libro del profesor primero medio

Ao Medio

1

er

MATEMTICAGua didctica para el ProfesorAndrs Ortiz JimnezProfesor de Matemtica. Licenciado en Educacin. Magister en Enseanza de las Ciencias. Facultad de Educacin, Universidad de Concepcin.

Cristin Reyes ReyesDoctor en Matemtica. Centro de Modelamiento Matemtico, Universidad de Chile.

Marisol Valenzuela ChandaProfesora de Matemtica. Facultad de Filosofa y Humanidades. Licenciada en Matemtica. Facultad de Ciencias, Universidad de Chile. Coordinadora de Ciencias y Matemticas EDUCAUC.

Eugenio Chanda MuozProfesor de Matemtica y Computacin. Facultad de Educacin, Universidad de Concepcin. Estudios de Magster en Matemtica. Facultad Ciencias Fsicas y Matemticas, Universidad de Concepcin. Estudios de Magster en Educacin. Facultad de Educacin, Universidad de Concepcin.

SANTIAGO BUENOS AIRES CARACAS GUATEMALA LISBOA MADRID MXICO NUEVA YORK SAN JUAN SANTAF DE BOGOT SO PAULO AUCKLAND LONDRES MILN MONTREAL NUEVA DELHI SAN FRANCISCO SIDNEY SINGAPUR ST. LOUIS TORONTO

Matemtica 1 Ao Medio

Gua didctica para el ProfesorNo est permitida la reproduccin total o parcial de este libro ni su tratamiento informtico ni la transmisin de ninguna forma o por cualquier medio, tal sea electrnico, mecnico, por fotocopia, por registro u otro mtodo sin el permiso previo y por escrito de los titulares del Copyright. DERECHOS RESERVADOS 2006. McGRAW-HILL / INTERAMERICANA DE CHILE LTDA. Carmencita 25 - Oficina 51, Las Condes. Tel: 562- 661 3000 Santiago de Chile. Autores Andrs Ortiz Jimnez. Cristin Reyes Reyes. Marisol Valenzuela Chanda. Eugenio Chanda Muoz.

Editora Paola Gonzlez M. Correcin de estilo Patricia Romero M. Coordinadora de arte Pamela Madrid F. Portada Pamela Madrid F. Ilustraciones Cristian Chamn Gonzlez & Carlos Vieje Carrasco (Invasor Studio) Archivo grfico Banco de fotografa McGraw-Hill. La materialidad y fabricacin de este texto est certificada por el IDIEM Universidad de Chile.

ISBN: 978-956-278-223-4 N de Inscripcin: 186.065 Impreso en Chile por: RR Donnelley Chile Se termin de imprimir esta primera edicin de 6.201 ejemplares, en el mes de noviembre de 2009.

A los maestrosEl texto del estudiante que hemos preparado, tiene como meta desarrollar habilidades que permitan estructurar el pensamiento, promover el uso de esquemas, de representaciones y modelos y potenciar la formulacin de problemas, e interpretarlos. Desarrollar un sistema de acciones que permita afrontarlos, conjeturar, contrastar ideas, mtodos y soluciones. Es importante notar la increble rapidez con que cambian las miradas de las cosas, lo que se vea deterministamente, hoy se estudia probabilisticamente o estadsticamente, lo que se crea ordenado, ahora se estudia con modelos caticos, lo que se estudiaba en forma continua ahora se hace en forma discreta. Lo que era un buen modelo ya no lo es. Es por esto que debemos mostrar la matemtica en continuo desarrollo, donde todos podemos contribuir, hacer ver que este edicio que se construye desde ladrillos bsicos hasta llegar a complejas construcciones se va adaptando a diversos modelos en distintas situaciones. Necesitamos que nuestros estudiantes tengan las herramientas sucientes para enfrentar situaciones nuevas sin temor, ordenadamente y en forma original. Creemos que es esta una de las principales tareas de la matemtica escolar de hoy: ms que dar respuestas, dar herramientas para hacer preguntas interesantes en los distintos frentes a los que estamos expuestos. Debido a este mundo cambiante y desaante es muy importante hacer hincapi en el desarrollo de pensamientos propios de la matemtica ms que en la sola transmisin de contenidos. Lo mas probable es que los estudiantes olviden algunos teoremas si no los ocupan regularmente, pero si las habilidades relativas a conjeturar, buscar y evaluar estrategias, experimentar, incluso equivocarse y descubrir estrategias y mtodos para reconocer errores, fueran desarrolladas, habremos hecho nuestra tarea, con gran xito. Por eso es que el enfrentar al estudiante a problemas abiertos, a preguntas del tipo es cierto que...?, lo obligan de la nada, a encontrar soluciones a problemas nunca vistos, a utilizar las herramientas que crea pertinentes, utilizar el lgebra en un problema geomtrico o viceversa, tal vez hacer un experimento real, tal vez hacer un modelo a escala. Todas estas estrategias van creando seguridad en el estudiante y permiten quitar la imagen de rigidez a las matemticas. Las matemticas son rigurosas, pero no rgidas. Por algunas razones histricas y de gustos personales, se asocian las demostraciones con la geometra, siendo que es all donde es ms difcil dar una prueba realmente rigurosa, debido que se basa mucho en el dibujo. En cambio en aritmtica y lgebra se pueden hacer varias demostraciones en este nivel, por ejemplo, que la suma de un nmero con su sucesor es impar. El libro tiene una gran cantidad de actividades, de aplicacin, de reexin, de clculos directos, de razonamiento, de demostraciones sencillas, para que los estudiantes de todos los ritmos de aprendizaje puedan desarrollar las habilidades antes mencionadas. Fue necesario crear una gran cantidad de problemas de contexto real no forzado, de modo que el estudiante no crea que se estudia matemticas solo para responder la prueba SIMCE o la PSU. La matemtica realmente sirve para modelar la realidad y no solo para sacar la cuenta del supermercado, mucho ms interesante es crear estrategias que permitan aproximar dicha cuenta haciendo unos clculos gruesos. Hemos resuelto todos los problemas del texto que estn en bloques de actividades, salvo los diagnsticos de inicio de cada unidad, que son bastante estndar. Esto lo hicimos para que usted profesor no gaste tiempo desarrollndolos, y ese tiempo lo utilice en responder preguntas a los estudiantes, corrigiendo errores o evaluando el trabajo de ellos. En esta gua presentamos variadas actividades, con la intencin de mostrar diferentes formas de invitar a los estudiantes a enfrentar los problemas. Si no se puede resolver algebraicamente, se pueden hacer tablas, experimentos, que permiten conjeturar un resultado, para luego intentar demostrar, esperando que al conocer el resultado el camino se vea ms claro. Tambin mostramos errores frecuentes que se encuentran en nuestra escolaridad, y que se hace menester erradicar de nuestras aulas, libros e incluso universidades. En denitiva, aunque parezca perogrullada, este es un libro de matemtica, es por eso que los datos histricos de l no son solo ancdotas, sino que problemas que han tenido los matemticos de diferentes pocas y hemos desarrollado actividades referente a ellas. Lo mismo ocurre con los OFT, los hemos relacionado con matemtica de este nivel, y tambin hemos creado actividades desaantes al respecto. Esperamos que el libro y esta gua, sean una ayuda real y ecaz en vuestra maravillosa tarea de educar a los nios y jvenes de Chile. Los Autores.

ESTRUCTURA DEL TEXTO DEL ESTUDIANTE El texto se divide en siete unidades temticas, las que a su vez, estn estructuradas de la siguiente manera:

Entrada de unidadUnidad

Nombre de la unidad

lgebraAl nalizar esta Unidad sers capaz de: Temas que estudiaremos en esta Unidad:Trminos semejantes.

2rt p e ex

En el 2005 se celebr el ao mundial de la Fsica. En ese ao se cumplieron cien desde que Albert Einstein public su Teora Especial de la Relatividad. Al ao 1905 se le denomina Annus Marabilis debido a la gran revolucin que se produjo tanto en la fsica como en la Ciencia en general por los descubrimientos de Einstein. La Teora de la Relatividad, utiliza resultados anteriores, debido a Lorentz, quien haba denido transformaciones que involucran las velocidades relativas de los observadores. La Teora de la Relatividad (TR) postula que la velocidad de la luz (que es c = 3 108 m / s en el vaco) es la velocidad lmite, esto es, nada se mueve ms rpido que la luz. Otro de los resultados de la TR es que la energa es proporcional a la masa con constante el cuadrado de c, es decir, E = mc2. Un resultado sorprendente en la TR es que la masa no es constante en el movimiento, es decir, la masa de un objeto depende de la velocidad con que se mueve, de hecho, si m0 es la masa de un objeto en reposo, y m la masa cuando se mueve con velocidad v, se tiene la siguiente relacin: v 2 m2 1 = m02 c Ecuaciones de primer grado con coecientes numricos y literales.

Esquema representativo de la relacin entre los contenidos de la unidad y los aprendizajes esperados.56

Usar e interpretar convenciones algebraicas.

Factorizacin de polinomios.

Productos notables.

Modelar situaciones o fenmeno mediante funciones lineales y afines.Representar situaciones que involucren cantidades variables.

Funcin afn y funcin lineal.

Nmero de la Unidad. cono Hipertexto Te ofrece la posibilidad de tomar un papel activo en el proceso de aprendizaje, accediendo rpida y fcilmente a la informacin. Con l estars estimulando tu pensamiento crtico. Texto introductorio a los contenidos de la unidad.

Hi

to

Resolver ecuaciones de primer grado con coecientes numricos y literales.

Lo que dice, por ejemplo, que si una partcula se mueve a una velocidad de 0,9 c la masa aumenta a ms del doble que la masa del reposo.

Conjeturar y demostrar propiedades numricas.

Lenguaje algrebraico bsico.

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Contenidos

Para recordar Seccin que tiene la nalidad de activar conocimientos previos.

Nota Destaca conceptos para una mejor comprensin. Actividades Para desarrollo de habilidades pgina a pgina.

Informacin en los medios Extractada de diversos medios de comunicacin, para comprender con la ayuda de la matemtica.

Problemas resueltos Indica la metodologa que el alumnado debe seguir para llegar al resultado esperado.

Cuidado Alerta sobre posibles errores o ambivalencias respecto de un concepto. Recuerda Seccin que ayuda a recordar lo visto en aos anteriores.

Investiga Te invita a indagar sobre diversos temas. Importante Enfatiza conceptos importantes tratados en la pgina.

Un poco de historia Entrega una visin histrica de cmo se ha formado la matemtica.

Aplicando lo aprendido Su misin es aanzar los conocimientos adquiridos, conseguir destrezas de algoritmos y atender a los alumnos con necesidades especiales.

