22

C A P Í T U L O I

1. LINEAS DE TRANSMISIÓN

1.1 INTRODUCCIÓN

Existe una estrecha analogía entre las ondas planas en un medio ilimitado y las ondas guiadas por una línea de transmisión. Se desea que el rendimiento del transporte sea lo mayor posible, lo que equivale a que las pérdidas debidas al calor por el efecto Joule o a la radiación sean mínimas.

A pesar que las líneas de transmisión pueden adoptar una variedad de configuraciones, es más conveniente clasificarlas sobre la base de las configuraciones de campo o modos que pueden transmitir. De esta manera pueden las líneas de transmisión dividirse en dos grupos principales: (1) Las que pueden transmitir modos transversoelectromagnéticos (TEM) y (2) las que solo pueden transmitir modos de orden superior. En el primer caso no existe componentes de E y H en la dirección de propagación y los campos E y H son perpendiculares a la dirección de propagación. Los modos de orden superior, en cambio, tienen siempre por lo menos una componente de campo en la dirección de transmisión. Todas las líneas de dos conductores, coaxiales o las abiertas de dos hilos son ejemplos del tipo de modos TEM, mientras que las guías de onda huecas, de un solo conductor o las fibras ópticas son ejemplos de los tipos de orden superior. De lo anterior el término línea de transmisión usado en este material se refiere a los dispositivos que pueden transmitir los modos TEM, mientras que el término guía de onda o solo guía se reserva a los dispositivos que solo pueden transmitir modos de orden superior. Todas las líneas de transmisión pueden contemplarse como derivadas de una forma básica, como es el caso de la plano-paralelo-infinita, en donde dependiendo de la forma en que los hilos que la conforman puedan curvarse se obtienen la línea abierta o el cable coaxial.

Una línea de transmisión es un sistema conductor metálico que se utiliza para transportar energía eléctrica de un lugar a otro. Más específicamente, una línea de transmisión son dos o más conductores separados por un aislante, como un par de cables o un sistema de par

de hilos. Una línea de transmisión puede ser tan corta como unas cuantas pulgadas o extenderse por muchos miles de kilómetros. Las líneas de transmisión se pueden utilizar para propagar corriente continua o corriente alterna de baja frecuencia, como la de 60 ciclos de la energía eléctrica y como las señales de audio respectivamente. También se pueden utilizar para propagar frecuencias muy altas y medianas, como las señales de radio e intermedias. Al propagar las señales de baja frecuencia, es bastante sencillo y predecible el comportamiento de la línea de transmisión. Sin embargo, al propagar las señales de alta frecuencia las características de las líneas de transmisión se vuelven más complicadas y su comportamiento es un poco peculiar con respecto a los circuitos de los sistemas constantes.

1.2 ONDAS ELECTROMAGNÉTICAS TRANSVERSALES

La propagación de energía eléctrica a lo largo de la línea de transmisión ocurre en forma de ondas electromagnéticas transversales, TEM. Una onda es un movimiento oscilatorio. La vibración de una partícula produce vibraciones similares en las partículas cercanas. Una onda TEM se propaga principalmente en un material no conductor, esto es, un dieléctrico, el cual separa a los dos conductores de la línea de transmisión. Por lo tanto, una onda viaja o se propaga a través de un medio. Para una onda transversal, la dirección de desplazamiento es perpendicular a la dirección de propagación. Una onda superficial de agua es una onda longitudinal.

Una onda donde el desplazamiento está en la dirección de propagación se llama onda longitudinal, como las de sonido. Una onda electromagnética (EM), se produce por la aceleración de una carga eléctrica. En un conductor la corriente y el voltaje siempre están acompañados por un campo eléctrico E y un campo magnético H, en el entorno colindante. La fig.1.1 muestra las relaciones espaciales entre los campos E y H de una onda electromagnética . Puede verse que los campos de E y H son perpendiculares entre sí en ángulos de 900, en todos los puntos. A esto se le conoce como cuadratura de espacio. Las ondas EM que viajan a lo largo de una línea de transmisión, desde el extremo transmisor hasta el extremo receptor, se llaman ondas incidentes, y las que viajan desde el receptor al transmisor se llaman ondas reflejadas.

1.3 CARACTERÍSTICAS DE LAS ONDAS ELECTROMAGNÉTICAS

VELOCIDAD DE ONDA. Las ondas viajan a distintas velocidades, dependiendo del tipo de onda y de las características del medio de

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propagación. Las ondas de sonido viajan aproximadamente a 340 mts/sg en la atmósfera normal. Las ondas EM viajan en forma más rápidas. En el espacio libre ( vacío), las ondas TEM viajan a la velocidad de la luz 299.793 km/sg aproximadamente 300.000 km/sg. Sin embargo, en el aire, como en la atmósfera de la tierra, las ondas TEM viajan ligeramente más despacio, y las ondas EM viajan considerablemente más lentas a lo largo de una línea de transmisión. Las oscilaciones de una onda EM son periódicas y repetitivas, por lo tanto, se caracterizan por una frecuencia. La velocidad con la que una onda periódica se repite es su frecuencia, y la distancia de un ciclo que ocurre en el espacio se llama la longitud de onda lambda, , y se determina por la siguiente ecuación:

distancia = velocidad x tiempo (1.1)

Si se sustituye en la ec. 1.1, se obtiene la longitud de un ciclo, denominada . Como el tiempo transcurrido es T, la velocidad es la velocidad de fase vp, por lo que:

= vpT = vp/f (1.2)

Para la propagación en el espacio libre, vp = C; por lo tanto, la longitud de un ciclo

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Fig. 1.1 Vista espacial de los campos E y H de una línea de transmisión

es:

(1.3)

En resumen una longitud de onda es la distancia cubierta por un ciclo de la onda.

1.4 TIPOS DE LÍNEAS DE TRANSMISIÓN

Las líneas de transmisión pueden clasificarse generalmente como balanceadas o desbalanceadas. Con líneas balanceadas de dos cables, ambos conductores llevan una corriente; un conductor lleva la señal y el otro es el retorno, y a este tipo de transmisión se le denomina transmisión de señal diferencial o balanceada. La señal que se propaga a lo largo del cable se mide como la diferencia de potencial entre los dos cables, la fig.1.2 muestra un sistema de transmisión balanceada, en la

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que ambos conductores, llevan la corriente de la señal, y las corrientes son iguales en magnitud con respecto a la tierra eléctrica pero viajan en direcciones opuestas. Un par de cables balanceados tienen la ventaja que la mayoría de la interferencia por ruido, se induce igualmente en ambos cables, produciendo corrientes longitudinales ( fluyen en las mismas direcciones) que se cancelan en la carga. Cualquier par de cables pueden operar en el modo balanceado siempre y cuando ninguno de los cables esté con el potencial a tierra, lo cual incluye al cable coaxial que tiene dos conductores centrales y una cubierta metálica, la que se conecta a tierra para evitar interferencia estática al penetrar a los conductores centrales.

Fig. 1.2 Sistema de transmisión diferencial o balanceada

En una línea de transmisión desbalanceada, un cable se encuentra en el potencial de tierra, mientras que el otro se encuentra en el potencial de la señal, y se denomina transmisión de la señal desbalanceada o de terminación sencilla. Con este tipo de transmisión, el cable de tierra también puede ser la referencia a otros cables que llevan señales. Si este es el caso el cable de tierra debe ir en donde va cualesquiera de los cables de señal. A veces esto crea problemas porque una longitud de cable tiene resistencia, inductancia y capacitancia, por lo tanto, puede existir una pequeña diferencia de potencial, entre cualquiera de los dos puntos, en el cable de tierra. En consecuencia, el cable de tierra no es un punto de referencia perfecto y es capaz de inducir un ruido en él. Un cable coaxial estándar de dos conductores es una línea desbalanceada, en donde uno de ellos es la cubierta, que se conecta a tierra por lo general.

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Lado alto de la señal

1 Voltaje de la señal diferencial 2

Lado bajo de la señal

Voltaje de modo común ( ruido )

Tierra física

La fig.1.3 muestra un sistemas de transmisión desbalanceada, las líneas balanceadas y desbalanceadas pueden conectarse en cascada entre sí por medio de un transformador especial denominado BALUN, que significa balanced-unbalanced, esto es, balanceado-desbalanceado.

Fig. 1.3 Sistema de transmisión desbalanceada o de terminación sencilla

1.5 LÍNEAS DE TRANSMISIÓN DE CONDUCTOR PARALELO

1.5.1 Línea de transmisión de cable abierto. Una línea de transmisión de cable abierto es un conductor paralelo de dos cables, espaciados muy cerca, 2 y 6 pulgadas, fig. 1.4a, y solo separados por el aire, en donde la onda TEM se propaga entre y alrededor de los dos conductores, y su única ventaja es su construcción sencilla. Como no existen cubiertas, las pérdidas por radiación son altas y es susceptible a recoger ruido, debido a lo anterior su capacidad de canalización es baja, teniendo que operar en el modo balanceado.1.5.2 Cables gemelos. Son otra forma de línea de transmisión para un conductor paralelo de dos cables y se muestra en la fig. 1.4b, en este caso los espaciadores entre los dos conductores es de un dieléctrico, teflón y polietileno, sólido y continuo para mantener la separación de los conductores constante. Para el cable de televisión el espaciamiento es de 5/16 pulgadas.

1.5.3 Cable de par trenzado. Se forma doblando juntos dos conductores aislados, y se trenzan en unidades, y las unidades, a su vez, están cableadas en el núcleo y se cubren con diferentes tipos de fundas

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Cable de señal del circuito 11 2

voltaje de la señal 1

Cable de la señal del circuito 22 4

Voltaje de la señal 2

Referencia de tierra

dependiendo del uso que se les vaya a dar. Los pares vecinos se trenzan con diferente inclinación para poder reducir la interferencia entre los pares debido a la inducción mutua, fig.1.4c.

1.5.4 Par de cables protegidos con armadura. Para reducir las pérdidas por radiación e interferencia, frecuentemente se encierran las líneas de transmisión de dos cables paralelos en una malla metálica conductiva que se coloca a tierra actuando como protección, y evita que las señales se difundan más allá de sus límites, por lo que la interferencia EM entre conductores vecinos no interfieran evitando la diafonía, fig. 1.4d.

1.5.5 Líneas de transmisión coaxiales o concéntricas. El cable coaxial básico consiste de un conductor central rodeado por un conductor exterior concéntrico (distancia uniforme desde el centro), donde para frecuencias relativamente altas el conductor coaxial externo proporciona una excelente protección contra la interferencia externa como se muestra en la fig. 1.5. A frecuencias de operación bajas no se justifica su uso por el costo, además que el conductor externo al estar generalmente conectado a tierra lo limita a aplicaciones desbalanceadas.

Existen básicamente dos tipos de cables coaxiales: líneas rígidas llenas de aire y líneas sólidas flexibles. Para el primer caso el conductor central está rodeado en forma coaxial por un conductor externo tubular y el material aislante es el aire, fig. 1.5b. El conductor externo físicamente está aislado y separado del conductor central por un espaciador, que generalmente está hecho de pirex, poliestireno, o algún otro material no conductivo. Para el segundo caso el conductor externo está trenzado, es flexible y coaxial al conductor central, fig. 1.5a. El material aislante es polietileno sólido no conductivo que proporciona soporte, así como aislamiento eléctrico entre el conductor interno y externo. El conductor interno es un cable de cobre que puede ser sólido o hueco. De los dos este último es más fácil de fabricar, de instalar y presenta pérdidas menores, además ambos son inmunes a la radiación externa, e irradian poco y pueden operar a frecuencias más altas que los cables paralelos, sus desventajas son el costo y el uso en modo desbalanceado.

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Fig. 1.4 Líneas de transmisión: (a) cable abierto, (b) cables gemelos, (c) par trenzado,(d) par protegido.

Fig. 1.5 Líneas de transmisión concéntricas o coaxiales. (a) línea sólida flexible (b) rígidas llenas de aire.

1.6 SISTEMA GENERAL DE COMUNICACIONES

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Está conformado por tres partes; transmisor, medio de transmisión y el receptor; de las que se aborda el estudio de sólo una de ellas: El medio de transmisión, y de este sólo los cables metálicos y ópticos. En este material de referencia sólo se estudian los cables metálicos.

1.6.1 Transmisor. Es la parte que adecua la señal al medio de transmisión, con operaciones de procesamiento de la señal; como por ejemplo, la modulación.

1.6.2 Receptor. Recibe la señal del medio de transmisión y la lleva a su destino recuperando la señal original por medio de una operación contraria a la del transmisor, la demodulación.

Fig. 1.6 Diagrama en bloques de un sistema de comunicaciones.

1.6.3 Medio de transmisión. Realiza el enlace entre el transmisor y el receptor. Su principal característica es la disminución progresiva de la potencia de la señal con el aumento de la distancia, y distorsionando la información que transporta a nivel de amplitud y fase: distorsión de frecuencia o distorsión lineal.

1.6.4 CONTAMINACIONES. Son efectos no deseados, durante la transmisión y afectan la forma de la señal, estas son:1.6.4.1 Distorsión de Frecuencia: También se le conoce como distorsión lineal, por la naturaleza lineal y pasiva de la línea de transmisión. Se presenta por una respuesta imperfecta del medio de transmisión a nivel de magnitud y fase. Se puede reducir por medio de las ecualizaciones de amplitud y fase.1.6.4.2 Interferencia: Se produce por la superposición de dos o más señales ajenas a la información con la señal de información que se transmite. 1.6.4.3 Ruido: Es la más grave de las contaminaciones. Son señales aleatorias e impredecibles de tipo eléctrico que pueden tener origen dentro o fuera del sistema. Para el caso de la línea ruidosa, la corrección se hace usando el “compansor”, compresión en transmisión y expansión en recepción.

1.6.5 MEDIOS DE TRANSMISIÓN EN GENERAL. Los más utilizados en la actualidad son: Líneas de transmisión, cable coaxial, a los cuales

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se han hecho referencia en los apartes 1.1 a 1.3, guías de onda, fibra óptica, espacio libre, estos últimos denominados radio enlaces terrestres y satelitales. Los primeros por retransmisión en los satélites de órbita baja, enlaces en línea de vista, por reflexión en la ionosfera, por tropodifusión y los segundos a través del espacio exterior por retransmisión en los satélites artificiales geoestacionarios.En la fig.1.7, se tiene un sistema de comunicaciones, en donde se observan todos los medios de transmisión, desde el par simétrico que conecta el abonado telefónico desde los hogares hasta la central de conmutación, cable coaxial entre los concentradores y la estación de radio, las guías de ondas desde la estación de radio a la antena transmisora y receptora, al igual que las fibras ópticas y los repetidores satelitales.

1.7 CAPACIDAD DE CANALIZACIÓN DE LOS MEDIOS DE TRANSMISIÓN

Líneas de Transmisión: (a) Líneas abiertas: Permite transmisión de planes de frecuencias, en banda básica comprendidas (36-156)kHz, para el envío de máximo 12 circuitos telefónicos. (b) Par simétrico: Soporta planes de frecuencias en banda básica desde (12-552)kHz. (c) Cable coaxial: Dependiendo de las dimensiones soporta desde 120 hasta 10800 circuitos telefónicos, o sea bandas de 12 MHz y 60 MHz. (d) Guía de onda: Con capacidad para 500.000 circuitos telefónicos. Espacio Libre: HF (3-30)MhZ; VHF (30 – 300)MHz; UHF ( 300 – 3000)MHz; SHF ( 3 – 30 )GHz; EHF ( 30 –300 )GHz. Con capacidad de transporte de circuitos telefónicos desde 24 hasta 2700 ( banda de 12 MHz).

Fig. 1.7 Sistema de telecomunicaciones.

