biometria actuarial - ricardo gabriel amarilla
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biometriaTRANSCRIPT
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Biometra Actuarial TEORA Adems de las clases tericas, se encuentran anlisis personales adicionales a los dados por los docentes y ayudantes, desarmando conceptos y en algunas ocasiones conectando con conceptos de otras materias. Todo ello en busca de la meta ms importante entender con claridad cada tema dado.
Ao
2012
Ricardo Gabriel Amarilla [email protected]
Ao 2012
FACULTAD DE CIENCIAS ECONOMICAS DE LA
UNIVERSIDAD DE BUENOS AIRES
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PRIMEROS PASOS
Sea
Siendo la edad de un recin nacido
Sea
Donde es continua
Por lo cual
En este caso es el tiempo en aos que transcurre desde la edad x hasta que fallece
0 1 2 t
Plazos
PROBABILIDAD DE FALLECIMIENTO
PROBABILIDAD DE
FALLECIMIENTO
DIFERIDA INMEDIATA
ACUMULADA MARGINAL ACUMULADA MARGINAL
La edad lmite es ,
la cual nadie alcanza
con vida
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PROBABILIDAD MARGINAL INMEDIATA DE FALLECIMIENTO
El inicio del periodo de exposicin al riesgo de fallecimiento es igual a la edad de observacin del grupo
.
Supongamos que el fallecimiento se produce entre , luego, no alcanza con vida la edad .
PRIMERA SIMBOLIZACIN EN EDADES
Siendo
Parmetros
Como puede observarse el periodo de exposicin al riesgo de fallecimiento est comprendido entre las
edades y , y el comienzo del periodo es igual a la edad del grupo que se toma para observar
.
SEGUNDA SIMBOLIZACIN EN PLAZOS
Siendo
SIMBOLISMO INTERNACIONAL
PROBABILIDAD MARGINAL DIFERIDA DE FALLECIMIENTO
El inicio del periodo de exposicin al riesgo de fallecimiento no es igual a la edad de observacin del
grupo .
No alcanza con vida
la edad
Llega vivo al inicio
de la edad x
El fallecimiento se produce entre
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La probabilidad de que la persona de edad x alcance con vida la edad , pero no la edad .
Como puede observarse el periodo de exposicin al riesgo de fallecimiento est comprendido entre las
edades y , y el comienzo del periodo no es igual a la edad del grupo que se toma para
observar .
EN EDADES
EN PLAZOS
INTERNACIONAL
EJEMPLO
EN EDADES
EN PLAZOS
INTERNACIONAL
PROBABILIDAD DE FALLECIMIENTO INMEDIATA ACUMULADA
La probabilidad de que una persona de edad no alcance con vida la edad .
Los sucesos que pueden ocurrir son
Lapso de diferimiento entre el
inicio de la observacin y
comienzo del riesgo.
Diferencia entre la edad de
finalizacin del periodo de
riesgo y la edad del inicio
del riesgo
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O PUEDE OCURRIR
(Sobrevive 1 periodo)
O PUEDE OCURRIR
(Sobrevive 2 periodos)
O PUEDE OCURRIR
(Sobrevive 3 periodos)
O PUEDE OCURRIR
(Sobrevive 4 periodos)
O PUEDE OCURRIR
(Sobrevive 5 periodos)
............................................................................................................................................
............................................................................................................................................
Y POR ULTIMO (Sobrevive m-1 periodo)
...............
Cada suceso tiene asociada una probabilidad de fallecimiento.
TABLA CON UNA MUESTRA DE EDAD x
Intervalos de edades Probabilidades
marginales
inmediatas
Probabilidades
marginales
diferidas de
fallecimiento
Probabilidades inmediatas acumuladas de fallecimiento
........... ...... ......... .......
Para entender el concepto se tomar como probabilidad a buscar.
Es decir,
Pueden ocurrir 2 sucesos mutuamente excluyentes
O puede ocurrir
(Sobrevive 1 periodo)
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La suma de ambas probabilidades de fallecimiento genera la probabilidad acumulada buscada. Como se
ve puede ocurrir solo un suceso y no ambos a la vez.
Si le damos valores a m los sucesos que se obtienen son los siguientes.
Si
Si
O puede ocurrir
(Sobrevive 1 periodo)
Si
O puede ocurrir
(Sobrevive 1 periodo)
O puede ocurrir
(Sobrevive 2 periodos)
Si
O puede ocurrir
(Sobrevive 1 periodo)
O puede ocurrir
(Sobrevive 2 periodos)
O puede ocurrir
(Sobrevive 3 periodos)
SUCESO 1: A LA EDAD X NO ALCANZA CON VIDA
LA EDAD X+1.
SUCESO 2: A LA EDAD X LLEGA CON VIDA A LA
EDAD X+1, PERO NO ALCANZA CON VIDA LA
EDAD X+2.
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Si
O puede ocurrir
(Sobrevive 1 periodo)
O puede ocurrir
(Sobrevive 2 periodos)
O puede ocurrir
(Sobrevive 3 periodos)
O puede ocurrir
(Sobrevive 4 periodos)
Los sucesos son mutuamente excluyentes, porque se muere una sola vez, es decir, los sucesos
enumerados arriba pueden ocurrir una sola vez y no en conjunto o varios a la vez.
O en edades
PROBABILIDAD DE FALLECIMIENTO DIFERIDA ACUMULADA
(Sobrevive n periodos)
O PUEDE OCURRIR
(Sobrevive periodos)
O PUEDE OCURRIR
(Sobrevive periodos)
............................................................................................................................................
............................................................................................................................................
O PUEDE OCURRIR
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LA PROBABILIDAD DE QUE UNA PERSONA DE EDAD X NO ALCANCE CON VIDA LA
EDAD .
Esta ltima es la edad que nadie llega a alcanzar con vida por ello la probabilidad es igual a 1 como se ve
abajo.
O puede ocurrir
(Sobrevive 1 periodo)
O puede ocurrir
(Sobrevive 2 periodos)
O puede ocurrir
(Sobrevive 3 periodos)
O puede ocurrir
(Sobrevive 4 periodos)
............................................................................................................................................
....................................................................................................................
Y por ultimo (Sobrevive m-1 periodo)
..........................
Es un sistema mutuamente excluyente y exhaustivo. En la grafica se pueden ver todos los posibles
sucesos.
Si abrimos la sumatoria en dos
La probabilidad de estar muerto entre x y de cualquier persona es 1 porque es la edad que nadie alcanza
con vida. Como ejemplo pensemos en 300 aos., si una persona tiene 30 aos cul es su probabilidad de
fallecer entre los 30 y los 300 aos?, claramente es 1, ya que, tenemos la certeza de que va a fallecer.
LA IGUALDAD
Donde
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Es la probabilidad de que una persona de edad x alcance con vida la edad , pero no alcance con vida
la edad , es decir, que fallezca entre las edades y .
(Sobrevive n periodos)
O PUEDE OCURRIR
(Sobrevive n+1 periodos)
O PUEDE OCURRIR
(Sobrevive n+2 periodos)
............................................................................................................................................
............................................................................................................................................
O PUEDE OCURRIR
................... .........
Donde como vimos
Por lo tanto
x
Si una persona fallece entre las edades , es
porque tuvo que haber estado con vida entre las edades
. La clave se encuentra en la edad lmite es
que nadie alcanza con vida.
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Si tomamos el caso particular de
Interpretacin de
Edades
0 Plazos
Sobrevivir hasta teniendo x aos de edad
Fallecer entre y teniendo x aos de edad
Interpretacin de
Edades
0 Plazos
Sobrevivir hasta teniendo x aos de edad
PROBABILIDAD DE VIDA ACUMULADA
La probabilidad de que una persona de edad alcance con vida la edad
EN EDADES
EN PLAZOS
INTERNACIONAL
PROBABILIDAD DE VIDA MARGINAL
EN EDADES
x
Si una persona fallece entre las edades
, la igualdad no se cumple porque si bien tuvo que haber
estado con vida entre las edades , todava hay
un tramo entre que puede seguir vivo.
En este intervalo puede seguir con
vida y no se puede asegurar que la
igualdad se cumpla.
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EN PLAZOS
INTERNACIONAL
La probabilidad de que una persona de edad alcance con vida la edad
RELACIONES
La probabilidad de fallecer a la edad x es cero.
La probabilidad de vida a la edad x es uno.
La probabilidad de fallecer entre la edad x y es uno.
La probabilidad de sobrevivir entre x y es cero
DOS RELACIONES IMPORTANTES
a)
b)
Probabilidad de fallecer entre y teniendo x aos de edad
Edades
0 Plazos
Probabilidad de fallecer entre x y
Probabilidad de fallecer entre x y
A se le quita y se obtiene la probabilidad de fallecer entre teniendo x aos y
habiendo sobrevivido m periodos
Probabilidad de fallecer entre y teniendo x aos de edad
Edades
0 Plazos
Probabilidad de sobrevivir entre x y
Probabilidad de sobrevivir entre x y (con )
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Deduccin de b)
Si sumamos y restamos 1 en a) obtenemos
De esta manera queda demostrado.
Es importante notar que porque a mayor la edad que se pretenda alcanzar menor
es la probabilidad de sobrevivir. O mientras ms cerca de la edad se est ms alta la probabilidad de
fallecer y ms baja la probabilidad de sobrevivir.