4

Cierre de unidadAl nalizar la unidad hay tres pginas de ejercicios graduados actividades nales, en las que se puede encontrar aplicaciones prcticas y holsticas a los contenidos de la unidad.UnidadHi

autoevaluacin1

rt p e ex

1

[Timss 1999] Cul de los siguientes nmeros est entre 0,07 y 0,08? a) 0,0075 b) 0,00075 c) 0,075 d) 0,75 0, 00012 0, 4 a) 104 b) 105 c) 106 d) 9 1010

5

El orden decreciente de 1 5; 2; 2, 2; ; 1 3 102 es: , 1001 , ; 2; 2, 2; 5 a) 1 3 10 ; 1002

2

2

0, 0027 : 900

2

b)

=

1 ; 1 3 102 ; 2; 5; 2, 2 , 1001 ; 1 3 102 ; 2; 2, 2; 5 , 1001 ; 1 3 102 ; 5; 2, 2; 2 , 100

c) d)

Autoevaluacin Seccin de evaluacin nal de cada unidad.

to

6

3

La estacin espacial Mir permaneci en rbita durante 15 aos y en este tiempo di aproximadamente 86 500 vueltas alrededor de la Tierra a una altura de 400 km. Si el largo de la rbita de la Mir es de aproximadamente 40 000 km, cul es aproximadamente la distancia en notacin cientca recorrida por la Mir mientras estuvo en rbita? a) 346 107 km b) 3, 46 109 km c) 3, 46 109 km d) 0, 346 1010 km7

En agua salada el sonido recorre 14 000 cm/s. Si las ondas sonoras tardan 3,5 s en llegar del submarino al buzo y tarda 5 s en llegar del mismo submarino al barco, cul es la distancia entre el buzo y el barco? a) 2 100 m b) 4 900 m c) 7 000 m d) 11 900 m

Tienes una sucesin de tringulos rectngulos, los que en cada paso aumentan su altura y base en una unidad, y se subdividen en tringulos rectngulos pequeos e iguales. En cuntos tringulos pequeos se subdivide la novena gura?

4

Redondeado a la decena de kilogramo ms prxima, el peso de un delfn es 170 kg. Cul de las opciones siguientes no corresponde al peso del delfn? a) 166 kg b) 169 kg c) 173 kg d) 176 kg

a) 82 b) 80 c) 91 d) 81

MATEMTICA 1o Medio

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INDICE DE CONTENIDOSPlanicacin didctica............................................. UNIDAD 1 NMEROS Informacin curricular............................................. Relacin contenidos niveles anteriores y siguientes............................................................ Orientaciones didcticas.......................................... Errores frecuentes................................................... Actividades de refuerzo y ampliacin...................... Actividades de cierre de Unidad.............................. Modelos didcticos................................................. 8 UNIDAD 3 GEOMETRA Informacin curricular............................................. Relacin contenidos niveles anteriores y siguientes............................................ Orientaciones didcticas......................................... Errores frecuentes................................................... Actividades de refuerzo y ampliacin...................... Actividades de cierre de Unidad.............................. Modelos didcticos................................................. 52 53 54 63 65 69 70

10 11 12 17 18 21 22

UNIDAD 2 LGEBRA Informacin curricular............................................. Relacin contenidos niveles anteriores y siguientes............................................................ Orientaciones didcticas......................................... Errores frecuentes................................................... Actividades de refuerzo y ampliacin...................... Actividades de cierre de Unidad.............................. Modelos didcticos.................................................

24 25 26 36 39 46 48

UNIDAD 4 DATOS Y AZAR Informacin curricular............................................ Relacin contenidos niveles anteriores y siguientes............................................ Orientaciones didcticas......................................... Errores frecuentes................................................... Actividades de refuerzo y ampliacin...................... Actividades de cierre de Unidad..............................

74 75 76 87 88 89

Bibliografa.............................................................. 90 Enlaces recomendados.............................................. 93

Gua Didctica para el Profesor Matemtica 1o ao Medio

5

PLANIFICACIN DIDCTICA

UNIDAD

Aprendizajes esperados Describen ritmos de crecimiento utilizando las potencias y comparan situaciones descriptibles por adicin iterada. Multiplican y dividen potencias de base racional y exponente entero, en contextos numricos. Relacionan el cambio de signo en el exponente con el valor inverso de una potencia. Conjeturan acerca de resultados y procedimientos que dan cuenta de regularidades numricas presentes en determinados problemas. Resuelven problemas que involucran operaciones aritmticas con enteros, decimales y fracciones, describiendo y analizando sus procedimientos de resolucin. Estiman y analizan resultados en la realizacin de clculos y en la resolucin de problemas y los ajustan a sus caractersticas. Interpretan la informacin que proporciona la calculadora. Diferencian entre nmeros enteros, racionales e irracionales; los caracterizan, los expresan en notacin decimal y sealan su ubicacin relativa en una recta numrica. Conocen algunos antecedentes histricos de nmeros irracionales. Transforman nmeros racionales en su forma decimal a su forma fraccionaria y viceversa.

OFT Actividades orientadas al aprendizaje de algoritmos o procedimientos rutinarios, as como la aplicacin de leyes y principios. Actividades orientadas a la resolucin de problemas y pensamiento lgico. Desarrollo de actitudes de rigor y perseverancia Las capacidades de recibir y aceptar consejos y crticas. Inters y capacidad de conocer la realidad.

Tiempo estimado 25 a 30 horas

6

Nmeros

UNIDAD

Aprendizajes esperados Utilizan letras para representar nmeros. Evalan expresiones algebraicas. Representan categoras de nmeros por medio de expresiones algebraicas :mltiplos de ...; factores de ...; mayores que ...; nmeros pares, etc. Traducen al lenguaje algebraico relaciones cuantitativas en las que utilizan letras como incgnita. Plantean y resuelven problemas que involucran ecuaciones de primer grado con una incgnita. Conjeturan y generalizan acerca de patrones numricos o geomtricos utilizando expresiones literales. Generalizan la notacin de potencias y utilizan procedimientos convencionales para el clculo de multiplicacin y divisin de potencias. Suman y restan monomios, binomios y polinomios. Reducen trminos semejantes y aplican la convencin de uso de parntesis. Conjeturan y demuestran propiedades numricas asociadas a mltiplos, factores y divisibilidad. Resuelven ecuaciones con coecientes numricos y literales. Analizan la existencia de sus soluciones. Transforman expresiones algebraicas por clculo de productos, factorizaciones, reduccin de trminos semejantes y eliminacin de parntesis. Calculan productos notables; los factorizan; los interpretan numrica y geomtricamente. Resuelven problemas que involucren productos y/o factorizaciones. Analizan frmulas e interpretan las variaciones que se producen en permetros, reas o volmenes, por cambio en las medidas lineales de las guras. Conocen algunos antecedentes histricos sobre la evolucin del lenguaje algebraico. Modelan fenmenos y situaciones usando funciones anes y lineales. Analizan grcamente la variacin de parmetros en una funcin afn. Relacionan las funciones lineales con la proporcionalidad directa.

OFT Desarrollo de la capacidad de generalizacin a partir de situaciones observadas. Inters y capacidad de conocer la realidad, y utilizar el conocimiento y la informacin. Actividades orientadas al aprendizaje de algoritmos o procedimientos rutinarios, as como la aplicacin de leyes y principios, por un lado y de generalizacin a partir de situaciones observadas, por otro Actividades orientadas a utilizar el conocimiento y la informacin. Desarrollo de actitudes de rigor y perseverancia


lgebra


7

UNIDAD

Aprendizajes esperados Representan elementos bsicos de la geometra euclidiana en un sistema de coordenadas rectangular llamado plano cartesiano. Conocen y utilizan la operatoria bsica con vectores en el plano cartesiano (adicin, sustraccin y ponderacin por un escalar), y la relacionan con las transformaciones isomtricas. Caracterizan la traslacin de una gura en el plano cartesiano, utilizando vectores. Construyen teselaciones en el plano cartesiano, utilizando suma de vectores.

OFT Desarrollar actitudes de rigor y perseverancia, as como de exibilidad y originalidad en los procedimientos que utilices y la capacidad de recibir y aceptar consejos y crticas. Desarrollar inters y capacidad de conocer la realidad, y utilizar el conocimiento y la informacin para la toma de decisiones fundamentadas.


Geometra8

Construyen, en el plano cartesiano, guras simtricas, trasladadas y rotadas en 90 y 180. Describen patrones que se observan en la aplicacin de simetras, rotaciones y traslaciones en un sistema cartesiano de coordenadas. Analizan los datos necesarios y sucientes para construir un tringulo relacionndolos con los criterios de congruencia de tringulo y las transformaciones isomtricas. Componen y descomponen guras (puzles geomtricos); analizan congruencia entre sus lados y ngulos. Resuelven problemas que involucren congruencias de trazos, ngulos y tringulos. Conjeturan y demuestran propiedades de tringulos, cuadrilteros y circunferencia por medio de congruencia de tringulos. Caracterizan y clasican tringulos y cuadrilteros, a partir de sus ejes y centros de simetra. Conocen algunos antecedentes acerca del aporte de Euclides a la geometra.

UNIDAD

Aprendizajes esperados Interpretan y producen informacin, en contextos diversos, mediante grcos que provienen de tablas de frecuencias de datos agrupados en intervalos. Interpretan y producen informacin, que describa el comportamiento de grupos en relacin con una variable determinada a partir del anlisis de indicadores de tendencia central (media, mediana, moda) y de posicin (percentiles y cuartiles). Determinan diferencias entre grupos. Conocen empricamente la Ley de los Grandes Nmeros y relacionan la frecuencia relativa con la probabilidad de un suceso. Relacionan la nocin de probabilidad con la informacin estadstica que deriva de la repeticin de un fenmeno aleatorio y explican qu diferencia a stos de los fenmenos determinsticos. Analizan e interpretan los resultados de problemas que involucran clculo de probabilidades considerando experimentos aleatorios simples; explican los procedimientos utilizados; analizan la independencia de los mismos; reconocen los casos de equiprobabilidad. Conocen y utilizan la frmula de Laplace para el clculo de probabilidades; comparan probabilidades y analizan su valor mximo y su valor mnimo.

OFT Desarrollar el pensamiento, en actividades de investigacin a travs de actividades que suponen seleccin de organizacin y datos. Desarrollar, a travs de la resolucin de problemas, la capacidad de juicio alumnos y alumnas, y la aplicacin de criterios morales a problemas del medio ambiente, econmicos y sociales. Desarrollan inters y capacidad de conocer la realidad, y utilizar el conocimiento y la informacin para la toma de decisiones fundamentadas.


