Potencias

Una potencia es una forma abreviada de escribir un producto formado por varios factores

iguales.

6 · 6 · 6 · 6 · 6 = 65

Los elementos que constituyen una potencia son:

La base de la potencia es el número que multiplicamos por sí mismo, en este caso el 6.

El exponente de una potencia indica el número de veces que multiplicamos la base, en el

ejemplo es el 5.

Propiedades de las potencias de números naturales

1 Un número elevado a 0 es igual a 1

Ejemplo:

50

= 1

2 Un número elevado a 1 es igual a sí mismo

Ejemplo:

51

= 5

3 Producto de potencias con la misma base

Es otra potencia con la misma base y cuyo exponente es la suma de los exponentes.

Ejemplo:

25

· 22 = 2

5+2 = 2

7

4 División de potencias con la misma base

Es otra potencia con la misma base y cuyo exponente es la diferencia de los exponentes.

Ejemplo:

25

: 22

= 25 − 2

= 23

5 Potencia de una potencia

Es otra potencia con la misma base y cuyo exponente es el producto de los exponentes.

Ejemplo:

(25)3 = 2

15

6 Producto de potencias con el mismo exponente

Es otra potencia con el mismo exponente y cuya base es el producto de las bases.

Ejemplo:

23

· 43 = (2 · 4)

3=8

3

7 Cociente de potencias con el mismo exponente

Es otra potencia con el mismo exponente y cuya base es el cociente de las bases.

Ejemplo:

63

: 33

= (6:2)3=2

3

Potencias de números enteros

1Potencia de número entero positivo

Para determinar el signo de la potencia de un número entero tendremos en cuenta que:

1Las potencias de exponente par son siempre positivas.

(+)par

= +

(−)par

= +

Ejemplo:

26

= 64

(−2)6

= 64

2 Las potencias de exponente impar tienen el mismo signo de la base.

(+)impar

= +

(−)impar

= −

Ejemplo:

23 = 8

(−2)3 = −8

2Potencia de número entero negativo

La potencia de un número entero con exponente negativo es igual al inverso del número

elevado a exponente positivo.

Ejemplo:

Potencias de números reales

1 Potencia de número positivo

Para elevar una fracción a una potencia se eleva tanto el numerador como el denominador

al exponente.

Ejemplo:

2 Potencia de número negativo

Una potencia fraccionaria de exponente negativo es igual a la inversa de la fracción elevada

a exponente positivo.

Ejemplo:

Potencias de exponente racional

1 Potencia de exponente racional positivo

Ejemplo:

2 Potencia de exponente racional negativo

Ejemplo:

1. Producto de bases iguales

2. Exponente negativo

3. Cocientes de bases iguales

4. Potencia de potencia

CONCEPTO: Estudia todas las clases de exponentes y las diferentes relaciones que

existen entre ellas, mediante leyes.

La operación que da origen al exponente es la potenciación.

Potenciación: Es la operación que consiste en repetir un número denominado base,

tantas veces como factor, como lo indica otro número que es el exponente, el

resultado de esto se le denomina potencia.

REPRESENTACIÓN:

An = (AxAxAxAx...xA) "n" veces

Producto de bases iguales

El producto de dos o más potencias de igual base a es igual a la potencia de base a y

exponente igual a la suma de los correspondientes exponentes. Se coloca la misma

base y se suman los exponentes

A m x A n = A m + n

Ejemplo:

92 x 93 = 92+3 = 95

Exponente cero

Origen:

El exponente cero "0" proviene de dividir potencias iguales de la misma base. Asi,

a2 ÷ a2 = a2-2 = a0

x5 ÷ x5 = x5-5 = x0

INTERPRETACION DEL EXPONENTE "0"

Toda cantidad elevada a cero "0" vale 1.

Decimos que:

a0 = 1

En efecto: Según las leyes de la división, [an ÷ an = an-n = a0], y otra parte, como toda

cantidad dividida por si misma es igual a 1, se tiene [an ÷ an = 1].

Entonces: dos cosas (a0 y 1). Iguales a una tercera (an ÷ an) son iguales entre si.

Exponente fraccionario

Origen:

El exponente fraccionario proviene de extraer una raíz a una potencia cuando el exponente

de la cantidad sub-radical no es divisible por el índice de la raíz.

Sabemos que para extraer una raíz a una potencia se divide el exponente de la potencia por

el índice de la raíz. Si el exponente no es divisible por el índice, hay que dejar indicada la

división y se origina el exponente fraccionario.

Así:

INTERPRETACION DEL EXPONENTE FRACCIONARIO

Toda cantidad elevada a un exponente fraccionario equivale a una raíz cuyo índice es el

denominador del exponente y la cantidad sub-radical la misma cantidad elevada a la

potencia que indica el numerador del exponente.

Decimos que:

Exponente negativo

Origen:

El exponente negativo proviene de dividir dos potencias de la misma base cuando el

exponente del dividendo es menor que el exponente del divisor. Asi,

INTERPRETACION DEL EXPONENTE NEGATIVO

Toda cantidad elevada a, un exponente negativo equivale a una fracción cuyo numerador es

1, y su denominador, la misma cantidad con el exponente positivo.

Decimos que,

PASAR LOS FACTORES DEL NUMERADOR DE UNA EXPRESION AL

DENOMINADOR O VICEVERSA

Cualquier factor del numerador de una expresión se puede pasar al denominador y

viceversa con tal de cambiarle el signo al exponente.

En la igualdad (1) vemos que los factores a-2 y b-3 están en el numerador del primer

miembro con exponentes negativos, pasan al denominador del segundo miembro con

exponentes positivos y los factores x-4 e y-5 que están en el denominador del primer

miembro con exponentes negativos, pasan al numerador del segundo con exponentes

positivos.

En la igualdad (2) vemos que los factores x4 e y5 están en el numerador del primer

miembro con exponentes positivos, pasan al denominador del segundo miembro, con

exponentes negativos y los factores a2 y b3 que están en el denominador del primer

miembro con exponentes positivos, pasan al numerador del segundo con exponentes

negativos.

Cocientes de bases iguales

La división de dos potencias de igual base a es igual a la potencia de base a y exponente

igual a la resta de los exponentes respectivos. Se coloca la misma base y se restan los

exponentes

VI. PRODUCTO DE BASES DIFERENTES E IGUALES POTENCIAS

Un producto elevado a un exponente; cada factor se eleva a ese exponente.

VII. COCIENTES DE BASES DIFERENTES E IGUAL POTENCIA

Un cociente elevado a un exponente; cada término se eleva a ese exponente.

Potencia de potencia

La potencia de una potencia de base a es igual a la potencia de base a elevada a la

multiplicación de ambos exponentes. Se coloca la misma base y se multiplican los

exponentes. así se obtiene esta potencia

VIII. EXPONENTE NEGATIVO DE UN COCIENTE

Un cociente con exponente negativo es el recíproco del cociente positivo.

Leer más: http://www.monografias.com/trabajos70/teoria-exponentes/teoria-

exponentes2.shtml#ixzz2uMhiv0uN