líneas de transmisión. material de referencia

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22 C A P Í T U L O I 1. LINEAS DE TRANSMISIÓN 1.1 INTRODUCCIÓN Existe una estrecha analogía entre las ondas planas en un medio ilimitado y las ondas guiadas por una línea de transmisión. Se desea que el rendimiento del transporte sea lo mayor posible, lo que equivale a que las pérdidas debidas al calor por el efecto Joule o a la radiación sean mínimas. A pesar que las líneas de transmisión pueden adoptar una variedad de configuraciones, es más conveniente clasificarlas sobre la base de las configuraciones de campo o modos que pueden transmitir. De esta manera pueden las líneas de transmisión dividirse en dos grupos principales: (1) Las que pueden transmitir modos transversoelectromagnéticos (TEM) y (2) las que solo pueden transmitir modos de orden superior. En el primer caso no existe componentes de E y H en la dirección de propagación y los campos E y H son perpendiculares a la dirección de propagación. Los modos de orden superior, en cambio, tienen siempre por lo menos una componente de campo en la dirección de transmisión. Todas las líneas de dos conductores, coaxiales o las abiertas de dos hilos son ejemplos del tipo de modos TEM, mientras que las guías de onda huecas, de un solo conductor o las fibras ópticas son ejemplos de los tipos de orden superior. De lo anterior el término línea de transmisión usado en este material se refiere a los dispositivos que pueden transmitir los modos TEM, mientras que el término guía de onda o solo guía se reserva a los dispositivos que solo pueden transmitir

Author: pablo-portillo

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22C A P T U L OI1.LINEAS DE TRANSMISIN1.1INTRODUCCINExiste una estrecha analoga entre las ondas planas en un medio ilimitado y las ondas guiadas por una lnea de transmisin. Se desea que el rendimiento del transporte sea lo mayor posible, lo que equivale a que las prdidas debidas alcalor por elefecto Joule o alaradiacin sean mnimas.A pesar que las lneas de transmisin pueden adoptar una variedad de configuraciones,esmsconvenienteclasificarlas sobrelabasedelas configuraciones decampoomodos quepuedentransmitir. Deesta manera pueden las lneas de transmisin dividirse en dos grupos principales: (1) Las que pueden transmitir modos transversoelectromagnticos (TEM) y (2) las que solo pueden transmitir modos de orden superior. En el primer caso no existe componentes de E yHen la direccin de propagacin y los camposEyHson perpendiculares aladireccindepropagacin. Los modos deorden superior, en cambio, tienen siempre por lo menos una componente de campo en la direccin de transmisin. Todas las lneas de dos conductores, coaxiales o las abiertas de dos hilos son ejemplos del tipo demodosTEM, mientrasquelasguasdeondahuecas, deunsolo conductor o las fibras pticas son ejemplos de los tipos de orden superior.De lo anterior el trmino lnea de transmisin usado en este materialse refiere a los dispositivos que pueden transmitir los modos TEM, mientras que el trmino gua de onda o solo gua se reserva a los dispositivos que solo pueden transmitir modos de orden superior. Todas las lneas de transmisin pueden contemplarse como derivadas de una formabsica, comoesel casodelaplano-paralelo-infinita, endonde dependiendodelaformaenqueloshilosquelaconformanpuedan curvarse se obtienen la lnea abierta o el cable coaxial.Una lnea de transmisin es un sistema conductor metlico que se utiliza para transportar energa elctrica de un lugar a otro. Ms especficamente, una lnea de transmisin son dos o ms conductores separados por un aislante, como un par de cables o un sistema de par dehilos. Unalneadetransmisinpuedeser tancortacomounas cuantaspulgadasoextendersepor muchosmilesdekilmetros. Las lneas de transmisin se pueden utilizar para propagar corriente continua o corriente alterna de baja frecuencia, como la de 60 ciclos de la energa elctrica y como las seales de audio respectivamente. Tambin se pueden utilizar para propagar frecuencias muy altas y medianas, comolassealesderadioeintermedias. Al propagar las seales de baja frecuencia, es bastante sencillo y predecible el comportamiento de la lnea de transmisin. Sin embargo, al propagar las seales de alta frecuencia las caractersticas de las lneas de transmisin se vuelven ms complicadas y su comportamiento es un poco peculiar con respecto a los circuitos de los sistemas constantes.1.2 ONDAS ELECTROMAGNTICAS TRANSVERSALESLa propagacin de energa elctrica a lo largo de la lnea de transmisin ocurreenformadeondaselectromagnticastransversales, TEM. Una onda es un movimiento oscilatorio. La vibracin de una partcula produce vibraciones similares en las partculas cercanas. Una onda TEM sepropagaprincipalmenteenunmaterial noconductor, estoes, un dielctrico, el cual separa a los dos conductores de la lnea de transmisin. Por lo tanto, una onda viaja o se propaga a travs de un medio. Paraunaondatransversal, ladireccindedesplazamientoes perpendicular aladireccindepropagacin. Unaondasuperficial de agua es una onda longitudinal. Una onda donde el desplazamiento est en la direccin de propagacin se llama onda longitudinal, como las de sonido. Una onda electromagntica(EM), seproduce por laaceleracindeunacarga elctrica. En un conductor la corriente y el voltaje siempre estn acompaados por un campo elctrico E y un campo magntico H, en el entorno colindante. La fig.1.1 muestra las relaciones espaciales entre los camposEyHdeunaondaelectromagntica. Puedeversequelos camposdeEyHsonperpendicularesentres enngulosde900, en todos los puntos. A esto se le conoce como cuadratura de espacio. Las ondas EM que viajan a lo largo de una lnea de transmisin,desde el extremo transmisor hasta el extremo receptor, se llaman ondas incidentes, ylas que viajan desde elreceptor altransmisorse llaman ondas reflejadas.1.3 CARACTERSTICAS DE LAS ONDAS ELECTROMAGNTICAS2VELOCIDADDEONDA.Lasondasviajanadistintasvelocidades, dependiendodel tipodeondaydelascaractersticasdel mediode propagacin. Las ondas de sonido viajan aproximadamente a 340 mts/sg en la atmsfera normal. Las ondas EM viajan en forma ms rpidas. En el espacio libre ( vaco), las ondas TEM viajan a la velocidad de la luz 299.793km/sgaproximadamente300.000km/sg. Sinembargo, enel aire, como en la atmsfera de la tierra, las ondas TEM viajan ligeramente ms despacio, y las ondas EM viajan considerablemente ms lentas a lo largo de una lnea de transmisin. Las oscilaciones de una onda EM son peridicas y repetitivas, por lo tanto, se caracterizan por una frecuencia. La velocidad con la que una onda peridica se repite es su frecuencia, y la distancia de un ciclo que ocurreen el espacio se llama la longitud de onda lambda, , y se determina por la siguiente ecuacin:distancia=velocidad x tiempo(1.1)Si se sustituye en la ec. 1.1, se obtiene la longitud de un ciclo, denominada . Comoel tiempotranscurridoesT, lavelocidadesla velocidad de fase vp, por lo que:= vpT = vp/f(1.2)Para la propagacin en el espacio libre, vp = C; por lo tanto, la longitud de un ciclo3Fig.1.1 Vista espacial de los campos E y H de una lnea de transmisines:ciclosmetrossgciclosfsgmetrosfc8810 * 310 * 3 (1.3)En resumen una longitud de onda es la distancia cubierta por un ciclo de la onda.1.4 TIPOS DE LNEAS DE TRANSMISINLas lneas de transmisin pueden clasificarse generalmente como balanceadas o desbalanceadas. Con lneas balanceadas de dos cables, ambos conductores llevan una corriente; un conductor lleva la seal y el otro es el retorno, y a este tipo de transmisin se le denomina transmisin de seal diferencial o balanceada. La seal que se propaga a lo largo del cable se mide como la diferencia de potencial entre los dos cables, la fig.1.2 muestra un sistema de transmisin balanceada, en la 4que ambos conductores, llevan la corriente de la seal, y las corrientes son iguales en magnitud con respecto a la tierra elctrica pero viajan en direccionesopuestas. Unpardecablesbalanceadostienenlaventaja quela mayora de la interferencia por ruido,se induce igualmente en ambos cables, produciendo corrientes longitudinales ( fluyenenlas mismas direcciones) quesecancelanenlacarga. Cualquier par de cables pueden operar en el modo balanceado siempre y cuando ninguno de los cables est con elpotenciala tierra, lo cual incluye al cable coaxial que tiene dos conductores centrales y una cubierta metlica, la que se conecta a tierra para evitar interferencia esttica al penetrar a los conductores centrales.Fig.1.2Sistema de transmisin diferencial o balanceadaEn una lnea de transmisin desbalanceada, un cable se encuentra en el potencial de tierra, mientras que el otrose encuentra en el potencial de laseal, ysedenominatransmisindelaseal desbalanceadaode terminacinsencilla. Conestetipodetransmisin, el cabledetierra tambinpuedeserlareferenciaaotroscablesquellevanseales. Si este es el caso el cable de tierradebe ir en donde va cualesquiera de los cables de seal. A veces esto crea problemas porque una longitud de cable tiene resistencia, inductancia y capacitancia, por lo tanto, puede existir una pequea diferencia de potencial, entre cualquiera de los dos puntos, en el cable de tierra. En consecuencia, el cabledetierrano esun punto de referenciaperfectoyescapazde inducir un ruido en l. Un cable coaxial estndar de dos conductores es una lnea desbalanceada, en donde uno de ellos es la cubierta, que se conecta a tierra por lo general.5Lado alto de la seal 1 Voltaje de la seal diferencial2Lado bajo de la seal Voltaje de modo comn( ruido )Tierra fsicaLa fig.1.3 muestra un sistemas de transmisin desbalanceada, las lneas balanceadas y desbalanceadas pueden conectarse en cascada entre s por medio de un transformador especial denominado BALUN, que significa balanced-unbalanced, esto es, balanceado-desbalanceado. Fig.1.3Sistema de transmisin desbalanceada o de terminacinsencilla1.5 LNEAS DE TRANSMISIN DE CONDUCTOR PARALELO1.5.1Lnea de transmisinde cable abierto.Una lnea de transmisindecableabiertoesunconductorparalelodedoscables, espaciados muy cerca, 2 y 6 pulgadas, fig. 1.4a, y solo separados por el aire, endondelaondaTEMsepropagaentreyalrededordelosdos conductores, ysunicaventajaessuconstruccinsencilla. Comono existen cubiertas, las prdidas por radiacin son altas y es susceptible a recoger ruido, debido a lo anterior su capacidad de canalizacin es baja, teniendo que operar en el modo balanceado.1.5.2 Cables gemelos.Son otra forma de lnea de transmisin para unconductorparalelodedoscablesysemuestraenlafig. 1.4b, en este caso los espaciadores entre los dos conductores es de un dielctrico, tefln y polietileno, slido y continuo para mantener la separacin de los conductores constante. Para el cable de televisin el espaciamiento es de 5/16 pulgadas.1.5.3 Cable de par trenzado.Se forma doblando juntos dos conductores aislados, y se trenzan en unidades, y las unidades, a su vez, estn cableadas en el ncleo y se cubren con diferentes tipos de fundas 6 Cable de seal del circuito 11 2 voltaje de la seal1Cable de la seal del circuito22 4 Voltaje de la seal2 Referencia de tierradependiendo del uso que se les vaya a dar. Los pares vecinos se trenzan condiferenteinclinacinparapoderreducirlainterferenciaentrelos pares debido a la induccin mutua, fig.1.4c.1.5.4Pardecablesprotegidosconarmadura.Parareducir las prdidas por radiacin e interferencia, frecuentemente se encierran las lneasdetransmisindedoscablesparalelosenunamallametlica conductiva que se coloca a tierra actuando como proteccin, y evita que las seales se difundan ms all de sus lmites, por lo que la interferenciaEMentreconductoresvecinosnointerfieranevitandola diafona, fig. 1.4d.1.5.5Lneasdetransmisincoaxialesoconcntricas.El cable coaxial bsico consiste de un conductor central rodeado por un conductor exterior concntrico (distancia uniforme desdeel centro), donde para frecuencias relativamente altas el conductor coaxial externo proporcionaunaexcelenteproteccincontralainterferenciaexterna como se muestra en la fig. 1.5. A frecuencias de operacin bajas no se justifica su uso por el costo, adems que el conductor externo al estar generalmente conectado a tierra lo limita a aplicaciones desbalanceadas.Existen bsicamente dos tipos de cables coaxiales: lneas rgidas llenas de aire y lneas slidas flexibles. Para el primer caso el conductor central estrodeadoenformacoaxial porunconductorexternotubularyel material aislante es el aire, fig. 1.5b. El conductor externo fsicamente estaisladoyseparadodel conductorcentral porunespaciador, que generalmente est hecho de pirex, poliestireno, o algn otro material no conductivo. Para el segundo caso el conductor externo est trenzado, es flexible y coaxial al conductor central, fig. 1.5a. El material aislante es polietileno slido no conductivo que proporciona soporte, as como aislamiento elctrico entre el conductor interno y externo. El conductor interno es un cable de cobre que puede ser slido o hueco. De los dos esteltimoesmsfcil defabricar, deinstalar ypresentaprdidas menores, adems ambos son inmunes a la radiacin externa, e irradian poco y pueden operar a frecuencias ms altas que los cables paralelos, sus desventajas son el costo y el uso en modo desbalanceado.7Fig. 1.4 Lneas de transmisin: (a) cable abierto, (b) cables gemelos, (c) par trenzado,(d) par protegido.Fig.1.5Lneas de transmisin concntricas o coaxiales. (a) lneaslida flexible (b) rgidas llenas de aire. 1.6SISTEMAGENERALDECOMUNICACIONES8Est conformado por tres partes; transmisor, medio de transmisin y el receptor; de las que se aborda el estudio de slo una de ellas: El medio de transmisin, y de esteslo los cables metlicos y pticos.En este material de referencia slo se estudian los cables metlicos.1.6.1 Transmisor.Es la parte que adecua la seal al medio de transmisin, con operaciones de procesamiento de la seal; como por ejemplo, la modulacin.1.6.2 Receptor. Recibe la seal del medio de transmisin y la lleva a su destino recuperando la seal original por medio de una operacin contraria a la del transmisor, la demodulacin.Fig. 1.6Diagrama en bloques de un sistema de comunicaciones.1.6.3Medio de transmisin. Realiza el enlace entre el transmisor y el receptor. Su principal caracterstica es la disminucin progresiva de la potencia de la seal con el aumento de la distancia, y distorsionando la informacinquetransportaanivel deamplitudyfase: distorsinde frecuencia o distorsin lineal.1.6.4CONTAMINACIONES.Son efectos no deseados, durante la transmisin y afectan la forma de la seal, estas son:1.6.4.1DistorsindeFrecuencia:Tambinseleconocecomo distorsin lineal, por la naturaleza lineal y pasiva de la lnea de transmisin. Sepresentapor unarespuestaimperfectadel mediode transmisin a nivel de magnitud y fase. Se puede reducir por medio de las ecualizaciones de amplitud y fase.1.6.4.2Interferencia: Se produce por la superposicin de dos o ms sealesajenasalainformacinconlaseal deinformacinquese transmite. 1.6.4.3 Ruido:Es la ms grave de las contaminaciones. Son seales aleatoriaseimpredeciblesdetipoelctricoquepuedentener origen dentro o fuera del sistema. Para el caso de la lnea ruidosa, la correccin se hace usando el compansor, compresin en transmisin y expansin en recepcin.1.6.5MEDIOS DE TRANSMISIN EN GENERAL. Los ms utilizados en la actualidad son: Lneas de transmisin, cable coaxial, a los cuales 9se han hecho referencia en los apartes 1.1 a 1.3, guas de onda, fibra ptica, espacio libre, estos ltimos denominados radio enlaces terrestres y satelitales. Los primeros por retransmisinenlos satlites de rbita baja, enlaces en lnea de vista, por reflexin en la ionosfera, por tropodifusin y los segundos a travs del espacio exterior por retransmisin en los satlites artificiales geoestacionarios.Enlafig.1.7, setieneunsistemadecomunicaciones, endondese observan todos los medios de transmisin, desde el par simtrico que conectael abonadotelefnicodesdeloshogareshastalacentral de conmutacin, cablecoaxial entrelosconcentradoresylaestacinde radio, las guas de ondas desde la estacin de radio a la antena transmisora y receptora, al igual que las fibras pticas y los repetidores satelitales.1.7 CAPACIDAD DE CANALIZACIN DE LOS MEDIOS DE TRANSMISIN Lneas de Transmisin: (a) Lneas abiertas: Permite transmisin de planes de frecuencias, en banda bsica comprendidas (36-156)kHz, para el envo de mximo 12 circuitos telefnicos. (b) Par simtrico: Soporta planesdefrecuenciasenbandabsicadesde(12-552)kHz. (c)Cable coaxial: Dependiendo delas dimensiones soportadesde120hasta 10800 circuitos telefnicos, o sea bandas de 12 MHz y 60 MHz. (d)Gua de onda: Con capacidad para 500.000 circuitos telefnicos.Espacio Libre:HF (3-30)MhZ;VHF (30 300)MHz;UHF ( 300 3000)MHz;SHF (330)GHz; EHF( 30300)GHz. Concapacidaddetransportede circuitos telefnicos desde 24 hasta 2700 ( banda de 12 MHz).Fig.1.7 Sistema de telecomunicaciones.10Para el caso de HF por reflexin ionosfrica, y a partir de VHF por lnea devista, puestoquelaionosferaestransparenteaestasfrecuencias perdindoselasmismasenel espacioexterior, conexcepcindela dispersin troposfrica.Fibraptica: Conunaaltacapacidad, 100.000circuitostelefnicos, paralasdiferentesmodalidades delosndicesderefraccin,discreto, continuo, yenlasmultimodoomonomodo, prdidaspor atenuacin bajas del orden de 0.2 dB/km. La transmisin puede ser tanto analgica como digital. Fig. 1.8 Sistema de Comunicaciones va radio: HF, VHF, UHF, SHF, EHF y tropodifusin.1122C A P T U L OII2.ELEMENTOS DE PROPAGACIN.PROPIEDADES ELCTRICAS.PARAMTROSDISTRIBUIDOS2.1INTRODUCCIN: Fig. 2.1Sistema de Comunicaciones a travs de lnea fsica.Los parmetros, como frecuencia y longitud determinan las igualdades o desigualdades de corrientes y voltajes a lo largo de la lnea.Si la frecuencia es baja, audio frecuencia y/o si la distancia es corta:I1 =I2(2.1)