Datos y azar


9

Unidad

1

NMEROS

INFORMACIN CURRICULAREsta unidad retoma conceptos acerca de los nmeros enteros, fraccionarios y decimales y plantea fundamentalmente una profundizacin; se propone un trabajo que tiene como columna vertebral la resolucin de problemas. Esta se orienta hacia el conocimiento de caractersticas y propiedades de los nmeros racionales e irracionales, de la presencia de regularidades o patrones numricos en la realidad y la forma en que las potencias facilitan la descripcin de situaciones numricas relativas a crecimientos o decrecimientos. Objetivos fundamentales verticales CMO Aprendizajes esperados- Describen ritmos de crecimiento utilizando las potencias . - Multiplican y dividen potencias de base positiva y exponente entero, en contextos numricos. Relacionan el cambio de signo en el exponente con el valor inverso de una potencia. - Conjeturan acerca de resultados y procedimientos que dan cuenta de regularidades numricas presentes en determinados problemas

- Comprender que los nmeros - Caracterizacin de los nmeros racionales constituyen un con- racionales y de los tipos de problejunto numrico en el que es po- mas que permiten resolver. sible resolver problemas que no tienen solucin con los nmeros - Representacin de los nmeros naturales y enteros, y caracteri- racionales en la recta numrica y zarlos como aquellos que pue- establecimiento de algunas proden expresarse como un cuo- piedades de los nmeros raciociente de dos nmeros enteros nales y de las operaciones, tales como: entre dos nmeros raciocon divisor distinto de cero. nales siempre existe por lo menos - Representar nmeros racio- un nmero racional; la suma, la nales en la recta numrica, diferencia, el producto y el cuoaproximar nmeros racionales, ciente de dos nmeros racionales aplicar adiciones, sustracciones, es siempre un nmero racional. multiplicaciones y divisiones de nmeros racionales en situacio- - Transformacin de nmeros decines diversas y reconocer algunas males innitos peridicos y semiperidicos a fraccin. propiedades

- Resuelven problemas que involucran operaciones aritmticas con enteros, decimales y fracciones, describiendo y - Sistematizacin de procedimien- analizando sus procedimientos tos de clculo escrito y con ayuda de resolucin. de herramientas tecnolgicas de adiciones, sustracciones, multipli- - Estiman y analizan resultados caciones y divisiones con nmeros en la realizacin de clculos y en racionales y su aplicacin en la re- la resolucin de problemas y los solucin de problemas. ajustan a sus caractersticas. - Aproximacin de racionales a tra- - Diferencian entre nmeros vs del redondeo y truncamiento, enteros, racionales e irracionales; y el reconocimiento de las limi- los caracterizan, los expresan taciones de la calculadora para en notacin decimal y sealan aproximar decimales. su ubicacin relativa en la recta numrica. - Interpretacin y clculo de potencias de base racional y exponente - Transforman nmeros racionales entero. Determinacin y aplicacin en su forma decimal a su forma de propiedades. fraccionaria y viceversa. - Resolucin de problemas en contextos diversos que involucran nmeros racionales o potencias de base racional y exponente entero, enfatizando el anlisis crtico de los procedimientos de resolucin y de los resultados obtenidos.

10

Unidad

1

Contenidos relacionados con niveles anteriores6 bsico - Clculo escrito, mental y mediante el uso de herramientas tecnolgicas, de multiplicaciones y divisiones de fracciones positivas y de nmeros decimales positivos, y su aplicacin en contextos cotidianos. 7 bsico - Interpretacin de potencias que tienen como base un nmero natural, una fraccin positiva o un nmero decimal positivo y como exponente un nmero natural.

Contenidos de la Unidad

Contenidos relacionados con niveles y/o unidades siguientes

- Potencias de base racional y 2 Medio exponente entero. - Caracterizacin de los nmeros irracionales como aquellos que no pue- Propiedades de las potencias. den ser escritos como el cuociente entre dos nmeros enteros y los n- Notacin decimal. meros reales como la unin de los nmeros racionales e irracionales. - Notacin cientca. 4Medio - Nmeros racionales versus - Anlisis grco de la funcin axn, con nmeros irracionales. a y x reales y exponente entero para el anlisis y comparacin de tasas de - Aproximaciones. crecimiento aritmtico y geomtrico y de situaciones que involucran el cl- Regularidades numricas. culo de inters compuesto.

- Transformacin de nmeros 8 Bsico - Clculo de potencias de base en- racionales en su forma decitera y exponente natural, determi- mal a su forma fraccionaria y nacin y aplicacin de propiedades viceversa. relativas a multiplicacin y divisin de potencias que tienen base entera y exponente natural.


11

Unidad

1

NMEROS

ORIENTACIONES DIDCTICASEl desarrollo de esta unidad, lo mismo que las actividades propuestas, tiene la meta de que el estudiante descubra estrategias, analice y compare resultados propios o entre los de sus compaeros y compaeras, para luego argumentar respecto de la eleccin de una estrategia o resultado. Es importante destacar las actividades tendientes a mostrar la Matemtica como un modelo de la realidad y diferenciarla de sta. Muchas actividades son preguntas abiertas, del tipo, es cierto que...?, de modo que necesariamente los estudiantes tendrn que investigar entre los ejemplos que poseen, para hacer una conjetura de la respuesta y luego dar un argumento que permita asegurar que sus armaciones son ciertas. Se sugiere en esos casos darles tiempo para reexionar, y permitir la discusin en la sala de clases. Si despus de un tiempo prudente no se vislumbra una respuesta, el profesor debiera darles algunas pistas que encaminen a la respuesta, por ejemplo: piensen en tal o cual caso, o qu pasara si fuese falso. Es importante estar muy pendiente a los argumentos incorrectos, por ejemplo, conclusiones generales deducidas de casos particulares. Ejemplos de actividades. La Matemtica slo es un modelo de la realidad. En la actividad de los computadores infectados se propone un modelo exponencial para explicar la propagacin de un virus. Una de las preguntas al respecto es: Explica por qu este modelo de propagacin es real para valores pequeos de n, pero no se ajusta demasiado a la realidad, para grandes valores de n. Estas preguntas se reeren a que la propagacin exponencial es un buen modelo para tiempos cortos, pero en el largo plazo no puede serlo. Por ejemplo, si tenemos un cultivo bacteriolgico que se duplica cada 1 hora, si contina este crecimiento tarde o temprano llenar todo el planeta y el sistema solar completos; y esto es bastante poco probable. Se sugiere pedir un informe explicando por qu el modelo exponencial no puede modelar el crecimiento de la poblacin enferma debido a una epidemia. Conjetura y argumenta. Existen varios problemas que requieren conjeturar y luego argumentar, por ejemplo: Cul es la cifra de las unidades de 624? Muchos estudiantes intentarn calcular esa potencia. Calcularn 62, 63, y as sucesivamente, pero pronto se sentirn frustrados o aburridos slo de pensar que les tomar demasiado trabajo llegar al resultado. Si esto ocurre, y los estudiantes no notan una generalidad, preguntarles: En las primeras potencias de 6, cul es la cifra de las unidades? Si la respuesta es 6 preguntar: ser cierto siempre?

12

Unidad

1

Un argumento podra ser: si se multiplica 6 por un nmero cuya cifra de las unidades es 6, el resultado tambin tendr en el lugar de las unidades un 6. Como 6 6 = 36 , y por el argumento anterior, se cumple siempre que, cualquier potencia natural de 6 tiene en el lugar de las unidades al 6. Si un estudiante utiliz la calculadora y responde que la cifra de las unidades es 6, pues de hecho el nmero es 4 738 381 338 321 616 896.123 Pedirle ahora que calcule 6 ; en este caso la calculadora falla, entonces hacer las mismas preguntas que en el caso anterior.

El mismo desarrollo es vlido para la pregunta, cul es la cifra de las unidades de 5100? De hecho, todas las potencias de 5 tienen en el lugar de las unidades a 5. La pregunta: cul es la cifra de las unidades de 284? es ms interesante que las anteriores, debido a que las potencias de 2, tienen distintas cifras en el lugar de las unidades. De hecho, en el lugar de las unidades, pueden estar 2, 4, 6, y 8. Una forma de conjeturar es la siguiente: Las cifras de las unidades de las potencias de 2 se repiten en ciclos, y el ciclo es 2, 4, 8, 6. 21 = 2 25 = 32 22 = 4 26 = 64 23 = 8 27 = 128 24 = 16 28 = 256

Por lo tanto, si 2 es elevado a una potencia que es mltiplo de 4, el resultado tendr en el lugar de las unidades el 6. Por lo tanto, 284 = 2421 tiene a 6 en el lugar de las unidades. Luego habra que probar que esta conjetura sea cierta. Otra estrategia que un estudiante puede utilizar es la siguiente: 284 es multiplicar 2 por s mismo 84 veces, es decir: 284 = 2 2 2 2 2 2 ... 2 Pero si juntamos cuatro de esos productos, resulta 24 = 16, por lo tanto: 284 = 16 16 16 16 16 16 ... 16 Pero como vimos antes, si un nmero terminado en 6 se multiplica por otro terminado en 6 el re84 sultado tambin termina en 6. Por lo tanto, la cifra de las unidades de 2 es 6. En el caso de que aparezca ms de una estrategia, compararlas y encontrar ventajas y deciencias a cada una de ellas. Decidir en cules casos una estrategia es ms conveniente que otra. Siempre dejando que cada estudiante, personalmente, elija la que ms le acomode. Se sugiere que en grupos entreguen una hoja destacando una estrategia sobre las otras y argumentando el por qu de la eleccin.


13

Unidad

1 Potencias de 10 y software.

NMEROS

En la pgina http://micro.magnet.fsu.edu/primer/java/scienceopticsu/powersof10/ aparecen fotografas de la Tierra vista a diferentes distancias. Es muy interesante esta pgina, porque las imgenes son interactivas, es decir, haces clic en un botn y muestra una imagen de un orden de magnitud ms lejana o ms cercana, dependiendo del botn que se elija. Es importante mostrar estas imgenes para tener una idea real de estas distancias. Algunas imgenes se presentan abajo. La primera muestra la Tierra vista a una distancia de 108 m.

El botn decrease permite ver imgenes ms cercanas de la tierra y el botn increase permite ver imgenes ms alejadas de la Tierra, siempre y cuando se elija la forma manual si no el programa lo hace automticamente. Las siguientes imgenes tienen un rtulo que indica la potencia de 10 medido en metros desde donde se ve la Tierra.

Varias actividades se pueden realizar al respecto. Por ejemplo: con una tabla que tenga la medida en metros de diferentes distancias, la distancia de la Tierra a la Luna, la distancia de la Tierra a los otros planetas, la distancia de la Tierra al Sol, la distancia a la galaxia ms cercana, la altura a la que vuela un avin comercial, la altura a la que puede volar un helicptero, etc. La tabla puede estar en diferentes unidades (kilmetros, aos luz, etc.). Pedirle al estudiante, cul de las vistas mostradas corresponde a las distancias de la tabla, as por ejemplo, la imagen que muestra la Tierra desde una distancia de 107 m, corresponde a la imagen tomada desde un avin?, desde un satlite? o es una imagen tomada desde la Luna?

