1RESULTADO ECONMICO DE LA GESTIN DE LOS PLANES Y FONDOS DE

PENSIONES: LA GANANCIA ACTUARIAL

Francisco Jos Pelez Fermoso y Ana Garca Gonzlez

Dpto. Economa Aplicada (Matemticas)

Universidad de Valladolid

Resumen

Uno de los objetivos que persigue el gestor de un plan de pensiones de prestacin definida como

el analizado en este artculo, al utilizar los mtodos de valoracin actuarial para la determinacin

del coste anual del mismo, es comprobar que los recursos financieros del fondo en cada momento

de su valoracin sean los adecuados para hacer frente al pago de los compromisos que respecto a

los beneficiarios tiene asumido el plan. Sin embargo, este fondo no siempre es capaz de

garantizar estos compromisos y ello est motivado, entre otras causas, por las desviaciones que

se dan entre la realidad y las hiptesis actuariales establecidas en el momento de su implantacin.

Estas desviaciones repercutirn positiva o negativamente en el nivel del fondo, dando lugar a la

denominada ganancia actuarial del plan, que es una medida de la gestin econmico-financiera

del mismo.

Por tanto, el objetivo de este trabajo es analizar estas desviaciones utilizando para ello la

metodologa de la Dinmica de Sistemas. Con el fin de describir cada uno de los componentes que

integran la ganancia actuarial y de comprobar la repercusin que tienen sobre el nivel del fondo

del plan en cada momento, se realizar una simulacin de estas desviaciones a travs de un

programa adecuado con el fin de obtener una serie de resultados por medio de los cuales se

puedan controlar aqullas y, en consecuencia, reducir en la medida de lo posible el nivel

deficitario del fondo del plan.

1 INTRODUCCIN

En este trabajo se analizan los planes de pensiones de prestacin definida de sistema de empleo,

que se caracterizan porque al comienzo de cada periodo del horizonte temporal durante el cual el

2plan es operativo, el promotor ha de aportar al fondo del plan el montante equivalente al coste de

mantener el mismo en su nivel deseado, es decir, el coste normal del plan calculado a travs del

mtodo actuarial de coste correspondiente, siempre y cuando las hiptesis actuariales de partida

se verifiquen en la realidad y que el fondo del plan coincida con la obligacin actuarial del mismo

calculada segn este mtodo en cada periodo de su valoracin. Este coste es aqul que

corresponde a circunstancias normales. Sin embargo, en la mayora de las ocasiones, el coste

normal no es el reflejo propio del coste total o completo del plan, excepto en el caso ideal que se

acaba de resear.

Cuando la realidad no est en concordancia con las hiptesis de partida o el nivel del fondo de

pensiones es distinto a la obligacin actuarial definida en cada momento de su valoracin, han de

realizarse ciertos ajustes respecto al componente central del coste del plan, es decir, del coste

normal, con el fin de absorber estas variaciones. Para el anlisis del modelo analizado en este

trabajo, consideraremos que el plan reconoce a sus partcipes derechos por servicios pasados

desde que entraron en la empresa promotora hasta su implantacin, lo que da lugar a una

obligacin actuarial no financiada inicial positiva cuyo incremento o disminucin en cada

momento de valoracin se originar exclusivamente como consecuencia de las desviaciones tanto

positivas como negativas de las hiptesis de partida respecto de la realidad para cada una de las

diferentes causas de salida contempladas.

En este caso, se supone que sobre el colectivo de partcipes y hasta la edad de jubilacin, actan

un conjunto de causas de salidas como son el fallecimiento, la invalidez, el abandono de la

empresa promotora del plan y la jubilacin, siendo el fallecimiento la nica causa operante de

eliminacin del colectivo a partir de aquella edad. En consecuencia, se utilizarn diferentes tantos

de salida del colectivo que definen la probabilidad anual de salida del mismo para cada una de las

posibles causas que se estima incidan en l.

2 EL MODELO SEGN LA DINMICA DE SISTEMAS

Este trabajo es una ampliacin del descrito en [8] por los mismos autores, F. Pelez y A. Garca,

en el que se analizan los planes y fondos de pensiones de prestacin definida del sistema de

empleo a travs de la metodologa de la Dinmica de Sistemas. Como se especifica en el citado

trabajo, las principales funciones que intervienen en el modelo se definen por medio del mtodo

actuarial del crdito unitario, que se caracteriza porque las prestaciones de pensin se van

3acreditando anualmente en funcin de los aos de servicio de cada uno de los partcipes en la

empresa promotora del plan.

