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MATEMÁTICA ACTUARIAL VIDA

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ÍNDICE

Previo

Tema 1

1.1. Introducción a los modelos de matemática actuarial; valoración financiera y actuarial.

1.1 cálculo en diferencias y cálculo diferencial

1.2 tanto de interés de capitalización y de descuento

1.3 estadística actuarial vida

1.4 funciones de valoración basadas en la esperanza matemática

Rentas:

1.2. Análisis estocástico de las operaciones sobre una vida y rentas de supervivencia discretas.

2.1 rentas de pago anual y sin variación. (Simplemente rentas de supervivencia)

2.2 rentas de pago intranual y sin variación.

2.3 rentas de pago anual y con variación anual

2.4 rentas de pago intranual y con variación intranual. Fraccionarias y fraccionadas.

2.5 Diferencia entre rentas prepagables y pospagables.

Seguros:

1.3. Valoración financiera y actuarial de seguros.

3.1 seguros continuos y sus aproximaciones.

1.4. Relación entre rentas y seguros.

4.1 El valor de las primas

Tema 2

2.1 Las provisiones matemáticas.

2.2 Gastos

Tema 3

3.1 Teoría de conjuntos y álgebra de Boole

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PREVIO

Como introducción

a) se define cómo se pueden medir las variaciones de una variable, en campo continuo, discreto o general.

b) y cómo se puede calcular esta variación dentro de un intervalo temporal.

c) se define qué es la valoración financiera, en base al equilibrio financiero de que las prestaciones en origen

tienen que tener el mismo valor que las contraprestaciones futuras.

d) se incorpora la estadística actuarial vida; probabilidades de supervivencia y fallecimiento.

El objetivo inicial es encontrar el valor en origen de una renta o de un seguro.

a) La renta, entendida como una serie de pagos a realizar durante un intervalo temporal, está condicionada a

que el individuo esté vivo en cada uno de los periodos de pago. Su valor en origen supone un cálculo de

valoración financiera, y al mismo tiempo actuarial: hay que valorar en origen la suma de cada pago futuro

junto con la probabilidad de estar vivo en cada uno de esos momentos.

b) El seguro se entiende como un pago a realizar por la muerte del individuo. Se tiene que dar el

fallecimiento para realizar el pago, con lo que el valor en origen también es un cálculo de valoración

financiera, y al mismo tiempo actuarial: hay que valorar en origen el capital a pagar en cada año junto con la

probabilidad de fallecer en cada uno de esos momentos.

a) rentas:

A veces se simplifica valorando 1 euro, pero es más realista proponer importes no unitarios. Por

ejemplo rentas de 5.000 euros anuales, o un seguro de fallecimiento de 5000 euros,… Y aún es mucho

más realista suponer que

a) la renta se paga en mensualidades o cualquier otra fracción de año

b) el seguro se paga también al final de una fracción de año (p.ej. al final del mes de fallecimiento).

Más aún: las cuantías a pagar pueden variar con el tiempo, normalmente crecer. Y así se crean las

variaciones anuales o en fracciones de año, de las cuantías. Así, la cuantía puede ser

a) constante en el tiempo

b) creciente de una forma constante; variación lineal o aritmética

c) creciente de una forma exponencial; variación geométrica.

Finalmente las rentas se podrán clasificar en

a) fraccionadas: cuando la frecuencia de pago y la variación de la cuantía no coinciden; dentro de

cada variación hay k-ésimos pagos.

b) fraccionarias: cuando frecuencia y variación sí coinciden; por cada variación sólo hay un pago.

Las rentas se diferencian en prepagables o pospagables, según si el pago se hace efectivo de forma

anticipada al inicio del periodo o si es vencida; efectiva al final del periodo. Se podrá calcular la

diferencia de valoración que haya entre ambas.

También se podrá hacer una aproximación del valor de las rentas fraccionadas a partir del valor de

las rentas anuales. La aproximación se hace desde los capitales diferidos, o bien desde las

probabilidades de supervivencia.

b) seguros

Funcionan de una forma muy parecida a las rentas; pueden variar, pagarse en fracciones de año, ser

continuos en el tiempo, etc. Pero lo mejor es resaltar las diferencias:

a) los seguros son un capital diferido que se va valorando en el tiempo hasta que se produce la

muerte del asegurado: no se trata de la suma de una serie de pagos.

b) los seguros son pospagables porque siempre suceden después de la muerte del asegurado.

Los seguros continuos, aquellos que se pagan inmediatamente en el instante del fallecimiento, se

pueden aproximar a partir de los seguros discretos.

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Para contratar una renta o un seguro el asegurado deberá pagar una o varias primas. Las primas son en

realidad el valor actual actuarial de las prestaciones en el momento de contratarlas. Podrá tratarse de una

prima única, o repartirla en una serie de pagos, pero siempre manteniendo el equilibrio de que el valor de la

prima (se pague como se pague) deberá ser igual al valor de la renta o el seguro.

Bajo esta condición de equilibrio, se pueden sumar otros componentes a parte de una simple renta o seguro.

Por ejemplo, se puede añadir un contraseguro de primas que durante un plazo cubra la muerte del

asegurado y devuelva las primas que se hayan pagado. O también añadir un capital diferido, habitualmente

el valor de las primas aportadas, que se pagará en un momento futuro si se llega vivo.

La provisión matemática.

La provisión matemática es aquel importe que la compañía de seguros debe tener en su haber en un

momento determinado del tiempo para poder hacer frente a las prestaciones a las que se ha obligado. A

partir de esta expresión, se definen las circunstancias que condicionan su cálculo:

¿estamos en el instante anterior a cobrar la prima o se acaba de pagar? ¿o ya se ha terminado el periodo de

pago de primas? A pesar de que haya múltiples variaciones, es relativamente sencillo: a partir de la ecuación

de equilibrio anterior, donde el valor de las primas es igual al valor de las prestaciones contratadas, la

provisión matemática se entiende como el valor en un momento dado de las prestaciones contratadas menos

el valor en ese mismo momento de las primas pendientes de recibir, esto es: la provisión matemática

financiera por el método prospectivo.

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TEMA 1. INTRODUCCIÓN A LA MATEMÁTICA ACTUARIAL VIDA

1.1 La matemática actuarial vida; proceso estocástico de valoración financiera y actuarial

1. Evolución en el tiempo de una función: cálculo en diferencias y cálculo diferencial

Primero hay que definir cómo se pueden medir las variaciones de una variable:

1.

En el campo discreto el operador ∆ busca la diferencia entre un valor inicial y su siguiente. Se define al

“siguiente” como θ , de esta forma;

Por ejemplo tengo el valor inicial como la probabilidad anual de fallecer con 30 años. ¿En cuánto se

incrementa la probabilidad de fallecer si nos vamos “al siguiente” = ?

El incremento de la probabilidad será =

Propiedades:

a) Si se trata de una función constante, no hay diferencia entre un valor inicial y su siguiente:

b) Si es una función polinomio de grado n, entonces su incremento será un polinomio de grado n-1, se

puede generalizar como:

Como ejemplo de lo anterior: si la función es una recta, el incremento será constante

c) El incremento del producto,

y si se reordena,

Que esto último es moverse escalonadamente en un gráfico de dos dimensiones: de la posición inicial Y/Z,

mantienes constante Z y saltas al siguiente Y, y luego desde esta posición saltas al siguiente de Z.

d) el incremento de un cociente,

y desarrollando,

2.

En el campo continuo, el operador d busca el valor siguiente a por cada unidad infinitesimal de aumento.

De esta forma, el incremento infinitesimal o diferencial será , y será igual al valor de la derivada

por la unidad de incremento … ,base x altura-.

Como ejemplo; el incremento infinitesimal de la probabilidad de fallecer a los 30 años.

Propiedades:

a) Si la función es constante, el incremento será cero

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b) si la función es un polinomio de grado n, el diferencial será un polinomio de grado n-1

c) el diferencial de una suma es = la suma de diferenciales

d) el diferencial de un producto;

e) el diferencial de un cociente;

3.

El operador general δ es una simplificación del operador diferencia ∆ y diferencial d. Sólo dependerá de si el

incremento es discreto o continuo que δ se transformará en ∆ ó d.

Las propiedades que tiene serán,

a)

b)

c)

d)

e) y por último el cociente;

Una vez definido cómo varía una variable, hay que definir cómo podemos calcular esta variación en un

intervalo.

1.

En el caso continuo se tiene el operador integral,

Para el intervalo (a,b), se puede aplicar Barrow, de tal manera que se tiene una integral definida,

Y si la integral no es inmediata, se puede intentar aplicar la integración por partes,

2.

En el caso discreto se utiliza el operador suma,

La última posición corresponde al rectángulo con base de y altura . Es decir, que en el

caso de la suma se llega hasta la penúltima posición (ojo con despistarse!).

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También existe la suma por partes,

3.

Se define también el método de las partes con el operador general δ,

2. La valoración financiera, el tanto de interés de capitalización y de descuento.

Se trata de la primera base técnica. Nuestro objetivo será encontrar el equilibrio: el valor actual de un capital

futuro que se iguala al valor de un capital en un momento inicial. Para simplificarlo trabajaremos con un

interés compuesto constante.

, es el interés efectivo anual: un índice que mide la rentabilidad de una unidad monetaria durante un año.

, es el descuento efectivo anual: mide el descuento aplicado sobre una unidad monetaria por adelantarla

un año.

La relación entre interés y descuento es,

Para aquellos casos en donde trabajamos con flujos de interés, se define el tanto instantáneo de interés,

ρ, donde

El factor financiero es la expresión que da la rentabilidad por unidad monetaria;

El factor de actualización nos da el valor actual de una unidad monetaria

Y si buscamos el factor de actualización de un flujo financiero,

Y generalizando con el operador general δ,

Donde d(∆t) es el tanto nominal de descuento, que en el caso continuo coincide con el tanto instantáneo de

interés.

3. Estadística actuarial vida

Es la segunda base técnica. Una vez tenemos el método de valoración actual de un capital, hay que

incorporar la probabilidad de que se tenga que desembolsar este capital. Se condiciona este reembolso a la

supervivencia, fallecimiento, invalidez, incapacidad o dependencia del individuo en un periodo t.

De momento lo simplificamos a supervivencia y fallecimiento. Se define una variable aleatoria que

condiciona el pago o no pago de la prestación. La variable nos proporciona el instante en el que fallece

una persona; el momento en que sucede el siniestro. ∝ son los parámetros de la persona dentro de un

colectivo. El intervalo de edades donde puede suceder el siniestro es [0, [ donde es el infinito actuarial

o periodo al que nadie sobrevive.

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Funciones,

es la función de distribución actuarial

es la función de distribución de la siniestralidad

es la función de siniestralidad

es la función de intensidad relativa

1.

Función de distribución actuarial que recoge la probabilidad de que el siniestro NO ocurra antes de t.