En definitiva, la diferencia , se debe interpretarse como la reduccin que se
produce en la probabilidad en relacin a . Si la meta es alcanzar con vida la edad
teniendo hoy x aos de edad, la probabilidad de lograrlo con xito asociada es , si ahora
cambiamos esa meta y la alargamos aos hasta , luego, es lgico pensar que la probabilidad
de lograrlo con xito disminuya, y esa disminucin es explicada por la posibilidad de fallecer entre las
edades y
En el intervalo pueden ocurrir dos sucesos: sobrevivir hasta la edad o no lograr
alcanzar con vida la misma.
O puede ocurrir
En el intervalo tambin pueden ocurrir dos sucesos: sobrevivir hasta la edad o
no alcanzarla con vida.
O no alcanzar con vida la edad , que a su vez se divide en dos
O puede ocurrir
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Por lo cual
Como se ve la probabilidad de fallecer entre las edades se incrementa con
respecto a hacerlo entre , es decir . Este incremento es en
De este modo vemos lo que habamos mencionado que . Si reemplazamos
.
Se ve con an ms claridad. Podemos concluir que lo que crece es lo que decrece
.
Esto se debe a los supuestos que hemos realizado, en particular, que la edad de fallecimiento slo depende
de la edad que tenga la persona y que la poblacin es homognea.
VARIABLE ALEATORIA CONTINUA
Sea
Con
Siendo los aos que transcurren desde la edad x hasta el momento de fallecer. Al ser incierto es una
variable aleatoria, ya que nadie sabe con certeza cundo ocurrir el fallecimiento al momento de tomar
una muestra de edad y de tamao .
Siendo t aos transcurridos desde la edad .
Donde
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Luego, el dominio de t como aos posibles a vivir sera igual a . Pero como no conocemos
apriori cundo ocurrir , t es una posible realizacin de la variable aleatoria , ya que, cada t es un
posible candidato a serlo.
ESPACIO MUESTRAL
Es el dominio de la variable aleatoria
La cual tiene asociada una funcin de densidad
Para un valor cualquiera de que se tome hay dos posibles resultados
1. La persona alcanz con vida la edad , teniendo la edad . (Sobrevivi)
2. La persona no alcanz con vida la edad teniendo la edad (Falleci)
Lo cual implica que para cada valor de debemos asociar una probabilidad de sobrevivir y otra de
fallecer y las probabilidades acumuladas de ambas son que pasamos a definir
FUNCIN DE DISTRIBUCIN
Probabilidad de que una persona de edad x no alcance con vida la edad .
Donde es una Funcin de Distribucin
La Funcin de Supervivencia
Probabilidad de que una persona de edad x sobreviva hasta la edad .
La Funcin de Supervivencia es el complemento de la Funcin de Distribucin.
0
++
FUNCIN DE SUPERVIVENCIA
Es igual a la probabilidad de fallecer dentro de este intervalo
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CONJUNTO DE VARIABLES ALEATORIAS
Para los distintos valores de x tendremos distintas variables aleatorias .
Posibles edades de observacin Edad de fallecimiento Variable aleatoria
ao aos aos aos
aos
Tenemos un conjunto de variables aleatorias que deseamos relacionar.
PROBABILIDAD DE VIDA
RELACIN 1
EQUIVALENCIA CON RECIN NACIDOS
La probabilidad de que una persona de edad x sobreviva t aos es igual a que un recin nacido alcance
con vida la edad habiendo alcanzado con vida la edad x.
0 x
Teniendo en cuenta
0
++
FUNCIN DE DISTRIBUCIN
Es igual a la probabilidad de fallecer dentro de este intervalo
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Obtenemos la siguiente relacin
De esta manera estamos relacionando a como puede verse en la ltima expresin.
EQUIVALENCIA CON CUALQUIER EDAD
Obtenemos la siguiente relacin
0 x
De esta manera estamos relacionando a
EJEMPLO
Sean tres edades
Y sean las siguientes probabilidades de supervivencia
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0 x y z
RELACIN 2
En plazos
En edades
Para lograr
Debe primero llegar con vida hasta la edad
Y luego debe ocurrir que
Ya que
Entonces podemos escribirlo como
Probabilidad de que una
persona de edad x alcance
con vida la edad .
Para alcanzar la edad final ,
tuvo que haber alcanzado todas las
intermedias.
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PROBABILIDAD DIFERIDA Y TEMPORARIA DE FALLECER
NUEVA RELACION
Si multiplicamos y dividimos por .
Como
Luego
La nueva relacin es igual a
Luego, los dos sucesos que deben ocurrir en conjunto .
Suceso A
Que una persona de edad x alcance con vida la edad .
Suceso B
Habiendo alcanzado con vida la edad , es necesario que fallezca entre las edades
.
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Es importante notar que la edad observacional es de cero aos, es decir, un recin nacido y que la
probabilidad de fallecer que se busca es la de una persona de x aos de edad y que fallezca entre y
. Es como si se hiciera un cambio de edad base con este mtodo. Con probabilidades de recin
nacidos llego a probabilidades de personas de edades x, es decir, teniendo nicamente como dato las
probabilidades de recin nacidos puedo obtener las de otros grupos etarios.
Nuevamente estamos relacionado las variables aleatorias
VARIABLE ALEATORIA DISCRETA
Sabemos adems que es una variable aleatoria continua y que =
Donde representa la parte entera de la variable aleatoria.
La persona de edad x puede fallecer en cualquier momento en el intervalo de edades , como
por ejemplo
, pero toma nicamente la parte entera. Como vemos el intervalo no incluye al
lmite superior
Es decir, que estamos ante una variable aleatoria discreta
EJEMPLO
Sea
En el intervalo de edades de
fallecimiento
Tomamos el entero
La diferencia es igual a
La probabilidad de que un recin
nacido fallezca entre las edades
, bajo la condicin de
haber alcanzado con vida la edad x.
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Luego
CALCULO DE LAS PROBABILIDADES DE
PROBABILIDAD MARGINAL O PUNTUAL
Si
Si
Si
Si
.............................................
Si
Donde
Como podemos apreciar de esta ltima expresin existe una relacin entre las probabilidades de
Hay que sobrevivir k
aos
Y fallecer en el intervalo
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PROBABILIDAD ACUMULADA
Donde
DIFERENCIAS DE PROBABILIDADES ACUMULADAS
MEDIDAS DE POSICIN DE
EXPECTATIVA DE VIDA O VIDA MEDIA ABREVIADA
Donde
Donde es la Expectativa de Vida que representa el promedio de aos enteros a vivir por
una persona de
MOMENTO ABSOLUTO DE ORDEN 2
Es igual ya que es continua. El igual no
vale porque la probabilidad puntual es
igual a cero.
La probabilidad de
sobrevivir teniendo x
aos, entre x y es igual a
cero.
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VARIANZA DE
TABLA DE MORTALIDAD
Se trata de un modelo matemtico idneo para el clculo de probabilidades de vida y de muerte y se
presenta como la evolucin de un colectivo cerrado de personas homogneas e independientes. Cada
persona del grupo es exactamente igual y la edad de fallecimiento de cada uno es independiente de la de
los otros.
Si se tomar un grupo de personas de la misma edad x, cada persona morir a cierta edad, cada uno de los
miembros del grupo tiene su edad de fallecimiento, que puede ser igual o no al de algn otro. Pero la edad
de fallecimiento de una persona no tiene porque depender de la de otro.
En otras palabras, en se toma un grupo de personas y se observa su evolucin a lo largo del tiempo.
Para cada ao se observar que habr
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Siendo SF y SI variables stock. Donde las flecha hacia arriba y hacia abajo son variables flujos, que
incrementan y disminuyen la poblacin. En este modelo no tenemos flecha hacia arriba nicamente hacia
abajo. Es decir Egresos o muertes.
En definitiva, partimos de una poblacin inicial o stock inicial SI con cierta edad x, es decir, que cada uno
de los integrantes tiene una edad de x aos. La poblacin para cada ao que transcurre desde x, una
proporcin de ese grupo pierde la vida. Hasta que llega la edad que no queda nadie con vida. En
pueden permanecer personas con vida (aunque existe una probabilidad de que esto no ocurra).
No conocemos exactamente cundo ser la edad de fallecimiento , es incierta
para cada individuo de la poblacin. Recordando que los sujetos integrantes de la poblacin son
homogneos, para cada integrante tendremos una variable aleatoria como as
tambin una funcin de densidad asociada. Para cada persona del grupo esta funcin de densidad es igual,
es decir que para todos es la misma.
Son homogneos en cuanto a los factores que afectan la mortalidad (como lo son el gnero, ya que las
mujeres viven ms que los hombres, y la ocupacin). Son independientes en probabilidad, es decir, que la
informacin de fallecimiento o supervivencia de una persona, no me brinda ninguna informacin del
fallecimiento o de vida de cualquier otra persona, con puntos discretos anules de eliminacin.
Bajo la hiptesis de que las probabilidades de vida o de muerte son solo funcin de la edad alcanzada
teniendo x aos de edad, es decir .
VARIABLE ALEATORIA
TIEMPO CONTINUO
Si definimos la variable aleatoria continua edad de fallecimiento
En lugar de trabajar con la diferencia podemos elegir trabajar con la edad de fallecimiento
directamente.
Podemos ver que la variable aleatoria contina coincide con la variable aleatoria
continua plazo en aos para el caso particular de recin nacidos.