14

Unidad

1

Una tabla, como la mencionada puede ser la siguiente:Distancia De la Tierra a la Luna De la Tierra al Sol De la Tierra a Plutn De la Tierra a Alfa Centauro Altura de vuelo de un avin Medida 384 400 km 142 700 000 km (5 horas y 30 min) 4,3 aos-luz 1 500 km

En grupo. Las actividades en grupo deben ser realizadas de forma tal que las ideas de todos y todas sean escuchadas, que cada cual sienta que su parte del trabajo es esencial para el resultado nal. La siguiente actividad, aparece en el libro del estudiante: Jntate con varios compaeros de curso y por separado, midan el largo del patio de tu colegio utilizando una huincha de 3m. Luego comparen todos sus resultados. Discutan cul sera una buena estrategia para tener una aproximacin del largo del patio, con un error menor a un centmetro. Aparte de recolectar las medidas que cada estudiante hizo, es importante preguntar cul fue la estrategia utilizada para hacer la medicin. Algunas preguntas que pueden servir, para que los estudiantes den informacin relevante son: cmo hicieron para asegurarse de que el nal de la huincha coincida exactamente con el comienzo de la prxima medicin? Cmo hicieron para asegurarse que la huincha a lo largo del patio sigui una lnea recta? Cmo puede esto inuir en el resultado nal? Todos los estudiantes coinciden en considerar el mismo punto de inicio del patio? Todos los estudiantes coinciden en considerar el mismo punto como nal del patio? Si es necesario, permitir que los estudiantes realicen de nuevo sus mediciones, esto es muy importante en las ciencias en general: planicar el experimento. Si se toma la parte entera de las mediciones, se espera que las mediciones se concentren en la moda. En este caso, una estrategia puede ser considerar la moda de las partes enteras de las mediciones, como una aproximacin del largo del patio. Discutir acerca de esta estrategia. Si hay pocas mediciones cuyas partes enteras estn alejadas de la moda, se puede estudiar la posibilidad de descartar estas mediciones del estudio general y preguntar a qu se debe esa dispersin. Estudiar en este caso cul estrategia utilizar. Presentar a la discusin, si calcular el promedio de las mediciones, es una buena estimacin. Investigacin y discusin. En esta unidad aparece un prrafo relativo a cantidades de enfermos de Sida segn regin del mundo, una de las actividades relativas a ese tema es: Junto a tus compaeros averigua, cuntos enfermos de Sida hay en Chile? La pgina www.vihsida.cl les puede servir o tambin www.minsal.cl.Gua Didctica para el Profesor Matemtica 1o ao Medio

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Unidad

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NMEROS

Cuntos de los enfermos de Sida latinoamericanos o caribeos son chilenos? Y respecto al contexto mundial? Renan sus averiguaciones y disctanlas. Es muy importante que el tema sea abordado con mucha seriedad, considerando la posibilidad de que uno de los estudiantes est relacionado con esta enfermedad, por alguien de su entorno o personalmente. Analizar los datos recogidos y evaluar stos en el caso en que no todos tengan informaciones coincidentes. En este caso proponer estrategias que permitan conar en algn dato obtenido. El tema puede servir para hacer otro tipo de investigaciones. Por ejemplo: qu parte de las mujeres con Sida tienen hijos con Sida? Cunto dinero deben gastar mensualmente en medicamentos los enfermos de Sida? Los trabajos deben ser evaluados en originalidad y en correccin de los argumentos. Y si no fuera? Es + 1 irracional? Hay muchas formas de responder esta pregunta, pero en esta ocasin, proponemos utilizar la negacin de tesis, debido a que es muy til en variados casos. Entonces, ante el caso enunciado, preguntarles, qu pasara si no fuese irracional? En este caso, ocurrira que + 1 = r sera racional y por lo tanto = r 1 tambin lo sera, pero esto no es correcto, pues sabemos que es irracional, por lo tanto si + 1 fuese racional, llegamos a una contradiccin, por lo tanto, + 1 = r es irracional. En las pruebas estndares es recomendable incluir este tipo de preguntas. Una receta Es muy comn encontrar en varios textos la receta para transformar nmeros decimales peridicos o semiperidicos a fraccin, sin dar ningn argumento de por qu esto funciona. A saber dice: Escriba el nmero sin comas reste el anteperiodo y divida por un nmero formado por tantos nueves como tenga el periodo seguido de tantos ceros como tenga el anteperiodo. La cual es cierta, pero aparece mgicamente y adems basta que se confunda un nombre para que el clculo sea incorrecto. En el texto preferimos mostrar el algoritmo que permite hacer la transformacin, justicando cada paso de tal manera de asegurar que se trata de un cuociente de nmeros enteros. Adems se sugiere mostrar ms de una forma de transformacin, para que se vea cierta exibilidad en el mtodo. Por ejemplo;al transformar 3,789 a fraccin, se sugiere: Paso 1: Multiplicar 3,789 por 103 y por 105 y notar que los resultados tienen la misma parte decimal. Paso 2: Restar los resultados del paso 1 y vericar que se obtiene un nmero entero. Paso 3: Usar la ley distributiva para escribir 3,789 105 3,789 103 como 3,789(105 103). Paso 4: Concluir que 3,789 se puede escribir como el cuociente entre el nmero entero que resulta del paso 2 y 105 103.

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Unidad

1

ERRORES FRECUENTES La suma de dos nmeros irracionales es un nmero irracional. Por lo general, los estudiantes creen que la suma de dos nmeros irracionales es un nmero irracional. La verdad es que esa armacin no es cierta en general, en algunos casos es cierto y en otros no lo es. Mostraremos un ejemplo, que evidencia que la armacin es falsa. Se demostr en el texto del estudiante que 2 es un nmero irracional. Demostremos que 2 2 tambin es un nmero irracional. De hecho, si no lo fuera, sera racional. Supongamos que r = 2 2 es racional, entonces: 2 r = 2 Pero como la resta de nmeros racionales es racional, implicara que contradiccin. Por lo tanto, 2 2 es irracional. 2 es racional, lo cual es una

Ahora si consideramos los nmeros irracionales: x = 2 e y = 2 2 , se tiene que su suma es 2, un nmero racional. Entonces, es falso que la suma de dos nmeros irracionales es irracional.

El producto de dos nmeros irracionales es irracional. Esta armacin tambin es falsa, y el error, igual que en el caso anterior, se debe a dos cosas: Primero: en todos los conjuntos numricos que conocen, si satisfacen estas dos propiedades, es decir, para , , y ahora , se cumple que la suma y el producto de cualquier par de elementos de esos conjuntos pertenece al conjunto. Por lo tanto, creen que todos los conjuntos debieran cumplirla. Segundo: pertenece a los estudiantes, slo prueban unos casos particulares, y si la propiedad es cierta en esos casos particulares, ineren que la propiedad es cierta en todos los casos. Por ejemplo: 2 + 3 y 2 3 corresponden a nmeros irracionales, que son la suma y el producto de dos nmeros irracionales. Por esta razn, es muy importante, que los estudiantes no ineran nada a partir de casos particulares, respecto al caso general. Sin embargo, la estrategia de utilizar casos particulares para conjeturar el caso general es siempre una muy buena idea, pero sin perder de vista que luego se necesita una demostracin. Un ejemplo de que el producto de dos nmeros irracionales puede ser racional es el siguiente: Sea a = 2 y b = 8 , ambos son nmeros irracionales. Sin embargo, ab = 16 = 4 Luego, el producto de dos nmeros irracionales puede ser racional.


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Unidad

1 Utilizar la calculadora para decidir si un nmero es racional o no. 0,0057803468208092485549132947976879

NMEROS

Este error es muy comn, de hecho existen libros de matemticas que lo fomentan. Por ejemplo, si en una calculadora se encuentra el nmero

no podemos decir si el que la estaba usando, hizo un clculo que da como resultado un nmero 1 racional o no; de hecho, este nmero son los primeros 34 decimales del nmero racional . Ms 173 an, no es un problema fcil decidir cun largo es el periodo de ese nmero.

La potencia de un nmero irracional es irracional. Este es un caso particular del error el producto de dos nmeros irracionales, es un nmero irracional. Un ejemplo de que la armacin es falsa, es el siguiente: a = 2 ; sin embargo, a2 = 2 .

ACTIVIDADES DE REFUERZO Y AMPLIACINSi las actividades del texto del estudiante, resultan de fcil acceso a los estudiantes de su curso, invite a dar argumentos de sus conclusiones, pues el texto est diseado para cubrir diferentes ritmos de aprendizaje del alumnado y existen preguntas profundas, que requieren un pensamiento claro y ordenado, que no todos los estudiantes logran a esta edad. Si an as, sus estudiantes sobrepasan en un tiempo corto estos temas, siempre existen actividades que permiten ampliar los conocimientos de esta unidad. A continuacin presentamos unos ejemplos: 1. Un tanque contiene una mezcla de alcohol y agua; 90 L son de alcohol y 10 L son de agua. Cada 10 minutos se sacan 10 L de mezcla e inmediatamente se rellena con 10 litros de una mezcla de 50% de agua y 50% de alcohol. Cunto alcohol tendr el tanque despus de una hora? Cunto alcohol tendr el tanque despus de 10 n minutos? Qu pasar en el largo plazo? Este problema generaliza el Problema Resuelto del texto del estudiante, con la diferencia que ahora al tanque entra una cantidad signicativa de soluto, en cambio en el caso del texto, no entraba al tanque soluto. La coincidencia de estos problemas est en que el volumen del tanque se mantiene constante. La idea del problema es que el estudiante descubra una generalidad utilizando potencias y as valorar la notacin de potencias que le permite resumir grandes multiplicaciones. Un asunto ms interesante, pero ms difcil, es crear otro problema similar donde el volumen del tanque no se mantenga constante. Por ejemplo: 2. Un tanque contiene una mezcla de alcohol y agua: 90 L son de alcohol y 10 L de agua. Cada 10 minutos se sacan 10 L de la mezcla e inmediatamente se rellena con 8 litros de una mezcla de 50% de agua y 50% de alcohol. Cunto alcohol tendr el tanque despus de una hora? Cunto alcohol tendr el tanque despus de 10 n minutos? Qu pasar en el largo plazo? Qu parte de alcohol tendr la ltima muestra de mezcla en el tanque?

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Unidad

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3. Es

3 racional?

La idea de esto es repetir la demostracin que se hizo para probar que 2 es irracional. Para ello 2 basta tener en cuenta que si a es mltiplo de 3, entonces a lo es, as la demostracin resulta idntica a la mostrada en el texto del estudiante. 4. Imagina que das un paso de un metro, luego das un paso la mitad del largo del anterior, luego das un paso la mitad del anterior y as sucesivamente, das pasos del largo de la mitad del paso anterior. Es cierto que a lo ms recorrers una distancia de dos metros? Se espera que un estudiante avanzado, encuentre una regularidad para la suma 1+ el valor de esa suma es 2 1 1 1 1 + + + ... + n 2 22 23 2

1 . Si el estudiante no logra responder la pregunta, puede darle el 2n valor de la suma para valores pequeos de n. Si an as no conjetura la solucin pueden invitarlo a investigar en la bibliografa. En el caso de que el alumno o alumna se sienta demasiado demandado por las actividades del texto del estudiante, se sugiere investigar a qu se debe este abrumamiento. Es posible que el estudiante no se sienta cmodo con los conocimientos previos a la unidad; en ese caso se sugiere hacer actividades de clculo numrico relativos a operaciones con nmeros racionales y propiedades de las potencias. Si es difcil seguir algunas actividades del texto, a continuacin mostramos unos ejemplos que permiten acercarse a esas actividades. 1. Si los problemas relativos a procesos iterados, como el de la amigdalitis de Antonia resulta agobiante para algunos estudiantes, se sugiere introducir el siguiente problema a modo de acercamiento: Tu pap se sirve un caf en la maana, que tiene una cucharada de caf en polvo. Se toma la mitad y se va corriendo al trabajo. A tu mam no le gusta tan cargado como a tu pap, y rellena la taza con agua caliente, y se toma la mitad. Qu parte de la cucharada inicial de caf tom tu mam? Motivar al estudiante a preguntarse, qu parte de la cucharada inicial tom el pap? Luego, si la taza contiene slo la mitad del caf inicial, cuando lo tom la mam, y se tom la mitad de lo que haba, qu parte del caf inicial tom la mam? Luego invitar al estudiante a resolver el problema de Antonia. Si la incursin da resultados negativos, seguir intentando con el problema del caf, agregando personas a la historia. Por ejemplo, despus vino tu hermano y rellen la taza con agua y se tom la mitad, qu parte del caf inicial se tom tu hermano? y repetir el proceso. Puede intentarse tambin, cambiando las fracciones de prdida de mezcla; puede suponer que el pap se tom 2/3 de la taza, y luego la mam tom 2/3 de lo que quedaba y as sucesivamente, hasta obtener, que el estudiante logre descubrir la recurrencia en potencias.