E1 =E2(2.2)Paraestecasolalneasecomportacomouncortocircuito, oseaen forma puntual.Si la frecuencia es alta y/o la longitud L 0.1 :I1 I2(2.3) en magnitud y faseE1 E2(2.4) en magnitud y fasePara este caso la lnea presenta parmetros distribuidos, intangibles, a lo largo de ella, por lo que la corriente que entra a un x de lnea es diferente de la que sale de ese x de lnea. En la prctica, si:L 0.1(2.5)sedebetenerencuentalosparmetrosdistribuidosalolargodela lnea.Por ejemplo, para la frecuencia de la energa elctrica, 60 Hz, kmHz sgkm000 . 560000 . 3001 . Para 100 MHz,metros 32 , por lo que, para parmetros distribuidos se tieneparael primercaso, L1 500km; yparael segundo, L2 30 centmetros.2.1.1ParmetrosConcentrados:Sonelementostangibles; los podemos quitar o colocar en un circuito, tales como R, L, C, G.2.1.2ParmetrosDistribuidos:Cuandosetieneunalneade transmisindel tipobsicoconformadapordosalambresparalelos, o sea una lnea abierta, de seccin uniforme y separados por una distancia d, aparecenalolargodelalnea, uniformementedistribuidosunos elementos que no los podemos tratar en forma aislada. Dichos elementos son: R, L, C, G.2.1.3 Impedancia CaractersticaZ0: Eslarelacinentreel fasor voltaje y el fasor corriente alo largo de una lnea de transmisin uniformeterminadaensuimpedanciacaractersticaZo. Esigual en cualquier punto de la lnea.2.1.4Constante de atenuacin : Es el grado de disminucin que presentaunaondaamedidaqueavanzaendireccincontrariaala fuente. Por consiguiente, las ondas de voltaje y corriente en una lnea de transmisin se atenan con la distancia de acuerdo al trmino.e-L, dondeLesladistanciaenmts, kmsetc; yVVX1Cambio relativo de intensidad de corriente o voltaje por unidad de longitud, y las unidades son metrosneper .Por tanto, L es:( ) longitud de unidadlongitud de unidadcorriente de ensidad o voltaje de relativo cambio.. .... .... .. int .. .. .. .. ..

`

(|=Neper. El neper se puede pasar a las unidades de dB.132.1.7 Constante de Fase : Mide la diferencia de fase entre las corrientes o voltajes de entrada y salida y representa el cambio de fase relativo por unidad de longitud. El factor e-jL es un nmero complejo cuya magnitud eslaunidad, por loquenoafectalasmagnitudesdelosfasoresde voltaje y corriente, y cuyo ngulo de fase es - L (radianes).2.1.7 Longitud de Onda :Otra forma de definirla, puesto que ya se haba definido en el apartado 1.2 es: la distancia sobre la cual la fase cambia en 2 radianes. Tambin se puede establecer que: La distancia que recorre una onda a lo largo de la lnea de transmisin mientras el ngulo x cambia 2radianes, se llama longitud de onda. x = = 2 , de donde: = 2 / (2.6) 2.1.7 Velocidad de Fase Vp:Es la velocidad con la cual un punto de valor de fase constante avanza a lo largo de la lnea de transmisin. Un concepto adicional de velocidad, el de velocidad de grupo, es necesario, cuando setratadesituacionesdondelavelocidaddefaseenunsistemade transmisin no es la misma para todas las componentes de frecuencias delaseal del espectrodeFourier. Paralamayoradelaslneasde transmisin usadas a altas frecuencias, como se ve en el captulo 7, esta complicacin no se presenta, y la velocidad de fase tiene el mismo valor que la velocidad de grupo. Y = vt para el caso cuando la onda ha recorrido , la velocidad v es la de fase Vpy el espacio y, es , por lo que, = VpT, ya que en este caso t = T. Vp = f= 2 f/= w/ . (2.7)La velocidad de fase dada por la ec. 2.7 para una sinusoide de frecuencia nica se analiza para representar la velocidad con la cual un observadorha deviajar para mantener constante la fase instantnea. Para el factor:ej(wt-x) = ejw(t-x/w) = ejw(t-x/vp)La fase instantnea (wt- x) permanece constante s el observador viaja conla velocidadvptal quex =vpt+C.Estavelocidadesas conocida comovelocidaddefase. Si sucedeque vpes lamismaparacada 14componente de frecuencia y no existe atenuacin, las ondas componentes se sumarn con la mismafaseen cada punto a lo largo de la lnea para reproducir exactamente la forma de onda original, pero retardada por el tiempo de propagacin x/vp. La velocidad vp describe en este caso la velocidad con que la onda se mueve a lo largo de la lnea y sepuededecirqueeslavelocidaddepropagacin. Estecasoocurre para la lnea sin prdidas o en las frecuencias altas donde vp es igual a 1/(LC)1/2.Para laslneas de transmisin con prdidas y para otras guas de ondas electromagnticas, la velocidad de fase puede variar con la frecuencia. En este caso las componentes sinusoidales individuales se desplazan en fase en la medida como ellas se mueven a lo largo de la lnea, las ondas ms rpidas adelantndose y las ms lentas atrasndose. Este fenmeno se conoce como dispersin, en donde la onda resultante en cualesquier puntoa lo largo de la lnea es completamente diferente de laondaenviada. Enestecasonoexisteunadefinicindevelocidad, simplemente la seal se pierde. Cuando existe una dispersin relativamentepequeasobrelabandadefrecuenciadeinters, sin embargo, la velocidad de grupo es un concepto adicional ms til. sobre el concepto de velocidad de grupo se trata en el apartado 4.2. Una funcin del tiempo con forma de onda arbitraria se puede expresar como una suma sinusoidal de ondas por el anlisis de Fourier.2.1.8 Constante de Propagacin : Tambin se le conoce con los smbolos, o , es la constante que rene las constantes de atenuacin y de fase.= = =+ j(2.8)2.2 PARAMETROS DISTRIBUIDOS PARA LA LNEA DE TRANSMISIN2.2.1 Impedancia de la Lnea: Esta cantidad se define como,Z = R + jwL (2.9)(a) Resistencia de la lnea: Como los alambres estn hechos de cobre, aluminio o cualesquier otro material, presentan una determinada resistencia al paso de la corriente. Como la seccin es constante, esta resistencia se presenta uniformemente distribuida a lo 15largo de dicha lnea. Si se trabaja en radio frecuencia, es posible que la lnea radie energa en forma de ondas electromagnticas.Estaprdidadeenergasepuedeconsiderar comosi sehubiera aumentado la resistencia de la lnea en una resistencia ficticia llamada resistencia deradiacin, el cual serigual ala potencia radiada divididaentrelacorrienteal cuadrado; estaradiacinsereduceal mnimo si la distancia d entre los dos conductores es muy pequea yportantoel retornodelacorrienteyvoltajenodebehacersea travs de tierra. d< 0.1(2.10)(b) Inductanciadelalnea:Cuandocirculacorrientepor los alambre, se establece alrededor ellos un campo magntico, este campo es inducido por las corrientes que circulan por los alambres, por lo que se puede decir que hay una inductancia presente que est uniformemente distribuida por toda la lnea.2.2.2 Admitancia de la Lnea: Esta cantidad se define como,Y = G + JwC(2.11)Elhecho de que las corrientesde entrada y salida de la lnea sean diferentes, nos llevaapensar queentrelos alambres existeuna admitancia, aunque no haya conexin entre ellos.(a)Conductancia de la lnea:El dielctrico, material que se opone al paso de corriente, no es un perfecto aislador, luego existen corrientes de fugaentre los alambres, estose presenta comosi hubiera una conductanciauniformemente distribuida a lo largo de la lnea.(b) Capacitancia de la lnea: La lnea est conformada por dos conductoresseparadospor undielctrico, aire, enestecaso, esto hacequeexistaunacapacitanciauniformementedistribuidaalo largo de toda la lnea.2.3 CIRCUITO EQUIVALENTE DE UN ELEMENTO xDE LNEA EN UNA LINEA DE TRANSMISINYa se conoce que los parmetros de una lnea de transmisin uniforme y homognea, estn distribuidos uniformemente a lo largo de dicha lnea, porlotantoesimposibledibujaruncircuitoequivalenteexactodela lnea, puesto que no hay smbolos para representar parmetros distribuidos.16ConsiderandounaporcindelalneadeTx, sucircuitoequivalente aproximado ser:Fig.2.2Circuito T equivalente para una seccin de lnea x.Los valores numricos de estos parmetros distribuidos se expresan por unidadde longitud, dado que la resistencia y la inductancia estn presentes en los dos lados de la lnea, o sea que, por definicin:R = Resistencia de ida y vuelta, resistencia de lazo, por unidad de longitud de lalnea. = suma de las resistencias de los dos alambres por unidad de longitud.L = Inductancia de lazo por unidad de longitud de la lnea.Laconductanciaylacapacitanciadelalneaexistenentrelos dos alambres, de modo que no es necesaria la especificacin de lazo. G = Conductancia en paralelo entre alambres, por unidad de longitud de lnea.C = Capacitancia en paralelo entre los alambres por unidad de longitud de lnea.Por lo tanto se usarn los trminos:Impedanciadebuclepor unidaddelongituddelnea, /unidadde longitud.Admitancia en paralelo por unidad de longitud de lnea, /unidad de longitud. Z 1/Y (2.12)17Estos parmetros se pueden calcular teniendo los siguientes valores:Longituddelalnea, resistividad, seccintransversal, conductividad, temperatura, permeabilidad y profundidad cortical. Por lo general estos parmetros los entrega el fabricante. No es de inters para el curso, el entrar a realizar este tipo de clculos.IMPEDANCIA CARACTERSTICA Z0 EN FUNCIN DE LOS PARMETROS DISTRIBUIDOSConsiderandoel circuitoequivalentedeunaporcin Xdelneade transmisin y conociendo los parmetros R, L, C y G, se puede analizar el comportamiento de la lnea frente a una seal.Setienelalneaconstituidapor unagrannmerodeelementosde longitud X; cada uno tiene una inductancia de lazo L X en serie, una resistencia de lazo R X en serie; una conductancia G X en paralelo y una capacitancia C X en paralelo.La impedancia serie: Z X = R X + JWL X=Z X = (R + JWL) XLa admitancia paralelo: Y X = G X + JWC X = Y X = (G + JWC) XEl circuito equivalente se puede disponer como una configuracin T o .Si consideramos el caso lmite, cuando X tiende a cero, la lnea queda constituida por un nmero infinito de secciones T en cascada o tanden, y sinafectarseentres, si lalneaestterminadaensuimpedancia caracterstica Z0, puede aprovecharse para calcular la variacin de las corrientes y las tensiones estacionarias a lo largo de ella. Fig. 2.3 Fig. 2.4R/2L/2 R/2 L/218Partiendo de que la lnea est terminada en su impedancia caracterstica Z0, determinaremos la impedancia de entrada, Zin= Z0, al igual que la variacin de corrientes y voltajes a lo largo de ella.Fig. 2.54222 2212 112121211 10 0 0ZZ ZZZZZZZZZ Z Z Z Zs t in+