2.1 VARIABLES DEL MODELO

A continuacin se definen las variables ms significativas que intervienen en la modelacin y

anlisis de un plan de pensiones genrico en el que se considera que sobre el colectivo del plan

inciden diferentes causas de salida:

Ft, representa el fondo del plan en el momento t donde se materializan los recursos financieros.

Variable de nivel del modelo.

ALt, denota el valor actuarial que en t debera tener constituido el plan de pensiones para hacer

frente a los compromisos contrados con sus partcipes. Constituye la obligacin actuarial del

plan o fondo ideal. Variable auxiliar.

NCt, es el coste normal que sirve para financiar la obligacin actuarial del plan, si las

hiptesis iniciales se verificasen exactamente en t. Variable auxiliar.

SCt, es el nivel de contribucin o coste suplementario anual que sirve para amortizar el dficit

de financiacin del fondo representado por la obligacin actuarial no financiada del plan en t.

Variable auxiliar.

Ct, representa la contribucin o coste anual aportada por el promotor al fondo de pensiones al

comienzo del ao t. Variable auxiliar.

rt, es el tanto de rendimiento real producido por los activos donde se materializan las

inversiones de los recursos financieros del fondo en el momento t. En nuestro modelo se

supone constante.

it, denota el tanto anual de inters tcnico utilizado en la valoracin de las funciones ms

significativas del plan. En nuestro modelo es una constante.

RFt, representa los rendimientos anuales de las inversiones del fondo obtenidos al final de t.

Variable auxiliar.

Pt, es el valor de las prestaciones causadas en t a favor de los partcipes que alcanzan la edad

r de jubilacin en ese momento y que entraron en el plan a la edad e. Variable auxiliar.

g1, representa el gasto anual en el que incurre el plan por la gestin financiera del fondo donde

se integra, el cual viene definido como un porcentaje del fondo alcanzado en cada momento.

Constante del modelo.

4 Gt, representa la ganancia actuarial del plan y es una medida adecuada del resultado

econmico de la gestin financiera del mismo.

Como el principal objetivo de este trabajo es analizar las desviaciones que se originan en la

realidad respecto a las hiptesis iniciales estimadas para cada una de las diferentes causas de

salida que se considera influyen sobre el colectivo de partcipes del plan y que originan las

denominadas prdidas y ganancias actuariales, as como su posterior modelacin e interpretacin,

seguidamente realizamos un anlisis detenido de esta funcin.

En general, los diferentes autores que las analizan las denominan simplemente ganancias

actuariales, tanto si estas son positivas (ganancias) como si son negativas (prdidas). Cuando se

emplean mtodos actuariales individuales de coste, como en este caso, la ganancia actuarial

originada en cada valoracin puede determinarse por dos procedimientos:

El primero, viene definido como la diferencia entre la obligacin actuarial no financiada

esperada y la real, G UAL UALt t t= -~

, donde UALt~

es la obligacin actuarial no financiada

esperada del plan calculada en t al tanto de inters tcnico estimado al final del periodo de

valoracin (t-1, t) y verifica que [ ]( ) ( )UAL UAL NC i C it t t t~ = + + - +- - -1 1 11 1 ; y UALt, representala obligacin actuarial no financiada real calculada en ese momento y definida como

UAL AL Ft t t= - .

El segundo, como la suma de dos componentes, la ganancia por inversin, I G , y la ganancia

por responsabilidad, RG , viniendo definida esta ltima, a su vez, como la suma de las ganancias

originadas por las desviaciones reales respecto de las esperadas para cada una de las causas de

salida reseadas anteriormente. Por este procedimiento, la ganancia actuarial del plan viene dada

por la expresin G G GtI

tR

t= + . A continuacin, se describen ambas:

La ganancia por inversin, se genera cuando los ingresos de los rendimientos reales generados

por los recursos financieros del fondo invertidos en el mercado son superiores a los esperados.