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Para el caso de HF por reflexión ionosférica, y a partir de VHF por línea de vista, puesto que la ionosfera es transparente a estas frecuencias perdiéndose las mismas en el espacio exterior, con excepción de la dispersión troposférica.Fibra Óptica: Con una alta capacidad, 100.000 circuitos telefónicos, para las diferentes modalidades de los índices de refracción, discreto, continuo, y en las multimodo o monomodo, pérdidas por atenuación bajas del orden de 0.2 dB/km. La transmisión puede ser tanto analógica

como digital. Fig. 1.8 Sistema de Comunicaciones vía radio: HF, VHF, UHF, SHF, EHF y tropodifusión.

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22

C A P Í T U L O II

2. ELEMENTOS DE PROPAGACIÓN. PROPIEDADES ELÉCTRICAS. PARAMÉTROS DISTRIBUIDOS

2.1 INTRODUCCIÓN:

Fig. 2.1 Sistema de Comunicaciones a través de línea física.

Los parámetros, como frecuencia y longitud determinan las igualdades o desigualdades de corrientes y voltajes a lo largo de la línea.

Si la frecuencia es baja, audio frecuencia y/o si la distancia es corta:

I1 = I2 (2.1) E1 = E2 (2.2)

Para este caso la línea se comporta como un corto circuito, o sea en forma puntual.

Si la frecuencia es alta y/o la longitud L 0.1:

I1 I2 (2.3) en magnitud y fase

E1 E2 (2.4) en magnitud y fase

Para este caso la línea presenta parámetros distribuidos, intangibles, a lo largo de ella, por lo que la corriente que entra a un x de línea es diferente de la que sale de ese x de línea. En la práctica, si:

L 0.1 (2.5)

se debe tener en cuenta los parámetros distribuidos a lo largo de la línea.

Por ejemplo, para la frecuencia de la energía eléctrica, 60 Hz,

.

Para 100 MHz, , por lo que, para parámetros distribuidos se tiene para el primer caso, L1 500 km; y para el segundo, L2 30 centímetros.

2.1.1 Parámetros Concentrados: Son elementos tangibles; los podemos quitar o colocar en un circuito, tales como R, L, C, G.

2.1.2 Parámetros Distribuidos: Cuando se tiene una línea de transmisión del tipo básico conformada por dos alambres paralelos, o sea una línea abierta, de sección uniforme y separados por una distancia “d”, aparecen a lo largo de la línea, uniformemente distribuidos unos elementos que no los podemos tratar en forma aislada. Dichos elementos son: R, L, C, G.

2.1.3 Impedancia Característica Z0: Es la relación entre el fasor voltaje y el fasor corriente a lo largo de una línea de transmisión uniforme terminada en su impedancia característica Zo. Es igual en cualquier punto de la línea.

2.1.4 Constante de atenuación : Es el grado de disminución que presenta una onda a medida que avanza en dirección contraria a la fuente. Por consiguiente, las ondas de voltaje y corriente en una línea de transmisión se atenúan con la distancia de acuerdo al término.

e-L, donde L es la distancia en mts, kms etc; y Cambio

relativo de intensidad de corriente o voltaje por unidad de longitud, y las

unidades son . Por tanto, L es:

=

Neper.

El neper se puede pasar a las unidades de dB.

2.1.7 Constante de Fase : Mide la diferencia de fase entre las corrientes o

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voltajes de entrada y salida y representa el cambio de fase relativo por unidad de longitud. El factor e-jL es un número complejo cuya magnitud es la unidad, por lo que no afecta las magnitudes de los fasores de voltaje y corriente, y cuyo ángulo de fase es -L (radianes).

2.1.7 Longitud de Onda : Otra forma de definirla, puesto que ya se había

definido en el apartado 1.2 es: la distancia sobre la cual la fase cambia en 2 radianes. También se puede establecer que: “ La distancia que recorre una onda a lo largo de la línea de transmisión mientras el ángulo x cambia 2 radianes, se llama longitud de onda”. x = = 2, de donde:

= 2/ (2.6)

2.1.7 Velocidad de Fase Vp: Es la velocidad con la cual un punto de valor de

fase constante avanza a lo largo de la línea de transmisión. Un concepto adicional de velocidad, el de velocidad de grupo, es necesario, cuando se trata de situaciones donde la velocidad de fase en un sistema de transmisión no es la misma para todas las componentes de frecuencias de la señal del espectro de Fourier. Para la mayoría de las líneas de transmisión usadas a altas frecuencias, como se ve en el capítulo 7, esta complicación no se presenta, y la velocidad de fase tiene el mismo valor que la velocidad de grupo.

Y = vt para el caso cuando la onda ha recorrido , la velocidad v es la de fase Vp y el espacio y, es , por lo que, = VpT, ya que en este caso t = T.

Vp = f = 2f/ = w/. (2.7)

La velocidad de fase dada por la ec. 2.7 para una sinusoide de frecuencia única se analiza para representar la velocidad con la cual un observador ha de viajar para mantener constante la fase instantánea. Para el factor:

ej(wt-x) = ejw(t-x/w) = ejw(t-x/vp)

La fase instantánea (wt-x) permanece constante sí el observador viaja con la velocidad vp tal que x = vpt+C. Esta velocidad es así conocida como velocidad de fase. Si sucede que vp es la misma para cada componente de frecuencia y no existe atenuación, las ondas componentes se sumarán con la misma fase en cada punto a lo largo de la línea para reproducir exactamente la forma de onda original, pero retardada por el tiempo de propagación x/vp. La velocidad vp describe en

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este caso la velocidad con que la onda se mueve a lo largo de la línea y se puede decir que es la velocidad de propagación. Este caso ocurre para la línea sin pérdidas o en las frecuencias altas donde vp es igual a 1/(LC)1/2.

Para las líneas de transmisión con pérdidas y para otras guías de ondas electromagnéticas, la velocidad de fase puede variar con la frecuencia. En este caso las componentes sinusoidales individuales se desplazan en fase en la medida como ellas se mueven a lo largo de la línea, las ondas más rápidas adelantándose y las más lentas atrasándose. Este fenómeno se conoce como dispersión, en donde la onda resultante en cualesquier punto a lo largo de la línea es completamente diferente de la onda enviada. En este caso no existe una definición de velocidad, simplemente la señal se pierde. Cuando existe una dispersión relativamente pequeña sobre la banda de frecuencia de interés, sin embargo, la velocidad de grupo es un concepto adicional más útil. sobre el concepto de velocidad de grupo se trata en el apartado 4.2.

Una función del tiempo con forma de onda arbitraria se puede expresar como una suma sinusoidal de ondas por el análisis de Fourier.

2.1.8 Constante de Propagación : También se le conoce con los símbolos, o , es la constante que reúne las constantes de atenuación y de fase.

= = = + j (2.8)

2.2 PARAMETROS DISTRIBUIDOS PARA LA LÍNEA DE TRANSMISIÓN

2.2.1 Impedancia de la Línea: Esta cantidad se define como,

Z = R + jwL (2.9)

(a) Resistencia de la línea: Como los alambres están hechos de cobre, aluminio o cualesquier otro material, presentan una determinada resistencia al paso de la corriente. Como la sección es constante, esta resistencia se presenta uniformemente distribuida a lo largo de dicha línea. Si se trabaja en radio frecuencia, es posible que la línea radie energía en forma de ondas electromagnéticas.

Esta pérdida de energía se puede considerar como si se hubiera aumentado la resistencia de la línea en una resistencia ficticia llamada

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resistencia de radiación, el cual será igual a la potencia radiada dividida entre la corriente al cuadrado; esta radiación se reduce al mínimo si la distancia “d” entre los dos conductores es muy pequeña y por tanto el retorno de la corriente y voltaje no debe hacerse a través de tierra.

d 0.1 (2.10)(b) Inductancia de la línea: Cuando circula corriente por los alambre, se establece alrededor ellos un campo magnético, este campo es inducido por las corrientes que circulan por los alambres, por lo que se puede decir que hay una inductancia presente que está uniformemente distribuida por toda la línea.

2.2.2 Admitancia de la Línea: Esta cantidad se define como,

Y = G + JwC (2.11)

El hecho de que las corrientes de entrada y salida de la línea sean diferentes, nos lleva a pensar que entre los alambres existe una admitancia, aunque no haya conexión entre ellos.(a) Conductancia de la línea: El dieléctrico, material que se opone al paso de corriente, no es un perfecto aislador, luego existen corrientes de fuga entre los alambres, esto se presenta como si hubiera una conductancia uniformemente distribuida a lo largo de la línea.(b) Capacitancia de la línea: La línea está conformada por dos conductores separados por un dieléctrico, aire, en este caso, esto hace que exista una capacitancia uniformemente distribuida a lo largo de toda la línea.

2.3 CIRCUITO EQUIVALENTE DE UN ELEMENTO x DE LÍNEA EN UNA LINEA DE TRANSMISIÓN

Ya se conoce que los parámetros de una línea de transmisión uniforme y homogénea, están distribuidos uniformemente a lo largo de dicha línea, por lo tanto es imposible dibujar un circuito equivalente exacto de la línea, puesto que no hay símbolos para representar parámetros distribuidos.Considerando una porción de la línea de Tx, su circuito equivalente aproximado será:

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Fig.2.2 Circuito T equivalente para una sección de línea x.Los valores numéricos de estos parámetros distribuidos se expresan por unidad de longitud, dado que la resistencia y la inductancia están presentes en los dos lados de la línea, o sea que, por definición:

R = Resistencia de ida y vuelta, resistencia de lazo, por unidad de longitud de la línea. = suma de las resistencias de los dos alambres por unidad de longitud.

L = Inductancia de lazo por unidad de longitud de la línea.

La conductancia y la capacitancia de la línea existen entre los dos alambres, de modo que no es necesaria la especificación de “lazo”. G = Conductancia en paralelo entre alambres, por unidad de longitud de línea.

C = Capacitancia en paralelo entre los alambres por unidad de longitud de línea.

Por lo tanto se usarán los términos:

Impedancia de bucle por unidad de longitud de línea, /unidad de longitud.

Admitancia en paralelo por unidad de longitud de línea, /unidad de longitud.

Z 1/Y (2.12)

Estos parámetros se pueden calcular teniendo los siguientes valores:

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Longitud de la línea, resistividad, sección transversal, conductividad, temperatura, permeabilidad y profundidad cortical. Por lo general estos parámetros los entrega el fabricante. No es de interés para el curso, el entrar a realizar este tipo de cálculos.

2.4 IMPEDANCIA CARACTERÍSTICA Z0 EN FUNCIÓN DE LOS PARÁMETROS DISTRIBUIDOS

Considerando el circuito equivalente de una porción X de línea de transmisión y conociendo los parámetros R, L, C y G, se puede analizar el comportamiento de la línea frente a una señal.

Se tiene la línea constituida por una gran número de elementos de longitud X; cada uno tiene una inductancia de lazo LX en serie, una resistencia de lazo RX en serie; una conductancia GX en paralelo y una capacitancia CX en paralelo.

La impedancia serie: ZX = RX + JWLX = ZX = (R + JWL) X

La admitancia paralelo: YX = GX + JWCX = YX = (G + JWC) X

El circuito equivalente se puede disponer como una configuración T o .

Si consideramos el caso límite, cuando X tiende a cero, la línea queda constituida por un número infinito de secciones T en cascada o tanden, y sin afectarse entre sí, si la línea está terminada en su impedancia característica Z0, puede aprovecharse para calcular la variación de las corrientes y las tensiones estacionarias a lo largo de ella.

Fig. 2.3 Fig. 2.4

Partiendo de que la línea está terminada en su impedancia característica Z0, determinaremos la impedancia de entrada, Zin = Z0, al igual que la variación de corrientes y voltajes a lo largo de ella.

R/2 L/2 R/2 L/2

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Fig. 2.5

(2.13)

Para que la ec. 2.13 sea válida se necesita que la impedancia terminal sea Z0 como se estableció.

Ejercicio 2.1: Determine la ec. 2.13, igualando la impedancia de entrada a Z0.Para aplicar la ec. 2.13 de parámetros concentrados a una sección x de línea, la cual está especificada por los parámetros distribuidos se hace:

Z1 = Zx (2.14) y Z2 = 1/Yx (2.15) Remplazando, las ecs.2.14 y 2.15 en la ec. 2.13, se tiene:

(2.16)

Ejercicio 2.2: Explique el por qué en la ecuación 2.16, se hizo que x0.

La impedancia característica Z0, es función de la frecuencia de trabajo, además que de los parámetros de la línea. Es igual en cualesquier punto de la línea cuando ésta está terminada en Z0, ya que Z0 se itera a la entrada de cada x a lo largo de la línea de transmisión.

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2.5 CONSTANTE DE PROPAGACIÓN PARA UN ELEMENTO DE LÍNEA x

Fig. 2.6

Se aplica un voltaje E1 a la entrada, el origina una corriente I1 a la entrada e I2 y E2 a la salida. Aplicando divisor de corrientes:

(2.17)

Como E1 = I1Z0 (2.18) y E2 = I2Z0 (2.19)

Reemplazando las ecs. 2.18 y 2.19 en la ec.2.17 se obtiene:

E1/E2 = I1/I2 = (Z1/2 + Z2 + Z0) /Z2 (2.20)Se puede considerar la línea de transmisión terminada en su impedancia característica, como una serie de secciones T conectadas en cascada, con todas estas secciones de igual comportamiento. Por esto la llamamos estructura iterativa. Luego, las relaciones de voltajes y corrientes a lo largo de toda la estructura iterativa es:

E0/E1=E1/E2 = E2/E3 =...En-1/En = I0/I1= I1/I2 =...In-1/In =(Z1/2 + Z2 + Z0)/Z2

(2.21)La relación de voltajes o corrientes es igual para todas las secciones T, esto indica que cada sección drena la misma proporción de corriente, y no el mismo valor.Estas relaciones se pueden expresar logarítmicamente definiendo la constante de propagación así:

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e = In-1/ In = En-1/En = (Z1/2 + Z2 + Z0)/Z2 (2.22)

Se sabe que la constante de propagación en forma rectangular es:

= + j (2.23)

y en forma polar

e = In-1/In (2.24)

e(+j) = In-1/In = e. ej , de donde:

= ln In-1/In = ln En-1/En (2.25)

= = argumento (Z1/2 + Z2 + Z0)/Z2 (2.26)

Estas relaciones determinan los valores de y para cada sección T.Supongamos que se quiera hallar la corriente a la salida de la etapa n-sima en función de la I0 de la primera etapa. De la ec.2.22 se obtiene.

I0/In = I0/I1 . I1/I2 . I2/I3 ...... In-1 /In = (e)n = en (2.27)

n = constante de propagación total = n + jn (2.28)

t = n (nepers) = atenuación total = (u. De sección)(neper o dB/ u. De sección)

t = n (radianes) = fase total = (unidades de sección)(radianes/unidades de sección)

e = (Z1/2 + Z2 + Z0)/Z2 = Z2/Z2 + Z1/2Z2 + Z0/Z2 (2.29)

Recordemos que la ecuación 2.13:

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; remplazando la ec.2.13 en la ec.2.29 se obtiene:

(2.30)

Para una sección x, se tiene, nuevamente, Z1 = ZX y Z2 = 1/YX, reemplazando las ecs. 2.14 y 2.15 en la ec.2.30, para un elemento de línea X:

eX = 1 + (ZY/Z) (X)2 + ZY X. 1 + (ZY/4)(X)2 (2.31)

Se trata de evaluar en términos de Z y Y. Esto se logra expandiendo los dos miembros de la ecuación anterior en series.

Se tiene que:

e = 1 + + 2/2! + 3/3! + ..... - (2.32)

Reemplazando la ec. 2.32 en la ec.2.31 se obtiene la ec. 2.33.

También se sabe que:

(2.34)

Se expande solo el segundo radical de la ec. 2.31.