`

(|++ `

(|+ (2.13)Para que la ec. 2.13 sea vlida se necesita que la impedancia terminal sea Z0 como se estableci.Ejercicio2.1:Determinelaec. 2.13, igualandolaimpedanciade entrada a Z0.Para aplicar la ec. 2.13de parmetros concentrados a una seccin x delnea, lacual estespecificadapor losparmetrosdistribuidosse hace:Z1 = Z x(2.14) yZ2 = 1/Y x (2.15) Remplazando, las ecs.2.14 y 2.15 en la ec. 2.13, se tiene: ( )( )YZxZYYZx limx Zx Y x ZZ ]]]

+ +22041 ) 0 (4++jwC GjwL R (2.16)Ejercicio2.2:Expliqueel porquenlaecuacin2.16, sehizoque x0.La impedancia caracterstica Z0, es funcin de la frecuencia de trabajo, adems que de los parmetros de la lnea. Es igual en cualesquier punto de la lnea cuando sta est terminada en Z0, ya que Z0se itera a la entrada de cada x a lo largo de la lnea de transmisin.192.5 CONSTANTE DE PROPAGACIN PARA UN ELEMENTO DE LNEA x Fig. 2.6SeaplicaunvoltajeE1alaentrada, el originaunacorrienteI1ala entrada e I2 y E2 a la salida. Aplicando divisor de corrientes:20122101221 22, ,2ZZZZIIdedondeZZZZI I+ ++ + (2.17)Como E1 = I1Z0 (2.18)yE2 = I2Z0 (2.19)Reemplazando las ecs. 2.18 y 2.19 en la ec.2.17 se obtiene:E1/E2 = I1/I2=(Z1/2 + Z2 + Z0) /Z2 (2.20)Se puede considerar la lnea de transmisin terminada en su impedancia caracterstica, como una serie de secciones T conectadas en cascada, con todas estas secciones de igual comportamiento. Por esto la llamamos estructura iterativa. Luego, las relaciones de voltajes y corrientes a lo largo de toda la estructura iterativaes:E0/E1=E1/E2 = E2/E3 =...En-1/En = I0/I1= I1/I2 =...In-1/In =(Z1/2 + Z2 + Z0)/Z2 (2.21)20La relacin de voltajes o corrientes es igual para todas las secciones T, esto indica que cada seccin drena la misma proporcin de corriente, y no el mismo valor.Estas relaciones sepuedenexpresar logartmicamentedefiniendola constante de propagacinas:e

= In-1/ In=En-1/En =(Z1/2 + Z2 + Z0)/Z2 (2.22)Se sabe que la constante de propagacin en forma rectangular es:= + j(2.23) y en forma polare = In-1/In (2.24) e(+j) = In-1/In =e. ej , de donde:= ln 1 In-1/In1 =ln 1 En-1/En1 (2.25)= = argumento (Z1/2 + Z2 + Z0)/Z2 (2.26)Estas relaciones determinan los valores de y para cada seccin T.Supongamos que se quiera hallar la corriente a la salida de la etapa n-sima en funcin de la I0 de la primera etapa. De la ec.2.22 se obtiene.I0/In = I0/I1 . I1/I2 . I2/I3 ...... In-1 /In=(e)n = en (2.27)n= constante de propagacin total = n+ jn(2.28)t= n (nepers) = atenuacin total = (u. De seccin)(neper o dB/ u. De seccin)21t= n (radianes) = fase total = (unidades de seccin)(radianes/unidades de seccin) e = (Z1/2 + Z2 + Z0)/Z2= Z2/Z2 + Z1/2Z2 + Z0/Z2 (2.29)Recordemos que la ecuacin 2.13:4212 1 0ZZ Z Z + ; remplazando la ec.2.13 en la ec.2.29se obtiene:

`

(|+ + + 2121214121ZZZZZZe(2.30)Para una seccin x, se tiene, nuevamente, Z1= Z X y Z2= 1/Y X, reemplazando las ecs. 2.14 y 2.15 en la ec.2.30, para un elemento de lnea X:e X = 1 + (ZY/Z) ( X)2 + ZY X. 1 + (ZY/4)( X)2(2.31)Se trata de evaluar en trminos de Z y Y. Esto se logra expandiendo los dos miembros de la ecuacin anterior en series. Se tiene que: e = 1 + + 2/2! + 3/3! + ..... - < < (2.32)Reemplazando la ec. 2.32 en la ec.2.31 se obtiene la ec. 2.33.) 33 . 2 ..( ..........! 3 ! 213322+ + + + X X X eX Tambin se sabe que:1 1 ... .........16181211 13 2 + + + a para a a a a (2.34)22Se expande solo el segundo radical de la ec. 2.31. ( ) ( ) ( )4 2 2 2 2128181141 X Y Z X ZY XZY + +(2.35)Reemplazando la ec.35 en la ec.2.31 se tiene:( ) ( ) ( ) ( )]]]

+ + + + ..........1281811214 2 2 2 2X Y Z X ZY X ZY XZYeX (2.36)Igualandolas ecs.2.33 y 2.36, se obtiene: + + + + .... ..........! 3 ! 213322X X X ( ) ( ) ( ) ( )]]]

+ + + + ..........1281811214 2 2 2 2X Y Z X ZY X ZY XZY (2.37)Luego de eliminar los unos a la izquierda y a la derecha de la ec.2.37, a la ecuacin que queda se aplica a ambos trminos el lmite cuando x tiende a cero, obtenindose: = ZY (2.38) =(R + jwL)(G + jwc)=+ j (2.39) Explique nuevamente el por qu para hallar la funcin de propagacin se hace nuevamente tender X a cero.23222.6PARMETROSDISTRIBUIDOSPARALASLNEASDE ALAMBRES PARALELOSYLOSCABLESCOAXIALESa.-Lnea de alambres paralelos:s conductore los de dentro amiento alconcaten debido metros HenriosrsLd c.. .. .. .. .. / ln4 + s conductore los de fuera iento concatenam al debido .. .. .. .. .. .. .. + (2.40)metros FaradiosrsC /2cosh tg10 (2.41)) 43 . 2 .....( /2.......... )......... 42 . 2 ...( .......... .......... /22metro fur RR metrorrRcdcca cc b.- LneaCoaxial:( )metro Henriosr rrrrr rrrrLc d/2ln48ln222232323222234312]]]]

+ = debido al concatenamiento entre conductores + debido al concatenamiento dentro de los conductores (2.44)metro FaradiosrrCd/ln212(2.45)

`

(|+ 2223 11 1 1r r rRdcOhmios/metros (2.46)

`

(|+ 2 11 14 r rfRcac Ohmios/metros(2.47)Donde d = permitividad dielctrica=k00= 10-9/36mksc=permeabilidad del conductor=(r)c0d=permeabilidad del dielctrico=(r)d00=4 *10-7mks =conductividad de los conductores r3 r2 r1r Sr C A P T U L O III3. DISTRIBUCINDELOSCAMPOSELCTRICOSY MAGNTICOSEN LOS CABLES DEIDAY RETORNO EN UNA LNEA DE TRANSMISINDEBIDOSAUNAFUENTEDE VOLTAJEAPLICADA3.1 INTRODUCCINEnunalneadetransmisinloscamposelctricosymagnticosalo largo de los cables de la lnea de transmisin abierta producidos por VAB se muestran en la fig. 3.1, donde se observa como los campos magnticoscambian de sentido a lo largo de los cables con los cambios de sentido del campo elctrico. Fig. 3.1Campos magnticos en los cables A y B de una lnea de transmisin generados por el campo elctrico E producido por la fuente de voltaje VAB233.2ECUACIONES DE VOLTAJES Y CORRIENTES PARA UNA LINEA DE TRANSMISIN TERMINADA EN Z0Se denomina Es, Is voltaje y corriente a la entrada de la lnea. Ex, Ix voltaje y corriente a una distancia cualesquiera x del transmisor. Ir, Er, corriente y voltaje en la carga o extremo receptor.Comolalneaestterminadaensuimpedanciacaractersticasolose produce una onda de voltaje y corriente, la incidente, por lo que haciendo uso de la ecuacin2.17odela2.22, peroobservandoqueenestecasonoesparaun cuadripolo, ni paraunelemento X, tampocoparancuadripolosen cascadas sino para una distancia cualesquiera X a lo largo de la lnea de transmisin, se obtienen las siguientes relaciones:Fig. 3.2 Lnea finita terminada en Zr = Z0Is/Ix = ex (3.1) Es/Ex = ex (3.2)3.3 ECUACIONES DIFERENCIALES GENERALES PARA VOLTAJES Y CORRIENTES PARA UNA LNEA DE TRANSMISIN TERMINADA EN ZR Z0.En parmetros concentrados, las corrientes y voltajes de cada elemento son constantes.24Enparmetrosdistribuidos, si aumentamoslalongituddelalneade transmisin, laimpedanciaserie(Z X)ylaadmitanciaenderivacin (Y X) varan, o sea que las corrientes y voltajes tambin varan.Cuandolascorrientesyvoltajesvaranpuntualmentealolargodela lneasetrabajacondiferenciales delnea, generndoseecuaciones diferenciales.Fig. 3.3 Derivacin de ecuaciones de voltaje y corriente para Zr ZoTrabajandosobrelaseccin X, comosemuestraenlafig. 3.3, se tiene, que la impedancia depende del tamao de la porcin X, por lo que: Z X.Aplicando la ley de voltaje de Kirchhoff a la seccin X tenemos:Ex E (X + X) = Z X [I(X + X/2)]= E(X + X) Ex = - Z X [I(X+ X/2)]Dividiendo por X y tomando lmites:Lim X0[E(X+ X)EX]/ X=-ZLim X0[ X. I(X+ X/2)]/ XdEx/dX = -Z.I(X) = xZIdxx dE ) ( (3.3)Sobrelamismaseccinaplicamosleydecorrientes deKirchhoff se tiene:Ix [I(X+ X)]=E(X + X/2). Y X25Dividiendo y tomando limites.Lim X0 [E(X + X) EX]/ X = -Y Lim X0 [ X. E(X + X/2)]/ X