= Lapso de tiempo transcurrido
en aos desde de la edad x
0
1
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TIEMPO DISCRETO
Si definimos la variable aleatoria discreta edad de fallecimiento
En lugar de trabajar con la diferencia podemos elegir trabajar con la edad de fallecimiento
directamente.
Podemos ver que la variable aleatoria contina coincide con la variable aleatoria
discreta plazo en aos para el caso particular de recin nacidos.
RELACIN ENTRE LA VARIABLE ALEATORIA DISCRETA Y LA CONTINUA
Es importante notar que hay presente una relacin entre la variable aleatoria discreta y la continua. Al
exigir que las edades sean enteras, no se trabaja con intervalos en la TABLA DE MORTALIDAD como
lo exigira una variable aleatoria continua. Esto ltimo, en relacin de la naturaleza de la
que es continua de por s.
Si tomamos valores enteros de edades de fallecimientos descartamos los intervalos. Si tomamos el
intervalo
Como implica que desde la edad x en adelante se producen muertes hasta justo un instante antes
de llegar a la edad , esas muertes se van acumulando a lo largo del ao en dicho intervalo
Con esto logramos que cualquier persona que fallece en el intervalo tenga la edad entera x,
descartando de esta manera los decimales.
Como se ve la edad de fallecimiento es una variable aleatoria continua y deberamos usar intervalos en la
TABLA DE MORTALIDAD. Pero si tomamos la parte entera de la edad de las personas que son
eliminadas todos pasaran a tener la edad x. Con ello logramos que la edad de fallecimiento se transforme
en una variable aleatoria discreta. Esto es anlogo a lo que ocurra con .
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En definitiva, se da la equivalencia
CONSTRUCCIN DE LA TABLA DE MORTALIDAD
RELACIONES
Sean
NUMERO DE PERSONAS QUE ALCANZAN CON VIDA LA EDAD EXACTA Y ENTERA
EL NUMERO DE PERSONAS QUE FALLECEN ENTRE LAS EDADES O EN EL
INTERVALO
NUMERO DE PERSONAS QUE ALCANZAN CON VIDA LA EDAD EXACTA Y ENTERA
............................................................
...........................................................
De la ltima expresin deducimos
Continuo
Discreto
Desde la edad en adelante
se producen muertes hasta un
instante antes de llegar a la edad
, esas muertes se van
acumulando a lo largo del ao en
dicho intervalo
Todos los
fallecidos son contados con edad
si tomamos enteros.
Nmero de personas fallecidas
a la edad . Si tomamos
enteros de la edad de
fallecimiento.
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Se define
EL NMERO DE PERSONAS ACUMULADAS QUE NO ALCANZAN CON VIDA LA EDAD
TENIENDO LA EDAD X.
Donde
Donde
Como el grupo es cerrado y homogneo e independiente donde solo hay egresos de la poblacin, luego,
Esto explica la cantidad de eliminados producidos entre la edad .
Como en no queda nadie con vida y partimos de una poblacin inicial , si sumamos la cantidad de
muertes producidas para cada edad desde x nos tiene que dar la poblacin inicial .
Para la construccin de la tabla de mortalidad hay dos mtodos
ANLISIS TRANSVERSAL DE MORTALIDAD
En un momento esttico del tiempo se toma una poblacin y se observa la evolucin de fallecimientos a
lo largo de un periodo de tiempo
ANLISIS LONGITUDINAL DE MORTALIDAD
Se observa toda la poblacin de principio hasta que fallece el ltimo.
Estos anlisis estn incluidos en el plan observacional que da los detalles del grupo que se observa.
Nmero de personas
con vida a la edad
Nmero de personas con
vida a la edad
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IMPORTANTE
Con distintas edades hay una igualdad
Pero no es cierto que teniendo distintas edades sean iguales en probabilidad.
Lo que ocurre es que en el lapso los tiene vividos realmente, alcanzo
con vida la edad , no hay incertidumbre al respecto, en otras palabras, la persona tiene la edad
. En cambio en la persona tiene la edad x, por lo tanto, no hay certeza de que alcance con
vida la edad eventualmente podra lograrlo o no. Pero el inters cae en el hecho de que logr
hacerlo y fallezca en el intervalo es decir, es una probabilidad conjunta.
De esta manera se puede ver con total claridad la diferencia.
Edades
0 Plazos
TABLA DE MORTALIDAD EN TIEMPO DISCRETO
t
0
....... ...... ...... ......
CLCULO DE PROBABILIDADES EN BASE A LA TABLA DE MORTALIDAD
Ahora supongamos que deseamos calcular
1 Cantidad de persona
de edad x que llegan
con vida a la edad
.
2 Cantidad de personas con
edad x que llegan con vida a la
edad (1 paso) y
fallecen en el intervalo
.
Es igual a que representa la cantidad de
personas que tienen la edad
y que fallecen en el
intervalo
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PROBABILIDAD DE VIDA
PROBABILIDAD DE FALLECIMIENTO INMEDIATA ACUMULADA
PROBABILIDAD DE FALLECIMIENTO DIFERIDA ACUMULADA
Si sumamos y restamos
Luego llegamos a una expresin conocida
Tambin
Si multiplicamos y dividimos por
Donde
Tambin
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Llegamos a una expresin conocida.
VARIABLE ALEATORIA
Se define para un grupo inicial , es decir, un grupo de recin nacidos. Por lo cual
VARIABLE ALEATORIA
DOMINIO DE LA VARIABLE ALEATORIA
DISTRIBUCIN DE
Se distribuye con una BINOMIAL con parmetros
MUESTRA
Tomamos una poblacin de edad x cuyo tamao es , y en base siempre a esta poblacin obtenemos
las probabilidades, es la condicin inicial de la cual partimos.
Recordando que toda variable aleatoria BINOMIAL
Podemos interpretar a l(x) como la
Sea para un grupo , con edad x cualquiera incluso podran ser recin nacidos
VARIABLE ALEATORIA
DOMINIO DE LA VARIABLE ALEATORIA
DISTRIBUCIN DE
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MUESTRA
Tomamos una poblacin de edad x cuyo tamao es y en base siempre a esta poblacin obtenemos
las probabilidades, es la condicin inicial de la cual partimos.
En definitiva, si tomamos hoy un grupo de personas de cierta edad x y luego miramos t aos hacia el
futuro de tal manera de que las personas del grupo que tomamos inicialmente estn con vida tendran la
edad entera y exacta . Lo incierto visto desde hoy es la cantidad de personas que sobrevivirn del
grupo . Cuanto mucho pueden sobrevivir todos los o ninguno, por lo cual esto explica su
dominio.
Hay que poder diferenciar entre la probabilidad de xito , que es la probabilidad de que una
persona del grupo sobreviva aos desde que tenia aos de edad. Luego, tenemos la probabilidad de
que cantidad de personas que sobrevivirn hasta la edad
Esta sigue una distribucin BINOMIAL
0
1
2
-
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Sabemos que la MEDIANA de una variable aleatoria BINOMAL es igual a la Esperanza, pero si
quisiramos calcularla
Donde
VARIABLE ALEATORIA
Sea para un grupo , con edad x cualquiera incluso podran ser recin nacidos
VARIABLE ALEATORIA
DOMINIO DE LA VARIABLE ALEATORIA
DISTRIBUCIN DE
Lo incierto visto desde hoy es la cantidad de personas que fallecern del grupo . Cuanto mucho
pueden fallecer todos los o ninguno, por lo cual esto explica su dominio.
Hay que poder diferenciar entre la probabilidad de xito , que es la probabilidad de que una
persona del grupo no alcance con vida la edad de aos desde que tenia aos de edad. Luego,
tenemos la probabilidad de que cantidad de personas que no sobrevivirn hasta la edad
Esta sigue una distribucin BINOMIAL
Desconocemos cuantas personas alcanzarn con vida
la edad del grupo . Por lo cual es
una variable aleatoria.
Grupo que determina el
tamao de la muestra
FIJAMOS UNA EDAD. No es
incierta
-
33
0
1
2
Sabemos que la MEDIANA de una variable aleatoria BINOMAL es igual a la Esperanza, pero si
quisiramos calcularla
Donde
INTERPRETACIN DETERMINISTICA
Se conoce con certeza el nmero de persona de la poblacin tomada que van a llegar con vida a la edad
y tienen un tamao de . Pero lo que se desconoce es quines del grupo sern los que lo
logren.
INTERPRETACIN NO DETERMINISTICA
Se tiene incertidumbre sobre ambas dimensiones, la cantidad y quines sern los que lo logren.
Desconocemos cuantas personas no alcanzarn con
vida la edad del grupo . Por lo cual
es una variable aleatoria.
Grupo que determina el
tamao de la muestra
FIJAMOS UNA EDAD. No es
incierta
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RESUMEN DE VARIABLES ALEATORIAS
DEFINICIN DE DERIVADA DE UNA VARIABLE
Sea una variable que tiene una dependencia con la variable , es decir, es funcin de la variable .
nicamente hay un cambio en la variable , si se ha producido un cambio en la variable . Porque
aquella depende nicamente de la variable y de ninguna otra variable.
INCREMENTO
Este es el incremento que se ha producido en la variable por culpa del cambio en la variable .