Es la probabilidad de que un individuo de edad x sobreviva hasta x+t.

Propiedades,

a) En el momento t= 0 , la probabilidad de sobrevivir es = 1. Porque el 100% de los sucesos posibles de

supervivencia se acumulan a la derecha de la función.

F(∝, 1) sería la probabilidad de llegar vivo a 1 año de vida.

b) en el momento t = w, la probabilidad de no fallecer es = 0, todos los sucesos de fallecimiento ya han

sucedido y no es posible sobrevivir el infinito actuarial.

c) es una función no creciente

d) es continua por la derecha

e) es escindible; se supone que la mortalidad es estacionaria.

2.

Función de distribución de siniestralidad , recoge la probabilidad acumulada de muerte en un

intervalo.

Propiedades,

a) en el momento t= 0, la probabilidad de fallecer es = 0. Todavía no ha sucedido ninguna muerte; todavía

no se ha acumulado ninguna probabilidad.

b) en el momento t= w, la probabilidad de fallecer es = 1. Todos los posibles casos de fallecimiento ya han

sucedido.

c) es una función creciente o como mínimo constante.

d) es continua por la derecha

3.

Función de densidad , relaciona la probabilidad de fallecimiento con un intervalo.

Y cumple que,

a)

b)

4.

Función de intensidad relativa , o tanto instantáneo de mortalidad, es la función de densidad anterior

pero condicionado a la supervivencia en un momento inicial = t. Es decir, la función de densidad toma como

origen el t=0, y el tanto instantáneo de fallecimiento toma como origen un momento t (normalmente la edad

del individuo), esto supone tener que condicionar a que se llega vivo hasta t.

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Desarrollando se puede obtener también la relación,

Y también que

4. Funciones de valoración basadas en la esperanza matemática.

Ya se puede relacionar la valoración de una o varias prestaciones futuras con la probabilidad de ocurrencia.

La probabilidad de ocurrencia contempla; existencia o no de la prestación, su cuantía y el vencimiento.

1.

Caso cierto. Es el más simple, donde simplemente se valora un capital unitario que de forma cierta se hará

efectiva en t. Cumple la ley de estacionalidad si la valoración es con interés compuesto.

Ya que

2.

Caso de no siniestralidad, o supervivencia. Se define como el valor actual actuarial de una unidad

monetaria que se hará efectiva en t si el asegurado α sobrevive hasta ese momento.

Se crea un cuadro con la distribución de probabilidad (para simplificarlo, se hace la anual),

Indemnización en t Valoración financiera en Probabilidad de sobrevivir En el momento inicial = 0 0 En el momento final = 1

Lo que significa que la probabilidad de que el individuo fallezca y no haya que pagar nada es

. Como no hay que pagar nada, no hay valoración financiera de nada en t=0.

Y en cambio, la probabilidad de que el individuo sobreviva y haya que pagar 1 euro en t=1 será F(α,t) , lo

que implica un valor actual = 1*

El valor actual actuarial tiene en cuenta ambas situaciones, y de ahí su expresión

Propiedades,

a) El valor actual actuarial en el momento cero es = 1

b) El valor actual actuarial si la valoración se hace desde el infinito actuarial, es = 0

c) Es estrictamente decreciente, porque

F(α,t) es no creciente.

es decreciente , porque el valor actual siempre decrece cuanto más crece t.

d) es continua por la derecha, al igual que F(α,t)

e) es escindible, suponiendo que la siniestralidad es estacionaria.

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3.

Caso de siniestralidad, o fallecimiento. Se define como la intensidad de cuantía del valor actual

correspondiente a la indemnización unitaria a realizar en el instante t, si en ese instante se produce el

fallecimiento. Es decir; el valor actual de 1 va decreciendo a medida que t crece (suponiendo un tipo de

interés es constante). La función B(α,t) nos da el decremento del valor actual en un instante determinado del

tiempo.

En el campo discreto:

Indemnización en Valoración financiera en Probabilidad de fallecer En el momento inicial = 0 En el momento final =

Y el valor esperado de la indemnización será

Aunque lo que nos interesa es la intensidad de este valor esperado; cuánto decrece el valor inicial al

incrementar infinitesimalmente el tiempo:

Teniendo en cuenta la expresión de intensidad relativa

Se puede obtener una relación entre B(α,t) y E(α,t),

Que se interpretaría como que la intensidad del valor esperado, o cuánto decrece el valor inicial al

incrementar el tiempo, es la valoración financiera correspondiente al intervalo de tiempo incrementado (de t

a incremento de t), por el valor esperado en el momento t, por la intensidad relativa en el momento t.

En el campo continuo:

Indemnización en t Valoración financiera en Probabilidad de fallecer En el momento inicial = 0 En el momento final =

Como ahora estamos trabajando bajo la idea de que

Quedará que

Si se hace el mismo desarrollo que en el caso discreto se llega a que

Y se interpreta igual que en el caso discreto, sólo que ahora como estamos en el campo continuo el

incremento de tiempo es despreciable y se elimina el

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Se puede expresar una definición general de la expresión escalar de la intensidad del valor esperado,

Se puede demostrar la escindibilidad de B(α,t) suponiendo estacionalidad en la mortalidad y ley estacionaria

(tipo de interés constante):

Que se interpretaría como que la intensidad del valor esperado en el momento es el valor esperado

en por la intensidad del valor esperado en el momento .

4.

Relación entre el valor esperado y la intensidad del valor esperado:

1) El incremento del valor esperado (en términos generales δ) será

2) y teniendo en cuenta que,

3) y también que,

4) Se puede definir que

5)

6)

Interpretación.

1) el incremento del valor esperado es igual al incremento de la valoración en t por la probabilidad de

sobrevivir en t, + la valoración inicial en t por el incremento de la probabilidad de sobrevivir.

2) El incremento de la valoración en t es = decremento de la valoración en t por el intervalo de tiempo.

3) el valor esperado en t es la valoración en t por la probabilidad de sobrevivir t.

4) el incremento del valor esperado en t es = al decremento que experimenta la valoración en t por el

intervalo de tiempo por la probabilidad de sobrevivir en t, menos la intensidad de la valoración en t por el

intervalo temporal

5) la intensidad de valoración en t por el intervalo temporal es = decremento que experimenta la valoración

por el intervalo de tiempo por la probabilidad de sobrevivir t, menos el incremento que experimenta el valor

esperado

6) la intensidad del valor esperado en t por el incremento temporal es = menos la valoración en t por el

incremento temporal en t menos el incremento de valoración.

Si de aquí vamos a los casos discreto/continuo,

a) qué sucede cuando en el campo discreto el incremento de t es Δt = 1

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b) y cuando

4.

Se puede crear una función elemental general, para valorar cualquier tipo de capital financiero; renta o

seguro, o sea, contingente a supervivencia o fallecimiento,

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1.2 Análisis estocástico de las operaciones sobre una vida y rentas de supervivencia discretas

1. análisis estocástico de las operaciones sobre una vida

Se analizan desde el punto de vista estocástico prestaciones relacionadas con la supervivencia o

fallecimiento de una persona. Primero, y para simplificar las variables aleatorias que sirven para calcular el

valor actual financiero, se verán rentas anuales de variación anual, y seguros de variación anual que se pagan

al final del año en que se produzca el fallecimiento.

1.

Un capital diferido t años es una operación actuarial sobre una persona de edad x, consistente en el pago de 1

unidad monetaria (1 euro) si llega viva a x+t. ¿Qué valor tendrá ese euro en el inicio?

Así que tenemos una variable aleatoria (?) que es el valor actual financiero de 1 euro; , dicotómica

(sobrevive a x+t, no sobrevive a x+t), con unos valores y probabilidades,

Valor Probabilidad 0

Es decir, con una probabilidad de no habrá que pagar ese euro (pagar 0) porque el individuo habrá

fallecido. Y con una probabilidad de sí habrá que pagar ese euro porque el individuo habrá sobrevivido.

La variable sirve para definir “pago vinculado a la supervivencia del individuo”.

La esperanza del valor actual financiero será

La varianza del valor actual financiero será

2.

Un capital al final del año del fallecimiento, consiste en el pago de 1 euro al final del año en que un individuo

fallezca. Si el fallecimiento se produce entre t y t+1, y el pago se produce en t+1.

Así que tenemos una variable aleatoria (?) que es el valor actual financiero de ese euro , dicotómica

(fallece entre x+t y x+t+1, no fallece), con unos valores y probabilidades,

Valor Probabilidad 0

?

0

edad x

1

t

x+t

?

0

edad x

1

t+1

x+t+1 t

x+t

fallece

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Es decir, con una probabilidad de no habrá que pagar ese euro (pagar 0) porque el individuo habrá

sobrevivido. Y con una probabilidad de sí habrá que pagar ese euro porque el individuo habrá

sobrevivido hasta x+t y habrá fallecido ese año. La variable sirve para definir “pago vinculado al

fallecimiento del individuo”. Como “hay que esperar” hasta que el individuo fallezca para pagarle, el pago

siempre es al final del periodo, y la máxima simplificación es pagarlo al final del año del fallecimiento. De ahí

que el valor actual de 1 euro esté calculado desde “-(t+1)”

La esperanza del valor actual financiero será

La varianza del valor actual financiero será

3.

Una renta de supervivencia, consiste en el pago de una serie de capitales financieros condicionados a la

supervivencia del individuo en cada momento en que se hacen efectivos. Puede darse un diferimiento m, y

una temporalidad n. Y también ser un pago anticipado; al principio del periodo, o vencido; al final del

periodo. Si la renta es inmediata no existe diferimiento; m=0. Si la renta es vitalicia, la temporalidad dura

hasta que se llega al infinito actuarial; n=w-(x+m) la duración de la renta vitalicia será la edad infinito

menos la edad desde la que empieza la renta (la actual x + el diferimiento m).

La función de intensidad de cuantía “u(t)” nos da el valor (en euros) de cada pago (t,

anuales); €/año. MUY IMPORTANTE el concepto de que es “anual”!

Si se da el caso de que existe un diferimiento “m”, y la variable “t” es el intervalo temporal

que incluye m+n, la función intensidad de cuantía se escribe “u(t-m)”, de forma que el

primer pago será

u(m-m) = u(0) €/año

u(m+1-m)=u(1) €/año

u(m+2-m)=u(2) €/año

u(m+n-1-m)=u(n-1) €/año

dejando un total de “n” pagos, que va de “0” a “n-1”.

Empezaremos simplificando la función de intensidad de cuantía = 1 euro/año.

Volviendo a las rentas, se define “t” como

Así, la función de intensidad de cuantía, en el caso de una renta diferida y prepagable queda,

Existen “n” pagos, que comprenden desde el primero en el momento cero; u(0) hasta el n-ésimo pago, en el

momento n-1; u(n-1).

