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    Estadstica Actuarial I Introduccin a la simulacin con Excel

    LICENCIATURA EN CC. ACTUARIALES Y FINANCIERAS 2

    NDICE0 Introduccin .......................................................................................... 31 Funciones estadsticas y relacionadas....................................................... 4

    1.1 Genricas ........................................................................................................ 4

    1.2 Nmeros aleatorios. ......................................................................................... 41.3 Descriptivas de datos ....................................................................................... 41.4 P.Valores......................................................................................................... 51.5 Variables aleatorias .......................................................................................... 51.6 Otras funciones de inters ................................................................................ 6

    2 Nmeros aleatorios. ............................................................................. 122.1 Procedimientos relacionados ............................................................................122.2 Herramienta Excel para la generacin de nmeros aleatorios..............................122.3 Generacin de nmeros aleatorios mediante frmulas........................................17

    3 Distribucin de frecuencias. .................................................................. 193.1 Procedimientos relacionados ............................................................................19

    3.2 Anlisis de Datos: Histograma..........................................................................193.3 La funcin FRECUENCIA ..................................................................................203.4 Ejemplos ........................................................................................................21

    4 Medidas de tendencia central, variacin y forma. .................................... 234.1 Procedimientos relacionados ............................................................................234.2 Anlisis de Datos Estadstica descriptiva ............................................................234.3 Funciones para el clculo de la tendencia central. ..............................................244.4 Funciones para el clculo de la variacin. ..........................................................244.5 Funciones para el clculo de la forma. ..............................................................25

    5 Medidas de asociacin lineal ................................................................. 265.1 Procedimientos relacionados ............................................................................26

    5.2 Anlisis de Datos: Covarianza...........................................................................265.3 Funciones para el clculo del grado de asociacin lineal. ....................................27

    6 Variables aleatorias discretas. ............................................................... 296.1 Binomial.........................................................................................................29 6.2 Poisson ..........................................................................................................306.3 Uniforme (Discreta).........................................................................................316.4 Geomtrica.....................................................................................................33 6.5 Binomial Negativa ...........................................................................................346.6 Funciones Excel relacionadas con las v.a. discretas ............................................35

    7 Variables aleatorias continuas. .............................................................. 387.1 Beta...............................................................................................................38

    7.2 Exponencial....................................................................................................39 7.3 Gamma..........................................................................................................41 7.4 Normal...........................................................................................................42 7.5 Pareto............................................................................................................43 7.6 Uniforme........................................................................................................45 7.7 Funciones relacionadas con la Normal...............................................................467.8 Funciones relacionadas con otras distribuciones.................................................47

    8 Ajuste de distribuciones: tests de bondad del ajuste ............................... 488.1 Introduccin...................................................................................................48 8.2 Distribuciones discretas: test 2 .......................................................................48 8.3 Distribuciones continuas: el test de Kolmogorov-Smirnov....................................548.4 Uso de SOLVER en el proceso de caracterizacin/estimacin...............................58

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    Estadstica Actuarial I Introduccin a la simulacin con Excel

    LICENCIATURA EN CC. ACTUARIALES Y FINANCIERAS 3

    0 IntroduccinLa simulacin de MonteCarlo es una tcnica que combina conceptos estadsticos

    (muestreo aleatorio) con la capacidad que tienen los ordenadores para generar nme-ros pseudo-aleatorios y automatizar clculos.

    Los orgenes de esta tcnica estn ligados al trabajo desarrollado por Stan Ulamy John Von Neumann a finales de los 40 en el laboratorio de Los lamos, cuando in-vestigaban el movimiento aleatorio de los neutrones. En aos posteriores, la simulacinde MonteCarlo se ha venido aplicando a una infinidad de mbitos como alternativa alos modelos matemticos exactos o incluso como nico medio de estimar solucionespara problemas complejos.

    As, en la actualidad es posible encontrar modelos que hacen uso de simulacinMC en las reas informtica, empresarial, econmica, industrial e incluso social. Enotras palabras, la simulacin de MonteCarlo est presente en todos aquellos mbitosen los que el comportamiento aleatorio o probabilstico desempea un papel funda-mental -precisamente, el nombre de MonteCarlo proviene de la famosa ciudad de M-naco, donde abundan los casinos de juego y donde el azar, la probabilidad y el com-

    portamiento aleatorio conforman todo un estilo de vida.Son muchos los autores que han apostado por utilizar hojas de clculo pararealizar simulacin MC. La potencia de las hojas de clculo reside en su universalidad,en su facilidad de uso, en su capacidad para recalcular valores y, sobre todo, en lasposibilidades que ofrece con respecto al anlisis de escenarios (what-if anaylisis). Lasltimas versiones de Excel incorporan, adems, un lenguaje de programacin propio, elVisual Basic for Applications, con el cual es posible crear autnticas aplicaciones desimulacin destinadas al usuario final. En el mercado existen de hecho varios comple-mentos de Excel (Add-Ins) especficamente diseados para realizar simulacin MC,siendo los ms conocidos: @Risk, CrystallBall, Insight.xla, SimTools.xla, etc.

    Este documento presenta los conceptos bsicos que el alumno de la asignaturadeber conocer para realizar las prcticas de la asignatura Estadstica Actuarial I.

    En el primer apartado se presenta una breve descripcin de las funciones deque dispone Excel para el tratamiento estadstico de datos en general y para el desa-rrollo e pequeas aplicaciones de simulacin en particular.

    En el segundo apartado se presentan las dos formas de generacin de nmerospseudo aleatorios (en adelante y por comodidad nos referiremos a ellos como aleato-rios) y de muestras que se distribuyan con arreglo a una distribucin dada. Como sesabe la generacin de estas muestras constituye la parte bsica del mtodo de Monte-Carlo.

    Los apartados 2, 4 y 5 se dedican a describir brevemente las herramientasbsicas del anlisis descriptivo que ser necesario realizar en las prcticas propuestas.

    Los apartados 6 y 7 describen las variables aleatorias que aparecen comn-mente en las simulaciones, dando su caractersticas y propiedades fundamentales, unmtodo para a generacin de nmeros aleatorios y una descripcin de las funcionesExcel relacionadas con ellas.

    Los apartados 8 y 9 presentan las herramientas bsicas para poder realizartanto el ajuste de datos a las distribuciones anteriores, a travs de los test de bondaddel ajuste ms usuales, como la inferencia bsica sobre los resultados de la simulacin.

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    LICENCIATURA EN CC. ACTUARIALES Y FINANCIERAS 4

    1 Funciones estadsticas y relacionadas

    1.1 Genricas CONTARCuenta cuntos nmeros hay en la lista de argumentos. CONTARACuenta cuntas celdas no vacas hay en la lista de argumentos.

    NORMALIZACION: Devuelve un valor normalizado. PERMUTACIONES: Devuelve el nmero de permutaciones para un nme-

    ro determinado de objetos.

    1.2 Nmeros aleatorios. ALEATORIO(): Devuelve un nmero aleatorio distribuido segn una

    U[0;1] ALEATORIO.ENTRE(a;b): Devuelve un nmero aleatorio distribuido se-

    gn una U[a;b]

    1.3 Descriptivas de datos

    COEFICIENTE.ASIMETRIA: Devuelve el sesgo de una distribucin CUARTIL: Devuelve el cuartil de un conjunto de datos CURTOSIS: Devuelve el coeficiente de curtosis de un conjunto de datos DESVEST: Calcula la (cuasi) desviacin estndar de una muestra. Se pasan

    por alto los valores lgicos como VERDADERO y FALSO y el texto. DESVESTA: Calcula la (cuasi) desviacin estndar de una muestra, inclui-

    dos nmeros, texto y valores lgicos. Los argumentos que contengan VER-DADERO se evaluarn como 1; los argumentos que contengan texto o FAL-SO se evaluarn como 0 (cero).

    DESVESTP: Calcula la desviacin estndar de la poblacin total. Se pasanpor alto los valores lgicos como VERDADERO y FALSO y el texto.

    DESVESTPA: Calcula la desviacin estndar de la poblacin total, incluidosnmeros, texto y valores lgicos. Los argumentos que contengan VERDA-DERO se evaluarn como 1; los argumentos que contengan texto o FALSOse evaluarn como 0 (cero).

    DESVIA2: Devuelve la suma de los cuadrados de las desviaciones. DESVPROM: Devuelve el promedio de las desviaciones absolutas de la

    media de los puntos de datos. FRECUENCIA: Devuelve una distribucin de frecuencia como una matriz

    vertical. INTERVALO.CONFIANZA: Devuelve el radio del intervalo de confianza

    para la media de una poblacin normal, supuesta conocida la varianza

    (usando la normal). JERARQUIA Devuelve la jerarqua de un nmero en una lista de nmeros K.ESIMO.MAYOR: Devuelve el valor k-simo mayor de un conjunto de da-

    tos. K.ESIMO.MENOR: Devuelve el valor k-simo menor de un conjunto de da-

    tos. MAX: Devuelve el valor mximo de una lista de argumentos MAXA: Devuelve el valor mximo de una lista de argumentos, incluidos

    nmeros, texto y valores lgicos. MEDIA.ACOTADA: Devuelve la media del interior de un conjunto de datos MEDIA.ARMO: Devuelve la media armnica. MEDIA.GEOM: Devuelve la media geomtrica. MEDIANA: Devuelve la mediana de los nmeros dados. MIN: Devuelve el valor mnimo de una lista de argumentos.

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    LICENCIATURA EN CC. ACTUARIALES Y FINANCIERAS 5

    MINA: Devuelve el valor mnimo de una lista de argumentos, incluidos n-meros, texto y valores lgicos.

    MODA: Devuelve el valor ms frecuente en un conjunto de datos. PERCENTIL: Devuelve el percentil k-simo de los valores de un rango. PROBABILIDAD: Devuelve la probabilidad de que los valores de un rango

    estn comprendidos entre dos lmites. PROMEDIO: Devuelve el promedio de los argumentos. PROMEDIOA: Devuelve el promedio de los argumentos, incluidos nme-

    ros, texto y valores lgicos. RANGO.PERCENTIL: Devuelve el rango de un valor en un conjunto de da-

    tos como porcentaje del conjunto. VAR: Calcula la varianza de una muestra. VARA: Calcula la varianza de una muestra, incluidos nmeros, texto y valo-

    res lgicos. VARP: Calcula la varianza de la poblacin total. VARPA: Calcula la varianza de la poblacin total, incluidos nmeros, texto y

    valores lgicos.

    1.4 P.Valores PRUEBA.CHI.INV: Devuelve el inverso de una probabilidad dada, de una

    sola cola, en una distribucin chi cuadrado. PRUEBA.CHI: Devuelve la prueba de independencia. PRUEBA.F: Devuelve el resultado de una prueba F. PRUEBA.FISHER.INV: Devuelve el inverso de la transformacin Fisher. PRUEBA.T: Devuelve la probabilidad asociada a una prueba t de Student. PRUEBA.Z: Devuelve el valor P de dos colas de una prueba Z.

    1.5 Variables aleatorias BINOM.CRIT: Devuelve el menor valor menor cuya desviacin binomial

    acumulativa es menor o igual que un valor de un criterio. DIST.GAMMA.INV: Devuelve el inverso de la funcin gamma acumulativa DIST.GAMMA: Devuelve la distribucin gamma. DISTR.BETA.INV: Devuelve el inverso de la funcin de densidad de pro-

    babilidad beta acumulativa. DISTR.BETA: Devuelve la funcin de densidad de probabilidad beta acu-

    mulativa. DISTR.BINOM: Devuelve la probabilidad de distribucin binomial de un

    trmino individual. DISTR.CHI: Devuelve la probabilidad de una sola cola de la distribucin chi

    cuadrado. DISTR.EXP: Devuelve la distribucin exponencial. DISTR.F: Devuelve la distribucin de probabilidad F. DISTR.HIPERGEOM: Devuelve la distribucin hipergeomtrica. DISTR.INV.F: Devuelve el inverso de una distribucin de probabilidad F. DISTR.LOG.INV: Devuelve el inverso de la distribucin logartmico-normal. DISTR.LOG.NORM: Devuelve la distribucin logartmico-normal acumula-

    tiva. DISTR.NORM.ESTAND.INV: Devuelve el inverso de la distribucin normal

    acumulativa estndar.