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Unidad

11+ 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + ... + n = n(n + 1) 2

NMEROS

2. Si el estudiante puede generalizar regularidades dadas en formato geomtrico, pero no es capaz de resolver los problemas puramente aritmticos, se sugiere invitarlo a hacer un modelo geomtrico del problema. Por ejemplo, en el texto se demostr que:

y se pide en una actividad calcular la suma de los primeros 100 nmeros pares. Para ello, se puede sugerir mostrar los nmeros pares como parejas de baldosas, como muestra la gura:

Pedir al estudiante que argumente que la suma de todas esas baldosas es el doble de las primeras las, es decir, el doble de 1+ 2 + 3 + 4 + 5 + ... + n . Esto es, la suma de los primeros n nmeros pares n(n + 1) = n(n + 1). Por lo tanto la suma de los primeros 100 nmeros pares es: es: 2 2 100 101 = 10 100.

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Unidad

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ACTIVIDADES DE CIERRE DE UNIDADLas actividades del texto del estudiante estn diseadas para que el alumno(a) modele, resuelva problemas, calcule y aplique los conceptos e ideas descubiertos en esta Unidad. Las preguntas que presentamos a continuacin, pretenden reconocer si se logr un conocimiento profundo de los tpicos estudiados en esta unidad. 1. Es cierto que todo nmero natural es un mltiplo de 3, o el sucesor de un mltiplo de 3 o el antecesor de un mltiplo de 3? Demuestra que: si a2 es un mltiplo de 3, entonces a lo es. Si r es racional y s es irracional con r < s. El promedio de esos nmeros, es racional o irracional? Es cierto que 1 + 1 = 1 ? a b a+b Es cierto que 4 2n

2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9.

= 1 ? 2n

Es cierto que la mitad de un nmero irracional es un nmero irracional? Es cierto que el inverso aditivo de un nmero irracional es un nmero irracional? Si r es racional, s es irracional y r s es racional, es cierto que r = 0 ? Si a un nmero irracional se le suma un nmero entero, es cierto que el nmero que resulta tiene los mismos decimales que el nmero irracional?

10. Un profesor calica las pruebas con notas de hasta dos decimales, luego promedia las notas y el resultado lo aproxima redondeando al primer decimal. Obtn el mismo resultado que redondeando cada nota, calculando el promedio y luego redondeando el promedio tambin.27 11. Si se dice que un planeta tiene una masa del orden de 10 kg, entonces, es cierto que la masa de ese planeta est entre 109 toneladas y 9, 9 109 toneladas?

12. Si en una calculadora ves el nmero 3,1415926535897932384626433832795, puedes decidir si es la aproximacin de un nmero racional o de uno irracional? 13. Una secuencia de nmeros tiene como primeros trminos a 1, 2, 3, 4, puedes decir cul es el quinto elemento?


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Unidad

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NMEROS

MODELOS DIDCTICOSA continuacin se darn ejemplos concretos y actividades que ayudarn a que los alumnos y alumnas logren los aprendizajes esperados en esta primera unidad. Describen ritmos de crecimiento utilizando las potencias y comparan con situaciones descriptibles por adicin iterada. El siguiente problema propuesto en las actividades para aplicar, en el tpico de potencias dice: El padre de Yael, le presenta dos alternativas para juntarle su dinero quincenal: la primera consiste en abonarle $1 000 cada da. La segunda en que el primer da le abona un peso, el segundo da dos pesos, el tercer da el doble del anterior, y as sucesivamente, cada da duplica la cantidad del da anterior. Cul propuesta le conviene ms a Yael? Para calcular la cantidad de dinero, utilizando la primera propuesta, es necesario resolver una adicin iterada, de hecho quince veces mil; en cambio; si utilizamos la segunda propuesta el ritmo de crecimiento es muy rpido y lo describe la potencia 2k. En este problema los alumnos, al principio, creern que la primera propuesta es ms conveniente por la cantidad de dinero con la que se inicia, que es bastante superior que en la segunda propuesta, pero despus van a comparar las cantidades y vern que la primera propuesta el crecimiento es constante da a da, en cambio, en la segunda propuesta, el crecimiento se va duplicando. Estiman y analizan resultados en la realizacin de clculos y en la resolucin de problemas y los ajustan a sus caractersticas. El siguiente problema corresponde al tema de aproximaciones tratado en la unidad. Supn que Ramn midi mal. La cancha mide realmente 25,1 m de ancho y 59,9 m de largo, el rea real es distinta o igual que si la hubisemos calculado con los datos de Ramn? Cun diferentes? Nos hubisemos pasado o quedado cortos? Segn Ramn las medidas iniciales eran de 25 m y 60 m. Notar que en una medida se equivoc por exceso y en otra por defecto, lo cual puede llevar a pensar a los estudiantes, que el rea se mantiene igual. Por lo tanto, es importante invitar a los estudiantes a hacer los clculos y comprobar sus conjeturas. Conjeturan acerca de resultados y procedimientos que dan cuenta de regularidades numricas presentes en determinados problemas. El siguiente problema se encuentra en las actividades tratadas en el tema de regularidades numricas de la unidad: 1+ 2 = 22 1, 1+ 2 + 22 = 23 1, 1+ 2 + 22 + 23 = 24 1, 1+ 2 + 22 + 23 + 24 = 25 1 Conjetura cul es el valor de 1+ 2 + 22 + 23 + 24 + 25 + 26 + 27 + 28 . Cmo crees que ser el caso general?

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Unidad

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Es importante que se explicite que una conjetura es muy distinta a una demostracin. Que slo con conjeturar y comprobar que una generalidad se satisface en algunos casos particulares no es posible decir que nuestra conjetura es cierta. Diferencian entre nmeros enteros, racionales e irracionales; los caracterizan, los expresan en notacin decimal y sealan su ubicacin en la recta numrica. 1. Considera los nmeros racionales 1 3 y 1 4

a) Ubica los nmeros en la recta numrica. b) Encuentra el punto medio M entre esos nmeros. Es un nmero racional? 1 c) Encuentra el punto medio entre 1 y M y el punto medio entre M y . Son esos puntos 4 3 nmeros racionales? En este problema se pide que encuentre nmeros racionales cumpliendo cierto orden y discrimine si estos nmeros son o no racionales. Adems, la actividad apunta a descubrir la propiedad que entre dos nmeros racionales, existen innitos nmeros racionales. 2. Es 2 + 2 racional? Es 2 2 racional?

En este problema se desea analizar y generalizar, si producto de dos irracionales es irracional, y si la suma de un nmero racional con un irracional resulta irracional. 1 , 3. Ordena los siguientes nmeros de menor a mayor: 1 2, 0, 2, 3, . Ordenar nmeros 2 reales puede ser una tarea difcil para el estudiante, por ello se sugiere apoyar esta actividad muy fuertemente y sobretodo evaluar y corregir los argumentos. Interpretan la informacin que proporciona la calculadora. Despus de que Juan realiz una serie de clculos, le apareci el siguiente resultado en la calculadora: 0,063583815028901734104046242774566. Qu diras t acerca de este nmero? Es racional o irracional? En ese momento se acerca el hermano de Juan y le pregunta en qu ocupa ese nmero irracional que aparece en la calculadora, 11 pero Juan le comenta que es el racional con slo 33 decimales. Con esto el hermano de Juan 173 se percat que utilizando la calculadora es imposible vericar si un nmero es irracional o no, ya que el periodo de un nmero, en caso de que lo tenga, puede aparecer muy tarde y la calculadora no lo mostrar. As ambos se preguntaron, despus de cuntos decimales aparece el periodo de 11 ? Podras ayudarlos a resolver su problema? 173 El objetivo de esta actividad es que el estudiante se convenza de que con la calculadora no puede decidir si un nmero es irracional o no, de hecho la calculadora solo trabaja con aproximaciones racionales. La actividad considera un nmero racional de un periodo bastante largo, para que no crea que se trata solo de lo acotado del nmero de decimales de nuestra calculadora en particular.Gua Didctica para el Profesor Matemtica 1o ao Medio

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INFORMACIN CURRICULAREsta unidad se centra en el desarrollo de la capacidad de generalizacin de situaciones que derivan del trabajo con los nmeros o con las formas geomtricas, apoyada en la potencialidad del lenguaje algebraico para describir esas generalizaciones. Tambin en la solucin de ecuaciones de primer grado con coecientes literales, como una generalizacin de las ecuaciones de primer grado con coecientes numricos. Tambin focaliza la atencin en el clculo de factores y productos, se orienta al desarrollo de la capacidad de generalizacin apoyada en una sistematizacin del lenguaje algebraico. Se propone la enseanza del clculo de productos notables considerando como conocimientos previos la operatoria aritmtica y el clculo de reas de rectngulos. En esta perspectiva se hace hincapi en el carcter generalizador aportado por el lgebra. Es importante dentro de esta unidad, el signicado que proporciona la aritmtica y la geometra en los procedimientos para calcular productos y realizar factorizaciones. Las funciones son sino el que ms, uno de los temas principales dentro de toda la matemtica, y se ha hecho un esfuerzo para estudiarlas como objetos, usando metforas de mquinas y de otro tipo. Sin duda que las aplicaciones y utilizacin como modelos estn presentes en el texto y con la debida importancia. Objetivos fundamentales verticales CMO Aprendizajes esperados- Utilizan letras para representar nmeros. Evalan expresiones algebraicas. - Representan categoras de nmeros por medio de expresiones algebraicas: mltiplos de ... ; factores de ... ; mayores que ... ; nmeros pares, etc. - Traducen al lenguaje algebraico relaciones cuantitativas en las que utilizan letras como incgnita. Plantean y resuelven problemas que involucran ecuaciones de primer grado con una incgnita. - Conjeturan y generalizan acerca de patrones numricos o geomtricos utilizando expresiones literales. - Suman y restan monomios, binomios y polinomios. Reducen trminos semejantes y aplican la convencin de uso de parntesis. - Conjeturan propiedades numricas asociadas a mltiplos y las demuestran. - Resuelven ecuaciones con coecientes numricos y literales. Analizan la existencia de sus soluciones.