dI(X)/dX = -Y.E(X) =xxYEdxdI (3.4)El signo menos de las ecuaciones 3.1 y 3.2, indica que a medida que las ondas de voltaje y corriente avanzan hacia el receptor ellas disminuyen. Estas ecuaciones tambin indican que en cualesquier punto de una lnea de transmisin, los voltajes y corrientes estn interrelacionados.Diferenciando la ec.3.3,dxx dEZdx x E d ) ( ) (22 y reemplazndola en la ec.3.4, se obtiene:) () (22x ZYEdx x E d(3.5) Haciendo lo mismo con la ec.3.4, se obtiene:) () (22x ZYIdx x I d(3.6)Las ecs. 3.5 y 3.6, quedan as:0 ) () (22 x ZYEdx x E d(3.7)y 0 ) () (22 x ZYIdx x I d(3.8)De las ecs. 3.7 y 3.8 se obtiene:( ) ( ) 0 ) ( ; 0 ) (2 2 x I ZY P x E ZY P (3.9)De donde,ZY P t 2 , 1 (3.10)Las ecs. 3.7 y 3.8, son ecuaciones espaciales diferenciales lineales con coeficientes constantes, y cuyas soluciones son:xx x ZY x ZY x P x Pe A e A e A e A e A e A x E + + + 2 1 2 1 2 12 1) ( (3.11)26x xe B e B x I + 2 1) ((3.12)Lasecs. 3.11y3.12, sonlassolucionesgeneralesdelasondasde voltajes y corrientes para una lnea de transmisin, puesto que Zr Z0. Las Aiy Bi, son constantes pero con dimensiones de voltaje y corriente respectivamente.ParadeterminarlarelacinqueexisteentrelosAiyBi, sederivala ec.3.11y seigualaconlaec.3.3yluegose reemplazaenlaec.3.12, originando: x xeZAeZAx I + 0201) ( (3.13)Otra forma de determinar las ecs. 3.11 y 3.13 es como sigue: 3.3.1DETERMINACIN DE LAS ECUACIONES 3.11 Y 3.13Considrese una lnea de transmisin uniforme de dos hilos, fig. 3.3.1, en donde se toma una seccin infinitesimaldx de la lnea y donde se suponequeenellaestpresenteunaondaarmnicamentevariable. Sea V la tensin a travs de la lnea e I la corriente por los conductores. La cada de voltaje o tensin dV que se produce en la seccin elemental dx es igual a la cada de tensin IZ por unidad de longitud multiplicada por la longitud dx del elemento, esto es: I dV VdxFig. 3.3.1Lnea de transmisin de dos conductoresdV = IZdx (3.3.1) IZdxdV(3.3.2)La variacin de la corriente dI entre los extremos de la seccin dx es igual a la corriente en derivacin por unidad de longitud VY que fluye a 27travs de la lnea multiplicada tambin por la longitud de la seccin, esto es:dI = VYdx (3.3.3) VYdxdI(3.3.4)Diferenciando las ecs. 3.3.2 y 3.3.4 respecto de x se obtienen:ZYVdxdZIdxdIZdxdZIdxV d+ + 22(3.3.5)ZYIdxdYVdxdVYdxdYVdxI d+ + 22(3.3.6)EnunalneauniformeZyYsonindependientesdex, novaranalo largo de la lnea, por lo que los respectivos trminos son nulos, quedando las ecs. 3.3.5 y 3.3.6:022 ZYVdxV d (3.3.7) 022 ZYIdxI d (3.3.8)Las ecs. 3.3.7 y 3.3.8 son las ecuaciones diferenciales bsicas de una lnea de transmisin uniforme, esto es, ecuaciones diferenciales lineales, desegundoorden, concoeficientes constantes. Ellasnodicennada especfico acerca de la distribucin de tensin y corriente en una lnea detransmisinenparticular. Paraobtener estainformacinsehace necesario obtener en primer trmino una solucin adecuada a las condiciones impuestas. Las ecs. 3.3.7 y 3.3.8 ya han sido solucionadas para el caso de las redes LC serie o paralela energizadas por un impulso o funcin delta de dirac, (t), de voltaje o corriente respectivamente, solo que esta es una ecuacin espacial y no temporal, por lo que t se cambia por x en la solucin ya conocida: xe V(3.3.9)Por lo que: xedxV d222(3.3.10)Remplazando la ec. 3.3.10 en la ec. 3.3.7:( ) 02 xe ZY(3.3.11)28La ec. 3.3.11 solo se cumple s el parntesis es nulo: ( ) 02 ZY (3.3.12)Laec. 3.3.12, conocidacomoauxiliarocaractersticatienedosraces desiguales:ZY t (3.3.13)de modo que la solucin general de la ec. 3.3.10 es:x ZY x ZYe C e C V+ 2 1 (3.3.14)Como era de esperarse puesto que la ecuacin de segundo orden debe tener dos constantes, en este caso, C1 y C2. Haciendo lo propio con la ec. 3.3.8, se obtiene:x ZY x ZYeYZCeYZCI 2 1(3.3.15)Para evaluar las constantes se observa en la ec. 3.3.14 que cuando x = 0:V=C1 + C2(3.3.16)DondeVeslatensininstantneaenel puntox=0delalnea. Se puede considerar esta tensin como la suma de dos tensiones que, en general, sondeamplitudesdiferentesyvaranarmnicamenteconel tiempo. Sean V1 y V2 las amplitudes de estas tensiones. Las cantidades C 1 y C2 son constantes respecto de x pero pueden ser consideradas como variables respecto del tiempo. Se puede por tanto escribir:jwte V C1 1 (3.3.17)jwte V C2 2 (3.3.18)Por lo tanto la ec. 3.3.16 queda para x = 0:jwt jwte V e V V2 1+ (3.3.19)29Introduciendolasecs. 3.3.17y3.3.18enlasecs. 3.3.14y3.3.15se obtiene:x ZYjwt x ZY jwte e V e e V V+ 2 1(3.3.20)x ZYjwtx ZYjwteYZe VeYZe VI+ 2 1 (3.3.21)Donde como se demostr enel apartado 2.5 la cantidad j ZY + , se conoce con el nombre de constante de propagacin, es en general un nmero complejo, con la parte real denominada constante de atenuacin y la parte imaginaria llamada constante de fase. Introduciendo este valor en las ecs. 3.3.20 y 3.3.21 se obtiene: ( ) ( )i rx wt j x x wt j xxjwt x jwtV V e e V e e V e e V e e V V + + + + 2 1 2 1(3.3.22)( ) ( )i rx wt j x x wt j x xjwtxjwtI I e eYZVe eYZVeYZe VeYZe VI + + + + 2 1 2 1 (3.3.23)La ec. 3.3.22 es la solucin para la tensin en la lnea de transmisin y consta de dos trminos, el segundo que involucra el argumento ( ) x wt , representa a una onda que avanza segn el sentido positivo de x a lo largo de la lnea. La magnitud de esta onda para x = 0 y t = 0 es V2 y el factorxeindicaqueestaondadecreceenmagnitudamedidaque avanza segn el sentido positivo de x. El primertrmino que involucra el argumento ( ) x wt + representa una onda que avanza segn el sentido negativode x y la magnitud de ella para x = 0 y t = 0 es V1, y el factor xe indica que la onda decrece en magnitud a medida que avanza segn el sentidonegativodex. Lostrminosxeyxe seconocencomo factores deatenuacin, siendolaconstantedeatenuacinylos trminos( ) x wt je tsonlosfactoresdefase, siendolaconstantede fase.La ec. 3.3.23 para corrientetiene la misma interpretacin que se acaba de analizar para voltaje en la ec. 3.3.22.303.3.2IMPEDANCIACARACTERSTICA:Mirandoslolasondasque avanzanenel sentidopositivodexparalatensinylacorriente, se obtiene de su relacin:( )( ) YZYZVVIVe e Ie e VIVZx wt jxx wt jxii1111110(3.3.24)Se observa de la ec. 3.3.24 que la impedancia caracterstica depende de los parmetros de la lnea de transmisin, por lo que si se termina en el extremo receptor la lnea por este valor Z0se obtiene adaptacin a lo largo de ella y si para altas frecuencias donde R y G son despreciables se obtiene mxima transferencia de potencia adems de la adaptacin. Analizando los otros trminos de las ondas de tensin y corriente que avanzan en el sentido negativo de x se obtiene:( )( ) ++YZIVe e Ie e VIVZx wt j xx wt j xrr22220 (3.3.25)Se observa que el sentido negativo en la ec. 3.3.25 corresponde solo al significado que las ondas reflejadas de tensin y corriente tienen sentido opuestoalasincidentesynoaquelalneadetransmisinnosea bidireccional.Ejercicio: Explique por qu para determinar las ecuaciones de onda de voltajeycorrienteenlalneadetransmisinsetomaronelementos diferenciales de lnea, esto es,x de lnea tendiendo a cero.Note que para este apartado 3.3.1 la referencia es la misma que para el resto del documento, esto es, en el extremo transmisor x = 0 y en el extremo receptor x = l, como en la fig. 3.2.3.4 ECUACIONESDEONDASDEVOLTAJESYCORRIENTESEN UNA LNEA INFINITA31Fig. 3.4Lnea infinita terminada en Zr Z0 Si se considera que la lnea es infinita:Para x=, se aplica la ec. 3.11, + + e AeAe A e A e A E x Exr 121 2 1) ( , de donde se obtiene, 01 eEAr, independiente del valor finito de Er. Las ecuaciones de voltaje y corriente que se originan bajo estas circunstancias son iguales a:

xe A x E 2) ((3.14) y,xeZAx I 02) ((3.15)Para x = 0, E(x) = Es = A2; I(x) = Is = A2/Z0, obtenindose las ecuaciones para la lnea infinita: xse E x E ) ((3.16) y x s xseZEe I x I 0) ( (3.17)Lasecs. 3.16y3.17devoltajeycorrientedeunalneainfinitanos indicanqueellasecomportacomounalneafinitaadaptadaosea terminada en Zo, o sea que la fig. 3.4 de una lnea infinita terminada en cualesquier impedancia de carga es equivalente a la lnea finita terminada en Z0. Una lnea se puede considerar infinita si: L 2.3 neper(3.18) L 20 dB (3.19)3.4.1 IMPEDANCIA DE ENTRADA DE LA LINEA INFINITAPara cualquier carga, ya sea, Z0,Zr Z0, circuito abierto, corto circuito:32Zin = Es/IsPara la lnea infinita Is = Es/Z0 , de donde, Es/Is = Z0=Zin La impedancia de entrada para una lnea infinita es igual a Z0.El resultado es igual para una lnea finita pero si Zr = Z0.Ejemplo3.1:Calcular , Z0, , Vp, Er, Ir, para una lnea de transmisin que tiene los siguientes datos:R= 10.4 /milla; C= 0.0088 f/milla; L= 3.6 mH/milla;G= 3.4 mhos /milla.Lalneaseconectaaungenerador de600 deimpedanciainterna resistiva pura, con tensin de 2 voltios. La lnea est terminada en Z0, f = 796Hz, la longitud de la es de100 millas, como se muestra en la fig. 3.5.Solucin:Z = R + jwL= 10.4 + J2 .796 x 3.6 x 10-3Z = 10.4 + j 5000 x 3.6 x 10-3 = 10.4 + j18 =20.788 59.98Y = G + jwc= 3.4 x 10-6 + j 5000 x 0.0088 x 10-6= 3.4 x 10-6 + j 4.4 x 10-5Fig. 3.5 Del ejemplo 3.1.Y = 4.413 x 10-585.58Z0 = Z/Y= (20.788 59.98)/(4.413 x 10-585.58) = 471062.769 -25.633Z0 = 686.34 -12.8 = 669.284 j 152.057= Z.Y=20.788 59.98x 4.413 x 10-5 85.58 = 9.173 x 10-4 145.56=0.030286 72.78 =30.286 x 10-3 72.78 = 8.965 x 10-3 + j0.028928= 8.965 x 10-3 + j 28.928 x 10-3= 8.965 x 10-3[ neper/milla]= 28.928 x 10-3[ rad/milla]=1.65 [grados/milla).t = .l = 8.965 x 10-3 x 100= 0.8965[neper] Equivale a una lnea finita, puesto que, t < 2.3 neper.Pero se pueden aplicar las frmulas de la lnea infinita, ya que Zr = Z0.t= .l =t = 1.65 x 100 = 1650= 2 / =2 [rad]/28.928 x 10-3 rad/milla =217.2 millasVp = W/B = (5000 rad/seg)/(28.928 x 10-3rad/milla) = 172.842millas/seg1 milla = 1.60934 Km.Vp = 278.163 Km./seg.= 92.72%C= casi el 93 por ciento de la velocidad de la luz.Zin = Z0= 686.34 -12.8 = 669.284 j152.057Is = (Eg)/(Zg+Zin)=(Eg)/ (Zg+Z0)Is = (2)/(600 + 669.284 j152.057)=(2)/(1269.284 j152.057)Is = (2)/(1287.359 -6.83)=1.564 x 10-3 6.83[amperios]Is = 1.564 x 10-3 6.83[amperios]Es = Is.Z0Es = 1.564 x 10-3 6.83x683.34-12.8Es = 1.07343-5.97[voltios]Es = 1073.43 x 10-3 -5.97[voltios]Ex = Es e-XIx = (Es/Z0) e-X=Is e-XSe aplican las ecuaciones de la lnea infinita.34

En el receptor, se tiene x = l. E(x) = E(l) = Er = Es e-X= Ese-l; I(x) = I(l) = Ir = Is e-X = Ise-le-L= e-L . e-jL= e-L Le-L = e-0.8965[neper]=0.407995=407.995 x 10-3- L = -165e-L = 407.995 x 10-3 -165Er = Es e-L = 1073.43 x 10-3 -5.97x407.995 x 10-3 -165Er = 437.954 x 10-3

