1.1 logica matematica

7/26/2019 1.1 Logica Matematica

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Lgica Matemtica

Docente: Ing. Gustavo Ramrez Zambrano


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Se dice que para sacar unaconclusin, hay que tener lainformacin, pero se puedeconcluir solo a partir de datos?

Gustavo Ramrez ZambranoIng. Civil

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Cada mano dibujaentre si una mangade camisa?


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Qu observas?Hay operarios arreglando la cerca y el piso, o estn reparando

la terraza y hay gente que intenta subir?


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La lgica nos permite ir ms all de la informacin que

nos proporcionan nuestros sentidos y en un contexto

determinado.

Son posibles esas imgenes?

Por qu?

Qu ocurre si solo nos dejamos llevar por nuestros

sentidos?

Es necesario tener la informacin en un contexto ?


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QU ES LA LGICA?

Es una disciplina que mediante reglas y tcnicas estudia la

forma del razonamiento.

En matemtica se emplea para demostrar teoremas; en

computacin, para validar un programa; en fsica, para dar

conclusiones de experimentos y, en la vida cotidiana, para

cualquier trabajo que se realiza ya que tiene un

procedimiento lgico.

Gracias a ella, el ser humano distingue la realidad de la

percepcin y defiende sus puntos de vista con argumentos

basados en hechos y datos. Esto lo logra utilizando su

inteligencia y con la ayuda de los conocimientos adquiridos.

La lgica es

un mtodo derazonamiento

que no acepta

conclusiones

errneas


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Qu es una proposicin?

Es un enunciado coherente que posee un valor de

verdad: verdadero (v) o falso (f), sinambigedades y en determinado contexto.E j . :

(2+3) = 4 + 9 (falso)

Manta es una ciudad de la costa de Ecuador.(verdadero)

Se simbolizan con letras minsculas (p; q; r; etc.)

Las Oraciones exclamativas, interrogativas oimperativas por naturaleza no son proposiciones.


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Ejemplos:

1. Guayaquil es la capital de Ecuador

2. 2 + 2 = 3

3. Qu hora es?

4. x + y = z

Proposicin

Proposicin

No es una Proposicin; oracin interrogativa

No es una Proposicin; desconocemos x, y, z


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Ejemplos:

5. Tome una taza de caf

Nota: Tom una taza de caf. Si es una proposicin

6. Alex Rodrguez es mejor jugador debeisbol que Dereck Jeter.

No es una Proposicin

No es una Proposicin; oracin imperativa


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Cules son los tipos de proposiciones?

Simples: Son aquellas que tienen una nica idea, esdecir una sola afirmacin, siempre en positivo.

Ejem. -6 es un nmero entero

Los universitarios tienen carnet de

medio pasaje.

Compuestas: Son aquellas que tienen dos o msproposiciones usando conectivos lgicos.

Ejem. Cusco est en el Per y el Per est enSudamrica

Si x = 4 x=2 o x=-2Gustavo Ramrez Zambrano

Ing. Civil10


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VAMOS A EJERCITARNOS Identifica si la proposicin es compuesta (C) o simple

(S).

Pablo es culto. Tres no es mayor que 5. Los cuadrilteros tienen cuatro lados. Ana y Jos son esposos. Rosa tiene 20 aos. Ana y Jos estn casados. No es cierto que 34 sea igual a 243.

S

C

C

S

S

C

CGustavo Ramrez Zambrano

Ing. Civil11


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Los conectores y sus respectivossmbolos son:

.............

.......

sisoloysi

entoncessi

negacin

o

y


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Ejemplos de proposicionescompuestas

Leo un libro y leo el Vocero.

Si l lo dijo, entonces es cierto.

Maana ser Domingo.

Nota: Maana no ser Domingo.Aunque no consta de dos proposiciones, para

conveniencia se considera compuesta ya que su valorde verdad depende de una proposicin diferente.Maana ser Domingo.

Compuesta; conectivo y

Compuesta; conectivo sientonces

No es compuesta


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Ejemplos de proposicionescompuestas

La firma de abogados que atendi el caso sellam Goldman Antonetti y Cordva, P.S.C

No es compuesta; y no es un conectivo en este caso porque y es parte del nombre de la firma de abogados


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CONECTORES LGICOSLlamados tambin operadoreslgicos , son palabras que sirven para

enlazar proposiciones simples ocambiar el valor de verdad de unaproposicin.


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Conectores Logicos

;qp ,qop Disyunc in inc lus i va p y q: proposicincompuesta que es falsa cuando ambasp yqsonfalsas y verdadera en otro caso.

p q

F F F

qp

;qp ,qyp conjunc in p yq: proposicin compuesta quees verdadera cuando tanto comop yq sonverdadera y falsa en otro caso.

p q

V V V

qp


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Conectores Logicos

;qp ,qp Disyunc in exc lus iva p y q: proposicincompuesta que es verdadera cuando solamenteunap yqsea verdadera y falso en otro caso.

p q

V F V

F V V

qp


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Conectores Logicos

;p ,pno negac in de p: proposicin formada al escribirno es el caso que o es falso que antes depoal insertar la palabra no de manera adecuadaenp.