Si se tratara de una renta pospagable, se paga al final del periodo, quedaría

u(0) u(1) u(2) u(3) u(4) u(n-1)

0 m m+1 m+2 m+3 m+4 m+n-1 m+n

edad x x+n x+m+n-1 x+m+n

u(0) u(1) u(2) u(3) u(n-2) u(n-1)

0 m m+1 m+2 m+3 m+4 m+n-1 m+n

edad x x+n x+m+n-1 x+m+n

-1

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Donde igualmente hay n pagos, sólo que ahora se inician al final de cada periodo. La cuantía u(0)

correspondiente al periodo inicial m, se hace efectiva en m+1. La n-ésima cuantía u(n-1) se corresponde con

el periodo m+n-1 pero se hace efectiva al final del mismo; m+n.

Si la renta es prepagable, diferida m y temporal n, para un individuo de edad x, se simboliza con

Si la renta es pospagable, diferida m y temporal n, para un individuo de edad x, se simboliza con

Si la renta es prepagable, inmediata, temporal n, etc…

Si es diferida y vitalicia, etc,

De esta forma la renta consiste en n pagos sujetos a la supervivencia del individuo. El valor actual es la

variable , ó, , que representa la suma acumulada de capitales a desembolsar.

Una renta diferida m años y temporal n, con los pagos anticipados, queda:

teniendo en cuenta que y que Δt=1 y también que u(t-m)=1

Valor en cero Probabilidad Si m>0 0

Y en el caso de la misma renta pero con pagos vencidos (sólo cambia que la valoración se hace a un periodo

más);

y que Δt=1 y también que u(t-m)=1

Valor en cero Probabilidad Si m>0 0

De esta forma, la renta es un conjunto de capitales diferidos. El capital diferido calcula el valor de un euro

actual sujeto a una probabilidad de sobrevivencia, y la renta calcula el valor de un conjunto de euros sujetos

a sus respectivas probabilidades de sobrevivencia.

Si el individuo fallece antes de que dé inicio la renta, no habrá pago, igual que cuando el capital diferido daba

un valor = cero. Si el individuo sobrevive hasta el primer año de la renta cobrará el primer pago, y si fallece

en ese momento ya no cobrará nada más, y el valor de la renta habrá sido este único pago.

Si el individuo sobrevive k años, cobrará k capitales diferidos con un valor = la suma de estos capitales

diferidos.

Finalmente, si el individuo sobrevive todo el periodo de la renta habrá cobrado todo el conjunto de capitales

diferidos; habrá cobrado toda la renta en su conjunto.

La probabilidad total es = 1. Ya que se contempla la probabilidad de que sobreviva o fallezca en todo el

periodo; 1= =

Hasta ahora se simplifica el importe a pagar u(t-m)… y podemos decir que es 1 euro o cualquier otro importe

constante. Más adelante se trabajará con importes crecientes o decrecientes en el tiempo.

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4.

Un seguro de fallecimiento, es un importe a pagar al final del año en que fallezca el individuo. Igual que la

renta es un conjunto de capitales diferidos, el seguro de fallecimiento es un conjunto de capitales a pagar al

final del año de fallecimiento.

Ahora el seguro se expresa con “A”,

teniendo en cuenta que

Valor en cero Probabilidad Si m>0 0

Para ∀ t / m ≤ t ≤ m+n

Si m+n+x < w 0

5.

Un poquito más sobre la función de intensidad de cuantía. La forma general de expresarla será u(t-m), que

permitirá deducir 3 casos básicos:

Renta constante: independientemente del año en que nos encontremos (t), el valor de la

renta siempre será igual.

Renta variable aritméticamente, o lineal:

Renta variable geométricamente:

En el caso de estar valorando un seguro, se hablará de “función de cuantía” y se tratará de un valor (€).

En el caso de estar valorando una renta, se habla de “función de intensidad de cuantía”, (€/año).

Si por ejemplo tenemos el caso de una renta de 30.000 euros anuales constantes -cada año se paga la misma

cantidad- la función de intensidad de cuantía del primer pago será = 30.000 €/año, el segundo pago será

también de 30.000 €/año, y así hasta su fin.

Si se da el caso de que tenemos una renta de igualmente 30.000 euros pero repartidos en pagos anuales, nos

salen 12 pagos de 2500 €. La función de intensidad de cuantía es una expresión con dimensión “euros/año”

por lo que la forma correcta de expresar el primer pago sería = 2500€/mes*12 = 30.000€/año.

2. Rentas de supervivencia discretas

Ya se ha definido una renta de supervivencia como , ó, , es decir, como un conjunto de probables

capitales diferidos. Ahora se añade un grado más de complejidad: la cantidad y/o la frecuencia de pago es

variable. Puede suceder que varíe anualmente o intranualmente, y que se pague anualmente o

intranualmente. En todo caso, hay que tener en cuenta que la función de intensidad de cuantía es euros/año,

con lo que habrá que “arreglar” la valoración para evitar sumas equivocadas. Si la variación es anual y la

frecuencia de pago también, no existe problema y estamos en realidad en la renta de supervivencia del

apartado anterior. Pero si la variación o la frecuencia son inferiores al año, entonces sí se complica.

Poco a poco: Se añade “V” como la expresión de la función de intensidad de cuantía dentro de la renta,

indicando también el importe inicial de la renta (el primer importe), es tan sencillo como cambiar lo que

antes era 1 euro (unidad monetaria) por un importe cualquiera (más real):

donde h es el número de veces que varía la renta dentro del año, y k el número de veces que se paga dentro

de cada variación. Por ejemplo, una renta diferida 25 años, temporal 20, de un individuo de 30 años, con

pagos anuales que no varían (son constantes), y de un importe inicial de 1000 se escribe:

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Así que para rentas constantes y anuales la h y la k sobran.

Si la variación de la cuantía y su frecuencia de pago no coinciden, son rentas fraccionadas. Si la variación y la

frecuencia de pago sí coinciden, son rentas fraccionarias.

1.

Rentas sin variación, pero con frecuencia de pago inferior al año; en k-ésimos de año.

Supongamos una renta prepagable unitaria, para simplificar y verlo más claro. Lo que está sucediendo es que

tenemos una renta de supervivencia donde el euro que se paga anualmente se divide en k términos. Por

ejemplo, si se pagan 1200 euros anuales en 4 pagos trimestrales; 1200/4 = 300 euros trimestrales. Pero

volviendo a la unitaria;

Y la pospagable igual, con la única diferencia de que se valora un término más adelante.

Y también se puede expresar aquella renta continua,

2.

Rentas de variación anual y pago anual. De cuantía constante, variable lineal y variable geométricamente.

La variación anual significa h=1, y el pago anual significa k=1. Como la variación de la renta varía

anualmente, la base temporal que tomamos es la anual: el Δt=1 año. La función de intensidad de cuantía no

necesita ninguna corrección, porque ya estamos en euro/año, y los incrementos de la renta (anuales)

coinciden también con esta base temporal. Lo único que sucede es que tenemos una renta de supervivencia

donde la función de intensidad de cuantía es diferente cada año. Por ejemplo; una renta inmediata de 3.000€

anuales crecientes en 300 año a año:

Si se trata de una renta prepagable, se escribe:

Donde el subíndice “t” se refiere a que los incrementos en la suma van de “t en t”.

Y si fuera una renta pospagable,

La relación entre una y otra,

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Ejemplo de variación aritmética: calcular el valor actual actuarial de una renta pagadera mientras viva el

asegurado (de 40 años de edad), anual, prepagable, inmediata y temporal 10 años. Con una cuantía inicial de

6.000 € que incrementan en 300€ anuales. Un tipo de interés técnico del 3% anual.

Este ejemplo anterior es una renta de variación lineal o aritmética, pero se podría plantear una renta de

variación geométrica, donde de un año a otro la cuantía crece en un tanto por ciento:

Ejemplo de variación geométrica: calcular el valor actual actuarial de una renta pagadera mientras viva el

asegurado (de 35 años de edad), diferida 15 años, vitalicia y pospagable. El primer importe es de 1200€ y

crecen en un 5% anual. Tipo de interés técnico 3% anual.

Y se podría escribir como una renta prepagable si…

3.

Rentas con variación intranual y con frecuencia de pago intranual.

3.1 Fraccionarias: la frecuencia de la variación y la frecuencia del pago coinciden.

Si se trata de una renta prepagable,

Si se trata de una renta pospagable

Donde “ent” se refiere a la parte entera del valor “t” (en el siguiente párrafo se explica). La renta varía cada

h-ésimo de año y sólo hay un pago por variación. Por ejemplo; la renta varía semestralmente y los pagos

también son semestrales. Entonces la frecuencia de variación h sería = 2 veces por año, y k sería = 1. k es el

número de veces que hay un pago por cada vez que la renta varía. Si hay un pago por variación, significa que

la renta varía cada semestre y hay un único pago por semestre. Si k=1 no hace falta indicarlo [ .

Ejemplo; Un hombre de 25 años contrata una renta prepagable semestral inmediata (sin diferimiento),

temporal 15 años, de cuantía 3000 el primer término y creciente en 100 euros semestrales.

Lo que se ha hecho es;

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a) Ya que la función de intensidad de cuantía es una expresión euros/año, hay que convertir los datos

semestrales en anuales. 3000 euros semestrales son 3000*2=6000 euros anuales, y el crecimiento de 100

euros semestrales son 100*2=200 euros anuales. Esto se corresponde con

b) como la renta avanza por semestres, hay que corregir la función de intensidad de cuantía añadiendo la

coletilla … asumiendo un incremento de t de ½ en ½,

c) finalmente hay que corregir la expresión anual y convertirla en semestral. Es la parte … ½ …

Muy fácil si se ve el resultado cuantía a cuantía, asumiendo que

función de intensidad de cuantía periodo importe

u(0)= 0 =3000

u(1)= 1 =3100

u(2)= 2 =3200

u(3)= 3 =3300

u(4)= 4 =3400

etc.

3.2 Fraccionadas: variación y frecuencia no coinciden.

Si se trata de una renta prepagable:

Si se trata de una renta pospagable:

Ahora lo que sucede es que dentro de cada periodo de variación existen una serie de pagos del mismo

importe. Por ejemplo, la renta anterior que varía semestralmente (h=2) ahora se divide en pagos mensuales;

dentro de cada semestre la renta es de 6 pagos iguales (k=6), [ . Si la renta fuera de variación anual con

pagos trimestrales, la notación sería [ , y una renta de variación trimestral y pagos mensuales; [ . De

nuevo: h es el número de variaciones de la renta dentro del año.

Ahora la función de intensidad de cuantía, que es una expresión anual, debe corregirse para llegar a expresar

cómo avanza la renta dentro del año. Así, se divide por el número de variaciones intranuales, y también por

el producto del número de variaciones y de número de pagos iguales.

