1) Potencias de base natural y exponente natural

En este caso se multiplica la base

por si misma las veces que indique el exponente. Ejemplo:

63= 6 .6.6=216

104= 10.10.10.10= 10.000

POTENCIAS

Valor de una potencia• Si la base es positiva, el resultado siempre

será positivo, pues los• factores que se multiplican son positivos (e

iguales), como:• 32 = 3 • 3 = 9 ó 33 = 3 • 3 • 3 = 27

• Si la base es negativa, el resultado puede ser positivo o negativo, dependiendo del exponente:

• Cuando es par, el resultado será positivo, pues la cantidad de factores es par, como:

• (–3)2 = (–3) • (–3) = 9 (dos números negativos)

• Cuando es impar, el resultado será negativo, pues la cantidad de factores es impar, como:

• (–3)3 = (–3) • (–3) • (–3) = –27 (tres números negativos

• Calcula mentalmente el valor de cada potencia y escribe el resultado.

• a) (–4)2 =

• b) 33 =

• c) (–10)9 =

• d) (–1)15 =

• e) (–5)3 =

• f) 24 =

• g) 122 =

• h) (–12)2 =

PROPIEDADES DE LAS POTENCIAS.

• 1.- Multiplicación de potencias de igual Multiplicación de potencias de igual base y distinto exponente.base y distinto exponente.

• al multiplicar potencias de igual base (positiva), se puede conservar la base y sumar los exponentes.

• 52 + 53 = 52+3 = 5 5

•  ¿Sucederá lo mismo si la base de las potencias es negativa, como

• (–2)3 • (–2)4?

• Realizamos la multiplicación de las potencias:

( –2)3 • (–2)4 = (–2 • –2 • –2) • (–2 • –2 • –2 • –2) = –2 • –2 • –2 • –2 • –2 • –2 • –2

3 factores 4 factores 7 factores 

= (–2)7 = –128

• Luego, al multiplicar potencias de igual base (negativa), se puede conservar la base y sumar los exponentes.

• No olvides que...• Para multiplicar potencias de base entera y

exponente natural, si tienen igual base, se puede conservar la base y sumar los exponentes.

• Esta propiedad también es aplicable al producto de tres o más potencias de igual base.

EJERCITAR

• 1. Escribe las siguientes expresiones como una sola potencia y calcula su valor.

• a) 4 • 42 • 43 = • b) (–5)3 • (–52 = • c) (–1)2 • (–1)3 • (–1)5 =• d) 103 • 106 = • e) 2 • 2 • 2 • 22 = • f) (–6)2 • (–6)5 • (–6) =

• 2. Encuentra el exponente que falta, en cada caso, para que se cumplan las igualdades.

• a) (–3) • (–3)4 = (–3)9

• b) 113 • 11 = 1112

• c) (–22 • (–2) • (–2)5 = (–2)10

• d) (–10) • (–10) • (–10)2 = (–10)4

3. Multiplicación de potencias de igual exponente y distinta base.

Al multiplicar potencias con igual exponente, podemos multiplicar las bases y conservar el exponente.

Ejemplo:

(–2)3 • 33 • 43 = ( -2) . 3 .4= ( -24)3

EJERCITAR

• 1. Escribe cada expresión como una sola potencia.

• a) 34 • 44 = b) 26 • (–5)6 =

• c) (–6)7 • 117 = d) (–2)8 • (–7)8 =

• e) 43 • 53 • 63 =

• f) (–3)2 • (–4)2 • (–2)2 =

4. División de potencias de igual base y distinto exponente.

• al dividir potencias de igual base (positiva), se puede conservar la base y restar los exponentes. 

Ejemplo: 66 : 64 = 62 • ¿Sucederá lo mismo en (–2)12 : (–2)7?

• Si: (-2)12 : (-2)7 = (-2) 12 -7 = (-2)5

• Resuelve las siguientes divisiones de potencias.

Guíate por el ejemplo.