-170.97[voltios]Ir = Is e-LIr = 1.564 x 10-36.83x 407.995 x 10-3 -165Ir = 6.381 x 10-4-158.17[amperios]Otra forma:Ir = Er/Zr=Er/Z0= (437.954 x10-3 -170.97)/(686.34 -12.8)Ir = 6.381 x 10-4 -158.17[amperios]POTENCIA.Pr = Er Ir cos r; donde, r = nguloentre Er e Ir, originando: r = - 170.970 (-158.170)= -12.8Pr=437.954x10-3x 6.381x10-4x cos r = 272.51 x 10-6watt = 272,51 vatios.Se puede verificar con otras expresiones.a. Pr = Ir2Rr= (6.381 x 10-4)2 x 669.284 = 272.51 wattb. Pr= Ir2Zrcos r=(6.381x10-4)2x686cos12.8=272.51 wattc. Pr = [ Er2/Zr]cos r = [(437.954 x 10-3)2/686.340]cos12.8 =272.51uwatt35d. Pr =[ Er2/Rr]cos2 r =[(437.754x10-3)2/669.284]cos2(-12.8) = 272.51 wattPr (dBm) = 10 log(Pr/1mwatt) = 10 log (272.51 x 10-6watt/10-3watt)Pr (dBm) = 10 log [0.27251mwatt/1mwatt] =-5.646dBm.Ejemplo 3.2: Un cable telefnico de longitud 6 Km. tiene los siguientes parmetros: R=85 /km;C= 0.084 F/km;L = 0.78mH/km yG = 0.6 u.mhos /Km.Une un transmisor de 600de impedancia interna y un voltaje de 4 voltios, operando a una frecuencia de 15.5 KHz, como se muestra en la fig. 3.6.Determinar: (a) el voltaje, (b) la corriente, (c) la potencia en el receptor,(d) la potencia a la entrada de la lnea y (e) la atenuacin, en dB a 2 Km. de la carga.Fig. 3.6Para el ejemplo 3.2W = 2 f = 2x 15.5 x 103= 97389.37 rad/segZ = R + jwL= 85 + j97389.37 x 0.78 x 10-3 = 85 + j75.963= 113.997 41.78Y = G + jwc=0.6 x 10-6 + j97389.37 x 0.084 x 10-6Y = 0.6 x 10-6 + j8.18 x 10-3= 8.18 x 10-3 89.99Z0= Z/Y = (113.997 41.78)/(8.18 x 10-389.99) = 118.051 -24.1Z0 = 107.76 J48.203= Z.Y= 113.997 41.78 x 8.18 x 10-3 89.99 = 965.658 x 10-365.88= 0.3946 + j0.881336= 0.3946 neper/Km. t = L = 0.3946 x 6 t = 2.3676 neper= 0.8813 rad/Km. t = L = 0.8813 x 6 t = 5.2878 radianes t = 302.96 t = 2.3676 neper>2.3 neper.Se considera lnea infinita, luego no importa la terminacin Zr de la lnea.Zin = Z0Zin = 118.051-24.1Zin = 107.76 j48.203Parax = L, Er = Ex= Es e-Lindependiente de la carga ZrIr = Ix= Is e-LIs = (Eg)/(Zg + Zin) = (Eg)/(Zg + Z0) = (4)/(600 + 107.76 j48.203)Is = (4)/(707.76 j48.203) =(4)/(709.399 -3.89)= 5.63 x 10-33.89Es = Is.Z0Es = 5.63 x 10-3 3.89x118.051-24.1Es = 664.627 x 10-3-20.21[voltios]e-L = e-L . e-jLe-L = e-2.3676 = 0.093705e-JL = - L = -302.96e-L = 93.705 x 10-3-302.96Er = Es e-L = 664.627 x 10-3-20.21 x 93.705 x 10-3-302.96Er = 62.278 x 10-3 -323.17 [voltios]Ir = Is e-L = 5.63 x 10-33.89 x 93.705 x 10-3 -302.96Ir = 527.559 x 10-6 -299[amperios]Pr =ErIr cos rPr = 62.278 x 10-3 x 527.559 x 10-6 cos( 24.1)Pr = 29.991 x 10-6 vatiosPs = Es Is cos s s = ngulo entre Es y IsPs = 664.627 x 10-3 x 5.63 x 10-3 cos( 24.1)Ps = 3.415 x 10-3 vatios37Atenuacin en dB a 2Km de la carga.L = 6KmL1 = 6Km 2Km = 4Km L1 = 0.3946 x 4 = 1.5784 [neper]1 neper = 8.686dB1 milla = 1609.34 mts. L1 = 13.709 (dB), atenuacin a 4Km del transmisor. Ejemplo 3.3 En una lnea de transmisin de impedancia caracterstica Zo = 696,85 -11.420y de constante de propagacin ]]]

milla013 , 78 036306 . 0 , est terminada en su impedancia caracterstica y se han hecho las siguientes mediciones, 029 , 5 700138 , 2 Es voltios, en el extremo transmisor; 029 , 198 329696 , 1 Ervoltios, en el extremo receptor; a una frecuencia f = 1 kHz. Hallar (a) la longitud de la lnea, (b) la atenuacin en dB a 20 millas desde la carga, (c) la fase en grados a 20 millas desde la carga, (d) la velocidad de propagacin y (e) potencia en dBm a 45 millas desde la carga.Solucin.a) Zo = 683,053 j137,975. = 7,467*10-3 + j3,552*10-2 Es = 2,6886 j0.2489. Er = - 1,2625 + j0.41729De donde, = 7,467*10-3 (Neper/milla); = 3,552*10-2 (Rad/milla)=2,03514(grados/milla)Como existe adaptacin, Er = Ese-L, de donde, L e e eEsErL L j L , de donde, eL = 2,700138/1,329696, originando que: L = 94,86 millas. Halle usted este mismo valor igualando las fases.b)38La atenuacin a 74,86 millas es:x= 7,467*10-3(neper/milla)74,86millas=4,8535dBc)x = x = 2,03514(grados/milla)74,86millas = 152,28950d)vp= w/ = 2 (rad)1000Hz/3,552*10-2(rad/milla) = 284678,5815km/sg=94,89%Ce) La potencia a 45 millas desde la carga. P = /Ex//Ix/cos x, donde E(x) = Ese-x= /Es/e-xe-jx -5,290=2,700138e-7,467*0.001(nep/milla)(49,86millas) -106,7070=1,86 -106,70696,85 -11.420Is=Es/Zo=3,874*10-3 6,130, dedonde, Ix=Ise-x=5,621*10-3 -95,370. Para determinar la potencia: dBm x mwZExZExEx I E Px x x122214 , 23 10 8728 , 4 log 10 8728 , 4 cos cos cos3020 Ejemplo 3.4:Una lnea de transmisin que une a un transmisor con un receptorpresentalassiguientescaractersticas:R=4,5 /milla; C= 0.0092 F/milla; L = 3,44 mH/milla; G = 1 /milla. La longitud de la lnea es 50 millas, la impedancia del transmisor esZg = 600y genera unvoltajeen circuitoabiertode10voltios, Zr= Zode lalnea.Si la frecuencia de operacin es 796 Hz halle Zo, , , Vp, Ps y Pr ambos en dBm, diferencia de fase en un trayecto de 10 millas y la atenuacin que experimenta la seal a 25 millas.Solucin: Z = R + jwL = 17,778 75,3380. Y = G + jwC = 4,601*10-5 88,7540.609 , 72 35 , 617 708 , 6 606 , 6210jYZZo j j ZY + + 2 3 0 210 * 832 , 2 10 * 957 , 3 046 . 82 10 * 86 , 2 ,de 39donde, Nepers Lt19785 , 0 50 * 10 * 957 , 3 *3 y01 , 81 * Lt ]]]

millaNepers310 * 957 , 3 y]]]

]]]

millaGradosmillaRadianes622 , 1 10 * 837 , 22millasmillaRadRad863 , 22110 * 832 , 2) ( 2 22

`

(|

( )CmillakmmillaRadHz Rad fvp% 71 , 94 887 , 28413410 * 832 , 2796 2 22 ]]]

Ps=/Es//Is/coss, donde, Es = IsZo = VgZo/(Zin + Zg) = 5,096 -3,2950, eIs =8,199*10-3 3,4130Amp. De donde, Ps = 41,493 mwPara determinar a Pr = /Er//Ir/cos r, se tiene que: 0395 , 84 1812 , 4 LEse Er( ) ) 708 , 6 cos( 12 , 28 687 , 77 395 , 84 10 * 727 , 6 * 1812 , 4 Pr. 687 , 77 10 * 727 , 60 30 3 + CosIse IrL La atenuacin a 25 millas esNepersx09825 . 0 25 * 10 * 957 , 33 La diferencia de fase a 10 millas es0229 , 16 10 * 622 , 1 x4022C A P T U L OIV4.ONDAS PLANAS EN LOS MEDIOS DIELCTRICOS4.1INTRODUCCIN: La interdependencia entre los campos elctricos y magnticos queda demostrada por la propagacin de las ondas electromagnticas por el espacio. Parael estudiodelasondaselectromagnticasapartirdel casoms sencillo, o sea, el de una onda plana linealmente polarizada en un medio dielctrico o conductor sin prdidas, tambin denominadas onda principal, de orden cero, o TEM (transverso-electro-magntica) porque E y Hresultan ambos perpendiculares la direccin de propagacin como ha sidoestablecido. El estudio de las ondas planas constituye una excelente introduccin al de los fenmenos ondulatorios en general y en particular, al de los sistemas tales como las guas de onda, las lneas de transmisin y las fibras pticas.De las ecuaciones de Maxwell aplicadas a las ondas planas en el espacio libre, se puede aplicar el resultado obtenido a los medios anteriormente planteados eisotpicos, es decir, cuyas propiedades no dependen de la direccin ni del sentido. Las ecuaciones de onda para los campos elctricos y magnticos son:22221xEtEy y ( 4.1) 22221xHtHz z (4.2)

De donde: ]]]

segundosmetros1(4.3)Lasolucin de las ecuaciones de onda para el campo elctrico, la cual es diferencial parcial lineal de segundo orden puede ser:

( ) mt x Ey+ sen (4.4)Al sustituir esta solucin en la ecuacin de onda del campo elctrico se obtiene: t m , donde v es la velocidad. Una solucin general de la ecuacin deonda es:( ) ( ) vt x vt x Ey + + sen sen(4.5)Se muestra el significado de la ecuacin 4.5 evalundola como funcin dexparavariosvaloresdel tiempo, estoes, el tiempotactacomo parmetro, en la fig. 4.1 se dibujael primer trminode la ecuacin 4.5 de la solucin completa.Observando lo que ocurre con la cresta de una de las ondas, como la del punto P, se observa que a medida que transcurre el tiempo el punto P se desplaza hacia la izquierda.Haciendo lo mismo para el segundo trmino de la ec. 4.5, se obtiene la grfica de la fig.4.2, donde el punto P de fase constante se desplaza en estecasohacialaderecha. Sedicepuntodefaseconstanteporque siemprelamagnituddelaexpresines lamisma, al transcurrir el tiempo con respecto a x. Fig.4.1UnpuntodefaseconstanteP,sedesplazahacialaizquierdacon velocidad v a medida que transcurre el tiempo.El punto P de fase constante est caracterizado por la condicin: x + vt = constanteHaciendo la derivada con respecto al tiempo se obtiene:vdtdx , donde esta expresin es la velocidad de variacin de la distancia con el tiempo, 42esto es, la velocidad del punto de fase constante y se denomina velocidaddefase. El signonegativoindicaquelos puntos defase constanteypor lotantolaondaavanzanenel sentidodel ejex negativo. Lo mismo se hace con el otro trmino obtenindose v positiva, pero con similar interpretacin. En general los signos se asocian a ondas que se desplazan en sentidos opuestos, o sea, ondas incidentes y reflejadas, y donde el estado instantneo representado por la solucin completa est dado por la suma de estas ondas. Fig. 4.2UnpuntodefaseconstantePavanza hacia la derecha, con velocidad v, al transcurrir el tiempo. 4.2 VELOCIDAD DE GRUPOConsidrese una onda plana que se propaga segn el sentido positivo del eje x, en un sistema de coordenadas ( x,y,z ), en donde la intensidad de campo elctrico totalo voltaje espacial totales dado por:E(y) = EoCos(wt - x)(4.6)Supngase ahora que la onda contiene no una sino dos frecuencias, wo + wywo- w, deigual amplitudambas, dondelosvaloresde correspondientes a estas frecuencias son evidentemente: o + y o - Para la frecuencia 1:E(y) = EoCos[(wo + w)t (o + )x] (4.7)43Y para la frecuencia 2: E(y) = EoCos[(wo- w)t (o- )x] (4.8)Sumandolas ecs. 4.7 y 4.8, se obtiene el campo total:E(y)=E(y) + E(y)= EoCos[(wo+ w)t (o+ )x]+ EoCos[(wo - w)t (o - )x]= 2Eocos(wot - ox)cos( wt - x) (4.9)Los dos factores coseno en la ec. 4.9, indican la presencia de batimientos, es decir, ladeunavariacin lenta superpuestaauna rpida.Para un punto de fase constante, se iguala a una constante el argumento de la primera funcin coseno en la ec. 4.9.k1 = w0t - 0x = constante(4.10)De la ec. 4.10 se obtiene: 0 000f vwdtdx (4.11)donde v es la velocidad de fase. Igualando a una constante el argumento de la segunda funcin coseno de la ec. 4.9: x wt k 2( 4.12)Se obtiene: fwdtdx (4.13) donde es la velocidad de fase de la envolvente de la onda, la cual se denominadeordinariovelocidaddegrupo. Enestedesarrolloseha obtenido una modulacin de amplitud, con portadora suprimida.En un medio no dispersivo la velocidad de grupo es igual a la velocidad defase. El espaciolibre es unejemplodemediosinprdidas, no dispersivo, endonde, =v=c. Encambiovy difierenenlos medios dispersivos.44Se llama medio dispersivo a todo medio en el que la velocidad de fase es funcin de la frecuencia y por lo tanto de la longitud de onda en el espacio libre. Los medios dispersivos son de dos tipos:1. Dispersivos normales. En estos medios la variacin de la velocidad de fase con la longitud de onda es positiva, es decir, ddv > 0. Para estos medios es < v.2. Dispersivos anmalos. En estos medios la variacin de la velocidad de fase con la longitud de onda es negativa, dv/d v.Los conductores son ejemplos de medios dispersivos anmalos. No obstante, los conductores sonabsorsivos, tienenprdidas, yenlos medios donde la absorcin no es pequea, la velocidad de grupo pierde su simple significado.Lostrminosnormal yanmalosonarbitrarios, siendoel significado simplemente queellos son diferentes.Para una frecuencia en particular, banda infinitesimalmente estrecha: ddvv vddvd v dddw wlimw + ) (0 (4.14)en donde, w = v.Estas expresiones son tiles para calcular la velocidad de grupo dada la funcin de velocidad de fase.Una onda plana de 1 MHz, longitud de onda 300 metros, se propaga en un medio normalmente dispersivo y sin prdidas, con una velocidad de fase de 3*108 m/sg. La velocidad de fase como funcin de la frecuencia est dada por k v , donde k es una constante. Hallar la velocidad de grupo.De la ec. 4.14 que corresponde a la expresin de la velocidad de grupo se obtiene:sg metrosvvkv vg/ 10 * 5 , 12 21128 `