INCREMENTO EN LA VARIABLE POR UNIDAD DE CAMBIO DE LA VARIABLE
Esta ltima expresin representa el cambio en la variable por unidad de . En otras palabras, por cada
unidad que la variable se incremente o disminuya, la variable se incrementara o disminuir en
unidades
DERIVADA
TIEMPO DISCRETO TIEMPO CONTINUO
PLAZO QUE MEDIA
EL FALLECIMIENTO
PLAZO QUE MEDIA
EL FALLECIMIENTO
EDAD AL
FALLECIMIENTO
EDAD AL
FALLECIMIENTO
VARIABLES DISCRETAS
NUMERO DE PERSONAS QUE NO
LLEGAN CON VIDA A LA EDAD
, ES DECIR, EL VALOR DE
NUMERO DE PERSONAS QUE
LLEGAN CON VIDA A LA EDAD
, ES DECIR, EL VALOR DE
VARIABLE STOCK
CANTIDAD
VARIABLE FLUJO
TIEMPO
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Si hacemos cambiar a la variable muy poco, digamos un infinitesimo, luego el cambio producido en la
variable tambin ser muy pequeo por lo cual
APROXIMACIN DEL
La ltima expresin slo es vlida para cambios muy pequeos de la variable
Si en cambio tomamos cambios ms grandes, obtenemos
Donde
Si quisiramos aproximar
Mientras el que queramos aproximar sea ms chico, luego, menor ser el error que se cometa
Si
Recordar el concepto de derivada nos servir para entender lo que sigue
TASA INSTANTNEA DE MORTALIDAD
Edades
Cantidad de personas que llegan con vida
Tenemos
MEJOR LA APRXIMACIN QUE HACEMOS
DE
MAYOR EL ERROR EN LA APRXIMACIN
QUE HACEMOS DE
PARA GRANDES
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36
Tambin
Si lo quisiramos expresar de manera anual luego
Si denotamos a la variable como el ajuste que deberamos realizar para anualizar la probabilidad de
fallecimiento. Luego
EJEMPLO
Si estamos hablando de un semestre, es decir,
aos
Si estamos hablando de un mes, es decir,
aos
Si estamos hablando de un da, es decir,
aos
Como sabemos
Donde
Si nosotros dividimos por
Como vemos podemos asociarlo al concepto de derivada si hacemos
Es importante para lo que sigue interpretar
PROPORCIN DE FALLECIDOS
Es la proporcin de muertos entre las edades .
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37
PROPORCIN DE FALLECIDOS POR UNIDAD DE
La proporcin de fallecidos por cada unidad o en el plazo t que como dijimos est expresada en aos
Esto ocurre por la dependencia que hemos supuesto entre la eliminacin de una persona y la edad de la
misma nicamente, sin incluir otras variables.
Luego, tenemos la siguiente igualdad
Si
Si realizamos el lmite cuando o
Entonces
Luego, obtenemos la Tasa Instantnea de Mortalidad o Fuerza de Mortalidad
Es importante recordar
Nuestro inters est en analizar para ello debemos recordar que es una aproximacin de
A no se le puede dar valores porque caemos
en incrementos , no lo podemos cuantificar ya
que es una aproximacin de . Es muy
pequeo, pero que tan pequeo que resulta
subjetivo de cada persona. Para un grupo de
personas pequeo sera un valor, para otro grupo
otro sera el valor.
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38
Llegamos al nmero de personas fallecidas en algn instante de tiempo, justo un instante despus de
cumplir la edad , luego
Esta ltima, es la expresin proporcional anual de la probabilidad de fallecer en un instante de tiempo.
APROXIMACIN DEL
Nos interesa la proporcin de fallecidos dentro de un intervalo y no la proporcin de fallecidos por
unidad de cambio de
Como vimos
Luego
Si reemplazamos al por incrementos
Si lo multiplicamos por un intervalo genera la probabilidad de ocurrencia en ese intervalo. A ms
pequeo el intervalo mejor la aproximacin que se haga de la probabilidad
La tasa instantnea de mortalidad est vinculada con una derivada, la cual est relacionada con la
velocidad de decrementos o incremento de alguna variable dependiente.
INTERPRETACIN MODERNA
Se supone que x esta fijo y la que vara es t.
Si multiplicamos y dividimos por luego
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Si
Luego su derivada con respecto a t es igual a
Donde
Es una constante ya que no depende de t.
Por lo cual se obtiene
FUNCIN DE DENSIDAD CONDICIONAL
Como
La derivada queda igual a
En definitiva
Con ello obtenemos
Recordando que si tomamos como variable aleatoria el tiempo transcurrido desde la edad x hasta el
fallecimiento .
La derivada de q(x; 0; t) da como resultado la funcin de densidad
-
40
EJEMPLO
La cual es la probabilidad de fallecer al da siguiente.
EXPRESIN EN PROBABILIDAD
La clave est en comprender que no hay incertidumbre de que la persona alcanz con vida la edad .
RESUMEN
Para toda variable aleatoria posee
FUNCIN DE DISTRIBUCIN ACUMULADA
FUNCIN DE SUPERVIVENCIA O FUNCIN DE DISTRIBUCIN
DESACUMULADA
FUNCIN DE DENSIDAD
FUNCIN DE DENSIDAD CONDICIONAL
Es parecida a la funcin de densidad, pero, es condicional a que se sobreviva hasta la edad teniendo
la edad
Por definicin
TIEMPO CONTINUA
Mientras ms chico ms
preciso el clculo de la
probabilidad
-
41
GRFICAMENTE
Edades
0 Plazos
EN TIEMPO DISCRETO
GRFICAMENTE
Edades
0 Plazos
Seguimos con la forma continua
Luego
Entonces
FUNCIN DE DENSIDAD
-
42
EN FORMA CONTINUA
Esta funcin depende de la mortalidad que exista entre o de la posibilidad de sobrevivir entre
Edades
0 Plazos
EN FORMA DISCRETA
Luego
Luego llegamos a algo conocido
Donde
Por lo tanto
Como vemos
No son exactamente iguales pero su significado es el mismo.
Funcin de
densidad
condicional
Hay incertidumbre en esta etapa acerca de
la posibilidad de supervivencia.
-
43
FUNCIN DE DENSIDAD CONDICIONAL
Es una medida pura del intervalo infinitesimal y
Sabemos que para dos sucesos dependientes A y B se cumple
Por lo tanto
Para sucesos independientes deberamos hacer el producto
Si definimos
SUCESO A
Alcanzar con vida la edad , una persona de aos de edad
SUCESO B
Fallecer entre
Luego
Es la probabilidad de alcanzar con vida la edad teniendo x aos de edad y fallecer entre
.
Como A y B son sucesos dependientes porque para fallecer entre primero hay que
alcanzar con vida la edad . Si A no ocurre no es posible que B ocurra, estn atados.
EN TIEMPO DISCRETO
EN TIEMPO CONTINUO
Donde
Es la probabilidad de que una persona de edad alcance con vida la edad .
Por ltimo, tenemos que es la probabilidad condicional de que una persona de edad habiendo
llegado con vida a la edad , fallecer entre . En esta probabilidad no hay duda de
que se alcanz con vida la edad o de contrario no podra darse B.
-
44
EN TIEMPO DISCRETO
EN TIEMPO CONTINUO
GRFICAMENTE
Edades
0 Plazos
Luego uniendo todos los datos
TIEMPO DISCRETO
TIEMPO CONTINUO
DIFERENCIA ENTRE LA FUNCIN DE DENSIDAD Y LA FUNCIN DE DENSIDAD
CONDICIONAL
La diferencia entre la funcin de densidad y la funcin de densidad condicional es la incertidumbre con
respecto a alcanzar con vida la edad teniendo x aos de edad como puede apreciarse en los grficos
y las formulas. La funcin de densidad tiene como parte de su formula a la funcin de densidad
condicional. Esto se ve ms claro cuando lo llevamos a tiempo discreto.
ASOCIACIN
La funcin de densidad en tiempo continuo se asocia a en tiempo discreto.
TIEMPO DISCRETO
TIEMPO CONTINUO
Funcin de densidad
condicional
No hay incertidumbre respecto de la
posibilidad de llegar con vida hasta
-
45
EN TIEMPO DISCRETO
EN TIEMPO CONTINUO
INTERPRETACIN
A la podemos ver de dos maneras
PROBABILIDAD
TASA DE ELIMINADOS O PROPORCIN DE ELIMINADOS POR CADA INSTANTE
DE TIEMPO
Podemos apreciar que hay no una sino muchas tasas instantneas de mortalidad , tantas como
cambios t pueda hacerse.
COMO PROBABILIDAD
Tenemos que
Recordando
Luego
Recordando la propiedad
Obtenemos
-
46
Simplificando
La cual da la proporcin de las personas que alcanzan con vida la edad y fallecen entre las edades
COMO TASA INSTANTANEA
Donde
Si reemplazamos por
Que representa la cantidad de eliminados por cada unidad de . Si , luego
Que representa la cantidad de eliminados por cada unidad de . Este ltimo es tan pequeo que la unidad
es cada instante de tiempo.