(2.35)

22

Reemplazando la ec.35 en la ec.2.31 se tiene:

(2.36)

Igualando las ecs.2.33 y 2.36, se obtiene:

(2.37)

Luego de eliminar los unos a la izquierda y a la derecha de la ec.2.37, a la ecuación que queda se aplica a ambos términos el límite cuando x tiende a cero, obteniéndose:

= ZY (2.38)

= (R + jwL)(G + jwc) = + j (2.39) Explique nuevamente el por qué para hallar la función de propagación se hace nuevamente tender X a cero.

23

22

2.6 PARÁMETROS DISTRIBUIDOS PARA LAS LÍNEAS DE ALAMBRES PARALELOS Y LOS CABLES COAXIALESa.- Línea de alambres paralelos:

(2.40)

(2.41)

b.- Línea Coaxial:

= debido al

concatenamiento entre conductores + debido al concatenamiento dentro de los conductores (2.44)

(2.45) Ohmios/metros

(2.46)

Ohmios/metros (2.47)

Donde d = permitividad dieléctrica = k0

0 = 10-9/36 mksc = permeabilidad del conductor = (r)c0

d = permeabilidad del dieléctrico = (r)d0

0 = 4*10-7 mks = conductividad de los conductores

C A P Í T U L O III

r3

r2

r1

r

S

r

3. DISTRIBUCIÓN DE LOS CAMPOS ELÉCTRICOS Y MAGNÉTICOS EN LOS CABLES DE IDA Y RETORNO EN

UNA LÍNEA DE TRANSMISIÓN DEBIDOS A UNA FUENTE DE VOLTAJE APLICADA

3.1 INTRODUCCIÓN

En una línea de transmisión los campos eléctricos y magnéticos a lo largo de los cables de la línea de transmisión abierta producidos por VAB

se muestran en la fig. 3.1, donde se observa como los campos magnéticos cambian de sentido a lo largo de los cables con los cambios de sentido del campo eléctrico.

Fig. 3.1 Campos magnéticos en los cables A y B de una línea de transmisión generados por el campo eléctrico E producido por la fuente de voltaje VAB

3.2 ECUACIONES DE VOLTAJES Y CORRIENTES PARA UNA LINEA DE TRANSMISIÓN TERMINADA EN Z0

23

Se denomina Es, Is voltaje y corriente a la entrada de la línea. Ex, Ix voltaje y corriente a una distancia cualesquiera x del transmisor. Ir, Er, corriente y voltaje en la carga o extremo receptor.

Como la línea está terminada en su impedancia característica solo se produce una onda de voltaje y corriente, la incidente, por lo que haciendo uso de la ecuación2.17 o de la 2.22, pero observando que en este caso no es para un cuadripolo, ni para un elemento X, tampoco para n cuadripolos en cascadas sino para una distancia cualesquiera X a lo largo de la línea de transmisión, se obtienen las siguientes relaciones:

Fig. 3.2 Línea finita terminada en Zr = Z0

Is/Ix = ex (3.1) Es/Ex = ex

(3.2)

3.3 ECUACIONES DIFERENCIALES GENERALES PARA VOLTAJES Y CORRIENTES PARA UNA LÍNEA DE TRANSMISIÓN TERMINADA EN

ZR Z0.

En parámetros concentrados, las corrientes y voltajes de cada elemento son constantes.

En parámetros distribuidos, si aumentamos la longitud de la línea de transmisión, la impedancia serie (ZX) y la admitancia en derivación (YX) varían, o sea que las corrientes y voltajes también varían.

Zr

24

Cuando las corrientes y voltajes varían puntualmente a lo largo de la línea se trabaja con diferenciales de línea, generándose ecuaciones diferenciales.

Fig. 3.3 Derivación de ecuaciones de voltaje y corriente para Zr Zo

Trabajando sobre la sección X, como se muestra en la fig. 3.3, se tiene, que la impedancia depende del tamaño de la porción X, por lo que: ZX.

Aplicando la ley de voltaje de Kirchhoff a la sección X tenemos:

Ex – E (X + X) = ZX [I(X + X/2)]

= E(X + X) – Ex = - ZX [I(X+X/2)]

Dividiendo por X y tomando límites:

Lim X 0 [E(X + X) – EX]/X = -Z Lim X 0 [X. I(X + X/2)]/X

dEx/dX = - Z.I(X) = (3.3)

Sobre la misma sección aplicamos ley de corrientes de Kirchhoff se tiene:

Ix – [I(X+X)] = E(X + X/2). YX

Dividiendo y tomando limites.

Lim X 0 [E(X + X) – EX]/X = -Y Lim X 0 [X. E(X + X/2)]/X

25

dI(X)/dX = - Y.E(X) = (3.4)

El signo menos de las ecuaciones 3.1 y 3.2, indica que a medida que las ondas de voltaje y corriente avanzan hacia el receptor ellas disminuyen. Estas ecuaciones también indican que en cualesquier punto de una línea de transmisión, los voltajes y corrientes están interrelacionados.

Diferenciando la ec.3.3, y reemplazándola en la ec.3.4,

se obtiene:

(3.5)

Haciendo lo mismo con la ec.3.4, se obtiene:

(3.6)

Las ecs. 3.5 y 3.6, quedan así:

(3.7) y (3.8)

De las ecs. 3.7 y 3.8 se obtiene:

(3.9)

De donde,

(3.10)

Las ecs. 3.7 y 3.8, son ecuaciones espaciales diferenciales lineales con coeficientes constantes, y cuyas soluciones son:

(3.11)

(3.12)

Las ecs. 3.11 y 3.12, son las soluciones generales de las ondas de voltajes y corrientes para una línea de transmisión, puesto que Z r Z0.

26

Las Ai y Bi, son constantes pero con dimensiones de voltaje y corriente respectivamente.

Para determinar la relación que existe entre los A i y Bi, se deriva la ec.3.11 y se iguala con la ec.3.3 y luego se reemplaza en la ec.3.12, originando:

(3.13)

Otra forma de determinar las ecs. 3.11 y 3.13 es como sigue:

3.3.1 DETERMINACIÓN DE LAS ECUACIONES 3.11 Y 3.13

Considérese una línea de transmisión uniforme de dos hilos, fig. 3.3.1, en donde se toma una sección infinitesimal dx de la línea y donde se supone que en ella está presente una onda armónicamente variable. Sea V la tensión a través de la línea e I la corriente por los conductores. La caída de voltaje o tensión dV que se produce en la sección elemental dx es igual a la caída de tensión IZ por unidad de longitud multiplicada por la longitud dx del elemento, esto es:

I dV V

dx

Fig. 3.3.1 Línea de transmisión de dos conductores

dV = IZdx (3.3.1) (3.3.2)

La variación de la corriente dI entre los extremos de la sección dx es igual a la corriente en derivación por unidad de longitud VY que fluye a través de la línea multiplicada también por la longitud de la sección, esto es:

dI = VYdx (3.3.3) (3.3.4)

27

Diferenciando las ecs. 3.3.2 y 3.3.4 respecto de x se obtienen:

(3.3.5)

(3.3.6)

En una línea uniforme Z y Y son independientes de x, no varían a lo largo de la línea, por lo que los respectivos términos son nulos, quedando las ecs. 3.3.5 y 3.3.6:

(3.3.7) (3.3.8)

Las ecs. 3.3.7 y 3.3.8 son las ecuaciones diferenciales básicas de una línea de transmisión uniforme, esto es, ecuaciones diferenciales lineales, de segundo orden, con coeficientes constantes. Ellas no dicen nada específico acerca de la distribución de tensión y corriente en una línea de transmisión en particular. Para obtener esta información se hace necesario obtener en primer término una solución adecuada a las condiciones impuestas. Las ecs. 3.3.7 y 3.3.8 ya han sido solucionadas para el caso de las redes LC serie o paralela energizadas por un impulso o función delta de dirac, (t), de voltaje o corriente respectivamente, solo que esta es una ecuación espacial y no temporal, por lo que t se cambia por x en la solución ya conocida:

(3.3.9)

Por lo que:

(3.3.10)

Remplazando la ec. 3.3.10 en la ec. 3.3.7:

(3.3.11)

La ec. 3.3.11 solo se cumple sí el paréntesis es nulo:

(3.3.12)

La ec. 3.3.12, conocida como auxiliar o característica tiene dos raíces desiguales:

28

(3.3.13)

de modo que la solución general de la ec. 3.3.10 es:

(3.3.14)

Como era de esperarse puesto que la ecuación de segundo orden debe tener dos constantes, en este caso, C1 y C2.

Haciendo lo propio con la ec. 3.3.8, se obtiene:

(3.3.15)

Para evaluar las constantes se observa en la ec. 3.3.14 que cuando x = 0:

V = C1 + C2 (3.3.16)

Donde V es la tensión instantánea en el punto x = 0 de la línea. Se puede considerar esta tensión como la suma de dos tensiones que, en general, son de amplitudes diferentes y varían armónicamente con el tiempo. Sean V1 y V2 las amplitudes de estas tensiones. Las cantidades C 1 y C2 son constantes respecto de x pero pueden ser consideradas como variables respecto del tiempo. Se puede por tanto escribir:

(3.3.17) (3.3.18)

Por lo tanto la ec. 3.3.16 queda para x = 0:

(3.3.19)

Introduciendo las ecs. 3.3.17 y 3.3.18 en las ecs. 3.3.14 y 3.3.15 se obtiene:

(3.3.20)

29

(3.3.21)

Donde como se demostró en el apartado 2.5 la cantidad , se conoce con el nombre de constante de propagación, es en general un número complejo, con la parte real denominada constante de atenuación y la parte imaginaria llamada constante de fase. Introduciendo este valor en las ecs. 3.3.20 y 3.3.21 se obtiene:

(3.3.22)

(3.3.23)

La ec. 3.3.22 es la solución para la tensión en la línea de transmisión y consta de dos términos, el segundo que involucra el argumento , representa a una onda que avanza según el sentido positivo de x a lo largo de la línea. La magnitud de esta onda para x = 0 y t = 0 es V2 y el factor indica que esta onda decrece en magnitud a medida que avanza según el sentido positivo de x. El primer término que involucra el argumento representa una onda que avanza según el sentido negativo de x y la magnitud de ella para x = 0 y t = 0 es V1, y el factor

indica que la onda decrece en magnitud a medida que avanza según el sentido negativo de x. Los términos y se conocen como factores de atenuación, siendo la constante de atenuación y los términos son los factores de fase, siendo la constante de fase.

La ec. 3.3.23 para corriente tiene la misma interpretación que se acaba de analizar para voltaje en la ec. 3.3.22.

3.3.2 IMPEDANCIA CARACTERÍSTICA: Mirando sólo las ondas que avanzan en el sentido positivo de x para la tensión y la corriente, se obtiene de su relación:

30

(3.3.24)

Se observa de la ec. 3.3.24 que la impedancia característica depende de los parámetros de la línea de transmisión, por lo que si se termina en el extremo receptor la línea por este valor Z0 se obtiene adaptación a lo largo de ella y si para altas frecuencias donde R y G son despreciables se obtiene máxima transferencia de potencia además de la adaptación.

Analizando los otros términos de las ondas de tensión y corriente que avanzan en el sentido negativo de x se obtiene:

(3.3.25)

Se observa que el sentido negativo en la ec. 3.3.25 corresponde solo al significado que las ondas reflejadas de tensión y corriente tienen sentido opuesto a las incidentes y no a que la línea de transmisión no sea bidireccional.

Ejercicio: Explique por qué para determinar las ecuaciones de onda de voltaje y corriente en la línea de transmisión se tomaron elementos diferenciales de línea, esto es, de línea tendiendo a cero.

Note que para este apartado 3.3.1 la referencia es la misma que para el resto del documento, esto es, en el extremo transmisor x = 0 y en el extremo receptor x = l, como en la fig. 3.2.

3.4 ECUACIONES DE ONDAS DE VOLTAJES Y CORRIENTES EN UNA LÍNEA INFINITA

31

Fig. 3.4 Línea infinita terminada en Zr Z0

Si se considera que la línea es infinita: Para x=, se aplica la ec. 3.11,

, de donde se obtiene,

, independiente del valor finito de Er. Las ecuaciones de voltaje y corriente que se originan bajo estas circunstancias son iguales a:

(3.14) y, (3.15)

Para x = 0, E(x) = Es = A2; I(x) = Is = A2/Z0, obteniéndose las ecuaciones para la línea infinita:

(3.16) y (3.17)

Las ecs. 3.16 y 3.17 de voltaje y corriente de una línea infinita nos indican que ella se comporta como una línea finita adaptada o sea terminada en Zo, o sea que la fig. 3.4 de una línea infinita terminada en cualesquier impedancia de carga es equivalente a la línea finita terminada en Z0. Una línea se puede considerar infinita si:

L 2.3 neper (3.18) L 20 dB (3.19)

3.4.1 IMPEDANCIA DE ENTRADA DE LA LINEA INFINITA

Para cualquier carga, ya sea, Z0, Zr Z0, circuito abierto, corto circuito:

Zin = Es/Is

32

Para la línea infinita Is = Es/Z0 , de donde, Es/Is = Z0 = Zin

La impedancia de entrada para una línea infinita es igual a Z0. El resultado es igual para una línea finita pero si Zr = Z0.

Ejemplo 3.1: Calcular , Z0, , Vp, Er, Ir, para una línea de transmisión que tiene los siguientes datos:

R= 10.4 /milla; C= 0.0088 f/milla; L= 3.6 mH/milla;G= 3.4 mhos /milla.La línea se conecta a un generador de 600 de impedancia interna resistiva pura, con tensión de 2 voltios. La línea está terminada en Z0, f = 796Hz, la longitud de la es de 100 millas, como se muestra en la fig. 3.5.

Solución:

Z = R + jwL = 10.4 + J2.796 x 3.6 x 10-3

Z = 10.4 + j 5000 x 3.6 x 10-3 = 10.4 + j18 = 20.788 59.98°Y = G + jwc = 3.4 x 10-6 + j 5000 x 0.0088 x 10-6 = 3.4 x 10-6 + j 4.4 x 10-5

Fig. 3.5 Del ejemplo 3.1.

Y = 4.413 x 10-5 85.58°

Z0 = Z/Y = (20.788 59.98°)/(4.413 x 10-5 85.58°) = 471062.769 -25.6°Z0 = 686.34 -12.8° = 669.284 – j 152.057

= Z.Y = 20.788 59.98° x 4.413 x 10-5 85.58° = 9.173 x 10-4

145.56° = 0.030286 72.78° = 30.286 x 10-3 72.78°

33

= 8.965 x 10-3 + j0.028928 = 8.965 x 10-3 + j 28.928 x 10-3

= 8.965 x 10-3 [ neper/milla]

= 28.928 x 10-3 [ rad/milla] = 1.65 [grados/milla).

t = .l = 8.965 x 10-3 x 100 = 0.8965 [neper]

Equivale a una línea finita, puesto que, t 2.3 neper.

Pero se pueden aplicar las fórmulas de la línea infinita, ya que Zr = Z0.

t = .l = t = 1.65 x 100 = 1650

= 2/ = 2[rad]/28.928 x 10-3 rad/milla = 217.2 millas

Vp = W/B = (5000 rad/seg)/(28.928 x 10-3 rad/milla) = 172.842millas/seg

1 milla = 1.60934 Km.Vp = 278.163 Km./seg.= 92.72%C= casi el 93 por ciento de la velocidad de la luz.

Zin = Z0 = 686.34 -12.8° = 669.284 – j152.057

Is = (Eg)/(Zg+Zin) = (Eg)/ (Zg+Z0)

Is = (2)/(600 + 669.284 – j152.057) = (2)/(1269.284 – j152.057)Is = (2)/(1287.359 -6.83°) = 1.564 x 10-3 6.83° [amperios]Is = 1.564 x 10-3 6.83° [amperios]

Es = Is.Z0

Es = 1.564 x 10-3 6.83 x 683.34 -12.8°Es = 1.07343 -5.97 [voltios]Es = 1073.43 x 10-3 -5.97° [voltios]

Ex = Es e-X

Ix = (Es/Z0) e-X = Is e-X

Se aplican las ecuaciones de la línea infinita. En el receptor, se tiene x = l.

