BIOMETRÍA

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24 de abril de 2012

Sergio Neira – Hugo Arancibia

• Comportamiento de las muestras

• La distribución de la media muestral

• La distribución de la proporción muestral

• Distribuciones muestrales e inferencia estadística

Existen dos campos principales en la inferencia estadística:

• Estimación

• Pruebas

Inferencia: Una conclusión que surge de forma lógica a partir de

observaciones o premisas

• Tomamos una muestra

• Calculamos la media y, de acuerdo a ella,

• Damos un rango de valores para la media poblacional

1. Proponemos un valor para el parámetro poblacional

2. Tomamos una muestra 3. Probamos nuestro supuesto contra la muestra.

Uno de los objetivos principales del análisis estadístico es alcanzar conclusiones de la población mediante el examen de una muestra de esa población.

1°. Planteamos una afirmación concisa sobre la media poblacional; esta afirmación se denomina hipótesis nula (y se abrevia H0) porque expresa el concepto de “sin diferencia”.

Por ejemplo, una hipótesis nula sobre una media poblacional (µ) puede indicar que µ no es diferente de cero (i.e., µ es igual a cero). Escribiremos esto como:

0:0H

O podríamos plantear la hipótesis que la media de la población no es distinta (i.e., es igual a) 37 cm, o que no es diferente de 10.5 kg. En este caso escribiremos:

H0: µ=37 cm o H0: µ=10.5, respectivamente.

Si concluimos que una hipótesis nula es falsa, entonces una hipótesis alternativa (abreviada HA) se asume verdadera.

Para cada prueba estadística que realicemos, debemos establecer siempre una hipótesis nula y una hipótesis alternativa, de modo que todos los resultados posibles estén inlcuídos en este par de hipótesis.

Entonces, para los ejemplos anteriores tenemos:

0 :H 0,=:H A0

Las pruebas estadísticas de hipótesis nulas respecto de

la media de una población (µ) implican determinar la

media de una muestra aleatoria desde esa población.

Entonces, determinamos la probabilidad, si H0 es cierta,

de una media lo suficientemente alejada de µ como el de

la muestra.

Esto se logra mediante las consideraciones de la sección

distribución de las medias y se demuestra en el ejemplo

más adelante.

Necesitamos un criterio objetico para rechazar o no

rechazar la hipótesis nula para una prueba estadística.

Teóricamente, podemos obtener una media muestral muy

grande (o muy pequeña) y podemos obtener un valor

absoluto de Z muy grande, incluso si H0 es verdadera.

Sin embargo, a mayor |Z| menor probabilidad que H0 sea

cierta.

Entonces nos cabe la siguiente pregunta, ¿cuán pequeña

debe ser la probabilidad (o cuán grande debe ser el valor

de |Z|) para rechazar H0?

Una probabilidad de 5% (0.05) o menos se considera un buen

criterio para rechazar H0.

La probabilidad usada como criterio de rechazo se denomina

el nivel de significancia, y se denota por (la letra griega,

alfa).

El valor del test estadístico, en este caso Z, que corresponde a

se denomina valor crítico de la prueba estadística.

Como vimos en la tabla Z (normal estándar), P(Z 1.96=0.025);

y en tanto la distribución normal es simétrica, P(Z -

1.96=0.025).

Entonces el valor crítico para probar la hipótesis de más arriba

H0 al nivel de significancia de 5%, es Z=1.96.

Como el estadístico en el ejemplo 6.6 (digamos, Z=1.79) no es

tan grande como el valor crítico, la hipótesis nula no se

rechaza.

Un fabricante produjo un dispositivo que activa una alarma cuando la

concentración de CO en el aire es 10.00 mg/m3. Nosotros queremos

probar si el dispositivo trabaja como se espera.

Se cuenta 18 veces la concentración de CO en una cámara y se

registra a qué concentración se enciende la alarma. Estos 18 datos

tienen una media de 10.43 mg/m3 y representan nuestra muestra

(aleatoria).

Supongamos que conocemos la varianza de la población σ2=1.0434

(mg/m3)2

Prueba de hipótesis

H0: µ=10.00 mg/m3 y H0: µ≠10.00 mg/m3

La variable X es la concentración de monóxido de carbono en

el aire.

Si tenemos una población normal con u=10.00 mg/m3 y error

estándar=0.24.

¿Cuál es la probabilidad de obtener aleatoriamente una

muestra con media alejada de 10.00 mg/m3 de al 10.43 mg/

m3?

79.1/24.0

/00.10/43.103

33

mmg

mmgmmgXZ

X

0367.0)79.1()/43.10( 3 ZPmmgXP

0367.0)79.1(ZPy

Por lo tanto,

Es importante notar que una hipótesis nula verdadera puede ser

rechazada, lo que significa que hemos cometido un error al alcanzar

una conclusión sobre la población muestreada.

Además, este error se cometerá con una frecuencia igual a . Esto

es, si H0 es en realidad una afirmación verdadera sobre una

población estadística, el 5% de las veces se concluirá erróneamente

que H0 es falsa.

El descartar una hipótesis nula cuando es verdadera es lo que se

conoce como Error Tipo I (también conocido como error alfa o un

error del primer tipo).

Por otro lado, si H0 es efectivamente falsa, una prueba estadística no

detectará este hecho, y en algunas ocasiones alcanzaremos una

conclusión errónea al no rechazar H0.

La probabilidad de cometer este error, de no rechazar H0 cuando en

realidad es falsa, se representa por (la letra griega beta).

Este error se conoce como Error Tipo II (también conocido como

error beta o error del segundo tipo).

El poder de una prueba estadística está definido por 1- ; i.e., el poder

es la probabilidad de rechazar la hipótesis nula cuando es en realidad

falsa y debiera ser rechazada.

Tipo de Error Si H0 es verdadera Si H0 es falsa

Si se rechaza H0 Error Tipo I Sin error

Si no se rechaza H0 Sin error Error Tipo II