Esta ganancia de inversin se define como I t t tG RF RF= -~

, con

RF r F C P gFt t t t t= + - -- - - -( )1 1 1 1 , los ingresos reales por intereses obtenidos de la inversin de

los recursos financieros del fondo en el momento t, valorados al tanto de rendimiento real, r, que

supondremos constante en todo momento, y RF i F C P gFt t t t t~

( )= + - -- - - -1 1 1 1 , los intereses que

se esperan obtener de la inversin de los recursos del fondo al tanto de inters tcnico de

valoracin del plan para el periodo considerado, i, que tambin se considera constante durante

5todo el horizonte temporal de operatividad del mismo, donde Pt-1, es el montante que suponemos

que es retirado del fondo del plan al comienzo del periodo para hacer frente al pago de las

prestaciones devengadas a favor de los que realmente se jubilan durante ese periodo, siendo esta

funcin siempre constante en nuestro modelo y Ct-1 , la contribucin anual realizada al fondo de

pensiones al comienzo del ao (t-1)-simo. En nuestro modelo, partimos de esta hiptesis, aunque

conviene resear que no siempre estas contribuciones se realizan al inicio del periodo.

En consecuencia, se generar una ganancia por inversin cuando el tanto de rendimiento real de

la misma sea superior al tanto de inters que se espera obtener y que coincide con el tanto de

valoracin del plan, es decir, cuando r > i. Existe otra forma de determinar este resultado

econmico cuando el rendimiento real del fondo es desconocido, aqulla en la que se tienen en

cuenta los niveles esperados y reales del fondo del plan, respectivamente, ~Ft y Ft. En este caso, la

ganancia actuarial viene definida por la siguiente relacin:

G F F F C P gF RF F C P gF RF RF RFt t t t t t t t t t t t t t t= - = + - - + - + - - + = -- - - - - - - -~

( ) (~

)~

1 1 1 1 1 1 1 1

El otro componente de la ganancia actuarial es la ganancia por responsabilidad que engloba, a su

vez, diversos componentes: ganancias por fallecimiento, por invalidez, abandono de la empresa o

rotacin y jubilacin. Denotaremos por D, I, W y J el conjunto de partcipes que fallecen, se

invalidan, abandonan o se jubilan, respectivamente, en el periodo (t-1, t) de valoracin, cuando se

considera que sobre el colectivo opera un contexto de salidas mltiples.

As, en general, la expresin que define la ganancia actuarial para cada una de estas posibles

causas de salida en un momento t de valoracin del plan, con edad x de cada partcipe, viene dada

por la expresin: H t xj

H

H HP x

hxj H

AG AL P I q AL P

t

= - + - - -

( )1

, donde H, denota los diferentes

conjuntos que engloban los partcipes que salen del colectivo durante el referido periodo de

valoracin para cada una de estas contingencias, ya que el proceso definido para la determinacin

de la ganancia actuarial para cada uno de estos componentes es el mismo, excepto para el clculo

de la ganancia actuarial por jubilacin en el que el segundo trmino es nulo al coincidir J P con

ALxj

At-

1

. Por tanto, cuando se desea determinar la ganancia actuarial para cada uno de ellos se

sustituye el smbolo H por el conjunto al que se refiera; H P representa las cuantas retiradas del

fondo para cubrir las prestaciones que garantiza el plan cuando acaece de forma independiente

cada una de las citadas contingencias durante el periodo reseado. En nuestro modelo slo se

contemplan prestaciones por jubilacin; H IP son los intereses que se dejan de percibir al final del

periodo, por las cuantas retiradas del fondo para cubrir las prestaciones de los que fallecen, se

6invalidan, dejan la empresa o se jubilan, respectivamente. qxh es la probabilidad de que un

partcipe de edad x salga del colectivo por la causa h-sima antes de alcanzar la edad x + 1, con h

= d, i, w, r, las posibles causas de salida y AL ALxj = 1.