    DISTR.NORM.ESTAND: Devuelve la distribucin normal acumulativa es-tndar.

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    LICENCIATURA EN CC. ACTUARIALES Y FINANCIERAS 6

    DISTR.NORM.INV: Devuelve el inverso de la distribucin normal acumula-tiva.

    DISTR.NORM: Devuelve la distribucin normal acumulativa. DISTR.T.INV: Devuelve el inverso de la distribucin t de Student. DISTR.T: Devuelve la distribucin t de Student.

    DISTR.WEIBULL: Devuelve la distribucin Weibull. NEGBINOMDIST: Devuelve la distribucin binomial negativa. POISSON: Devuelve la distribucin de Poisson.

    1.6 Otras funciones de intersABS

    Devuelve el valor absoluto de un nmero. El valor absoluto de un nmero es elnmero sin su signo.

    ABS(nmero)

    Nmeroes el nmero real cuyo valor absoluto desea obtener.

    COINCIDIR

    Devuelve la posicin relativa de un elemento en una matriz que coincida con unvalor especificado en un orden especificado. Utilice COINCIDIR en lugar de las funcio-nes BUSCAR cuando necesite conocer la posicin de un elemento en un rango en lugardel elemento en s.

    COINCIDIR(valor_buscado;matriz_buscada;tipo_de_coincidencia)

    COCIENTE

    Devuelve la parte entera de una divisin. Use esta funcin cuando desee des-

    cartar el residuo de una divisin. Si esta funcin no est disponible, ejecute el progra-ma de instalacin e instale las Herramientas para anlisis. Para instalar este comple-mento, elija Complementosen el men Herramientasy seleccione la casilla correspon-diente.

    COCIENTE(numerador; denominador)

    Numerador es el dividendo. Denominador es el divisor.Observaciones Si uno de los argumentos no es un valor numrico, COCIENTE devuelve el valor

    de error #VALOR! COCIENTE(5; 2) es igual a 2 COCIENTE(4,5; 3,1) es igual a 1 COCIENTE(-10; 3) es igual a -3

    CONTAR.SI

    Cuenta las celdas, dentro del rango, que no estn en blanco y que cumplen conel criterio especificado.

    CONTAR.SI(rango; criterio)

    Rango es el rango dentro del cual desea contar el nmero de celdas que noestn en blanco.

    Criterio es el criterio en forma de nmero, expresin o texto, que determinalas celdas que se van a contar.

    ENTERO

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    Estadstica Actuarial I Introduccin a la simulacin con Excel

    LICENCIATURA EN CC. ACTUARIALES Y FINANCIERAS 7

    Devuelve un nmero hasta el entero inferior ms prximo.

    ENTERO(nmero)

    Nmero es el nmero real que desea redondear al entero inferior msprximo.

    FACT

    Devuelve el factorial de un nmero. El factorial de un nmero es igual a1*2*3*...* nmero.

    FACT(nmero)

    Nmero es el nmero no negativo cuyo factorial desea obtener. Si el argu-mento nmero no es un entero, se trunca.

    INDICE

    INDICE Devuelve el elemento del rango matriz que ocupa la posicin dadapor los ndices de nmero de fila y de columna.

    SintaxisINDICE(matriz; nm_fila; nm_columna)

    Matriz: es un rango de celdas o una matriz de constantes. Si matriz contiene slo una fila o columna, el argumento nm_fila o

    nm_columna que corresponde es opcional. Si matriz tiene ms de una fila y ms de una columna y slo utiliza nm_fila

    o nm_columna, INDICE devuelve una matriz con toda una fila o columna.

    Observaciones

    Si se utilizan ambos argumentos nm_fila y nm_columna, INDICE devuel-ve el valor en la celda de interseccin de los argumentos nm_fila ynm_columna.

    Si se define nm_fila o nm_columna como 0 (cero), INDICE devuelve lamatriz de valores de toda la columna o fila, respectivamente. Para utilizarvalores devueltos como una matriz, introduzca la funcin INDICE como unafrmula matricial en un rango horizontal de celdas para una fila y en unrango vertical de celdas para una columna. Para introducir una frmula ma-tricial, presione CTRL+MAYS+ENTRAR.

    Los argumentos nm_fila y nm_columna deben indicar una celda conteni-da en matriz; de lo contrario, INDICE devuelve el valor de error #REF!

    JERARQUIA

    JERARQUIADevuelve la jerarqua de un nmero dentro de una lista. Lajerarqua de un nmero es su posicin en la lista si sta se consideraraordenada de menor a mayor

    SintaxisJERARQUIA(nmero ; referencia ; orden)

    nmero: es el nmero cuya jerarqua desea conocer.

    referencia: es una matriz de o una referencia a una lista de nmeros. Losvalores no numricos se pasan por alto. orden: es un nmero que especifica cmo clasificar el argumento nmero.

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    LICENCIATURA EN CC. ACTUARIALES Y FINANCIERAS 8

    NOD

    Devuelve el valor de error #N/A, que significa "no hay ningn valor disponible".Utilice #N/A para marcar las celdas vacas. Si escribe #N/A en las celdas donde le faltainformacin, puede evitar el problema de la inclusin no intencionada de celdas vacasen los clculos. (Cuando una frmula hace referencia a una celda que contiene #N/A,

    la frmula devuelve el valor de error #N/A.)NOD( )

    Debe incluir parntesis vacos con el nombre de la funcin. De lo contrario nose reconocer como funcin.

    Tambin puede escribir el valor #N/A directamente en la celda. La funcin NODse proporciona por compatibilidad con otros programas para hojas de clculo.

    PRODUCTO

    Multiplica todos los nmeros que figuran como argumentos y devuelve el pro-ducto.

    PRODUCTO(nmero1;nmero2; ...) Nmero1; nmero2; ... son entre 1 y 30 nmeros que desea multiplicar.

    Los argumentos que son nmeros, valores lgicos o representaciones textualesde nmeros se toman en cuenta; los argumentos que son valores de error otexto que no se puede convertir en nmeros causan errores.

    Si un argumento es una matriz o una referencia, slo se tomarn en cuenta losnmeros de la matriz o de la referencia. Se pasan por alto las celdas vacas, va-lores lgicos, texto o valores de error en la matriz o en la referencia.

    REDONDEA.PARREDONDEA.IMPAR

    Devuelve un nmero redondeado hasta el nmero entero par (impar) msprximo. Esta funcin puede usarse para procesar artculos que vienen en pares.

    REDONDEA.PAR(nmero)

    Nmero es el valor que desea redondear.

    Si el argumento nmero es un valor no numrico, REDONDEA.PAR devuelve elvalor de error #VALOR!

    Cuando un valor se ajusta alejndose de cero, se redondear hacia arriba, in-dependientemente del signo del nmero. Si el argumento nmero es un enteropar, no se redondea.

    REDONDEAR

    Redondea un nmero al nmero de decimales especificado.

    REDONDEAR(nmero;nm_de_decimales)

    Nmero es el nmero que desea redondear. Nm_de_decimales especifica el nmero de dgitos al que desea redondear

    el argumento nmero. Si el argumento nm_de_decimales es mayor que 0 (cero), nmero se redon-

    dear al nmero de lugares decimales especificado. Si el argumento nm_de_decimales es 0, nmero se redondear al entero ms

    prximo. Si el argumento nm_de_decimales es menor que 0, nmero se redondearhacia la izquierda del separador decimal.

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    Estadstica Actuarial I Introduccin a la simulacin con Excel

    LICENCIATURA EN CC. ACTUARIALES Y FINANCIERAS 9

    REDONDEAR(2,15; 1) es igual a 2,2 REDONDEAR(2,149; 1) es igual a 2,1 REDONDEAR(-1,475; 2) es igual a -1,48 REDONDEAR(21,5; -1) es igual a 20

    REDONDEAR.MAS

    Redondea un nmero hacia arriba, en direccin contraria a cero.

    REDONDEAR.MAS(nmero;nm_decimales)

    Nmero es cualquier nmero real que desee redondear. Nm_decimales es el nmero de decimales al cual desea redondear el n-

    mero. La funcin REDONDEAR.MAS es similar a la funcin REDONDEAR, excepto que

    siempre redondea al nmero superior ms prximo, alejndolo de cero. Si el argumento nm_decimales es mayor que 0 (cero), el nmero se redondea

    al valor superior (inferior para los nmeros negativos) ms prximo que con-tenga el nmero de lugares decimales especificado.

    Si el argumento nm_decimales es 0 o se omite, el nmero se redondea al en-tero superior (inferior si es negativo) ms prximo.

    Si el argumento nm_decimales es menor que 0, el nmero se redondea al va-lor superior (inferior si es negativo) ms prximo a partir de la izquierda de lacoma decimal.

    REDONDEAR.MAS(3,2;0) es igual a 4

    REDONDEAR.MAS(76,9;0) es igual a 77

    RESIDUODevuelve el residuo o resto de la divisin entre nmero y nm_divisor. El resul-tado tiene el mismo signo que nm_divisor.

    RESIDUO(nmero;nm_divisor)

    Nmero es el nmero que desea dividir y cuyo residuo o resto desea obte-ner.

    Nm_divisor es el nmero por el cual desea dividir nmero. Si nm_divisores 0, RESIDUO devuelve el valor de error #DIV/0!

    La funcin RESIDUO se puede expresar utilizando la funcin ENTERO: RESIDUO(n;d) = n - d*ENTERO(n/d)

    RESIDUO(3; 2) es igual a 1 RESIDUO(-3; 2) es igual a 1 RESIDUO(3; -2) es igual a -1 RESIDUO(-3; -2) es igual a -1

    SUBTOTALES

    Devuelve un subtotal en una lista o base de datos. Generalmente es ms fcilcrear una lista con subtotales utilizando el comando Subtotales del men Datos. Unavez creada la lista de subtotales, puede cambiarse modificando la frmula SUBTOTA-LES.

    SUBTOTALES(nm_funcin;ref1)

    Nm_funcin es un nmero de 1 a 11 que indica qu funcin debe ser utili-zada para calcular los subtotales dentro de una lista.

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    LICENCIATURA EN CC. ACTUARIALES Y FINANCIERAS 10

    Ref1 es el rango o referencia para el cual desea calcular los subtotales.

    Nm_funcin Funcin1 PROMEDIO2 CONTAR

    3 CONTARA4 MAX5 MIN6 PRODUCTO7 DESVEST8 DESVESTP9 SUMA10 VAR11 VARP

    Si hay otros subtotales dentro de ref1 (o subtotales anidados), estos subtotalesanidados se pasarn por alto para no repetir los clculos.

    La funcin SUBTOTALES pasa por alto las filas ocultas. Esto es importantecuando slo desea obtener el subtotal de los datos visibles que resulta de una

    lista filtrada.

    SUMA

    Suma todos los nmeros de un rango.

    SUMA(nmero1;nmero2; ...)

    Nmero1; nmero2; .. son entre 1 y 30 nmeros cuya suma desea obtener.

    Se toman en cuenta nmeros, valores lgicos y representaciones de nmerosque escriba directamente en la lista de argumentos. Consulte los dos primerosejemplos.

    Si un argumento es una matriz o una referencia, solamente se contarn losnmeros de esa matriz o referencia. Se pasan por alto las celdas vacas, valoreslgicos, texto o valores de error en esa matriz o referencia.

    Los argumentos que sean valores de error o texto que no se pueda traducir anmeros causarn errores.

    SUMA.CUADRADOS

    Devuelve la suma de los cuadrados de los argumentos.

    SUMA.CUADRADOS(nmero1;nmero2; ...)

    Nmero1; nmero2; ... son de 1 a 30 argumentos para los cuales deseaobtener la suma de sus cuadrados. Tambin puede usar una sola matriz ouna referencia a una matriz en lugar de argumentos separados con punto ycoma.

    SIGNO

    Devuelve el signo de un nmero. Devuelve 1 si el argumento nmero es positi-vo, 0 si el argumento nmero es 0 y -1 si el argumento nmero es negativo.