(–4)5 : (–4)3 = (–4)2 = 16

 

• a) (–10)8 : (–10)2 = c) 66 : 65 =

• e) (–81)12 : (–81)12 = b) (–5)4 : (–5) =

• d) (–12)20 : (–12)18 = f) 73 : 7 =

5. División de potencias de igualexponente y distinta base.

• Al dividir potencias con igual exponente, podemos dividir las bases y conservar

el exponente.

123 : 63 = 23

(-18)2 : 32= (-6)2

(-40)3 : (-4)3 = 103

• 1. Escribe cada expresión como una sola potencia.

a) 1004 : (–25)4 = c) 816 : 96 =

b) (–36)9 : (–4)9 = d) (–96)3 : 123 =• 2. Calcula el valor de las siguientes

expresiones. Guíate por el ejemplo.

(–18)3 : 93 = (–18)3 : 93 = (–2)3 = (–8)

a) 2252 : (–25)2 = c) (–200)5 : (–2)5 = 

b) (–24)3 : 33 = d) 154 : 54 =

Potencia de una potencia

• Para calcular el valor de dicha potencia, podemos mantener la base y multiplicar los exponentes, es decir:

(53)2 = 53 • 2 = 56

En el caso de que la base sea negativa, tenemos:

(–5)3 )2 = (–5)6 = 15. 625.

1. Calcula el valor de las siguientes expresiones.

a) (32)4 = c) (–3)2)2 =  

b) (–2)3)3 = d) (–1)3)5)2 =

f) (–5)2)4 = 

2. Completa con los exponentes que faltan para que se cumpla cada igualdad.

a) (35)3 = 3 c) (22)5) = 220

b) (-7)x)2= (–7)10 d) (–7)9)3 =(–7)x

POTENCIAS DE BASE FRACCIONARIA POSITIVAY EXPONENTE NATURAL .

Para elevar una fracción a una potencia se eleva tanto el numerador como el denominador al exponente.

• El exponente nos indica cuantas veces debemos multiplicar por sí mismos tanto el numerador como el denominador de la fracción.

• 1 5 : 1 2 = 1 3 = 1 . 1 . 1 = 1

2 2 2 2 2 2 8

• en la división de potencias de igual base (en este caso fraccionaria), se conserva la base y se restan los exponentes.

• 2 5 : 2 2 = 2 3 = 2 . 2 . 2 = 8

3 3 3 3 3 3 27

• 3 7 : 3 5 = 3 2 = 3 . 3 = 9

5 5 5 5 5 25

• 3 2 . 2 2 = 6 2 = 6 . 6 = 36

5 7 35 35 35 1225En la multiplicación de potencias de igual

exponente se multiplican las bases (en este caso fraccionarias)y se conserva el exponente

• 4 2 . 2 2 = 8 2 = 8 . 8 = 64

7 3 21 21 21 441

• 2 3 . 4 3 = 8 3 = 8 . 8 . 8 = 51• 6 3 18 18 18 18 5832

• 2 2 3 2 6 64

3 = 3 = 729• En este caso, podemos notar que, en la potencia de una

potencia, se mantiene la base(en este caso fraccionaria) y se multiplican los exponentes

• 4 1 3 4 3 64

5 = 5 = 125

3 3 3 3 9 X

7 = 7 = X

3) Potencias de base decimal y exponente natural

Multiplicaremos el decimal por sí mismo cuantas veces nos indique el

exponente. 

POTENCIAS BASE DECIMAL.

ejemplos:

a) (0,3)3 . ( 0,3)3= (0,3)6

•Como las bases son iguales; entonces, se conserva la base y se suma los exponentes, es decir:

(0,3)3 • (0,3)3 = (0,3)3 + 3 = (0,3)6.= 0,000729

b) (0,2)2 . ( 0,2)3= (0,2)5 = 0,00032

• EJERCITAR

• a) (0,4)2 • (0,3)2 =

• b) (0,3)10 : (0,3)8 =

• c) 104 : (0,5)4 =

• d) [(0,4)3]2 =

• e) (2,5)7 : (2,5)4 =

• f) (0,2)3 : (0,5)3 =

• g) [(0,4)8]0

POTENCIAS

• Otra manera de resolver una potencia de base decimal, es transformando el decimal a fracción y luego multiplicando la fracción por sí misma las veces que nos indique el exponente

POTENCIA BASE DECIMAL.