2.2 HIPTESIS

El colectivo de partcipes que integra el plan, que es de 4000, es estacionario ya que coinciden los

que salen y entran al mismo cada ao, siendo el nmero de partcipes que corresponde a cada una

de las edades comprendidas entre 25 y 65 aos de 100; se supone que todos los partcipes al plan

entran a formar parte del mismo a los 25 aos; la empresa promotora del plan contempla como

causas de salida del colectivo antes de la jubilacin establecida (65 aos) el fallecimiento, la

invalidez y la rotacin, pero nicamente cubre la prestacin por jubilacin; el plan de pensiones

analizado es de nueva creacin y operativo durante un horizonte temporal ilimitado, puesto que se

supone para la empresa promotora del mismo una actividad indefinida.

Contemplaremos dos casos en cuanto al nivel del fondo inicial:

En uno de ellos, el nivel del fondo inicial es nulo, F(0) = 0, y existe una obligacin actuarial no

financiada inicial originada por el reconocimiento a los partcipes del plan de los servicios

prestados en la empresa promotora con anterioridad al momento de su implantacin, UAL(0) =

AL = 50000.

En el otro caso, el nivel del fondo inicial es igual a la obligacin actuarial, es decir, F(0) = AL =

50000, siendo la obligacin actuarial no financiada inicial nula, UAL(0) = 0. En este caso, se

considera que la situacin financiera de la empresa promotora del plan es adecuada para poder

dotar un fondo por la cuanta de los derechos reconocidos por servicios pasados.

De estos supuestos se deduce que para cada tanto de inters tcnico elegido por el gestor para la

valoracin del plan, las funciones AL, NC y P sern constantes para todo el horizonte temporal de

su planificacin.

Una vez establecidas todas estas funciones y teniendo en cuenta las relaciones lgicas que existen

entre ellas, vanse las reflexiones que sobre este tema realiza J. Aracil en [3], se determina el

Diagrama de Forrester representativo del modelo, donde se recogen las variables que determinan

7el comportamiento del fondo de pensiones en cualquier momento y el resultado econmico,

ganancia actuarial del plan, que influyen en su determinacin, as como un anlisis de los dos

casos reseados anteriormente.

8UnoAr1

FEr1 FSr1UnoBr1

RG

IN

Ip

W

FS1

FE2

VS1

SCt

G

P

NC

AL AL1

DG

D

JG

ING

WG

qd

qw

g1

r

FS2

FE1

VE

RF

C

z

Uno1

Uno3

Uno2

F

UALt

NR1

NR2FEr2

UnoAr2 UnoBr2

FSr2

i

qi

VS2

IG

Figura 1. Diagrama de Forrester

9TIME

F1G2AL3

0 20 40 60 80 100-10.000

0

10.000

20.000

30.000

40.000

50.000

60.000

12

31

2

3 1

2

3 1

2

3 1

2

3 1

2

Figura 2. F(0) = 0; UAL(0) = AL = 50000

TIME

F1G2AL3

0 20 40 60 80 100-10.000

0

10.000

20.000

30.000

40.000

50.000

60.000

1

2

3 1

2

3 1

2

3 1

2

3 1

2

3 1

2

Figura 3. F(0) = AL = 50000; UAL(0) = 0

ECUACIONES DEL MODELO

F(t + Dt) = F(t) + Dt [FE1 + FE2 -FS1 - FS2]NR1(t + Dt) = NR1(t) + Dt [F(t) - NR1(t)]NR2(t + Dt) = NR2(t) + Dt [C(t) - NR2(t)]

donde:

FE1 = C(t) = NC + SC(t) = NC + zUAL(t) = NC + z [[AL - VS1(t) + NC](1 + i) - VS2(t) - G(t)] = NC + z [[AL - VS1(t) + NC](1 + i) - VS2(t) - (RG(t) + IG(t))]

con: IG(t) = [VS1(t) + VS2(t) - P - g1 VS1(t)](r - i)RG(t) = DG(t) + WG(t) + ING(t) + JG(t) = ( AL qdAL

D At

1 11

--

)+( AL qwALW At

1 11

--

)

+( AL qiALIN At

1 11

--

)+( AL P i PJ

1 - +( ) )

siendo VS1 = F(t -1) = NR1(t) y VS2 = C(t -1) = NR2(t)

FE2 = RF(t) = r [F(t) + C(t) - P - g1 F(t)]FS1 = PFS2 = g1 F(t)

10

3 UNA APROXIMACIN PRCTICA AL MODELO

Como aplicacin para el modelo del plan de pensiones analizado trataremos de determinar la

ganancia actuarial en el dcimo ao despus de la implantacin de dicho plan, comprobando que

los dos procedimientos descritos anteriormente en el apartado 2.1 para su clculo, llevan al

mismo resultado econmico.

