7/25/2019 Ladrillos, candados y progresiones.

1/292 INVESTIGACION YCIENCIA,febrero, 2010

Ladrillos, candados y progresionesEl fabuloso mundo de los nmeros primos

Agustn Rayo

J U E G O S M AT E M AT I C O S

No hay nada ms hermoso que unnmero primo; el 19, por ejem-plo, o el 101, o el 512.927.357, o el243.112.609 1.

Lo que distingue a los nmeros primosde los nmeros naturales comunes ycorrientes es que tienen exactamente dosdivisores: 1 y ellos mismos. El nmero 7,por ejemplo, es primo porque los nicosnmeros que lo dividen (sin resto) son el

1 y el 7. El nmero 12, en cambio, no esprimo porque puede ser dividido (sin res-to) por el 2, el 3, el 4 y el 6, adems del 1y el 12. (El nmero 1 no cuenta comoprimo porque tiene un solo divisor: lmismo.)

Los nmeros primos son tan hermososporque son las piezas bsicas los ladri-llos a partir de las cuales estn cons-truidos todos los nmeros naturales ma-yores que 1. El nmero 6, por ejemplo,est construido a partir de los primos 2 y3 (porque 6 = 2 3), y el nmero 12 est

construido a partir de dos copias del 2 yuna del 3 (porque 12 = 2 2 3) (vasela ilustracin). (El teorema fundamentalde la aritmtica es una versin precisa deesta idea; nos dice que todo nmero na-tural mayor que 1 tiene una descomposi-cin nica en nmeros primos.)

CriptografaSupongamos que usted y yo nos vemosobligados a comunicarnos a travs de unmensajero. Sabemos que el mensajero en-tregar nuestros mensajes, pero no quere-

mos que descubra sus contenidos. Cmopodramos evitar que nuestra informa-cin caiga en manos del mensajero? Unamanera de hacerlo sera ponernos deacuerdo para utilizar un cdigo secreto:un cdigo que conozcamos nosotros,pero no el mensajero.

Este mtodo funciona siempre y cuan-do podamos reunirnos sin que est pre-sente el mensajero para decidir qu cdi-go secreto utilizar. Pero supongamos queno tenemos manera de ponernos deacuerdo de antemano. Toda nuestra

correspondencia incluida la correspon-

dencia en la que nos ponemos de acuerdoacerca de cmo transmitir nuestros secre-tos pasar a travs del mensajero. Hayalguna manera de mantener seguros nues-tros secretos?

He aqu un mtodo posible. Yo voy ala tienda y me compro un candado. Mequedo con la llave, y le mando a usted elcandado abierto, junto con una nota so-licitndole que ponga su mensaje en una

caja y asegure la caja con el candado.Aun cuando el mensajero se entere detodo lo que est sucediendo, nuestro se-creto estar seguro, porque una vez queel candado est cerrado, slo yo podrabrirlo.

Los nmeros primos nos dan una ma-nera de obtener resultados similares sintener que ir a la ferretera. El mtodo delcandado funciona porque los candadosgozan de una asimetra: son fciles decerrar, aunque difciles de abrir. Pues re-sulta que los nmeros primos tambin

gozan de una cierta asimetra. Es fcilmultiplicar nmeros primos para obtenerun nmero compuesto, pero a la fecha nose conoce ningn mtodo eficiente paradescomponer un nmero compuesto enlos primos que lo constituyen.

Esto hace posible que usted y yo ase-guremos nuestros secretos utilizando elmtodo siguiente. Yo escojo dos nmerosprimosp y q, y me cercioro de que seangrandes. (Se conocen mtodos eficientespara hacer esto.) El resultado de multi-plicar p y q ser nuestro candado. Le

mando a usted ese nmero a travs delmensajero, junto con instrucciones acer-ca de cmo codificar su mensaje secretosobre la base del candado. Con el proce-so de codificacin correcto, el mensajeslo podr ser decodificado por quientenga la llave: un nmero que puede serderivado eficientemente por quien co-nozca p y q, pero no por quien conozcaslo el producto. Si el mensajero estuvie-ra en posicin de descomponer el canda-do en p y q, se hallara capacitado paradar con la llave. Pero cuando p y q son

suficientemente grandes, no se conoce

ninguna manera de hacerlo en un tiem-po razonable.

Muchos de los mtodos criptogrficosque se utilizan hoy en da y, en particu-lar, muchos de los que se utilizan paratransmitir informacin de manera seguraa travs de Internet estn basados envariaciones de esta idea.

Un nuevo resultado

sobre nmeros primosA pesar de su papel fundamental en lateora de nmeros y de su importanciaprctica se sabe sorprendentemente po-co acerca de los nmeros primos.

