplo, nos concentramos en aquellos esquemas argumentales que puedan formarse solamente a partir de enunciados y conjunciones gramaticales como o y si entonces y la negacin. O podemos concentrarnos en argumentos que contengan expresiones cuantificacionales .

Como podemos ver los significados de cierto tipos de expresiones juegan un papel esencial para determinar la validez de los esquemas argumentales en los que esas expresiones aparecen. Por ejemplo: el significado de la conjuncin o es en parte responsable de la validez del esquema argumental (6). Cuando analizamos qu argumentos son vlidos en base al significado de los conectivos no nos interesa los significados reales de los enunciados conectadas por esos conectivos. No tomamos en consideracin argumentos como (1) y (4) sino los esquemas argumentales. Pero al analizarlos, decimos algo sobre el significado de los enunciados ya que decimos qu tipo de entidades son los significados de los enunciados y como los significados de los enunciados compuestos depende de las partes que la componen. As, la lgica de un contenido preciso al principio que dice que el significado de un enunciado compuesto se construye a partir del significado de sus componentes. Este principio, atribuido a Frege, es conocido como el PRINCIPIO DE COMPOSICIONALIDAD DEL SIGNFICADO. VALIDEZ Argumento: Conjunto de formulas para el razonamiento logico. Argumento Valido: Un argumento es valido si se cumple:

Un argumento puede ser vlido con premisas y conclusin verdaderas. Pero tambin puede ser vlido con premisas falsas y conclusin verdadera, o incluso con premisas y conclusin falsas. Lo que NUNCA ser es vlido con premisas verdaderas y conclusin falsa. Ejemplos de argumentos vlidos

Todos los hombres son mortales Scrates es un hombre Por tanto, Scrates es mortal Este lquido es un cido o una base Si fuera un cido, volvera rojo el papel tornasol Pero no ha vuelto rojo el papel tornasol As que este lquido es una base

VALIDEZ

ARGUMENTO VLIDO

Ejemplo 1: p(q v r), q, p|= r (IMAGEN Arbol) P 2 3 C V V V F V V F V V F V F V F F V F V V F F V F V F F V F F F F V 5 V V F V V V F V P V V F V V V V V P F F V V F F V V p q r r q v r p (q ^ r) q

ARGUMENTO VLIDO?-Veamos que si las premisas son verdaderas, la conclusion tambien, por lo tanto el argumento es valido Ejemplos: w, r (w v s), r |= s P C 3 V V V V V F V F V V F F F V V F V F F F V F F F P F V F V F V F V 5 (w v s) v V v F V V V V P r (w v s) V V V F V V V v r s w w

ARGUMENTO VLIDO

Si en dado caso de que el argumento no cuente con las caracteristicas antes mencionadas, se concluye que el argumento NO ES VLIDO. Modus ponendo ponens (Latn: modo que afirmando afirma) es una regla de inferencia simple: MPPSi el que esta solo es igual al primero (Antecesor) se concluye l segundo (consecuente)Si P entonces Q. P. Entonces, Q.

Expresado en la notacin de operadores lgicos:p q, p |= q

donde |= representa la asercin lgica. Tambin se puede expresar de la siguiente forma:[(p q) ^ p ] |= q

Modus tollendo tollens (del latn, modo que negando niega), tambin llamado razonamiento indirecto. En lgica, es el nombre formal para la prueba indirecta o inferencia contrapositiva. Usualmente se lo abrevia como MTT. MTTSi el que esta solo es el opuesto del segundo, se concluye el opuesto del primero. La tautologa Modus Tollens toma las siguientes formas de ley lgica:Si P, entonces Q. Q es falso. Entonces P es falso.