Si lo dividimos por obtenemos la proporcin de eliminados por cada instante de tiempo
EN TIEMPO DISCRETO
-
47
EN TIEMPO CONTINUO
Por lo cual podemos deducir que la probabilidad de sobrevivir de un grupo cerrado, homogneo
con una nica causa de eliminacin, donde no hay ingresos nuevos a la poblacin y su probabilidad de
sobrevivir depende nicamente de la edad es igual a
TIEMPO CONTINUO
La integral
Como la Tasa Instantnea de Mortalidad acta cada instante de tiempo, debemos sumar sus efectos a lo
largo de un intervalo
Podemos asociar a al concepto de Clculo Financiero de tasa instantnea en tiempo continuo
DEMOSTRACIN
RESOLUCIN
Si derivamos con respecto a x
Recordando que
Si multiplico y divido por el ltimo termino
-
48
Sacando factor comn
Con lo cual queda demostrado
FUNCIN DE DISTRIBUCIN ACUMULADA INMEDIATA
La probabilidad acumulada en tiempo discreto es la suma de las probabilidades puntuales
.
Esto tiene su asociacin en tiempo continuo
Si definimos a la funcin de densidad como la probabilidad de que una persona fallezca en un
instante de tiempo inmediatamente despus de la edad teniendo la edad x
La funcin de distribucin acumulada es igual a
Donde la que es la probabilidad de estar con vida a la edad x que es cuando se toman los datos es
cierta e igual a 1.
FUNCIN DE DISTRIBUCIN ACUMULADA CON DIFERIMIENTO ILIMITADA
Donde la probabilidad de sobrevivir entre x y es igual a cero
-
49
FUNCIN DE DISTRIBUCIN ACUMULADA CON DIFERIMIENTO LIMITADA
DEMOSTACIN 1
DEMOSTRACIN 2
Por la propiedad de la suma de las integrales
Por lo cual
CANTIDADES ABSOLUTAS DE FALLECIDOS ACUMULADOS
Sabiendo que
Donde representa el nmero de personas que fallecen entre .
Vista como proporcin
luego
Luego
-
50
Si tomamos la integral que va desde 0 hasta n. Es como sumar en tiempo discreto los fallecidos en cada
instante del tiempo a medida que variamos t.
Obtenemos el total de fallecidos entre las edades .
Si luego
Si multiplicamos y dividimos por .
Recordando
Luego tenemos
Donde
La probabilidad de estar con vida a la edad x que es la edad observacional es conocida con certeza y es
igual a uno, porque en el momento que tomamos la poblacin la gente est viva y tiene la edad x.
La probabilidad de alcanzar con vida la edad teniendo x aos de edad es cero porque nadie alcanza con
vida esa edad.
Luego tenemos que
La cantidad de fallecidos que se acumulan hasta la edad es igual a la cantidad de personas que
comenzaron a la edad x. Porque nadie alcanza con vida esa edad mueren todos.
L CENSAL
-
51
Hay dos interpretaciones
Interpretacin directa: Promedio de la poblacin en cantidades entre las edades .
Interpretacin indirecta: Numero de aos vividos por las personas entre las edades
EJEMPLO DE INTERPRETACIN DIRECTA
Edades
0
Plazos
Promedio de personas con vida entre las edades
Si lo pensamos como que entre
viven y que entre las edades
viven . Podemos ver que cada grupo vive
periodo cada uno.
Es decir
O que 90 personas viven 1 periodo completo desde x hasta y que 10 solo viven
periodo es decir
EJEMPLO DE INTERPRETACIN INDIRECTA
En este ejemplo utilizamos los mismos datos.
Lo que buscamos son aos vividos por las personas. En todo el periodo que va entre .
-
52
Al inicio del periodo tenemos 100 personas con la edad x y 10 fallecen en
, es decir, que agregan
ao vivido cada una de las 100 personas. Luego quedan 90 personas entre
que agregan
otros
ao cada uno. Con esto obtenemos
Aos vividos en total entre
Se puede pensar tambin como que 90 personas agregan 1 periodo cada uno, pero 10 personas que viven
desde la edad x hasta
agregan
ao cada uno. Luego tenemos que
Aos vividos en total entre las edades
En este caso
Donde
PERSONAS QUE LOGRAN TERMINAR EL PERIODO DE ANALISIS
Cada una de las personas agrega 1 ao vivido por eso esta multiplicado por 1.
PERSONAS QUE FALLECEN DENTRO DEL PERIODO DE ANALISIS
Luego, podemos interpretar a
Como el tiempo vivido por las personas que fallecen entre las edades . Recordando que
Luego, como ocurra en el ejemplo cada fallecido agrega aos vividos. En el ejemplo cada fallecido
agregaba medio ao cada uno porque falleca a la edad
aos pero viven desde la edad x.
Aos vividos en total entre las edades
Como en este ejemplo la integral
Representan en el ejemplo de arriba
-
53
DEMOSTRACIN
Si la resolvemos por partes
Luego reemplazando
Con esto queda demostrado que
MS ACERCA DE LA L CENSAL
Luego
AOS DE VIDA QUE APORTA UNA PERSONA DE EDAD X QUE
FALLECE A UNA DETERMINADA EDAD.
Estos son los aos que vivi y son los
aos vividos que aporta
Fallece a la edad
-
54
En lugar de ver los aos vividos entre ahora nos interesa entre .
Llevamos la integral hasta n y multiplicamos por la cantidad de personas que llegan con vida hasta
.
TASA CENTRAL DE MORTALIDAD
En esta ltima expresin se puede ver que la tasa central de mortalidad es un promedio
ponderado de las tasas de mortalidad.
PONDERADOR
HAY MUCHAS TASAS INSTANTNEAS DE MORTALIDAD
Es importante notar que hay muchas tasas instantneas de mortalidad a medida que cambia t.
Donde
Representa la proporcin de eliminados por cada instante de tiempo
Si permitimos que el dominio de t sea
Si estaramos hablando de la tasa de mortalidad entre las edades
Si estaramos hablando de la tasa de mortalidad entre las edades
Si
estaramos hablando de la tasa de mortalidad entre las edades
-
55
Estas son solo algunas de las tantas posibilidades que existen entre las edades . Con estos
valores luego se puede realizar un promedio de las tasas de mortalidad para cada valor de t. Hay que
sumarlos esto en tiempo continuo se traduce en una integral.
ANALISIS DEL PONDERADOR
En el promedio simple el ponderador para cada trmino es igual a 1, esto implica que cada trmino tiene
la misma importancia y por ende son tratados todos de igual manera. Pero en un promedio ponderado se
tiene en cuenta que no todos tienen la misma importancia y por ende el mismo peso.
La cantidad de personas cambia durante el transcurso del tiempo
Representa la cantidad de personas que llegan con vida a la edad .
Representa el nmero de persona que en promedio vivieron entre las edades
.
Si el ponderador sera igual a
Si
el ponderador sera igual a
Si el ponderador sera igual a
Por lo cual
De esta manera si tenemos
EN TRMINOS RELATIVOS
-
56
La proporcin de fallecidos por instante de tiempo es la menor de todas
EN TRMINOS ABSOLUTOS
Como
tiene mayor peso
La cantidad de fallecidos por instante de tiempo de es la mayor de todas
En la siguiente tabla se ve con claridad este concepto.
TRMINO RELATIVO TRMINO ABSOLUTO
TASA INSTANTNEA DE
MORTALIDAD
POBLACIN A LA EDAD CANTIDAD DE ELIMINADOS POR
INSTANTE DE TIEMPO
50.000
2.000
1.500
Como vemos en la tabla aunque en trminos relativos es la menor de las tasas de mortalidad, tiene
el mayor efecto en trminos absolutos como se ve en la cantidad de eliminados. Esto se debe a que la
poblacin sobre la cual acta es la mayor de todas. Debemos tener en cuenta esto cuando hagamos un
promedio y as lo hace la TASA CENTRAL DE MORTALIDAD tomando promedio ponderado.
DEMOSTRACIN
Si tomamos la ecuacin general
Donde
Por lo cual
DEMOSTRACIN
Si tomamos la ecuacin general
-
57
Si dividimos numerador y denominador por
Donde
Por lo tanto
Donde
Este ltimo trmino es la ESPERANZA DE VIDA COMPLETA que veremos ms adelante
DEMOSTRACIN
Si es constante se cumple que
Porque el promedio ponderado de una constante de como resultado una constante.
VIDA MEDIA COMPLETA
INTUICIN
A continuacin se dar la intuicin detrs tanto de la VIDA MEDIA COMPLETA INMEDIA E
ILIMITADA como de la VIDA MEDIA INMEDIATA Y LIMITADA, para luego, ms adelante volcarse
a la matemtica y exponer otros conceptos. Lo que se busca es entender lo que se est haciendo para no
realizar demostraciones sin un verdadero entendimiento de lo que hay detrs
-
58
Donde
Tambin
Se resuelve por partes
Recordando que
INTUICIN
Si recordamos que
Tambin
-
59
Luego
Por lo cual
Recordando
Luego, podemos interpretar a
Como el tiempo vivido por las personas que fallecen entre las edades .
Donde
Representa el tiempo vivido por todas las personas entre las edades .
Finalmente, si dividimos esta ultima expresin por la cantidad total de personas con edad ,
Resulta en el promedio esperado de aos vividos entre las edades , o EXPECTATIVA DE VIDA en
tiempo continuo
INTUICIN
Tambin tenemos
AOS DE VIDA QUE APORTA UNA PERSONA DE EDAD X QUE
FALLECE A UNA DETERMINADA EDAD.