E(x) = E(l) = Er = Es e-X = Ese-l; I(x) = I(l) = Ir = Is e-X = Ise-l

e-L = e-L . e-jL = e-L Le-L = e-0.8965[neper] = 0.407995 = 407.995 x 10-3

34

-L = -165°e-L = 407.995 x 10-3 -165

Er = Es e-L = 1073.43 x 10-3 -5.97° x 407.995 x 10-3 -165°Er = 437.954 x 10-3 -170.97° [voltios]

Ir = Is e-L

Ir = 1.564 x 10-3 6.83° x 407.995 x 10-3 -165Ir = 6.381 x 10-4 -158.17° [amperios]

Otra forma:

Ir = Er/Zr = Er/Z0 = (437.954 x10-3 -170.97°)/(686.34 -12.8°)Ir = 6.381 x 10-4 -158.17° [amperios]POTENCIA.

Pr = ErIrcosr; donde, r = ángulo entre Er e Ir, originando: r = - 170.970 – (-158.170) = -12.8°

Pr=437.954x10-3 x 6.381x10-4 x cosr = 272.51 x 10-6 watt = 272,51 vatios. Se puede verificar con otras expresiones.

a. Pr = Ir2Rr = (6.381 x 10-4)2 x 669.284 = 272.51 watt

b. Pr = Ir2Zr cosr = (6.381 x 10-4)2 x 686 cos –12.8° = 272.51 watt

c. Pr = [Er2/Zr]cosr = [(437.954 x 10-3)2/686.340]cos–12.8° =272.51uwatt

d. Pr = [Er2/Rr]cos2r = [(437.754x10-3)2/669.284]cos2(-12.8°) = 272.51 watt

Pr (dBm) = 10 log(Pr/1mwatt) = 10 log (272.51 x 10-6watt/10-3watt)

Pr (dBm) = 10 log [0.27251mwatt/1mwatt] = -5.646dBm.

Ejemplo 3.2: Un cable telefónico de longitud 6 Km. tiene los siguientes parámetros: R=85 /km; C= 0.084 F/km; L = 0.78mH/km yG = 0.6 u.mhos /Km.

35

Une un transmisor de 600 de impedancia interna y un voltaje de 4 voltios, operando a una frecuencia de 15.5 KHz, como se muestra en la fig. 3.6.

Determinar: (a) el voltaje, (b) la corriente, (c) la potencia en el receptor,(d) la potencia a la entrada de la línea y (e) la atenuación, en dB a 2 Km. de la carga.

Fig. 3.6 Para el ejemplo 3.2

W = 2f = 2 x 15.5 x 103 = 97389.37 rad/seg

Z = R + jwL = 85 + j97389.37 x 0.78 x 10-3

= 85 + j75.963 = 113.997 41.78°Y = G + jwc = 0.6 x 10-6 + j97389.37 x 0.084 x 10-6

Y = 0.6 x 10-6 + j8.18 x 10-3 = 8.18 x 10-3 89.99°

Z0 = Z/Y = (113.997 41.78)/(8.18 x 10-3 89.99) = 118.051-24.1°Z0 = 107.76 – J48.203

= Z.Y = 113.99741.78 x 8.18 x 10-3 89.99= 965.658 x 10-3 65.88° = 0.3946 + j0.8813

= 0.3946 neper/Km. t = L = 0.3946 x 6t = 2.3676 neper

= 0.8813 rad/Km. t = L = 0.8813 x 6t = 5.2878 radianest = 302.96°

t = 2.3676 neper 2.3 neper. Se considera línea infinita, luego no importa la terminación Zr de la línea.

Zin = Z0

Zin = 118.051 -24.1°

36

Zin = 107.76 – j48.203

Para x = L, Er = Ex = Es e-L independiente de la carga Zr

Ir = Ix = Is e-L

Is = (Eg)/(Zg + Zin) = (Eg)/(Zg + Z0) = (4)/(600 + 107.76 – j48.203)Is = (4)/(707.76 – j48.203) =(4)/(709.399 -3.89) = 5.63 x 10-3 3.89°

Es = Is.Z0

Es = 5.63 x 10-3 3.89° x 118.051 -24.1°Es = 664.627 x 10-3 -20.21° [voltios]

e-L = e-L . e-jL

e-L = e-2.3676 = 0.093705e-JL = -L = -302.96°e-L = 93.705 x 10-3 -302.96°

Er = Es e-L = 664.627 x 10-3 -20.21° x 93.705 x 10-3 -302.96°Er = 62.278 x 10-3-323.17° [voltios]Ir = Is e-L = 5.63 x 10-3 3.89° x 93.705 x 10-3-302.96°Ir = 527.559 x 10-6 -299° [amperios]

Pr = ErIrcosrPr = 62.278 x 10-3 x 527.559 x 10-6 cos( –24.1°)Pr = 29.991 x 10-6 vatios

Ps = EsIscoss s = ángulo entre Es y IsPs = 664.627 x 10-3 x 5.63 x 10-3 cos( –24.1°)Ps = 3.415 x 10-3 vatios

Atenuación en dB a 2Km de la carga.

L = 6KmL1 = 6Km – 2Km = 4KmL1 = 0.3946 x 4 = 1.5784 [neper]

1 neper = 8.686dB1 milla = 1609.34 mts.

L1 = 13.709 (dB), atenuación a 4Km del transmisor.

37

Ejemplo 3.3 En una línea de transmisión de impedancia característica Zo = 696,85 -11.420 y de constante de propagación

, está terminada en su impedancia característica

y se han hecho las siguientes mediciones, voltios, en el extremo transmisor; voltios, en el extremo receptor; a una frecuencia f = 1 kHz. Hallar (a) la longitud de la línea, (b) la atenuación en dB a 20 millas desde la carga, (c) la fase en grados a 20 millas desde la carga, (d) la velocidad de propagación y (e) potencia en dBm a 45 millas desde la carga.

Solución.

a) Zo = 683,053 – j137,975. = 7,467*10-3 + j3,552*10-2

Es = 2,6886 –j0.2489. Er = - 1,2625 + j0.41729

De donde, = 7,467*10-3 (Neper/milla); = 3,552*10-2 (Rad/milla)=2,03514(grados/milla)

Como existe adaptación, Er = Ese-L, de donde,

, de

donde, eL = 2,700138/1,329696, originando que: L = 94,86 millas. Halle usted este mismo valor igualando las fases.b)La atenuación a 74,86 millas es:x= 7,467*10-

3(neper/milla)74,86millas=4,8535dBc)x = x = 2,03514(grados/milla)74,86millas = 152,28950

d)vp = w/ = 2(rad)1000Hz/3,552*10-2(rad/milla) = 284678,5815km/sg=94,89%Ce) La potencia a 45 millas desde la carga. P = /Ex//Ix/cosx, donde E(x) = Ese-x=

/Es/e-xe-jx-5,290=2,700138e-7,467*0.001(nep/milla)(49,86millas)-106,7070=1,86-106,70

696,85 -11.420

Is= Es/Zo = 3,874*10-36,130, de donde, Ix = Ise-x = 5,621*10-3-95,370.

38

Para determinar la potencia:

Ejemplo 3.4: Una línea de transmisión que une a un transmisor con un receptor presenta las siguientes características: R = 4,5 /milla; C = 0.0092 F/milla; L = 3,44 mH/milla; G = 1 /milla. La longitud de la línea es 50 millas, la impedancia del transmisor es Zg = 600 y genera un voltaje en circuito abierto de 10 voltios, Zr = Zo de la línea. Si la frecuencia de operación es 796 Hz halle Zo, , , Vp, Ps y Pr ambos en dBm, diferencia de fase en un trayecto de 10 millas y la atenuación que experimenta la señal a 25 millas.

Solución: Z = R + jwL = 17,77875,3380. Y = G + jwC = 4,601*10-

588,7540.

,de

donde, y

y

39

Ps=/Es//Is/coss, donde, Es = IsZo = VgZo/(Zin + Zg) = 5,096-3,2950, e

Is = 8,199*10-33,4130Amp. De donde, Ps = 41,493 mw

Para determinar a Pr = /Er//Ir/cosr, se tiene que:

La atenuación a 25 millas es

La diferencia de fase a 10 millas es

40

22

C A P Í T U L O IV

4. ONDAS PLANAS EN LOS MEDIOS DIELÉCTRICOS

4.1 INTRODUCCIÓN: La interdependencia entre los campos eléctricos y magnéticos queda demostrada por la propagación de las ondas electromagnéticas por el espacio.

Para el estudio de las ondas electromagnéticas a partir del caso más sencillo, o sea, el de una onda plana linealmente polarizada en un medio dieléctrico o conductor sin pérdidas, también denominadas onda principal, de orden cero, o TEM (transverso-electro-magnética) porque E y H resultan ambos perpendiculares la dirección de propagación como ha sido establecido. El estudio de las ondas planas constituye una excelente introducción al de los fenómenos ondulatorios en general y en particular, al de los sistemas tales como las guías de onda, las líneas de transmisión y las fibras ópticas.

De las ecuaciones de Maxwell aplicadas a las ondas planas en el espacio libre, se puede aplicar el resultado obtenido a los medios anteriormente planteados e isotópicos, es decir, cuyas propiedades no dependen de la dirección ni del sentido.

Las ecuaciones de onda para los campos eléctricos y magnéticos son:

( 4.1) (4.2)

De donde:

(4.3)

La solución de las ecuaciones de onda para el campo eléctrico, la cual es diferencial parcial lineal de segundo orden puede ser:

(4.4)

Al sustituir esta solución en la ecuación de onda del campo eléctrico se obtiene:

, donde v es la velocidad. Una solución general de la ecuación de onda es:

(4.5)

Se muestra el significado de la ecuación 4.5 evaluándola como función de x para varios valores del tiempo, esto es, el tiempo t actúa como parámetro, en la fig. 4.1 se dibuja el primer término de la ecuación 4.5 de la solución completa.

Observando lo que ocurre con la cresta de una de las ondas, como la del punto P, se observa que a medida que transcurre el tiempo el punto P se desplaza hacia la izquierda.

Haciendo lo mismo para el segundo término de la ec. 4.5, se obtiene la gráfica de la fig.4.2, donde el punto P de fase constante se desplaza en este caso hacia la derecha. Se dice punto de fase constante porque siempre la magnitud de la expresión es la misma, al transcurrir el tiempo con respecto a x.

Fig. 4.1 Un punto de fase constante P, se desplaza hacia la izquierda con velocidad v a medida que transcurre el tiempo.

El punto P de fase constante está caracterizado por la condición: x + vt = constante

Haciendo la derivada con respecto al tiempo se obtiene: , donde

esta expresión es la velocidad de variación de la distancia con el tiempo,

42

esto es, la velocidad del punto de fase constante y se denomina velocidad de fase. El signo negativo indica que los puntos de fase constante y por lo tanto la onda avanzan en el sentido del eje x negativo. Lo mismo se hace con el otro término obteniéndose v positiva, pero con similar interpretación. En general los signos se asocian a ondas que se desplazan en sentidos opuestos, o sea, ondas incidentes y reflejadas, y donde el estado instantáneo representado por la solución completa está dado por la suma de estas ondas.

Fig. 4.2 Un punto de fase constante P avanza hacia la derecha, con velocidad v, al transcurrir el tiempo.

4.2 VELOCIDAD DE GRUPO

Considérese una onda plana que se propaga según el sentido positivo del eje x, en un sistema de coordenadas ( x,y,z ), en donde la intensidad de campo eléctrico total o voltaje espacial total es dado por:

E(y) = EoCos(wt - x) (4.6)

Supóngase ahora que la onda contiene no una sino dos frecuencias, wo

+ w y wo - w, de igual amplitud ambas, donde los valores de correspondientes a estas frecuencias son evidentemente:

o + y o -

Para la frecuencia 1: E’(y) = EoCos(wo + w)t – (o + )x (4.7)

43

Y para la frecuencia 2: E’’(y) = EoCos(wo - w)t – (o - )x (4.8)

Sumando las ecs. 4.7 y 4.8, se obtiene el campo total:E(y)=E’(y) + E’’(y) = EoCos(wo+w)t – (o+)x+ EoCos(wo - w)t – (o -

)x

= 2Eocos(wot - ox)cos(wt - x) (4.9)

Los dos factores coseno en la ec. 4.9, indican la presencia de batimientos, es decir, la de una variación lenta superpuesta a una rápida.

Para un punto de fase constante, se iguala a una constante el argumento de la primera función coseno en la ec. 4.9.

k1 = w0t - 0x = constante (4.10)

De la ec. 4.10 se obtiene:

(4.11)

donde v es la velocidad de fase. Igualando a una constante el argumento de la segunda función coseno de la ec. 4.9:

( 4.12)

Se obtiene: (4.13)

donde es la velocidad de fase de la envolvente de la onda, la cual se denomina de ordinario velocidad de grupo. En este desarrollo se ha obtenido una modulación de amplitud, con portadora suprimida.

En un medio no dispersivo la velocidad de grupo es igual a la velocidad de fase. El espacio libre es un ejemplo de medio sin pérdidas, no dispersivo, en donde, = v = c. En cambio v y difieren en los medios dispersivos.

44

Se llama medio dispersivo a todo medio en el que la velocidad de fase es función de la frecuencia y por lo tanto de la longitud de onda en el espacio libre. Los medios dispersivos son de dos tipos:

1. Dispersivos normales. En estos medios la variación de la velocidad de

fase con la longitud de onda es positiva, es decir, 0. Para estos

medios es v.2. Dispersivos anómalos. En estos medios la variación de la velocidad

de fase con la longitud de onda es negativa, dv/d 0. Para estos medios v.

Los conductores son ejemplos de medios dispersivos anómalos. No obstante, los conductores son absorsivos, tienen pérdidas, y en los medios donde la absorción no es pequeña, la velocidad de grupo pierde su simple significado.

Los términos normal y anómalo son arbitrarios, siendo el significado simplemente que ellos son diferentes.

Para una frecuencia en particular, banda infinitesimalmente estrecha:

(4.14)

en donde, w = v.

Estas expresiones son útiles para calcular la velocidad de grupo dada la función de velocidad de fase.

Una onda plana de 1 MHz, longitud de onda 300 metros, se propaga en un medio normalmente dispersivo y sin pérdidas, con una velocidad de fase de 3*108 m/sg. La velocidad de fase como función de la frecuencia está dada por , donde k es una constante. Hallar la velocidad de grupo.

De la ec. 4.14 que corresponde a la expresión de la velocidad de grupo se obtiene:

45

Para ilustrar gráficamente la diferencia que hay entre la velocidad de fase y la velocidad de grupo, considérese una onda que tiene la misma función de velocidad de fase como la de la ec. 4.9 del caso visto anteriormente y se supone, además, que la onda tiene dos frecuencias f0

+ f y f0 - f de igual amplitud, con f0 = 106 Hz y f = 105 Hz. Esta onda es la que se obtiene en un modulador balanceado de amplitud. La expresión de la ec. 4.9, E(y) = 2Eocos(wot - ox)cos(wt - x), se puede representar gráficamente y ella corresponde a la magnitud instantánea de E(y) como una función de la distancia, en metros, para los instantes t = 0, t = T/4, t = 2T/4, como se muestra en la fig.4.3, en donde un punto, P, es un punto de fase constante de la onda propiamente dicha y se mueve con la velocidad de fase v. El punto p’ es un punto de fase constante de la envolvente de la onda y avanza con la velocidad de grupo u. Es evidente que en un semiperíodo, T/2, el punto P’ ha avanzado la distancia d’ que es precisamente la mitad de la distancia d recorrida por el punto P. La velocidad de grupo u es por lo tanto la mitad de la velocidad de fase v. La información transportada por la modulación se mueve con la velocidad de la envolvente, esto es, con la velocidad de grupo. En los medios libres de pérdidas la energía es también transportada por la velocidad de grupo.