    SIGNO(nmero)

    Nmero es un nmero real cuyo signo desea saber.

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    Estadstica Actuarial I Introduccin a la simulacin con Excel

    LICENCIATURA EN CC. ACTUARIALES Y FINANCIERAS 12

    2 Nmeros aleatorios.

    2.1 Procedimientos relacionadosExcel cuenta con dos procedimientos para obtener nmeros aleatorios distribui-

    dos segn una forma determinada:

    a) Recurriendo al complemento de Anlisis de Datos.b) Utilizando la funcin ALEATORIO().

    2.2 Herramienta Excel para la generacin de nmeros aleatoriosExcel proporciona un conjunto de herramientas para

    el anlisis de los datos denominado Anlisis de Datosquepodr utilizar para ahorrar pasos en el desarrollo de anlisisestadsticos. Cuando utilice una de estas herramientas, de-ber proporcionar los datos y parmetros para cada anlisis;la herramienta utilizar las funciones de macros estadsticaso tcnicas correspondientes y, a continuacin, mostrar losresultados en una tabla de resultados. Algunas herramientasgeneran grficos adems de tablas de resultados.

    Para ver una lista de las herramientas de anlisis, eli-ja Anlisis de datos en el men Herramientas. Si este co-mando no est en el men, ejecute el programa de instala-cin para instalar las Herramientas para anlisis de la formasiguiente :

    Activar las Herramientas para anlisis

    a) En el men Herramientas, elija Macros au-tomticas. Si en la lista del cuadro de dilogoMacros automticas no aparece Herramientaspara anlisis, haga clic en el botn "Examinar"

    y busque la unidad, directorio yarchivo de la macro automticaHerramientas para anlisis, o bienejecute el programa de instalacin.

    b) Seleccione la casilla de verificacin"Herramientas para anlisis".

    Las macros automticas que instaleen Microsoft Excel permanecernactivas hasta que las quite.

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    Estadstica Actuarial I Introduccin a la simulacin con Excel

    LICENCIATURA EN CC. ACTUARIALES Y FINANCIERAS 13

    Plantilla general

    Distribuciones

    Semilla

    Nmero de variables Introduzca el nmero de columnas de valores que deseeincluir en la tabla de resultados. Si no introduce ningn nmero, Microsoft Excelrellenar todas las columnas del rango de salida que se haya especificado.

    Cantidad de nmeros aleatorios Introduzca el nmero de puntos de datos quedesee ver. Cada punto de datos aparecer en una fila de la tabla de resultados.

    Si no introduce ningn nmero, Microsoft Excel rellenar todas las columnas delrango de salida que se haya especificado. Distribucin Haga clic en el mtodo de distribucin que desee utilizar para crear

    las valores aleatorios. UniformeCaracterizado por los lmites inferior y superior. Se extraen las va-

    riables con probabilidades iguales de todos los valores del rango.

    NormalCaracterizado por una media y una desviacin estndar.

    BernoulliCaracterizado por la probabilidad de xito (valor p) en un ensayodado. La variables aleatorias de Bernoulli tienen el valor 0 o 1.

    BinomialCaracterizado por una probabilidad de xito (valor p) durante unnmero de pruebas.

    PoissonCaracterizado por un valor lambda, igual a 1/media. Frecuencia relativaCaracterizado por un lmite inferior y superior, un incre-

    mento, un porcentaje de repeticin para valores y un ritmo de repeticin de lasecuencia.

    DiscretaCaracterizado por un valor y el rango de probabilidades asociado. Elrango debe contener dos columnas. La columna izquierda deber contener va-lores y la derecha probabilidades asociadas con el valor de esa fila. La suma delas probabilidades deber ser 1.

    Parmetros Introduzca un valor o valores para caracterizar la distribu-cin seleccionada.

    Iniciar con Escriba un valor opcional a partir del cual se generarn n-meros aleatorios. Podr volver a utilizar este valor para generar losmismos nmeros aleatorios ms adelante.

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    UNIFORME

    Genera muestras de una distribucin U[A;B]

    NORMAL

    Genera muestras de una distribucin N[;]

    ASemilla

    B

    Parmetros

    7,44512,850

    8,80011,01511,234

    7,1137,882

    11,29511,100

    9,98810,877

    8,320

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    BERNOULII

    Genera muestras de una distribucin de Bernoulli(p)

    BINOMIAL

    Genera muestras de una distribucin de B(n,p)

    101001100

    101

    Parmetros

    243024212227232723262719

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    POISSON

    Genera muestras de una distribucin de Poisson()

    FRECUENCIA RELATIVA

    En realidad genera series o secuencias de nmeros

    121410

    81112

    91313

    61012

    1122334455

    66778899

    1010

    11

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    DISCRETA

    Genera nmeros dada una distribucin de frecuencias relativas

    0 0,18751 0,12502 0,31253 0,3750

    031

    330

    033

    23

    1

    2.3 Generacin de nmeros aleatorios mediante frmulas.

    Excel cuenta con dos funciones para la generacin de nmeros de una distribu-cin Uniforme: ALEATORIO() segn una U[0;1]; ALEATORIO.ENTRE(a;b): segn unaU[a;b] discreta. Estas funciones son voltiles de manera que se recalcularan cada vez (sila opcin de clculo est puesta en automtico).

    ALEATORIODevuelve un nmero aleatorio mayor o igual que 0 y menorque 1, distribuido uniformemente. Cada vez que se calcula la hoja de clcu-lo, se devuelve un nmero aleatorio nuevo.

    Su sintaxis es:ALEATORIO( )

    ALEATORIO.ENTRE Devuelve un nmero aleatorio entre los nmeros queespecifique. Devuelve un nuevo nmero aleatorio cada vez que se calcula lahoja de clculo. Si esta funcin no est disponible, ejecute el programa deinstalacin e instale las Herramientas para anlisis. Para instalar este com-plemento, elija Complementosen el men Herramientasy active la ca-silla correspondiente.

    Su sintaxis es

    ALEATORIO.ENTRE(inferior; superior)

    Inferior es el menor nmero entero que la funcin ALEATORIO.ENTREpuede devolver.

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    Superior es el mayor nmero entero que la funcin ALEATORIO.ENTREpuede devolver.

    A pesar de contar nicamente con funciones para generar nmeros distribuidosde forma uniforme podemos gracias a stas, generar prcticamente cualquier distribu-cin utilizando bien algoritmos descritos en la literatura, bien las funciones inversas

    cuando stas estn implementadas en Excel.A continuacin se presenta este procedimiento para algunas de las funciones

    ms comunes, siendo U = Aleatorio():

    DISCRETAS

    Binomial (n, p) =BINOM.CRIT(n; p; U)Poisson () =BINOM.CRIT(/0,001;0,001;U)

    Uniforme (a,b) =ALEATORIO.ENTRE(a; b)Geomtrica (p) =REDONDEAR.MENOS(LN(U)/LN(1-p);0)

    BinomNegativa(n,p) =BINOM.CRIT(DISTR.GAMMA.INV(U; n;(1-p)/p)/;;U)

    CONTINUAS

    Beta (,) =DISTR.BETA.INV(U; ; ; a , b )Exponencial() =(1/) * -LOG(U)

    Gamma(,) =DISTR.GAMMA.INV(U; ; )LogNormal(,) =DISTR.LOG.INV(U; ; )

    Normal(,) = + *(RAIZ(-2*LOG(U))*SENO(2*PI()*U))Pareto(,) =*(U^(-1/))

    Uniforme (a,b) = + ()U

    OTRAS2GL PRUEBA.CHI.INV(U;GL)

    F(GL1;GL2) DISTR.F.INV(U;GL1;GL2)c + (a+U*(b-a)-c)*MAX(U;U)Triangular (a,b,c) c + (a+U*(b-a)-c)*RAIZ(U)

    TGL DISTR.T.INV(U;GL)*SIGNO(U-0,5)

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    3 Distribucin de frecuencias.

    3.1 Procedimientos relacionadosExcel cuenta con dos procedimientos para obtener la distribucin de frecuencias

    de una variable:

    a) Recurrir al complemento de Anlisis de Datos (HISTOGRAMA).

    b) Utilizar la funcin FRECUENCIA.

    3.2 Anlisis de Datos: Histograma

    Obtiene la distribucin de frecuencias de un conjunto de datos. Dibuja un his-tograma y el diagrama de Pareto.

    Rango clases (opcional) Introduzca la referencia de celda para un rango que con-tenga un conjunto opcional de valores lmite que definan rangos de clase. Estos va-lores debern estar en orden ascendente. Microsoft Excel contar el nmero depuntos de datos que hay entre el nmero de clases actual y el nmero de clasesmayor, si lo hay.

    Se contar un nmero de una clase determinada si es igual o menor que elnmero de clase situado por debajo de la ltima clase. Todos los valores pordebajo del primer valor de clase se contarn juntos, como los valores por enci-ma del ltimo valor de clase.

    Si omite el rango de clase, Excel crear un conjunto de clases distribuidas uni-formemente entre los valores mnimo y mximo de los datos.

    Pareto (Histograma ordenado) Active esta casilla para presentar los datos enorden de frecuencia descendente en la tabla de resultados. Si esta casilla estdesactivada, Excel presentar los datos en orden ascendente y omitir las trescolumnas situadas ms a la derecha que contienen los datos ordenados.

    Porcentaje acumulado Active esta casilla para generar una columna de tabla deresultados con porcentajes acumulados y para incluir una lnea de porcentajeacumulado en el grfico de histograma. Desactvela para omitir los porcentajesacumulados.

    Crear grfico Active esta casilla para generar un grfico de histograma incrus-tado con la tabla de resultados.

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    RESULTADO

    Clase Frecuencia % acumulado Clase Frecuencia % acumulado8 8 5 1 1 5 6,41% 3 13 16,67%3 2 2 2 2 8 16,67% 6 9 28,21%6 4 5 3 3 13 33,33% 10 9 39,74%

    9 3 10 4 4 7 42,31% 2 8 50,00%6 2 10 5 5 7 51,28% 7 8 60,26%10 6 10 6 6 9 62,82% 4 7 69,23%2 6 9 7 7 8 73,08% 5 7 78,21%7 5 5 8 8 7 82,05% 8 7 87,18%6 1 5 9 9 5 88,46% 1 5 93,59%5 2 2 10 10 9 100,00% 9 5 100,00%9 7 6 y mayor... 0 100,00%

    9 7 74 3 93 7 31 2 42 5 27 7 8

    8 5 18 2 12 2 15 3 45 6 3

    10 5 82 4 64 5 4

    10 10 10

    0

    2

    4

    6

    8

    10

    12

    14

    3 610 2 7 4 5 8 1 9

    ,00%

    20,00%

    40,00%

    60,00%

    80,00%

    100,00%

    120,00%

    3.3 La funcin FRECUENCIALa funcin de Excel para la obtencin de las distribucin de frecuencias es:

    FRECUENCIA: Devuelve una distribucin de frecuencia como una matrizvertical

    Su sintaxis esFRECUENCIA(datos; grupos )

    Datos: es una matriz de un conjunto e valores o una referencia a un con-junto de valores cuyas frecuencias desea contar. Si datos no contiene nin-

    gn valor, FRECUENCIA devuelve una matriz de ceros. Grupos: es una matriz de intervalos o una referencia a intervalos dentro de

    los cuales desea agrupar los valores del argumento datos. Si grupos no con-tiene ningn valor, FRECUENCIA devuelve el nmero de elementos conteni-do en datos.

    Observaciones

    FRECUENCIA se introduce como una frmula matricialdespus de selec-cionar un rango de celdas adyacentes en las que se desea que aparezca elresultado de la distribucin.

    El nmero de elementos de la matriz devuelta supera en una unidad el n-mero de elementos de grupos. El elemento adicional de la matriz devueltadevuelve la suma de todos los valores superiores al mayor intervalo.

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    La funcin FRECUENCIA pasa por alto celdas en blanco y texto.