Estos son los aos que vivi y son
los aos vividos que aporta
Fallece a la edad
-
60
Donde
Donde
Tambin tenemos la siguiente relacin
En tiempo discreto
Recordando
GRFICAMENTE
Edades
0 Plazos
A las personas que fallecen entre las edades , es decir , como estamos trabajando
en tiempo discreto, lo tomamos como si fallecieran a la edad . Luego cada integrante vive 1
periodo y no medio como lo hacan en el ejemplo que vimos cuando trabajamos con la L Censal
EJEMPLO
Viven 1 ao cada una de
las personas.
Viven 1 ao cada una de
las personas.
-
61
RESOLUCIN
a) Hallar
Si vamos a sacar un promedio debemos dividir por la poblacin total que es
Donde
b) Hallar
Donde
Resolviendo por partes
Ya que tiende a cero cuanto ms cerca estamos de
-
62
Reemplazando
Resolviendo por partes
Por lo tanto
VIDA MEDIA TEMPORARIA E INMEDIATA
LA INTUICIN
-
INTUICIN
Recordando que
Por un lado
Esta ultima integral representa la esperanza matemtica de los aos vividos o promedio esperado de los
aos vividos entre las edades por las personas fallecidas entre .
Por el otro
Esto representa los aos de vida que aportan las personas que lograron alcanzar con vida la edad
teniendo la edad .
Podemos tambin ir por otro camino
Ya que
Recordando
Es el nmero total de aos vividos por las personas que fallecen entre las edades
Tambin tenemos
Es el nmero de aos vividos por las personas que alcanzan con vida la edad comenzando con
una edad de aos de edad.
Sumando ambos obtenemos
-
BIOMETRA ACTUARIAL TEORA RICARDO GABRIEL AMARILLA
64
En definitiva, si dividimos por obtenemos el promedio de aos vividos por las personas entre
las edades
Tomamos a las personas y vemos cuantos aos de vida aporta cada integrante, algunos fallecern
antes que otros, pero todos aportarn con sus aos vividos. Es como pasar lista a cada integrante y
determinar cunto aporta cada uno de aos de vida y obtener un promedio.
INTUICIN
Donde
TASA DE BENEFICIO DE SUPERVIVENCIA
Si se coloca 1$ hoy se retira un periodo despus
x
0
0
El tiempo
total vivido por las l(x)
personas entre las edades
-
BIOMETRA ACTUARIAL TEORA RICARDO GABRIEL AMARILLA
65
Donde
Slo la retiran aquellos que llegan con vida a la edad .
En la medida que haya ms fallecimientos los sobrevivientes se llevarn ms de 1$.
DEMOSTRACIN
Si recordamos que
Luego obtenemos que
Recordando que
Luego obtenemos que
Lo hacemos para cualquier t
DEMOSTRACIN
Si recordamos que
Luego obtenemos que
Recordando que
-
BIOMETRA ACTUARIAL TEORA RICARDO GABRIEL AMARILLA
66
Luego obtenemos que
DEMOSTRACIN
RESOLUCIN
Por lo tanto
-
BIOMETRA ACTUARIAL TEORA RICARDO GABRIEL AMARILLA
67
VIDA MEDIA ABREVIADA
VIDA MEDIA
ABREVIADA
EXPRESIN INICIAL EXPRESIN
FINAL
VIDA MEDIA ABREVIADA INMEDIATA E ILIMITADA
Donde
Donde
Son los que mueren al inicio del periodo y no los tengo en cuenta, porque no aportan aos de vida.
Si abrimos la sumatoria
-
BIOMETRA ACTUARIAL TEORA RICARDO GABRIEL AMARILLA
68
Hay filas y columnas
Tenemos que
Recordando que
Luego
Por lo cual
Donde
Reemplazando
Donde
Reemplazando
Donde
Porque nadie alcanza con vida la edad
-
BIOMETRA ACTUARIAL TEORA RICARDO GABRIEL AMARILLA
69
Por lo cual
VIDA MEDIA ABREVIADA INMEDIATA E LIMITADA
Donde
PRIMER TERMINO
Si abrimos la sumatoria
Hay filas y columnas
Tenemos que
Recordando que
Luego
Por lo cual
-
BIOMETRA ACTUARIAL TEORA RICARDO GABRIEL AMARILLA
70
Donde
Reemplazando
Donde
Reemplazando
Donde
Al primer trmino le agregamos el segundo
Por lo cual
-
BIOMETRA ACTUARIAL TEORA RICARDO GABRIEL AMARILLA
71
VIDA MEDIA ABREVIADA DIFERIDA E ILIMITADA
Donde
Son los que mueren al inicio del periodo y no los tengo en cuenta, porque no aportan aos de vida.
Por lo tanto
Donde
Donde
Por lo tanto
DEMOSTRACIN
Recordando que
-
BIOMETRA ACTUARIAL TEORA RICARDO GABRIEL AMARILLA
72
Por lo tanto si los restamos
Donde
Por lo cual
Donde
Que es una acumulada
Reemplazando
Sacando factor comn
Lo cual queda demostrado
Tomando la ltima ecuacin y desarrollndola
Hay filas y columnas
-
BIOMETRA ACTUARIAL TEORA RICARDO GABRIEL AMARILLA
73
Cada fallecido tiene n aos vividos de ms por lo cual hay que quitrselos por esta causa aparece n
restando en la sumatoria. El promedio siempre es con respecto a las personas y no con respecto a las
de .
Donde
Donde
Reemplazando
Donde
Reemplazando
Donde
Porque nadie alcanza con vida la edad
Por lo cual
VIDA MEDIA ABREVIADA DIFERIDA E LIMITADA TIPO 1
-
BIOMETRA ACTUARIAL TEORA RICARDO GABRIEL AMARILLA
74
SIEMPRE HACEMOS EL PROMEDIO DE AOS DE VIDA DE LA POBLACIN l(x) para el periodo
indicado
PRIMEROS TERMINOS
SEGUNDOS TERMINOS
Hacemos distributiva
Donde
Luego
Nos queda luego de ponerla linda
Donde
En cada trmino de la sumatoria hay una n que est multiplicando, es decir, que cada fallecido tiene n
aos vividos que los tenemos que restar porque no son aos vividos correspondientes al ao de inters.
Por lo cual del ltimo trmino
-
BIOMETRA ACTUARIAL TEORA RICARDO GABRIEL AMARILLA
75
Si sumamos ambas
Tomamos el primer trmino
Tomando la ltima ecuacin y desarrollndola
Hay filas y columnas
Donde
Donde
Reemplazando
Donde
Reemplazando
Agregamos el trmino que nos quedo afuera
-
BIOMETRA ACTUARIAL TEORA RICARDO GABRIEL AMARILLA
76
Por lo cual
DEMOSTRACIN
Recordando que
Restando
Con lo cual queda demostrado
VIDA MEDIA ABREVIADA DIFERIDA E LIMITADA TIPO 2
DEMOSTRACIN 1
Recordando que
-
BIOMETRA ACTUARIAL TEORA RICARDO GABRIEL AMARILLA
77
Restando
Por lo cual
DEMOSTRACIN 2
PRIMEROS TERMINOS
SEGUNDOS TERMINOS
Nos queda luego de ponerla linda
Donde
En cada trmino de la sumatoria hay una n que est multiplicando, es decir, que cada fallecido tiene n
aos vividos que los tenemos que restar porque no son aos vividos correspondientes al ao de inters.
Recordando que
-
BIOMETRA ACTUARIAL TEORA RICARDO GABRIEL AMARILLA
78
Si los separamos en dos trminos
Tenemos que
Donde
Tambin
Por lo tanto
Tomamos el primer trmino
Tomando la ltima ecuacin y desarrollndola
Hay filas y columnas
Donde
-
BIOMETRA ACTUARIAL TEORA RICARDO GABRIEL AMARILLA
79
Donde
Reemplazando
Donde
Reemplazando
Agregamos el trmino que nos quedo afuera
Por lo cual
DEMOSTRACIN
Tenemos que
-
BIOMETRA ACTUARIAL TEORA RICARDO GABRIEL AMARILLA
80
Si abrimos la sumatoria
Sabemos que
Reemplazando
Sacando factor comn
Donde
Por lo cual
EXPLICACIN CONCEPTUAL DE
INTERPRETACIN 1
TIEMPO PROMEDIO DE AOS VIVIDOS ENTRE LAS EDADES
Sea
VARIABLE ALEATORIA
Sabemos que
Donde representa el total de aos vividos por las entre las edades
Grficamente
-
BIOMETRA ACTUARIAL TEORA RICARDO GABRIEL AMARILLA
81
Edades
0 Plazos
Las personas que fallecen entre las edades , es decir, como estamos trabajando
en tiempo discreto, lo tomamos como si fallecieran a la edad , es decir, viven 1 periodo. Los
llegan a la edad , pero, en ese mismo momento fallecen personas quedando un total de . Si dividimos por obtenemos el tiempo promedio de aos vividos.
INTERPRETACIN 2
CANTIDAD DE PERSONAS QUE EN PROMEDIO VIVIERN ENTRE LAS EDADES
Donde representa la cantidad total de personas que vivieron entre las edades
Si dividimos por obtenemos la cantidad de personas que en promedio vivieron entre las edades
. Este anlisis se puede fcilmente llevar a los otros tipos de Esperanzas Abreviadas ya vistas.
Viven 1 ao cada una de
las personas.
Viven 1 ao cada una de
las personas.