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Ejemplo; Un hombre de 25 años contrata una renta prepagable mensual inmediata (sin diferimiento),

temporal 15 años, de cuantía 500 el primer término y creciente en 100 euros semestrales.

Lo que se ha hecho es;

a) Ya que la función de intensidad de cuantía es una expresión euros/año, hay que convertir los datos

semestrales y mensuales en anuales. 500 euros mensuales son 500*12=6000 euros anuales, y el crecimiento

de 100 euros semestrales son 100*2=200 euros anuales. Esto se corresponde con

b) como la renta varía por semestres, hay que corregir la función de intensidad de cuantía añadiendo la

coletilla …

c) asumiendo un incremento de t de 1/12 en 1/12, finalmente hay que corregir la expresión anual y

convertirla en mensual. Es la parte … …

Muy fácil si se ve el resultado cuantía a cuantía, si

función de intensidad de cuantía periodo importe

u(0/12)= 0 =500

u(1/12)= 1 =500

u(6/12)= 6 =516,66

u(7/12)= 7 =516,66

u(1+3/12)= 15 =533,33

etc.

Se puede comprobar que 6*500 + 6*516,66 son los 6000 euros de base más 100 semestrales.

4.

Ejemplos de cómo expresar variaciones intranuales de la función de cuantía:

a) Función de intensidad de cuantía de una renta prepagable, diferida 10 años, de 1000 euros trimestrales:

Como la cuantía no varía: cuantía constante y punto. Es la más sencilla.

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b) función de intensidad de cuantía de una renta prepagable, inmediata, mensual, de 200€ al mes durante el

primer año, y crecientes en 25 euros mensuales de año en año:

Como la variación es anual y la frecuencia de pago es mensual, se trata de una renta fraccionada

Como la variación es anual pero la frecuencia de pago es mensual, es necesario “arreglar” la función de

intensidad de cuantía incorporando la expresión “ent(t)” que significa que los 25*12 euros mensuales

aparecerán sólo cuando el incremento de t sea un número entero, es decir, cuando pasemos de un año a otro.

En el momento del primer mes, “t” toma un valor = , no entero, la parte no entera no se incorpora a la

función. Por ejemplo, en el cuarto año y segundo mes la función de intensidad de cuantía sería

c) Función de intensidad de una renta prepagable, inmediata, semestral de 1000 euros el primer semestre y

con un incremento semestral del 1% acumulativo:

Como la variación coincide con la frecuencia de pagos, se trata de una renta fraccionaria.

d) Función de cuantía de un seguro inmediato, pagadero al final del mes de fallecimiento y cuya cuantía es de

100.000 euros mensuales y se incrementa en 1000 año a año:

e) Función de cuantía de un seguro continuo, pagadero en el instante de fallecimiento, diferido 3 años y de

200.000 € variables a una tasa de interés instantánea de 0,5% anual.

5.

Relación entre rentas prepagables y pospagables.

La renta prepagable, diferida m, temporal n, para un individuo de edad x se escribe:

Y la renta pospagable, diferida m, temporal n, para una edad x se escribe:

Se usa la letra ρ para referirse a las rentas en general (unitarias o del importe que sea), que, para recordarlo,

de forma genérica se escribe:

Donde el “θt” se refiere al “siguiente t”, y para ambas rentas se tiene en cuenta su fraccionamiento al añadir

el “Δt”.

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ä ä

a ä

ä-a ä

1 1 1 1 1 … 1

periodo m m+1 m+2 m+3 m+4 m+5 m+r m+n-1 m+n

1 1 1 1 1 … 1

1 0 0 0 0 0 … 0 -1

1

Si una renta es prepagable es porque se hace efectiva -se paga- al inicio del periodo, y una renta es

pospagable porque se hace efectiva al final del periodo, se puede concluir que son la misma renta sólo que

una -la prepagable- se ha anticipado un periodo, lo que afecta a su valor actual de forma que:

¿Por qué? Porque si hay que pagar en un momento “r” 1 euro, su valor financiero será mayor que el valor

financiero de 1 euro que se tiene que pagar en “r+1”, ya que cuánto más nos alejamos en el tiempo más

pueden rendir los intereses. Llevado al extremo: el valor hoy de un euro que se tuviera que pagar mañana es

prácticamente el mismo euro, y si se tuviera que pagar dentro de 10 años sería de 0,7 … por suponer algo.

El efecto actuarial también influye en el mismo sentido: Es más probable tener que pagar 1 euro mañana que

dentro de 10 años (donde evidentemente es un plazo donde es más probable que suceda el fallecimiento).

De esta forma se llega a esa conclusión de que el valor actual actuarial es mayor para una renta prepagable

que para una pospagable.

A partir de las expresiones anteriores se puede encontrar la diferencia que existe entre ambas:

Es un primer paso: Lo que se ha hecho es sustituir por las expresiones generales, y luego cambiar de signo la

expresión para poder ordenar los E(x,…) en la forma que nos da el incremento de una variable; “el siguiente”

menos “el inicial” es igual “al incremento”. Y luego, aplicando la suma por partes donde la suma de una

función u(x), por el incremento de otra función , queda como,

y ahora se puede realizar el segundo paso:

y la parte de la suma no es sino la definición de la renta pospagable:

Aunque con la particularidad de que es una renta pospagable con función de cuantía =

Ejemplo: Si tenemos una renta unitaria, anual y constante, la diferencia entre la renta prepagable y la

pospagable será:

Δt es una constante! P.ej.

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ä ä

a ä

ä-a ä

periodo m m+1 m+2 m+n-1 m+n

Es decir, son la misma renta salvo en los extremos. El gráfico anterior hay que contemplarlo como si se

cogieran dos rentas idénticas y una se desplazara un periodo hacia el origen. Y hay que recordar que

hace referencia a la valoración financiera y actuarial :

Aplicando la expresión anterior, se puede calcular la relación entre rentas prepagables y pospagables para

los siguientes casos:

a) Renta variable lineal anual

b) Renta variable lineal fraccionaria

c) Renta variable lineal fraccionada de la anual

d) Renta variable lineal por h-ésimos y fraccionada en k partes.

e) Renta variable geométrica anual

f) Renta variable geométrica fraccionaria

g) Renta variable geométrica fraccionada de la anual

h) Renta variable geométrica variable por h-ésimos y pagadera en k partes.

a) Renta variable lineal anual

Que se interpreta como que la diferencia es igual a la resta de los extremos más la renta pospagable de

Otro ejemplo:

Si se tiene una renta de intensidad constante = 15000€/año, fraccionada por trimestres, encontrar:

a) relación entre rentas diferidas m y temporales n

b) rentas inmediatas y temporales n

c) rentas diferidas m y vitalicias

d) rentas inmediatas y vitalicias

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a) relación entre rentas diferidas m y temporales n

b) rentas inmediatas y temporales n

c) rentas diferidas m y vitalicias

d) rentas inmediatas y vitalicias

6.

Aproximación de las rentas unitarias fraccionadas a partir de una renta unitaria anual.

Si conocemos los valores de una renta unitaria anual, se puede realizar una aproximación a los valores de las

rentas unitarias fraccionadas.

Las rentas unitarias anuales son:

a) La renta unitaria anual tiene como función de intensidad de cuantía = 1€/año, y los Δt son = 1, así:

b) Y la renta unitaria anual pospagable es lo mismo pero corrido todo un periodo:

Por otro lado, las rentas unitarias fraccionadas son,

a) Para la renta prepagable ahora los incrementos de t son k-ésimos, de forma que 1 euro por 1/k queda:

b) Y para la renta pospagable lo mismo, pero llevado todo un k-ésimo adelante:

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Donde además se sabe que;

y también se sabe que la relación entre prepagables y pospagables es;

6.1 Aproximación lineal de los capitales diferidos.

Consiste en plantearse que existe una relación lineal entre los capitales diferidos de la renta prepagable y la

pospagable en el mismo periodo “t”. De forma que se plantea un punto intermedio tal que

Si la renta prepagable anual fraccionada se entiende como la suma del valor de cada k-ésimo;

entonces se puede añadir que cada k-ésimo se suma hasta completar el entero, en s-ésimos!

se trata de un doble sumatorio, donde el primero, que va de m a m+n suma los años enteros, y el segundo

suma la cantidad “s” de k-ésimos de año de cero a uno. Cuando s=0 estamos al inicio del periodo, en E(x,t), y

cuando s=1 estamos en E(x,t+1) .

El siguiente paso es incorporar el valor aproximado de E(x,t+s) a la segunda suma. De forma que

como el segundo sumatorio es independiente de t, se puede introducir aquí

y dentro de los corchetes queda la suma;

Si luego el sumatorio que estaba afuera se liga a su E(x,…) respectivo, finalmente queda,

que se interpreta como si fuera una media ponderada. (Un ejemplo más adelante).

Se puede reescribir para que quede sólo en función de la renta prepagable, si se inserta la relación entre

prepagable y pospagable.

y haciendo factor común;

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O para que quede en función sólo de la renta pospagable;

y haciendo factor común,

6.2 Aproximación lineal de las probabilidades de supervivencia.

Ahora la interpolación lineal se aplica no al E(x,t) sino al .

El resultado final es;

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1.3. Seguros de fallecimiento

Los seguros de fallecimiento son una operación actuarial consistente en el pago de un capital al producirse el

fallecimiento del asegurado. Lo más sencillo es imaginar que se paga una prima en un momento inicial, y que

a partir de ese momento el sujeto está cubierto; en el momento en que fallezca se le pagará (a sus herederos)

una cuantía especificada.

Un poquito más complicado sería imaginar que la prima no es única, sino una serie de pagos, y/o que el

seguro cubre un periodo futuro; está diferido.

Los seguros pueden ser discretos o continuos, según el momento en que se pague la cuantía.

a) son discretos cuando se paga al final del periodo de fallecimiento. De nuevo lo más sencillo es imaginar

periodos anuales, pero también se puede fraccionar en periodos intranuales.

b) son continuos cuando se paga en el instante del fallecimiento.

Y finalmente, igual que con las rentas, los seguros pueden ser un importe variable, creciente en el tiempo, de

forma anual o en fracciones intranuales.

Se diferencia de las rentas en que ahora se expresa con una “A” mayúscula:

Y ya se puede anticipar una diferencia notable con las rentas: el seguro siempre es pospagable porque

primero hay que fallecer! No existen los seguros prepagables.

La grandísima diferencia con las rentas, es que la cuantía a pagar es una expresión en €… no se trata de una

intensidad como la €/año de la función de intensidad de cuantía de las rentas. En los seguros se habla de

“función de cuantía” y los importes no tienen una dimensión temporal.