    Una observacin se cuenta como perteneciente al intervalo cuya marca de clase es Ci si se verifica que: ii1i CxC

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    3.4.2 Copiar la siguiente frmula descrita anteriormente:=500+200*(RAIZ(-2*LOG(ALEATORIO()))*SENO(2*PI()*ALEATORIO()))

    ( ) [ ]1;0UU2sen)U(Ln2 U y utilizarla para generar 1000 valores de una variable aleatoria N(500;200). Una

    vez obtenidos los valores,a) Construir la tabla de su distribucin de frecuencias,b) Realizar un histograma de los valores,c) Aproximar su funcin de densidad mediante un polgono de frecuencias.

    ni fi Ni FiA 0 25 50 2 0,0004 2 0,0004 A MIN/MAX

    50 75 100 6 0,0012 8 0,0016 B Redondeo a enteros100 125 150 14 0,0029 22 0,0045 C Redondeo a mltiplos de 10150 175 200 44 0,0091 66 0,0136 A B C200 225 250 79 0,0163 145 0,0298 Min 12,6 12,0 0,0250 275 300 182 0,0375 327 0,0673 Max 984,8 985,0 990,0300 325 350 299 0,0615 626 0,1288

    350 375 400 459 0,0945 1085 0,2233400 425 450 597 0,1229 1682 0,3462 Ran o450 475 500 745 0,1533 2427 0,4995 A MIN(B:B)500 525 550 731 0,1504 3158 0,6499 B REDONDEAR.MENOS(MIN(B:B);0)550 575 600 597 0,1229 3755 0,7728 C REDOND.MULT(MAX(0;MIN(B:B)-10);10)600 625 650 485 0,0998 4240 0,8726650 675 700 308 0,0634 4548 0,9360Intervalos700 725 750 144 0,0296 4692 0,9656 70 REDONDEAR.MAS(RAIZ(CONTAR(B:B));0)750 775 800 108 0,0222 4800 0,9879 70 ENTERO(RAIZ(CONTAR(B:B)))+1800 825 850 39 0,0080 4839 0,9959850 875 900 15 0,0031 4854 0,9990900 925 950 4 0,0008 4858 0,9998

    B 950 975 1000 1 0,0002 4859 1,00001000 4859 1

    4859

    Ci

    0,00

    0,02

    0,04

    0,06

    0,08

    0,10

    0,12

    0,14

    0,16

    0,18

    25

    125

    225

    325

    425

    525

    625

    725

    825

    925

    0

    100

    200

    300

    400

    500

    600

    700

    800

    25

    75

    125

    175

    225

    275

    325

    375

    425

    475

    525

    575

    625

    675

    725

    775

    825

    875

    925

    975

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    4 Medidas de tendencia central, variacin y forma.

    4.1 Procedimientos relacionadosExcel cuenta con dos procedimientos para obtener la descripcin mediante es-

    tadsticos de una muestra o una poblacin:

    a) Recurrir al complemento de Anlisis de Datos(Estadstica Descriptiva).

    b) Utilizar las funciones relacionadas expuestas en los apartados 4.3,4.4 y 4.5

    4.2 Anlisis de Datos Estadstica descriptivaCalcula los estadsticos bsicos de un conjunto de datos, para una o varias va-

    riables.

    Nivel de confianza para la media Active esta casilla si desea incluir una fila co-rrespondiente al nivel de confianza de la media en la tabla de resultados. En elcuadro, escriba el nivel de confianza que desee utilizar. Por ejemplo, un valor

    de 95 % calcular el nivel de confianza de la media con un nivel de importanciadel 5 %.

    K-simo mayor. Active esta casilla si desea incluir una fila correspondiente alvalor k-simo mayor de cada rango de datos en la tabla de resultados. En elcuadro, escriba el nmero que va a utilizarse para k. Si escribe 1, esta fila con-tendr el mximo del conjunto de datos.

    K-simo menor. Active esta casilla si desea incluir una fila correspondiente alvalor k-simo menor de cada rango de datos en la tabla de resultados. En elcuadro, escriba el nmero que va a utilizarse para k. Si escribe 1, esta fila con-tendr el mnimo del conjunto de datos.

    Resumen de estadsticas. Seleccione esta opcin si desea que Excel genere uncampo en la tabla de resultados por cada una de las siguientes variables esta-dsticas: Media, Error tpico (de la media), Mediana, Moda, Desviacinestndar, Varianza, Curtosis, Coeficiente de asimetra, Rango, Mni-mo, Mximo, Suma, Cuenta, Mayor(#), Menor (#)y Nivel de confian-za.

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    RESULTADO

    A B C A B C

    0,288 0,701 0,057 Media 0,50647 0,61875 0,470190,374 0,947 0,313 Error tpico 0,09055 0,08285 0,066530,850 0,164 0,594 Mediana 0,37794 0,69444 0,529260,334 0,659 0,521 Moda #N/A #N/A #N/A0,212 0,960 0,087 Desviacin estndar 0,35068 0,32087 0,257670,034 0,008 0,835 Varianza de la muestra 0,12298 0,10296 0,066390,068 0,938 0,529 Curtosis -1,61643 -0,73600 -1,003530,654 0,948 0,105 Coeficiente de asimetra -0,02602 -0,71760 -0,374200,780 0,638 0,585 Rango 0,97647 0,95174 0,777540,917 0,762 0,221 Mnimo 0,01485 0,00781 0,057230,775 0,143 0,783 Mximo 0,99133 0,95956 0,834770,378 0,497 0,484 Suma 7,59711 9,28131 7,052860,926 0,336 0,784 Cuenta 15 15 150,991 0,887 0,533 Mayor (1) 0,99133 0,95956 0,834770,015 0,694 0,623 Menor(1) 0,01485 0,00781 0,05723

    Nivel de confianza(95,0%) 0,19420 0,17769 0,14269

    4.3 Funciones para el clculo de la tendencia central.Media.

    PROMEDIO: Devuelve la media aritmtica de los argumentos. PROMEDIOA: Devuelve la media incluidos texto y valores lgicos. MEDIA.ACOTADA: Devuelve la media recortada de un conjunto de datos

    MEDIA.ACOTADA(matriz ; porcentaje)

    Matrizes la matriz o el rango de valores que desea acotar y de los cualesse calcular la media. Porcentajees el nmero fraccionario de puntos dedatos que se excluyen del clculo. Por ejemplo, si porcentaje = 0,2, se eli-minarn cuatro puntos de un conjunto de datos de 20 puntos (20 x 0,2),dos de la parte superior y dos de la parte inferior.

    MEDIA.ARMO: Devuelve la media armnica. MEDIA.GEOM: Devuelve la media geomtrica.

    Mediana.

    MEDIANA: Devuelve la mediana de los nmeros dados.Moda.

    MODA: Devuelve el valor ms frecuente en un conjunto de datos.

    4.4 Funciones para el clculo de la variacin.Rango medio.

    Usar MAX y MIN:RM = PROMEDIO(MAX(Datos)+MIN(Datos))

    Cuartiles. CUARTIL:

    CUARTIL(matriz ; cuartil)

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    LICENCIATURA EN CC. ACTUARIALES Y FINANCIERAS 25

    Matriz, es la matriz o rango de celdas de valores numricos cuyo cuartildesea obtener. Cuartil, indica el valor que se devolver, el cdigo es (0 =mnimo; 1 = primer cuartil; 2 = mediana; 3 = tercer cuartil;4 = mximo).

    PERCENTIL: Devuelve el percentil k-simo de los valores de un rango

    PERCENTIL(matriz ; k)

    Matrizes la matriz o rango de datos que define la posicin relativa. Kes elvalor de percentil en el intervalo de 0 a 1, inclusive.

    RANGO.PERCENTIL:Devuelve el % del los valores que son menores quecifra dentro de matriz

    RANGO.PERCENTIL(matriz;x;cifra_significativa)

    Matrizes la matriz o rango de datos con valores numricos que define laposicin relativa. X, es el valor cuyo rango percentil desea conocer. Ci-fra_significativaes un valor opcional que identifica el nmero de cifrassignificativas para el valor de porcentaje devuelto. Si se omite este argu-mento, RANGO.PERCENTIL utiliza tres dgitos.

    Rango intercuartlico. Usar cualquiera de las dos alternativas siguientes:

    PERCENTIL(RI = PERCENTIL(datos;0,75)-PERCENTIL(datos;0,25))CUARTIL(RI = CUARTIL(datos;3)- CUARTIL(datos;1)).

    Varianza y desviacin tpica. VAR(A): Calcula la (cuasi)varianza de una muestra. VARP(A): Calcula la varianza de la poblacin. DESVEST(A): Calcula la (cuasi) desviacin estndar de una muestra. DESVESTP(A): Calcula la desviacin estndar de la poblacin total.

    Coeficiente de variacin. Usar PROMEDIO y DESVEST

    4.5 Funciones para el clculo de la forma.Simetra

    COEFICIENTE.ASIMETRIA: Devuelve el sesgo de una distribucin

    Curtosis CURTOSIS: Devuelve el coeficiente de curtosis de un conjunto de datos

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    LICENCIATURA EN CC. ACTUARIALES Y FINANCIERAS 26

    5 Medidas de asociacin lineal

    5.1 Procedimientos relacionadosExcel cuenta con dos procedimientos para obtener medidas de la relacin lineal

    entre variables:a) Recurrir al complemento de Anlisis de Datos Covarianza.b) Utilizar las funciones relacionadas, expuestas en 5.3.

    5.2 Anlisis de Datos: CovarianzaCalcula la matriz de varianzas covarianzasde un conjunto de variables.

    Rango de entrada. Introduzca la referencia de celda correspondiente al rango

    de datos que desee analizar. La referencia deber contener dos o ms rangosadyacentes organizados en columnas o filas.

    Agrupado por. Haga clic en el botn Filas o Columnas para indicar si los datosdel rango de entrada estn organizados en filas o en columnas.

    Rtulos en la primera fila y rtulos en la primera columna. Si la primera fila delrango de entrada contiene rtulos, active la casilla de verificacin Rtulos en laprimera fila. Si los rtulos estn en la primera columna del rango de entrada,active la casilla de verificacin Rtulos en la primera columna. Esta casilla deverificacin estar desactivada si el rango de entrada carece de rtulos; Micro-soft Excel generar los rtulos de datos correspondientes para la tabla de resul-tados.

    Rango de salida. Introduzca la referencia correspondiente a la celda superiorizquierda de la tabla de resultados. Excel slo completar media tabla ya que lacovarianza entre dos rangos de datos es independiente del orden en que seprocesen dichos rangos. La diagonal de la tabla contiene la varianza de todoslos rangos.

    En una hoja nueva. Haga clic en esta opcin para insertar una hoja nueva en ellibro actual y pegar los resultados comenzando por la celda A1 de la nueva hojade clculo. Para darle un nombre a la nueva hoja de clculo, escrbalo en elcuadro.

    En un libro nuevo. Haga clic en esta opcin para crear un nuevo libro y pegarlos resultados en una hoja nueva del libro creado.

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    RESULTADO

    A B C A B C

    0,288 0,701 0,057 A 1,00000

    0,374 0,947 0,313 B-0,12794 1,000000,850 0,164 0,594 C 0,08240 -0,72442 1,00000

    0,334 0,659 0,521

    0,212 0,960 0,087 A B C0,034 0,008 0,835 A 0,114780,068 0,938 0,529 B-0,01344 0,096090,654 0,948 0,105 C 0,00695 -0,05590 0,06197

    0,780 0,638 0,5850,917 0,762 0,2210,775 0,143 0,7830,378 0,497 0,4840,926 0,336 0,7840,991 0,887 0,533

    0,015 0,694 0,623

    5.3 Funciones para el clculo del grado de asociacin lineal.

    Covarianza. COVARDevuelve la covarianza, o promedio de los productos de las des-

    viaciones para cada pareja de puntos de datos.

    COVAR(matriz1;matriz2)

    Matriz1es el primer rango de celdas de nmeros enteros. Matriz2es el segundo rango de celdas de nmeros enteros.

    Los argumentos deben ser nmeros o nombres, matrices o referencias quecontengan nmeros.

    Si el argumento matricial o de referencia contiene texto, valores lgicos oceldas vacas, estos valores se pasan por alto; sin embargo, se incluirn lasceldas con el valor cero.