;qp si p en tonces q: proposicin compuestacondicional la cual es falsa cuando p esverdadera yqes falsa, y verdadera en otro caso

p

V F

p

p q

V F F

qp


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Conectores Logicos

;qp

;BA A y Bson lgicamente equivalentes:Las formas proposicionales

son lgicamente equivalentes si tienen tablas de

verdad idnticas. A esto es lo que se le conocecomo una tautologa.

p s i y slo s i q : proposicin compuestabicondicional la cual es verdadera cuandopyqtienen los mismos valores de verdad y falsa encaso contrario.

nppppA ,...,,, 321 nqqqqB ,...,,, 321

p q

V V V

F F V

qp


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Conectores Logicos

por lo tanto

para todo

existe

Cuantificadores

Cuantificadores universales: todo, cada uno, todos, ninguno

Cuantificadores existenciales: hay, al menos uno


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CONECTORES LGICOS

CONECTOR EXPRESIONES EQUIVALENTES

CONJUNCIN

Sin embargo, aunque, tambin, pero, adems, a la vez,no obstante, mas, etc.

Tambin con signos de puntuacin como: la coma, elpunto, y el punto y coma.

DISYUNCION EXCLUSIVA o, o slo, o solamente, o.., o.

CONDICIONALPor consiguiente, puesto que, porque, ya que,

si p, entonces q, o cualquier expresin que denotecausa y efecto.

NEGACIN

No es cierto que, es falso que, no es el caso que, no, ni,

no es verdad que, etc.

BICONDICIONALp si y solo si q, p si y solamente si q, p implica q y q

implica p, p cuando y solo cuando bGustavo Ramrez Zambrano

Ing. Civil21


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Uso de conectores lgicos

Sean p que representa Hoy estamos a 80F,q que representa Hoy es martes.

Transcriba cada proposicin simblica en palabras

:)1 qp Hoy estamos a 80F o es martes.

:)2 qp Hoy no estamos a 80F y es martes.

:)3 qp No es el caso que hoy estemos a80F o que sea martes.

sta proposicin se puede traducir como ni p ni q o qp Gustavo Ramrez Zambrano

Ing. Civil22


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Uso de conectores lgicos

Sean p que representa Hoy estamos a 80F,q que representa Hoy es martes.

Transcriba cada proposicin simblica en palabras

:)4 qp

qp

No es el caso que hoy estemos a80F y sea martes.


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EJEMPLIFICANDO

Dadas las siguientes proposiciones: p : Estudio sistemticamente q : Obtendr buenas calificaciones en lgebra

r : Voy a bailar todos los fines de semana s : Me sentir felizEscriba con palabras la siguiente proposicin:

(~ p r ) ~ qSi no estdio sistemticamente y voy a bailartodos los fines de semana entonces no obtendrbuenas calificaciones en lgebra.


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EJEMPLIFICANDO

Dadas las siguientes proposiciones: p : a es un nmero par q : 2a es un nmero par

r : a es un mltiplo de 6 s : a < 10

Escribe con smbolos la siguiente proposicin:

Si a es un nmero par y mltiplo de 6, entonces 2a

es par o a es menor que 10(p r) (q s)


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EJEMPLIFICANDO

Determina el valor de verdad de las siguientesexpresiones, si sabes que: (V) p: Mara es doctora.

(F) q: Mara es casada. (V) r: Mara vive con sus padres. (F) s: Mara viajar a Espaa.

(q r) s (p r) (p q)

(F F) F (V V) (V F)

V F V F

F V


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Veamos otrasaplicaciones de la lgica


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EL ACERTIJO DEL REY

Un rey plantea a los pretendientes de su hija

lo siguiente: Se casa con mi hija quien determine en cual

de los cofres se encuentra mi retrato

Si se sabe que de las inscripciones solo una esfalsa, en cul de los cofres se encuentra elretrato?


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EL ACERTIJO DEL REY

A

EL RETRATO ESTA EN ESTECOFRE

BEL RETRATO NO ESTA EN

ESTE COFRE

CEL RETRATO ESTA EN ELCOFRE DEL CENTRO

Recuerda solo unainscripcin es falsa


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SOLUCION

Analizando lo escrito en el cofre A: Si A es verdadero, entonces B es verdadero y C es falso.

Analizando lo escrito en el cofre B: Si B es verdadero, entonces C es falso y A es verdadero.

Analizando lo escrito en el cofre C: Si C es verdadero, entonces A es falso y B es falso.