Los valores de las principales variables y parmetros que intervienen en su clculo, tomando

como hiptesis el caso en el que F(0) = 0 y UAL(0) = AL = 50000, son los siguientes:

NC = 2000; P = 3750; i = 4%; r = 5,5%; z = 0,1186 (amortizacin de UAL en 20 aos);

qd = 0,0025; qw = 0,00075; qi = 0,005 (constantes para todo t); AL1 = 12,5; g = 0,02.

Colectivo estacionario = 4000 partcipes. D = W = IN = 0 y J =100.

Datos obtenidos a travs de la simulacin del modelo:

F(9) = 31929,46; C(9) = 4427,17; G(10) = -2357,98.

A) PROCEDIMIENTO 1

G UAL UAL( )~

( ) ( ) , , ,10 10 10 1626910 1862708 235798= - = - = -

B) PROCEDIMIENTO 2

G G G

G RF RF

G G G G G

I R

I

R D W IN J

( ) ( ) ( ) ,52 ,5 ,

( ) ( )~( ) ( , ,58) , ,52

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ,5 ,5

10 10 10 479 2837 235798

10 10 10 3260663 638 0015 479

10 10 10 10 10 125 37 25 2650 2837

= + = - = -

= - = - =

= + + + = - - - - = -

4 CONCLUSIONES

En el anlisis realizado de la ganancia actuarial, se comprueba que si el resultado econmico

obtenido en cada momento de valoracin del plan, como consecuencia de las desviaciones

producidas en la realidad respecto a las hiptesis iniciales para cada una de las posibles causas de

de salida, es positivo (ganancia), la obligacin actuarial no financiada decrece, lo cual conlleva

una disminucin del coste anual como consecuencia de un menor coste suplementario; por el

contrario, si es negativo (prdida), la obligacin actuarial no financiada crece, lo que implica un

incremento del coste anual a causa de un aumento en el coste suplementario que amortiza dicha

obligacin.

11

Se comprueba analtica y grficamente que en el caso en que F(0) = 0 y UAL(0) = AL = 50000 el

fondo real del plan tarda ms tiempo en aproximarse al fondo ideal (obligacin actuarial) que en

el caso en que F(0) = AL = 50000 y UAL(0) = 0, en el que el promotor del plan cubre en el

momento inicial el dficit de financiacin generado por el reconocimiento de servicios pasados a

favor de los partcipes que integran el plan. En este ltimo caso, el resultado econmico ser

superior al del anterior, lo que conllevar una menor obligacin actuarial no financiada del plan.

BIBLIOGRAFA

[1] AITKEN, W.H.: A Problem-Solving Approach to Pension Funding and Valuation. Actex

Publications.Winsted, 1994.

[2] ANDERSON, A.W.: Pension Mathematics for Actuaries. Actex Publications.

Winsted, 1992.

[3] ARACIL SANTONJA, J.: Introduccin a la Dinmica de Sistemas. Alianza Editorial.

Madrid, 1986.

[4] BETZUEN ZALBIDEGOITIA, A. - BLANCO IBARRA, F.: Planes y Fondos de

Pensiones. Su Clculo y Valoracin. Ediciones Deusto. Bilbao, 1989.

[5] BJARNE, J.S.: The Dynamic Systems of Basic Economic Growth Models. Kluwer

Academic. Collection Actuariat. Dodrecht, 1994.

[6] CORTS, F. - PRZEWORSKI, A. - SPRAGUE, I.: Systems Analysis for Social Scientists.

John Willey & Sons. Nueva York, 1974.

[7] DAVIDSEN, I.P.: Powersim. The complete Software Tool for Dynamic Simulation. Modell

Data. Noruega, 1993.

[8] PELEZ FERMOSO, F.J. - GARCA GONZLEZ, A.: Modelizacin y anlisis de los

fondos de pensiones mediante la dinmica de sistemas. Estudios de Economa Aplicada,

1998 (en prensa).

[9] VILLALN, J.G .: Operaciones de los Seguros Clsicas y Modernas. Pirmide. Madrid,

1997.