    Si los argumentos matriz1 y matriz2 tienen nmeros distintos de puntos dedatos, COVAR devuelve el valor de error #N/A.

    Si los argumentos matriz1 o matriz2 estn vacos, COVAR devuelve el valorde error #DIV/0! .

    Coeficiente de correlacin.

    COEF.DE.CORREL Devuelve el coeficiente de correlacin entre dos rangosde celdas definidos por los argumentos matriz1 y matriz2. Use el coeficientede correlacin para determinar la relacin entre dos propiedades. Por ejem-plo, para examinar la relacin entre la temperatura promedio de una locali-dad y el uso de aire acondicionado.

    COEF.DE.CORREL(matriz1;matriz2)

    Matriz1 es un rango de celdas de valores. Matriz2 es un segundo rango de celdas de valores.

    Los argumentos deben ser nmeros, o bien nombres, matrices o referencias

    que contienen nmeros.

  • 8/12/2019 Esta d Actuarial

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    Estadstica Actuarial I Introduccin a la simulacin con Excel

    LICENCIATURA EN CC. ACTUARIALES Y FINANCIERAS 28

    Si el argumento matricial o de referencia contiene texto, valores lgicos oceldas vacas, estos valores se pasan por alto; sin embargo, se incluirn lasceldas con el valor cero.

    Si los argumentos matriz1 y matriz2 tienen un nmero diferente de puntosde datos, COEF.DE.CORREL devuelve el valor de error #N/A.

    Si el argumento matriz1 o matriz2 est vaco, o si s (la desviacin estndar

    de los valores) es igual a cero, COEF.DE.CORREL devuelve el valor de error#DIV/0!

  • 8/12/2019 Esta d Actuarial

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    Estadstica Actuarial I Introduccin a la simulacin con Excel

    LICENCIATURA EN CC. ACTUARIALES Y FINANCIERAS 29

    6 Variables aleatorias discretas.

    6.1 Binomial.Supongamos que un experimento aleatorio tiene las siguientes caractersticas:

    a) En cada prueba del experimento slo son posibles dos resultados: el suceso A(xito) y su contrario A (fracaso).

    b) El resultado obtenido en cada prueba es independiente de los resultados obte-nidos anteriormente.

    c) La probabilidad del suceso A es constante, la representamos por p, y no varade una prueba a otra. La probabilidad de es A 1-py la representamos por q.

    d) El experimento consta de un nmero n de pruebas.

    Todo experimento que tenga estas caractersticas diremos que sigue el modelode la distribucin Binomial. A la variable X que expresa el nmero de xitos obtenidosen cada prueba del experimento, la llamaremos variable aleatoria binomial. La variablebinomial es una variable aleatoria discreta, slo puede tomar los valores 0, 1, 2, 3, 4,

    ..., n suponiendo que se han realizado n pruebas. Como hay que considerar todas lasmaneras posibles de obtener k-xitos y (n-k) fracasos debemos calcular stas porcombinaciones.

    Una v.a. Binomial representa el nmero de xitos que ocurren en n repeticionesindependientes de un ensayo de Bernouilli cuya probabilidad de xito es p. As de dis-tribuyen con arreglo a esta distribucin, el nmero de piezas defectuosas en un lote detamao n (moderado) cuando cada pieza tiene una probabilidad p de ser defectuosa;el tamao de un conjunto si ste es aleatorio y no demasiado grande; el nmero deartculos demandados de un almacn, el nmero de encuestados que estn a favor dedeterminada cuestin, etc.

    La notacin habitual es XB(n,p).

    La funcin de cuanta es:

    X1X )p1(pXn

    )x(p

    =

    La funcin de distribucin es:

    =

    =

    X

    0i

    X1X )p1(pin

    )x(F

    La media y varianza son (respectivamente):

    )p1(np;np

    Propiedades.

    Si (X1,X2,..Xm) B(ni,p) entonces (X1+X2+..+Xm)B(n1+n2+..nm,p);

    Si XB(n,p) entonces la variable (n-X)B(n,1-p).

    La distribucin es simtrica slo si p=1/2.

    Generacin.

    Puesto que Excel cuenta con una funcin para la inversa de la funcin de distri-bucin, la generacin de variables aleatorias puede hacerse, bien a travs del mdulode Anlisis de datos, bien directamente por inversin utilizando la frmula siguiente:

    =BINOM.CRIT(n;p;ALEATORIO())

  • 8/12/2019 Esta d Actuarial

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    Estadstica Actuarial I Introduccin a la simulacin con Excel

    LICENCIATURA EN CC. ACTUARIALES Y FINANCIERAS 30

    Hoja de clculo.

    El fichero Binomial.xlses una plantilla para la generacin y anlisis de la distri-bucin Binomial en Excel as como para la estimacin de parmetros a partir de unamuestra aleatoria. Su aspecto es el siguiente:

    X Den n f1_s f3_s0 0,000000 0 0,000000 0,01 0,000000 0 0,000000 0,0 Ensa os n 122 0,000000 0 0,000000 0,0 30 273 0,000000 0 0,000000 0,04 0,000000 0 0,000000 0,0 Pr. xito (p) 675 0,000000 0 0,000000 0,0 0,676 0,000000 0 0,000000 0,0 A1:A3007 0,000001 0 0,000000 0,0 Muestra8 0,000006 0 0,000000 0,0 3009 0,000030 0 0,000000 0,010 0,000128 0 0,000000 0,011 0,000474 0 0,000000 0,112 0,001525 1 0,003333 0,5 Tericos Muestra

    13 0,004286 0 0,000000 1,3 Mnimo 12 1214 0,010566 7 0,023333 3,2 Media 20,10 20,0215 0,022882 9 0,030000 6,9 Moda 2016 0,043554 20 0,066667 13,1 Mximo 27 2817 0,072822 18 0,060000 21,8 Varianza 6,6 7,918 0,106781 31 0,103333 32,019 0,136925 36 0,120000 41,120 0,152900 53 0,176667 45,9 2 22,490121 0,147826 38 0,126667 44,3 GL 1622 0,122781 28 0,093333 36,8 .valor 0,095623 0,086707 23 0,076667 26,024 0,051345 20 0,066667 15,425 0,025019 9 0,030000 7,526 0,009769 6 0,020000 2,9

    BINOM.CRIT(n;p;ALEATORIO())

    BINOMIAL(n,p)

    Estadsticos

    Bondad del generador

    Algoritmo de generacin0,00

    0,02

    0,04

    0,06

    0,08

    0,10

    0,12

    0,14

    0,16

    0,18

    0,20

    12

    13

    14

    15

    16

    17

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    20

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    22

    23

    24

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    27

    6.2 PoissonUna v.a. de Poisson es en realidad una v.a. Binomial llevada al lmite, es decir

    cuando n(aunque basta con que sea suficientemente grande) y p0 (aunque bas-ta con que sea muy pequeo).

    En general un suceso "raro" puede ser perfectamente modelizado por un v.a.de Poisson, ejemplos tpicos son el nmero de remaches defectuosos en un avin(porque un avin puede llegar a tener varios millones de ellos y al ser un mecanismotan simple es realmente difcil que sea defectuoso); el nmero de erratas en un libro(que contiene un gran nmero de palabras que difcilmente estn mal escritas) el n-mero de llegadas a un servicio si la distribucin entre los tiempos es exponencial, el

    nmero de accidentes laborales en un mes en una gran empresa, el nmero de perso-nas que entran en un supermercado en un minuto, etc.

    La notacin habitual es XPoisson(). El nico parmetro debe ser positivo >0.

    La funcin de cuanta es:

    !xe

    )x(pX

    =

    La funcin de distribucin es:

    =

    =

    =Xi

    0i !i

    ie)x(F

    La media y varianza coinciden en el nico parmetro .

    http://binomial.xls/http://binomial.xls/
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    Estadstica Actuarial I Introduccin a la simulacin con Excel

    LICENCIATURA EN CC. ACTUARIALES Y FINANCIERAS 31

    Propiedades.

    Si (X1,X2,..Xm) Poisson(i) entonces (X1+X2+..+Xm)Poisson(1+2+..m).

    Si XB(n,p) entonces la variable (n-X)B(n,1-p).

    Generacin.

    Excel cuenta con una funcin para la distribucin y densidad de Poisson, cuentatambin con la posibilidad de obtener muestras aleatorias as distribuidas (Herramien-tas + Anlisis de Datos + Generacin de nmeros aleatorios). En cualquier caso esposible obtener nmeros que se distribuyan segn una Poisson aleatorios utilizando lafrmula siguiente:

    =BINOM.CRIT(/0,001;0,001;ALEATORIO())Caracterizacin.

    El parmetro pueden ser estimado fcilmente de la forma siguiente:

    )(

    nx=

    El fichero Poisson.xlses una plantilla para la generacin y anlisis de esta dis-tribucin:

    X Den n f1_s f3_s0 0,001008 0 0,0000 0,91 0,006954 7 0,0075 6,5 02 0,023990 22 0,0237 22,3 6,90 138 173 0,055178 51 0,0548 51,34 0,095182 75 0,0806 88,55 0,131351 113 0,1215 122,2 Muestra6 0,151053 168 0,1806 140,5 930 A1:A9307 0,148895 123 0,1323 138,58 0,128422 107 0,1151 119,4

    9 0,098457 105 0,1129 91,610 0,067935 74 0,0796 63,211 0,042614 34 0,0366 39,612 0,024503 27 0,0290 22,8 Tericos Muestra13 0,013005 11 0,0118 12,1 Mnimo 0 114 0,006410 11 0,0118 6,0 Media () 6,90 6,9915 0,002949 2 0,0022 2,7 Moda 616 0,001272 0 0,0000 1,2 Mximo 17 15

    #N/A 0 0,0000 #N/A Varianza () 6,9 6,88#N/A 0 0,0000 #N/A#N/A 0 0,0000 #N/A#N/A 0 0,0000 #N/A 2 23,2976#N/A 0 0,0000 #N/A GL 17#N/A 0 0,0000 #N/A .valor 0,1060

    BINOM.CRIT($J$6/0,001;0,001;ALEATORIO())Al oritmo de eneracin

    POISSON()

    Bondad del generador

    Estadsticos

    0,00

    0,02

    0,04

    0,06

    0,08

    0,10

    0,12

    0,14

    0,16

    0,18

    0,20

    0 1 2 3 4 5 6 7 8 910

    11

    12

    13

    14

    15

    16

    6.3 Uniforme (Discreta)Esta v.a. es el equivalente discreto de la de mismo nombre dentro de las distri-

    buciones continuas. Se utiliza cuando un conjunto de posibles resultados es igualmenteprobable, la cantidad de caras con un determinado nmero al lanzar un dado, la pro-babilidad de cada nmero en un sorteo legal, etc.

    La notacin habitual es XUD(a,b).

    http://poisson.xls/http://poisson.xls/
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    Estadstica Actuarial I Introduccin a la simulacin con Excel

    LICENCIATURA EN CC. ACTUARIALES Y FINANCIERAS 32

    La funcin de cuanta es:

    1

    1)(

    +=

    baxp

    La funcin de distribucin es:

    11)(

    ++=

    baaXxF

    La media y varianza son:

    12

    1)1(;

    2

    2 ++ baba

    Excel cuenta con una funcin directa para generar muestras aleatorias as distribuidas

    =ALEATORIO.ENTRE(a;b)

    Caracterizacin.

    Los parmetros pueden ser estimados fcilmente de la forma siguiente:

    { } { }(n) (n) min X ; max X= =a b

    Hoja de clculo.