- Usar e interpretar conven- - Establecimiento de relaciones entre expresiones ciones algebraicas bsicas que algebraicas no fracciopermiten generalizar concepnarias mediante la elitos, relaciones u operaciones minacin de parntesis, as como tambin representar reduccin de trminos situaciones que involucran semejantes, productos, cantidades variables. productos notables y factorizacin. - Modelar situaciones o fenmenos mediante funciones - Resolucin de ecuaciolineales y anes. nes de primer grado con una incgnita y - Aplicar modelos lineales que coecientes literales y representan la relacin entre su aplicacin en la intervariables, diferenciar entre vepretacin y transformaricacin y demostracin de cin de frmulas. propiedades, analizar estrategias de resolucin de problemas de acuerdo con criterios - Anlisis de las distintas representaciones de la denidos. funcin lineal, su aplicacin en la resolucin de diversas situaciones problema y su relacin con la proporcionalidad directa.

- Interpretacin de la funcin afn, anlisis de las - Modelan situaciones o fenmenos mediante situaciones que modela funciones lineales y anes. y estudio de las variaciones grcas que se - Relacionan la interseccin de rectas con la soluproducen por la modicin de ecuaciones. caciones de sus parmetros. - Gracan funciones anes y lineales, interpretando los cambios en los parmetros.

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Contenidos relacionados con niveles anteriores6 Bsico

Contenidos de la Unidad

Contenidos relacionados con niveles y/o unidades siguientes

- Establecimiento de relaciones 2 Medio entre expresiones algebraicas no fraccionarias mediante la - Resolucin de problemas mediante - Empleo de propiedades de las eliminacin de parntesis, operaciones de los nmeros nasistemas de ecuaciones lineales con reduccin de trminos semeturales para resolver ecuaciones dos incgnitas, en contextos variajantes, productos, productos de primer grado. dos. Discusin de pertinencia y exisnotables y factorizacin. tencia de soluciones. - Validacin de la solucin obtenida en la resolucin de una ecua- - Resolucin de ecuaciones de - Simplicacin de fracciones algebraiprimer grado con una incgcin de primer grado con una incas simples, con binomios tanto en nita y coecientes literales y cgnita, mediante la sustitucin el numerador como en el denominasu aplicacin en la interprede la incgnita. dor. tacin y transformacin de frmulas. 7 Bsico 3 Medio - Reduccin de expresiones alge- - Anlisis de las distintas repre- - Representacin y anlisis grco de sentaciones de la funcin libraicas por medio de la aplicala funcin cuadrtica, para distintos neal, su aplicacin en la resocin de propiedades de las opevalores de los parmetros. Discusin lucin de diversas situaciones raciones, adicin y sustraccin de de las condiciones que debe cumplir problema y su relacin con la trminos semejantes y eliminala funcin cuadrtica para que la grproporcionalidad directa. cin de parntesis. ca intersecte el eje X. - Traduccin de expresiones del len- - Interpretacin de la funcin afn, anlisis de las situacioguaje natural a lenguaje simblines que modela y estudio de co y viceversa. las variaciones grcas que se producen por la modica- Resolucin de problemas meciones de sus parmetros. diante el planteamiento de una ecuacin de primer grado con una incgnita, interpretacin de la solucin en trminos del contexto del problema. 8 Bsico - Resolucin de problemas en diversos contextos que implican el uso de la relacin de proporcionalidad como modelo matemtico y su aplicacin al clculo de porcentajes.


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LGEBRA

ORIENTACIONES DIDCTICASEsta Unidad y en particular sus actividades pretenden desarrollar en el estudiante habilidades que les permitan generalizar regularidades utilizando el lenguaje algebraico. Tambin utiliza el lenguaje algebraico para interpretar y evaluar expresiones utilizadas en las ciencias. Es importante que el estudiante reconozca las ventajas de tener un lenguaje que le permite resumir informacin cientca. El estudiante reconoce en el lgebra una herramienta muy til para demostrar resultados generales. Las frmulas en ciencias debieran ser un tema de exploracin referente al comportamiento de unas variables respecto de otras. De nuevo, hay muchas actividades que son preguntas abiertas, del tipo: Es cierto que...? En estos casos es muy importante no darles las soluciones de inmediato. Insistimos en dar slo algunas pistas que encaminen a la respuesta. Los trabajos en grupos y las discusiones de temas sociales, polticos o morales deben ser dirigidos hacia la tolerancia y respeto. Muy importante es valorar la diversidad de estrategias que surgen para resolver problemas o para modelarlos. En esta unidad se trata el tema de la Obesidad; ser muy prudente hacer una introduccin al tema para evitar las burlas a los estudiantes con sobrepeso. Tambin ser prudente tratar el tema de las enfermedades producidas por la desnutricin, como la bulimia y la anorexia. A continuacin veremos algunas actividades referidas a las habilidades antes comentadas.

Ejemplos de actividades Reconocen y relacionan variables. En varias situaciones de la vida real y de las ciencias los estudiantes reconocen variables y las relacionan. En el problema de la cuenta de electricidad se lee: "Para calcular el valor mensual de la cuenta de electricidad, se miden los Kilowatts/hora consumidos en el mes. El valor de un KWH es de $68; adems se cobra un cargo jo de $509, independiente del consumo. Supongamos que en una casa se consumieron 181 KWH en el mes de enero". Es importante preguntar a los estudiantes, cules son los valores que varan mes a mes? Los estudiantes debieran notar que ni el cargo jo ni el valor del KWH varan en un periodo prolongado. De modo que mes a mes slo varan el consumo y el valor de la cuenta. Preguntar a los estudiantes, cul es la relacin entre esas variables?, es decir, si conocemos el consumo de un mes, cul ser el valor de la cuenta? Completar la tabla de la actividad es relevante para notar la dependencia entre las variables. Si un estudiante propone una relacin errada invitarlo a evaluarla para que se convenza de que efectivamente est equivocado. Es muy importante que el estudiante conozca, cree y desarrolle todos los medios de comprobacin. Por lo que debe pedir a los estudiantes que sucintamente entreguen los argumentos que aseguren sus conclusiones.

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Interpretar frmulas. Las frmulas, aparte de evaluarlas numricamente, pueden ser estudiadas de manera cualitativa, sin necesidad de conocer los valores que stas toman. En esta unidad aparecen varias actividades 4, 9x 2 2 relativas a ello. Por ejemplo, la relacin h = vmx (m + 1) , representa la altura de un prov2 yectil lanzado con velocidad v, donde m es un nmero que depende de la inclinacin del disparo y x es la distancia recorrida en la direccin horizontal. Qu signica que para algn valor x0 la altura del proyectil sea cero? Una primera intencin del estudiante es tratar de encontrar esos puntos, pues siempre intentan resolver ecuaciones. Sin embargo, con esta pregunta se trata de interpretar la frmula, y slo pretende que el estudiante, analice cualitativamente, sin conocer los valores que toma. Cuando el estudiante se d cuenta, de qu signica que el proyectil est en el suelo, pida que respondan: les parece claro que cuando x = 0, h tambin valga cero? Pida que evalen. Luego puede pedir que hagan un bosquejo de cmo creen que es la trayectoria y que marquen x o en el dibujo. Para nalizar hacer la siguiente pregunta de la actividad: qu pasa en la mitad de x o? Segn el dibujo y la simetra del lanzamiento, se espera que contesten que se alcanza la altura mxima. Puede entregar tablas y evaluaciones de las relaciones, para mostrar el trabajo realizado. Crean frmulas en planillas de clculo. Las planillas de clculo constituyen un gran apoyo para demostrar los conocimientos en lgebra, en un ambiente ms atractivo para los estudiantes. Las planillas de clculo tienen varias funciones incorporadas, como sumar, encontrar mximos, mnimos, calcular promedios, etc. En esta unidad aparece una actividad para calcular el promedio de tres notas, con diferentes ponderaciones.

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13

A Asignatura Artes Biologa Ed. Tecnolgica Ed. Fsica Ed. Musical Filosofa Fsica Historia Ingls Lenguaje Matemtica Qumica

B Nota 1 5,7 4,4 5,1 7,0 6,0 5,0 4,4 3,3 7,0 7,0 7,0 4,5

C Nota 2 6,4 5,3 6,3 7,0 6,5 4,3 5,6 4,1 6,4 5,5 6,8 5,2

D Nota 3 7,0 4,2 7,0 5,5 5,4 4,5 6,6 2,8 4,4 4,3 5,5 6,3

E Promedio

Se pide calcular la nota nal si la tercera fuese coeciente 2. Al comienzo invitar al estudiante, si no se siente seguro de su resultado, a realizar el clculo con papel y lpiz. Lo ms natural es que escriba la frmula = (B2 + C2 + 2 * D2) / 4 , sin embargo, es muy comn el error = (B2 + C2 + 2 * D2) / 3 , en este caso convencer al estudiante que esto es un error, preguntndole, por ejemplo, cul sera la nota


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nal de un estudiante, que tuviera en todas las pruebas nota 7? Es importante recolectar todas las estrategias. Si solo aparece una, sugerir alguna otra, por ejemplo: copiar la columna D en la columna E y luego ocupar directamente la funcin promedio, es decir, = PROMEDIO(B2 : E2) . Pedir a los estudiantes que expliquen por qu ambas frmulas producen el mismo resultado. Luego hacer la siguiente pregunta de la actividad. Cul sera la frmula si la primera nota vale la mitad de cada una de las otras? Recolectar las estrategias que surjan de la reexin de los estudiantes. En el caso en que slo aparezca una solucin del problema, proponer otros caminos alternativos, por ejemplo: 1. Dividir la unidad en tres partes, dos de ellas son iguales, y una es la mitad de las otras. De esto resulta que la parte pequea es 1/5 y las otras dos son 2/5 del total, entonces la frmula de la nota nal sera: (1 / 5) * B2 + (2 / 5) * C2 + (2 / 5) * D2. 2. Otra forma sera considerar que las ltimas pruebas fuesen coeciente dos, entonces consideramos 5 notas. En este caso la frmula sera (B2 + 2,*C2 + 2 * C3) / 5. 3. Otra forma sera pensar en trminos de porcentajes: la primera nota equivale al 20% de la nota nal, en cambio las otras el 40%; en este caso la frmula sera: 0, 2 * B2 + 0, 4 * C2 + 0, 4 * D2. 4. La otra puede ser preguntada a los estudiantes: cmo se hara utilizando la funcin Promedio? Si se tiene acceso a computadores para los estudiantes, pedir copiar a cada uno, una planilla de clculo con datos, para que ellos encuentren la frmula que Ud. pida. Puede solicitar que le enven las soluciones va correo electrnico. Analizar cambios lineales en frmulas geomtricas. Es un recurso muy didctico utilizar las representaciones geomtricas, as como tambin las frmulas de reas y volmenes para analizar frmulas, que para los estudiantes son ms cercanas que las de otras ciencias. En esta unidad aparecen varias actividades relacionadas con este tema, por ejemplo: El volumen de un cilindro de radio r y altura h es r2h . Cuntas veces ms pequeo es el volumen de un cilindro que tiene la misma altura que otro pero la mitad del radio? Un error comn es pensar que el cilindro pequeo tiene la mitad de volumen. El error se comete, porque la nica relacin que han estudiado es la proporcional y creen que es la nica. Sin embargo, en este caso particular el volumen del cilindro pequeo es 1/4 del cilindro mayor. Sera interesante preguntar por la generalidad, es decir, si en ambos cilindros la altura es la misma, pero el radio del cilindro menor es la tercera parte del mayor, es la cuarta parte del mayor, es la n-sima parte del mayor, qu ocurre con el volumen? Si la respuesta no surge, preguntar el volumen del ms grande es n veces ms grande que el volumen del pequeo? Invitar a los estudiantes a hacer tablas, para conjeturar una regularidad. Pedirles que argumenten, para convencer a sus compaeros de sus descubrimientos.