-
BIOMETRA ACTUARIAL TEORA RICARDO GABRIEL AMARILLA
82
VIDA MEDIA COMPLETA
VIDA MEDIA
COMPLETA
EXPRESIN INICIAL EXPRESIN
FINAL
VIDA MEDIA COMPLETA INMEDIATA E ILIMITADA
Recordando que
Si reemplazamos
Resolviendo por partes
Recordando la formula
-
BIOMETRA ACTUARIAL TEORA RICARDO GABRIEL AMARILLA
83
Por lo tanto
A medida que nos acercamos a la edad se acerca acero, por lo tanto
VIDA MEDIA COMPLETA INMEDIATA E LIMITADA
Recordando que
Si reemplazamos
Resolviendo por partes
Por lo tanto
-
BIOMETRA ACTUARIAL TEORA RICARDO GABRIEL AMARILLA
84
VIDA MEDIA COMPLETA DIFERIDA E ILIMITADA
Lo que hacemos es quitarle a la poblacin de la que contamos los aos vividos que es o la
poblacin en . Porque siempre es sobre esta poblacin sobre la que contamos los aos vividos.
Como nuestro inters recae sobre los aos vividos entre de la mencionada poblacin, estas
personas que alcanzan con vida la edad traen consigo n aos vividos desde el comienzo del
periodo de inters lo cual hay que restrselos.
Donde
Reemplazando
Por lo cual
Resolviendo por partes
Por lo tanto
A medida que nos acercamos a la edad se acerca a cero, por lo tanto
-
BIOMETRA ACTUARIAL TEORA RICARDO GABRIEL AMARILLA
85
Demostracin
Donde
Por lo tanto
Por la regla de la sumas de las integrales
VIDA MEDIA COMPLETA DIFERIDA E LIMITADA TIPO 1
Donde
Donde
Por lo tanto
-
BIOMETRA ACTUARIAL TEORA RICARDO GABRIEL AMARILLA
86
Recordando que
Si reemplazamos
Resolviendo por partes
Por lo tanto
VIDA MEDIA COMPLETA DIFERIDA E LIMITADA TIPO 2
Donde
-
BIOMETRA ACTUARIAL TEORA RICARDO GABRIEL AMARILLA
87
Por lo tanto
Recordando que
Si reemplazamos
Resolviendo por partes
Por lo tanto
DEMOSTRACIN DE POR TRAPECIOS
Para resolver la integral aplicamos trapecios generalizados y su frmula es
-
BIOMETRA ACTUARIAL TEORA RICARDO GABRIEL AMARILLA
88
Como estamos aproximando la integral nos olvidamos del trmino complementario
Como la integral
Est en funcin de t y no de x como en la formula, esto nos ahorra el paso de tener que hacer esta
transformacin y considerando un h igual a 1.
Como
Obtenemos
DEMOSTRACIN
Tenemos que
Donde
Donde
Por lo cual
-
BIOMETRA ACTUARIAL TEORA RICARDO GABRIEL AMARILLA
89
Reemplazando
Por lo cual
ESPERANZA DE LA VARIABLE ALEATORIA
Nosotros hasta ac hemos visto las distintas esperanzas de las variables y , es decir, del plazo que
media al fallecimiento a partir de cierta edad . Pero debemos tener en cuenta que eventualmente se
podra calcular la esperanza matemtica de la variable aleatoria ,
Que es la edad promedio de aos que se viven.
TIEMPO CONTINUO
Si tenemos en cuenta
Reemplazando
Por lo tanto por la propiedad de la esperanza matemtica tenemos que
TIEMPO DISCRETO
Si tenemos en cuenta
Reemplazando
Por lo tanto por la propiedad de la esperanza matemtica tenemos que
-
BIOMETRA ACTUARIAL TEORA RICARDO GABRIEL AMARILLA
90
LA ESPERANZA DE LA VARIABLE ALEATORIA
CONDICIONADA CON DOBLE TRUNCAMIENTO
TIEMPO CONTINUO
TIEMPO DISCRETO
VIDA MEDIA ABREVIADA CALCULADA AL NACIMIENTO
CONCEPTO
Representa el promedio de aos enteros a vivir por un recin nacido
CARACTERSTICA PARTICULAR
ESPERANZA MEDIA DE LOS FALLECIDOS
Tambin
INTERPRETACIN
Es el tiempo promedio vivido por los fallecidos entre las edades
La Vida Media Abreviada a la edad x no
es igual que la Vida Media Abreviada al
nacimiento y restarle x aos.
La mortalidad infantil es alta y le agrega
dispersin.
-
BIOMETRA ACTUARIAL TEORA RICARDO GABRIEL AMARILLA
91
Como vemos es un promedio ponderado donde los ponderadores son
Si analizamos el denominador del ponderador
Recordando que
Vemos que se trata del stock de fallecidos entre las edades
Veamos el numerador
Si trabajamos en tiempo discreto, luego
Por lo cual
Para
Para
Para
Para
Donde
-
BIOMETRA ACTUARIAL TEORA RICARDO GABRIEL AMARILLA
92
Por lo cual
Tenemos los ponderadores en tiempo discreto
Si queremos obtener el promedio de aos vividos de las personas fallecidas de un grupo de personas de
partida con edad x debemos
Donde
Son los aos vividos que aportan las personas fallecidas entre . Los aos que aporta
cada fallecido a la edad como antes son que vivi desde la edad x.
Si lo dividimos por
En definitiva, obtenemos el promedio ponderado de los aos vividos por los fallecidos entre las edades
. En otras palabras, tomamos a los fallecidos entre las edades y los contamos, luego,
vemos cuanto cada uno aporta de aos de vida y obtenemos un promedio. A diferencia de lo que
hacamos antes con la ESPERANZA ABREVIADA Y COMPLETA INMEDIATAS Y LIMITADAS,
que obtenamos el promedio de aos vividos por las personas entre las edades , en este
caso nos interesan slo los aos vividos por los fallecidos y su promedio, y no los aos vividos por todas
las personas vivas o muertas.
PROMEDIO DE AOS VIVIDOS POR LOS FALLECIDOS
PROMEDIO DE AOS VIVIDOS POR TODAS LAS PERSONAS
ANALISIS DEL PONDERADOR
En el promedio simple el ponderador para cada trmino es igual a 1, esto implica que cada trmino tiene
la misma importancia y por ende son tratados todos de igual manera. Pero en un promedio ponderado se
tiene en cuenta que no todos tienen la misma importancia y por ende el mismo peso. Todos los datos
estn creados para exponer situaciones extremas con el propsito de aislar y exponer el concepto.
Si
Si el ponderador sera igual a
Si el ponderador sera igual a
-
BIOMETRA ACTUARIAL TEORA RICARDO GABRIEL AMARILLA
93
Si el ponderador sera igual a
Por lo cual
TIEMPO QUE MEDIA AL FALLECIMIENTO
TIEMPO VIVIDO TOTAL POR LO FALLECIDOS
Como
Por ende
En la siguiente tabla se ve con claridad este concepto.
TIEMPO QUE MEDIA
AL FALLECIMIENTO
POR PERSONA
POBLACIN A LA
EDAD CANTIDAD DE
ELIMINADOS
PONDERADORES TIEMPO
VIVIDO
TOTAL
50.000 95,238% 50.000
2.000 3,809% 10.000
150 0,2857% 1.500
SUMA 100% TOTAL 61.500
Como vemos en la tabla aunque en trminos relativos es el menor de los plazos, tiene el mayor efecto
en trminos absolutos como se ve en el tiempo total de aos vividos. Esto se debe a que
Por lo cual aunque las tasa de eliminados sean muy pequeas cerca de t igual a cero, la cantidad de
fallecidos puede ser importante. Por ende
A PEQUEOS VALORES DE t MUCHOS FALLECIDOS
A GRANDES VALORES DE t POCOS FALLECIDOS
Por lo cual los valores pequeos de t ocultan esta sutileza. En el caso de que hiciramos un promedio
simple, aportaran poco al resultado por lo escaso de su valor, cuando en realidad tienen una gran
importancia a la hora de explicar los aos vividos totales por los fallecidos, en el ejemplo un poco ms del
95%, y por ende los estaramos subestimando. Mientras los valores ms grandes tienen poco peso en la
explicacin de los aos vividos totales. Lo que hacen los ponderadores es hacer un ajuste para equilibrar
este desbalance que se produce, incrementando la importancia de los valores pequeos de t en el
promedio y quitndole peso a los valores grandes.
-
BIOMETRA ACTUARIAL TEORA RICARDO GABRIEL AMARILLA
94
DEMOSTRACIN
Recordando que
Reemplazando en la formula general
Por lo tanto
NUMERADOR
Resolviendo por partes
Por lo tanto
Por lo cual
Donde
-
BIOMETRA ACTUARIAL TEORA RICARDO GABRIEL AMARILLA
95
DENOMINADOR
Por lo tanto uniendo ambos
DEMOSTRACIN
Donde
Donde
Por lo cual
Por lo cual
Reemplazando
Por lo tanto
-
BIOMETRA ACTUARIAL TEORA RICARDO GABRIEL AMARILLA
96
Tambin
Si dividimos denominador y divisor por
Donde
DEMOSTRACIN
Donde
Por que mueren todas las personas a la edad
Tambin
Por lo tanto
Por lo tanto
Luego
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INTRODUCCIN A LOS MODELOS
BIOMTRICOS
FUNCIN DE SUPERVIVENCIA
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Es una funcin de distribucin, la cual, representa la probabilidad de que el tiempo que media el
fallecimiento sea mayor que t.