En una notacin diferente, utilizando operadores lgicos:[(p q) ^ q ] p

O tambin:

p q |= q, |= p

donde \vdash representa la asercin logica. Un posible ejemplo es:Si llueve voy al cine No fui al cine Por lo tanto, no llovi

A Mquina de Razonamiento Basico (IMAGEN MRB) Silogismo Disyuntivo Llamado tambin Modus Tollendo Ponens, que significa literalmente modo que quitando (negando), pone (afirma). El silogismo disyuntivo es una implicacin tautolgica que afirma que si disponemos de una disyuncin y adems la negacin de uno de sus miembros, entonces podemos inferir como conclusin el otro miembro de la disyuncin de marras. El silogismo disyuntivo tiene la siguiente forma lgica: [(pvq)^(p)]q y tambin [(pvq)^(q)]p Y sus argumentos correspondientes:AvB

A ----B AvB B ----A]]

DEMOSTRACION FORMAL. DIRECTA, POR CONTRADICCION.Mtodos de demostracin. Demostracin por el mtodo directo.Supngase que p q es una tautologa, en donde p y q pueden ser proposiciones compuestas, en las que intervengan cualquier nmero de variables propositvas, se dice que q se desprende lgicamente de p. Supngase una implicacin de la forma. (p1 p2 . pn) |= q Es una tautologa. Entonces est implicacin es verdadera sin importar los valores de verdad de cualquiera de sus componentes. En este caso, se dice que q se desprende lgicamente de p1,p2,,pn. Se escribe. p1 p2 pn

___ \q Realmente el camino que se debe seguir para llevar a cabo una demostracin formal usando el mtodo directo. Significa que s se sabe que p1 es verdadera, p2 es verdadera, y pn tambin es verdadera, entonces se sabe que q es verdadera. Prcticamente todos los teoremas matemticos estn compuestos por implicaciones de este tipo. (p1 p2 . pn) q Donde la pi son llamadas hiptesis o premisas, y q es llamada conclusin. Demostrar el teorema, es demostrar que la implicacin es una tautologa. Note que no estamos tratando de demostrar que q (la conclusin) es verdadera, sino solamente que q es verdadera si todas las pi son verdaderas. Toda demostracin debe comenzar con las hiptesis, seguidas de las tautologas y reglas de inferencia necesarias, hasta llegar a la conclusin. A continuacin se prueba un enunciado en donde se puede apreciar el uso tanto de las tautologas como de las reglas de inferencia. Sean p: Trabajo. q: Ahorro. r: Comprar una casa. s: Podr guardar el coche en mi casa. Analizar el siguiente argumento: Si trabajo o ahorro, entonces comprar una casa. Si compro una casa, entonces podr guardar el coche en mi casa. Por consiguiente, si no puedo guardar el coche en mi casa, entonces no ahorro.

El enunciado anterior se puede representar como: p q r; y r s; entonces s q Equivale tambin a probar el siguiente teorema: [(p q) r] [r s] [s q] Como se trata de probar un teorema de la forma general: p1 p2 pn q Se aplica el procedimiento general para demostracin de enunciados vlidos. A continuacin se demuestra el teorema respaldando cada uno de sus pasos en tautologas o reglas de inferencia ya conocidas. 1.- (p q) r Hiptesis 2.- r s Hiptesis 3.- q (q p) Adicin tautologa 10 4.- q (p q) 3; ley conmutativa, regla 2 5.- q r 4,1; silogismo hipottico, regla 22 6.- q s 5,2; regla 22 7.- s q 6; contrapositiva, regla 7. El enunciado es vlido aunque la conclusin puede ser falsa o verdadera. Es recomendable numerar cada uno de los pasos. Se puede notar que las primeras lneas son hiptesis, la lnea 3 es una tautologa conocida y de la lnea 4 a 7 se obtuvieron aplicando reglas de inferencia. Se indica la regla de inferencia aplicada por medio del nmero de la derecha, y las lneas a las cuales se les aplic dicha regla de inferencia por medio de los nmeros de la izquierda.

El ejemplo anterior es una demostracin sencilla, pero puede ser tan complicada como sea necesario y el mtodo debe funcionar. Demostracin por contradiccin. El procedimiento de la demostracin por contradiccin es semejante a la que se realiz por el mtodo directo con la diferencia de que las lneas iniciales de dicha demostracin no son nicamente las hiptesis, sino adems se incluye en la demostracin una lnea con la negacin de la conclusin. Por otro lado el objetivo de la demostracin es llegar a una contradiccin. La demostracin del siguiente teorema por el mtodo de contradiccin es como se indica [ p (p r) ] [ (q s) t ] (p s) t Demostracin 1.- p (p r) Hiptesis 2.- (q s) t Hiptesis 3.- p s Hiptesis 4.- t Negacin de la conclusin 5.- (q s) 2,4; Modus tollens, regla 25 6.- q s 5; Ley de Morgan, 6 7.- q 6; Simplificacin, regla 20 8.- s q 6; Ley conmutativa, 2b 9.- s 8; Simplificacin, regla 20 10.- s p 3; Ley conmutativa, 2 11.- p 10,9; Silogismo disyuntivo, regla 21