La expresión general del seguro de una cuantía determinada, fraccionario, diferido y temporal será:

En este caso los incrementos temporales son y finalmente la ecuación queda:

y desarrollando un poquito más:

La valoración siempre será al final del periodo de fallecimiento:

La probabilidad de que se tenga que afrontar el pago será la de llegar vivo hasta el momento “t” y fallecer en

el siguiente periodo:

Sólo para recordarlo:

Ejemplo de cómo expresar la función de cuantía de un seguro y su valor actual actuarial:

Seguro pagadero al final del mes del fallecimiento, de un individuo de edad x, si el seguro es diferido 5 años,

vida entera, de 30.000€ crecientes en 1000 € semestralmente:

La función de cuantía, que YA NO ES UNA EXPRESIÓN ANUAL, sólo representa €, quedará

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Por ejemplo,

en el 4º año y 2 meses:

y el 4º año y 6 meses:

Una vez se tiene la función de cuantía, ya se puede escribir el valor actual actuarial:

A efectos del cálculo, cuando el seguro es pagadero en fracciones de año hay que ajustar el cálculo de la

probabilidad de fallecimiento a estas fracciones. Como las probabilidades se crean a partir de las tablas

anuales de mortalidad, hay que aproximar mediante una de las tres hipótesis de la teoría de estadística

actuarial vida:

1. hipótesis de interpolación lineal.

2. hipótesis de tanto de mortalidad constante.

3. hipótesis de Balducci.

1.

Seguros continuos

Son aquellos seguros que se hacen efectivos en el instante de la muerte del asegurado. Se pasa así del campo

discreto al continuo.

Si existía variación de la función de cuantía, se pueden dar dos situaciones.

a) que la variación también sea continua en el tiempo, hablando entonces de seguros doblemente continuos.

b) que la variación sea discreta, cada una cierta fracción de tiempo, y se habla de seguros continuos con

variación discreta de la cuantía.

a) seguros doblemente continuos

Su cálculo es muy complejo, la expresión de partida es:

Se simplifica un poquito si la cuantía es constante (C) y sale fuera de la integral, y si suponemos la hipótesis

de distribución uniforme de la mortalidad, de forma que queda:

donde ρ es el interés continuo

Ejemplo:

Una persona de 58 años contrata un seguro de 60.000€ pagadero al instante de fallecimiento si sucede

después de la jubilación. ¿cuál es la prima única? Suponiendo un interés anual = 3% y tablas LGKM95.

La prima única tiene el mismo valor que el valor actual de la contraprestación:

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Suponiendo jubilación en 65 años, 65-58= 7 años de diferimiento.

Si el seguro es vida entera, y se supone un infinito actuarial de 121 años; 121-58 =63 años t *7,…,63+

suponiendo ahora distribución uniforme de la mortalidad:

b) seguros continuos con variación discreta de la cuantía

En este caso se plantea un seguro que se paga en el plano continuo, mientras que la cuantía varía en discreto

en h-ésimos de año. La integral se puede escindir en estos dos planos:

Donde lo que se tiene es que dentro de cada variación de la cuantía, se multiplica por la valoración en

continuo del seguro. Si de nuevo se plantea la hipótesis de distribución uniforme de los fallecimientos se

obtiene:

donde ahora es el interés nominal capitalizable h-ésimos de año.

Ejemplo:

Calcular la prima única de un seguro diferido 10 años, a vida entera, pagadero en el instante de fallecimiento

y de 1000 euros el primer semestre, creciendo en 1% acumulativo cada semestre. El individuo que lo

contrata tiene 30 años. Bases técnicas: interés anual del 3% e infinito actuarial en 116 años.

Si el diferimiento m=10,

el plazo t de la operación va de los 40 a los 116 años = 76 años. Y se avanza en semestres.

La función de cuantía será

y el valor actual actuarial será

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2.

Aproximación al seguro continuo a partir de un seguro discreto.

Para poder realizar esta aproximación hay que definir de alguna manera cómo sucede el fallecimiento a lo

largo del año. Una primera aproximación será, en plan salvaje, suponer que todos los fallecimientos suceden

a mitad del periodo. Y otra segunda aproximación, un poco más seria, es suponiendo que la intensidad de la

mortalidad es constante. Se utiliza cuando tenemos un seguro que se paga en el instante de fallecimiento y

debemos expresarlo en sumas (para poder calcularlo!). Las dos aproximaciones no difieren

significativamente en su valoración, por lo que se puede utilizar cualquiera de las dos alternativamente si no

se especifica lo contrario. En la página 36 se expresa un ejemplo de su uso, y más adelante en los ejemplos de

las provisiones.

2.1 la aproximación heurística

Si se sabe que el seguro unitario anual es:

y que el seguro unitario continuo es:

Se puede entender que un seguro unitario continuo, si se escinde en periodos discretos, también es;

donde ahora la integral de r a r+1 se refiere al tiempo continuo intranual.

Una vez lo tenemos planteado, aplicamos la idea de que todos los fallecimientos suceden a mitad de periodo,

de forma que la expresión anterior se convierte en:

se puede desarrollar otro paso más si el se corrige para llegar hasta la expresión de un seguro. Eso se

puede conseguir multiplicando el sumatorio por de forma que;

Lo que significa que si planteamos que los fallecimientos suceden a mitad del periodo, y el seguro se paga en

el instante en que se fallece, lo que se está haciendo es capitalizar el seguro discreto medio periodo.

2.2 la aproximación si se supone intensidad de fallecimiento constante.

Si la intensidad de fallecimiento es constante, entonces de forma que

donde

y finalmente,

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3.

Relación entre los valores actuariales de las rentas y los seguros.

Si llamamos a la renta “rho”; ρ, y al seguro “sigma”; σ, y sabemos que;

y (pág. 10) sabemos que;

(donde “d” es la tasa de descuento)

Entonces se puede escribir;

separando la integral en dos y siendo “-d(Δt)” una constante que puede salir de la integral;

la primera integral es una renta prepagable, y desarrollando la segunda integral por partes;

ahora la segunda integral se parece bastante a una renta pospagable, sólo falta añadir para conseguirlo;

de forma que se reescribe;

y ahora ya sólo desarrollando Barrow y ordenando, quedará:

Hay que fijarse en el detalle de que se tienen elementos excluyentes en esta igualdad. Si el individuo

sobrevive el seguro no se ejecuta, y si fallece las rentas se detienen en el momento de fallecimiento.

En términos unitarios, anuales y crecientes en +1:

1+renta unitaria pospagable= renta que te paga los intereses por anticipado ó la devolución del nominal que se

haya pagado cada año ó llegar vivo y recibir el capital diferido.

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Se puede reescribir como valoración del seguro en función de las rentas:

Ejemplos:

1. Seguro unitario anual

Si es unitario u(t-m)=1 Δu(t-m)=0

y si es anual Δt=1 la tasa de descuento será = tasa de descuento anual

y el mismo seguro pero expresado en función de las rentas pospagables;

2. Seguro unitario fraccionario

Si es unitario u(t-m)=1 Δu(t-m)=0

y si es fraccionario Δt=1/h

de nuevo expresado en función de rentas pospagables;

3.Seguro unitario continuo

Si es unitario u(t-m)=1 Δu(t-m)=0

y si es continuo las rentas y el interés se expresan en continuo (y no hay diferencia entre pos y

prepagables)

Otro ejemplo:

Sabiendo la relación general entre rentas y seguros, expresarla si u(t-m)=α(1+t-m)

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si;

entonces,

de forma que;

Si se tratara de m=0 entonces;

y si además fuera vitalicia;

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1.4. El valor de las primas.

La prima Π es la cantidad que paga el individuo que contrata una renta o un seguro. La compañía de seguros

podrá sumar recargos, costes y beneficios deseados, pero en un primer momento, y para simplificar, el valor

de la prima deberá ser igual al valor de la prestación. Si una renta o un seguro tienen un valor actuarial igual

a K, el valor actual de las primas deberá ser también igual a K.

El caso más sencillo es la prima única que se paga para cobrar un capital cierto en un futuro. Por capital

cierto se entiende que alguien recibirá sí o sí ese capital. En este caso al calcular el valor actuarial de la renta

o el seguro se obtiene directamente el precio de la prima. Un poco más complicado será cuando el capital no

sea cierto, o cuando la prima se reparte en una serie de pagos. Así se crea una “renta de primas” cuyo valor

actual será igual al valor actuarial de las rentas o el seguro.

1.

El caso cierto

1.1 A prima única: No es una operación actuarial, sino una operación de capitalización de matemática

financiera. Se paga una prima única hoy para recibir un capital futuro (el asegurado o sus beneficiarios). La

prima deberá tener el mismo valor que el capital futuro. No hay que olvidar que:

Ejemplo:

Se pagan 1000 euros hoy para recibir un importe equivalente (1500€, p.ej.) en el año “t”.

1.2 Con una renta de primas: Se paga una renta de manera cierta (el asegurado o sus garantías) y se recibe

un capital futuro cierto (el asegurado o sus beneficiarios). La renta de n primas no será actuarial, sino

financiera, y tendrá el mismo valor que el capital futuro en el año t.

Ejemplo:

Se pagan 100 euros durante 10 años para recibir 1500 euros en el año “t”.

2.

Capital diferido

2.1 Volviendo al mundo actuarial pero sin muchas complicaciones: Si el individuo llega vivo a “n” recibirá un

capital C. Si es mediante una prima única:

Ejemplo:

Se pagan 980 euros hoy para recibir 1500 euros en el año “n” si se está vivo en ese momento.

2.2 Si se contrata mediante una renta de n pagos periódicos de un importe P, para recibir un capital C en el

año n si se está vivo:

Este caso anterior supone que se paga una renta actuarial hasta el momento “n” que es cuando se hace

efectivo el pago.

Ejemplo:

Se pagan 98 euros durante 10 años para recibir 1500 euros en el año 10 si se está vivo.

2.3 Si se contrata una renta de k pagos de importe P pero más corta que el plazo de tiempo n que ha de

transcurrir hasta que se paga el seguro C:

Ejemplo:

Se pagan 98 euros durante 10 años para recibir 1600 euros en el año 15 si se está vivo.

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2.4 Las primas no tienen por qué ser anuales. Se puede hacer una renta de pagos en m-ésimos de año.

Ejemplo:

Se pagan 8 euros al mes durante 10 años para recibir 1500 euros en el año 15 si se está vivo.

2.5 Las primas también pueden variar en el tiempo, y crecer, año a año, o intranualmente.

Para ejemplificar un poco los puntos anteriores:

Un asegurado de edad 40 años contrata una renta de jubilación de 20 años de 1000 euros anuales

constantes. Pagará unas primas periódicas por trimestres durante 10 años, constantes. ¿Cuál es el valor de

las primas?

Ejemplo:

Se contrata una renta trimestral de α al año, diferida m y vitalicia, mediante unas primas anuales P y

constantes, inmediatas y temporales n. Determinar la ecuación de equilibrio.

La ecuación de equilibrio será, teniendo cuidado en el detalle de que α es anual! (Si no dijera nada se

entendería α trimestral y se escribiría …4*α…)

La ecuación de equilibrio,

3.