Es decir, a cierta edad x hay dos escenarios posibles.
Alcanzar con vida la edad x.
No alcanzar con vida la edad x.
Luego, la edad del fallecimiento de la persona puede ser de dos maneras
Lo cual implica que alcanz con vida la edad x.
Lo cual implica que no alcanz con vida la edad x.
Mirndolo desde hoy si tomamos una persona cualquiera de edad x, la edad a la que fallecer
es incierta, por lo cual podemos hablar de probabilidades de fallecimientos a
determinadas edades futuras , as tambin, podemos hablar de
probabilidades de supervivencias. En este ltimo caso que es el que estamos analizando implica que la
probabilidad de que la edad de fallecimiento sea mayor que una edad determinada
FUNCIN DE DISTRIBUCIN ACUMULADA
Con esto analizamos el complemento de que es la Funcin de Distribucin Acumulada
Por lo cual obtenemos
Recordando que podemos trabajar con la variable aleatoria o con
FUNCIN DE DENSIDAD
Donde
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TASA INSTANTANEA DE MORTALIDAD
EN PLAZOS
EN EDADES
Donde es una densidad de muerte condicionada a la supervivencia a hasta la edad a la edad de que se
trate.
EJEMPLO
Si
a) Cul es la probabilidad de fallecer antes de los 10 aos?
b) Cul es la probabilidad de fallecer despus de los 10 aos?
a)
Donde
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b)
ESPERANZA Y VARIANZA DE LA VARIABLE ALEATORIA TIEMPO QUE MEDIA AL
FALLECIMIENTO
Despus de algunas cuentas como vimos antes
MOMENTO ABSOLUTO DE ORDEN 2
VARIANZA
MEDIANA
Edad o plazo a la cual la probabilidad de fallecer antes es igual a la probabilidad de fallecer despus, es
decir,
MODO
Plazo o edad a la cual se tiene la ms alta probabilidad de fallecer
FUNCIONES TRUNCADAS
De aqu en ms estamos relacionando EXPRESIONES CONDICIONADAS con EXPRESIONES NO
CONDICIONADAS
TRUNCAMIENTO INFERIOR
De aqu en ms
PROBABILIDAD DE VIDA
Vemos como a partir de expresiones no condicionadas de recin nacidos llegamos a expresiones
condicionadas
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PROBABILIDAD DE MUERTE ACUMULADA
Subgrupo que
alcanzarn con vida
la edad
Grupo de partida
de recin
nacidos
Proporcin que
fallecer entre las
edades
Subgrupo que alcanz
con vida la edad y que
por lo tanto fallecern entre
las edades
Subgrupo que alcanz con vida la edad y que
por lo tanto fallecern entre las edades
Proporcin que fallecer entre las
edades
Subgrupo que
alcanz con vida la
edad
Grupo de partida
de recin
nacidos
Proporcin que
fallecer entre las
edades
Subgrupo que alcanz
con vida la edad y que
por lo tanto fallecern entre
las edades
Subgrupo que alcanz con vida la edad y que
por lo tanto fallecern entre las edades
Proporcin que fallecer entre las
edades
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102
PROBABILIDAD DE MUERTE
TASA INSTANTNEA DE MORTALIDAD
La tasa instantnea de mortalidad es un concepto terico no medible en la realidad y no observable. Por
definicin es una funcin de densidad truncada por eso el truncamiento inferior no le afecta en nada.
ESPERANZA CONDICIONADA
FUNCIONES CONDICIONADAS
PARA RECIN NACIDOS
LLEGAR VIVO A SI SE ALCANZ CON VIDA LA EDAD
FALLECER ENTRE LAS EDADES Y SI SE ALCANZ CON VIDA LA EDAD
PARA CUAQUIER EDAD GENERAL
LLEGAR VIVO A SI SE ALCANZ CON VIDA LA EDAD
-
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FALLECER ENTRE LAS EDADES Y SI SE ALCANZ CON VIDA LA EDAD
TRUNCAMIENTO SUPERIOR
De aqu en ms
PROBABILIDAD DE VIDA
PROBABILIDAD DE MUERTE ACUMULADA
Subgrupo que no
alcanzarn con vida
la edad
Grupo de partida
de recin
nacidos
Proporcin que
fallecer entre las
edades Subgrupo que fallecern
entre las edades
Subgrupo que fallecern entre las edades
Proporcin que fallecer
entre las edades
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PROBABILIDAD DE MUERTE
TASA INSTANTNEA DE MORTALIDAD
La tasa instantnea de mortalidad es un concepto terico no medible en la realidad y no observable. Por
definicin es una funcin de densidad truncada por eso el truncamiento inferior no le afecta en nada.
ESPERANZA CONDICIONADA
DOBLE TRUNCAMIENTO DE LA VARIABLE ALEATORIA
De aqu en ms
PROBABILIDAD DE VIDA O DESACUMULADA
Subgrupo que no
alcanzarn con vida
la edad
Grupo de partida
de recin
nacidos
Proporcin que
fallecer entre las
edades
Subgrupo que fallecern
entre las edades
Subgrupo que fallecern entre las edades
Proporcin que fallecer entre
las edades
-
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Si
Tenemos que
Donde
Partimos de una poblacin inicial que nicamente tiene egresos por fallecimiento, un grupo de estos
recin nacidos alcanzaran con vida la edad de 6 aos o y. Tomamos a este grupo remanente, ahora nos
preguntamos cul es la probabilidad de que alcance con vida la edad de x pero con la condicin de que tal
edad no sobrepase el lmite de Z. Es decir, vivir entre las edades y por lo tanto fallecer entre dado
que alcance con vida la edad y. El tema es que una persona del grupo remanente puede fallecer despus
de Z y alcanzar con vida la edad x de alguna manera estamos pidiendo la probabilidad de que esto no
ocurra.
Grupo de personas que alcanzaron con vida
la edad y que fallecern entre
Proporcin que fallece entre las edades
por lo tanto sobreviven entre las edades
-
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106
En definitiva, del grupo que alcanzo con vida la edad y, nos interesan los que fallecen entre . Este
ultimo subgrupo dentro del grupo remanente, nos interesan los que fallecen entre , porque son los que
alcanzaron con vida la edad y, como as tambin sobrevivieron entre .
PROBABILIDAD DE MUERTE ACUMULADA
Si
Tenemos que
Donde
Partimos de una poblacin inicial que nicamente tiene egresos por fallecimiento, un grupo de estos
recin nacidos alcanzaran con vida la edad de 6 aos o y. Tomamos a este grupo remanente, ahora nos
preguntamos cul es la probabilidad de que no alcance con vida la edad de x pero con la condicin de que
tal edad no sobrepase el lmite de Z. Es decir, fallecer entre las edades dado que alcance con vida la
edad y.
Subgrupo que
alcanz con vida la
edad
Grupo de partida
de recin
nacidos
Proporcin que
fallece entre las
edades
Proporcin que
fallece entre las
edades por lo
tanto sobreviven
entre las edades
Subgrupo que
alcanz con vida
la edad
Grupo de personas que
alcanzaron con vida la edad
y que fallecern entre
-
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En definitiva, del grupo que alcanzo con vida la edad y, nos interesan los que fallecen entre . Este
ultimo subgrupo dentro del grupo remanente, nos interesan los que fallecen entre .
FUNCIN DE DENSIDAD
TASA INSTANTNEA DE MORTALIDAD
ESPERANZA CON DOBLE TRUNCAMIENTO
EN PROBABILIDADES CONDICIONALES
Subgrupo que
alcanz con vida la
edad
Grupo de partida
de recin
nacidos
Proporcin que
fallece entre las
edades
Proporcin que
fallece entre las
edades
Subgrupo que
alcanz con vida
la edad
Grupo de personas que
alcanzaron con vida la edad
y que fallecieron entre
Grupo de personas que alcanzaron con vida
la edad y que fallecern entre
Proporcin que fallece entre las edades
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TRUNCAMIENTO INFERIOR
TRUNCAMIENTO SUPERIOR
DOBLE TRUNCAMIENTO
TABLA DE RELACIONES
Las funciones de las filas estn en funcin de las funciones de cada columna. Donde estamos tratando con
recin nacidos, es decir,
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FUNCIN DE DENSIDAD
EN FUNCIN DE
EN FUNCIN DE
EN FUNCIN DE
Donde
Por lo tanto
FUNCIN DE DENSIDAD
EN FUNCIN DE
Por lo tanto
EN FUNCIN DE
EN FUNCIN DE
FUNCIN DE DENSIDAD
EN FUNCIN DE
EN FUNCIN DE
-
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110
EN FUNCIN DE
FUNCIN DE DENSIDAD
EN FUNCIN DE
Por lo tanto
Donde
Por lo tanto
EN FUNCIN DE
Donde
Por lo cual
EN FUNCIN DE
Por lo cual
-
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111
SUPUESTOS PARA EDADES
FRCCIONARIAS
Se trata de los distintos supuestos sobre el comportamiento de la
poblacin dentro del intervalo de edades.
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Dados determinados valores conocidos de una poblacin en los extremos de un intervalo cualquiera
se busca realizar interpolaciones (dentro del intervalo) y extrapolaciones (fuera del intervalo) para lo
cual se realizan determinados supuestos sob