12.- q r 11,1; Modus ponens, regla 24 13.- q 12; Simplificacin, regla 29 14.- q q 13,7; Conjuncin, regla 23

15.- Contradiccin...::Resolver por el mtodo de contradiccin::.. Paso 1.-Se enumeran los operadores comenzando por los que estn en el parntesis mas anidado y comenzando por la negacin si es que se encuentra alguna. Paso 2.-Se elabora el rbol comenzando por el operador con el nmero mayor y continuando con los menores Paso 3.-Se dice que la expresin es falsa y se coloca una F y se enumera F1. Paso 4.-Nos fijamos en la tabla del operador que se encuentra debajo de la operacin que acabamos de enumerar para ver que valores van en las expresiones de abajo. Paso 5.-Colocamos los valores que encontramos a las expresiones que estn debajo del operador, enumerando los valores a como los vamos escribiendo. Paso 6.-Colocamos valor de verdad debajo de todas las operaciones que estn bajo de una conjuncin (). Paso 7.-Buscamos negaciones las cuales tengan valor para colocar el valor contrario debajo de esta misma. Paso 8.-Se buscan hojas (letras solas) que ya tengan un valor asignado y se coloca el mismo valor sila hoja se repite en otra parte del rbol. Paso 9.-Buscar una condicional o disyuncin con valor asignado y con un valor asignado debajo del operador. Paso 10.-Resolvemos la operacin que se necesite para resolver la condicional o disyuncin.

Paso 11.-Resolvemos una de las operaciones encontradas con la ayuda de su tabla para hallar el valor de la hoja restante. Paso 12.-Se buscan hojas (letras solas) que ya tengan un valor asignado y se coloca el mismo valor si la hoja se repite en otra parte del rbol. Paso 13.-Se resuelve la operacin que se encuentre arriba de la hoja para obtener asi el ultimo valor del arbol. Paso 14.-Resolvemos con la ayuda de las tablas la operacin que se encuentra arriba del ltimo valor que escribimos en el rbol, y vemos que nos va a dar el valor contrario del que ya tiene, entonces, ah se encuentra la contradiccin. Paso 15.-Si encontramos la contradiccin entonces la expresin es verdadera y se coloca la conclusin de la siguiente forma: Subido por Elisa Sarahi Contreras Tapia Note que juntamente con las premisas se debe incluir la negacin de la conclusin. En este momento el alumno ya tiene los elementos para llevar a cabo demostraciones con el apoyo del maestro. Es conveniente plantear varios enunciados, para que el alumno los represente con simbologa lgica en forma de teorema. Que ese mismo teorema lo represente con su tabla de verdad y haga la correspondiente demostracin por los dos mtodos antes mencionados. La forma en que el aprende a aplicar reglas de inferencia es semejante a la manera en que deber realizar una factorizacin o una aplicacin de una frmula en clculo diferencial o integral o la formula que debe aplicar para resolver un problema en fsica. Lo que debe aprender es a relacionar los distintos conocimientos para poder llegar a la solucin. Es importante mencionar que el camino que debe seguir el alumno no es el mismo que el maestro sigui sino uno distinto pero que ambos llegan al resultado.