El contraseguro de primas.

Dejando a un lado los casos de certeza, en los puntos anteriores si el asegurado fallece antes de cobrar la

prestación perderá el valor de todas las primas que haya pagado. Se puede extender el seguro de forma que

exista un contraseguro de primas, que en el caso de que se produzca el fallecimiento antes de cobrar la

prestación, se le devuelvan al asegurado (a sus beneficiarios) el importe de las primas ya pagadas.

3.1 En el caso de una prima única para un capital diferido;

donde C está vinculado a la supervivencia E(x,n), el contraseguro supone sumar un término que sólo se

activa si sucede lo contrario; el fallecimiento:

3.2 En el caso de una renta de primas inmediata donde hay un espacio temporal desde que termina la renta

(en k) y llega el pago del capital diferido (en n), la expresión de equilibrio es:

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ahora el contraseguro tiene que activarse o bien cuando aún se están pagando las primas, o bien en el

espacio temporal que hay entre el fin del pago de las primas y el momento de cobrar el capital diferido:

En colores:

1. la renta de las primas de importe P pagadas durante k años es igual a

2. el valor actuarial de C si se llega vivo a n

3. más el valor de las primas P ya pagadas que haya que devolver si se fallece durante el pago de las mismas

4. más el valor de todas las primas que se devolverán si se fallece en el periodo entre final de la renta y pago

del capital diferido

El término intermedio … … tiene esta forma porque hay que expresar el valor del seguro en el

momento del fallecimiento: será igual al valor de las primas que haya pagado. A medida que avanzan los

pagos se van acumulando “P”: Se supone un seguro con función de cuantía P y creciente en P cada

año:

Como la función de cuantía es u(t)=P+P*ent(t) se puede sacar factor común

y finalmente sacar P de la expresión, de forma que nos queda el valor de la prima “P” por un seguro continuo

con función de cuantía = 1 creciente en 1 anualmente. Como existe este crecimiento, es expresa con

Cuando se termina el plazo “k” entonces ya se sabe que se tienen k*P términos (es el último término de la

expresión), y por eso ahora sí se multiplica por el seguro unitario:

Ejemplo:

Para un individuo de 40 años, montar un seguro inmediato, vida entera, de 10.000 €, pagando primas

anuales constantes hasta los 64 años (incluidos). Calcular la prima si se incorpora también un capital

diferido que en la jubilación le devuelva las primas si llega vivo, manteniéndose el seguro sin nuevas primas.

Otro ejemplo:

Un individuo de edad x contrata una renta prepagable de capital C anual, creciente geométricamente en β

año tras año, diferido hasta m y vitalicia. Lo paga con primas inmediatas, prepagables, durante n años

(n<m), anuales. Un contraseguro inmediato de primas le devolverá las primas si fallece antes de m.

La ecuación de equilibrio será:

Expresado en sumas:

delante de los corchetes se ha hecho factor común con la Prima, pero además se tiene que decidir qué

aproximación se quiere hacer del discreto al continuo: los seguros en la ecuación de equilibrio están

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expresados en continuo: se pagan en el momento del fallecimiento. Por lo visto anteriormente (pag.30) se

tiene que escoger si se quiere hacer la aproximación por la hipótesis de fallecimiento a mitad de periodo, o

bien la hipótesis de intensidad de fallecimiento constante. Si no se dice lo contrario, se elige la que más

apetezca. En este caso la segunda.

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TEMA 2. PROVISIONES MATEMÁTICAS Y GASTOS

2.1 Provisiones matemáticas

Si un individuo contrata una renta o un seguro, la empresa aseguradora se estará comprometiendo a tener

en un momento “n” la cantidad de dinero pactada; bien para pagarlo de golpe, o bien para repartirlo en

forma de una renta. La cantidad de dinero que la empresa aseguradora debe tener guardado en cada

momento es lo que se conoce como la provisión matemática y crecerá en el tiempo a medida que se acerque

el momento de realizarse la prestación.

Si la empresa aseguradora tiene la provisión matemática correcta estará siendo eficiente. Si tuviera más

provisión matemática de la que debería tener, está guardando un exceso de capital que le resta

competitividad, y si tuviera menos provisión de la que debiera tener, entonces tiene un problema de

solvencia y sostenibilidad.

La provisión entonces es aquel importe que debe tener la empresa aseguradora en un momento

determinado, teniendo en cuenta las primas que aún tiene que recibir y los pagos obligados que hará más

adelante.

En el caso más sencillo, el de la prima única y prestación única, la empresa aseguradora recibe un capital en

un momento t=0, lo capitaliza durante n periodos, y en t=n se lo devuelve al asegurado. La provisión

matemática en este caso es, en t=0, la propia prima que acaba de cobrar, porque la gracia de todo lo visto

anteriormente es sacarle rendimiento a este capital año a año. En cualquier momento intermedio t=r entre

el cobro de la prima y el pago del capital diferido, la provisión matemática será

1. el valor capitalizado hasta “r” de esa prima única,

2. o lo mismo: el valor en r de la prestación a pagar.

Y cuando se llega al momento t=n, la prima única se ha capitalizado todos estos años hasta convertirse en el

capital que desembolsará la empresa aseguradora.

Si lo que se contrata es un seguro de fallecimiento, puede parecer un problema que el asegurado fallezca

antes de que las primas pagadas se hayan capitalizado lo suficiente como para poder convertirse en el capital

pactado. Esto es inevitable, pero se soluciona con una amplia cartera de clientes y con la suma de recargos.

En el caso de las rentas de jubilación, el asegurado se obliga a pagar una serie de primas para recibir en un

futuro una renta por parte de la aseguradora. En el momento t=0 la empresa aseguradora tendrá una

provisión igual a cero, ya que espera recibir todas las primas por parte del asegurado. En un momento t=r,

mientras el asegurado está pagando primas, la empresa aseguradora tendrá ya guardadas (y rindiendo) las

primas ya pagadas, estará pendiente de recibir las primas que restan y tendrá en el horizonte el valor de la

renta a pagar. En este momento la provisión matemática; el dinero que la entidad debe tener para garantizar

la solvencia de la operación, se puede obtener como:

1. las primas ya cobradas y su rendimiento obtenido

2. la diferencia entre el valor en “r” de la renta de jubilación y las primas que sabe que tiene aún que cobrar.

El problema de 1. es que es difícil saber cuál es el rendimiento obtenido. El cálculo de la reserva matemática

siempre se hará por el método prospectivo, el 2.

De esta forma, se cumple que al aproximarse al momento de iniciar la renta de jubilación el valor de la

provisión va en aumento hasta tocar su máximo. A partir de que se empiece a pagar la renta de jubilación, la

cantidad de dinero que la empresa aseguradora debe tener disponible va descendiendo, hasta llegar a un

mínimo a medida que el individuo se aproxima al final de la renta o al infinito actuarial.

Las primas que ya se han pagado las guarda la empresa aseguradora y las va capitalizando con el paso del

tiempo. Así que existe un momento inicial (todas las valoraciones hechas anteriormente), un momento final

(donde la empresa ya dispondrá de todo el capital necesario para afrontar el pago al que se ha

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comprometido), y todo el resto de momentos intermedios (donde a la empresa aseguradora cada vez irá

recibiendo más primas hasta poder hacer frente al pago.

Si tenemos en cuenta el equilibrio actuarial:

Cuando calculamos la provisión matemática se tendrá:

En t=0, al inicio: No existe aún provisión porque la aseguradora está pendiente de recibir todas las primas;

aún no ha recibido ningún pago.

En t=n, al final:

Las primas se habrán capitalizado hasta convertirse en la prestación:

En t=r, en un momento intermedio:

1.

La provisión en las rentas

La provisión tendrá como expresión: un valor, para un individuo de edad x en un periodo r.

Las primas serán P

Los pagos de una renta de jubilación serán

La provisión mientras se pagan las primas:

Si se contrata una renta constante, vitalicia, diferida m, y para ella pagamos k primas, y todo es prepagable, la

ecuación de equilibrio que nos daría el valor de las P sería:

De forma que pagando desde el momento inmediato hasta el año k, un total de k primas de valor P, se

obtiene una renta desde el año m y hasta el infinito de α cada pago.

Si ahora llegamos al segundo año (r=2), cuál es el valor de la provisión matemática?

Por el método retrospectivo la reserva matemática sería el valor de las tres primas ya pagadas (porque son

prepagables; una en el periodo cero, otra en el periodo uno, la tercera en el periodo dos), pero existe el

problema de qué tipo de interés hay que suponer.

Por el método prospectivo se obtiene de forma que:

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Y se leería como que la valoración en el periodo 2 de la provisión matemática del individuo x es igual al valor

de la renta: corrigiendo que faltan dos años menos para que se inicie y que ahora el individuo tiene dos años

más. Menos las primas pendientes: que es la prima inicial pero con 3 primas menos y corrigiendo también

que ahora el individuo ya tiene dos años más.

En este punto ya se puede intuir un problema: cuando hablamos de “provisión matemática en el periodo 2”

hay que concretar si ya se ha pagado la prima o si aún no se ha pagado.

Si nos referimos a que aún no se ha pagado la prima se entiende que estamos a un instante de pagarla; es el

límite por la izquierda, es decir, se ha completado todo el primer periodo y estamos a un paso infinitesimal

de iniciar el segundo periodo. Se expresa .

Si se acaba de pagar la prima, es que justo estamos en el instante donde se ha iniciado el segundo periodo. Es

el límite por la derecha, en el sentido de que justo estamos iniciado el segundo periodo, y se expresa

Como es el momento exacto donde lo único que falta es pagar la prima, entonces, de forma general:

El ejemplo anterior, visto desde el límite por la izquierda se expresaría:

La provisión mientras se paga la renta:

Si ya ha pasado el periodo de recibir primas, y se ha iniciado la prestación, la aseguradora ahora espera ir

pagando una renta hasta que el individuo fallezca o se llegue al final del plazo pactado. Por lo tanto ahora la

provisión matemática irá decreciendo en el tiempo porque cada vez se espera pagar menos.

La provisión matemática, por el límite de la izquierda ahora será aquella provisión un instante antes de

efectuar el pago de α, por ejemplo, si se hiciera el periodo 4 después de iniciarse la renta:

Y se lee como que el valor de la provisión en el periodo cuatro antes de pagar la renta de ese año es el valor

de todas las pagas pendientes incluyendo el pago que se tendrá que hacer ya mismo: esto es una renta

prepagable, inmediata, de un individuo con edad x+m+4, y por el precio de la prestación = α.