5) Potencias de base 10

a) Con exponente natural

Potencia de 10

• Como verás, es muy simple resolver potencias de base 10 y exponente natural. El resultado siempre será un 1 acompañado de cuantos ceros nos indique el exponente. Así si tenemos,

•

• entonces el resultado será un 1 acompañado de 3 ceros, es decir,

• 1 000.

EJERCICIOS CON POTENCIAS DE 10

• 104= 10.10.10.10= 10.000

• 106= 10.10.10.10.10.10= 1.000.000

• 108= 100.000.000

• 1010= 10.000.000.000

Ejercitar números grandes

• Anota el número que corresponde a la información dada:

• a)Radio de la Luna 106metros =• b) Distancia de la Tierra a la Luna 105 km =• c) Duración promedio de la vida de una persona

109segundos =• d) Tiempo que tarda la Tierra en dar una vuelta

al Sol 107 segundos =•  

Notación cientifica

Ejercitar notación científica.

• a)     3 · 10-5 = 0,00003

• b)     85 · 1010 =

• c)     7,4 · 10-9 =

• d)     23,6 · 10-6 =

• e)     0,5 · 10-4 =

• f)      38 · 10-7 =

Escribe en forma abreviada los siguientes números

•a)     0,0000009 = 9 . 10-7

• b)     0,000000045 =• c)     0,0000000000000017 =• d)     0,.00000000024 =• e)     0,00000033 =• f)      0,000000000010 =

Marca con una X los números escritos en notación científica

• ___ 4,85 · 10-9 = 0,00000000485

• ___ 23,54 · 108

• ___ 0,41 · 103

• ___ 5 · 10-4

• ___ 83 · 1020

• ___ 2,3 · 1015

• ___ 0,04 · 10-16

• ___ 1 · 1013

• ___ 1,1 · 1016

• ___ 6,8 · 1011

•

Expresa en notación científica los siguientes números:

• a)  Velocidad de la luz: 300.000 km/s • b)  Radio terrestre: 6.370.000 metros• c)  Edad de la Tierra: 4.500.000.000 años• d) Radio de la Luna: 1.700.000 metros• e) Desaparición de los dinosaurios: 65.000.000 años• f)  Medida del virus de la gripe: 0,000000120 metros• g)  Medida del virus del SIDA: 0,0000001 metros• h) Constante de gravitación universal: 0,0000000000667

Nm2/kg2

Crecimiento exponencial

• Un grupo de estudiantes está analizando la pudrición de una hortaliza. Ellos consideran que la infección es extensa, es decir, la hortaliza no puede ser consumida cuando tiene 1024 o más bacterias por milímetro cuadrado (mm2). Además, observaron que las bacterias que producen la pudrición de la hortaliza se duplican cada una hora.

• Si observamos la tabla, hay 64 bacterias por mm2 en la hortaliza transcurridas 6 horas, es decir, si comenzaron el estudio a las 8:30 horas, dicha cantidad está presente a las 14:30 horas.

• Por otra parte, la hortaliza no podrá ser consumida transcurridas 10 horas, es decir, a las 18:30 horas la infección será considerada extensa por los estudiantes

• Este tipo de relación entre las variables se llama crecimiento exponencial, o se dice que crecen exponencialmente. Este tema lo estudiarás con más profundidad en cursos posteriores.

EJERCITAR• 1. Pedro organiza una campaña solidaria con el

fin de recaudar dinero para una protectora de animales; el primer día, le informa a 3 amigos: cada uno dona $ 100 y, a su vez, se comprometen a que cada uno pedirá $ 100 a otras 3 amistades diferentes el segundo día, y que cada una de estas personas les pedirán $ 100 a otras 3 personas diferentes el tercer día, y así, sucesivamente, los siguientes días.

• Completa la siguiente tabla y responde.