    El fichero UniDisc.xlses una plantilla para la generacin y anlisis de esta dis-tribucin:

    X Den n f1_s f3_s1 0,045455 12 0,040000 13,62 0,045455 15 0,050000 13,6 Mnimo (a) 13 0,045455 14 0,046667 13,6 1 22

    4 0,045455 15 0,050000 13,65 0,045455 13 0,043333 13,6 Mximo (b) 226 0,045455 13 0,043333 13,6 227 0,045455 9 0,030000 13,6 A1:A3008 0,045455 11 0,036667 13,6 Muestra9 0,045455 12 0,040000 13,6 30010 0,045455 13 0,043333 13,611 0,045455 11 0,036667 13,612 0,045455 13 0,043333 13,613 0,045455 15 0,050000 13,6 Tericos Muestra14 0,045455 15 0,050000 13,6 Mnimo 1 115 0,045455 20 0,066667 13,6 Media 11,50 11,8416 0,045455 14 0,046667 13,6 Moda17 0,045455 11 0,036667 13,6 Mximo 22 2218 0,045455 12 0,040000 13,6 Varianza 36,8 41,519 0,045455 13 0,043333 13,620 0,045455 21 0,070000 13,621 0,045455 15 0,050000 13,6 2 11,520022 0,045455 13 0,043333 13,6 GL 2123 0,045455 0 0,000000 13,6 p.valor 0,951724 0,045455 0 0,000000 13,625 0,045455 0 0,000000 13,626 0,045455 0 0,000000 13,627 0,045455 0 0,000000 13,628 0,045455 0 0,000000 13,629 0,045455 0 0,000000 13,630 0,045455 0 0,000000 13,631 0,045455 0 0,000000 13,6

    ALEATORIO.ENTRE(a;b)

    UNIFORME DISCRETA(a,b)

    Estadsticos

    Bondad del generador

    Algoritmo de generacin

    0,00

    0,01

    0,02

    0,03

    0,04

    0,05

    0,06

    0,07

    0,08

    1 2 3 4 5 6 7 8 910

    11

    12

    13

    14

    15

    16

    17

    18

    19

    20

    21

    22

    http://unidisc.xls/http://unidisc.xls/
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    Estadstica Actuarial I Introduccin a la simulacin con Excel

    LICENCIATURA EN CC. ACTUARIALES Y FINANCIERAS 33

    6.4 GeomtricaUna v.a. Geomtrica representa el nmero de fracasos que ocurren hasta obte-

    ner el primer xito en la realizacin de ensayos de Bernouilli con probabilidad p de xi-to. As, el nmero de artculos examinados de un lote hasta que aparece el primer de-fectuoso, el nmero de candidatos a entrevistar cuando se quiere encontrar una per-

    sona idnea para un puesto de trabajo, el nmero de melones que un cliente exigentemanosea antes de conseguir aqul que satisface sus criterios, etc.

    La notacin habitual es XGeom(p) o, a veces, G(p).

    La funcin de cuanta es:

    Xppxp )1()( =

    La funcin de distribucin es:

    1)1(1)( += xpxF

    La media y varianza son respectivamente.

    2 )1(;)1( pp

    pp

    Propiedades.

    Se trata de una particularizacin de la binomial negativa, es decir, se ve-rifica que BN(1,p) Geom(p). Si (X1,X2,..Xm)G(p) entonces (X1+X2+ ..+Xm)BN(m,p).

    Es el equivalente discreto de la Exponencial en el sentido de que es lanica distribucin discreta que "no guarda memoria" ya que el nmerode fallos ocurridos hasta un instante dado no modifica la probabilidad deque el prximo intento sea un xito.

    Generacin.Excel no cuenta con una funcin para la distribucin y densidad de la distribu-

    cin Geomtrica, sin embargo es fcil generar muestras aleatorias por inversin de lafuncin de Distribucin utilizando la frmula siguiente

    =REDONDEAR.MENOS(LN(ALEATORIO())/LN(1-p);0)

    Caracterizacin.

    Se verifica que:

    1X

    1p

    )n( +

    =

    Hoja de clculo.

    El fichero Geometrica.xlses una plantilla para la generacin y anlisis de estadistribucin:

    http://geometrica.xls/http://geometrica.xls/
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    LICENCIATURA EN CC. ACTUARIALES Y FINANCIERAS 34

    X Den n f1_s f3_s0 0,310000 114 0,3800 93,0 Probabilidad (p) 01 0,213900 42 0,1400 64,2 0,31 31 182 0,147591 46 0,1533 44,33 0,101838 34 0,1133 30,64 0,070268 15 0,0500 21,15 0,048485 13 0,0433 14,5 Muestra6 0,033455 11 0,0367 10,0 300 A1:A3007 0,023084 1 0,0033 6,98 0,015928 6 0,0200 4,89 0,010990 5 0,0167 3,310 0,007583 4 0,0133 2,311 0,005232 6 0,0200 1,612 0,003610 2 0,0067 1,1 Tericos Muestra13 0,002491 0 0,0000 0,7 Mnimo 0 014 0,001719 1 0,0033 0,5 Media 2,23 2,2415 0,001186 0 0,0000 0,4 Moda 0 016 0,000818 0 0,0000 0,2 Mximo 0 1417 0,000565 0 0,0000 0,2 Varianza 7,18 8,1618 0,000390 0 0,0000 0,119 0,000269 0 0,0000 0,120 0,000185 0 0,0000 0,1 2 37,8075

    21 0,000128 0 0,0000 0,0 GL 122 0,000088 0 0,0000 0,0 p.valor 0,004123 0,000061 0 0,0000 0,024 0,000042 0 0,0000 0,025 0,000029 0 0,0000 0,026 0,000020 0 0,0000 0,0

    REDONDEAR.MENOS(LN(aleatorio())/LN(1-p);0)

    GEOMTRICA(p)

    Estadsticos

    Bondad del enerador

    Algoritmo de generacin0,00

    0,05

    0,10

    0,15

    0,20

    0,25

    0,30

    0,35

    0,40

    0 1 2 3 4 5 6 7 8 910

    11

    12

    13

    14

    15

    16

    17

    18

    6.5 Binomial Negativa

    Una v.a. Binomial negativa representa el nmero de fracasos que ocurren hastaobtener el n-simo xito en la realizacin de ensayos de Bernouilli con probabilidad pde xito. As, el nmero de artculos examinados de un lote hasta que aparece el n-simo defectuoso, el nmero de candidatos a entrevistar cuando se quiere formar unequipo de n personas idneas para un puesto de trabajo, etc.

    La notacin habitual es XNegBin(n,p) o, a veces, BN(n,p).

    La funcin de cuanta es:

    XX )p1(pX

    1Xn)x(p

    +=

    La funcin de distribucin es:

    =

    =

    +=

    Xi

    0i

    in )p1(pi

    1in)x(F

    La media y varianza son respectivamente.

    2p)p1(n

    ;p

    )p1(n

    Propiedades.

    Si (X1,X2,..Xm)BN(ni) entonces (X1+X2+..+Xm)BN(n1+ n2+..nm).

    Tambin es conocida como distribucin de Pascal o distribucin de Polya.

    Se verifica que BN(1,p) Geom(p).

    Generacin.

    Excel cuenta con una funcin para la distribucin y densidad de la Binomial Ne-gativa aunque no con la inversa de la distribucin. No cuenta tampoco con la posibili-

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    LICENCIATURA EN CC. ACTUARIALES Y FINANCIERAS 35

    dad de obtener muestras aleatorias a partir del mdulo de Anlisis de Datos + Genera-cin de nmeros aleatorios.

    En cualquier caso es posible obtener nmeros que se distribuyan segn una es-ta distribucin utilizando la frmula siguiente:

    =BINOM.CRIT(DISTR.GAMMA.INV(U;n;(1-p)/p)/;;U)siendo un nmero suficientemente pequeo (obtendremos buenos resultados con =0,0001) y U la Uniforme (0;1), es decir U = ALEATORIO().

    Hoja de clculo.

    El fichero BinNeg.xlses una plantilla para la generacin y anlisis de esta distri-bucin:

    X Den n f1_s f3_s0 0,00507 0 0,0000 1,5 Intentos (n) 0

    1 0,01880 3 0,0100 5,6 7 252 0,03985 13 0,0433 12,03 0,06336 16 0,0533 19,0 Pr. xito (p) 474 0,08395 25 0,0833 25,2 0,475 0,09788 25 0,0833 29,46 0,10376 33 0,1100 31,1 Muestra7 0,10213 40 0,1333 30,6 3008 0,09472 27 0,0900 28,4 A1:A3009 0,08367 22 0,0733 25,110 0,07095 22 0,0733 21,311 0,05812 25 0,0833 17,412 0,04620 5 0,0167 13,913 0,03579 12 0,0400 10,714 0,02710 6 0,0200 8,115 0,02011 9 0,0300 6,016 0,01465 7 0,0233 4,4 Tericos Muestra

    17 0,01051 3 0,0100 3,2 Mnimo 0 118 0,00742 6 0,0200 2,2 Media 8 819 0,00518 0 0,0000 1,6 Moda 720 0,00357 0 0,0000 1,1 Mximo 2121 0,00243 1 0,0033 0,7 Varianza 16,79 15,4822 0,00164 0 0,0000 0,523 0,00110 0 0,0000 0,324 0,00073 0 0,0000 0,2 2 30,382725 0,00048 0 0,0000 0,1 GL 26

    #N/A #N/A #N/A #N/A #N/A p.valor 0,2103#N/A #N/A #N/A #N/A #N/A#N/A #N/A #N/A #N/A #N/A#N/A #N/A #N/A #N/A #N/A#N/A #N/A #N/A #N/A #N/A#N/A #N/A #N/A #N/A #N/A

    #N/A #N/A #N/A #N/A #N/A

    con U=ALEATORIO() y =0,0001

    BINOMIAL NEGATIVA (n,p)

    Bondad del enerador

    Algoritmo de generacinBINOM.CRIT(DISTR.GAMMA.INV(U;n;(1-p)/p)/;;U)

    Estadsticos

    0,0

    5,0

    10,0

    15,0

    20,0

    25,0

    30,0

    35,0

    40,0

    45,0

    0 2 4 6 810

    12

    14

    16

    18

    20

    22

    24

    6.6 Funciones Excel relacionadas con las v.a. discretas

    BINOMIAL

    Recordamos que la funcin de cuanta de la distribucin B(n,p) es:

    X1X )p1(pX

    n)x(p

    =

    mientras que la funcin de distribucin es

    http://binneg.xls/http://binneg.xls/
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    LICENCIATURA EN CC. ACTUARIALES Y FINANCIERAS 36

    =

    =

    X

    0i

    X1X )p1(pin

    )x(F

    La funcin de Excel que nos da ambas es:

    =DISTR.BINOM(k ; n ; p ; acumulado) kes el valor sobre el que hallaremos la probabilidad; ny plos parmetros que definen la distribucin; acumuladoes un valor lgico que determina la forma de la funcin. Si el

    argumento acumulado es VERDADERO, DISTR.BINOM devuelve la funcinde distribucin; si es FALSO, devuelve la funcin de masa de probabilidad.

    Una segunda funcin de Excel relacionada con la binomial es:

    BINOM.CRIT(n ; p ; alfa)

    Funcin que devuelve el menor valor cuya distribucin binomial acumulativa es menor

    o igual que un valor (alfa) de criterio. ny plos parmetros que definen la distribucin; alfael criterio (0

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    LICENCIATURA EN CC. ACTUARIALES Y FINANCIERAS 37

    La funcin de Excel que nos da ambas es:

    =POISSON(x ; media ; acumulado)

    xel valor que toma la variable; media, el parmetro ; acumuladoes un valor lgico que determina la forma de la funcin. Si el

    argumento acumulado es VERDADERO, devuelve la funcin de distribucin;si es FALSO, devuelve la funcin de masa de probabilidad.

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    7 Variables aleatorias continuas.

    7.1 Beta

    Usos.

    Debido a su gran flexibilidad se utiliza en situaciones en las que la ausencia dedatos concretos no impide, sin embargo, tener una idea del comportamiento "global"de la variable aleatoria. Si suponemos conocidos, o razonablemente supuestos, valorestales como el mximo, mnimo, media o moda y el tipo de simetra (o asimetra), en-tonces es posible encontrar una distribucin Beta que se adapte a dichas suposiciones.

    Tambin se utiliza para simular la proporcin (o el nmero total) de productosdefectuosos en un lote de fabricacin, la duracin de un proceso (en PERT/CPM), o lamediana de una muestra aleatoria.

    Notacin y parmetros.