Si se calcula el límite por la derecha, se acaba de hacer ya mismo el pago de la renta que tocaba ese año, por

lo que queda por pagar es una renta (que empieza el siguiente periodo), de pagos con valor= α, y para un

individuo de edad x+m+4. Esto es: una renta pospagable:

Y se cumple que lo más inmediato tiene más valor:

La provisión en un periodo intranual:

Si nos encontramos en un momento τ entre “r-1” y “r”, sin importar si se está pagando primas o prestación,

la provisión matemática en ese momento será como tomar el valor de la provisión en el límite de la izquierda

y capitalizarlo hasta τ.

2.

La provisión en los seguros

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0

k primas prepagables

(de 0 a k-1)

k-1 k m m+n-1 m+n

Seguro C

cubre de k a m

Renta de n α prepagables de m a

de (m a m+n-1)

Suponiendo que se contrata mediante el pago de una renta de primas inmediata, de k términos, y el seguro

es de un capital C, diferido y vida entera, la ecuación de equilibrio es:

Como el seguro es continuo no se diferencia entre límites por la izquierda o la derecha; coinciden.

La provisión durante la cobertura del seguro es:

Imaginando que estamos en el momento m+4:

La provisión intranual:

Suponiendo ahora que nos encontramos en un momento τ, entre m+3 y m+4, la provisión será:

3.

Ejemplos gráficos

Ejemplo 1:

Se contrata, mediante una renta de primas prepagables hasta k, un seguro C entre k y m, y una renta de m a

m+n.

La ecuación de equilibrio será:

a) provisión matemática durante el periodo de pago de las primas:

Por el límite por la derecha, se ha pagado la prima del periodo r:

para el capital del seguro y la renta futura, hay que corregir el diferimiento y restar los “r” años que han

pasado. Para las primas, si se ha pagado la prima del periodo ahora lo que queda es k-(r+1) primas, como no

habrá pagado hasta el siguiente periodo: renta pospagable.

Por el límite por la izquierda, no se ha pagado la prima del periodo r:

El capital del seguro y la renta futura sufren las mismas correcciones que antes. Ahora para las primas; se

han pagado “r” primas, falta la del periodo actual, de forma que queda una renta prepagable de k-r pagos.

Además, como aún no se ha recibido la prima, el valor de es inferior al de

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0

n primas prepagables

(de 0 a n-1)

n-1 n m

Seguro de 0 a n que

devuelve las primas

Capital C

en m

si vive

b) provisión matemática durante el periodo de vigencia del seguro:

Ahora

La provisión será el valor del seguro inmediato y con vigencia durante m-r años, más la renta pendiente de

pagar que se iniciará en m-r años y que dura n. En ambos, corrigiendo que ahora el individuo tiene x+r años.

c) provisión matemática durante el periodo de la renta:

Ahora

La provisión matemática del límite por la izquierda; cuando aún no se ha realizado el pago del periodo,

Y por el límite por la derecha, cuando ya se ha realizado el pago del periodo,

Ejemplo 2:

Se contrata un capital cierto, que recibirá el asegurado o sus beneficiarios sí o sí en el año k (superior a n)

pero sólo se pagará primas mientras viva y durante n periodos.

La ecuación de equilibrio será:

a) provisión en un momento r, mientras se pagan las primas, SI el individuo aún está vivo:

b) provisión en un momento r, después de haber pagado las primas, SI el individuo aún está vivo:

c) provisión en el momento de fallecimiento,

Para todo “r”, ya no se esperan cobrar primas y sólo queda el importe que se convertirá en C el año k

Ejemplo 3:

Mediante unas primas prepagables inmediatas y hasta el año n, se contrata un capital C en m a cobrar sólo si

se llega vivo. Pero si se fallece antes de llegar a m, se devuelven las que se hayan pagado.

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La ecuación de equilibrio será:

Lo que se tiene es que la renta de n primas de valor P permitirá tener un capital C, si se llega vivo a m, ó bien

recuperar las primas que haya pagado si fallece antes de n, o bien recuperará todas las n primas de importe

P si fallece en el periodo que va de n (cuando termina de pagar las primas) a m (cuando cobraría el capital

C).

a) la provisión matemática en el periodo de pago de primas será:

Por el límite de la derecha:

Por el límite de la izquierda:

b) la provisión matemática después de terminar de pagar las primas será:

Ejemplo 4:

Se contrata un seguro geométrico en β, diferido m, temporal n, pagando primas trimestrales hasta m

crecientes en “h” cada año. Plantear el cálculo de la prima, y calcular las provisiones matemáticas en r<m y

en m<r<m+n.

La ecuación de equilibrio es:

Ahora las primas no son “P * renta unitaria” sino que están dentro de la expresión:

y la función de intensidad de cuantía es:

de forma que la expresión de la renta de las primas es:

¿Cómo se puede sacar la P fuera, para poder aislarla en la ecuación de equilibrio?

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Pues bien, se puede descomponer en dos sumas: una que recoja la suma de las primas y otra que recoja la

suma de los incrementos:

Donde se ha podido simplificar el ¼ con los 4P y los 4h. Y con esto ya será posible aislar la P.

Ahora las provisiones.

En r<m, aún se están pagando primas, a partir de la ecuación de equilibrio,

la provisión matemática por el límite de la izquierda (aún no se ha pagado la prima), es:

Se complicaría un poquito si “r” no fuera entero, pero no vamos a llegar a tanto y suponemos que r=entero.

La provisión matemática por el límite de la derecha (se acaba de pagar la prima), es:

En m<r<m+n, ya no hay primas,

El capital C se tiene que actualizar al crecimiento que haya registrado hasta r, y por esto se expresa

Ejemplo 5:

Se contrata un seguro de cuantía C creciente en h anualmente, inmediato y vida entera, a pagar mediante

primas P anuales, constantes, inmediatas y temporales n. Se incluye que si se llega vivo al final del pago de

las primas, te las devuelven. Plantear la ecuación de equilibrio y calcular la provisión en r<n-1, en r=n-1, y

en r>n.

La ecuación de equilibrio,

Si se expresa en sumas,

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La provisión en r<n-1, es decir, mientras se pagan las primas,

La provisión en r=n-1, justo en el periodo donde se paga la última prima,

En r>n-1, ya no se pagan más primas,

Ejemplo 6:

Se pagan unas primas anuales P, constantes, prepagables, inmediata y hasta k, para obtener un capital

diferido C, en n, si llega vivo,… o bien cobrar un seguro M si fallece, inmediato y hasta n. Plantear la ecuación

de equilibrio, y calcular la provisión en r<k-1,

La ecuación de equilibrio,

si se expresa en sumas, asumiendo la hipótesis de fallecimiento a mitad de periodo (porque sí),

Provisión matemática en r<k-1,

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2.2 Gastos

Hasta ahora se ha visto cómo relacionar las prestaciones con el pago de unas primas. Éstas podían ser

primas únicas, o una renta de primas, pero en todo caso eran “primas puras”. Pero la realidad es que la

gestión de la empresa aseguradora conlleva unos gastos internos y externos que también tienen que ser

financiados por las primas; los gastos internos son aquellos que deben permitir que se cubran los gastos

administrativos; los gastos externos son aquellos que recompensan al comercial que ha vendido el seguro, es

una comisión.

Como los gastos internos son de la administración del contrato de seguro se deben valorar a lo largo de toda

la existencia del contrato, porque hay que contar con la posibilidad de que, por ejemplo, si se contrata una

renta vitalicia y el sujeto vive hasta el infinito acturial, habrá que administrar este contrato hasta ese año. Es

decir, los gastos internos se calcularán como una renta que durará tanto como duren las prestaciones del

seguro. La prima a la que se le ha añadido los gastos internos será mayor que la prima pura, y se le conoce

como prima de inventario (nota mnemotécnica: interno e inventario empiezan por “i”). Se simboliza como Π’

para cuando hablemos de primas únicas, y P’ para cuando hablemos de rentas de primas.

Los gastos internos suelen considerarse como un % del capital de la prestación, al año. Si estamos

trabajando con seguros de vida será directo: la cuantía del seguro C por el % de los gastos internos y todo

ello por el valor de una renta unitaria de la misma duración que las prestaciones.

Como ejemplo:

Si tenemos una prima única para contratar un seguro continuo de cuantía C, para un individuo de 35 años

durante un plazo de 30 años, Expresar la prima pura única y la prima única de inventario si los gastos de

gestión interna son del 0,1% sobre la prima pura:

Prima pura única

Prima única de inventario

Un detalle: los gastos de gestión interna se pueden calcular sobre la prima pura o sobre la prima de

inventario.

Otro ejemplo:

El individuo del caso anterior, pero ahora contrata una renta vitalicia diferida 20 años, de α al año, y no es

prima única, sino una renta de primas durante 5 años, además los gastos de gestión interna son una

comisión sobre las primas de inventario:

Prima pura:

Prima de inventario:

El último componente; , es lo que permite que los gastos internos existan durante toda la vida del

contrato, desde hoy que es cuando se contrata, hasta el infinito actuarial dado que es una renta vitalicia.

Como los gastos externos son una comisión a pagar, serán, por lo general, un pago único con un valor igual a

un tanto por ciento sobre la prima única o bien igual a las primas pagadas durante uno o dos años de una

renta de primas. Es decir, los gastos externos se calcularán como un pago único. La prima a la que se le ha

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añadido además de los gastos internos los gastos externos se le conoce como prima de tarifa. Se simboliza

como Π’’ o bien P’’:

Ejemplo:

El individuo de 35 años, que contrata una renta vitalicia diferida 20 años, de α al año, mediante una renta de

primas anuales durante 5 años, y donde los gastos de gestión interna son una comisión sobre las primas de

inventario. Ahora se le añade como gastos de gestión externa que se le pagará al comercial la primera prima

y la mitad de la segunda y de la tercera si el individuo la paga (es decir, si sobrevive al primer y segundo

año).

Prima de tarifa:

Como ya se puede ir observando, normalmente los gastos de gestión interna se calculan sobre las primas de

inventario, mientras que los gastos de gestión externa se calculan sobre las primas de tarifa.

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TEMA 3. GRUPOS DE 2 Y MÁS CABEZAS

3.1 INTRODUCCIÓN AL ÁLGEBRA DE BOOLE

1. Teoría de conjuntos

Cuando hemos estudiado rentas para un solo individuo estábamos en un plano sencillo donde la única

preocupación era cómo calcular esa renta. Pero cuando cogemos grupos de individuos aparece entonces el

problema de la cantidad de posibles permutaciones: el número de posibles ordenaciones de los elementos

sin repetición. Sólo para dos individuos se pueden calcular 7 rentas, y para 3 individuos aparecerán otras

127 posibles rentas. Cosas del estilo: renta que se pagará a X mientras viva Y pero sólo después de que haya

fallecido Z.

El álgebra de Boole se convierte en una herramienta que nos ayudará a calcular las rentas más complejas a

partir de otras rentas más sencillas. El resultado final será que una renta como la anterior; se pagará a X

mientras viva Y pero sólo después de que haya fallecido Z, será igual a sumas y restas de otras rentas que son

fáciles de conocer.