La diferencia entre la velocidad de fase y la velocidad de grupo está también ilustrada por la locomoción de una oruga. Las ondulaciones de su cuerpo avanzan con la velocidad de fase, pero su cuerpo en conjunto avanza con la velocidad de grupo.

En una onda de una sola frecuencia y amplitud constante, estado estacionario, no se patentiza la velocidad de grupo. En cambio, si la onda consiste de dos o más frecuencias o grupo de frecuencias, como una onda modulada, puede observarse la velocidad de grupo porque la amplitud de la onda no es uniforme y las ondas individuales parecen formar grupos que pueden ser encerrados por una envolvente, como en la fig. 4.3.

Otra gráfica que ilustra también lo anterior es la de la fig. 4.4, donde se observa como la envolvente se desplaza para los tiempos t1 y t2.

En conclusión si se tienen al menos dos ondas de diferentes frecuencias, conformando un espectro de frecuencias:

1) Si tienen diferente velocidad de fase, Vp, la envolvente tendrá una velocidad de propagación diferente de cualesquiera de las dos.

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2) Si tienen igual velocidad de fase, la envolvente tendrá la misma velocidad de fase de las de ellas.

En general, la velocidad de la envolvente la llamamos velocidad de grupo, vg= dw/d.

Cuando = kw, o sea que la constante de fase es linealmente proporcional a w, la velocidad de fase, vp = w/ = 1/k independiente de la frecuencia. Como la información la compone un espectro de frecuencias debido a lo anterior cada una de las componentes de frecuencia de dicho espectro viaja con la misma velocidad por el medio de transmisión, por lo que cada una de ellas se atrasa el mismo tiempo en llegar al extremo receptor o destino, y al tener todas la misma velocidad de fase, la información que viaja con la velocidad de la

Fig. 4.3 El punto de fase constante P de la onda propiamente dicha se mueve con la velocidad de fase v, mientras que el punto P’ de la envolvente avanza con la velocidad de grupo u. Para esta ilustración o ejemplo u = v/2.

47

Fig. 4.4 Dos ondas de diferentes frecuencias y diferentes velocidades de fase y su suma como función del espacio en dos instantes t1 y t2. La línea de trazo continuo representa la onda 1, la de trazo corto la onda 2 y la de guiones la suma de ambas.

48

22

C A P Í T U L O V

5.0 DISTORSION EN LA LINEA DE TRANSMISIÓN DE INFORMACIÓN

5.1 INTRODUCCIÓN: Transmitir una onda sin distorsión es hacer que, la forma de onda llegue al receptor, idéntica a la que salió del transmisor. No importa que llegue atenuada o amplificada.

Para que esto suceda necesitamos que y VP sean independientes de la frecuencia, puesto que la información está formada por un espectro de frecuencias y no por una sola componente de frecuencia por lo que todas las amplitudes de las diferentes componentes de frecuencias tienen que ser atenuadas en la misma proporción para que no exista distorsión de amplitud, mientras que para VP, se observa de la ec. 2.7, que si ella no es independiente de la frecuencia cada una de las componentes de frecuencia viajaría con diferente velocidad, originando que en el receptor ellas no mantengan sus posiciones relativas que tienen en el en el extremo transmisor, produciéndose distorsión de fase o retardo.

Esta condición impuesta a Vg exige también que varíe linealmente con la frecuencia como se observa en la ec. 2.7, por lo anterior se necesita que la respuesta de amplitud del medio de transmisión sea constante en el rango de interés y que la fase sea lineal con la frecuencia en el mismo rango de interés, como se estableció en el apartado 4.2.

Veamos si la línea de transmisión satisface los requisitos para la transmisión sin distorsión del espectro aleatorio que conforma a la información. De la ec. 2.40:

= + j = Z.Y = (R + jwL)(G + jwc) ( 5.1)

Elevando al cuadrado la ec. 5.1 se obtiene:

( + j)2 = (R + jwL)(G + jwc) (5.2)

Desarrollando la ec. 5.2 e igualando las partes reales e imaginarias entre sí, se obtienen las ecuaciones:

2 - 2 = RG – w2LC (5.3) 2 = w(RC + LG) (5.4)

De la ec.5.3, se tiene: 2 = [w2 (RC + LG)]/42 (5.5)Se reemplaza la ec. 5.5 en la ec. 5.4 originándose:

4 - 2 (w2LC – RG) – (w2/4)(RC + LG)2 = 0 (5.6)

La solución de la ecuación cuadrática 5.6 origina:

(5.7)

(5.8)

Se deduce que en general varía con la frecuencia e introduce distorsión de atenuación o de amplitud. no varía linealmente con la frecuencia, por tanto introduce distorsión de fase o de retardo.

En general una línea de transmisión presenta distorsión de frecuencia que corresponde a la de amplitud y de fase. Distorsión Lineal.

5.2 LINEA SIN DISTORSION.

Existen ciertas condiciones, que pueden hacer que exista una línea sin distorsión:a. Si en la ecuación 5.8 se hace R = G = 0, entonces, = 0, se elimina

la distorsión de amplitud.

b. Si, R = G = 0, en la ecuación 5.7, = wLC , origina que varíe linealmente con la frecuencia, por lo que no hay distorsión de fase.

Para los casos a y b se dice que no existe distorsión de frecuencia en la línea.

c. Si, R = G = 0, origina también que, Z0 = L/C

En general como Z0 es función de la frecuencia por ser compleja, produce reflexión, ya que la impedancia de carga Zr se coloca resistiva pura diferente a Z0 y esta reflexión es otra forma de distorsión.

50

Es imposible cumplir con R = G = 0 ya que toda línea física tiene su resistencia.La otra posibilidad es: si el radical interior de la ec. 5.7, se hace igual a w2LC; se conseguiría independiente de la frecuencia.

(RG – w2Lc)2 + w2(LG + RC)2 = K + w2LC (5.9)

K = Constante por evaluar. Elevando al cuadrado la ec. 5.9 se obtiene:

(RG – w2LC)2 + w2(LG + RC)2 = (K + w2LC)2 (5.10)

Resolviendo la ec. 5.10 e igualando coeficientes de w2, se tiene:

(RG)2 + w2[(LG)2 + (RC)2] = K2 + 2Kw2LC

(RG)2 = K2, de donde, K = RG

(LG)2 + (RC)2 = 2KLC, reemplazando K

(LG)2 + (RC)2 – 2RGLC = 0

(LG)2 –2 RLGC + (RC)2 = 0, esta expresión es un binomio al cuadrado, originando:

(LG – RC)2 = 0

LG = RC, de donde se obtiene:

L/C = R/G (5.11)

La ec. 5.11, es la condición de Heaviside para la línea de transmisión sin distorsión de amplitud y fase, o sea, sin distorsión de frecuencia.

Remplazando la ec. 5.11 en las ecs. 5.7 y 5.8 se obtiene:

= (RG+K)/2 = (RG+RG)/2 = RG = RC/L (5.12)

La ec. 5.12, muestra a independiente de la frecuencia por lo que no existe

distorsión de amplitud.

= [w2LC – RG + RG + w2LC]/2 = (2w2LC)/2 = wLC

= wLC = wLG/R (5.13)

51

La ec.5.13, muestra que varía linealmente con la frecuencia con lo que no existe

distorsión de fase.

Z0 = Z/Y = (R+jwL)/(G+jwc) = R/G = L/C (5.14)

La velocidad de fase o propagación: Vp = w/ = w/(wLC) = 1/(LC)

La velocidad de grupo: w = /(LC), de donde, dw = [1/(LC)]d,

Obteniéndose: Vg = dw/d

Vg = dw/d = 1/(LC) (5.15)

De donde: Vg = Vp (5.16)

Se deduce que cuando se satisface la condición de Heaviside, Vp, Vg, Z0 y son todos independientes de la frecuencia.

Cuando la línea de transmisión que cumple con la condición de Heaviside, está terminada en su impedancia característica, resistiva pura como en este caso, y alimentada por un regenerador cuya impedancia interna es resistiva pura e igual a la impedancia característica, no hay distorsión lineal o de frecuencia, y además se obtiene máxima transferencia de potencia en la entrada de la línea y en la impedancia de terminación para todo el espectro de potencia.

Otra forma bien simple de llegar a la condición de Heaviside es partiendo de la ec. 2.40:

Para que la ec. 5.17 sea válida se necesita que los términos imaginarios dentro del radical factorizado sean iguales, esto es:

(5.18)

52

De la ec. 5.13 se obtiene: (5.19)

La ec. 5.19 es la ec. 5.11. Aplicándole a los dos últimos términos de la ec. 5.17 la condición de Heaviside se obtiene:

(5.20)

De donde: y

5.3 CABLE TELEFÓNICO

Los cables telefónicos tienen una amplia aplicación en el campo de las telecomunicaciones.

Este tipo de cable que tiene conformación por pares con aislador de papel, la inductancia L y la conductancia G son muy pequeñas, de modo que dentro de la gama de frecuencias utilizadas en telefonía, se tiene.

wL R y G wC

De donde, Z R y Y jwC

= ZY = jwRC = wRC 90° = wRC 45°

= + = wRC (cos 45° + jsen 45°) = wRC . 2/2 + jwRC . 2/2

= = wRC/2, de donde se observa que, , depende de la frecuencia, por lo que origina distorsión de amplitud o atenuación. , no varía linealmente con la frecuencia, originando distorsión de fase o retardo.

Vp = w/ = w/(wRC/2) = 2w/RC

= wRc/2 = RC/2. (w)1/2, de donde, dB = 1/2RC/2 . w-1/2dw

d = RC/8w dw, obteniéndose, dB/dw = RC/8w

dw/dB = 8w/RC = dw/dB = 22w/RC = Vg

Vp = Vg/2 = w/ = 2w/RC (5.21)

53

La ec. 5.21, indica que una componente de frecuencia de las tantas que componen el espectro de frecuencias de la información tiene mayor velocidad de fase en la medida en que su frecuencia sea mayor, por lo que se propagan más rápidamente y son más atenuadas que las bajas. De esta manera, dicha componente llega más rápidamente a su destino que las de menor frecuencia, y menos rápidamente que las de mayor frecuencias, por lo que se origina una distorsión de fase o distorsión de retardo.

Z0 =Z/Y = R/jwc = = R/wC -45°,de donde, Z0

= R/wC

= wRC/2 = wC/R . R2/2 = 1/Z0. R/2 = 0.707 . R/Z0

De todo lo anterior se deduce que:

depende de la frecuencia, presenta distorsión de amplitud o atenuación, a mayor frecuencia mayor .

no varía linealmente con la frecuencia, presenta distorsión de fase o retardo.La impedancia característica Z0, depende de la frecuencia y tiene un ángulo de-450

5.4 PUPINIZAR O CARGAR UN CABLE

Pupinizar o cargar un cable, corresponde a hacer que la condición de Heaviside se satisfaga para que no exista distorsión de frecuencia, la cual es conformada por la distorsión de amplitud y de fase, también conocida como distorsión lineal.

Tomemos los parámetros de un cable con aislamiento de papel, los cuales están dados en la tabla correspondiente:

Cable calibre 19: R = 85.5 /milla; L = 1 mH/milla; C = 0.062 F/milla; G = 1.5 /milla = 1.5mhos/milla

Se observa si se cumple la condición de Heaviside: RC = LG

RC = 85.8 x 0.062 x 10-6 LG = 1 x 10-3 x 1.5 x 10-6

5.3196 x 10-6 1.5 x 10-9

54

RC LG (5.22)Se observa que dicha condición no se cumple, por lo que de la desigualdad de la ec. 5.22, se puede analizar que debe hacerse:

1. Reducir R : Conductor de mayor diámetro, puesto que,

2. Disminuir C: Aumentar distancia entre los conductores implica que exista potencia radiada, puesto que, d0.1. En este caso aumenta el ancho de banda del cable, aumentando la capacidad de transportar información.

3. Aumentar G: Rebajar la calidad de los aislantes que produce aumento de las pérdidas.

4. Aumentar L: Aumenta Z0, reduce , ofrece la mejor alternativa.

Aumentar L en un cable telefónico para reducir la atenuación y la distorsión se conoce con el nombre de cargar o pupinizar el cable. Pupinizar, puesto que fue este señor quién implementó la condición de Heaviside, o sea cable libre de distorsión de frecuencia o de distorsión lineal.

5.5 SISTEMAS DE PUPINIZACIÓN

1. Pupinización a media sección:

La porción de línea entre el transmisor y la primera bobina de pupinización corresponde al medio paso de pupinización; se dice que la línea está terminada en media sección.

Una sección de pupinización es el tramo de línea entre dos bobinas consecutivas de pupinización, o sea un paso de pupinización.

Fig. 5.1 Pupinización a media sección

55

En algunos casos la distancia no coincide con d/2 entonces se utilizan “complementos de línea”, que son cuadripolos de parámetros concentrados.

2. Pupinización a media bobina:Para obviar el problema de la distancia, es posible terminar la línea en cada uno de los extremos con una bobina, cuyo valor es la mitad de las otras bobinas.

Fig. 5.2 Pupinización a media bobina

Donde la inductancia, Lo, es la de las bobinas de pupinización.

Una línea pupinizada tiene un comportamiento similar a un filtro pasa bajas, donde la atenuación aumenta con la frecuencia.

Existe una frecuencia de corte, que debe ser mayor que la frecuencia superior del espectro de la señal de información a transmitir.Esta frecuencia de corte viene dada por:

fc = 1/d.C.Lo = [(R+Ro/d)/2].[(C.d)/Lo]

La Vp viene dada por:

Vp = .d.fc

La Zo es igual: Zo = Lo/(C.d)d = Paso de pupinización en Km.C = Capacitancia distribuida en Faradios/Km.Lo = Valor de la inductancia de la bobina de pupinización en Henrios.L = Valor de la inductancia distribuida en Henrios/km.Se puede apreciar que al aumentar la inductancia de una línea de transmisión,disminuye la frecuencia de corte, la velocidad de propagación, aumenta la impedancia característica, disminuye la atenuación .Como es de esperarse, con la pupinización la línea de transmisión ya no se puede considerar 100% un sistema de parámetros distribuidos.

56

Otro beneficio de cargar una línea, además de hacer que se cumpla la condición de Heaviside, lo cual implica un sistema sin distorsión de frecuencia, es el de disminuir la atenuación, pero esta situación está remediada con la técnica de los repetidores telefónicos, o sea que el objetivo de pupinizar es solo para evitar la distorsión lineal.En el momento el sistema más usado es enrollar el conductor con cinta magnética.En la práctica, verdaderamente una línea sin distorsión no se obtiene al pupinizar, porque R y L son en alguna forma funciones de la frecuencia. Además las pérdidas por corrientes de remolino en los inductores de carga agravan esta situación.

57

22

C A P Í T U L O VI

6. ECUACIONES DE VOLTAJE Y CORRIENTE EN GENERAL PARA UNA LÍNEA TERMINADA EN Zr Z0. REFLEXIÓN.

6.1 INTRODUCCIÓN: Sí la línea de transmisión está terminada en cualesquier impedancia diferente de Zo, aparece el fenómeno de interferencia y por tanto el de onda estacionaria, debido a la interferencia de las ondas incidentes y reflejadas, las cuales en algunos puntos se anulan y en otros se refuerzan.

Para determinar este fenómeno se procede en principio así:

Sí, Zr Z0, y Zg Z0; se pueden hacer las siguientes igualdades: Zr = Z0

+ Zr’, de donde:

Zr’ = Zr – Z0 (6.1)

Sí Zg = Z0 + Zg’, de donde:Zg’ = Zg – Z0 (6.2)

Las cuales son igualdades en la carga y el generador respectivamente.