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Resuelven ecuaciones y despejan variables. Despejar variables constituye una habilidad muy necesaria para el estudio de las ciencias en general. Es importante notar que resolver ecuaciones de primer grado constituye un caso particular de despejar variables. En esta unidad se desarrollan varias de estas actividades, por ejemplo en la 2L relacin T 2 = 4 se despeja L, aplicando inversos aditivos e inversos multiplicativos. Es muy g importante que esto se destaque, para que no se crea que la resolucin de ecuaciones es un proceso mgico, sin sentido. En el texto se propone la siguiente actividad: El volumen de un cilindro es V = r 2h . Escribe la altura en trminos de las otras variables y determina la altura del cilindro que tiene un volumen de 300 m3 y radio basal r = 4 m. Preguntar a los estudiantes: por qu valor debemos multiplicar la igualdad para despejar h? Puede preguntar por el inverso multiplicativo de y de r 2 , si los estudiantes no participaron de la primera pregunta. Una vez despejada la variable h responder la segunda pregunta de la actividad. Preguntar si se pueden invertir los pasos dados, es decir, podemos evaluar primero y luego resolver la ecuacin? Acordar que ambos procesos conducen al mismo resultado y cada cual utilizar el que preera, dependiendo de la situacin.

Conjeturan regularidades. En esta unidad y en la anterior aparecen varias actividades referidas a conjeturar regularidades. A continuacin revisamos una actividad de la Prueba PISA 2000:x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x

x x x x x x x x

x x x x x x x x x x x x x x x x

x= Pino o= manzano

x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x

x x x x x x x x x

Con la ayuda de un compaero realiza la siguiente actividad: a) Completen la siguiente tabla, t escribiendo el nmero de manzanos y tu compaero el nmero de pinos.

n1 2 3 4 5

Nmero de manzanos1 4

Nmero de pinos8


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b) Conjeturen y describan, cada uno, una frmula para calcular el nmero de manzanos y otra para el nmero de pinos para n las de manzanos. La actividad pretende que los estudiantes se complementen y que cada cual confe en el trabajo del otro. Como la la de manzanos es la variable que estamos estudiando y en cada caso si hay n las de manzanos, tambin hay n columnas de manzanos, entonces los manzanos son n2 . Los pinos forman el permetro de un cuadrado de lado 2n + 1, luego el permetro del cuadrado es 4(2n + 1) = 8n + 4 , pero como los pinos que estn en los vrtices del cuadrado, han sido contados dos veces es necesario restarlos de la cuenta, es decir la cantidad de pinos para cuando hay n las de manzanos es 8n. Un error muy comn es, pensar que una frmula es cierta porque se comprueba en unos pocos casos. Por ejemplo, para todos los valores de n, que se muestran en la tabla, se tiene que la cantidad de pinos es mayor que la de manzanos, pero eso ocurre slo hasta n = 8 y luego el orden se invierte. Es por esto que es tan importante realizar las preguntas que siguen en la actividad: existe un valor de n para el cual el nmero de manzanos coincide con el de pinos? A medida que el agricultor vaya haciendo mayor el tamao del huerto: qu aumentar ms rpido: el nmero de manzanos o el de pinos? Se sugiere que los estudiantes entreguen un informe de la actividad en parejas, donde expongan sus conclusiones y, muy importante, argumenten la eleccin de estrategias y den razones para justicar sus resultados. Modelan diversas situaciones utilizando productos algebraicos. La modelacin es una habilidad muy importante de desarrollar en nuestros estudiantes, sin embargo, suele ser muy difcil para ellos lograr expresar lo que piensan utilizando expresiones algebraicas. Es por esto que la gua del docente es fundamental, para lograr un conocimiento signicativo y no provocar frustracin entre los estudiantes. Adems la modelacin involucra una gran cantidad de habilidades: reconocer variables, simulaciones, reconocer en el modelo los valores realmente signicativos, resolucin de problemas, anlisis de informacin, etc. A continuacin presentamos un ejemplo: En un criadero de salmones, tienen 400 salmones de 2 kg cada uno, que los liberaran para que naden ro arriba, para desovar. Los salmones aumentan en masa, 400 gr por cada kilmetro que nadan, pero mueren 4 salmones cada kilmetro. Cul es el valor de la masa M de la comunidad de salmones que quedan vivos despus de x km de nado? Has una tabla de x versus M. Estima el valor de x que permite el mximo de masa de la comunidad de salmones. Se sugiere invitar a los estudiantes a responder dos preguntas: 1. Cul es la masa de un salmn despus de x kilmetros? 2. Cuntos salmones quedan vivos despus de x kilmetros? Para la primera pregunta, invitar a responder cunto aument la masa de un salmn despus de x kilmetros? Como aumenta 400 g por kilmetro, despus de x kilmetros, su masa aumentar 400x. Como al inicio, cada salmn pesaba 2 000 g, despus de x km el salmn pesar 2 000 + 400x g. Para la segunda pregunta: como mueren 4 salmones por km, se tiene que despus de x km, se han muerto 4x salmones. Recordar que al comienzo se tenan 400 salmones, por lo tanto despus de x km, se tendrn 400 4x salmones.

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Preguntar a los estudiantes: cmo conocer la masa de la comunidad? Si conocemos la cantidad de salmones y la masa de cada uno de ellos La respuesta debiera ser que el producto entre la masa de un salmn y la cantidad de salmones es la masa total de la comunidad. Es decir: M = (400 4x)(2 000 + 400x) = 1 600(100 x)(5 + x) La tabla de x versus M debiera ser del estilo: x (km) 10 20 30 40 50 60 70 80 90

M (kg) 2 160 3 200 3 920 4 320 4 400 4 160 3 600 2 720 1 520 Al respecto se puede invitar a los estudiantes a responder las siguientes preguntas: 1. Era de esperar que cuando se ha transcurrido una larga distancia, la cantidad de masa total sea pequea? 2. Cmo explicaras que la cantidad de masa aumente y luego disminuya? 3. Qu pasar cuando hayan transcurrido 100 km? Para tratar de encontrar el valor de x que produce la mxima cantidad de masa total, se sugiere hacer una tabla ms na entre los valores de x de la tabla anterior, donde se sospecha la existencia del mximo. Como, segn nuestros datos, M crece hasta x = 40 y decrece desde x = 50 en adelante, la conjetura es que el mximo est entre x = 40 y x = 50.

A 1 Variables 2 x (km) 3 M (kg) 4 5 6 Variables 7 x (km) 8 M (kg)

B40

C42,0

D44,0

E46,0

F48,0

G50,0

H52,0

I54,0

J56,0

K58,0

L60,0

4320 4362,0 4390,0 4406,0

4409,6 4400,0

4377,6 4342,0 4294,0 4234,0 4160,0

46

46,3

46,6

46,9

47,2

47,5

47,8

48,1

48,4

48,8

49,1

4406 4408,0

4409,0 4409,0

4409,9 4410,0

4409,9 4409,0 4409,0 4407,0 4406,0

Para hacer la tabla ms na se sugiere utilizar alguna planilla de clculo, para no agobiar a los estudiantes con demasiados clculos. A continuacin presentamos dos tablas realizadas en Excel, la primera con datos de x = 40 a x = 50, y la segunda de x = 46 hasta x = 49,1, que es donde despus de un anlisis de crecimiento conjeturamos, podra estar el mximo.


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21. Crees t que M crece a medida que x crece? Explica. 2. Crees t que M decrece a medida que x crece? Explica. 3. Crees t que hay periodos en que M crece y luego M decrece? Explica.

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Invitar a los estudiantes a analizar las tres tablas, para que hagan un informe en el cual, basados en ellas, respondan las siguientes preguntas:

4. Cul crees t, aproximadamente, que es el valor de x que permite alcanzar un valor mximo de la masa? Explica. 5. Cul es el valor mximo de la masa? Explica. 6. Cuntos peces haba en ese momento? Explica. 7. Cunto pesaba cada pez en ese momento? Explica. Es muy importante que las respuestas tengan un sentido real en el problema, por ejemplo no tendra sentido decir, en el instante de mxima masa, haba 211,5 peces vivos. En ese caso comentar en el informe del estudiante lo irreal de su respuesta e invitarlo a darle un sentido dentro del problema inicial. Tambin es importante hacer notar, que por muy na que sea la particin de la tabla, no es posible armar con certeza que nuestras conclusiones son las correctas, debido que a priori, no sabemos cul ser el comportamiento de la relacin M(x), es por esto que las preguntas de la actividad se hacen en trminos de conjeturas. Un anlisis algebraico permite dar una respuesta precisa. Un estudiante avanzado estara en condiciones de realizarlo con gua del maestro. Presentamos en la seccin de actividades para ampliar el anlisis algebraico de este modelo. Generalizan resultados numricos utilizando productos de expresiones algebraicas. En el texto existen variadas actividades referidas a esta habilidad, de diferentes grados de complejidad. A continuacin mostramos dos, de niveles distintos: Un tro de nmeros enteros positivos a, b y c, que satisfacen a2 + b2 = c2 se llama tro pitagrico, por ejemplo, 5, 12,13 es un tro pitagrico. 1. Muestra que si a, b y c, es un tro pitagrico, tambin lo es ka, kb y kc, donde k es un nmero entero positivo. 2. Si a, b y c, es un tro pitagrico, y dos de ellos son pares, entonces muestra que el tercero tambin es par. 3. Si a, b y c, es un tro pitagrico, entonces muestra que no pueden ser todos impares. La dicultad de esta actividad es creciente, se sugiere seguir el orden establecido en el enunciado.