CUANTIFICADORES.Dos casos centrales en el clculo de predicados se presentan cuando se analiza si el predicado se cumple para la poblacin completa y cuando se analiza para ver si cumple

para un caso en particular al menos. Estos dos casos se llaman Universal y Particular o Existencial vienen a ser la interpretacin o la semntica de los smbolos de cuantificadores que se vieron en la seccin 1.4 Calculo de Predicados Definicion y se definen de la siguiente forma: Cuantificador Universal. El cuantificador universal para todo asociado a una expresin de clculo de predicados F se representa por la espresin ( x) F y es verdadera cuando todas las instancias de la frmula son verdaderas al sustituir la variable x en la frmula por cada uno de los valores posibles del dominio. As por ejemplo si tenemos que la frmula es T(x) donde T representa es alumno del ITT y x representa un alumno de Tijuana, la frmula ( x) T(x) es falsa pues sabemos que hay alumnos en Tijuana que no son del ITT. Cuantificador Existencial. El cuantificador existencial al menos uno o existe uno asociado a una expresin de clculo de predicados F se representa por la espresin ( x) F y es verdadera cuando por lo menos una instancia de la frmula es verdadera al sustituir por la variable x uno de los valores posibles del dominio. As por ejemplo en el mismo caso del anterior la expresin ( x) T(x) es verdadera pues sabemos que s es verdad que al menos un estudiante es alumno del ITT. Hay expresiones dentro del espaol que son muy utilizadas como por ejemplo, Todos los alumnos son estudiosos, Todos los hombres son mortales o Todos los alumnos de Computacin estudian lgica. En este caso estamos tomando una parte del dominio para establecer un caracterstica universal, esto se puede hacer mediante la combinacin de dos predicados de una varible conectados mediante una condicional y tomando el cuantificador universal. As por ejemplo: Todos los alumnos son estudiosos se puede representar mediante ( x) (A(x) E(x)) donde el predicado A significa alumno, E estudioso y x es un elemento de un dominio general que podra ser el de las personas o cualquier subconjunto deseado. Por ejemplo podran ser todos las personas que viven en Tijuana. Aqu podemos ver claramente que el dominio juega un papel preponderante, ya que en un conjunto todos los alumnos podran ser estudiosos y si cambiamos el conjunto puede ser que ya no sea verdad.

Todos los hombres son mortales se puede represntar por ( x) (H(x) M(x)) donde H es hombre y M el predicado mortal. Todos los pericos son verdes es: ( x) (P(x) V(x)) con P, perico y V verde. A una expresin como las anteriores se le llama Universal Afirmativa y se representa con la letra A. Los griegos utilizaban enunciados como los anteriores en los Silogismos, que son formas de razonamiento que contienen dos premisas tipo A, E , I, O y una conclusin tambin de uno de los cuatro tipos, las premisas estn conectadas con un predicado comn y la conclusin debe estar formado por las no comunes que se le llaman tcnicamente premisa menor y premisa mayor. Una expresin tipo E es llamada Universal Negativa y se representa por ( x) (P(x) Q(x)) y en espaol se lee ningn P cumple Q o sea que los que cumplen el predicado P(x) no cumples el predicado Q(x). Ningn alumno lleg tarde se puede representar por ( x) (A(x) T(x)) donde A es alumno y T es lleg tarde. Las dos expresiones restantes corresponden a casos particulares y para formarlas utilizamos el cuantificador existencial, y en lugar del operador condicional se usa la conjuncin, as I es ( x) (P(x) Q(x)) llamado Particular Afirmativa y O es ( x) (P(x) Q(x)) que es la Particular Negativa. En el primer caso se indica un elemento que cumple las dos condiciones dadas por los predicados y en el segundo aseguramos que hay un elemento que cumple la primera condicin pero no la segunda.

Una manera muy simple de combinar estas expresiones mediante una propiedad es utilizando la negacin, pues dos de ellas son las negaciones de las otras dos, de ah sus nombres de afirmativas y negativas. Primeramente estableceremos dos reglas generales con un predicado simple:

Propiedad: ( x) P(x) es equivalente a ( x) ( P(x))

( x) P(x) es equivalente a ( x) (P(x)) Ahora s, podemos combinar estos dos resultados con las Universales y Particulares Afirmativas y Negativas y tenemos lo siguiente.Teorema: La negacin de la Universal Afirmativa es la Particular Negativa y La negacin de la Particular Afirmativa es la Universal Negativa.

O sea que la negacin de la forma A es la forma O y la negacin de la forma I es la forma E. ( x) (P(x) Q(x)) es equivalente a ( x) (P(x) ^ Q(x)) ( x) (P(x) ^ Q(x)) es equivalente a ( x) (P(x) Q(x)) De una manera ms simple lo que dice la primera frmula es que la negacin de Todos es Alguno No y que la negacin de Alguno es Ninguno.