(| 45Parailustrargrficamenteladiferenciaquehayentrelavelocidadde fase y la velocidad de grupo, considrese una onda que tiene la misma funcindevelocidaddefasecomoladelaec. 4.9del casovisto anteriormente y se supone, adems, que la onda tiene dos frecuencias f0 + f y f0- f de igual amplitud, con f0= 106Hz y f = 105Hz. Esta onda es la que se obtiene en un modulador balanceado de amplitud. La expresin dela ec. 4.9, E(y) =2Eocos(wot -ox)cos( wt - x), se puede representar grficamente y ella corresponde a la magnitud instantnea de E(y) como una funcin de la distancia, en metros, para los instantes t = 0, t = T/4, t = 2T/4, como se muestra en la fig.4.3, en donde un punto, P, es un punto de fase constante de la onda propiamente dicha y se muevecon la velocidad de fase v. El punto p es un punto de fase constante de la envolvente de la onda y avanza con la velocidad de grupo u.Es evidente que en un semiperodo, T/2, el punto P haavanzadoladistanciad quees precisamentelamitaddela distancia d recorrida por el punto P. La velocidad de grupo u es por lo tanto la mitad de la velocidad de fase v. La informacin transportada por la modulacin se mueve con la velocidad de la envolvente, esto es, con lavelocidaddegrupo. Enlosmedioslibresdeprdidaslaenergaes tambin transportada por la velocidad de grupo.Ladiferenciaentrelavelocidaddefaseylavelocidaddegrupoest tambin ilustrada por la locomocin de una oruga. Las ondulaciones de su cuerpo avanzan con la velocidad de fase, pero su cuerpo en conjunto avanza con la velocidad de grupo.En una onda de una sola frecuencia y amplitud constante, estado estacionario, nosepatentizalavelocidaddegrupo. Encambio, si la onda consiste de dos o ms frecuencias o grupo de frecuencias, como una onda modulada, puede observarse la velocidad de grupo porque la amplituddelaondanoesuniformeylasondasindividualesparecen formar grupos que pueden ser encerrados por una envolvente, como en la fig. 4.3.Otra grfica que ilustra tambin lo anterior es la de la fig. 4.4, donde se observa como la envolvente se desplaza para los tiempos t1 y t2.En conclusin si se tienen al menos dos ondas de diferentes frecuencias, conformando un espectro de frecuencias:1) Sitienen diferente velocidad de fase, Vp, la envolvente tendr una velocidad de propagacin diferente de cualesquiera de las dos.462) Si tienenigual velocidaddefase, laenvolventetendrlamisma velocidad de fase de las de ellas.Engeneral, lavelocidaddelaenvolventelallamamosvelocidadde grupo, vg= dw/d .Cuando =kw, o sea que la constante de fase es linealmente proporcional a w, la velocidad de fase, vp = w/= 1/k independiente de la frecuencia. Como la informacin la compone un espectro de frecuencias debido a lo anterior cada una de las componentes de frecuencia de dicho espectro viaja con la misma velocidad por el medio de transmisin, por lo que cada una de ellas se atrasa el mismo tiempo enllegar al extremoreceptor odestino, yal tener todas lamisma velocidadde fase, la informacin que viaja con la velocidadde la envolvente, esto es, la velocidad de grupo, tiene la velocidad de fase de cualesquiera de las frecuencia del espectro, por lo que:vp = vg.Fig. 4.3 El punto de fase constante P de la onda propiamente dicha se mueve con la velocidad de fase v, mientras que el punto P de la envolvente avanza con la velocidad de grupo u. Para esta ilustracin o ejemplo u = v/2.47Fig. 4.4 Dos ondas de diferentes frecuencias y diferentes velocidades de fase y su suma como funcin del espacio en dos instantes t1 y t2. La lnea de trazocontinuorepresentalaonda1, ladetrazocortolaonda2ylade guiones la suma de ambas.4822C A P T U L OV5.0 DISTORSION EN LA LINEA DE TRANSMISIN DE INFORMACIN5.1INTRODUCCIN:Transmitir una onda sin distorsin es hacer que, la forma de onda llegue al receptor, idntica a la que sali del transmisor. No importa que llegue atenuada o amplificada.Para que esto suceda necesitamos que y VP sean independientes de la frecuencia, puesto que la informacin est formada por un espectro de frecuenciasynopor unasolacomponentedefrecuenciapor loque todas las amplitudes de las diferentes componentes de frecuencias tienenqueseratenuadasenlamismaproporcinparaquenoexista distorsin de amplitud, mientras que para VP, se observa de la ec. 2.7, que si ella no es independiente de la frecuencia cada una de las componentes de frecuencia viajara con diferente velocidad, originando queenel receptor ellasnomantengansusposicionesrelativasque tienen en el en el extremo transmisor, producindosedistorsin de fase o retardo. Estacondicinimpuesta aVgexigetambinque varelinealmente conlafrecuenciacomoseobservaenlaec. 2.7, por loanterior se necesitaquelarespuestadeamplituddel mediodetransmisinsea constante en el rango de inters y que la fase sea lineal con la frecuenciaenel mismorangodeinters, comoseestablecienel apartado 4.2.Veamos si la lnea de transmisin satisface los requisitos para la transmisin sindistorsin del espectro aleatorio que conforma ala informacin. De la ec. 2.40:= + j= Z.Y=(R + jwL)(G + jwc)( 5.1)Elevando al cuadrado la ec. 5.1 se obtiene:(+ j )2 = (R + jwL)(G + jwc)(5.2)Desarrollandolaec. 5.2eigualandolaspartesrealeseimaginarias entre s, se obtienen las ecuaciones:2 - 2 = RG w2LC (5.3)2 = w(RC + LG)(5.4)Delaec.5.3, setiene:2=[w2(RC+LG)]/42 (5.5)Se reemplaza la ec. 5.5 en la ec. 5.4 originndose:4 - 2 (w2LC RG) (w2/4)(RC + LG)2 = 0 (5.6)La solucin de la ecuacin cuadrtica 5.6 origina:( ) ( )22 222 2RC LG w LC w RG LC w RG + + + (5.7)( ) ( )22 222 2RC LG w LC w RG RG LC w + + + (5.8)Se deduce que en general vara con la frecuencia e introduce distorsin de atenuacin o de amplitud. no vara linealmente con la frecuencia, por tanto introduce distorsin de fase o de retardo.En generaluna lnea de transmisinpresenta distorsin defrecuencia que corresponde a la de amplitud y de fase. Distorsin Lineal.5.2LINEA SIN DISTORSION.Existen ciertas condiciones, que pueden hacer que exista una lnea sin distorsin:a. Si en la ecuacin 5.8 se hace R = G = 0, entonces, = 0, se elimina la distorsin de amplitud.b. Si, R = G = 0, en la ecuacin 5.7, = wLC , origina que vare linealmente con la frecuencia, por lo que no hay distorsin de fase.Para los casos a y b se dice que no existe distorsin de frecuencia en la lnea.c. Si,R = G = 0, origina tambin que, Z0 = L/C50Engeneral como Z0es funcin de la frecuencia por ser compleja, produce reflexin, ya que la impedancia de cargaZr se coloca resistiva pura diferente a Z0 y esta reflexin esotra forma de distorsin.Es imposible cumplir con R= G = 0 ya quetoda lnea fsica tienesu resistencia.La otra posibilidad es: si el radical interior de la ec. 5.7, se hace igual a w2LC; se conseguira independiente de la frecuencia. (RG w2Lc)2 + w2(LG + RC)2=K + w2LC(5.9)K = Constante por evaluar.Elevando al cuadrado la ec. 5.9 se obtiene:(RG w2LC)2 + w2(LG + RC)2 = (K + w2LC)2(5.10)Resolviendo la ec. 5.10 e igualando coeficientes de w2, se tiene:(RG)2 + w2[(LG)2 + (RC)2] = K2 + 2Kw2LC(RG)2 = K2, de donde,K = RG(LG)2 + (RC)2 = 2KLC, reemplazando K(LG)2 + (RC)2 2RGLC = 0(LG)22 RLGC + (RC)2= 0, esta expresin es un binomio al cuadrado, originando:(LG RC)2 = 0LG = RC, de donde se obtiene: L/C = R/G (5.11) La ec. 5.11, es la condicin de Heaviside para la lnea de transmisin sin distorsin de amplitud y fase, o sea, sin distorsin de frecuencia.Remplazando la ec. 5.11 en las ecs. 5.7 y 5.8 se obtiene: = (RG+K)/2 = (RG+RG)/2 =RG=RC/L (5.12)La ec. 5.12, muestra a independiente de la frecuencia por lo que no existe 51distorsin de amplitud.= [w2LC RG + RG + w2LC]/2 = (2w2LC)/2=wLC= wLC= wLG/R(5.13) La ec.5.13, muestra que vara linealmente con la frecuencia con lo que no existe distorsin de fase.Z0 = Z/Y=(R+jwL)/(G+jwc)=R/G=L/C (5.14)La velocidad de fase o propagacin:Vp = w/ =w/(wLC)=1/(LC)La velocidad de grupo:w = /(LC), de donde,dw = [1/(LC)]d , Obtenindose:Vg = dw/dVg = dw/d= 1/(LC) (5.15) De donde: Vg = Vp(5.16)Se deduce que cuando se satisface la condicin de Heaviside, Vp, Vg, Z0 y son todos independientes de la frecuencia.Cuando la lnea de transmisin que cumple con la condicin de Heaviside, estterminadaensuimpedanciacaracterstica, resistiva pura como en este caso, y alimentada por un regenerador cuya impedancia interna es resistiva pura e igual a la impedancia caracterstica, nohaydistorsinlineal odefrecuencia, yademsse obtiene mxima transferencia de potencia en la entrada de la lnea y en la impedancia de terminacin para todo el espectro de potencia. Otra forma bien simple de llegar a la condicin de Heaviside es partiendo de la ec. 2.40: ( )( )) 17 . 5 ..( .......... 11 1 1GRjwC RGRGjwL RG jGwCj RGRwLj RG GGwCjRwLj R jwC G jwL R ZY+ + + `

(|+

`

(|+ `

(|+ `

(|+ + + Para que la ec. 5.17 sea vlida se necesita que los trminos imaginarios dentro del radical factorizado sean iguales, esto es:52GwCjRwLj (5.18)De la ec. 5.13 se obtiene:GRCL (5.19)La ec. 5.19 es la ec. 5.11. Aplicndole a los dos ltimos trminos de la ec. 5.17 la condicin de Heaviside se obtiene:LC jw RG j + + (5.20)De donde:RG yLC w 5.3 CABLE TELEFNICOLos cables telefnicos tienen una amplia aplicacin en el campo de las telecomunicaciones.Estetipodecablequetieneconformacinporparesconaisladorde papel, la inductancia L y la conductancia G son muy pequeas, de modo que dentro de la gama de frecuencias utilizadas en telefona, se tiene.wL 1.5 x 10-9RC >>LG (5.22)Se observa que dicha condicin no se cumple, por lo que de la desigualdad de la ec. 5.22, se puede analizar que debe hacerse:1. Reducir R : Conductor de mayor dimetro, puesto que, AlR