En general se tiene el arreglo de la fig.3.2, pero con la impedancia de terminación igual Zr Z0, o las figuras 3.3 o 3.4, a las cuales aplicándoles en el extremo transmisor y en el extremo receptor las igualdades de las ecs. 6.1 y 6.2, se obtiene respectivamente, el arreglo de la fig. 6.1, y de aquí, aplicando los teoremas de sustitución y superposición, puesto que la línea de transmisión corresponde a una red lineal y pasiva, se obtiene la fig. 6.2, en donde los factoresde desadaptación quedan representados por las fuentes de voltaje dependientes Ea y Eb. Con el proceso anterior se ha logrado adaptar la línea para así solo usar las ecuaciones de ondas de voltaje y corriente de una línea adaptada, esto es, solo términos incidentes.

Hasta ahora, se ha trabajado con la variable “x”, haciendo referencia en el extremo transmisor, pero a partir de aquí, se agrega la variable “y”, con referencia al extremo receptor:

x + y = L (6.3) x = L – y (6.4) y = L – x (6.5)Por lo anterior las corrientes o voltajes en cualesquier puntos “x” o “y” de la línea, se pueden expresar como: I(x), I(y), E(x), E(y).

6.2 COEFICIENTES DE VOLTAJE Y CORRIENTE EN UNA LÍNEA DESADAPTADA EN EL EXTREMO TRANSMISOR Y EN EL EXTREMO RECEPTOR.

En general se tiene, para las corrientes:

(6.6) (6.7) Donde:

Is’ = Corriente en el extremo transmisor debida a Eg y Ea: Onda Incidente.

Is’’ = Corriente en el extremo transmisor debida a Eb: Onda Reflejada.

Ir’ = Corriente en el extremo receptor debida a Eg y Ea: Onda Incidente.

Ir’’ = Corriente en el extremo receptor debida a Eb: Onda Reflejada.

X=0 X=L X y

Fig. 6.1 Línea de transmisión desadaptada

x y x=0(y=l) x=l(y=0)

Is L Ir

+ I(x); I(y) Z0 + Z0

Z’g

Es E(x); E(y) + Z’r

Eg Y=L Y=0- - -

Z0 Is

+ + Ea Es

+Eg

- -

L

I(x); I(y) +E(x); E(y)

-

Ir

- + Eb

+ Er

Z0

-

59

Fig. 6.2 Circuito equivalente de la red de la fig. 6.1, aplicando sustitución.

Para determinar los términos de las ecs. 6.6 y 6.7, se aplica el teorema de superposición, en el arreglo de la fig. 6.2, obteniéndose:

(6.8)

(6.9)

(6.10)

(6.11)

De la ec. 6.10, se obtiene la relación de corrientes:

De la ec. 6.12, se tiene que ella corresponde al coeficiente de reflexión de corriente en la carga:

(6.13)

De la ec. 6.13, si: (a) Zr = Z0; I”r = 0, no existe reflexión. (b) Zr = , Ir” = -Ir’;

(c) Zr = 0, Ir” = Ir’, por lo que se tiene:

-1 IC 1 (6.14)

Mientras que la magnitud del coeficiente de reflexión es:

(6.14)En general se tiene para los voltajes:

(6.15) (6.16)

60

Es’ = Voltaje en el extremo transmisor debida a Eg y Ea: Onda Incidente.

Es’’ = Voltaje en el extremo transmisor debida a Eb: Onda Reflejada.

Er’ = Voltaje en el extremo receptor debida a Eg y Ea: Onda Incidente.

Er’’ = Voltaje en el extremo receptor debida a Eb: Onda Reflejada.

Para cualesquier punto a lo largo de la línea de transmisión se cumple:

(6.17)

De la ec. 6.17 se tiene:

(6.18)

La ec. 6.18 corresponde al coeficiente de reflexión de voltaje en la carga, y es igual a menos el coeficiente de corriente en la carga.

Ejemplo 6.1: Demostrar las igualdades en la ec. 6.17

Solución: De la fig. 6.2 se observa que Is’ y Es

’ se originan a la entrada de la línea cuando actúa Eg y Ea, y se anula Eb, por lo que la carga Zo se itera a la entrada de la línea obteniéndose por una simple relación voltio-amperio que Zo = Es

’/Is’ con lo que queda demostrada la primera igualdad de la ec. 6.17.

La ec. 6.9 es la corriente en la carga para esta misma condición, por lo que el voltaje en la carga es: Er

’ = ZoIr’ por lo que de esta expresión se obtiene: Er

’/Ir’= Z0

Quedando demostrado la segunda igualdad de la ec. 6.17.

Is’’ y Es’’ se originan en el extremo transmisor, mientras en el extremo

receptor se originan Ir’’ y Er

’’ cuando actúa Eb y se anulan Eg y Ea. Z0 se itera en los terminales de salida de la línea, por lo que haciendo una malla en esos terminales se obtiene:

61

Er’’ + Z0Ir’’ = 0 de donde se determina:

Er’’/Ir’’ = - Z0

En el extremo transmisor la corriente Is’’ produce una caída en Z0 con

una polaridad contraria a la Es’’ por lo que haciendo una malla en ese

terminal se tiene:

Z0Is’’ + Es’’ = 0 de donde se obtiene: Es

’’/Is’’ = - Z0. Con lo que se completa la demostración de las igualdades de la ec. 6.17.

Ejercicio 6.1: Hallar las expresiones de los coeficientes de voltaje y corriente en el extremo transmisor.

Ejercicio 6.2: Determine la variación del coeficiente reflexión de voltaje en la carga para cuando: Zr = Z0; Zr = ; Zr = 0 y Zr = jXr.

Ejemplo 6.2: Una línea de transmisión presenta los siguientes datos: L = 100 millas, Zg = 600, Zo = 558,79-0,0750, = 0,003718 neper/milla, Eg = 5 voltios, = 2,78279 radianes/milla, Zr = 500-450. Determinar Er, Ir y Pr.

Solución: Como Zr Zo, corresponde a una línea desacoplada, hay que calcular l, para determinar si se comporta como una línea infinita: l = 0,3718 2,3 neper o menor a 20 dB. Se tiene que la línea es finita y además está desacoplada.

Se asume que:

Obteniéndose:

;

62

De la ec. 6.17, se obtiene, de donde se obtiene,

Usando las otras igualdades de la ec. 6.17, y despejando, se obtiene:

; ;

Los voltajes resultantes en los extremos transmisor y receptor de la línea, debido al voltaje asumido son:

y Las corrientes resultantes en los extremos transmisor y receptor de la línea, también debido al voltaje asumido son:

.

Esta impedancia corresponde al valor verdadero de ella a pesar de obtenerse de un valor asumido de voltaje, puesto que es la relación de dos valores normalizados.

El voltaje y la corriente verdaderas en el extremo transmisor de la línea:

voltios. ;

Con el valor de escala “k”, se obtienen los valores verdaderos:

63

En el extremo transmisor:

En el extremo receptor:

Para la potencia en el extremo receptor:

64

22

C A P Í T U L O VII

7. LÍNEAS DE TRANSMISIÓN EN ALTAS FRECUENCIAS

7.1 INTRODUCCIÓN: Cuando el espectro de información que se transmite a lo largo de la línea de transmisión está en altas frecuencias, VHF y UHF, el cable telefónico presenta altas pérdidas, por lo que se recurre a las líneas abiertas de cables paralelos, cables coaxiales, y otros tipos de cables como se estableció en el capítulo primero.

Para el rango de VHF en adelante, con cualquier longitud física de la línea, la atenuación total, , tiene un valor muy pequeño, mientras que, , la longitud eléctrica, que corresponde al número de longitudes de ondas, puede ser muy grande, debido a que al ser muy pequeña es demasiado grande ( = 2/).

Sí, es despreciable, se tiene la línea sin pérdidas y sin distorsión lineal o de frecuencia, ya estudiada en la condición de Heaviside. Sí, es pequeña, se tiene la línea de bajas pérdidas.

Para la línea sin pérdidas, la máxima energía almacenada por unidad de longitud en la inductancia de la línea al pasar la onda es:

(7.1)

Y la máxima energía almacenada por unidad de longitud en la capacitancia de la línea al pasar la onda es:

(7.2)

Para una línea sin pérdidas:

(7.3)

Elevando al cuadrado la ec.7.3, y despejando se obtiene: (7.4)

En general para máxima transferencia de potencia en las líneas de transmisión, se debe cumplir:

(7.5)Para el caso donde la línea sea sin pérdidas, la potencia en el extremo transmisor es igual a la potencia en el extremo receptor y resulta máxima para cuando son resistivas puras.

Para el caso en que la atenuación total es despreciable, la energía de la onda se divide exactamente en dos mitades, en los campos magnéticos y eléctricos.

Ejercicio 7.1: Explique a que se debe este enunciado. Sugerencia aplique la condición de Heaviside.

Ejercicio 7.2: Explique, el por qué la ec.7.4, resulta independiente de la frecuencia o del espectro de frecuencias a lo largo de la línea de transmisión.

Ejercicio 7.3: Diga la razón por qué las impedancia del transmisor y receptor cuando son complejas e iguales no se pueden hacer iguales al conjugado de la impedancia característica para obtener máxima transferencia de potencia.

7.2 ECUACIONES DE VOLTAJE Y CORRIENTE PARA LA LÍNEA SIN PÉRDIDAS TERMINADA EN Zr E0

Partiendo de las ecs. 3.11 y 3.13 de voltaje y corriente, ya demostradas en el capítulo tres, el término, , que representa la onda reflejada,

se puede asociar a A1, con , y A2, el coeficiente de la onda incidente se

puede relacionar con el término ; ambas en el extremo transmisor.

Los valores de A1 y A2 se pueden determinar a partir de las siguientes condiciones en la fig. 6.2.

Para x = 0, E(x) = E(0) = Es = A1 + A2 = Eg – ZgIs; I(x) = I(0) = Is = -

De este par de expresiones se obtiene:

(7.6)

66

Para x = l, E(x) = E(l) = Er = ; .

De este par de expresiones se obtiene:

(7.7)De las ecs.7.6 y 7.7 se obtienen las expresiones de A1 y A2.

(7.9)

(7. 10)

Remplazando las ecuaciones 7.9 y 7.10, en las ecuaciones generales de voltaje y corriente, 3.11 y 3.13, se obtiene:

(7.11)

(7.12)

Las ecs. 7.11 y 7.12, son generales, y se aplican cuando se conocen los datos en el extremo transmisor o en el generador, Eg y Zg.

La cantidad, L – x = y, distancia desde el extremo receptor hasta el punto x, donde, x es la distancia desde el extremo transmisor a cualesquier punto de la línea, mientras, “ y ”, es la distancia desde el extremo receptor a cualesquier punto de la línea, y = l – x.

(7.13)

(7.14)

67

Las ecs. 7.13 y 7.14, también corresponden a las generales de voltaje y corriente, cuando se conoce, Eg y Zg, pero con la referencia desde el extremo receptor.

La onda incidente “ve” una impedancia Zo en cada punto a lo largo de la línea, mientras que la onda reflejada “ve” una impedancia – Zo en cada punto a lo largo de la línea, donde el signo menos debido a los sentidos escogidos para las corrientes.

Las ondas incidente y reflejada son mutuamente independientes durante su propagación a lo largo de la línea. Esto es de esperarse puesto que la línea es un sistema lineal y pasivo, originando que la corriente y el voltaje totales en un punto cualesquiera “x” o “y” a lo largo de la línea de transmisión, corresponde a la suma de las respectivas componentes incidente y reflejada de acuerdo con el principio de superposición.

Cuando en el extremo transmisor sólo se conoce Es, se usan las ecs. 7.13 y 7.14, haciendo Zg = 0, y por tanto queda Eg = Es, obteniéndose:

(7.15)

(7.16)

Cuando los datos que se conocen son los del extremo receptor Er e Ir, se procede, haciendo y = 0, en la ec. 7.15, obteniéndose:

; de donde se obtiene:

(7.17)

reemplazando, la ec.7.17 en las ecs. 7.15 y 7.16, se obtiene:

(7.18)

68

(7.19)

Donde “y” es la distancia desde la carga a cualesquier punto a lo largo de la línea.De las ecs.7.18 y 7.19, se obtienen las formas hiperbólicas de ellas:

(7.20)

Donde, A = Coshy, B = Z0Senhy, C = (Senhy)/Z0; D = Coshy. A = D, línea simétrica. AD – BC = 1, reciprocidad.

Ejercicio 7.4: Aplicando las ecs.7.11 y 7.12, o las ecs.7.13 y 7.14 realice el ejemplo 6.2 del capítulo 6.

7.3 IMPEDANCIA DE ENTRADA DE LA LÍNEA TERMINADA EN Zr

La relación de las ecs. 7.18 y 7.19 para y = L, origina la impedancia de entrada en el extremo transmisor:

(7.21)

Para la línea sin pérdidas, la ec. 7.21, se transforma en:

(7.22)

Ejemplo 7.1: Un generador de 1 voltio, 1000 Hz, aplica potencia a una línea de alambres abiertos terminada en una impedancia de 200 . Los parámetros de la línea son: C= 0.00835 F/milla; G=0.8 /milla; L=3,37 mH/milla y R=10,4/millaDetermine la eficiencia de transmisión, si la longitud de la línea es de 100 millas.

Solución. Las constantes de la línea se determinan: Z = 25.2660

/milla;Y = 52,6*10-6900 mhos/milla = 52,6900/milla; Z0=692-120 ; = 0.0363780; = 0.00755 Neper/milla; = 0.0355 Radianes/milla;

69

L = 0.755 neper y L = 3,55 radianes = 203,80.El coeficiente de reflexión de voltaje en la carga es:

De la ec. 7.21 se obtiene: Zin = 597-0.50

La corriente de entrada: Iin= Eg/Zin= Es/Zin=1voltio/597-0.50 = 16700.50 A.De la ec. 7.19 haciendo y = L se obtiene que I(y) = Is y despejando de ella Ir se tiene:

El voltaje en la carga: Er = IrZr = 226-200.50 mvolt.La potencia liberada a la carga es: Pr = /Ir/2R = 255 wLa potencia de entrada a la línea es: Ps = EsIsCos = 1670 w.La eficiencia de transmisión es: = (255/1670)100% = 15,2%

7.4 LÍNEAS SIN PÉRDIDAS EN CIRCUITO ABIERTO

Para este caso, Zr = , Ir = 0, por lo que la ec. 7.20, de voltaje y corriente queda:

E(y) = ErCosy = (7.23)

(7.24)

Las ecs. 7.23 y 7.24, demuestran una vez más que el voltaje y la corriente en un punto cualesquiera “y” a lo largo de la línea de transmisión son resultantes de la suma de las ondas incidente y reflejada. Además las magnitudes de estas componentes permanecen constantes en toda la extensión de la línea y son así mismo iguales. Las ondas progresivas de voltaje y sus resultantes se han representado para varios instantes sucesivos en la fig.7.1. La superposición de las ondas resultantes se observa en j, donde es evidente la presencia de una onda estacionaria, donde las ondas progresivas mantienen constantes sus amplitudes y donde las amplitudes resultantes son nulas en los nodos cuando las ondas están en contra fase y el doble cuando se refuerzan sus fases. De las ecs. 7.23 y 7.24 resulta que los máximos de la distribución de la onda estacionaria de voltaje están desplazados un cuarto de longitud de onda respecto de los máximos de la onda estacionaria de corriente, dado que /E(y)/ es proporcional a /cosy/ e /I(y)/ es proporcional a /seny/. Debe observarse también que en un

70

punto cualesquiera X o Y a lo largo de la línea de transmisión la corriente y el voltaje están en cuadratura temporal de fase, como lo indica el factor “j” en la ec. 7.24.