Algo que s sabemos es que la secuen-cia de nmeros primos es infinita. (Prue-ba: Supongamos que la secuencia de pri-mos es finita: p1, p2, ..., pk. Entoncesexiste un nmero P= p1p2 ...pk,que resulta de multiplicar a todos los n-meros primos. Pero el nmero P+1 tie-ne que ser primo. Si no lo fuera, tendra

que poderse dividir entre uno de los p1,p2, ..., pk, pero ningn nmero mayorque 1 puede dividir a un nmero y su su-cesor. Hemos, pues, encontrado un n-mero primo mayor quep1, p2, ..., pk, con-tradiciendo el supuesto de que todos losprimos estn enp1, p2, ..., pk.)

Otra cosa que sabemos es que los pri-mos son cada vez ms escasos. El teore-ma de los nmeros primos nos dice que

Quiere saber ms?Un mtodo criptogrfico basado en las ideas

que describ arriba es el RSA. (Se llama as,

por los nombres de sus autores: Ron Rivest,

Adi Shamir y Leonard Adleman.) Aunque hay

mtodos ms elaborados, el RSA es

especialmente elegante y fcil de describ ir.

Hay una buena discusin en .

Ben Green escribi una nota breve en la que

explica las ideas fundamentales detrs de su

teorema. Puede encontrarse en .

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cuanto mayor sea N, menor ser la pro-porcin de primos entre 1 y N. Por ejem-plo, el 40 % de los nmeros entre 1 y 10son primos, pero slo el 25 % de los n-meros entre 1 y 100 son primos, y sloel 16,8 % de los nmeros entre 1 y 1000son primos. (En el caso general, la pro-porcin de nmeros entre 1 y Nque sonprimos es aproximadamente 1/ln(N),donde ln(N) es el logaritmo natural deN, es decir, el nmero xtal que N= ex.)Sabemos tambin que hay lmites a cun

grande puede ser una secuencia de n-meros sin contener al menos un nmeroprimo. El teorema de Bertrand-Cheby-shev implica que, para todo N mayorque 1, hay al menos un nmero primoentre Ny 2N.

Por desgracia, no sabemos mucho ms.Se desconoce si hay infinitos primos ge-melos (es decir, nmerosp yp +2, talesque ambos son primos). Tambin se des-conoce si todo nmero par mayor que 2es la suma de dos primos. Este problema,denominado conjetura de Goldbach, ha

estado abierto desde 1742, cuando el ma-

temtico prusiano Christian Goldbach leescribi a Euler sugiriendo que podraser verdad. En julio del 2008, TomsOliveira e Silva utiliz un programa decmputo para mostrar que la conjetura esverdad para cualquier nmero menor que12 1017, pero nadie ha conseguido de-mostrar que no podra haber algn n-mero mayor a 12 1017 que no sea lasuma de dos primos. (Si a usted se leocurre alguna manera de probar algunade estas conjeturas y si tiene menos de

40 aos seguramente sera honradocon una Medalla Fields, el ms alto ho-nor que un matemtico puede recibir.)

En vista de lo poco que se sabe sobrela distribucin de los nmeros primos,cada nuevo resultado es motivo de ale-gra. Y en 2004 Ben Green (profesor de laUniversidad de Cambridge) y Terry Tao(profesor de la Universidad de Californiaen Los Angeles, y ganador de la MedallaFields) probaron un teorema fabuloso.

Digamos que una progresin de n-meros primos es una secuencia de primos

tal que miembros consecutivos de la se-

cuencia estn siempre igualmente espacia-dos. La secuencia de primos 5, 11, 17,

23, 29, por ejemplo, es una progresinporque la diferencia entre un nmero ysu sucesor es siempre 6. (En mayo de2009, Raanan Chermoni y Jaroslaw Wro-blewski utilizaron un programa de cm-puto para encontrar una progresin de 25nmeros primos: 6.171.054.912.832.631+366.384 223.092.870 n, para n de 0a 24. Que yo sepa, nadie ha logrado iden-tificar una progresin de ms de 25 n-meros primos.)

El resultado de Green y Tao es que,dado cualquier nmero N, existe una pro-

gresin de nmeros primos de al menostamao N. Existe, por ejemplo, una pro-gresin de al menos 10101010nmeros pri-mos, aunque nadie haya logrado identifi-carla. (El teorema nos asegura que existenprogresiones de primos de longitudes ar-bitrariamente grandes, pero no nos da unmtodo eficiente para construirlas.)

Pocas veces se encuentra uno con unresultado tan hermoso.

Agustn Rayo es profesor de filosofa en el

Instituto de Tecnologa de Massachusetts.

Los nmeros primos son los ladrillos a partir de los cuales estn construidos los nmeros

naturales mayores que 1.

2 2 2

2

2 2

2

222

3

3 3

3

3

5

5

7

7

13

17

11

2 3 4 5

5

6 7 8

4 = 2 2

9 = 3 38 = 2 2 2

12 = 2 2 3

16 = 2 2 2 2

6 = 2 3

10 = 2 5

14 = 2 7 15 = 3 5

9

10 11 12 13

14 15 16 17

2

2 2

2

23