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Para la primera pregunta, es importante invitar a los estudiantes a reconocer que es lo se sabe, lo que se asume cierto y que es lo que se quiere probar. As tenemos que lo que se sabes es a2 + b2 = c2 y lo que queremos probar es que (ka)2 + (kb)2 = (kc)2. As, desarrollamos la expresin (ka)2 + (kb)2 y analizamos lo que resulta: (ka)2 + (kb)2 = k2a2 + k2b2 = k2(a2 + b2) pero como sabemos que a2 + b2 = c2 se tiene que: (ka)2 + (kb)2 = k2(a2+b2) = k2c2 = (kc)2 Invitar al estudiante a reconocer en esta ltima igualdad la meta de la actividad. La segunda pregunta, requiere un poco de anlisis, que tiene que ver con la paridad de los nmeros enteros. Los estudiantes, como primera aproximacin al problema, probarn casos particulares, por ejemplo a = 6, b = 8 y c = 10. Sin embargo, es necesario estar atentos para que el estudiante no crea que ese mtodo es una demostracin. Invitar al estudiante a analizar el caso ms general, en este punto es importante reconocer la necesidad del lgebra, y el gran aporte de sta en la generalizacin de resultados. Notar tambin que es necesario estudiar tres casos, a saber, a y b pares, a y c pares y por ltimo b y c pares. Analizaremos el tercer caso en esta gua: Sabemos que: a2 + b2 = c2 (1) por ser tro pitagrico, y tambin asumimos que a y c son pares, por lo tanto a = 2n y c = 2m, para ciertos nmeros enteros n y m. Reemplazando en (1) se tiene 4n2 + b2 = 4m2 b2 = 4m2 4n2 = 2(2m2 2n2) Lo que implica que b2 es par y por lo tanto b es par, que es lo que queramos probar. Invitar a los estudiantes a justicar todos los pasos, de la cadena de argumentos. La tercera pregunta, requiere un anlisis similar al anterior. De nuevo invitar a los estudiantes, quizs solo a los avanzados, a reconocer que es lo sabido y que es lo que se quiere probar. En nuestro caso sabemos que a2 + b2 = c2 y queremos probar que no pueden ser los tres impares, entonces preguntar, qu pasara si los tres fuesen impares?. Si esto ocurriese se tendra lo siguiente: a = 2n + 1, b = 2m + 1 y c = 2k + 1, para cierto nmeros enteros n, m y k. Reemplazando en la igualdad pitagrica resulta: (2n +1 )2 + (2m + 1)2 = (2k + 1)2 4n2 + 4n + 1 + 4m2 + 4m + 1 = 4k2 + 4k + 1 4n2 + 4n + 4m2 + 4m + 2 = 4(k2 + k) + 1


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Invitar a los estudiantes a responder las preguntas El trmino de la izquierda del signo igual, es par o impar? y el de la derecha, es par o impar?. Guiar a los estudiantes a concluir que la ltima igualdad es imposible, por lo tanto es imposible que el tro pitagrico est compuesto por solo nmeros impares. Invitar a los estudiantes a justicar todos los pasos de la cadena de argumentos. Utilizan los productos notables para facilitar clculos numricos. La actividad del terreno rectangular de Amanda se reere a esta habilidad. Se sugiere utilizar nmeros grandes, para desmotivar el clculo directo de la operacin. Por ejemplo, si se pide calcular 42 32 los estudiantes calcularn 16 9 = 7 y no se reconocer la suma por su diferencia. La siguiente actividad aparece en el texto: Cul es el valor de 1 5012 1 5022: a) 1 b) 1 c) 3 003 d) 3003 e) 3 0032 El estudiante reconocer la suma por su diferencia y escribir (1 5011 502)(1 501 + 1 502) = (1)(3 003) = 3 003. Sin embargo, la alternativa a) es un distractor muy potente, debido que muchos estudiantes comenten el siguiente error: 1 5012 1 5022 = (1 501 1 502)2 = (1)2 = 1 A esos estudiantes reforzar con clculos del tipo del anterior.

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Generalizan resultados referentes a funciones. En el texto aparece la siguiente actividad: 1. La siguiente mquina transforma a cada nmero que entra por la derecha en otro nmero que sale por la izquierda.

b

a

Supn adems que tiene la siguiente propiedad: [C] Si la mquina transforma a en b y transforma x en y, entonces a a + x lo transforma b + y. a) Muestra que la mquina del tem anterior no cumple [C]. b) Muestra que la mquina que transforma cada nmero en su doble, s cumple [C]. c) Muestra que la mquina que transforma t en 180 11 t no cumple [C]. 2 d) Muestra que la mquina que transforma t en 6t s cumple [C]. e) Muestra que la mquina que transforma t en 1 t s cumple [C]. 2 f) Muestra que si una mquina cumple con [C], entonces al cero no le hace nada, es decir, transforma el cero en el cero. Notar que la propiedad [C] dice que la funcin f satisface la condicin f (a + b) = f(a) + f(b) para cualesquiera valores de a y de b. En las letras a), b), c), d) y e) solo se trata de vericar si ciertas funciones satisfacen o no la condicin [C] de separar la suma. En cambio el tem f) se trata de encontrar una relacin general que cumplen las funciones que cumplen con [C]. Una invitacin que puede ayudar a los estudiantes es: Dale un valor a f(0). Entonces invitar a los estudiantes a suponer que f(0) = a, y evaluar f(0 + 0). Por una parte f(0 + 0) = f(0) = a y por otra es f(0) + f(0) = a + a = 2a, por lo tanto a = 2a restando a a ambos lados de la igualdad, resulta: a=0


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2 -x es un nmero negativo.

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ERRORES FRECUENTES

Este es un error muy comn que es menester erradicarlo de nuestras aulas. No es cierto que x sea un nmero negativo, slo denota el inverso aditivo de x, que a veces es negativo y a veces es positivo, depende de x. Por ejemplo, si x es un nmero negativo, entonces x es un nmero positivo. Este error es el culpable de que mucha gente piense que x = x , lo cual es falso, en general. Del mismo modo si x < 0 , entonces x 2 = x , lo cual es cierto, pero hay muchas personas que encuentran esta ltima igualdad una aberracin, pero se trata solamente de que creen que -x denota un nmero negativo. Para derribar ese mito, realice varios ejercicios numricos que sirvan de contraejemplo para esa suposicin. Confunden implica con equivalente. Muchos estudiantes confunden estas palabras, lo cual lleva a grandes errores. Por ejemplo, cuando se dice: Todo nmero que es mltiplo de 4 es par, creen que el recproco tambin lo es, es decir: Todo nmero par es divisible por 4. Otro ejemplo es: Si a es divisible por 6 tambin lo es ab lo cual es cierto, pero muchas personas creen que su recproco tambin es cierto, es decir, Si ab es divisible por 6 tambin lo es a lo cual es falso. Es muy importante estar atentos y revisar con mucho cuidado los argumentos dados por los estudiantes. Casos particulares permiten demostrar. Es muy comn que los estudiantes den por cierta una armacin, slo porque la vericaron en unos pocos casos. Por ejemplo: si se les pide probar que la suma de un impar con un nmero par es un nmero impar, ellos suelen decir, obvio, por ejemplo 2 + 3 = 5 es impar. Es importante hacerles notar, que ese mtodo no permite conocer todos los casos posibles, que los pares son innitos, lo mismo que los impares y no podremos vericarlos todos, uno a uno, de modo que hay que encontrar una forma general de probar el resultado. Por ejemplo: 2n + 2m + 1 = 2(n + m) + 1. Los primeros trminos de una secuencia, determinan la secuencia. Este error es muy difundido en todo el mundo, en varias prestigiosas pruebas nacionales e internacionales se replica esta mala prctica. La pregunta: considere la secuencia 1, 2, 3, 4, 5, ... cul nmero viene despus?. No tiene sentido en matemticas, porque, de hecho existen innitas sucesiones que tienen a estos nmeros como sus primeros trminos. Por ejemplo, an = n + (n 1)(n 2)(n 3)(n 4)(n 5) es una de ellas; sin embargo, el sexto trmino no es 6. Por lo tanto, preguntar por el siguiente trmino de una secuencia nita es un error matemtico.

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Hacer este tipo de preguntas es equivalente a armar Si f (0) = 0, f (1) = 1, f (5) = 5, entonces la funcin f es f (x) = x. Es cierto que la funcin identidad, satisface las condiciones dadas, pero no es la nica. Las sucesiones son un tipo particular de funciones, de modo que lo que es inadmisible para funciones es tambin ilegal para las sucesiones. El cuadrado de la suma es la suma de los cuadrados. Este error se repite hasta los primeros aos de universidad, es muy comn ver que (a + b)2= a2 + b2 y su variante (a b)2 = a2 b2. En el texto del estudiante se plantea una actividad que est dirigida a remediar esta incorreccin, y es la siguiente: Dibuja un cuadrado de lado a + b, en l pinta los cuadrados de lados a y lado b. Muestra que si a > 0 y b > 0, jams podr pasar que (a + b)2 sea igual a a2 + b2. Podr ocurrir la igualdad, para valores negativos de a o de b?a b

a

b

Invitar al estudiante a responder Puede tener el rectngulo verde rea cero? Los datos de una tabla determinan la funcin. Es muy comn ver en muchos textos que las funciones se pueden representar en tablas, lo cual es falso. Sin duda que dada una funcin real podemos tabular algunos valores de la funcin, pero dada una tabla no podemos decir de cual funcin se trata. Por ejemplo, consideremos una funcin f real y la tabla de valores de dicha funcin: X 0 1 2 3 4 1 2 3 4 2 f(x) 0 1 4 9 16 1 4 9 16 2


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2Sin embargo, existen innitas funciones que tienen esta imgenes para x A = {0, 1, 2, 3, 4, 1, 2, 3, 4, 2}

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Un estudiante despistado podra decir que se trata de la funcin que a cada nmero real le asocia su cuadrado. Es decir, si x , entonces f(x) = x2.

distintas a la funcin cuadrtica. Por ejemplo, g(x) = x2 + x(x2 1)(x2 4)(x2 9)(x2 16)(x2 2). De hecho, se puede completar como se quiera la forma de evaluar los valores de x A y obtener una funcin. Por lo tanto, problemas del tipo: Considere la siguiente tabla de la funcin f: x 0 1 2 3 4 Diga cul funcin es. No tienen ningn sentido matemtico. La concatenacin de funciones es conmutativa. Es muy comn creer que todas las operaciones en matemticas son conmutativas. Un ejemplo natural para mostrar que esto es falso es preguntarles a los estudiantes: Supn que en un juego te dan 100 puntos si te comes una cha roja y te duplican tu puntaje si te comes una cha negra. Si t tienes 300 puntos que te conviene hacer: a) Comer la cha roja y luego la negra. b) Comer la cha negra y luego la roja. c) Da lo mismo cual comer primero, se obtiene el mismo resultado. Nuestra experiencia es que los estudiantes rpidamente escogen la alternativa correcta, que en este caso es primero sumar 100 y luego duplicar. Es muy importante relacionar esto con funciones. Por ejemplo, una forma sera: Si se tiene un puntaje basal x, entonces comerse la cha roja corresponde a la funcin f(x) = x + 100, en cambio si se tiene un puntaje basal x, entonces comerse una cha negra corresponde a la funcin g(x) = 2x. Por lo tanto, concatenar en un sentido las mquinas resulta: g(f(x)) = g(x + 100) = 2(x + 100) = 2x + 200 En cambio en el otro sentido resulta: f(g(x)) = f(2x) = 2x + 100 Lo que muestra que se obtienen funciones distintas por ejemplo evaluando cada concatenacin en 300. f(x) 0 1 2 3 4

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ACTIVIDADES DE REFUERZO Y AMPLIACINSi las actividades del texto, resultan de fcil acceso a l

libro del profesor primero medio

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