7.5 IMPEDANCIA DE ENTRADA EN LA LÍNEA SIN PÉRDIDAS EN CIRCUITO ABIERTO

De la ec. 7.22 si Zr = : Zin = Zoc = - jR0ctgl (7.25)

La ec. 7.25 indica que Zoc es una reactancia pura, cuyas curvas de reactancias contra grados, (l)o, o contra frecuencias se muestran en la fig.7.4 observándose que la línea es resonante, impedancia nula, para longitudes iguales a un número impar de /4, y antirresonante, impedancia infinita, para un número par de /4.Se puede demostrar que si se mantiene constante la longitud de la línea y se varía la frecuencia del generador, la longitud eléctrica de la línea varía de la misma manera como si se variara la longitud física y se mantuviera constante la frecuencia. Con lo anterior se puede obtener cualesquier valor de reactancia variando la longitud de la línea o la frecuencia aplicada.

71

Fig. 7.1 Distribución instantánea de tensión en una línea en circuito abierto o de corriente en una línea en corto circuito con atenuación nula.

7.6 ECUACIONES DE VOLTAJE Y CORRIENTE EN LA LÍNEA SIN PÉRDIDAS EN CORTO CIRCUITO

Zr = 0, origina Er = 0, quedando las ecs. 7.19 de voltaje y corrientes:

E(y) = jIrR0Seny (7.26) I(y) = IrCosy (7.27)La comparación de las ecs. 7.26 y 7.27 con las ecs. 7.23 y 7.24 demuestra que la corriente en la línea en corto circuito se comporta como el voltaje en circuito abierto, y viceversa ; como se muestra en la fig. 7.2, por lo tanto la fig. 7.1, es similar a este caso de corto circuito.

72

En la fig.7.3 se representan las magnitudes de las envolventes de las ondas estacionarias de voltaje y corriente para reflexión total introducida por, Zr = y Zr = 0, , lo que se puede obtener de las curvas en j en las figuras 7.1 y 7.2 pero determinándole la envolvente y a ellas la magnitud.

Fig. 7.2 Distribución instantánea de corriente en una línea en circuito abierto o de tensión en una línea en corto circuito sin atenuación.

7.7 IMPEDANCIA DE ENTRADA EN CORTO CIRCUITO EN LA LÍNEA SIN PÉRDIDAS

De la ec. 7.21 si Zr = 0: Zin = Zsc = jR0tgl (7.28) La ec. 7.28 indica que Zsc es una reactancia pura, cuyas curvas de reactancias contra (l)o o contra frecuencias se muestran en la fig.7.4 observándose que la línea es antirresonante, impedancia infinita, para longitudes iguales a un número impar de /4, y resonante, impedancia nula, para un número par de /4.

73

Se puede demostrar que si se mantiene constante la longitud de la línea y se varía la frecuencia del generador, la longitud eléctrica de la línea varía de la misma manera como si se variara la longitud física y se mantuviera constante la frecuencia. Con lo anterior se puede obtener cualesquier valor de reactancia variando la longitud de la línea o la frecuencia aplicada.

Fig. 7.3 Ondas estacionarias de corriente y voltaje para la línea sin pérdidas en circuito abierto y corto circuito. La parte inferior de la figura muestra la fase relativa entre el voltaje y la corriente.

Ejemplo 7.2: Una línea de transmisión sin pérdidas de 1000 metros de longitud en el aire, tiene una Z0 = 100 , y Zr = 200 , energizada por Eg

= 10 voltios y Zg = 50 en w=3*105 rps determine la potencia en la carga y en la entrada en dBm.

Solución: De la ec.7.20 de voltaje, para la línea sin pérdidas se tiene:E(y) = Ercosy + JIrZ0seny = E(L) = Es = Ir(ZrcosL + JZ0senL) = 10Zin/(Zin+50)

= w/c = 10-3 radianes/metros y L = 1 radian. De la ec. 7.21, Zin = 77.4-34,40

= 64,4 – j43,7. De donde: Es = 774-34,40/(114,4 – j43,7) = 6,34-13,40

voltios

De la ecuación de Es se despeja Ir = Es/(ZrcosL+Jz0senL) =0.046-51,20 Amp.

74

El voltaje en el receptor es: Er = ZrIr = 9,2-51,20.

La potencia entregada a la carga: Pr=/Er//Ir/cos=/Ir/2PR(Zr)=9,2*0.046=0.43 w.La potencia entregada a la entrada de la línea: Ps = /Es//Is/cos = 6,34*0.08191cos34,40 = 0,43 vatios

Este resultado de Pr = Ps se debe a que la atenuación es nula en la línea de transmisión para este caso.

Fig. 7.4 VARIACIÓN DE LA IMPEDANCIA DE ENTRADA DE UNA LÍNEA SIN PÉRDIDAS EN FUNCIÓN DE LA LONGITUD O DE LA FRECUENCIA EN CIRCUITO ABIERTO Y CORTO CIRCUITO.

75

22

C A P Í T U L O VIII

8. RELACIÓN DE ONDA ESTACIONARIA EN LA LÍNEA SIN PÉRDIDAS

8.1 INTRODUCCIÓN: La relación de onda estacionaria, ROE, es un parámetro importante, en el estudio de las líneas de transmisión sin pérdidas. Esta relación de onda estacionaria puede ser de voltajes o de corrientes a lo largo de la línea de transmisión, y son las amplitudes máximas a mínimas.

(8.1)

Puesto que la onda estacionaria depende de la reflexión, la ROE debe estar relacionada con el coeficiente de reflexión , que corresponde al grado de desadaptación en la línea de transmisión.La ec. 7.13 se puede reescribir:

= Onda incidente + Onda reflejada (8.2)

Para y = 0, E’(y) = E’(0) = E’r = EgZ0(Z0 + Zr)/D; E’’(y) = - EgZ0(Z0 – Zr)/D

Reemplazando estas expresiones en la ec. 8.2 se llega:

(8.3)

Como = 0, = j, por lo que la ec. 8.3 queda:

= Onda resultante = onda incidente + onda reflejada (8.4)

Observe que en la ec. 8.4 la onda incidente es la de exponencial positivo, ya que la referencia es con “y” y no con “x”.

De la ec. 8.4 se obtienen las expresiones para determinar las magnitudes máxima y mínima de E(y) procediendo en la siguiente forma:

(8.5)De la ec. 8.5 se tiene que la magnitud es:

=

(8.6)

De la ec. 8.6 para cos( - 2y) = 1, ( - 2y) = 0, 2, 4, ......, 2n; de donde:

(8.7)

origina: (8.8)

Para, cos( - 2y) = - 1, (8.9)

(8.10)

(8.11) (8.12)

Donde, 1 ROE , para, 0 /VC/ 1.

Haciendo uso de las ecs.8.7 y 8.9 se determina que la distancia entre dos máximos o dos mínimos adyacentes es /2.

Para n = 0, y0máx. = /2; n = 1, y1Máx. = ( + 2)/2; d = y1máx. – y0máx = / = /2 = dmáx.adyacente. De igual manera se comprueba para dos mínimos adyacentes consecutivos, originando /2, y al igual que entre un máximo y un mínimo consecutivos, originando /4.

8.2 LÍNEA SIN PÉRDIDAS TERMINADA EN RESISTENCIA PURA

(8.13)

Correspondiente a la impedancia de carga normalizada, y para el caso bajo estudio, resistiva pura.

77

(8.14)

Existen tres posibilidades:

1) Sí, Rr = R0, origina rr = 1, originando, vc = 0, por lo que no existe reflexión.

2) Rr R0, origina rr 1,

, de donde,

, y, vc = 00.

El primer máximo de voltaje está en la carga, puesto que, en el límite, la terminación Rr tiende a infinito, por lo que en un circuito abierto se tiene corriente cero y voltaje máximo. De la ec. 8.7, ymáx. =

; igual a cero para n = 0, lo que

corrobora que para y = 0, se tiene un máximo de voltaje en la carga, ya que y = 0 se está en el extremo receptor.

(8.15) Rr = R0ROE (8.16)

La ec.8.15 indica que la relación de onda estacionaria es igual a la resistencia de carga normalizada, mayor que la unidad, ROE 1.

3) Sí Rr R0, se tiene, rr 1, originando:

(8.17)

En este caso en la carga se tiene el primer mínimo de voltaje, por la razón expuesta para el caso dos. De la ec. 8.9 se tiene:

78

(8.18)

De la ec. 8.18 para n = 0:

(8.19) ó y0mín. = (8.20)

La ec. 8.19 indica que el primer mínimo está en la carga, puesto que y = 0, se está en el extremo receptor. La ec. 8.20 indica que el primer

mínimo está a desde la carga, y como entre dos mínimos consecutivos

la diferencia es , se tiene que en la carga está el primer mínimo, por lo

que la ec.8.20 da la misma información que la ec. 8.19.

(8.21)

Nuevamente, la ec. 8.21 indica que la relación de ondas estacionarias es mayor que la unidad, ROE 1, pero las ondas estacionarias son diferentes, por ejemplo, para el caso rr = 2, y rr = ½, se origina ROE = 2, en ambos casos.

De la ecuación de voltaje de la del par de ecs. 7.20 si la línea es sin pérdidas, se obtiene:

Ejercicio 8.1: Dibuje las ondas estacionarias de voltaje para, rr = 2 y rr

= ½, usando solo la magnitud de la ec. 8.22.

Ejercicio 8.2: Dibuje las ondas estacionarias de corriente para rr = 2 y rr = ½.

8.2.1 IMPEDANCIA DE ENTRADA PARA CADA UNO DE LOS CASOS 1, 2 Y 3 DEL APARTADO 8.2

79

(8.23)

1.- Si Rr = R0, de la ec.8.23, .

2.- Sí, tgl = 0, l = 2n(/2), para, n = 0, 1, 2, 3, 4, ........., de donde,

,

, longitudes eléctricas, números pares de . Zin = rrR0 = Rr, es

un valor máximo en dichas posiciones y es real pura. Z in.Máx. = rrR0 = Rr = R0ROE, de donde: zin.Máx. = rr = ROE (8.24)

3.- Sí, tgl = , l = ; n = 0, 1, 2, 3, ..... ; ;

posiciones para la impedancia mínima, Zmín.

Zin.Mín. = , de donde, la impedancia normalizada: z in.Min. =

(8.25)La ec. 8.24 indica, que en una línea de transmisión sin pérdidas, terminada en Rr, resistiva pura, los máximos de impedancia son resistivos puros de valor R0ROE y ocurren en los máximos de voltaje, mientras que la ec.8.25, indica que los mínimos de impedancia son

resistivos puros y de valor , y ocurren en los mínimos de voltaje.

La potencia reflejada, para Zr = Rr, resistiva pura, se obtiene de, ,

de donde:

(8.26)

% Potencia Reflejada = 100%/Ic/2 = (8.27)

La ec.8.27, se determina fácilmente con la Carta de Smith, tema a tratar posteriormente.

80

8.3 ONDAS ESTACIONARIAS DE VOLTAJE Y CORRIENTE EN LAS LÍNEAS DE TRANSMISIÓN CON ATENUACIÓN Y CON LA TERMINACIÓN EN CIRCUITO ABIERTO Y EN CORTO CIRCUITO

La tensión estacionaria a lo largo de una línea de transmisión con pérdidas está dada por la ec. 8.5. Los valores instantáneos de las componentes incidentes y reflejadas están dadas por:

Esta ec. 8.28 corresponde a la ec. 8.3 multiplicada por la parte real o imaginaria del factor de fase.De la ec. 8.28 se obtiene tanto la parte real como la parte imaginaria de la ecuación de onda espacial y temporal de voltaje o sea el voltaje instantáneo.

1. Parte real: (8.29)

2. Parte imaginaria: (8.30)

Las ecs. 8.29 y 8.30 son las mismas solamente desfasadas 900 entre sí, el factor ejwt se denomina factor de fase.

8.3.1 ONDAS ESTACIONARIAS DE VOLTAJE EN LAS LÍNEAS DE TRANSMISIÓN CON ATENUACIÓN Y CON LA TERMINACIÓN EN CIRCUITO ABIERTO

Si la línea termina en un circuito abierto, , con lo que Er’ y Er

’’, resultan iguales en magnitud y fase. Las dos componentes se pueden

81

representar gráficamente para instantes sucesivos de tiempo en el transcurso de medio ciclo con variaciones de t, desde 0, T/8, 2T/8, 3T/8 y 4T/8; como se muestra en la fig. 8.1a y 8.1b y en donde el otro semiciclo es igual, excepto por la

inversión del signo

Fig. 8.1a Sistema de fasores rotatorios para ondas incidentes y reflejadas para terminación en circuito abierto durante cuatro instantes sucesivos de tiempo.

82

Fig. 8.1b Distribución instantánea de voltaje en una línea en circuito abierto o de corriente en una línea en corto circuito con atenuación.

de todas las ondas, componentes y resultantes, con respecto al primer semiciclo, lo cual indica que el tiempo actúa como parámetro mientras “y” varía desde cero hasta L. Posteriormente se superponen todas estas ondas resultantes, en donde los valores que indica un voltímetro colocado en derivación a lo largo de la línea en circuito abierto, corresponden a la envolvente de la curva resultante de la superposición de las ondas resultantes, puesto que el instrumento indica un valor proporcional a la máxima amplitud que ocurre en cada punto. Dado que los máximos y los mínimos quedan fijos en posición en la envolvente a lo largo de la línea, las lecturas del voltímetro indican la presencia de una onda estacionaria de voltaje. Note que la envolvente de las componentes de la fig. 8.1a es la curva F de la fig. 8.1b, además en la fig. 8.1a se coge un trayecto de longitud L= a partir de la carga.Al actuar el tiempo t como parámetro, la onda que se dibuja es la espacial, y la superposición de todas ellas origina la envolvente como ya se dijo, por lo que la ecuación de onda estacionaria se puede obtener fácilmente a partir de la expresión de la línea en forma hiperbólica, ecs. 7.20 de voltaje y corriente. Dado que Zr = , Ir = 0, por lo que: E(y) = ErCosh(y) = ErCosh(y+jy) = ErCoshyCosy + JErSenhySeny

83

= (8.31)

(8.32)

A medida que “Y” aumenta en la ec. 8.32 el primer término bajo el radical aumenta continuamente, mientras que el segundo término varía entre 0 y 1. Al principio predomina el término cos2, pero a medida que aumenta la longitud, el término senh2 se hace más y más importante, efecto que se siente tanto más pronto cuanto mayor es . La gráfica resultante, se obtiene paso a paso como se muestra en la fig. 8.2 donde se normaliza con respecto Er, para que dicha gráfica sea independiente de Er.

La situación analizada corresponde como se observa a dos ondas que se propagan en sentidos opuestos y con la misma frecuencia, puesto que, dependen de la misma fuente.

0 - y -

-1

y = 0

(a) (b)

y = L y=0

senh

1 -

-1

1/2

y L y=L y=0

84

( c ) (d)

1

y

(e) (f)

(g)

Fig. 8.2 La curva A corresponde a la onda estacionaria de voltaje con Zr = , o a la de corriente con Zr = 0. La curva B corresponde a voltaje en corto y corriente en circuito abierto. La curva C corresponde a la “onda estacionaria” de voltaje o corriente con Zr = Zo.

Ejercicio 8.3: Explique el por qué en la fig. 8.2g las ondas estacionarias A y B disminuyen las amplitudes de sus oscilaciones a medida que se acercan al extremo transmisor.

½

0

½

A

B

C1

0.707

0y

85

Ejercicio 8.4: Usando la fig. 18g, dibuje la onda estacionaria de voltaje o corriente para Zr = Zo y = 0.

Ejercicio 8.5: Usando la fig. 18g, dibuje las ondas estacionarias de voltaje y corriente para Zr abierta y en corto, pero con = 0.