2. DisminuirC: Aumentardistanciaentrelosconductoresimplicaque exista potencia radiada, puesto que, d 0.1 . En este caso aumenta el ancho de banda del cable, aumentando la capacidad de transportar informacin.3. Aumentar G: Rebajar la calidad de los aislantes que produce aumento de las prdidas.4. Aumentar L: Aumenta Z0 , reduce , ofrece la mejor alternativa.Aumentar L enuncabletelefnicoparareducir laatenuacinyla distorsinseconoceconel nombredecargar opupinizar el cable. Pupinizar, puesto que fue este seor quin implement la condicin de Heaviside, o sea cable libre de distorsin de frecuencia o dedistorsin lineal.5.5 SISTEMAS DE PUPINIZACIN1. Pupinizacin a media seccin: La porcin de lnea entre el transmisor y la primera bobina de pupinizacin corresponde al medio paso de pupinizacin; se dice que la lnea est terminada en media seccin.Unaseccindepupinizacinesel tramodelneaentredosbobinas consecutivas de pupinizacin, o sea un paso de pupinizacin.55Fig. 5.1Pupinizacin a media seccinEn algunos casos la distancia no coincide con d/2 entonces se utilizan complementos de lnea, que son cuadripolos de parmetros concentrados.2. Pupinizacin a media bobina:Para obviar el problema de la distancia, es posible terminar la lnea en cada uno de los extremos con una bobina, cuyo valor es la mitad de las otras bobinas.Fig. 5.2 Pupinizacin a media bobinaDonde la inductancia, Lo, es la de las bobinas de pupinizacin.Una lnea pupinizada tiene un comportamiento similar a un filtro pasa bajas, donde la atenuacin aumenta con la frecuencia.Existe una frecuencia de corte, que debe ser mayor que la frecuencia superior del espectro de la seal de informacin a transmitir.Esta frecuencia de corte viene dada por:fc = 1/ d.C.Lo = [(R+Ro/d)/2].[(C.d)/Lo]La Vp viene dada por:Vp = .d.fc La Zo es igual: Zo = Lo/(C.d)d = Paso de pupinizacin en Km.C = Capacitancia distribuida en Faradios/Km.Lo = Valor de la inductancia de la bobina de pupinizacin en Henrios.L = Valor de la inductancia distribuida en Henrios/km.Sepuedeapreciar queal aumentar lainductanciadeunalneade transmisin,disminuye la frecuencia de corte, la velocidad de propagacin, aumenta la impedancia caracterstica, disminuye la atenuacin .56Como es de esperarse, con la pupinizacin la lnea de transmisin ya no se puede considerar 100% un sistema de parmetros distribuidos.Otrobeneficio de cargar una lnea, adems de hacer que se cumpla la condicindeHeaviside, locual implicaunsistemasindistorsinde frecuencia, esel dedisminuirlaatenuacin, peroestasituacinest remediadaconlatcnicadelosrepetidorestelefnicos, oseaqueel objetivo de pupinizar es solo para evitar la distorsin lineal.En el momento el sistema ms usado es enrollar el conductor con cinta magntica.En la prctica, verdaderamente una lnea sin distorsin no se obtiene al pupinizar, porque R y L son en alguna forma funciones de la frecuencia. Ademslasprdidasporcorrientesderemolinoenlosinductoresde carga agravan esta situacin.5722C A P T U L OVI6.ECUACIONESDEVOLTAJE YCORRIENTEENGENERAL PARAUNA LNEATERMINADAENZr Z0. REFLEXIN.6.1INTRODUCCIN: S lalneadetransmisinestterminadaen cualesquier impedancia diferente de Zo, aparece el fenmeno de interferencia y por tanto el de onda estacionaria, debido a la interferencia de las ondas incidentes y reflejadas, las cuales en algunos puntos se anulan y en otros se refuerzan. Para determinar este fenmeno se procede en principio as:S, Zr Z0, y Zg Z0; se pueden hacer las siguientes igualdades: Zr = Z0 + Zr, de donde:Zr = Zr Z0(6.1) S Zg = Z0 + Zg, de donde:Zg = Zg Z0 (6.2) Las cuales son igualdades en la carga y el generador respectivamente.En general se tiene el arreglo de la fig.3.2, pero con la impedancia de terminacin igual Zr Z0, o las figuras 3.3 o 3.4, a las cuales aplicndoles enel extremotransmisor yenel extremoreceptor las igualdades de las ecs. 6.1 y 6.2,se obtiene respectivamente, el arreglo de la fig. 6.1, y de aqu, aplicando los teoremas de sustitucin y superposicin, puesto que la lnea de transmisin corresponde a una red lineal y pasiva, se obtiene la fig. 6.2, en donde los factoresde desadaptacin quedan representados por las fuentes de voltaje dependientes Eay Eb. Con el proceso anterior se ha logrado adaptar la lnea para as solo usar las ecuaciones de ondas de voltaje y corriente de una lnea adaptada, esto es, solo trminos incidentes.Hasta ahora, se ha trabajado con la variable x, haciendo referencia en el extremo transmisor, pero a partir de aqu, se agrega la variable y, con referencia al extremo receptor: x + y = L(6.3)x = L y(6.4) y = L x (6.5)Por lo anterior las corrientes o voltajes en cualesquier puntos x o y de la lnea, se pueden expresar como:I(x), I(y), E(x), E(y).6.2 COEFICIENTESDEVOLTAJEYCORRIENTEENUNALNEA DESADAPTADAENEL EXTREMOTRANSMISOR Y ENEL EXTREMO RECEPTOR.En general se tiene, para las corrientes:' ' 's s sI I I + (6.6)' ' 'r r rI I I + (6.7) Donde:Is=Corriente en el extremo transmisor debida a Eg y Ea: Onda Incidente.Is = Corriente en el extremo transmisor debida a Eb: Onda Reflejada.Ir = Corriente en el extremo receptor debida a Eg y Ea: Onda Incidente.Ir = Corriente en el extremo receptor debida a Eb: Onda Reflejada.X=0X=LX y Fig. 6.1Lnea de transmisin desadaptada

x yIsLIr+ I(x); I(y) Z0 + Z0Zg Es E(x); E(y) +ZrEgY=L Y=0- --+Z0 Is++Ea Es+Eg -- L I(x); I(y) +E(x); E(y)-

Ir -+Eb+ErZ0-59 x=0(y=l) x=l(y=0)Fig. 6.2Circuito equivalente de la red de la fig. 6.1, aplicando sustitucin.Para determinar los trminos de las ecs. 6.6 y 6.7, se aplica el teorema de superposicin, en el arreglo de la fig. 6.2, obtenindose:( )000'0'2 2 2 ZZ Z I EZ Z I EZ E EIg s g g s g a gs + (6.8) ls re I I ' '( )lg s geZZ Z I E 002 (6.9)( )000"2 2 Z Z Z IZEIr r br (6.10) lr se I I " "( )l r reZZ Z I 002(6.11)De laec. 6.10, se obtiene la relacin de corrientes:) 12 . 6 .(. .. . Re, ,200'' '" '"00"corriente de nte OndaIncidecorriente de flejada OndaZ ZZ ZIIse obtenindoI I IZ Z ZIIrrrrr rr rrr

`

(|+ + De la ec. 6.12, se tiene que ella corresponde al coeficiente de reflexin de corriente en la carga: IC IC IC corriente de incidente Ondacorriente de reflejada OndaZ ZZ ZIIrrrr. . .. . .00'' '

`

(|+ (6.13)De la ec. 6.13, si: (a) Zr = Z0;Ir = 0, no existe reflexin. (b) Zr = , Ir = -Ir;(c) Zr = 0, Ir = Ir, por lo que se tiene: 60-1 IC 1(6.14)Mientras que la magnitud del coeficiente de reflexin es: 1 0 IC(6.14)En general se tiene para los voltajes: " 's s sE E E + (6.15)" 'r r rE E E + (6.16)Es = Voltaje en el extremo transmisor debida a Eg y Ea: Onda Incidente.Es = Voltaje en el extremo transmisor debida a Eb: Onda Reflejada.Er = Voltaje en el extremo receptor debida a Eg y Ea: Onda Incidente.Er = Voltaje en el extremo receptor debida a Eb: Onda Reflejada.Para cualesquier punto a lo largo de la lnea de transmisin se cumple:0""""''''ZIEIEIEIEssrrrrss (6.17)De la ec. 6.17 se tiene:ICrrrrrrVC VC VCa teenlac ajeinciden ondadevolta daenlac ajerefleja ondadevoltZ ZZ ZIIEE argarg00'' ''" (6.18)Laec. 6.18correspondeal coeficientedereflexindevoltajeenla carga, y es igualamenos el coeficiente de corriente en la carga. Ejemplo 6.1: Demostrar las igualdades en la ec. 6.1761 Solucin:De la fig. 6.2 se observa que Is yEs se originan a la entrada de la lnea cuando acta Eg y Ea, y se anula Eb, por lo que la carga Zo se itera a la entrada de la lnea obtenindose por una simple relacin voltio-amperio que Zo = Es/Iscon lo que queda demostrada la primera igualdad de la ec. 6.17.La ec. 6.9 es la corriente en la carga para esta misma condicin, por lo que el voltaje en la carga es: Er = ZoIr por lo que de esta expresin se obtiene: Er/Ir= Z0Quedando demostrado la segunda igualdad de la ec. 6.17.Isy Esse originan en el extremo transmisor, mientras en el extremo receptor se originan Ir y Er cuando acta Eb y se anulan Eg y Ea. Z0 se iteraenlosterminales desalidadela lnea,porlo quehaciendouna malla en esos terminales se obtiene:Er + Z0Ir = 0 de donde se determina:Er/Ir = - Z0En elextremo transmisor la corriente Isproduce una cada en Z0con una polaridad contraria a la Espor lo que haciendo una malla en ese terminal se tiene:Z0Is + Es = 0 de donde se obtiene:Es/Is = - Z0. Con lo que se completa la demostracin de las igualdades de la ec. 6.17.Ejercicio6.1:Hallarlasexpresionesdeloscoeficientesdevoltajey corriente en el extremo transmisor.Ejercicio 6.2: Determine la variacin del coeficiente reflexin de voltaje en la carga para cuando:Zr = Z0;Zr = ; Zr = 0 y Zr = tjXr. Ejemplo 6.2: Una lnea de transmisin presenta los siguientes datos: L =100 millas, Zg =600 , Zo =558,79 -0,0750, =0,003718 neper/milla, Eg = 5 voltios, = 2,78279 radianes/milla, Zr = 500 -450. Determinar Er, Ir y Pr.Solucin:ComoZr Zo, correspondeaunalneadesacoplada,hay que calcular l, para determinar si se comporta como una lnea infinita: l = 0,3718 < 2,3 neper o menor a 20 dB. Se tiene que la lnea es finita y adems est desacoplada.62004 , 261 417 , 0 +Zo ZrZo ZrVSe asume que:voltios Es0 '10 1 Obtenindose:0 3718 , 0 '1'1'1'169 , 103 6894 , 0 27 , 278 * 1 rad e l e E e e E e E Elsl j lsls r 0 '1' '135 , 157 2874 , 0 r V rE E ;0 ' '1' '1' '166 , 53 1981 , 0 l j lrlr se e E e E E De la ec. 6.17, se obtiene, ;0'1'1ZIEss de donde se obtiene, 0 30'1 '1075 , 0 10 * 7895 , 1 ZEIssUsando las otras igualdades de la ec. 6.17, y despejando, se obtiene:0 '169 , 103 10 * 2336 , 13 rI ;0 40' '1 ' '135 , 157 10 * 143 , 5 ZEIrr; 0 4 ' '166 , 53 10 * 5449 , 3 sILosvoltajesresultantesenlosextremostransmisor yreceptor dela lnea, debido al voltaje asumido son:0 ' '1'1 110 , 8 1285 , 1 + s s sE E Ey0 ' '1'1 165 , 127 7063 , 0 + r r rE E ELas corrientes resultantes en los extremos transmisor y receptor de la lnea, tambin debido al voltaje asumido son:; 22 , 10 10 * 6 , 10 3 ' '1'1 1 + s s sI I I0 3154 , 82 10 * 4084 , 1 rI .69 , 221 56 , 669 32 , 18 31 , 705011jIEZssin+ Estaimpedanciacorrespondeal valor verdaderodeellaapesar de obtenerse de un valor asumido de voltaje, puesto que es la relacin de dos valores normalizados.63El voltaje y la corriente verdaderas en el extremo transmisor de la lnea:042 , 8 7363 , 2 +inin ggsZZ Z EEvoltios.0 39 , 9 10 * 87 , 3 inssZEI; 000132 , 0 4247 , 210 , 8 1285 , 142 , 8 7363 , 2 ssEEkCon el valor de escala k, se obtienen los valores verdaderos:En el extremo transmisor:0 309 , 9 10 * 87 , 3; 42 , 8 7363 , 2 ssIEEn el extremo receptor: 0 310133 , 82 10 * 4149 , 333 , 127 7125 , 1 r rr rkI IkE EPara la potencia en el extremo receptor:[ ] dBm dBmmwmwmvatios CosZEZ PR I Prrrr r r13 , 4 log 10113 , 4log 10 13 , 422 6422C A P T U L OVII7. LNEAS DE TRANSMISIN EN ALTAS FRECUENCIAS7.1INTRODUCCIN: Cuandoel espectrodeinformacinquese transmite a lo largo de la lnea de transmisin est en altas frecuencias, VHFyUHF, el cabletelefnicopresentaaltasprdidas, porloquese recurrealaslneasabiertasdecablesparalelos, cablescoaxiales, y otros tipos de cables como se estableci en el captulo primero.Parael rangodeVHFenadelante, concualquierlongitudfsicadela lnea, la atenuacin total, lt , tiene un valor muy pequeo, mientras que,l , la longitud elctrica, que corresponde al nmero de longitudes de ondas, puede ser muy grande, debido a que al ser muy pequea es demasiado grande ( = 2 / ).S, l esdespreciable, setienelalneasinprdidasysindistorsin lineal o de frecuencia, ya estudiada en la condicin de Heaviside. S,l es pequea, se tiene la lnea de bajas prdidas.Para la lnea sin prdidas, la mxima energa almacenada por unidad de longitud en la inductancia de la lnea al pasar la onda es:2 2. mx2rms LLI ILW (7.1)Y la mxima energa almacenada por unidad de longitud en la capacitancia de la lnea al pasar la onda es:2 2. mx2rms cCE ECW (7.2)Para una lnea sin prdidas:CLIEZ 0 (7.3)Elevando al cuadrado la ec.7.3, y despejando se obtiene: L c rms rmsW W LI CE 2 2(7.4) Engeneral paramximatransferenciadepotenciaenlas lneas de transmisin, se debe cumplir: 0 0).. 1 Z Z Zg r gZ R Z Z 0 0).. 2(7.5)Para el caso donde la lnea sea sin prdidas, la potencia en el extremo transmisor es igual alapotencia enel extremoreceptor yresulta mxima para cuando son resistivas puras.Para el caso en que la atenuacin total es despreciable, la energa de la onda se divide exactamente en dos mitades, en los campos magnticos y elctricos. Ejercicio7.1:Explique aquesedebe este enunciado. Sugerencia aplique lacondicin de Heaviside.Ejercicio 7.2:Explique, el por qula ec.7.4, resulta independiente de lafrecuenciaodel espectrodefrecuenciasalolargodelalneade transmisin.Ejercicio 7.3: Diga la razn por qu las impedancia del transmisor y receptor cuando son complejas e iguales no se pueden hacer iguales al conjugado de la impedancia caracterstica para obtener mxima transferencia de potencia.7.2 ECUACIONES DE VOLTAJE Y CORRIENTE PARA LA LNEA SIN PRDIDAS TERMINADA EN Zr E0Partiendo de las ecs. 3.11 y 3.13 de voltaje y corriente, ya demostradas en el captulo tres,el trmino, xe A1, que representa la onda reflejada, se puede asociar a A1, con ' 'sE , y A2, el coeficiente de la onda incidente se puede relacionar con el trmino 'sE ; ambas en el extremo transmisor.Los valores de A1y A2se pueden determinar a partir de las siguientes condiciones en la fig. 6.2.Para x = 0, E(x) = E(0) = Es= A1+ A2= Eg ZgIs; I(x) = I(0) = Is= -0201ZAZA+De este par de expresiones se obtiene:( ) ( )0 2 0 1 0Z E A Z Z A Z Zg g g + + (7.6)66Para x = l, E(x) = E(l) = Er=r rl lZ I e A e A + 2 1; ( )0201Ze AZe AI l Il lr + .De este par de expresiones se obtiene: ( ) 0 ) (2 0 1 0 + + lrlre A Z Z e A Z Z (7.7)De las ecs.7.6 y 7.7 se obtienen las expresiones de A1 y A2.( )( )( ) ( )( )lr glr glr ge Z Z Z Z e Z Z Z Ze Z Z Z EA + + 0 0 0 00 01 (7.9)