Represntacion y evaluacin de predicados.La lgica de predicados o de primer orden (LPO, L1) es una generalizacin de la lgica de proposiciones (LP, L0). Introduciendo nuevos elementos del lenguaje, permite estudiar la estructura interna de los enunciados (sus propiedades, las relaciones entre objetos, etc.). Esta nueva lgica tendra que permitir una descripcin ms fina de la realidad, pudiendo distinguir los objetos o trminos (por ejemplo, los hombres) de sus propiedades o predicados (por ejemplo, la propiedad de ser mortales). La lgica proposicional, cuyos elementos bsicos son las proposiciones atmicas, no permite realizar esta distincin. La lgica de predicados (Gottob Frege, 1879) nos permite dar una descripcin de la realidad ms detallada. Los elementos bsicos del alfabeto del la lgica de predicados son: Los smbolos de constantes: se denotan a; b; c; : : : y representan objetos

concretos. Las constantes son individuos o elementos distinguidos del universo del discurso, que es la coleccin de objetos sobre los cuales queremos razonar. Las variables: se denotan x; y; z; : : : y sirven para representar objetos, cuyo dominio hay que especificar. Tomaremos conjuntos de variables V finitos o infinitos numerables. Recordamos que un conjunto V es infinito numerable si existe una funcin biyectiva entre V y el conjunto de los nmeros naturales N: Los smbolos de predicado: se denotan P; Q;R; : : : : Todo predicado tiene un nmero n 2 N [ f0g de argumentos. El nmero n es la aridad del predicado. En ocasiones se especificar la aridad n de un predicado P por medio del smbolo Pn: 1. Predicados constantes, n = 0: representan proposiciones atmicas. Para representar las proposiciones atmicas se suelen usar los smbolos p; q; r; s; t; : : : 2. Predicados mondicos, n = 1: representan propiedades de objetos. 3. Predicados polidicos, n > 1: representan relaciones entre objetos. Los predicados polidicos de la lgica de primer orden son relaciones sobre conjuntos segn la definicin del captulo 2. As, por ejemplo, todo predicado binario es una relacin binaria R entre dos conjuntos A y B; es decir, R A B: Un predicado mondico asocia a cada objeto de un dominio una propiedad. La logica de predicados estudia las fraces declarativas con mayor grado de detalle, considerando la estructura interna de las proposiciones. se toman como elementos basicos los objetos y las relaciones entre ellos. es decir se distinge: Que se afirma y de quien se afirma.

En el Clculo de Predicados se usan varios tipos de smbolos:

SMBOLOS DE FUNCIN: Funciones que definen nuevos individuos en trminos de los previamente conocidos

Ejemplos: Mas (x, y) padre (x)

SMBOLOS DE PREDICADOS: Predicados que describen un conjunto de individuos que tienen una propiedad o relacin

Ejemplos:

MAYOR (ms(x, 1), x)

CONSTANTES. Mantienen la propiedad de todo elemento constante.

Ejemplos: CASA, MARA

SMBOLOS DE VARIABLES. Individuos que pertenecen a un dominio no vaco o conjunto

Ejemplos: x, y En Clculo de Predicados, nos referimos a trminos cuando hablamos de constantes, variables o smbolos de funcin, cuyos elementos sabemos de antemano que son trminos. As, por ejemplo, la variable x y la constante 1 son trminos. Dado el smbolo de funcin ms de dos argumentos, las siguientes expresiones tambin son trminos: Ms (x, 1) ms (ms(x, 1 ,1) El primero de ellos se refiere a la suma x +1, mientras que el segundo a la suma de los trminos correspondientes a x+1 con el trmino 1. Como para el caso del Clculo de Proposiciones, se usan tambin tomos en el Clculo de Predicados, los cuales son enunciados simples (es decir predicados), que estn conformados con smbolos de predicados, con varios trminos como argumentos y que pueden ser evaluados como V (verdaderos) o F (falsos), de manera que no pueden ser descompuestos en proposiciones ms simples. De esta manera las siguientes expresiones son tomos: MAMFERO(x) MORTAL (LASSIE) ES_TIO (JUAN, JOSE) ES_NIETO (PANCHO_VILLA, PEDRO_CASISTRANINI) Es decir, se puede definir trmino de la siguiente manera: Adems se trata con formas proposicionales, estructuras que aparecen como sentencias declarativas, pero que no tienen valores definidos de verdad a causa de las variables individuales. Ejemplo:

2+3=4 Es una proposicin

X+3=4 Es una forma proposicional, ya que ser proposicin cuando x tome algn valor del dominio

Recibe el nombre de Clculo de Predicados de Primer Orden por tener cuantificadores slo sobre el dominio de individuos. NOTA: El clculo de predicado est formado por un conjunto de predicados concatenados a travs de operaciones lgicas. Igualmente dentro del clculo de Predicados se utilizan las siguientes simbologas: Existe: Para todo A Ejemplo: Sea el enunciado: Todos los mamferos son de sangre caliente. Expresado usando la simbologa del predicado se tiene: A Mamferos (X) > Sangre caliente (X)

Algebra declarativaLo que algunos llaman lgebra declarativa no es otra cosa que el lgebra proposicional, o sea, la estructura algebraica que se forma con expresiones utilizando los conectivos lgicos. Empezaremos por definir formalmente cmo se construye una frmula en lgica. Una expresin sintcticamente correcta se le llama frmula bien formada (fbf) o simplemente frmula y su definicin es: Una frmula en lgica de proposiciones se obtiene al aplicar una ms veces las siguientes reglas: (B) si p es una proposicin lgica, es una fbf. (R) si F es una frmula bien formada (fbf) tambin lo es (F). (R) si p, q son fbf entonces tambin lo es (p*q) donde * es uno de los operadores binarios, ^ v . En el clculo proposicional existen algunas tautologas especialmente tiles cuya demostracin se reduce a la confeccin de su correspondiente tabla de verdad, a saber:

Involucin ( p) p (se lee no, no p, equivale a p) Idempotencia (p ^ p) p (p v p) p Conmutatividad a) de la disyuncin: p v q q v p b) de la conjuncin: p ^ q q ^ p Asociatividad: a) de la disyuncin: (p v q) v r p v (q v r) b) de la conjuncin: (p ^ q) ^ r p ^ (q ^ r) Distributividad: De la conjuncin respecto de la disyuncin: (p q) r (p r) (q r) De la disyuncin respecto de la conjuncin: (p q) r (p r) (q r) Leyes de De Morgan ~ (p q) ~ p ~ q La negacin de una disyuncin equivale a la conjuncin de las negaciones ~ (p q) ~ p ~ q La negacin de una conjuncin equivale a la disyuncin de las negaciones Negacin de una Implicacin Las proposiciones p q y ~ (p ~ q) son equivalentes, como vemos realizando la tabla de valores correspondientes: p (p ~ q q) VV VF VF FV p q ~(p ~ q) VF p q ~(p ~ q) VV

F F

V V F V

F F

V V

V V

Con esto, comprobamos que la negacin de la primera equivale a la negacin de la segunda, es decir ~ (p q) ~ {~ (p ~ q)}, y podemos concluir entonces que: ~ (p q) (p ~ q) Es decir, la negacin de una implicacin no es una implicacin sino la conjuncin del antecedente con la negacin del consecuente. Ejemplo: Sea la implicacin p: hoy es viernes entonces maana es domingo Su negacin es ~ p: hoy es viernes y maana no es domingo

Induccin matemtica.La induccin es un razonamiento que permite demostrar una infinidad de proposiciones, o una proposicin que depende de un parmetro n que toma una infinidad de valores, usualmente en el conjunto de los enteros naturales. El esquema del razonamiento es el siguiente: Llamemos Pn la proposicin al rango n.

Se demuestra que P0 es cierta (iniciacin de la induccin). Se demuestra que si se asume Pn como cierta, entonces Pn+1 lo es tambin, y esto sin condicin sobre el entero natural n. (relacin de induccin).