    La notacin habitual es XBe(,) o bien XBeta(,), los dos parmetros sonde forma(, >0). En Excel la notacin es diferente y se basa en el hecho de que la

    distribucin puede ser fcilmente reescalada a un intervalo (a,b) ya que si X Be(,)0X1 al hacer X=a+(b-a)X tendramos XBe(,) pero ahora con aXb. As, lanotacin en Excel es XBe(,,a,b); en este caso los parmetros a y b son de escalaenla distribucin.

    Densidad y Distribucin.

    ),(

    11

    B)x1(x

    )x(f

    =

    siendo B(,) la funcin Beta:

    1

    0

    11

    ),(

    dx)x1(xB

    para la Beta de cuatro parmetros, usada en Excel, tendremos:

    1

    11

    ),( )ab()xb()ax(

    B1

    )x(f+

    =

    F(x) no tiene, en general, forma cerrada.

    Estadsticos.

    La media y varianza son (respectivamente):

    ( ) ( )1; 2 +++

    +

    el sesgo, la curtosis y el coeficiente de variacin son (respectivamente):

    ( )( ) ( )1;

    32])(2)6()[1(3

    ;1

    )2()(2 2

    ++

    +++++++++

    ++

    ++

    Generacin.

    Puesto que Excel cuenta con una funcin para la inversa de la funcin de distri-bucin, la generacin de variables aleatorias puede hacerse directamente por inversin

    utilizando la frmula siguiente:=DISTR.BETA.INV(ALEATORIO(); , a , b ).

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    Caracterizacin.

    Los parmetros pueden ser estimados de la forma siguiente:

    =

    = 1s

    )x1(x)x1(;1

    s)x1(x

    x 22

    X Den Dis n3,1 0,004246 0,004246 1 0,0033 0,00333 0,003344 Alfa () 23 3,033,3 0,011494 0,015740 6 0,0201 0,01996 0,023411 2,3 6,643,4 0,019165 0,034906 8 0,0268 0,02661 0,050167 Beta () 0,11303,5 0,026495 0,061400 9 0,0301 0,02994 0,080268 3,6 36 2993,6 0,033176 0,094577 10 0,0334 0,03326 0,113712 Mnimo (min) 0,99454833,7 0,039046 0,133622 13 0,0435 0,04324 0,157191 3 0,08780563,8 0,044017 0,177639 17 0,0569 0,05655 0,214047 Mximo (max) A1:A3003,9 0,048052 0,225691 8 0,0268 0,02661 0,240803 7 0,42470084,0 0,051146 0,276836 17 0,0569 0,05655 0,297659 0,04878874,2 0,053318 0,330154 16 0,0535 0,05322 0,351171 Muestra 4,00792714,3 0,054605 0,384760 14 0,0468 0,04657 0,397993 300 3,81744584,4 0,055058 0,439818 15 0,0502 0,04989 0,4481614,5 0,054736 0,494554 17 0,0569 0,05655 0,5050174,6 0,053708 0,548261 17 0,0569 0,05655 0,561873 Tericos Muestra

    4,7 0,052047 0,600308 15 0,0502 0,04989 0,612040 Mnimo 3,03 3,094,8 0,049831 0,650139 17 0,0569 0,05655 0,668896 Media 4,56 4,524,9 0,047141 0,697280 14 0,0468 0,04657 0,715719 Mximo 6,64 6,465,1 0,044060 0,741340 14 0,0468 0,04657 0,762542 Varianza 3,09 0,555,2 0,040670 0,782010 8 0,0268 0,02661 0,7892985,3 0,037053 0,819063 10 0,0334 0,03326 0,8227425,4 0,033291 0,852354 6 0,0201 0,01996 0,842809 Algoritmo de generacin5,5 0,029462 0,881816 12 0,0401 0,03991 0,8829435,6 0,025642 0,907458 9 0,0301 0,02994 0,9130435,7 0,021904 0,929362 8 0,0268 0,02661 0,939799 Caracterizacin5,9 0,018314 0,947676 9 0,0301 0,02994 0,969900 1,76,0 0,014935 0,962611 2 0,0067 0,00665 0,976589 2,36,1 0,011822 0,974433 4 0,0134 0,01330 0,989967 1,26,2 0,009023 0,983456 2 0,0067 0,00665 0,996656 2,46,3 0,006577 0,990034 1 0,0033 0,00333 1,0000006,4 0,004515 0,994548 0 0,0000 0,00000 1,000000

    1

    Law&Kelton

    DISTR.BETA.INV(ALEATORIO();,,min,max)

    BETA( ,min,max)

    Estadsticos

    Borghers, Reymen,y Wessa

    0,00

    0,01

    0,02

    0,03

    0,04

    0,05

    0,06

    3,

    1

    3,

    5

    3,

    8

    4,

    2

    4,

    5

    4,

    8

    5,

    2

    5,

    5

    5,

    9

    6,

    2

    0,0

    0,1

    0,2

    0,3

    0,4

    0,5

    0,6

    0,7

    0,8

    0,9

    1,0

    3,

    1

    3,

    4

    3,

    6

    3,

    8

    4,

    0

    4,

    3

    4,

    5

    4,

    7

    4,

    9

    5,

    2

    5,

    4

    5,

    6

    5,

    9

    6,

    1

    6,

    3

    7.2 ExponencialLa distribucin exponencial es una de las ms utilizadas en simulacin, sus valo-

    res son siempre positivos lo que la liga fundamentalmente con la modelizacin de"tiempos", pero lo que la convierte en sumamente importante es el hecho de que setrata de la nica distribucin continua cuya tasa de fallo es constante, o dicho de otraforma, no tiene memoria. Esto supone que la magnitud simulada, el tiempo necesariopara que se complete una tarea, el tiempo hasta el fallo de un dispositivo mecnico, eltiempo entre llegadas de los clientes a una cola, es independiente del instante deltiempo en que nos encontremos y por tanto del tiempo transcurrido hasta ese momen-to.

    Esta propiedad (conocida en la literatura anglosajona como "memoryless pro-perty") es harto frecuente, determinados dispositivos electrnicos, por ejemplo, nosufren desgaste y por lo tanto prcticamente no envejecen por lo que su probabilidadde fallo no aumenta a lo largo de su vida til. Por otra parte, si el nmero de sucesosocurridos en un intervalo de tiempo sigue una distribucin de Poisson, lo cual es hartofrecuente, entonces el tiempo entre dos de estos sucesos se distribuye de forma expo-nencial.

    Notacin y parmetros.

    La notacin habitual es XExp(), es parmetro de escala(>0).Densidad y Distribucin.

    La funcin de densidad es:

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    Estadstica Actuarial I Introduccin a la simulacin con Excel

    LICENCIATURA EN CC. ACTUARIALES Y FINANCIERAS 40

    =

    X

    e1

    )x(f

    ,la funcin de distribucin es:

    =X

    e1)x(F

    Estadsticos.

    La media es , la varianza 2; el sesgo 2, la curtosis 9 y el coeficiente de variacin 1.

    Propiedades.

    Es un caso particular de la distribucin Gamma verificndose que Gam-ma(,1) Exp().

    Tambin es un caso particular de la Weibull Weibull(,1) Exp().

    La suma de exponenciales independientes de parmetro es una distribu-cin Erlang(k;

    )

    Generacin.

    Excel no cuenta con una funcin para la inversa de la funcin de distribucin,sin embargo, la generacin de variables aleatorias puede hacerse utilizando la frmulasiguiente:

    =* -LOG(ALEATORIO())Hoja de clculo.

    El fichero Exponencial.xlses una plantilla para la generacin y anlisis de estadistribucin en Excel. Ntese que en la hoja se ha utilizado una notacin ligeramentedistinta (cambiando tasa por media) de manera que =1/.

    X Den Dis n f_s f1_s f2_s0,18 1,30008 0,277733 76 0,2533 1,19015 0,25333 Lambda 18 0,000,36 0,940327 0,477596 58 0,1933 0,90827 0,44667 1,8 5,400,54 0,680124 0,622153 37 0,1233 0,57942 0,57000 0,18000,72 0,491923 0,726710 25 0,0833 0,39150 0,65333 3000,90 0,355800 0,802333 27 0,0900 0,42282 0,74333 4,6981,08 0,257345 0,857031 10 0,0333 0,15660 0,77667 0,081,26 0,186133 0,896593 13 0,0433 0,20358 0,82000 Muestra A1:A3001,44 0,134627 0,925207 10 0,0333 0,15660 0,85333 3001,62 0,097374 0,945903 9 0,0300 0,14094 0,883331,80 0,070429 0,960873 8 0,0267 0,12528 0,910001,98 0,050940 0,971700 8 0,0267 0,12528 0,93667 Tericos Muestra2,16 0,036844 0,979531 3 0,0100 0,04698 0,94667 Mnimo 0,00 0,002,34 0,026649 0,985195 3 0,0100 0,04698 0,95667 Media 0,56 0,702,52 0,019275 0,989292 2 0,0067 0,03132 0,96333 Mximo 5,40 4,62

    2,70 0,013941 0,992255 4 0,0133 0,06264 0,97667 Varianza ( 0,309 0,5472,88 0,010083 0,994398 0 0,0000 0,00000 0,976673,06 0,007293 0,995948 1 0,0033 0,01566 0,980003,24 0,005275 0,997069 2 0,0067 0,03132 0,98667 Algoritmo de generacin3,42 0,003815 0,997880 0 0,0000 0,00000 0,986673,60 0,002760 0,998467 3 0,0100 0,04698 0,996673,78 0,001996 0,998891 0 0,0000 0,00000 0,996673,96 0,001444 0,999198 0 0,0000 0,00000 0,996674,14 0,001044 0,999420 0 0,0000 0,00000 0,996674,32 0,000755 0,999580 0 0,0000 0,00000 0,996674,50 0,000546 0,999697 0 0,0000 0,00000 0,996674,68 0,000395 0,999781 1 0,0033 0,01566 1,000004,86 0,000286 0,999841 0 0,0000 0,00000 1,000005,04 0,000207 0,999885 0 0,0000 0,00000 1,000005,22 0,000149 0,999917 0 0,0000 0,00000 1,000005,40 0,000108 0,999940 0 0,0000 0,00000 1,00000

    0

    Estadsticos

    Lambda*-LOG(ALEATORIO())

    EXPONENCIAL ()

    0,0

    0,2

    0,4

    0,6

    0,8

    1,0

    1,2

    1,4

    0,

    2

    0,

    5

    0,

    9

    1,

    3

    1,

    6

    2,

    0

    2,

    3

    2,

    7

    3,

    1

    3,

    4

    3,

    8

    4,

    1

    4,

    5

    4,

    9

    5,

    2

    0,0

    0,1

    0,2

    0,3

    0,4

    0,5

    0,6

    0,7

    0,8

    0,9

    1,0

    0,

    2

    0,

    7

    1,

    3

    1,

    8

    2,

    3

    2,

    9

    3,

    4

    4,

    0

    4,

    5

    5,

    0

    http://../Curso_Tecnicas/EXCEL/Exponencial.xlshttp://../Curso_Tecnicas/EXCEL/Exponencial.xls
  • 8/12/2019 Esta d Actuarial

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    Estadstica Actuarial I Introduccin a la simulacin con Excel

    LICENCIATURA EN CC. ACTUARIALES Y FINANCIERAS 41

    7.3 GammaLa distribucin Gamma es la generalizacin de algunas de las distribuciones

    ms usadas en la modelizacin de fenmenos para su simulacin: la exponencial, y laErlang no son sino casos particulares (junto con la 2) de la distribucin Gamma. Suempleo en Simulacin/MonteCarlo est relacionado con los fenmenos de espera, el

    hecho de que sea siempre positiva la liga a magnitudes como el tiempo para realizaruna tarea o el tiempo hasta el fallo de un dispositivo, entre otras posibles aplicaciones.

    Estas aplicaciones se derivan del hecho de que puede considerarse como laprobabilidad de que ocurran sucesos en un periodo (1/) de tiempo (por ejemploque fallen los k subsistemas de un dispositivo que harn que ste finalmente deje defuncionar; que se lleven a cabo las k subtareas que componen un tarea principal con loque sta puede considerarse terminada, etc.)

    Notacin y parmetros.

    La notacin habitual es XGamma(,), (>0) es un parmetro de formay (>0) de escala.