( )de Z Z Z EAlr g+ 0 02(7.10)Remplazando las ecuaciones 7.9 y 7.10, en las ecuaciones generales de voltaje y corriente, 3.11 y 3.13, se obtiene:( )( )( )( )( )( ) ( )( )lr glr gx lrx lrge Z Z Z Z e Z Z Z Ze Z Z e Z ZZ E x E + + +0 0 0 00 00() ( (7.11) ( )( )( )( )( )( ) ( )( )lr glr gx lrx lrge Z Z Z Z e Z Z Z Ze Z Z e Z ZE x I + + + +0 0 0 00 0() ((7.12)Las ecs. 7.11 y 7.12, son generales, y se aplican cuando se conocen los datos en el extremo transmisor o en el generador, Eg y Zg.Lacantidad, Lx=y, distanciadesdeel extremoreceptorhastael punto x, donde, x es la distancia desde el extremo transmisor a cualesquier punto de la lnea, mientras, y , es la distancia desde el extremo receptor a cualesquier punto de la lnea, y = l x.( ) ( )( )( ) ( )( )lr glr gyryrge Z Z Z Z e Z Z Z Ze Z Z e Z ZZ E y E + + +0 0 0 00 00() ((7.13)( ) ( )( )( ) ( )( )lr glr gyryrge Z Z Z Z e Z Z Z Ze Z Z e Z ZE y I + + + +0 0 0 00 0() ((7.14)67Las ecs. 7.13 y 7.14, tambin corresponden a las generales de voltaje y corriente, cuandoseconoce, EgyZg, peroconlareferenciadesdeel extremo receptor.La onda incidente ve una impedancia Zo en cada punto a lo largo de la lnea, mientras que la onda reflejada ve una impedancia Zo en cada punto a lo largo de la lnea, donde el signo menos debido a los sentidos escogidos para las corrientes.Las ondas incidente y reflejada son mutuamente independientes durante su propagacin a lo largo de la lnea. Esto es de esperarse puesto que la lneaesunsistemalineal ypasivo, originandoquelacorrienteyel voltaje totales en un punto cualesquiera x o y a lo largo de la lnea de transmisin, corresponde a la suma de las respectivas componentes incidente y reflejada de acuerdo con el principio de superposicin.Cuandoenelextremotransmisorslose conoce Es,seusanlas ecs. 7.13 y 7.14, haciendo Zg = 0, y por tanto queda Eg = Es, obtenindose:( ) ( )( ) ( )lrlryryrse Z Z e Z Ze Z Z e Z ZE y E + +0 00 0() ( (7.15) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )lrlryryrse Z Z Z e Z Z Ze Z Z e Z ZE y I + + +0 0 0 00 0() ( (7.16)Cuando los datos que se conocen son los del extremo receptor Er e Ir, se procede, haciendo y = 0, en la ec. 7.15, obtenindose:( ) ( )lrlrrs re Z Z e Z ZZE E E y E + 0 02) 0 ( ) (;de donde se obtiene: ( ) ( ) [ ]lrlrrrse Z Z e Z ZZEE + 0 02( ) ( ) [ ]lrlrrse Z Z e Z ZIE + 0 02 (7.17) reemplazando, la ec.7.17 en las ecs. 7.15 y 7.16, se obtiene: ( ) ( ) [ ]yryrre Z Z e Z ZIy E + 0 02) ( (7.18)68( ) ( ) [ ]yryrre Z Z e Z ZZIy I + + 0 002) ( (7.19)Donde y es la distancia desde la carga a cualesquier punto a lo largo de la lnea.De las ecs.7.18 y 7.19, se obtienen las formas hiperblicas de ellas:r r rrr r r rDI CE y Cosh I y SenhZEy IBI AE y Senh Z I y Cosh E y E+ + + + 00) () ((7.20)Donde, A = Cosh y, B = Z0Senh y,C = (Senh y)/Z0;D = Cosh y. A = D, lnea simtrica. AD BC = 1, reciprocidad.Ejercicio7.4:Aplicandolas ecs.7.11y7.12, olas ecs.7.13y7.14 realice el ejemplo 6.2 del captulo 6.7.3 IMPEDANCIA DE ENTRADA DE LA LNEA TERMINADA ENZrLa relacin de las ecs. 7.18 y 7.19para y = L, origina la impedancia de entrada en el extremo transmisor:l Senh Z l Cosh Zl Cosh Z l Senh ZZe ee eZeeZIEZrrl jVCl jVClVClVCssinVCVC ++++ 000) 2 ( 2) 2 ( 202201111 (7.21)Para la lnea sin prdidas, la ec. 7.21, se transforma en:l jZ Rl jR ZRl Sen jZ l Cos Rl Sen jR l Cos ZReeR Zrrrrl jVCl jVCinVCVC tgtg11000000) 2 () 2 (0+++++(7.22)Ejemplo 7.1:Un generador de 1 voltio, 1000 Hz, aplica potencia a una lnea de alambres abiertos terminada en una impedancia de 200 . Los parmetros de la lnea son: C= 0.00835 F/milla; G=0.8 /milla; L=3,37 mH/milla y R=10,4 /millaDetermine la eficiencia de transmisin, si la longitud de la lnea es de 100 millas.69Solucin. Las constantes de la lnea se determinan: Z = 25.2 660 /milla;Y = 52,6*10-6 900 mhos/milla = 52,6 900 /milla; Z0=692 -120 ; = 0.0363 780; = 0.00755 Neper/milla; = 0.0355 Radianes/milla; L = 0.755 neper y L = 3,55 radianes = 203,80.El coeficiente de reflexin de voltaje en la carga es:0008 . 172 558 . 0 +Z ZZ ZrrvcDe la ec. 7.21 se obtiene:Zin = 597 -0.50La corriente de entrada: Iin= Eg/Zin= Es/Zin=1voltio/597 -0.50= 1670 0.50 A.De la ec. 7.19haciendo y = L se obtiene que I(y) = Is y despejando de ella Ir se tiene: [ ] mA e eZ ZZI ILvcLrs r0005 . 200 13 , 1 /2 + El voltaje en la carga:Er = IrZr = 226 -200.50 mvolt.La potencia liberada a la carga es:Pr = /Ir/2R = 255 wLa potencia de entrada a la lnea es: Ps = EsIsCos= 1670 w.La eficiencia de transmisin es:= (255/1670)100% = 15,2%LNEAS SIN PRDIDAS EN CIRCUITO ABIERTOParaestecaso, Zr=, Ir=0, por loquelaec. 7.20, devoltajey corriente queda:E(y) = ErCos y =2y j y jre eE + (7.23) 2) (0 0y j y jr re eREy SenREj y I (7.24)Lasecs. 7.23y7.24, demuestranunavezmsqueel voltajeyla corriente en un punto cualesquiera y a lo largo de la lnea de transmisin son resultantes de la suma de las ondas incidente y reflejada. Ademslasmagnitudesdeestascomponentespermanecen constantes en toda la extensin de la lnea y son as mismo iguales. Las ondas progresivas de voltaje y sus resultantes se han representado para varios instantes sucesivos en la fig.7.1.La superposicin de las ondas resultantes se observa en j, donde es evidente la presencia de una onda 70estacionaria, dondelasondas progresivasmantienenconstantessus amplitudes y donde las amplitudes resultantes son nulas en los nodos cuando las ondas estn en contra fase y el doble cuando se refuerzan sus fases. De las ecs. 7.23y 7.24resulta que los mximos de la distribucindelaondaestacionariadevoltajeestndesplazadosun cuarto de longitud de onda respecto de los mximos de la onda estacionaria de corriente, dado que /E(y)/ es proporcionala /cos y/ e /I(y)/ esproporcional a/sen y/. Debeobservarsetambinqueenun punto cualesquiera X o Y a lo largo de la lnea de transmisin la corriente yel voltajeestnencuadraturatemporal defase, comoloindicael factor j en la ec. 7.24.7.4 IMPEDANCIADEENTRADAENLALNEASINPRDIDASEN CIRCUITO ABIERTODe la ec. 7.22 si Zr = : Zin = Zoc = - jR0ctg l (7.25)Laec. 7.25indicaqueZocesunareactanciapura, cuyascurvasde reactancias contra grados, ( l)o, o contra frecuencias se muestran en la fig.7.4 observndose que la lnea es resonante, impedancia nula, para longitudes iguales a un nmero impar de /4, y antirresonante, impedancia infinita, para un nmero par de /4.Se puede demostrar que si se mantiene constante la longitud de la lnea y se vara la frecuencia del generador, la longitud elctrica de la lnea varadelamismamaneracomosi sevariaralalongitudfsicayse mantuvieraconstantelafrecuencia. Conloanteriorsepuedeobtener cualesquier valor dereactanciavariandolalongituddelalneaola frecuencia aplicada.71Fig. 7.1 Distribucin instantnea de tensin en una lnea en circuito abierto o de corriente en una lnea en corto circuito con atenuacin nula.7.6ECUACIONES DE VOLTAJE Y CORRIENTE EN LA LNEA SIN PRDIDAS EN CORTOCIRCUITOZr = 0, origina Er = 0, quedando las ecs. 7.19 de voltaje y corrientes:E(y) = jIrR0Sen y (7.26)I(y) = IrCos y(7.27)La comparacin de las ecs. 7.26 y 7.27 con las ecs. 7.23 y 7.24 demuestraquelacorrienteenlalneaencortocircuitosecomporta como el voltaje en circuito abierto, y viceversa ; como se muestra en la fig. 7.2, por lo tanto la fig. 7.1, es similar a este caso de corto circuito.72En la fig.7.3 se representanlasmagnitudes delasenvolventes de las ondas estacionarias de voltaje y corriente para reflexin total introducida por, Zr = y Zr = 0, , lo que se puede obtener de las curvas en j en las figuras7.1 y 7.2 pero determinndole la envolvente y a ellas la magnitud.Fig. 7.2Distribucin instantnea de corriente en una lnea en circuito abierto o de tensin en una lnea en corto circuito sin atenuacin.7.7 IMPEDANCIA DE ENTRADA EN CORTO CIRCUITO EN LA LNEA SINPRDIDASDe la ec. 7.21 si Zr = 0:Zin = Zsc = jR0tg l (7.28) Laec. 7.28indicaqueZscesunareactanciapura, cuyascurvasde reactancias contra ( l)oo contra frecuencias se muestran en la fig.7.4 observndose que la lnea es antirresonante, impedancia infinita, para longitudes iguales a un nmero impar de /4, y resonante, impedancia nula, para un nmero par de /4.73Se puede demostrar que si se mantiene constante la longitud de la lnea y se vara la frecuencia del generador, la longitud elctrica de la lnea varadelamismamaneracomosi sevariaralalongitudfsicayse mantuvieraconstantelafrecuencia. Conloanteriorsepuedeobtener cualesquier valor dereactanciavariandolalongituddelalneaola frecuencia aplicada.Fig. 7.3Ondas estacionarias de corriente y voltaje para la lnea sin prdidas en circuito abierto y corto circuito. La parte inferior delafiguramuestralafaserelativaentreel voltaje y la corriente.Ejemplo 7.2:Una lnea de transmisin sin prdidas de 1000 metros de longitud en el aire, tiene una Z0 = 100 , y Zr = 200 , energizada por Eg = 10 voltios y Zg = 50 en w=3*105 rps determine la potencia en la carga y en la entrada en dBm.Solucin:De la ec.7.20 de voltaje, para la lnea sin prdidas se tiene:E(y) = Ercos y + JIrZ0sen y = E(L) = Es= Ir(Zrcos L +JZ0sen L) = 10Zin/(Zin+50) = w/c = 10-3radianes/metros y L = 1 radian. De la ec. 7.21, Zin= 77.4 -34,40=64,4j43,7. Dedonde: Es=774 -34,40/(114,4j43,7) =6,34 -13,40 voltiosDe la ecuacin de Esse despeja Ir = Es/(Zrcos L+Jz0sen L) =0.046 -51,20 Amp.74El voltaje en el receptor es:Er = ZrIr = 9,2 -51,20.La potencia entregada a la carga: Pr=/Er//Ir/cos =/Ir/2PR(Zr)=9,2*0.046=0.43 w.La potencia entregada a la entrada de la lnea: Ps = /Es//Is/cos= 6,34*0.08191cos34,40 = 0,43 vatiosEste resultado de Pr = Ps se debe a que la atenuacin es nula en la lnea de transmisin para este caso.Fig. 7.4 VARIACIN DE LA IMPEDANCIA DE ENTRADA DE UNA LNEA SIN PRDIDASEN FUNCIN DE LA LONGITUD O DE LA FRECUENCIA EN CIRCUITO ABIERTO Y CORTO CIRCUITO.7522C A P T U L OVIII8. RELACIN DE ONDA ESTACIONARIA EN LA LNEA SIN PRDIDAS8.1 INTRODUCCIN: Larelacindeondaestacionaria, ROE, esun parmetroimportante, enel estudiodelaslneasdetransmisinsin prdidas. Esta relacin de onda estacionaria puede ser de voltajes o de corrientesalolargodelalneadetransmisin, ysonlasamplitudes mximas a mnimas.. mn. mxmn. mxIIEEROE (8.1)Puesto que la onda estacionaria depende de la reflexin, la ROE debe estar relacionada con el coeficiente de reflexin , que corresponde al grado de desadaptacin en la lnea de transmisin.La ec. 7.13se puede reescribir:) ( ) ( ) (' ' ' 0 00y E y E eDZ ZeDZ ZZ E y