Por lo tanto, el retrato se encuentra en el cofre: A


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Orden de prioridad de los conectoreslgicos

Se usar generalmente parntesis paraespecificar el orden en que se aplicarn losoperadores lgicos.

De no haber parntesis, se adopta el siguienteorden de prioridad.

Conectivo Prioridad

1

2

3

4

5

Gustavo Ramrez Zambrano

Ing. Civil31


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Tablas de verdad

Una proposicin lgica con ncomponentes tendr renglones en sutabla de verdad.

n2

V F

F V

pp Nota: p proposicin (1 componente):

renglones.

renglones.

renglones.

221

42 2

82

3


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Tablas de verdad

V V V

V F F

F V FF F F

p q qp

V V V

V F V

F V V

F F F

p q qp

disyunc in p yq: proposicin compuesta quees falsa cuando ambasp yq son falsas yverdadera en otro caso.

conjunc in p yq: proposicin compuesta quees verdadera cuando tanto comop yq sonverdadera y falsa en otro caso.

42 2 renglones


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Tablas de verdad

V V V

V F F

F V V

F F V

p q qp

V V V

V F F

F V FF F V

p q qp

s i p entonces q : proposicin compuestacondicional la cual es falsa cuando p esverdadera yqes falsa, y verdadera en otro caso

p s i y slo s i q : proposicin compuestabicondicional la cual es verdadera cuandopyqtienen los mismos valores de verdad y falsa encaso contrario.


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Tautologa y Contradiccin

Una proposicin compuesta

Se denominatautologa si es verdadera para todaasignacin de verdad, y ycontradiccin si es falsa.

nppppPP ,...,,, 321

Proposiciones elementales

npppp ,...,,, 321

V

F

p p pp pp


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Se denominatautologa si es verdadera para todaasignacin de verdad, ycontradiccin si es falsa.

nppppPP ,...,,, 321


npppp ,...,,, 321

V F

F V

p p pp pp


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nppppPP ,...,,, 321


npppp ,...,,, 321

V F V

F V V

p p pp pp


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nppppPP ,...,,, 321


npppp ,...,,, 321

V F V F

F V V F

p p pp pp

pp Es una tautologapp Es una contradiccin

Contingencia:

si existieran valores deverdad verdaderos yfalsos para las formasproposicionales.


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Proposiciones equivalentes

V V

V F

F V

F F

p q qp qp p q qp


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V V V

V F V

F V V

F F F

p q qp qp p q qp


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V V V F

V F V F

F V V F

F F F V

p q qp qp p q qp


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V V V F F

V F V F F

F V V F V

F F F V V

p q qp qp p q qp


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V V V F F F

V F V F F V

F V V F V F

F F F V V V

p q qp qp p q qp


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V V V F F F F

V F V F F V F

F V V F V F F

F F F V V V V

p q qp qp p q qp


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V V V F F F F

V F V F F V F

F V V F V F F

F F F V V V V

p q qp qp p q qp

entonces qpqp


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Leyes del lgebra de proposiciones

1. Ley de idempotencia

2. Ley de identidad

Prueba: Suponga que p es verdadero, entonces

Suponga que p es falso, entonces

pppppp ,

pVppFp ,

p

V

FV

Fp

p

F

FF

Fp


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3. Ley dominante

Prueba:

,VVp

V

VV

Vp

V

VF

Fp

F

FV

Vp

F

FF

Fp

FFp


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4. Ley de complemento

5. Ley conmutativa

6. Ley asociativa

Vpp

Fpp

pqqp

pqqp

rqprqp

rqprqp


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7. Ley distributiva

8. Ley de absorcin

9. Ley de Morgan pqqp

pqqp

pqpp

pqpp

rpqprqp

rpqprqp


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10. Ley de la negacin

11. Ley Involutiva

12. Ley contrarecproca

13. Ley de implicacin

VF

FV

pp )(

)()( pqqp

)()(

)()(

)()(

qpqp

qpqp

qpqp


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13. Ley de implicacin

14. Ley de exportacin

15. Reduccin al absurdo

16. Ley de equivalencia

) ]([) ]()[(

])[() ]()[(

rqprpqp

rqprqrp

) ]([])[( rqprqp

])[()( Fqpqp

)()(

) ]()[()(

pqqp

pqqpqp


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EJEMPLO

ppqp )(

Sin tabla de verdad, y utilizando las propiedades demostrar que:

)()()( Fpqppqp

)( Fqp

Fp

p

Desarrollo:

Por leyes de identidad

Propiedad distributiva

Por identidad

Por identidad


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EVALUNDONOS

Qu aprendimos?

Cmo lo aprendimos?

Por qu es til lo aprendido?Gustavo Ramrez Zambrano

Ing. Civil53

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