Ejercicio 8.6: Si en la línea del caso de la fig. 8.2 se aplica a la entrada un señal senoidal, dibuje sobre la fig. 8.2g las formas y amplitudes instantáneas que se originan a lo largo de la línea debido a la señal de entrada.

Otra forma de ilustrar el concepto de ondas estacionarias es, partiendo de nuevo

de la ec. 8.29 ó de la ec. 8.30 pero con = 0:

(8.33)

Si la línea está terminada en corto circuito:

(8.34)

Se observa de la ec.8.34 que , y, vc = 1800, por lo que la ec.8.33 queda:

(8.35)

86

La ec. 8.35 representa una onda estacionaria en el espacio. Los valores de e(y,t) en un instante dado son función sinusoidal de y. En cambio, los valores instantáneos en un punto dado son una función cosenoidal de t. El valor de cresta de la onda es la suma de los valores de cresta de la onda incidente y de la onda reflejada, es decir, 2/Er’/. Una onda estacionaria de este tipo, caracterizada porque /Er’/ = /Er’’/, es una onda estacionaria pura, y ella se encuentra relacionada comúnmente con los resonadores.

Fig. 8.3 Onda estacionaria pura con los valores de E(y) correspondientes a instantes sucesivos.

Las curvas de la fig. 8.3 ilustran las variaciones espaciales y temporales de e(y,t) en el caso de una onda estacionaria pura. Es de advertir que los puntos de fase constante, tal como el P, no se mueven ya en la dirección del eje “Y”, sino que

conservan una abscisa constante al transcurrir el tiempo.Se examina ahora la condición en la que la onda reflejada es de menor amplitud que la onda incidente; que tenga solo la mitad que la amplitud de la onda incidente. Er’’ = 0.5Er’. Evaluando la parte izquierda de la ec. 8.35 para cuatro instantes sucesivos, se obtienen las curvas de la fig. 8.4. Estas curvas representan los valores de e(y,t) como función de y, para los instantes t iguales a 0, T/8, 2T/8, 3T/8, donde T es el período:

87

Los valores de cresta de e(y,t) varían entre 1,5Er’ en el instante t = 0 y 0,5Er’ en el instante t = T/4. Los valores de cresta como funciones de “Y”, observados durante un espacio de tiempo mayor que un período, determinan la envolvente en la fig. 8.4.

La envolvente permanece estacionaria pero si se mira un punto de fase constante P de la onda, se observa que la onda de valores instantáneos totales avanza hacia la izquierda. Se nota también que no es constante la velocidad con que avanza P. Entre 0 y T/8, el punto P avanza aproximadamente 0,05, o sea, 0.1 mientras que en la siguiente fracción de 2T/8 el punto P avanza una distancia casi cuatro veces mayor, es decir, 0,2, o sea, 0,4. Aunque la velocidad media del punto de

Fig. 8.4 Envolvente de la onda estacionaria para E’’r = -0,5E’r con la onda

progresiva asociada para cuatro instantes de tiempo sucesivos: t=0, t=T/8, t=2T/8 y t=3T/8.

Fase constante es la misma que para una onda progresiva pura, sus valores instantáneos varían entre valores mayores y menores.

Resumen, hay dos ondas e(y,t), una que avanza en el sentido de la carga y otra de la mitad de amplitud máxima, que avanza en el sentido del generador. Estas ondas se refuerzan mutuamente en algunos puntos y se oponen recíprocamente en otros. La onda resultante avanza hacia la carga. Así debe ser, porque avanza en ese sentido la onda de mayor amplitud.

La envolvente de las curvas instantáneas de la fig. 8.4 puede llamarse curva o envolvente de onda estacionaria. Un instrumento capaz de

88

medir los valores eficaces de e(y,t) a lo largo de la línea de transmisión da lecturas proporcionales A los indicados para la envolvente. Para cada posición y el valor máximo del voltaje a lo largo de la línea de transmisión durante cada ciclo es igual a la ordenada de la envolvente.

Otra forma de obtener la ecuación de la envolvente de onda estacionaria es: Haciendo en la parte izquierda de la ec. 8.35: A ; y, B

,Se obtiene:

Asenwt + Bcoswt = (8.36)

el valor de no tiene importancia en esta aplicación. Remplazando los valores de A y B, en la ec. 8.36 y expandiéndola se obtiene:

(8.37)

El valor máximo de e(y,t) en una posición y determinada, tal como se lo observa en el transcurso de por lo menos un período, ocurre cuando Cos(wt - ) = 1, luego la ecuación de la envolvente de e(y,t) es:

(8.38)

Con la ec. 8.38 se dibujan la curva de onda estacionaria de voltaje, para cualquier valor de reflexión.

8.4 EJERCICIOS

Ejercicio 8.7: Determinar las expresiones de las ondas estacionarias de corriente para Zr infinito y dibujarla, al igual que las de voltaje y corriente para Zr = 0.

Ejercicio 8.8: En el caso de la fig. 8.2 y en el ejercicio 8.7, halle la onda estacionaria para = 0; Zr = Z0 y = 0; Zr = Z0 y 0.

89

Sí, Zr Z0, existe también reflexión pero la onda reflejada es más débil que la onda incidente. Se producen también ondas estacionarias, pero dado que las dos ondas nunca pueden cancelarse por completo, la corriente y la tensión nunca se anulan, ni siquiera en el extremo receptor.

Ejercicio 8.9: Dibuje la onda estacionaria para cuando la magnitud de la onda reflejada es la mitad de la magnitud de la onda incidente.

B I B L I O G R A F Í A

INGENEERING COMMUNICATION EVERITT AND ANNER

NETWORKS, LINES AND FIELDS JOHN D. RYDER

THEORY OF NETWORKS AND LINES J. L. POTTER AND S. J. FICH

ELECTROMAGNETISMO J. D. KRAUS

SISTEMAS DE COMUNICACIONES ELECTRÓNICAS WAYNE TOMASI

LÍNEAS DE TRANSMISIÓN R. A. CHIPMAN

ELECTRONIC TRANSMISSION LINES DISTRIBUTED SKILLING

90

91

22

C O N T E N I D O

PÀGINAS

PRESENTACIÓN

C A P Í T U L O 1

1. LINEAS DE TRANSMISIÓN 01

1.1 INTRODUCCIÓN 01

1.2 ONDAS ELECTROMAGNÉTICAS TRANSVERSALES 02

1.3 CARACTERÍSTICAS DE LAS ONDAS ELECTROMAGNÉTICAS 02 VELOCIDAD DE ONDA.

1.4 TIPOS DE LÍNEAS DE TRANSMISIÓN 03

1.5 LÍNEAS DE TRANSMISIÓN DE CONDUCTOR PARALELO 051.5.1 LÍNEA DE TRANSMISIÓN DE CABLE ABIERTO

051.5.2 CABLES GEMELOS 051.5.3 CABLE DE PAR TRENZADO 051.5.4 PAR DE CABLES PROTEGIDOS CON ARMADURA 05

1.6 SISTEMA GENERAL DE COMUNICACIONES 071.6.1 TRANSMISOR 081.6.2 RECEPTOR 081.6.3 MEDIO DE TRANSMISIÓN 081.6.4 CONTAMINACIONES 091.6.4.1 DISTORSIÓN DE FRECUENCIA 091.6.4.2 INTERFERENCIA 091.6.4.3 RUIDO 091.6.5 MEDIOS DE TRANSMISIÓN EN GENERAL 08

1.7 CAPACIDAD DE CANALIZACIÓN EN LOS MEDIOS DE TRANSMISIÓN 09

C A P Í T U L O 2

2. ELEMENTOS DE PROPAGACIÓN. PROPIEDADES ELÉCTRICAS PARAMÉTROS DISTRIBUIDOS 11

2.1 INTRODUCCIÓN 112.1.1 PARÁMETROS CONCENTRADOS 122.1.2 PARÁMETROS DISTRIBUIDOS 122.1.3 IMPEDANCIA CARACTERÍSTICA Z0 122.1.4 CONSTANTE DE ATENUACIÓN 122.1.5 CONSTANTE DE FASE 122.1.6 LONGITUD DE ONDA 122.1.7 VELOCIDAD DE FASE VP 13

2.1.8 CONSTANTE DE PROPAGACIÓN 132.2 PARÁMETROS DISTRIBUIDOS PARA LA LÍNEA DE TRANSMISIÓN 132.2.1 IMPEDANCIA DE LA LÍNEA 132.2.2 ADMITANCIA DE LA LÍNEA 142.3 CIRCUITO EQUIVALENTE DE UN ELEMENTO X DE LÍNEA EN UNA LINEA

DE TRANSMISIÓN 142.4 IMPEDANCIA CARACTERÍSTICA Z0 EN FUNCIÓN DE LOS PARÁMETROS

DISTRIBUIDOS 142.5 CONSTANTE DE PROPAGACIÓN PARA UN ELEMENTO DE LÍNEA X 172.6 PARÁMETROS DISTRIBUIDOS PARA LAS LÍNEAS DE ALAMBRES PARALELOS Y LOS CABLES COAXIALES 22a.- Línea de alambres paralelos: 22 b.- Línea Coaxial: 22

C A P Í T U L O 3

3. DISTRIBUCIÓN DE LOS CAMPOS ELÉCTRICOS Y MAGNÉTICOS EN LOSCABLES DE IDA Y VUELTA EN UNA LÍNEA DE TRANSMISIÓN DEBIDOSA UNA FUENTE DE VOLTAJE APLICADA 21

3.1 INTRODUCCIÓN 213.2 ECUACIONES DE VOLTAJES Y CORRIENTES PARA UNA LINEA DE

TRANSMISIÓN TERMINADA EN Z0 22 3.3 ECUACIONES DIFERENCIALES GENERALES PARA VOLTAJES Y CORRIENTES

PARA UNA LÍNEA DE TRANSMISIÓN TERMINADA EN ZR Z0. 223.3.1 DETERMINACIÓN DE LAS ECUACIONES 3.11 Y 3.13 253.3.2 IMPEDANCIA CARACTERÍSTICA 283.4 ECUACIONES DE ONDAS DE VOLTAJES Y CORRIENTES EN UNA LÍNEA

INFINITA 293.4.1 IMPEDANCIA DE ENTRADA DE LA LINEA INFINITA 30

C A P Í T U L O 4

4. ONDAS PLANAS EN LOS MEDIOS DIELÉCTRICOS.INTRODUCCIÓN 38

4.1 INTRODUUCIÓN 38

4.2 VELOCIDAD DE GRUPO 40

C A P Í T U L O 5

5. DISTORSION EN LA LINEA 455.1 INTRODUCCIÓN 455.2 LINEA SIN DISTORSION 465.3 CABLE TELEFÓNICO 495.4 PUPINIZAR O CARGAR UN CABLE 505.5 SISTEMAS DE PUPINIZACIÓN. 512. PUPINIZACIÓN A MEDIA SECCIÓN 512. PUPINIZACIÓN A MEDIA 0NDA 51

C A P Í T U L O 6

6. ECUACIONES DE VOLTAJE Y CORRIENTE EN GENERAL PARA UNA LÍNEA TERMINADA EN ZR Z0. REFLEXIÓN. 53

6.1 INTRODUCCIÓN 53

6.2 COEFICIENTES DE VOLTAJE Y CORRIENTE EN UNA LÍNEA DESADAPTADAEN EL EXTREMO TRANSMISOR Y EN EL EXTREMO RECEPTOR 54

C A P Í T U L O 7

7. LÍNEAS DE TRANSMISIÓN EN ALTAS FRECUENCIAS 59

7.1 INTRODUCCIÓN 59

7.2 ECUACIONES DE VOLTAJE Y CORRIENTE PARA LA LÍNEA SINPÉRDIDAS Y TERMINADA EN ZR Z0. 60

7.3 IMPEDANCIA DE ENTRADA DE LA LÍNEA TERMINADA EN Zr 63

7.4 LÍNEAS SIN PÉRDIDAS EN CIRCUITO ABIERTO 64

7.5 IMPEDANCIA DE ENTRADA EN LA LÍNEA SIN PÉRDIDAS EN CIRCUITO ABIERTO 64

7.6 ECUACIONES DE VOLTAJE Y CORRIENTE EN LA LÍNEA SIN PÉRDIDAS ENCORTO CIRCUITO 65

7.7 IMPEDANCIA DE ENTRADA EN CORTO CIRCUITO EN LA LÍNEA SINPÉRDIDAS 66

C A P Í T U L O 8

8. RELACIÓN DE ONDA ESTACIONARIA EN LA LÍNEA SIN PÉRDIDAS 69

8.1 INTRODUCCIÓN 69

8.2 LÍNEA SIN PÉRDIDAS TERMINADA EN RESISTENCIA PURA 70

8.3 ONDAS ESTACIONARIAS DE VOLTAJE Y CORRIENTE EN LAS LÍNEASDE TRANSMISIÓN CON ATENUACIÓN Y CON LA TERMINACIÓN ENCIRCUITO ABIERTO Y EN CORTOCIRCUITO. 73

8.4 EJERCICIOS 81

U N I V E R S I D A D D E L C A U C A

FACULTAD DE INGENIERÍA ELECTRÓNICA Y TELECOMUNICACIONES

LÍNEAS DE TRANSMISIÓN DE INFORMACIÓN. MATERIAL DE REFERENCIA

ENRIQUE CARLOS SALGADO ACOSTA

2004

P R E S E N T A C I Ó N

Las redes que se han analizado hasta el presente se denominan circuitos de parámetros concentrados, en donde las resistencias, inductancias, y capacitancias son individualmente concentradas en puntos discretos o específicos en los circuitos y se pueden identificar, medir, poner, quitar, al igual que determinar a través de ellos las relaciones voltio-amperios, las cuales se mantienen constantes, esto es, la característica eléctrica de las redes series es que sus corrientes son las mismas a lo largo de una trayectoria cerrada y los voltajes a través de las ramas son iguales.

A lo largo de las líneas de transmisión viaja una información conformada por un espectro de frecuencias de ancho de banda desde f1 hasta f2 y cuyas componentes de frecuencias originan que a lo largo de la línea las corriente no se mantenga constante en magnitud y fase, lo cual indica que a través de ella aparece un camino que drena corriente, y los voltajes a través de la línea no se mantienen constantes en magnitud y fase, lo que indica que a lo largo de la línea aparezcan caídas de voltajes. Esto hace que al no existir elementos tangibles, denominados parámetros concentrados, que hagan la anterior discriminación, es porque a lo largo y a través de la línea de transmisión se inducen un tipo de parámetros denominados: Parámetros Distribuidos. Ellos aparecen cuando las frecuencias son altas o la longitud de la línea es, L 0.1, y la denominación implica que las resistencias, inductancias, y capacitancias son distribuidas a lo largo de la línea y cada longitud elemental de ella tiene sus propios valores, por lo que concentrar los parámetros individuales no es posible y debido a esto en la línea se tienen ondas las cuales son espaciales y temporales, por lo que cuando no existe adaptación en la línea se tiene el fenómeno de interferencia originándose el concepto de ondas estacionarias a lo largo de la línea de transmisión.

Como no se tiene una simbología para este tipo de parámetros, el objetivo de este material en su capítulo dos es relacionarlos o determinar una equivalencia con los parámetros concentrados, de tal forma, que al lograr esto a la línea de transmisión se le puedan aplicar todas las técnicas de análisis y síntesis tanto en el dominio del tiempo como en el de la frecuencia ya conocidas a este nivel.

Las líneas de transmisión que se analizan son homogéneas y uniformes, las cuales para cada elemento de línea X originan redes equivalentes o simétricas, por lo que la línea se convierte en una cascada de redes

o en cascada con adaptación por impedancia característica si ella se termina por esta impedancia.La forma común de la línea de transmisión se conoce como línea de alambres abiertos debido a su construcción, mientras que la otra forma es la de los cables coaxiales.