2. Una cabeza

En el caso de una sóla cabeza (un individuo “x”), desde el punto de vista del álgebra de Boole, tenemos un

generador (x) que tiene dos posiciones: vivo/muerto. Esto es: 1 generador genera 2 átomos.

Donde el primer X significa “vivo” y el significa el complementario: “muerto”.

Si Ω es todo el espacio de probabilidad (Ω=1), y suponemos que es el cuadrado azul:

Se puede interpretar como el momento

en el que un individuo nace y su

probabilidad de supervivencia es =1

A lo largo de la vida de un individuo, su probabilidad de sobrevivir a un plazo de tiempo va evolucionando;

De forma que estos círculos se podrían interpretar como la probabilidad que se utilizaba anteriormente

para calcular los valores actuales actuariales de las rentas:

En actuariales no interesa (porque es irrelevante) la posición muerto, por lo que nos quedamos con los

átomos positivos, a los que se les llama monomios: si el generador X crea dos átomos , el monomio

será simplemente . Y es que la renta de supervivencia para un individuo es

es decir, sólo nos interesa la parte positiva del átomo: X.

A esta reducción se le conocerá como “álgebra de Boole reducida”.

X

X X

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3. Dos cabezas

Si ahora tenemos dos individuos, X e Y, tenemos dos generadores que generan dos posiciones cada uno

De forma que se tiene 2² átomos: la base “2” son las clasificaciones posibles, y el exponente “²” son el número

de generadores. En total 4 átomos que suman la probabilidad total = 1, son las posiciones posibles:

los dos están vivos en el mismo momento

X está vivo pero Y está muerto

Y está vivo pero ahora es X el que está muerto

Los dos están fallecidos

Podemos excluir la parte doble negativa; y quedarnos sólo con 3 átomos…

los dos están vivos en el mismo momento; la intersección central monomio = XY

X está vivo pero Y está muerto; la media luna monomio = X

Y está vivo pero ahora es X el que está muerto; la otra media luna monomio = Y

… para nuestros cálculos.

A partir de aquí lo que puede suceder es la combinación de estos 3 átomos entre sí:

los dos están vivos o X vive e Y está muerto monomio = XY+X

+ los dos están vivos o Y vive y X está muerto monomio = XY+Y

uno cualquiera de los dos está vivo y el otro muerto monomio = X + Y

Hay alguien vivo: o los dos juntos o uno de los dos cualquiera. monomio = XY+X+Y

Estas relaciones anteriores son desde el punto de vista de conjuntos, pero a nosotros realmente lo que nos

interesa es añadirle la particularidad “renta que se paga si…”

Y

X

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renta que se paga mientras los dos vivan a la vez (hasta la disolución del grupo)

renta que se paga mientras X está vivo después de la muerte de Y

renta que se paga mientras Y está vivo después de la muerte de X

renta que se paga siempre que X esté vivo, independientemente de lo que haga Y

renta que se paga siempre que Y esté vivo, independientemente de lo que haga X

renta que se paga si vive exactamente uno de los dos, cualquiera

renta que se paga siempre hasta que fallezcan los dos (extinción del grupo)

Y para verlo aún más claro cuál sería la probabilidad asociada a cada situación,

renta que se paga mientras los dos

vivan a la vez, hasta la disolución, intersección ∩

renta que se paga mientras X está vivo

después de la muerte de Y

renta que se paga mientras Y está vivo

después de la muerte de X

renta que se paga siempre que X

esté vivo, independientemente de lo que haga Y

renta que se paga siempre que Y

esté vivo, independientemente de lo que haga X

renta que se paga si vive

exactamente uno de los dos, cualquiera

renta que se paga siempre

hasta que fallezcan los dos (extinción del grupo)

Es la unión: ∪

XY

X

X XY

XY

X

X XY

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Las hipótesis en que se basa este modelo es que existe independencia entre variables. Es decir, la muerte del

individuo X no condiciona la supervivencia de Y. Por esto se puede decir que,

De esta forma, una renta sujeta a la supervivencia de dos individuos tendrá la forma

Y para cualquier cantidad de individuos,

Y la renta de supervivencia seguirá siendo

2. Átomos y monomios, demostración de rentas sobre 2 cabezas

Los átomos vistos con anterioridad se relacionan entre sí veces, y eliminando el vacío y trabajando sólo

con la parte positiva de los átomos, los monomios; veces.

Si tenemos 1 generador; existen 2 átomos; 1 monomio se relaciona entre sí 1 vez. Existe 1 posible renta.

Si tenemos 2 generadores; existen 4 átomos; 3 monomios permutan 7 veces: 7 posibles rentas.

Si tenemos 3 generadores; existen 8 átomos; 7 monomios 127 posibilidades.

Si hay 4… 32767 posibilidades (15 monomios).

La dificultad entonces está en saber, cuál es la relación de monomios que componen cada renta

Renta sujeta a la supervivencia de los dos individuos

Se pagará una renta prepagable, anual, inmediata, hasta que se produzca la disolución del grupo. Ya que X e Y

pueden tener edades diferentes, hay que considerar que el plazo máximo será la supervivencia conjunta

hasta el mínimo infinito actuarial de ambos. Es la renta de supervivencia conjunta:

Renta a partir del fallecimiento de Y, mientras X viva

Como primero tiene que suceder el fallecimiento de Y, la renta será pospagable, y durará hasta el infinito

actuarial de X. Es la renta a partir de la disolución por culpa de Y:

Si la renta es vitalicia la diferencia entre pre y pos es imperceptible, esta suposición se mantiene en adelante:

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Renta a partir del fallecimiento de X, mientras Y viva

Se puede obtener operando igual que en la anterior la renta a partir de la disolución por culpa de X:

Renta mientras vivan los dos o cualquiera de los dos individuos

Se trata de la renta unión de las dos anteriores, la renta hasta la extinción. Se paga durante la supervivencia

de ambos, y continua activa aunque fallezca X o aunque fallezca Y.

Renta mientras viva exactamente uno de los dos

Se trata de la renta que existe entre la disolución y la extinción del grupo de 2 cabezas,

o lo que es lo mismo,

Renta continua a partir del fallecimiento de Y, mientras viva X

Simplemente es transformar las sumas en una integral, el concepto sigue siendo el de una renta que se paga

a partir de la disolución por culpa de Y, pero ahora continua.

Ejemplo:

Valor de una renta prepagable hasta la extinción del grupo formado por X e Y (hasta que mueran los dos), si

se pagan 2000€ mientras sobrevivan juntos, 500 si vive X y 300 si vive Y.

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XYZ

X Y

Z

XZ YZ

XY

XYZ

X

XZ

XY

4. Grupos de 3 cabezas

Ahora aplicamos el Álgebra de Boole reducida sobre tres generadores {X, Y, Z}

Ahora existen 3 generadores, que generan 7 átomos, que si los expresamos ya como monomios son;

XYZ la intersección central donde viven los 3 juntos

XY la intersección entre X e Y

XZ intersección entre X y Z

YZ intersección Y y Z

X sólo vive X

Y sólo vive Y

Z sólo vive Z

Estos 7 átomos pueden permutar entre sí 127 veces; tomados de 1 en 1, de 2 en 2, de 3 en 3, de 4 en 4,… de 7

en 7 sólo habrá 1 posibilidad, que será la unión total.

De 1 en 1;

XYZ

XY

XZ

YZ

X …gráficamente:

Si seleccionamos la renta del

individuo X, también se toman las

intersección con Y y Z, si se restan

cada una de ellas también se habrá

restado por 2 veces la intersección

de los 3. Hay que “recuperarla”

sumando.

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Y

Z

Como se puede ver, el proceso del cálculo más sencillo, más directo, es la intersección de los 3 individuos,

donde la probabilidad conjunta es el producto de las 3 probabilidades de supervivencia. El segundo cálculo

más sencillo, casi directo, es el cálculo de la probabilidad conjunta de 2 de los 3 átomos, donde hay que

restar entonces el punto de intersección central. Como se ve; la probabilidad “más compleja” es la de

encontrar la de uno de los 3 generadores ya que hay que restar las intersecciones con los otros dos átomos y

“equilibrar” sumando de nuevo la probabilidad de intersección de los 3, gráficamente es más sencillo:

Al seleccionar …hay que restar las intersecciones con Y y Z…

De 2 en 2;

XYZ + XY XYZ + X XY + XZ etc…

XYZ + XZ XYZ + Y XY + YZ

XYZ + XY XYZ + Z XZ + YZ

¿Hay alguna forma de sistematizar estas combinaciones?

Valoración en función de los monomios

Simbolizamos β como imagen de uno de los elementos del álgebra de Boole, de forma que μ(β) será la

medida de ese elemento. Si estamos valorando rentas, entonces μ(β) será equivalente a la medida de esas

rentas: ä(β). Todo el conjunto de posibles rentas que aparece al combinar un determinado número de

generadores en álgebra de Boole reducida, se puede expresar como

Lo que se tiene son los coeficientes β que son dicotómicos; 1=sí, 0=no, y que se relacionan mediante un

producto de matrices con los átomos que han generado los 3 generadores del álgebra de Boole reducida.

Por ejemplo, el valor de la renta supone, como ya hemos visto antes, coger el conjunto X, descartar sus

intersecciones con Z e Y, y equilibrar la intersección XYZ por haber sido doblemente descartada, en los

coeficientes esto sería

De donde saldrá:

Se ha restado por dos veces y

hay que recuperarlo…

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Y a partir de aquí esta matriz resolverá otras combinaciones mucho más incómodas de plantear.

El vector de coeficiente beta multiplicado por un vector de cambio de variable que escribe los átomos en

función de los monomios, será

Y si ahora buscamos la medida de una renta cualquiera a partir de los coeficientes beta,

Y ahora, multilplicando betas y matriz de cambio de base,

Lo que se tiene aquí son las combinaciones “básicas” que existen entre las rentas y sus interacciones.

De forma que al final tenemos 7 coeficientes para 7 monomios:

Para cualquier renta que nos planteemos ahora, indicando si hay que sumar (1), descartar (-1), o ignorar (0)

los coeficientes, al multiplicar vector por matriz saldrán las rentas básicas a sumar y restar para obtener la

renta objetivo.

Ejemplo:

Valor de la renta XYZ+XY

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y esto deja que la renta donde coincide la intersección de los XYZ y la intersección XY tiene valor

Es decir, la renta que se paga mientras vivan los 3 individuos o mientras vivan X e Y, tiene valor igual a la

renta cuando viven X e Y, que será

Otro ejemplo:

Valor de la renta XYZ+X

Es decir, la renta que se paga mientras vivan los 3 individuos o mientras viva X, es decir, la renta que se paga

siempre que X este vivo con los otros dos individuos o ninguno a la vez, tiene valor igual a,