En conclusin, se ha demostrado, por induccin, que Pn es cierto para todo natural n. La induccin puede empezar por otro trmino que P0, digamos por Pno. Entonces Pn ser vlido a partir del rango no, es decir, para todo natural n no. Ejemplo: Demostremos que para todo n 1, 6n es un nmero que acaba en 6. Sea Pn: 6n acaba en 6. Obviamente P1 es cierto porque 61 = 6. Tambin lo es P2 pues 36 acaba en 6. Supongamos que Pn es cierto para un valor de n, y probemos Pn+1.

Un entero acaba por 6 si se puede escribir as: 10a + 6, con a entero. La hiptesis es, pues, 6n = 10a + 6. Entonces 6n+1 = 6(10a + 6) = 60a + 36 = 60a + 30 + 6 = 10(6a + 3) + 6 = 10c + 6, con c=6a + 3, entero. Esta ltima escritura prueba que 6n+1 acaba por 6, o sea que Pn+1 es cierto. Luego Pn es cierto para todo n 1. La induccin es vlida por la construccin misma del conjunto de los naturales mediante los axiomas de Peano. De hecho, la induccin imita la construccin del conjunto: 0 es un natural, y, si n lo es, entonces n+1 (sucesor de n) lo es tambin. Existen otras inducciones, para otros conjuntos elaborados de forma distinta, como por ejemplo la induccin transfinita, y la induccin sobre las frmulas de la lgica proposicional. Adems de la demostracin por induccin, existe la definicin o construccin por induccin. Por ejemplo, una sucesin aritmtica puede ser definida como funcin de n: un = a + rn, o por induccin:

u0 = a un+1 = un + r.

Pasos Generales de Induccin Matemtica PASO [F] n [B]n=1; [M]n=k+1; [I] [H]n=k; [HM] DESCRIPCION Escribir la formula en base a n Probar el caso base para n=1 (generalmente) Escribir la meta n=k+1 como apoyo. Paso Inductivo: se divide en dos pasos: Hiptesis: Formula para n=k Llegar de la Hiptesis a la meta: mediante operaciones algebraicas.

NOTA: Cuando la frmula es una suma siempre se le agrega el ltimo trmino de la izquierda en el paso meta.

Aplicacin de la lgica matemtica en la computacin.La lgica computacional es la misma lgica matemtica aplicada al contexto de las ciencias de la computacin. Su uso es fundamental a varios niveles: en los circuitos computacionales, en la programacin lgica y en el anlisis y optimizacin (de recursos temporales y espaciales) de algoritmos. CIRCUITOS COMPUTACIONALES El nivel menos abstracto dentro de una computadora est constituido por circuitos electrnicos que responden a diferentes seales elctricas, siguiendo los patrones de la lgica booleana; esto es, compuertas lgicas que devuelven un valor dependiendo de las entradas que se le dan al sistema. Existen ocho compuertas lgicas bsicas con las cuales se pueden formar sistemas muy complejos: AND, OR, Inverter, Buffer, NAND, NOR, XOR y XNOR. Todas ellas son representadas mediante un smbolo y una tabla de valores de verdad, que es simplemente un cuadro donde se ubican todas las posibles entradas y los valores que devolvera la compuerta dados dichos valores. Todo sistema computacional, por muy complejo que sea, no est compuesto por ms que circuitos electrnicos que nicamente entienden un lenguaje binario. La lgica computacional se encarga de modelar y optimizar tales sistemas a este nivel. ALGORITMOS En matemticas, ciencias de la computacin y disciplinas relacionadas, un algoritmo es un conjunto preescrito de instrucciones o reglas bien definidas, ordenadas y finitas que permite realizar una actividad mediante pasos sucesivos que no generen dudas a quien deba realizar dicha actividad. Dados un estado inicial y una entrada, siguen dolos pasos sucesivos se llega a un estado final y se obtiene una solucin. Los algoritmos son el objeto de estudio de la algoritmia. El pseudocdigo es una herramienta algortmica que permite escribir pseudoprogramas (una imitacin de un programa real) utilizando un lenguaje de pseudoprogramacin que es una imitacin de los lenguajes de programacin de alto nivel. As, un pseudocdigo es una combinacin de smbolos (+, -, *, /, %, >, >=,