    Densidad y Distribucin.

    La funcin de densidad es:

    =

    X1eX

    )x(f

    ,la funcin de distribucin es:

    =

    =

    =

    1j

    0j

    j

    X

    !j

    Xe1)x(F

    Estadsticos.

    La media y varianza son (respectivamente):2;

    el sesgo, la curtosis y el coeficiente de variacin son (respectivamente):

    +

    1

    ;6

    3;1

    2

    Propiedades.

    Gamma(1,) Exp() ; si k es un entero positivo a la distribucin Gamma(k,)se la conoce como k-Erlang; a la distribucin Gamma(v/2,2) se la conoce como 2v.

    Si {X1,X2,..Xn} se distribuyen como Gamma(1,), Gamma(2,),.. entonces lasuma X1+X2+.. se distribuye segn Gamma(1+2+...,).

    Generacin.

    Excel cuenta con una funcin para la inversa de la funcin de distribucin, lageneracin de variables aleatorias puede hacerse utilizando la frmula siguiente:

    =DISTR.GAMMA.INV(ALEATORIO();;)

    Hoja de clculo.El fichero Gamma.xlses una plantilla para la generacin y anlisis de esta dis-tribucin en Excel. Su aspecto es el siguiente:

    http://../Curso_Tecnicas/EXCEL/Gamma.xlshttp://../Curso_Tecnicas/EXCEL/Gamma.xls
  • 8/12/2019 Esta d Actuarial

    42/59

    Estadstica Actuarial I Introduccin a la simulacin con Excel

    LICENCIATURA EN CC. ACTUARIALES Y FINANCIERAS 42

    X Den Dis n f_s f1_s f2_s3,4 0,000156 0,000156 0 0,0000 0,00000 0,0000 Alfa () 55 0,606,3 0,002635 0,002791 1 0,0033 0,00333 0,0033 5,5 85,989,1 0,011450 0,014240 2 0,0067 0,00666 0,0100 2,846012,0 0,027448 0,041688 7 0,0233 0,02331 0,0333 Beta () 30014,8 0,047561 0,089249 26 0,0867 0,08658 0,1200 5,5 55 0,999017,7 0,067276 0,156526 19 0,0633 0,06327 0,1833 0,0784

    20,5 0,082859 0,239385 21 0,0700 0,06993 0,2533 Muestra A1:A30023,4 0,092304 0,331689 22 0,0733 0,07326 0,3267 30026,2 0,095294 0,426983 24 0,0800 0,07992 0,406729,1 0,092687 0,519670 31 0,1033 0,10323 0,5100 Estadsticos31,9 0,085930 0,605600 30 0,1000 0,09990 0,6100 Tericos Muestra34,7 0,076586 0,682186 22 0,0733 0,07326 0,6833 Mnimo 0,60 5,8237,6 0,066044 0,748229 20 0,0667 0,06660 0,7500 Media 30,25 30,1940,4 0,055381 0,803610 11 0,0367 0,03663 0,7867 Mximo 2,85 71,3143,3 0,045337 0,848947 10 0,0333 0,03330 0,8200 Varianza () 166,38 168,1446,1 0,036347 0,885294 15 0,0500 0,04995 0,870049,0 0,028611 0,913905 15 0,0500 0,04995 0,920051,8 0,022160 0,936065 4 0,0133 0,01332 0,9333 Algoritmo de generacin54,7 0,016918 0,952983 6 0,0200 0,01998 0,953357,5 0,012751 0,965734 4 0,0133 0,01332 0,966760,4 0,009499 0,975233 5 0,0167 0,01665 0,983363,2 0,007002 0,982236 1 0,0033 0,00333 0,986766,1 0,005113 0,987348 0 0,0000 0,00000 0,9867

    68,9 0,003700 0,991049 1 0,0033 0,00333 0,990071,7 0,002657 0,993705 3 0,0100 0,00999 1,000074,6 0,001894 0,995599 0 0,0000 0,00000 1,000077,4 0,001340 0,996939 0 0,0000 0,00000 1,000080,3 0,000943 0,997882 0 0,0000 0,00000 1,000083,1 0,000659 0,998541 0 0,0000 0,00000 1,000086,0 0,000458 0,999000 0 0,0000 0,00000 1,0000

    0

    DISTR.GAMMA.INV(ALEATORIO();;)

    GAMMA ( )

    0,00

    0,02

    0,040,06

    0,08

    0,10

    0,12

    0,

    6

    9,

    1

    17

    ,7

    26

    ,2

    34

    ,7

    43

    ,3

    51

    ,8

    60

    ,4

    68

    ,9

    77

    ,4

    0,000,10

    0,200,30

    0,400,500,60

    0,700,80

    0,901,00

    0,

    6

    9,

    1

    17

    ,7

    26

    ,2

    34

    ,7

    43

    ,3

    51

    ,8

    60

    ,4

    68

    ,9

    77

    ,4

    7.4 Normal

    En virtud del Teorema Central de Lmite cualquier magnitud que sea suma deotras magnitudes, seas stas como sean, se distribuir de forma normal.

    Notacin y parmetros.

    La notacin habitual es XN(,), siendo el parmetro deposiciny el pa-rmetro de escala (>0).

    Densidad2

    2X

    e2

    1)x(f

    =

    Estadsticos.La media es , la varianza 2, el sesgo 0, la curtosis 3 y el coeficiente de varia-cin /.

    Propiedades.

    La distribucin es simtrica, centrada en y con puntos de inflexin en ; lasuma de n variables N(,2) es N(n,n2); un gran nmero de distribuciones estnrelacionadas con la Normal: t, F, 2, LogNormal, Cauchy.

    Generacin.

    Excel cuenta con la funcin inversa de la distribucin:

    DISTR.NORM.INV(ALEATORIO();;)

    tambin en la literatura aparecen descritos diversos mtodos para generar Normalesuno de los ms efectivos es el conocido como Box-Muller:

  • 8/12/2019 Esta d Actuarial

    43/59

    Estadstica Actuarial I Introduccin a la simulacin con Excel

    LICENCIATURA EN CC. ACTUARIALES Y FINANCIERAS 43

    +RAIZ(GL*(ALEATORIO()^(-2/GL)-1))*COS(2*PI()*ALEATORIO())

    Hoja de clculo.

    El fichero Normal.xlscontiene una hoja que posibilita la descripcin grfica y la gene-racin, por los dos mtodos expuestos, de v.a. Normales.

    #

    # X Den Dis n f_s f1_s f2_s# 3,59 0,000544 0,000544 1 0,0022 0,00217 0,0022 Media () 62 3,40# 3,77 0,000665 0,001209 0 0,0000 0,00000 0,0022 6,2 9,00# 3,96 0,001346 0,002555 0 0,0000 0,00000 0,0022 0,1867# 4,15 0,002579 0,005134 1 0,0022 0,00217 0,0043 Des.Tip. () 460# 4,33 0,004681 0,009815 4 0,0087 0,00869 0,0130 0,8 8 1,000# 4,52 0,008049 0,017864 1 0,0022 0,00217 0,0152 0,08# 4,71 0,013110 0,030974 6 0,0130 0,01304 0,0283 Muestra B1:B460# 4,89 0,020225 0,051199 6 0,0130 0,01304 0,0413 460# 5,08 0,029557 0,080757 14 0,0304 0,03043 0,0717# 5,27 0,040916 0,121673 22 0,0478 0,04781 0,1196# 5,45 0,053651 0,175324 25 0,0543 0,05434 0,1739 Tericos Muestra# 5,64 0,066640 0,241964 43 0,0935 0,09346 0,2674 Mnimo 3,40 3,24# 5,83 0,078406 0,320369 35 0,0761 0,07607 0,3435 Media 6,20 6,19# 6,01 0,087382 0,407751 41 0,0891 0,08911 0,4326 Mximo 9,00 8,75# 6,20 0,092249 0,500000 38 0,0826 0,08259 0,5152 Varianza 0,640 0,635# 6,39 0,092249 0,592249 33 0,0717 0,07172 0,5870# 6,57 0,087382 0,679631 43 0,0935 0,09346 0,6804# 6,76 0,078406 0,758036 42 0,0913 0,09128 0,7717

    # 6,95 0,066640 0,824676 31 0,0674 0,06738 0,8391 2# 7,13 0,053651 0,878327 16 0,0348 0,03477 0,8739# 7,32 0,040916 0,919243 15 0,0326 0,03260 0,9065# 7,51 0,029557 0,948801 19 0,0413 0,04129 0,9478# 7,69 0,020225 0,969026 10 0,0217 0,02173 0,9696# 7,88 0,013110 0,982136 7 0,0152 0,01521 0,9848# 8,07 0,008049 0,990185 3 0,0065 0,00652 0,9913# 8,25 0,004681 0,994866 1 0,0022 0,00217 0,9935# 8,44 0,002579 0,997445 2 0,0043 0,00435 0,9978# 8,63 0,001346 0,998791 0 0,0000 0,00000 0,9978# 8,81 0,000665 0,999456 1 0,0022 0,00217 1,0000# 9,00 0,000311 0,999767 0 0,0000 0,00000 1,0000# 0####

    NORMAL( )

    +(*RAIZ(-2*LN(U))*COS(2*PI()*U))

    Algoritmos de generacin

    Estadsticos

    DISTR.NORM.INV(ALEATORIO();;)

    0,00

    0,01

    0,02

    0,03

    0,04

    0,05

    0,06

    0,07

    0,08

    0,090,10

    3,

    6

    4,

    0

    4,

    3

    4,

    7

    5,

    1

    5,

    5

    5,

    8

    6,

    2

    6,

    6

    6,

    9

    7,

    3

    7,

    7

    8,

    1

    8,

    4

    8,

    8

    0,0

    0,1

    0,2

    0,3

    0,4

    0,5

    0,6

    0,7

    0,8

    0,9

    1,0

    3,

    6

    4,

    0

    4,

    3

    4,

    7

    5,

    1

    5,

    5

    5,

    8

    6,

    2

    6,

    6

    6,

    9

    7,

    3

    7,

    7

    8,

    1

    8,

    4

    8,

    8

    m+(s*RAIZ(-2*LN(U))*COS(2*PI()*U))

    7.5 ParetoLa distribucin de Pareto aparece asociada a multitud de magnitudes naturales.

    Es profusamente empleada para modelizar aspectos tales como: la distribucin de larenta de los individuos (cuando sta supera un cierto umbral ); las reclamaciones deseguros; la distribucin de recursos naturales en zonas geogrficas; el tamao de lasciudades; el numero de empleados de las empresas; las fluctuaciones de los precios enlos mercados de valores, entre otras. En algunos textos la encontramos exclusivamenteasociada a la distribucin de los ingresos de los individuos: "la probabilidad de que larenta de un individuo supere una cierta cantidad A es una variable aleatoria de Pare-to(=A,)".

    En general, es una distribucin a tener en cuenta para modelizar una magnitud

    (positiva) cuando en sta se cumpla que un pequeo porcentaje de valores aparece ungran nmero de veces y es posible un elevado nmero de valores extremos aunquemuy poco probables.

    Notacin y parmetros.

    La notacin habitual es XPar(,), ambos parmetros son de escala(,>0), adems indica el valor mnimo posible de la variable (X

  • 8/12/2019 Esta d Actuarial

    44/59

    Estadstica Actuarial I Introduccin a la simulacin con Excel

    LICENCIATURA EN CC. ACTUARIALES Y FINANCIERAS 44

    =X

    1)x(F

    Estadsticos.

    La media (para >1) y la varianza (para >2) son, respectivamente:

    ( ) ( )21;

    1 22

    el sesgo y la curtosis son (respectivamente):

    ( )( )43)2)(23(3

    ;2

    )3()1(2 2

    ++

    +

    Propiedades.

    La distribucin siempre es sesgada hacia la derecha y nunca toma valores ne-gativos, ntese que los momentos de orden k slo existen si >k.

    Generacin.

    En la literatura aparecen descritos diversos mtodos para generar v.a. de Pare-to. En Excel es posible obtener v.a. a travs de cualquiera de las frmulas siguientes:

    =*((1/(1-ALEATORIO()))^(1/))=